4. skupinska naloga
Zavarovalnica modelira zavarovalni portfelj s pomoˇcjo kolektivnega modela
S=
N
X
i=1
Xi,
kjer jeNporazdeljena meˇsano Poissonovo, t.j., pogojno na sluˇcajno spremenljivko Λ je N (d)= Pois(Λ), pri ˇcemer je Λ (d)= gamma(3,1/4) z gostoto fΛ(x) =
(1/4)3
Γ(3) x2e−x/4, x > 0, sl. sp. Xi pa so porazdeljene geometrijskoP(X = k) = (1−p)pk−2,k= 2,3, . . ., 0< p <1. Vse sluˇcajne spremenljivke so neodvisne.
1. Doloˇcite porazdelitev sluˇcajne spremenljivkeN. Pokaˇzite, da je v Panjer- jevem razredu in doloˇcite ustrezna koeficientaain b.
IzraˇcunajteE(N) in Var(N).
2. Doloˇcite vrednost parametra ptako, da se bo porazdelitev X ujemala z empiriˇcnim podatkom, da jeE(X) = 11.
Pri takempizraˇcunajteE(S) in Var(S).
3. Pozavarovalnica namerava pozavarovati ta portfelj. Prva moˇznost je preseˇzkovno (XL) pozavarovanje z odbitkom 10, t.j., pozavarovalnica krije ˇskodo
SXL=
N
X
i=1
1{Xi>10}(Xi−10).
Izraˇcunajte porazdelitev N0 =PN
i=11{Xi>10}, t.j., ˇstevila zahtevkov do pozavarovalnice. Izraˇcunajte pogojno porazdelitev (X−10|X >10). Naj bodoYineodvisne sluˇcajne spremenljivke s to porazdelitvijo. Potem velja
SXL (d)=
N0
X
i=1
Yi,
kjer je s. sp. N0 neodvisna od (Yi)i≥1.
Z upoˇstevanjem tega dejstva izraˇcunajteE(SXL) in Var(SXL). Z uporabo Panjerjevega algoritma doloˇcite verjetnostno funkcijoSXL in izraˇcunajte
VaR0,99(SXL) = inf{t∈R:P(SXL≤t)≥0.99}.
4. Druga moˇznost je agregatno (SL) pozavarovanje, kjer pozavarovalnica krije ˇskodoSSL= (S−D)+= max{S−D,0}. Vrednost odbitkaD je doloˇcena kotD= 10E(N).
S Panjerjevim algoritmom izraˇcunajte verjetnostno funkcijo zaS. Nato s pomoˇcjo le-te izraˇcunajteE(SSL), Var(SSL) in VaR0,99(SSL).
Katera moˇznost je za zavarovalnico bolj ugodna, ˇce pozavarovalnica uporablja princip matematiˇcnega upanja za doloˇcitev premije?
