Definicija dvojnega integrala

Dvojni integral

Definicija dvojnega integrala

Obstoj in osnovne lastnosti dvojnega integrala Izraˇ cun dvojnega integrala

Uporaba dvojnega integrala

Raˇcunanje prostornin

Raˇcunanje teˇziˇsˇc in vztrajnostnih momentov

Uvedba novih spremenljivk v dvojni integral

Definicija dvojnega integrala

Naj bo D ⊂ R² zaprto, omejeno obmoˇcje z odsekoma gladkim robom (rob je odsekoma gladek, ˇce je sestavljen iz konˇcnega

ˇstevila gladkih krivulj) in f : D ⊂ R² → R. Obmoˇcje D razdelimo z gladkimi krivuljami na n podobmoˇcij D_k, k = 1, . . . ,n s ploˇsˇcinami P(D_k). V vsakem od teh podobmoˇcij izberemo poljubno toˇcko (x_k,y_k) ∈ D_k, k = 1, . . . ,n in tvorimo Riemannovo integralsko vsoto

n

X

k=1

f (x_k,y_k)P(D_k).

Definirajmo ˇse velikost parcele D_k

d(D_k) = sup{d(A,B);A,B ∈ D_k}.

Stevilo I imenujemoˇ dvojni integral funkcije f v D in ga oznaˇcimo z

I = Z Z

D

f(x,y) dx dy,

ˇce za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da velja implikacija:

k=1,...,nmax d(D_k) < δ ⇒ |I −

n

X

k=1

f (x_k,y_k)P(D_k)| < ε, neodvisno od razdelitve D na podobmoˇcja D_k in izbire toˇck (x_k,y_k) ∈ D_k. ˇCe tako ˇstevilo I obstaja, pravimo, da je f integrabilna na D.

Opomba

Ce je fˇ (x,y) ≥ 0 za vsak (x,y) ∈ D, potem integral I = RR

D

f(x,y) dx dy predstavlja volumen telesa

G = {(x,y,z) ∈ R³; (x,y) ∈ D, 0 ≤ y ≤ f(x,y)}.

Izrek

Ce je funkcija fˇ (x,y) zvezna na omejenem obmoˇcju D, ki ima odsekoma gladek rob, potem je f(x,y) integrabilna na D.

Izrek

Naj bo D omejeno obmoˇcje z odsekoma gladim robom. ˇCe je funkcija f (x,y) omejena na D in nezvezna le vzdolˇz odsekoma gladke krivulje, potem je f(x,y) integrabilna na D.

Lastnosti dvojnega integrala

Naj bosta f(x,y) in g(x,y) integrabilni na omejenih obmoˇcjih D, D₁ in D₂ z odsekoma gladkim robom. Potem velja

I

Z Z

D

(f(x,y)+g(x,y)) dx dy = Z Z

D

f(x,y) dx dy+ Z Z

D

g(x,y) dx dy

I Z Z

D

λf(x,y) dx dy = λ Z Z

D

f(x,y) dx dy, ˇ

ce je λ ∈ R

I

Z Z

D₁

f(x,y) dx dy + Z Z

D₂

f(x,y) dx dy = Z Z

D₁∪D₂

f (x,y) dx dy,

ˇ

ce se D₁ in D₂ ne sekata ali pa ˇce je presek D₁ ∩D₂ kveˇcjemu odsekoma gladka krivulja.

I Ce jeˇ f (x,y) ≤ g(x,y) za vsak (x,y) ∈ D, potem je Z Z

D

f(x,y) dx dy ≤ Z Z

D

g(x,y) dx dy.

I

RR

D

f(x,y)dxdy

≤ RR

D

|f (x,y)| dx dy

I RR

D

1 dx dy = P(D) . . . ploˇsˇcina obmoˇcja D

Izraˇ cun dvojnega integrala

Trditev

Ce je fˇ (x,y) zvezna na pravokotniku D = [a,b]× [c,d], potem velja

RR

D

f(x,y) dx dy =

b

R

a d

R

c

f (x,y)dy

!

dx =

d

R

c b

R

a

f(x,y)dx

! dy

Trditev

Naj bosta ϕ₁(x) in ϕ₂(x) odsekoma odvedljivi na [a,b], ϕ₁(x) ≤ ϕ₂(x) za vsak x ∈ [a,b] in

D = {(x,y) ∈ R²; a ≤ x ≤ b, ϕ₁(x) ≤ y ≤ ϕ₂(x)}.

Ce je fˇ (x,y) zvezna na obmoˇcju D, potem velja Z Z

D

f (x,y) dx dy =

b

Z

a







ϕ₂(x)

Z

ϕ1(x)

f(x,y)dy





 dx ≡

b

Z

a

dx

ϕ₂(x)

Z

ϕ1(x)

f (x,y)dy.

Trditev

Naj bosta ψ₁(y) in ψ₂(y) odsekoma odvedljivi na [c,d], ψ₁(y) ≤ ψ₂(y) za vsak y ∈ [c,d] in

D = {(x,y) ∈ R²; c ≤ y ≤ d, ψ₁(y) ≤ x ≤ ψ₂(y)}.

Ce je fˇ (x,y) zvezna na obmoˇcju D, potem velja Z Z

D

f (x,y) dx dy =

d

Z

c







ψ2(y)

Z

ψ1(y)

f (x,y)dx





 dy ≡

d

Z

c

dy

ψ2(y)

Z

ψ1(y)

f (x,y)dx.

Opomba

Ce je obmoˇˇ cje D sploˇsnejˇse od tistih opisanih v zgornjih dveh trditvah, ga razreˇzemo na enostavnejˇse kose, za katere trditvi veljata. ˇCe je veˇc moˇznih razrezov, izberemo tistega, ki je najugodnejˇsi za integriranje.

Uporaba dvojnega integrala

Raˇcunanje prostornin

Naj bo D ⊂ R² omejeno obmoˇcje z odsekoma gladkim robom, f,g : D → R zvezni funkciji in naj velja f(x,y) ≥ g(x,y) za vsak (x,y) ∈ D. Potem je prostornina telesa

G = {(x,y,z) ∈ R³; (x,y) ∈ D, g(x,y) ≤ z ≤ f (x,y)}

enaka

V(G) = Z Z

D

[f(x,y)− g(x,y)] dx dy. Raˇcunanje teˇziˇsˇc in vztrajnostnih momentov

Naj bo D tanka nehomogena ploˇsˇca z zvezno gostoto ρ(x,y) v toˇcki (x,y). Potem lahko s pomoˇcjo naslednjih formul izraˇcunamo

I maso ploˇsˇce D

m(D) = Z Z

D

ρ(x,y) dx dy,

I koordinate teˇziˇsca T(x_T,y_T) x_T(D) = 1

m(D) Z Z

D

xρ(x,y) dx dy,

y_T(D) = 1 m(D)

Z Z

D

yρ(x,y) dx dy,

I vztajnostne momente I_x glede na os x , I_y glede na os y in glede na izhodiˇsˇce I₀

I_x(D) = Z Z

D

y²ρ(x,y) dx dy,

I_y(D) = Z Z

D

x²ρ(x,y) dx dy,

I₀(D) = Z Z

D

(x² + y²)ρ(x,y) dx dy.

Izrek o uvedbi novih spremenljivk v dvojni integral

Ce jeˇ

I U odprta podmnoˇzica R²,

I x(u,v), y(u,v) zvezno parcialno odvedljivi na U,

I Φ(u,v) = (x(u,v),y(u,v)) injektivna preslikava na U in

J_Φ(u,v) := det(Jac Φ(u,v)) =

∂x

∂u(u,v) _∂v^∂x(u,v)

∂y

∂u(u,v) ^∂y_∂v(u,v)

6= 0

,

I ∆ ⊂ U zaprto omejeno obmoˇcje

I D := Φ(∆) in f : D → R zvezna, potem velja

Z Z

D

f(x,y) dx dy = Z Z

∆

f(x(u,v),y(u,v))|J_Φ(u,v)| du dv

Opomba

Izrek velja tudi v primeru, ˇce Φ ni injektivna ali pa je J_Φ(u,v) = 0 na mnoˇzici s ploˇsˇcino 0.

Mnoˇzica A ⊂ R² ima ploˇsˇcino 0, ˇce za vsak ε > 0 obstaja konˇcno mnogo kvadratov K₁, . . . ,K_n, da je A ⊂ Sn

i=1K_i in Pn

k=1 P(K_i) < ε.

Opomba

Ce je fˇ ≡ 1, dobimo formulo za ploˇsˇcino obmoˇcja D P(D) =

Z Z

D

dx dy = Z Z

∆

|J_Φ(u,v)| du dv

Opomba

Geometrijski pomen Jacobijeve determinante

|J_Φ(u,v)| = lim

∆→(u

P(Φ(∆)) P(∆)