I Mat ematika

i i

“1502-Vencelj-Urejena” — 2010/8/25 — 10:20 — page 1 — #1

i i

i i

i i List za mlade matematike, fizike, astronome in raˇcunalnikarje

ISSN 0351-6652 Letnik30(2002/2003) Številka 1

Strani 5–11, I–IV

Marija Vencelj:

UREJENA LEPOTA RASTLIN – Filotaksa in Fibo- naccijeva števila

Kljuˇcne besede: matematika, biologija, raˇcunalništvo, razporeditev li- stov, samopodobnost, simetrija, Fibonaccijeva števila, filotaksa.

Elektronska verzija: http://www.presek.si/30/1502-Vencelj.pdf

c

2002 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c

2010 DMFA – založništvo

Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno.

PIERIS (zgoraj) inRODODENDRON (spodaj)imata filotakso 38'

I Mat ematika

UREJENA LEPOTA RASTLIN - Filotaksa in Fibonaccijeva števila

Obpogleduna nežencvet, vejo ali drevomar sikdovzklikne: "Kako lepo!"

Rastl ine pa niso le lepe, so tudi zelo zanimive. In to ne le z bo-

taničnega vid ika. Ureje na lep ot a rastlin privlači pozornost mat em ati - kov že stoletja. Največso se ukvarj ali z najopaznejšimi geomet rijs kimi

značilnostmi, kot so osna simet rija list ov, rotacijska simetrij a cvetov ali npr. spiralas ta razp oreditev lusk pri storžu pinije. Po H.Weylu , avt orj u knjige Sym metry,je "lepota povezana s simetrijo".

Vendark lep oti rastlinprispevaj o tudi drugi fakt orji. Edenod njih je elega ncain relativnapreprostos tpravil,ki opisuj ejočasovnirazvoj rast lin.

Še zanimivejša jesamopodobnost rastlin,to je las tnost ,da je posamezen kos geometrijs ko pod ob en celot i. Tako so včasih lističi peresast o delje- nega lista še enkrat razrezani na manj še lističe, pri čemer je del list a na naslednji stopnjiena ke oblike kot ves list. Taka je npr.praprot . S tem a dvem a vprašanj em a se ukvarja zanimiva knjiga The Algorithmic Beauty of Plan t s P. Pru sinki ewicza in A. Lindenmayerj a (Springe r-Verlag, New York, 1990).

Slika 1.

Mat ematika I

Knjiga usp ešn o povezuj e biologijo z matem atiko in računalništvom .

Primerj ava pravih rastlin z računalniško nari sanimi modeli je v veliko

pomoč pri presoji , kak o dobri so mod eli. Lahko pa bi tudi rekli, da gre za povezavo med zna nostjo in umetnostjo. Iz knjige vam predst avljamo

računalniško narisan javor (slika 1) in cvet sončnice (slika 2). V knjigi sta slikibarv ni in zato še prepričljivej ši . Knji go hran i tudi matematična

knj ižnica Fakult et e za mat em atiko in fiziko v Ljubljani.

Slika 2.

Filotaksa

V nad alj evanj usi bomo podrobneje ogled aliposebno značilnost nekaterih rastlin , poznano pod imenom filot ak sa. Dob esedni prevod besede je urejeno st list ov , vendar pod njo ra zumemo tako pravilno urejen ost list ov na veji kot urejen ost lusk na storž u alicvetov v cvetnem košku ,

Mat em atika

Če vzame mo v roke lipovo vejico (slika na strani III, spodaj) in sledim o njenim listom od začetka do kon ca vejice, vidimo , da izraščajo

listi izmenično na nasprotnih straneh vejice. Podobno razporedit ev list ov lahko opazim o šepri nekat erih drugih rastlinah,npr. pri brestu in lovori- kovcu. Koti med zaporednimi listi na vejici (natančnej e, med mesti ,kjer listiizraščajo) so med seboj enaki, merij o180^0, to je

1

polnega obrata.

Pri pokonci postavljeni vejici la hko tudi rečemo, da moramo od dan ega listaenkrat (po _vijačnici) obit i vejico,da pridemo do prvega naslednj ega list a , ki izrašč a navpično nad njim. Pri tem pridobimo vzdol ž veje dva lista. Pravim o,da imaj o take rastl in e_polovičnofilot ak so (filotakso

1 ).

Pri bukvi,leski,ognje nemtrn u (slika na strani III, sp odaj) alioslezu potrebuj em o za prehod od eneg a list a k naslednj emu zasuk za tretj ino poln ega obrata. Govori mo o filot aksi

l .

Marelicaimafilot ak so_~,torej jekot meddvem azapor ednimalistom a enak _~ . 360⁰

=

144^0• To pomeni, da mor amo dvakrat okrog veje, da pridemo do lista, ki prvi po vrsti izrašča natanko nad izbranim. To se zgodi pri petem listu. Tako filotakso imata tudi hrast in krvenka (sliki na strani III, zgor a j ) .

Nadalj eimajo top olin hruška terokrasna grmarod od endronin pieri s (slike na strani II) filot ak so _~, vrba in mandelj filot ak so 153 itd.

Vidim o, da so števci in imenovalci ulomkov, s kat erimi se izraža filot ak sa,Fibo naccijevašt evila

1,1,2,3,5,8,13,21,...

Posameznafilotak saje kvoci ent dveh Fibonaccijevih št evil ff^k-1

, ka-

k+l

terih vrstni indeks v Fibo naccijevem zap ore dj u se razlikuje za 2. Enako dobro bi lahko uporabili pare zaporednih Fibonaccijevih števil. Mat ema- tik takoj vidi,daje nega tivnemuzasuku za _~ polnegaob ra t a enakovr eden pozit ivni zasuk za _~ polnega obrata. V splošnem preide na ta _način

ff^k- 1 v JL

f ^{k •} Toda filot ak so so seveda definirali bot aniki . (Na j nuj nejše

k+l k+l

o Fibon accijevih številih in zlatem razme rj u najdet e na koncu članka, v delu teksta,kism oga _{osenčili .})

Drugačen tip filot ak se srečamo pri urejeno sti cevast ih cvetov neka- terih košaric, npr. soc vet ja v sredini koška sončnice ali marj eti ce, pri urejenosti ananasovih lusk ali lusk sto rža jelke in pinije. Tu so cvet ovi oziro m a luske urejeniv spiralastih ali vret enastih zavojih.

Pri cvetu marjetke in ivanjščice (slika na naslovni strani) lahko sle- dimo, gled ano iz centra glavice, 34 spiralam v negativni smeri in 21 spiralam v pozitivni sme ri. Pri manj ših sončnicah je v dveh sme re h

razločno vid nih 34 oziro ma 55 sp iral,pri večjih tja do 89 in 144 ali celo

1 8 ^{Mat ematika}

^I

144 in 233 pri nekaterih poseb nih vrstah, ki imajo v košku tudi preko 2000cvetov. Priračunalniško nari sani sončnicina sliki 1poteka 34spiral v negativni smeri in 55 v pozit ivni smeri.

Štir ikot ne luske storža pinije (sli- ka na zad nj i st raniovit ka) so urejen e v tre h polža stih spir alah. Pro t i lev i se od osn overahlodvigaj o 3, nekoliko boljstrm ih je 5 spiral, kisousm erjene v desno, 8 najbolj strmih spiral pa spet poteka v levo. Posebno razločni

so zavoj i pri ananasu (slika 3), kate- rega bolj ali manj šestkotne luske so vidno urejene v vijačnice, ki pote ka jo v treh različnih sme re h . Opazimo lahko 5 vzp or ednih vrst, ki vodijo v desno položn o navzgor, 8 vrst gre nekoliko bolj strmo levo navzgo r, 13 vrst pa se strmo ovija desno nav zgor.

(Včasihsosmeriust rezn o zamenjane.) Vidimo,da setudipri tem tip ufi- lot akse pojavljajosamo Fibonaccije va števila .

Slika 3.

Lista srno im enovali zaporedna, če med njim a, vzdolž veji ce,ne iz-

rašča noben drug list. Govor imo tudi o zaporedj u list ov na vejici, pri

čemerjih navadno številčimood osnove vejice proti njenemu koncu. Tud i cevaste cvetove koša ric ali luske storžev lahko postavimo v zaporedje, glede na nj ihovo oddaljenost od osnove, čeprav so, poseb ej pri glav ica h košaric,te razdalje izredno majhne. Koti med zaporednimi list i, cvetovi ali luskam i so pri večini rastlin natanko določeni, odv isnisole od rastline oziroma nje ne filotakse. Na fotografijah, ki smo jih posneli za Presek, tega razu mljivo ne moremo razločno opazovati, v nar avi pa je sno vi za opazovanje dovolj.

Koti, ki pripadajo posameznim vrednostim filotakse, so enaki f!k-l .3600,k

=

2,3 ,4,.... To so zapored koti

k+l

1800,1200, 1440,1350,1 38.50,1 37.10, ...

Ker zaporedje kvocient ov ff~' zaporednih Fibonaccijevih števil konver- girak razmerj u zlatega reza ⁷ = 1.6180339.. .,kon vergira zaporedje filo- taks kvrednosti1- 7- 1

=

0.3819660 .. . in znj im zgornje zaporedje kot ov

Slika 4.

I ^{Mat ematika}

proti kotu

(1 - T- 1

) .360°

=

0.3819660 .360°

=

137.5°. Ta kot imenujemo tudi Fibonaccijevkot.

Zanimivopovezavomed posameznimi vrednostm i fi- lotaksenajdemo v knjigi In- tro duct ion togeome t ry H.S.

M. Coxeterja, od kod er je tudi slika 4. Na sliki je pri- kazano povr šje ana nas a kot

plašč pokončnega krožn ega valja, razgrnj enega v rav- nino. Šestkot ne luske so

oštevilčene v vrstne m redu gledena njihovooddalj en ost od vodoravne osnove . Dase videti, da je kot med zapo- red nima luskama približno

Fibonaccijev kot . Luska O imaza sosede luske z oznakam i 5, 13 in 8,ki

določajo vidne smeri v vzor cu.

Čeenakomerno razt eguj em o slikovnavpičnismeri,semanj ša topi kot med sme rem a od središčaluske O proti luskama 5in 8,dokler ne post ane pravi kot. Ted aj šestkotneluske preidejo v pravokotnike. Vrste (navalj u so to vijačnice), ki pripadajo luski 13, postanejo manj razločne, 3 nove vrst e,dvigajočeseprotilevi,pa postan ejo bolj opazne. Takoprep rostejšo uredi t ev smo opazili pri storž u pinije. Nadaljnje razt egovanj e bi zakrilo smeri,ki prip ad ajo številu8,inodkrilo2novi smeri,usm erj eni proti desni.

Takoureditev list ov smo npr. opaz ili pri hrastu.

Če pa vzor ec sti skamo v _navpični smer i,raste kot med sme re m a od luske O pro ti luska ma 8 in 13, dokler ne post a ne pravi. Tedaj nastopi Fibon accijevo število 21 kot sosed števila O,odmakne pa se število 5.

Pri razt egovanju in sti skanju valja njegovega obsega nismo spre m i- njali. Zasprem inj anje vzor cajetorej odločilnorazmerj evišinein preme ra valja . Če se valj hitreje deb eli , kot pridobiva na višini , lahko en pa r Fibonaccijevih števil preid e v drugega, ka r se včasih res zgodi pri rasti iste ras tline.

Če valj nadomestimo s stožcem, kot je primer pri jelki, ne dobimo vijačnic, am pak polžaste spirale. Če privzam em o,da so tvorilke st ožca

čedalje bolj pravokotne na os stožca, dobimo mejni primer (marjetica,

sončnica), pri kat erem polžast e spira le preidejo v logaritmične spirale.

1 10 ^{Mat ematika I}

Kako razkrit i skrivnost očitne naklonjenosti narave zlatemu razmer- ju? Ali morda velja, da rastline slede naslednjima praviloma ,ki ju je za Fibonaccijev kot odkr il Vogel:

1. Vsak nov list ali cvet je postavlj en na mesto, ki je za fiksen kot a zavr te no od položaj a prejšnjega listaali cveta.

2. Pozicijs ki vektor vsakega novega lista ali cvet a kaže v naj širšo ob-

stoječo vrzel med pozicijskimi vektorji star ejš ih listov alicvetov.

Gotovo ne gre ugovarjati tema osnovnimapredpostavkama (druga je z vidika iskanj a svetlobe še kako smiselna), vendar sta nezad ostni, kot ugot avlja Ridley, strokovnjak stega področja. Pojasnjuj e:

Medtem, ko je razum no domnevati, da ras tline vsebujejo genet sko informacijo za določanje velikostifiksnegavmesnega kota ,je povsem ne-

mogoče samo na tej osnovi fiksirati vmes ni kot do take neverj etne na-

tančnosti, kotjo opažamovnar avi,kaj ti naravnavariacija jepri bioloških poj avih normalno precej velika.

Natančnostje res neverj etna. Pri šte vilni h cvetovih sončnic sta npr.

opazni spirali 55 in 89. Topa pomeni ,da mora pri njih ležat i izbrani kot med _;~ .360⁰ in _~~ .360^0, kar zahteva relat ivno napako manj šo od 1l69.

Povejmo še,da seprinekaterih ras tlinah filotak saizražasposplošeni- miFibonaccijevimište vili,npr.2,1,3,4,7,11,...,pa 3,1,4,5,9,.. . ali 5, 2,7,9,16, ..., katerih zapore dni kvocienti konver giraj ok zlatemu razm erju.

Za to neobrem enj eni zaklj učimo z mislijo ,da filotak sa ni kak splošni zakon, am pakosu plj ivoprevladuj očatežnja rastlin.

Fibonaccijeva števila

Zap oredje Fibonaccijevih števil

Uk ,

^{k E IN} je} določeno s predpisom

fI

=

h

⁼ 1,

Začetekzapore dja je tor ej takle:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,".. Zaporedj e kvocientov zaporedn ih Fib ona ccijevi h števil J!s-f^k je

k+l

1 1 2 3 5 8 13 21

l ' 2' 3' 5' 8'

13'21'34'·"· , vrednosti filotaksepa so kvocienti jj k- l, kjer je

k+l _ J!s-

h+l"

I Mat ematika

Zlato razmerje

111

1= -1 1'

Če daljico razdelimo na dva dela tako, da je razmerj e dolžin _večjega in manjšega dela enako razmerju dolžin dane daljic e in večjega dela, pravimo , da smo dalji co razdelili v zlatem rezu. Deliln o razmerje imenujemo zlat o razm erj ein ga običajno označimosT.

Zlato raz merje je pozitivna rešitev _enačbe T2- T - 1

=

^{O in sicer}

je

v'5+ 1

T

=

- 2- = 1.6180339...

Zveza med zlatim razmerjem in Fibonaccijevimi števili Št eviluT pripada_neskončniveri žniulomek ,v kateremso vsi _členien aki 1,torej

v'5+ 1 1

T= - -- = l + 1

2 1

+

^{1+ 1}

1+ .. ·

Med vsemi verižnimi ulomki ta ulomek najpočasneje konv er gira.

Delni ulomki verižnega ulomka števila T so enaki kvocientom

fj: 1

zap ore d nih Fibonaccijevih števil. Za ilustracij o izračunajmo nekaj za-

četnihvrednosti:

1 2

1 + 1 = 2= 1 '

1

1

+

1

1

+

1+t

To pomeni , da zap or edj e kvocien t ov

fj:1

zapo redn ih Fibon accijevih šte vil konve rgira k T. Zaporedj e recipročnih št evil jh konvergira

k+ 1

k T- 1

=

^{T -} 1

=

0.6180339..., količniki ^{jjk- 1 ,} s katerimi se izraža

k+1

filot ak sa ,pa konvergiraj oproti 1 - T- 1

=

2 - T

=

0.3819660 ....

Marija Vencelj

HRAST(levozgoraj) in KRVENKA (desno zgoraj ) imata filotakso ~^, OGNJEN ITRN (levo spodaj)

l'

^{LIPA(desnospodaj) pa}

l '