UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
Ida Femc
p-adiˇ cne norme in p-adiˇ cna ˇ stevila DIPLOMSKO DELO
Ljubljana, 2014
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
Studijski program: Dvopredmetni uˇˇ citelj
Kandidatka: Ida Femc
Mentor: izr. prof. dr. Marko Slapar
p-adiˇ cne norme in p-adiˇ cna ˇ stevila DIPLOMSKO DELO
Ljubljana, 2014
Zahvala
Zahvaljujem se mentorju, dr. Marku Slaparju, za nasvete in strokovno pomoˇc pri nastajanju diplomskega dela ter za vse spodbude in izkazano skrb.
Najlepˇsa hvala Geli in starˇsem, ki so mi omogoˇcili ˇstudij, me podpirali in spodbujali na ˇstudijski poti ter si vzeli ˇcas, ko sem jih najbolj potrebovala.
Zahvaljujem se tudi Andreju, ˇse posebej pa Karin, ki mi je vlivala pogum in moˇc, da sem vztrajala.
Hvala vsem prijateljem za spodbudne besede, pomoˇc in oporo.
Povzetek
Racionalna ˇstevila Q vpeljemo tako, da definiramo kvocientno mnoˇzico parov celih ˇstevil (a, b) oz. definiramo ulomke ab, kjer je b 6= 0. Dva ulomka ab in dc predsta- vljata isto ˇstevilo, ˇce velja ad = bc. V diplomskem delu predstavimo absolutne vrednosti, ki jih lahko sreˇcamo na racionalnih ˇstevilih Q. To so obiˇcajna, trivialna ter p-adiˇcna absolutna vrednost. Nato dokaˇzemo izrek Ostrowskega, ki pravi, da je netrivialna absolutna vrednost naQ ekvivalentna bodisi obiˇcajni bodisi p-adiˇcni absolutni vrednosti za neko praˇstevilo p. Metriˇcni prostor racionalnih ˇstevil Q s trivialno absolutno vrednostjo (Q,| |0) je ˇze poln metriˇcni prostor. Vemo pa, da racionalna ˇstevilaQz obiˇcajno absolutno vrednostjo niso poln metriˇcni prostor. Pri upoˇstevanju obiˇcajne absolutne vrednosti | |∞ lahko racionalna ˇstevila Q razˇsirimo do realnih ˇstevil R, ki so poln metriˇcni prostor. ˇCe namesto obiˇcajne absolutne vrednosti na racionalnih ˇstevilih Q upoˇstevamo p-adiˇcno absolutno vrednost, do- bimo metriˇcni prostor (Q,| |p), ki tudi ni poln metriˇcni prostor. Metriˇcno napolnitev metriˇcnega prostora racionalnih ˇstevilQpri p-adiˇcni absolutni vrednosti imenujemo p-adiˇcna ˇstevila in jih oznaˇcimo s Qp. Na koncu navedemo ˇse nekaj lastnosti, ki veljajo zap-adiˇcna cela ˇstevilaZp in dokaˇzemop-adiˇcno razˇsiritevp-adiˇcnih ˇstevil.
Kljuˇcne besede: racionalna ˇstevila, absolutna vrednost, p-adiˇcna absolutna vre- dnost, realna ˇstevila,p-adiˇcna ˇstevila, p-adiˇcna cela ˇstevila
Abstract
We can construct rational numbers Q as a quotient set of pairs (a, b) where a and b are integers or we can define fractions ab, where b 6= 0. Two fractions ab and dc represent the same number if and only if ad=bc. In this thesis, we firstly describe absolute values on rational numbers Q: usual absolute value, trivial absolute value and p-adic absolute value. Then we prove the Ostrowski theorem, which says that every non-trivial absolute value onQis equivalent to either usual absolute value| |∞
or thep-adic absolute value for some prime numberp. The metric space of rational numbersQis complete with respect to the trivial absolute value. We know, however, that rational numbersQ are not complete with respect to the usual absolute value
| |∞. We can extend the space of rational numbers Q with respect to the usual absolute value to get the space of real numbersR, which is a complete metric space.
If we take any p-adic absolute value on rational numbers Q instead of the usual absolute value | |∞, we get the metric space (Q,| |p) which is also not complete.
The metric completion of this metric space is calledp-adic numbers Qp. We end the thesis with some characteristics ofp-adic integersZp and prove thep-adic expansion of p-adic numbers.
Keywords: rational numbers, absolute value, p-adic absolute value, real numbers, p-adic numbers, p-adic integers
Kazalo
Poglavje 1. Uvod 1
Poglavje 2. Absolutne vrednosti na Q 3
2.1. Definicija absolutne vrednosti 3
2.2. p-adiˇcna absolutna vrednost 4
2.3. Izrek Ostrowskega 5
Poglavje 3. p-adiˇcna ˇstevila 10
3.1. Vpeljava realnih ˇstevil R 10
3.2. Napolnitev metriˇcnega prostora 10
3.3. Napolnitev normiranih polj 13
3.4. Vpeljava p-adiˇcnih ˇstevil Qp 15
3.5. Zapis p-adiˇcnih ˇstevil 16
Literatura 20
POGLAVJE 1
Uvod
p-adiˇcna ˇstevilaQp je prvi uvedel nemˇski matematik Kurt Hensel konec 19. sto- letja. Predvidevajo, da je bila Henslova glavna motivacija analogija med kolobarjem celih ˇstevil Z skupaj z racionalnimi ˇstevili Q in kolobarjem polinomov s kompleks- nimi koeficienti C[X] skupaj s poljem racionalnih funkcij C(X). Bolj natanˇcno, elementf(X)∈C(X) je kvocient dveh polinomov
f(X) = P(X) Q(X),
kjer staP(X), Q(X)∈C[X] in Q(X)6= 0. Podobno lahko vsako racionalno ˇstevilo x∈Q zapiˇsemo kot kvocient dveh celih ˇstevil
x= a b,
kjera, b∈Zin b6= 0. Za oba kolobarjaZ inC[X] velja enoliˇcna faktorizacija. Celo ˇstevilo lahko zapiˇsemo enoliˇcno kot produkt praˇstevil s pozitivnim ali negativnim predznakom, vsak polinom pa lahko po osnovnem izreku algebre enoliˇcno zapiˇsemo kot produkt linearnih polinomov
P(X) =a(X−α1)(X−α2)· · ·(X−αn),
kjer soa, α1, α2, . . . αn ∈C. To pa je tudi bistvo Henslove analogije, ki pravi, da so praˇstevilap∈Z analogna linearnim polinomom (X−α)∈C[X].
Hensel je ugotovil, da gre ta analogija ˇse nekoliko globlje. Predpostavimo, da imamo polinom P(X) in α∈C. Potem lahko polinom zapiˇsemo v obliki
P(X) = a0+a1(X−α) +a2(X−α)2+· · ·+an(X−α)n
=
n
X
i=0
ai(X−α)i,
kjerai ∈C.Predpostavimo sedaj, da jeα∈Cinf(X)∈C(X) poljubna racionalna funkcija. Funkcijo f lahko razvijemo v Laurantovo vrsto
f(X) = P(X)
Q(X) = an0(X−α)n0 +an0+1(X−α)n0+1+· · ·
= X
i≥n0
ai(X−α)i, kjer je n0 stopnja niˇcle (pola) v toˇcki α.
Podobno lahko obravnavamo cela ˇstevila in ulomke. Pozitivno celo ˇstevilo m lahko zapiˇsemo ’v bazi p’, kjer je p praˇstevilo, na naslednji naˇcin:
m =a0+a1p+a2p2+· · ·+anpn=
n
X
i=0
aipi,
1
kjer jeai ∈Zin 0≤ai ≤p−1. Pri zapisu pozitivnega racionalnega ˇstevila zapiˇsemo najprej (pozitivna) ˇstevec in imenovalec v bazi praˇstevila p in potem formalno de- limo. Pozorni moramo biti le na ’prenose’. Poglejmo si primer, ko jep= 3, zapiˇsimo pa ˇstevilo 2417. Potem je
a= 24 = 0 + 2·3 + 2·32 = 2p+ 2p2 b= 17 = 2 + 2·3 + 1·32 = 2 + 2p+p2 Dobimo
a b = 24
17 = 2p+ 2p2
2 + 2p+p2 =p+p3+ 2p5+p7+p8+ 2p9+· · ·
Izkaˇze se, da to vedno deluje, ˇce je p praˇstevilo. Tako ˇstevec kot imenovalec sta namreˇc polinoma iz kolobarjaZp[X] in ker jeZppolje, bo njun kvocient element polja formalnih Laurentovih vrst Zp((X)). Torej lahko za vsako praˇstevilo p zapiˇsemo pozitivno racionalno ˇstevilo ab v obliki
x= a
b = X
n≥n0
anpn.
Velja, da jen0 ≥0, ˇce in samo ˇcep6 |b in n0 >0, ˇce in samo ˇcep6 |bin p|a. ˇStevilo n0 odraˇza potenco praˇstevilap v ab. To predstavimo z enaˇcbo
x= a
b =pn0a1
b1, kjer p6 |a1b1.
Pogledati moramo ˇse, kako dobimo negativna racionalna ˇstevila. Ker formalno velja
−1
p−1 = 1 +p+p2+· · · , imamo formalen zapis
−1 = (p−1) + (p−1)p+ (p−1)p2+ (p−1)p3+· · ·
Sklenemo lahko, da je vsako racionalno ˇstevilo xformalno zapisano kot x=an0pn0+an0+1pn0+1+· · · ,
torej kot element formalnih Laurentovih vrst nad poljemZp. Tak zapis imenujemo p-adiˇcna razˇsiritev ˇstevila x.
Cleni formalnih Laurentovih vrst nad poljemˇ Zp v obiˇcajni normi naraˇsˇcajo, saj so oblike anpn, kjer za naravna ˇstevila an velja 0 ≤ an ≤ p−1. V obiˇcajni normi torej take vrste niso konvergentne, razen v primeru, ˇce je le konˇcno ˇclenov neniˇcelnih. Za konvergenco potrebujemo nestandardno merjenje razdalje na poljuQ, in zato vpeljemop-adiˇcno normo| |p, za katero velja|anpn|p =p−n. V tej normi ˇcleni formalnih vrst konvergirajo proti 0, kar je, za razliko od vrst v standardni normi, potreben in tudi zadosten pogoj, da velja Cauchyjev pogoj za vrste vp-adiˇcni normi.
Takop-adiˇcna razˇsiritev racionalnega ˇstevilaxv p-adiˇcni normi dejansko konvergira protix.
Izkaˇze se, da ni vsaka formalna Laurentova vrsta nad Zp p-adiˇcna razˇsiritev racionalnega ˇstevila, in da p-adiˇcne razˇsiritve ulomkov niso metriˇcno poln obseg.
Zato obsegQmetriˇcno napolnimo. Ta napolnitev,Qp, je ravno obseg vseh formalnih Laurentovih vrst nad obsegomZp.
2
POGLAVJE 2
Absolutne vrednosti na Q
Polje racionalnih ˇstevil definiramo kot kvocientno mnoˇzico parov celih ˇstevil (a, b) oz. kot ulomke ab, kjer jeb6= 0. Dva ulomka ab in dc predstavljata isto ˇstevilo, ˇce velja ad = bc. Operaciji seˇstevanje in mnoˇzenje sta na racionalnih ˇstevilih Q definirani preko ulomkov kot
a b + c
d = ad+bc bd
in a
b · c d = ac
bd.
2.1. Definicija absolutne vrednosti
Na polju racionalnih ˇstevil definiramo obiˇcajno absolutno vrednost | | z
|x|=
x ; x≥0
−x ; x <0 .
Pravila, ki veljajo za obiˇcajno absolutno vrednost na Q, lahko zdruˇzimo v definicijo absolutne vrednosti na poljubnem poljuF.
Definicija 2.1. Realno funkcijo | |:F−→Rimenujemo absolutna vrednost, ˇce ima naslednje lastnosti
(a) nenegativnost: |a| ≥0 za∀a∈F, (b) neizrojenost: |a|= 0 ⇐⇒ a = 0,
(c) trikotniˇska neenakost: |a+b| ≤ |a|+|b| za∀a, b∈F, (d) multiplikativnost: |a·b|=|a||b| za∀a, b∈F.
V nadaljevanju diplomskega dela se bomo ukvarjali predvsem z ultrametriˇcnimi absolutnimi vrednostmi.
Definicija 2.2. Naj bo F polje z absolutno vrednostjo | |. Absolutna vrednost je ultrametriˇcna, ˇce lahko pogoj (c) iz definicije 2.1. nadomestimo z naslednjim pogojem:
|a+b| ≤max{|a|,|b|} za∀a, b∈F. (1) Definicija 2.3. Absolutna vrednost | |na polju Fje arhimedska, ˇce zanjo velja arhimedska lastnost: za dana x, y ∈ F, x 6= 0, obstaja pozitivno celo ˇstevilo n, da velja |nx| > |y|. Za absolutno vrednost, ki ne izpolnjuje arhimedske lastnosti, pravimo, da jenearhimedska.
Arhimedskost absolutne vrednosti je ekvivalentna trditvi, da obstajajo v F po- ljubno velika cela ˇstevila oziroma
sup{|n1|:n ∈Z}= +∞.
Povedano drugaˇce, naravna ˇstevila N⊂F so poljubno velika. ([5])
3
Vzemimo obiˇcajno absolutno vrednost na polju Q. ˇCe vzamemo x = y = 1, ugotovimo, da pogoj (1) ne velja. To pa pomeni, da obiˇcajna absolutna vrednost ni ultrametriˇcna. Tako definirana absolutna vrednost zadoˇsˇca arhimedski lastno- sti, torej je arhimedska. Obiˇcajno absolutno vrednost imenujemo tudi neskonˇcna absolutna vrednost na Q in jo oznaˇcimo z | |∞.
Zelo znana je tudi trivialna absolutna vrednost. Definiramo jo lahko na katerem koli polju Fs predpisom
|x|=
1 ; x6= 0 0 ; x= 0 .
Ugotovimo lahko, da tako definirana absolutna vrednost ne izpolnjuje arhimedske lastnosti, kar pomeni, da je trivialna absolutna vrednost nearhimedska.([5]).
V nadaljevanju bomo na polju racionalnih ˇstevilQspoznali primer ultrametriˇcne absolutne vrednosti.
2.2. p-adiˇcna absolutna vrednost
Definicije in trditve v tem razdelku so v veˇcini povzete po [3] in [5].
Definicija 2.4. Naj bon∈Zcelo ˇstevilo inp∈Zpraˇstevilo. Z redpnoznaˇcimo najviˇsjo potenco ˇstevila p, ki deli n. Velja torej
redpn =k ⇐⇒ (pk|n in pk+1 6 |n).
Opazimo tudi, da veljak ≥0. ˇStevilo n lahko sedaj zapiˇsemo kot n =predpnn0 kjerp6 |n0.
Racionalno ˇstevilo x∈Qzapiˇsemo kot ulomek ab in definiramo redpx= redpa
b
= redpa−redpb.
Opazimo, da za vsakx∈Q, vrednost redpx ni odvisna od tega, kakox predstavimo z ulomkom. Z drugimi besedami, ˇce velja ab = dc, potem velja
redp(a)−redp(b) = redp(c)−redp(d).
Posebej definiramo ˇse redp0 = +∞. Razlog za to je, da lahko zagotovo 0 delimo s p, rezultat je 0. To lahko spet delimo s pin spet dobimo rezultat 0 itd.
Za redp veljajo naslednje lastnosti:
Definicija 2.5. Za∀x, y ∈Q velja:
i) redp(xy) = redpx+ redpy
ii) redp(x+y)≥min{redp(x),redp(y)}, pri ˇcemer enakost velja, ˇce redp(x)6= redp(y),
upoˇstevati pa moramo tudi dogovor, da redp(0) = +∞.
Preslikavo | |p :Q−→R definiramo s predpisom
|x|p =
p−redpx ; x 6= 0 p−∞= 0 ; x = 0 .
Absolutno vrednost| |p imenujemop-adiˇcna absolutna vrednost alip-adiˇcna norma.
Trditev 2.6. Naj boppraˇstevilo. Potem je| |p ultrametriˇcna absolutna vrednost na polju Q.
4
Dokaz. Lastnosti (a), (b) in (d) iz definicije o absolutni vrednosti, sledijo ne- posredno iz definicije. Dokazati moramo ˇse (1). Izberimo poljubnax, y ∈Q. ˇCe je katerokoli od ˇstevil |x|p,|y|p ali|x+y|p enako 0, neenakost velja, zato bomo pred- postavili, da so ˇstevila|x|p,|y|p ali|x+y|p oz. x, y in x+y razliˇcna od 0. ˇStevilo x zapiˇsimo kot okrajˇsan ulomek ab, ˇstevilo y pa kot okrajˇsan ulomek dc. Potem je
redp(x+y) = redp(a b + c
d) = redpad+bc
bd = redp(ad+bc)−redp(bd) =
= redp(ad+bc)−(redpb+ redpd) = redp(ad+bc)−redpb−redpd.
Najviˇsja potenca, ki deli vsoto, ni manjˇsa od najviˇsje potence, ki deli oba ˇclena v vsoti. Zato
redp(x+y) ≥ min{redp(ad),redp(bc)} −redpb−redpd=
= min{redpa+ redpd,redpb+ redpc} −redpb−redpd=
= min{redpredpa−redpb,redpc−redpd}=
= minn redpa
b,redpc d
o
=
= min{redpx,redpy}.
Zato je predp(x+y) ≥ min{predpx, predpy}. ˇCe sedaj upoˇstevamo definicijo absolutne vrednosti, dobimo
|x+y|p =p−redp(x+y)≤min{p−redpx, p−redpy}= min{|x|p,|y|p}.
S tem smo dokazali ˇse (1).
Za boljˇse razumevanje p-adiˇcne norme si poglejmo, kaj nam p-adiˇcna absolutna vrednost pravzaprav pove. Ko je ˇstevilo x ∈ Q deljivo z veliko potenco praˇstevila p ∈ Z, je vrednost redpx velika. Poslediˇcno je (zaradi negativnega predznaka v eksponentu) vrednostp-adiˇcne absolutne vrednosti|x|p majhna. p-adiˇcna absolutna vrednost nam torej na nek naˇcin pove stopnjo deljivosti ˇstevila n s praˇstevilom p.
([5])
Poglejmo nekaj primerov.
(1) |12|2 =|22·3|= 2−2 = 14
(2) |218|3 =|3·78 |3 =|8·3−1·7−1|3 = 3−(−1) = 31 = 3 (3) |10001 |5 =|2−35−3|5 = 5−(−3) = 53 = 125
2.3. Izrek Ostrowskega Naslednji izrek in dokaz izreka sta povzeta po [3] in [5].
Izrek 2.7. Absolutna vrednost | | na Q je ultrametriˇcna, ˇce in samo ˇce |n| ≤ 1 za vsak n∈Z.
Dokaz. Pri katerikoli absolutni vrednosti velja |1|= 1. Denimo, da je |n| ≤ 1.
Z indukcijo bomo dokazali, da je|n| ≤1 za ∀n∈N. ˇCe je| | ultrametriˇcna, velja
|n+ 1| ≤max{|n|,1}= 1.
Po naˇcelu popolne indukcije velja zgornja ocena za vsak n ∈N.
5
Pokazati moramo ˇse obrat. Denimo, da velja|n| ≤ 1 za∀ n ∈N. Dokazati ˇzelimo, da za vsaka dva elementa x, y ∈ Q velja |x+ y| ≤ max{|x|,|y|}. Ce jeˇ y = 0, neenakost velja. ˇCe jey6= 0, lahko delimo z y in dobimo
|x
y + 1| ≤max{|x y|,1}.
To pomeni, da je dovolj, da neenakost dokaˇzemo za primer, ko je drugi sumand enak 1, torej da za∀x∈Q velja
|x+ 1| ≤max{|x|,1}.
Naj bo x ∈ Q in m ∈ N. Ker je Q polje, velja binomska formula, zato lahko zapiˇsemo
|x+ 1|m = |(x+ 1)m|
=
m
X
k=0
m k
xk
≤
m
X
k=0
m k
|xk|.
Ker je po predpostavki| mk
| ≤1, dobimo
|x+ 1|m ≤
m
X
k=0
|xk|
=
m
X
k=0
|x|k
≤ (m+ 1)max{1,|x|m}.
Ce neenaˇˇ cbo|x+ 1|m ≤(m+ 1)max{1,|x|m} korenimo z m- tim korenom, dobimo
|x+ 1| ≤ mp
(m+ 1) max{1,|x|}
za vse m ∈ N in x∈ Q. Vemo, da limm→∞ m
√m+ 1 = 1 in zato, ko poˇsljemo m v neskonˇcno, dobimo ravno to, kar smo ˇzeleli dokazati:
|x+ 1| ≤max{|x|,1}za∀x∈Q.
Posledica pravkar dokazanega izreka je, da je absolutna vrednost na Q ultrame- triˇcna natanko tedaj, ko ne zadoˇsˇca arhimedski lastnosti.
Trditev 2.8. Absolutna vrednost | | na Q je ultrametriˇcna natanko tedaj, ko je nearhimedska.
Dokaz. Ce bi bila absolutna vrednost arhimedska, bi obstajalo pozitivno celoˇ ˇstevilo n, za katero bi veljalo
|n|=|n·1|>|1|= 1.
Po izreku 2.7 sledi, da absolutna vrednost| |ni ultrametriˇcna. ˇCe absolutna vrednost
| |ni ultrametriˇcna, po izreku 2.7. obstajalo tako ˇstevilon ∈Z, za katero bi veljalo
|n|>1. Pokazati moramo, da je tedaj absolutna vrednost| | arhimedska. Izberimo poljubna a, b ∈ Q, a 6= 0. Ker velja |n| > 1, so ˇstevila |nl ·a| = |nl||a| = |n|l|a|
6
poljubno velika, ˇce je ˇstevilol ∈Ndovolj veliko. Zato za dovolj veliko ˇstevilol velja
|nl·a|>|b|. To pa pomeni, da je | | arhimedska absolutna vrednost.
Opomba 2.9. Vse kar smo do sedaj zapisali v tem razdelku in velja za racionalna ˇstevilaQ, velja tudi za poljubno poljeF. Pri tem upoˇstevamo, da za poljubno polje Flahko definiramo homomorfizemf :Z→F s predpisomn 7→n1F,kjer je 1F enota v F. Homomorfizem je injektiven, ˇce jeF polje s karakteristiko 0.
Definicija 2.10. Dve normi | | in | |∗ na polju F sta ekvivalentni, ˇce obstaja tako realno ˇsteviloα >0, da velja
|x|∗ =|x|α za vsakx∈F.
Dve ekvivalentni normi definirata naFisto topologijo. Izrek Ostrowskega karak- terizira absolutne vrednosti na polju racionalnih ˇstevil Q do ekvivalence natanˇcno.
Izrek in njegov dokaz sta povzeta po ([5]).
Izrek 2.11 (Ostrowski). Netrivialna absolutna vrednost na Q je ekvivalentna bodisi obiˇcajni bodisi p-adiˇcni absolutni vrednosti za neko praˇstevilo p.
Dokaz. Dokaz bomo razdelili na dva dela. V prvem bomo predpostavili, da je absolutna vrednost| | arhimedska, v drugem delu pa da je nearhimedska. Naj bo| | netrivialna absolutna vrednost naQ.
Najprej predpostavimo, da je | | arhimedska. V tem primeru ˇzelimo dokazati, da je absolutna vrednost ekvivalentna obiˇcajni (neskonˇcni) absolutni vrednosti. Naj bo n0 najmanjˇse pozitivno celo ˇstevilo, za katerega velja |n0| > 1. Tako ˇstevilo n0 gotovo obstaja, saj bi bila v nasprotnem primeru | | nearhimedska. Sedaj lahko poiˇsˇcemo tako pozitivno realno ˇstevilo α, da velja |n0|=nα0. Dokazati torej ˇzelimo, da za ∀ x∈ Q velja |x| =|x|α∞. ˇCe dokaˇzemo, da |n| =nα za vsako pozitivno celo ˇstevilo, prejˇsnje sledi. Vemo, da enakost velja, ˇcen =n0. Za sploˇsen dokaz izberemo poljubno celo ˇstevilon in ga zapiˇsemo ’v bazi n0’, na primer v obliki
n=a0+a1n0+a2n20+· · ·+aknk0,
kjer 0≤ai ≤n0−1 in ak 6= 0. k je doloˇcen z neenakostjo nk0 ≤n < nk+10 , ki pove, da je
k =
logn logn0
.
Ce zapiˇsemo absolutno vrednost ˇstevilaˇ n, dobimo
|n| = |a0+a1n0+a2n20+· · ·+aknk0|
≤ |a0|+|a1n0|+|a2n20|+· · ·+|aknk0|
= |a0|+|a1||n0|+|a2||n20|+· · ·+|ak||nk0|
= |a0|+|a1||n0|+|a2||n0|2+· · ·+|ak||n0|k
= |a0|+|a1|nα0 +|a2|n2α0 +· · ·+|ak|nkα0 . Torej je
|n| ≤ |a0|+|a1|nα0 +|a2|n2α0 +· · ·+|ak|nkα0 .
7
Ker smo zan0 izbrali tako najmanjˇse pozitivno celo ˇstevilo, za katerega velja|n0|>
1, vemo, da je|ai| ≤1 in dobimo
|n| ≤ 1 +nα0 +n2α0 +· · ·+nkα0
= nkα0 (1 +n−α0 +n−2α0 +· · ·+n−kα0 )
≤ nkα0
∞
X
i=0
n−iα0
= nkα0 nα0 nα0 −1. Ce doloˇˇ cimo C = nnαα0
0−1, ki je pozitivno ˇstevilo, lahko zapiˇsemo
|n| ≤Cnkα0 ≤Cnα
(saj jenk0 ≤n ≤nk+10 ). To formulo uporabimo za cela ˇstevila oblike nN in dobimo
|nN| ≤CnN α, po korenjenju zN- tim korenom pa
|n| ≤ √N Cnα.
Dopustimo lahko, da gre N → ∞, kar pomeni, da gre N√
C → 1 in tako dobimo neenakost |n| ≤nα.
Dokazati moramo ˇse neenakost v drugo smer. Za to spet potrebujemo zapis v bazi n0
n=a0+a1n0+a2n20+· · ·+aknk0. Ker veljank+10 > n≥nk0 in ker je|n0|=nα0, je
n(k+1)α0 =|nk+10 |=|n+nk+10 −n| ≤ |n|+|nk+10 −n|.
Ce uporabimo neenakostˇ |n| ≤nα, ki smo jo zgoraj dokazali, lahko zapiˇsemo
|n| ≥n(k+1)α0 − |nk+10 −n| ≥n(k+1)α0 −(nk+10 −n)α. Ker je n≥nk0, sledi
|n| ≥ n(k+1)α0 −(nk+10 −nk0)α
= n(k+1)α0 (1−(1− 1 n0)α)
= C0n(k+1)α0
> C0nα, kjer je C0 = 1−(1−n1
0)α pozitiven.
Na podoben naˇcin kot zgoraj pridemo sedaj ˇse do neenakosti |n| ≥ nα. Ker je nk+10 > n≥nk0, lahko zapiˇsemo
|n| ≥C0nkα0 ≥C0nα. Ce to uporabimo za cela ˇstevila oblikeˇ nN, dobimo:
|nN| ≥C0nN α, po korenjenju zN- tim korenom pa
|n| ≥ √N C0nα.
8
Dopustimo, da gre N → ∞, kar pomeni, da gre √N
C0 →1. S tem smo priˇsli ravno do neenakosti |n| ≥ nα. Ker velja, da je |n| ≤ nα in |n| ≥ nα, je |n| = nα. To dokazuje, da je| | ekvivalentna obiˇcajni absolutni vrednosti | |∞, kot smo trdili.
Sedaj predpostavimo, da je | | nearhimedska. Potem za ∀ n ∈ Z po izreku 2.7 velja|n| ≤1. Ker je| |netrivialna, mora obstajati najmanjˇse celo ˇstevilon0 ∈Z, da velja |n0| < 1. Najprej opazimo, da mora biti n0 praˇstevilo. Predpostavimo, da je n0 =a·b, pri ˇcemer sta a, b < n0. Glede na izbiro n0 bi moralo veljati |a|=|b|= 1 in|n0|<1, a to se ne more zgoditi. Torej jen0 praˇstevilo, zato bomo doloˇcilip=n0. Dokazati ˇzelimo, da je | | ekvivalentnap-adiˇcni absolutni vrednosti.
Pokazati moramo tudi naslednje: ˇce n ∈ Z ni deljivo s p, potem je |n| = 1. ˇCe bi ˇstevilo n delili s p, bi dobili nek ostanek. Torej lahko n zapiˇsemo v obliki
n =rp+s,
pri ˇcemer 0< s < p. Zaradi minimalnosti ˇstevilapvelja|s|= 1. Vemo, da je|p|<1 in ker je| |nearhimedska, je |r| ≤1. Zato velja|rp|<1. Ker je| | nearhimedska in zato velja|n| ≤1, sledi, da je |n|= 1.
Vsak n∈Z lahko zapiˇsemo kot n=predpnn0, kjer p6 |n0. Potem je
|n|=|predpnn0|=|p|redpn|n0|=|p|redpn =c−redpn,
kjer je c=|p|−1 >1. Torej je | |ekvivalentna p-adiˇcni absolutni vrednosti.
Pravkar dokazan izrek Ostrowskega je glavni razlag, da o obiˇcajni absolutni vrednosti| |∞razmiˇsljamo kot o neki vrsti praˇstevila naQ. Bistvo tega je, da lahko potem vsako absolutno vrednost na Q razumemo kot p-adiˇcno absolutno vrednost
| |p, kjer je pkonˇcno ali neskonˇcno praˇstevilo, torej p≤ ∞.
9
POGLAVJE 3
p-adiˇ cna ˇ stevila
3.1. Vpeljava realnih ˇstevil R
Na ˇstevilski premici znamo oznaˇciti cela ˇstevila Z, upodobiti pa znamo tudi racionalna ˇstevila Q. Teˇzava nastane na primer, ko na ˇstevilski premici oznaˇcimo ˇstevilo, ki predstavlja dolˇzino diagonale kvadrata s stranico 1. Dokaˇzemo lahko, da to ˇstevilo ni niti celo niti racionalno ˇstevilo. Ugotovimo torej, da z mnoˇzico racionalnih ˇstevil Q ne zajamemo vseh ˇstevil, ki se pojavijo na ˇstevilski premici.
Zato se pojavi potreba po vpeljavi realnih ˇstevil R, s katerimo zapolnimo ’luknje’
v racionalnih ˇstevilih Q. Realna ˇstevila R lahko vpeljemo preko tako imenovanih Dedekindovih rezov. Podrobnosti o Dedekindovih rezih si lahko preberemo npr. v [8].
Poglejmo si sedaj primer, povzet po [6]. ˇStevilo π, ki predstavlja razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom, je veˇcini znano s pribliˇzkom π ≈ 3.14. ˇCe ˇzelimo bolj natanˇcen pribliˇzek, lahko izraˇcunamoπ na tri decimalna mesta natanˇcno in dobimo π ≈ 3.142. Za ˇse bolj natanˇcen pribliˇzek izraˇcunamo ˇse veˇc decimalnih mest. ˇCe bi nadaljevali, bi razvili zaporedje decimalnih pribliˇzkov ˇstevila π. Eno tako zaporedje je
3,3.1,3.14,3.142,3.1416,3.14159, . . .
To zaporedje pa ni edino moˇzno. Drug primer zaporedja, ki se tudi pribliˇzuje ˇstevilu π je
3,22 7 ,333
106,355
113,104348 33215 , . . .
Cleni zaporedja se lahko pribliˇˇ zujejo nekemu racionalnemu ˇstevilu, kot lahko vidimo iz primera, pa se lahko pribliˇzujejo tudi ˇstevilu, ki ga v racionalnih ˇstevilih Q ne najdemo. Za ˇsteviloπ, tako kot za √
2, ki predstavlja dolˇzino diagonale kvadrata s stranico 1, namreˇc velja, da ni racionalno ˇstevilo.
3.2. Napolnitev metriˇcnega prostora V tem razdelku smo se naslonili predvsem na [9].
Definicija 3.1. Naj boM poljubna neprazna mnoˇzica. Funkcijad:M×M → Rje metrika na M, ˇce zadoˇsˇca naslednjim pogojem:
(a) nenegativnost: d(x, y)≥0 za vsak parx, y ∈M (b) neizrojenost: d(x, y) = 0 ⇐⇒ x=y
(c) trikotniˇska neenakost: d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) za ∀x, y, z ∈M (d) simetriˇcnost: d(x, y) =d(y, x) za ∀x, y ∈M
Definicija 3.2. (Neprazno) mnoˇzico M skupaj z (izbrano) metriko d na M (torej par (M, d)) imenujemo metriˇcni prostor.
10
Na poljubnem polju F z normo | | lahko definiramo metriko d : F×F → R s predpisom d(a, b) = |a−b|. Racionalna ˇstevila Q tako postanejo metriˇcni prostor, ˇce za normo vzamemo eno od norm, definiranih v prejˇsnjem poglavju. V standardni normi nam metrika poda obiˇcajno razdaljo med racionalnima ˇsteviloma a, b∈Q.
Definicija 3.3. Zaporedjev metriˇcnem prostoru (M, d) je preslikava iz mnoˇzice naravnih ˇstevilN v metriˇcni prostor (M, d).
Zaporedje podamo z zapisom{an}∞n=1ali poenostavljeno (an), lahko pa naˇstejemo ˇclene zaporedjaa1, a2, a3, . . ..
Preden si pogledamo definicijo napolnitve metriˇcnega prostora, navedimo ˇse defi- niciji Cauchyjevega in konvergentnega zaporedja, povzeti po [2] ter definicijo limite.
Definicija 3.4. Zaporedje{an}∞n=1 v metriˇcnem prostoru (M, d) je Cauchyjevo, ˇce za vsak ε >0 obstaja N ∈N, da velja
n, m > N ⇒d(an, am)< ε.
Definicija 3.5. ˇStevilo a je limita zaporedja {an}∞n=1 v metriˇcnem prostoru (M, d), ˇce za vsak ε > 0 obstaja n0 ∈ N, da velja d(an, a) < ε za vsak n ≥ n0. Piˇsemoa = limn→∞an. ([8])
Ce ima zaporedje limito, reˇˇ cemo, da je konvergentno, ˇce limite nima, pa je za- poredjedivergentno.
Naslednji izrek nam pove, da je pojem konvergence ’moˇcnejˇsi’ od pojma Cau- chyjevega zaporedja ([6]).
Izrek 3.6. Ce jeˇ {an}∞n=1 konvergentno zaporedje v (M, d), potem je {an}∞n=1 tudi Cauchyjevo zaporedje.
Dokaz. Vemo, da se ˇcleni zaporedja pribliˇzujejo nekemuq, torej an→q. Izbe- rimo poljubno majhen ε > 0, nato pa ˇse n0, da velja d(an, q) < ε2 , ko n > n0. ˇCe m, n > n0, velja
d(an, am) ≤ d(an, q) +d(am, q)
< ε 2+ ε
2 =ε.
Torej je (an) res Cauchyjevo zaporedje.
Definicija 3.7. Metriˇcni prostor je poln, ˇce je v njem vsako Cauchyjevo zapo- redje konvergentno.
Definicija 3.8. Napolnitev metriˇcnega prostoraM je poln metriˇcni prostor M, ki vsebujeM kot gost podprostor.
Na racionalnih ˇstevilih Q smo spoznali tri razliˇcne absolutne vrednosti, in sicer obiˇcajno ali neskonˇcno absolutna vrednost, trivialno absolutno vrednost inp-adiˇcno absolutno vrednost. Metriˇcni prostor (Q,| |0) s trivialno metriko| |0 je poln metriˇcni prostor, saj je zaporedje v njem Cauchyjevo natanko tedaj, ko je od nekega ˇclena dalje konstantno. Metriˇcna prostora (Q,| |∞) in (Q,| |p) z obiˇcajno metriko | |∞
oziroma s p-adiˇcno metriko | |p pa nista polna metriˇcna prostora [8, 9]. Izkaˇze se, da je napolnitev metriˇcnega prostora racionalnih ˇstevil Q pri obiˇcajni metriki metriˇcni prostor realnih ˇstevilRz obiˇcajno metriko, napolnitev metriˇcnega prostora
11
racionalnih ˇstevil Q, pri p-adiˇcni metriki pa je tako imenovan metriˇcni prostor p- adiˇcnih ˇstevil, ki ga oznaˇcimo sQp. p−adiˇcna ˇstevila bomo spoznali v nadaljevanju tega poglavja.
Definicija 3.9. Naj bo S mnoˇzica. Relacijo med pari elementov mnoˇzice S imenujemoekvivalenˇcna, ˇce zadoˇsˇca naslednjim pogojem:
(1) za vsak s∈S, jes v relaciji s s (refleksivnost)
(2) za vsaks, t ∈Svelja, ˇce jesv relaciji st, je tuditv relaciji ss(simetriˇcnost) (3) za vsak s, t, r ∈S velja, ˇce je s v relaciji st int v relaciji z r, jes v relaciji
z r (tranzitivnost)
Definicija 3.10. Naj boS mnoˇzica z ekvivalenˇcno relacijo na parih elementov.
Za s ∈ S oznaˇcimo s [s] mnoˇzico vseh elementov iz S, ki so v relaciji s s. Tako mnoˇzico [s] imenujemoekvivalenˇcni razredelementa s.
Trditev 3.11. Naj bo S mnoˇzica z ekvivalenˇcno relacijo na parih elementov.
Za vsak s, t ∈S velja ali [s] = [t] ali pa sta [s] in [t] disjunktna.
Dokaz. Naj bosta s, t ∈ S poljubna dva elementa. Recimo, da je nek element r v relaciji s s in tudi v relaciji s t, torej se r nahaja v obeh ekvivalenˇcnih razredih [s] in [t]. Naj bo sedaj a ∈ [s] nek element. Ker je a v relaciji s s in s v relaciji z r, je torej a v relaciji z r (tranzitivnost). Ker pa je r v relaciji s t, je torej a tudi v relaciji st (tranzitivnost). To pomeni, daa∈[t] in zato [s]⊆[t].
Naj bo sedaj b nek element iz [t], torej je b v relaciji s t. Ker je t v relaciji z r (simetriˇcnost), je tudi b v relaciji z r (tranzitivnost). r pa je tudi v relaciji ss, zato je tudi b v relaciji s s (tranzitivnost), kar pomeni, da b∈[s] in zato [t]⊆[s].
S tem smo dokazali, da [t] = [s] oziroma da sta ekvivalenˇcna razreda enaka, ˇcim
imata en skupen element. ([6])
Kot smo videli v primeru iz uvodnega dela tega poglavja, se lahko zgodi, da veˇc razliˇcnih Cauchyjevih zaporedij konvergira k istemu ˇstevilu, z drugimi besedami, veˇc razliˇcnih Cauchyjevih zaporedij ima enako limito. To pa bi pomenilo, da je isto ˇstevilo predstavljeno z razliˇcnimi Cauchyjevimi zaporedji. Naslednja definicija, povzeta po [2], ta problem reˇsi.
Definicija 3.12. Dve Cauchyjevi zaporedji (sn) in (tn) v metriˇcnem prostoru (M, d) staekvivalentninatanko tedaj, ko velja, dad(sn, tn) konvergira k 0. Zapiˇsemo (sn)∼(tn).
Povedano drugaˇce, dve Cauchyjevi zaporedji sta ekvivalentni, ˇce imata potenci- alno enako limito.
Preveriti moramo samo ˇse, ali je relacija res ekvivalenˇcna oziroma ali je re- fleksivna, simetriˇcna in tranzitivna:
• refleksivnost: d(sn, sn) = 0, torej zaporedje z vsemi ˇcleni enakimi 0 res konvergira k 0. To pomeni, da je (sn) v relaciji z (sn).
• simetriˇcnost: recimo, da je (sn) v relaciji s (tn), torej d(sn, tn) → 0. Ker je d(sn, tn) = d(tn, sn), tudi d(tn, sn) → 0, kar pomeni, da je tudi (tn) v relaciji s (sn).
• tranzitivnost: naj bo (sn) v relaciji s (tn) in (tn) v relaciji z (un), torej d(sn, tn) → 0 in d(tn, un) → 0. Izberimo poljubno majhen ε > 0. Potem obstajata N inN0, tako da za ∀n > N velja d(sn, tn)< 2ε in za ∀n > N0
12
velja d(tn, un)< ε2. Dokler je n veˇcji od obeh, N in N0, velja d(sn, un) ≤ d(sn, tn) +d(tn, un)
< ε 2 + ε
2 =ε.
Naj bo L = max{N, M}. Tako lahko pri izbranem ε > 0 vedno izberemo L, da za n > L veljad(sn, un)< ε. To pa pomeni, da d(sn, un)→0 oz. da je (sn) v relaciji z (un).
Torej je relacija res ekvivalenˇcna. ([6])
Sedaj lahko mnoˇzico M predstavimo s Cauchyjevimi zaporedji.
Definicija 3.13. Naj bo (M, d) metriˇcni prostor. NajCoznaˇcuje mnoˇzico vseh Cauchyjevih zaporedij v (M, d). MnoˇzicaMcje definirana kot mnoˇzica ekvivalenˇcnih razredov Cauchyjevih zaporedij, povedano drugaˇce
Mc={S ⊂C :∃(sn)∈C, tako daS={(tn)∈C : (tn)∼(sn)}}.
Za (sn)∈C definiramo ekvivalenˇcni razred [sn] ={(tn)∈C : (tn)∼(sn)}. ([2]) V mnoˇzico Mc uvedemo metriko tako, da razdaljo ekvivalenˇcnega razreda za- poredja (sn) in ekvivalenˇcnega razreda zaporedja (tn) definiramo kot limd(sn, tn), torej
d([sn],[tn]) = lim
n→∞d(sn, tn).
Seveda bi bilo potrebno dokazati, da ta predpis resniˇcno definira metriko na M,c torej preveriti aksiome metrike. Dokaz lahko najdemo v [9].
Izrek 3.14. (M , d)c je napolnitev metriˇcnega prostora (M, d).
Izreka tu ne bomo dokazali. Preveriti bi bilo potrebno, da je metriˇcni prostor (cM , d) poln in je (M, d) v njem gost podprostor. Zahtevnejˇsi bralec si lahko dokaz prebere v [9].
Opomba 3.15. Na enak naˇcin kot smo definirali mnoˇzico Mc, bi lahko uvedli re- alna ˇstevilaR. Tako bi realna ˇstevilaRvpeljali ˇse na podlagi ekvivalenˇcnih razredov Cauchyjevih zaporedij. Seveda bi morali definicijo Cauhyjevih zaporedij nekoliko modificirati, saj definicija, ki smo jo podali tu, ˇze predpostavlja, da imamo realna ˇstevila. Bolj natanˇcno, ε iz definicije je po predpostavki poljubno pozitivno realno ˇstevilo. ˇCe bi predpostavili, da je ε >0 poljubno racionalno ˇstevilo, je ves postopek enak. V tem primeru govorimo o tako imenovanihQ-Cauchyjevih zaporedjih.
3.3. Napolnitev normiranih polj
Naj bo sedajFpoljubno polje z normo| |, torej metriko definiramo kotd(x, y) =
|x−y| za ∀ x, y ∈ F. Napolnitev metriˇcnega prostora F je po prejˇsnjem poglavju metriˇcni prostor Fb. Ker je F polje, se tudi na napolnitev Fb prenesejo raˇcunske operacije.
V nadaljevanju si bomo pogledali, kaj pomeni seˇstevanje in mnoˇzenje na prostoru ekvivalenˇcnih razredov Cauchyjevih zaporedij.
Operacije definiramo na naslednji naˇcin:
13
• SEˇSTEVANJE:
Definicija 3.16. Vsota dveh ekvivalenˇcnih razredov [sn] in [tn] je definirana kot ekvivalenˇcni razred [sn+tn], ki je Cauchyjevo zaporedje.
Naj bo s0n ∈[sn] in t0n∈[tn]. Potem velja
|(sn+tn)−(s0n+t0n)|=|(sn−s0n) + (tn−t0n)| →0.
To pomeni, da (sn+tn)∼ (s0n+t0n) in da je vsota ekvivalenˇcnih razredov dobro definirana.
• MNOˇZENJE:
Definicija 3.17. Produkt dveh ekvivalenˇcnih razredov [sn] in [tn] je definiran kot [sn]·[tn] = [sn·tn].
Naj bo [sn] = [s0n] in [tn] = [t0n]. Pokazati ˇzelimo, da (sn·tn) ∼ (s0n·t0n) oz.
|(sn ·tn)− (s0n ·t0n)| → 0. Pri tem bomo uporabili dejstvo, da so Cauchyjeva zaporedja omejena.
|(sn·tn)−(s0n·t0n)| = |(sn·tn) + (tn·s0n−tn·s0n)−(s0n·t0n)|
= |(sn·tn−tn·s0n) + (tn·s0n−s0n·t0n)|
≤ |(sn·tn−tn·s0n)|+|(tn·s0n−s0n·t0n)|
= |tn·(sn−s0n)|+|s0n·(tn−t0n)|
= |tn| · |sn−s0n|+|s0n| · |tn−t0n|
Ker so Cauchyjeva zaporedja omejena, obstajata taka M in L, da velja |tn| ≤M in|s0n| ≤L za∀n. Naj boR veˇcji od obeh, M in L, npr. R =M+L. Dobimo
|(sn·tn)−(s0n·t0n)| ≤ |tn| · |sn−s0n|+|s0n| · |tn−t0n|
≤ R(|sn−s0n|+|tn−t0n|)
Ker |sn − s0n| → 0 in |tn − t0n| → 0, tudi |(sn · tn) − (s0n · t0n)| → 0, torej (sn·tn)∼(s0n·t0n).
Pogledali si bomo ˇse, kako sta v zaporedjih definirani 0 in 1 ter kaj je nasprotni in inverzni element. Ekvivalenˇcni razred Cauchyjevega zaporedja (1) = 1,1,1,1, . . . nam vFb predstavlja element 1. Podobno nam ekvivalenˇcni razred zaporedja (0) = 0,0,0,0, . . . predstavlja 0.
Nasprotni element ekvivalenˇcnega razreda Cauchyjevega zaporedja (an) predstavlja ekvivalenˇcni razred zaporedja (−an). Pri inverznem elementu pa moramo biti malo bolj pazljivi. Naj bo (an) Cauchyjevo zaporedje, ki predstavlja neniˇcelni element v bF. Torej obstaja n0, da za n ≥ n0 velja an 6= 0 in lahko zapiˇsemo zaporedje 1/an0,1/an0+1,1/an0+2, . . .To zaporedje je Cauchyjevo, in njegov ekvivalenˇcni razred predstavlja inverzni element ekvivalenˇcnega razreda zaporedja (an). Seveda moramo povsod preveriti, da gre za dobro definiranost na nivoju ekvivalenˇcnih razredov.
Bralec si lahko to prebere v [9].
Opomba 3.18. Za racionalna ˇstevila Q veljajo aksiomi za seˇstevanje, mnoˇzenje ter aksiomi urejenosti, ki se prenesejo tudi na realna ˇstevila R. Za realna ˇstevilaR tako velja vseh 15 lastnosti oziroma aksiomov, ki veljajo za polje (linearno urejen
14
komutativni obseg)[8]. Ker pa ti aksiomi veljajo tako za racionalna ˇstevila Q, ki so linearno urejen komutativni obseg, kot za realna ˇstevila R, slednjih na podlagi teh lastnosti ne moremo loˇciti od racionalnih ˇstevilQ. Torej morajo imeti realna ˇstevila Rˇse kakˇsno lastnost, ki je racionalna ˇstevila Q nimajo. Aksiom, ki velja samo za realna ˇstevilaR, za racionalna ˇstevila Q pa ne, je Dedekindov aksiom, ki pravi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena mnoˇzica natanˇcno zgornjo mejo. Izkaˇze se, da je ta aksiom dovolj za vpeljavo realnih ˇstevilR in je pravzaprav v tem primeru ekvivalenten polnosti.
Lahko bi dokazali, da ekvivalenˇcni razredi Q-Cauchyjevih zaporedij v (Q,| |∞) iz- polnjujejo vse zgoraj omenjene aksiome, ki veljajo za komutativni obseg, aksiome urejenosti in tudi Dedekindov aksiom, a bomo dokaze izpustili. Urejenost na Q- Cauchyjevih zaporedjih definiramo s predpisom: [sn] [tn] natanko tedaj, ko ob- staja tak n0, da velja sn ≥ tn za vsak n ≥ n0. Ker za realna ˇstevila R velja vse pravkar naˇsteto, pomeni, da je definicija realnih ˇstevilRs pomoˇcjoQ−Cauchyjevih zaporedij oziroma preko metriˇcne napolnitve racionalnih ˇstevilQ dobra.
3.4. Vpeljava p-adiˇcnih ˇstevil Qp
Kot smo ˇze omenili, metriˇcna prostora (Q,| |∞) in (Q,| |p) nista polna metriˇcna prostora. Napolnitev metriˇcnega prostora (Q,| |∞) so realna ˇstevila R, napolnitev metriˇcnega prostora racionalnih ˇstevil Q s p-adiˇcno metriko pa so tako imenovana p-adiˇcna ˇstevilaQp, ki jih bomo spoznali v nadaljevanju.
Realna ˇstevila R lahko vpeljemo z metriˇcno napolnitvijo racionalnih ˇstevil Q, pri ˇcemer polje Q opremimo z obiˇcajno absolutno vrednostjo| |∞. Podobno bomo vpeljali tudip-adiˇcna ˇstevilaQp, pri ˇcemer se bomo naslonili na [7]. V tem primeru bomo polje Q opremili s p-adiˇcno normo | |p.
Definicija 3.19. Naj bo p praˇstevilo. p-adiˇcna ˇstevila Qp so polno normirano polje, ki ga dobimo z metriˇcno napolnitvijo normiranega polja (Q,| |p).
Napolnitev metriˇcnega prostora racionalnih ˇstevil Qpri p-adiˇcni metriki je torej metriˇcni prostor p-adiˇcnih ˇstevil, ki ga dobimo kot mnoˇzico ekvivalenˇcnih razredov Cauchyjevih zaporedij:
Qp ={S⊂Cp :∃(sn)∈Cp, tako daS ={(tn)∈Cp : (tn)∼(sn)}}.
Tako kot v realnih ˇstevilih R, je tudi v metriˇcnem prostoru p-adiˇcnih ˇstevil Qp
seˇstevanje definirano kot
[sn] + [tn] = [sn+tn], mnoˇzenje pa kot
[sn]·[tn] = [sn·tn].
Kot smo ˇze zapisali v prejˇsnjem razdelku, se vsi aksiomi polja, ki veljajo za racionalna ˇstevilaQ, prenesejo nap-adiˇcna ˇstevila. Aksiomi urejenosti, ki se iz raci- onalnih ˇstevilQ prenesejo na realna ˇstevilaR, pa za p-adiˇcna ˇstevila Qp ne veljajo.
Znano je, da p-adiˇcna ˇstevila niso linearno urejeno polje. Poslediˇcno v metriˇcnem prostoru p-adiˇcnih ˇstevil Qp ne moremo govoriti o Dedekindovem aksiomu, ki velja za realna ˇstevila R, namesto tega pa imamo seveda polnost.
Racionalna ˇstevila Q se, enako kot pri realnih ˇstevilih R, vloˇzijo v mnoˇzico Qp. Vsako ˇstevilo x ∈ Q lahko namreˇc zapiˇsemo kot (x) ∈ Cp (konstantno Cauchyjevo
15
zaporedje) in dobimo ustrezno vloˇzitev Q ,→ Qp. Preostane nam le ˇse to, da p- adiˇcno absolutno vrednost | · |p razˇsirimo v mnoˇzico p-adiˇcnih ˇstevil Qp. Kako to storimo, smo ˇze videli.
Zaporedje{an}∞n=1 racionalnih ˇstevilihQ, opremljenih sp-adiˇcno absolutno vred- nostjo | |p, je Cauchyjevo, ˇce za vsakε >0 obstaja tak n0 ∈N, da je |an−am|p < ε za vsakam, n≥n0. V primerup-adiˇcne norme, oziroma vsake nearhimedske norme, je Cauchyjev pogoj ˇse bolj preprost.
Lema 3.20. Zaporedje (an) racionalnih ˇstevil je Cauchyjevo z upoˇstevanjem ne- arhimedske absolutne vrednosti| · |, ˇce in samo ˇce velja
limn→∞|xn+1−xn|= 0.
Dokaz. Ceˇ m=n+r > n, dobimo
|xm−xn| = |xn+r−xn+r−1 +xn+r−1−xn+r−2+· · ·+xn+1−xn|
≤ max{|xn+r−xn+r−1|,|xn+r−1−xn+r−2|, . . . ,|xn+1−xn|}, saj je absolutna vrednost nearhimedska. Rezultat takoj sledi. ([5])
3.5. Zapis p-adiˇcnih ˇstevil
V tem razdelku si bomo pogledali, kako lahko na podoben naˇcin kot zapisujemo realna ˇstevilaR, zapiˇsemo tudi p-adiˇcna ˇstevila Qp. Povzemali smo po [1] in [4].
Poglejmo si najprej, kako je definirana podmnoˇzicap-adiˇcnih celih ˇstevil mnoˇzice p-adiˇcnih ˇstevilQp ter ˇse nekaj lastnosti, ki veljajo za p-adiˇcna (cela) ˇstevila.
Definicija 3.21. Mnoˇzico celih p-adiˇcnih ˇstevil oznaˇcimo z Zp, definiramo pa jo kot
Zp ={x∈Qp : |x|p ≤1}.
Navedli bomo najprej naslednjo lemo.
Lema 3.22. Naj boFpolje z nearhimedsko normo| |. Predpostavimo, da je (an) Cauchyjevo zaporedje in da za b∈R velja
b6= lim
n→∞an. Potem obstaja tak M, da za∀m, n > M velja
|am−b|=|an−b|,
torej postane zaporedje realnih ˇstevil (|an−b|) sˇcasoma konstantno. ˇCe zaporedje (an) ni niˇcelno, potem zaporedje (|an|) postane sˇcasoma konstantno.
Dokaz. Zapomniti si moramo, da ||am−b| − |an−b||∞ ≤ |am−an|, torej je (|an−b|) Cauchyjevo v R. Naj bo l = limn→∞|an−b|, kjer je l >0. Torej obstaja M1, tako da n > M1 implicira
|an−b|> l 2. Obstaja tudi M2 tako da m, n > M2 implicira
|am−an|< l 2,
16
ker je (an) Cauchyjevo. Sedaj doloˇcimo M = max{M1, M2} in upoˇstevamom, n >
M. Potem
|am−b| = |(an−b) + (am−an)|
= max{|an−b|,|am−an|}
= |an−b|,
ker |an−b|> 2l in |am−an|< 2l.
Trditev 3.23. Vsak x ∈ Zp je limita zaporedja nenegativnih celih ˇstevil in obratno, vsako Cauchyjevo zaporedje iz Q, katerega ˇcleni so cela ˇstevila, ima limito v Zp.
Dokaz. Naj bosta α, β ∈Zp. Potem velja
|α+β|p ≤max{|α|p,|β|p} ≤1
in zato α +β ∈ Zp. Podobno je αβ ∈ Zp po toˇcki (d) iz definicije o absolutni vrednosti.
Iz definicije o p-adiˇcnih ˇstevilih Qp vemo, da ˇce je α ∈ Zp, lahko zapiˇsemo α = {an}, kjer je an ∈ Q in je (an) Cauchyjevo zaporedje. Po Lemi 3.22. vemo, da ˇce je n > M za nek M, potem je |an|p = c za neko konstanto c ∈ Q. Potem je
|α|p =c in torej c≤ 1. Brez ˇskode za sploˇsnost lahko privzamemo, da je |an|p ≤ 1 za∀n. Zapiˇsimo sedaj an = rsn
n, kjer rn, sn ∈Z in rn, sn 6= 0. Predpostavimo lahko sn 6≡p 0, saj je redprn −redpsn ≥ 0. To pa pomeni, da lahko za vsak m reˇsimo enaˇcbo snx ≡pm 1 v Z. Naj torej unm ∈ Z zadoˇsˇca snunm ≡pm 1. Predpostavimo lahko tudi, da 1≤unm ≤pm−1. Torej za vsak m velja
|snunm−1|p ≤ 1 pm in
rn
sn −rnunm p
=
rn(1−snunm) sn
p
≤ 1 pm. Za vsakm obstaja km, da velja
|α−akm|p < 1 pm, zato
|α−rkmukm(m+1)|p = |(α−akm) + (akm−rkmukm(m+1))|p
≤ max{|α−akm|p,|akm −rkmukm(m+1)|p}
< 1 pm. Ker je
lim(p)n→∞(α−rknukn(n+1)) = 0,
je α limita nenegativnih celih ˇstevil, kot smo zahtevali.
Trditev 3.24. Za dan x ∈Zp obstaja celo ˇstevilo y ∈ [0, pn−1], tako da velja
|x−y|p ≤p−n za ∀n ∈Z.
17
Dokaz. Naj bo x∈Zp. V prejˇsnji lemi smo pokazali, da za vsakn obstaja tako celo ˇstevilo αn, da velja
|x−αn|p ≤ 1 pn.
Pokazati moramo le ˇse, da lahko izberemo 0≤αn ≤pn−1. Naj bo 0≤α0n≤pn−1 tak, da je α0n≡αn po modulupn. Potem je
|x−α0n|p =|x−αn+αn−α0n+|p ≤ 1 pn.
Izrek 3.25. Naj bo x ∈ Zp. Poiˇsˇcemo lahko enoliˇcno predstavitev x s Cauchy- jevim zaporedjem celih ˇstevil (xn), ki zadoˇsˇca naslednjima pogojema:
(1) 0≤xn≤pn−1, za n = 1,2, . . . (2) xn+1 ≡xn(modpn) za n = 1,2, . . . .
Dokaz. Najprej pokaˇzimo, da mora biti vsako tako zaporedje enoliˇcno doloˇceno.
Predpostavimo nasprotno. Potem obstajata dve razliˇcni Cauchyjevi zaporedji {ai} in {bi}, ki zadoˇsˇcata zgornjim pogojem. Torej obstaja tak j, da je aj 6=bj in tudi aj 6≡bj(mod pj), ker sta oba aj in bj manjˇsa od pj. Za dan k ≥j po drugi lastnosti velja
ak≡aj 6≡bj ≡bk(modpj).
Potem je
n→∞lim an 6= lim
n→∞bn in
|an−bn|p > pj, ∀n ∈N.
Zato zaporedje {an} ne more biti ekvivalentno zaporedju {bn}.
Pokaˇzimo ˇse obstoj zaporedja. Iz Trditve 3.24 obstaja zaporedje celih ˇstevil {xn}, za katerega velja lastnost (1), in
|xn−x|p ≤ 1 pn. Ker je
|xn+1−xn|p =|xn+1−x+x−xn|p ≤max{|xn+1−x|p,|x−xn|p} ≤ 1 pn, je
xn+1 ≡xn(modpn).
Kot posledico dobimo naslednjo predstavitev p-adiˇcnih ˇstevil
Izrek 3.26. Vsako p-adiˇcno ˇstevilo α ∈Qp ima enoliˇcno p-adiˇcno razˇsiritev α=α−rp−r+α1−rp1−r+α2−rp2−r+· · ·+α−1p−1+α0+α1p+α2p2+· · · kjer je αn∈Z in 0≤αn≤(p−1). Poleg tega velja α∈Zp, ˇce in samo ˇce α−r = 0, ko je r >0.
18
