Primerjava med realno in p-adiˇ cno analizo MAGISTRSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

DRUGOSTOPENJSKI MAGISTRSKI ˇSTUDIJSKI PROGRAM POU ˇCEVANJE

SMER: PREDMETNO POU ˇCEVANJE

Ida Femc

Primerjava med realno in p-adiˇ cno analizo MAGISTRSKO DELO

Ljubljana, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

DRUGOSTOPENJSKI MAGISTRSKI ˇSTUDIJSKI PROGRAM POU ˇCEVANJE

SMER: PREDMETNO POU ˇCEVANJE

Ida Femc

Mentor: izr. prof. dr. Marko Slapar

Primerjava med realno in p-adiˇ cno analizo MAGISTRSKO DELO

Ljubljana, 2016

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju dr. Marku Slaparju za predloge, popravke in strokovno vodenje.

Zahvala gre tudi starˇsem, ki so mi omogoˇcili ˇstudij, me podpirali, spodbujali, verjeli vame in si vzeli ˇcas, ko sem jih potrebovala.

Iskrena hvala Karin, ki me je potrpeˇzljivo ˇcakala in mi vlivala moˇc, da sem vztrajala. Hvala Andreju za razumevanje.

Zahvaljujem se tudi Eriki za slovniˇcni pregled, Zali za vse nasvete in prijateljsko pomoˇc na daljavo ter Urˇski za spodbudne besede in misli.

Povzetek

Racionalna ˇstevilaQlahko pri upoˇstevanju obiˇcajne absolutne vrednosti| |_∞razˇsirimo do realnih ˇstevilR. ˇCe namesto obiˇcajne absolutne vrednosti upoˇstevamo p-adiˇcno absolutno vrednost | |_p, lahko racionalna ˇstevila Q razˇsirimo do p-adiˇcnih ˇstevil, ki jih oznaˇcimo sQp. Magistrsko delo je nadaljevanje diplomskega dela z naslovom p- adiˇcne norme in p-adiˇcna ˇstevila. V njem smo predstavili absolutne vrednosti, ki jih lahko sreˇcamo na racionalnih ˇstevilihQ, dokazali smo izrek Ostrowskega, vpeljali p-adiˇcna ˇstevilaQp in nekaj besed namenili zapisu p-adiˇcnih ˇstevil. V magistrskem delu pa se posvetimo primerjanju realnih in p-adiˇcnih ˇstevil. Najprej primerjamo zapisp-adiˇcnih in realnih ˇstevil ter ugotovimo, da je zapis p-adiˇcnih ˇstevil analogen decimalnemu zapisu realnih ˇstevil, le da pri realnih ˇstevilih ta ni nujno enoliˇcen tako kot pri p-adiˇcnih. Nato primerjamo topologijo realnih ˇstevil R in topologijo p-adiˇcnih ˇstevil Q^p ter podamo povezavo med Cantorjevo mnoˇzico ter p-adiˇcnimi ˇstevili. V nadaljevanju pa predstavimo primerjavo med realno in p-adiˇcno analizo, saj sop-adiˇcna ˇstevilaQp(tako kot realna ˇstevilaR) polno normirano polje, v katerih lahko obravnavamo podobne analitiˇcne probleme kot v realnih ˇstevilihR. Na koncu pogledamo, kako je v p-adiˇcnih ˇstevilih z aritmetiˇcnimi operacijami, posvetimo se zaporedjem in vrstam ter preuˇcimo logaritemsko in eksponentno funkcijo.

Kljuˇcne besede: realna ˇstevila,p-adiˇcna ˇstevila, zapisp-adiˇcnih ˇstevil, zaporedja, vrste, potenˇcne vrste

Abstract

When considering the usual absolute value| |, rational numbersQ can be extended to real numbers R. If we were to take any p-adic absolute value | |_p on rational numbers Q instead of the usual absolute value | |, we can extend rational number top-adic numbers Qp. This master’s thesis is an expansion of the undergrad thesis titled p-adic norms and p-adic numbers. In my diploma thesis absolute values on rational numbers Q were introduced, Ostrowski’s theorem was proven, p-adic numbers Qp were constructed and their representation was briefly discussed. This master’s thesis focuses on comparing real numbers R with p-adic numbers Qp. De- cimal representations ofp-adic and real numbers are compared. It can be seen that the representation of p-adic numbers is analogue to the representation of decimal real numbers, althoughp-adic numbers have unique representations while represen- tations of real numbers are sometimes not unique. Topology of real numbers Rand p-adic numbers Qp is compared and the connection between Cantor’s set andp-adic numbers is described. Afterwards, a comparison between the real and the p-adic analysis is made. p-adic numbers (same as real numbers) are a complete normed field in which similar analytical problems can be solved as in real numbers R. We finish the thesis with discussions about arithmetic operations in p-adic numbers, sequences, series, logarithmic and exponential functions.

Keywords: real numbers, p-adic numbers, p-adic expansion, sequences, series, po- wer series

Kazalo

Poglavje 1. Uvod 1

Poglavje 2. Osnove 3

2.1. Definicija absolutne vrednosti 3

2.2. p-adiˇcna absolutna vrednost 4

2.3. Izrek Ostrowskega 5

Poglavje 3. p-adiˇcna ˇstevila 9

3.1. Vpeljava p-adiˇcnih ˇstevil Qp 9

3.2. Primerjava med zapisom realnih ˇstevil Rin zapisomp-adiˇcnih ˇstevil Qp 10 Poglavje 4. Primerjava med topologijo realnih ˇstevil R in topologijop-adiˇcnih

ˇstevil Q^p 19

4.1. Osnovni pojmi 19

4.2. Geometrija pri ultrametriˇcni absolutni vrednosti 20

4.3. Krogle in sfere 22

4.4. Stevnost, kompaktnost, polnost, gostost, povezanostˇ 24

4.5. Cantorjeva mnoˇzica 30

Poglavje 5. Primerjava med realno in p-adiˇcno analizo 35

5.1. Aritmetiˇcne operacije 35

5.2. Zaporedja in vrste 41

5.3. Potenˇcne vrste 46

5.4. Logaritem in eksponentna funkcija 53

Poglavje 6. Sklep 59

Literatura 61

POGLAVJE 1

Uvod

Magistrsko delo je nadaljevanje diplomskega dela z naslovom p-adiˇcne norme in p-adiˇcna ˇstevila. V prvem delu magistrskega dela tako predstavimo osnove, ki smo jih podrobno obravnavali ˇze v diplomskem delu. Omenimo absolutne vrednosti, ki jih lahko sreˇcamo na racionalnih ˇstevilihQ, dokaˇzemo izrek Ostrowskega, ki pravi, da je netrivialna absolutna vrednost naQ ekvivalentna bodisi obiˇcajni bodisi p-adiˇcni absolutni vrednosti za neko praˇstevilop, ugotovimo pa tudi, da lahko pri upoˇstevanju p-adiˇcne absolutne vrednosti racionalna ˇstevila Q razˇsirimo dop-adiˇcnih ˇstevil Qp.

V nadaljevanju pa vsebino diplomskega dela nadgradimo. Tema, ki je zajeta v tem magistrskem delu, sodi na podroˇcje analize, topologije in nekoliko tudi na podroˇcje algebre. V tretjem poglavju najprej ponovimo vpeljavo p-adiˇcnih ˇstevil, nato pa primerjamo zapis realnih ˇstevil R in zapis p-adiˇcnih ˇstevil Q^p. Ugotovimo, da je zapis p-adiˇcnih ˇstevilQ^p analogen decimalnemu zapisu realnih ˇstevilR, le da je pri p-adiˇcnih ˇstevilih zapis enoliˇcen, pri realnih pa ne nujno. Vemo namreˇc, da je npr. 0,9999... = 1,0000... = 1. Nato se v ˇcetrtem poglavju posvetimo primer- javi topologij realnih inp-adiˇcnih ˇstevil. Tu ugotovimo, da med njima obstaja kar nekaj podobnosti, a tudi nekaj zanimivih razlik. Ena od njih je ta, da so odprte krogle v p-adiˇcnih ˇstevilih Qp odprte in zaprte hkrati. Predstavimo tudi Cantor- jevo mnoˇzico in njeno povezavo s p-adiˇcnimi ˇstevili. Ugotovimo namreˇc, da sta mnoˇzici Z2 z 2-adiˇcno normo| |₂ in Cantorjeva mnoˇzica z Evklidsko absolutno vre- dnostjo | | homeomorfni in da sta homeomorfni tudi Z2 in Zp. V petem poglavju pa se osredotoˇcimo na primerjanje realne in p-adiˇcne analize. p-adiˇcna ˇstevila Qp

so (tako kot realna ˇstevila R) polno normirano polje, v njih lahko obravnavamo podobne analitiˇcne probleme kot v realnih ˇstevilih R. Najprej si pogledamo kako je v p-adiˇcnih ˇstevilih z operacijami seˇstevanja, odˇstevanja, mnoˇzenja in deljenja.

p-adiˇcna razˇsiritev omogoˇca podobno predstavitev aritmetiˇcnih operacij v Q^p kot v R in tudi algoritmi za seˇstevanje, odˇstevanje, mnoˇzenje in deljenje obiˇcajno (ˇce so ˇstevila zapisana v obliki vsote) potekajo z leve proti desni. Nato se posvetimo ˇse zaporedjem in vrstam, predvsem potenˇcnim, ki so temelj za nadaljnjo p-adiˇcno analizo. Preuˇcimo pa tudi logaritemsko in eksponentno funkcijo ter nekaj besed namenimo odvodu.

POGLAVJE 2

Osnove

Racionalna ˇstevila Q vpeljemo tako, da definiramo kvocientno mnoˇzico parov celih ˇstevil (a, b), oz. tako, da definiramo ulomke ^a_b, kjer b 6= 0. Ulomka ^a_b ter _d^c predstavljata isto ˇstevilo, ˇce velja ad=bc.

Na racionalnih ˇstevilihQlahko sreˇcamo razliˇcne absolutne vrednosti, ki jih bomo predstavili v nadaljevanju tega poglavja.

2.1. Definicija absolutne vrednosti

Glavni pomen absolutne vrednosti je, da nam zagotavlja velikost, z drugimi besedami, absolutno vrednost lahko uporabimo za merjenje razdalje med ˇstevili, kar pomeni, da nekemu polju doloˇcimo metriko.

Na polju racionalnih ˇstevil definiramo obiˇcajno absolutno vrednost | | z

|x|=

x ; x≥0

−x ; x <0 .

Pravila, ki veljajo za obiˇcajno absolutno vrednost na Q, lahko zdruˇzimo v definicijo absolutne vrednosti na poljubnem poljuF.

Definicija 2.1. Realno funkcijo | |:F−→Rimenujemo absolutna vrednost, ˇce ima naslednje lastnosti:

(a) nenegativnost: |a| ≥0 za∀a∈F, (b) neizrojenost: |a|= 0 ⇐⇒ a = 0,

(c) trikotniˇska neenakost: |a+b| ≤ |a|+|b| za∀a, b∈F, (d) multiplikativnost: |a·b|=|a||b| za∀a, b∈F.

Ce lahko na poljuˇ F z absolutno vrednostjo | | pogoj (c) iz definicije 2.1 nado- mestimo s pogojem

|a+b| ≤max{|a|,|b|} za∀a, b∈F, (1) je absolutna vrednostultrametriˇcna.

Absolutni vrednosti| |na poljuFpravimoarhimedska, ˇce zanjo velja arhimedska lastnost, to je, da za danax, y ∈F,kjerx6= 0, obstaja pozitivno celo ˇstevilon, tako da velja |nx| > |y|. Za absolutno vrednost, ki ne izpolnjuje arhimedske lastnosti, pravimo, da jenearhimedska.

Poglejmo si obiˇcajno absolutno vrednost na polju Q. ˇCe vzamemo x = y = 1, ugotovimo, da obiˇcajna absolutna vrednost z navedenimi podatki ne zadoˇsˇca pogoju (1). To pa pomeni, da obiˇcajna absolutna vrednost na Q ni ultrametriˇcna. Tako definirana absolutna vrednost pa zadoˇsˇca arhimedski lastnosti, torej je arhimedska.

Obiˇcajno absolutno vrednost imenujemo tudi neskonˇcna absolutna vrednost na Q in jo oznaˇcimo z | |∞.

Zelo znana je tudi trivialna absolutna vrednost. Definiramo jo lahko na katerem koli polju F, in sicer s predpisom

|x|=

1 ; x6= 0 0 ; x= 0 .

Ugotovimo lahko, da tako definirana absolutna vrednost ne izpolnjuje arhimedske lastnosti, kar pomeni, da je trivialna absolutna vrednost nearhimedska, in kot bomo videli v nadaljevanju, tudi ultrametriˇcna [9].

2.2. p-adiˇcna absolutna vrednost

Definicije in trditve v tem razdelku so v veˇcini povzete po [5], [9] in [10].

Definicija 2.2. Naj bon∈Zcelo ˇstevilo inp∈Zpraˇstevilo. Z red_pnoznaˇcimo najviˇsjo potenco ˇstevila p, ki deli n. Velja torej

red_pn =k ⇐⇒ (p^k|n in p^k+1 6 |n).

Opazimo tudi, da veljak ≥0. ˇStevilo n lahko sedaj zapiˇsemo kot n =p^redpnn⁰, kjerp6 |n⁰.

Racionalno ˇstevilo x∈Qzapiˇsemo kot ulomek ^a_b, kjer b6= 0, in definiramo red_px= red_pa

b

= red_pa−red_pb.

Opazimo, da za vsakx∈Qvrednost red_pxni odvisna od tega, kako x predstavimo z ulomkom. Z drugimi besedami, ˇce velja ^a_b = _d^c, potem velja

red_p(a)−red_p(b) = red_p(c)−red_p(d).

Posebej definiramo ˇse red_p0 = +∞. Razlog za to je, da lahko zagotovo 0 delimo s p, rezultat je 0. To lahko spet delimo s pin spet dobimo rezultat 0 itd.

Za red_p veljajo naslednje lastnosti:

Trditev 2.3. Za ∀x, y ∈Q velja:

i) red_p(xy) =red_px+red_py,

ii) red_p(x+y)≥min{red_p(x),red_p(y)}, pri ˇcemer enakost velja, ˇce red_p(x)6=red_p(y),

upoˇstevati pa moramo tudi dogovor, da red_p(0) = +∞.

Preslikavo | |_p :Q−→R definiramo s predpisom

|x|_p =

p^−redpx ; x 6= 0 p^−∞= 0 ; x = 0 .

Absolutno vrednost| |_p imenujemop-adiˇcna absolutna vrednost alip-adiˇcna norma.

Opomba 2.4. Naj bostap₁ inp₂ praˇstevili. Normi| |_p1 in| |_p2 nista ekvivalentni, ˇce stap₁ in p₂ razliˇcni praˇstevili [10].

Za naslednjo trditev, ki je tu ne bomo dokazali, naj velja, da je p praˇstevilo.

Bralec si lahko dokaz trditve prebere v [10] in v [5].

Trditev 2.5. Naj bo p praˇstevilo. p-adiˇcna absolutna vrednost | |_p je nearhi- medska in ultrametriˇcna absolutna vrednost na polju racionalnih ˇstevil Q.

4

Na tem mestu bomo omenili ˇse p-adiˇcno metriko. Na poljubnem poljuFz normo

| |lahko definiramo metrikod:F×F→Rs predpisomd(a, b) = |a−b|. V standardni normi nam metrika poda obiˇcajno razdaljo med racionalnima ˇsteviloma a, b ∈ Q. p-adiˇcna metrikad(a, b) =|a−b|_p pa nam pove, da sta si dve ˇstevilia inb blizu, ˇce je njuna razlika deljiva z veliko potencop-ja. Tako je denimo 5-adiˇcna razdalja med ˇsteviloma 5 in 1 veˇcja kot med ˇsteviloma 30 in 5:

d(5,1) =|5−1|₅ =|4|₅ = 5^−red54 = 5⁰ = 1, d(30,5) = |30−5|₅ =|25|₅ = 5^−red525 = 5⁻² = 1

25. 2.3. Izrek Ostrowskega

Izrek Ostrowskega karakterizira absolutne vrednosti na polju racionalnih ˇstevil Qdo ekvivalence natanˇcno in je glavni razlog, da o obiˇcajni absolutni vrednosti| |∞

razmiˇsljamo kot o neki vrsti praˇstevila na Q. Preden izrek Ostrowskega navedemo, si poglejmo ˇse naslednji izrek.

Izrek 2.6. Absolutna vrednost | | na Q je ultrametriˇcna, ˇce in samo ˇce |n| ≤ 1 za vsak n∈Z.

Dokaz izreka bomo izpustili, bralec pa ga lahko prebere v [5]. Posledica pravkar navedenega izreka pa je naslednja trditev in tudi njen dokaz najdemo v [5].

Trditev 2.7. Absolutna vrednost | | na Q je ultrametriˇcna natanko tedaj, ko je nearhimedska.

Izrek 2.8 (Ostrowski). Netrivialna absolutna vrednost na Q je ekvivalentna bo- disi obiˇcajni bodisi p-adiˇcni absolutni vrednosti za neko praˇstevilo p.

Dokaz. Dokaz razdelimo na dva dela. V prvem delu predpostavimo, da je absolutna vrednost| | arhimedska, v drugem pa, da je nearhimedska.

(1) Naj bo torej | | arhimedska. V tem primeru ˇzelimo pokazati, da je | | ekvivalentna obiˇcajni, to je ∞-adiˇcni absolutni vrednosti. Z n₀ oznaˇcimo najmanjˇse pozitivno celo ˇstevilo, za katerega velja |n₀| > 1. Tako ˇstevilo gotovo obstaja, saj bi bila v nasprotnem primeru | | nearhimedska. Sedaj lahko poiˇsˇcemo tako pozitivno realno ˇstevilo α, da velja

|n₀|=n^α₀.

Dokazati ˇzelimo, da za vsak x∈ Q velja |x|=|x|^α_∞. Pokazati moramo, da to velja za pozitivna cela ˇstevila, torej da velja |n|=n^α za vsako pozitivno celo ˇstevilo n. Iz tega bo glede na poznane lastnosti absolutnih vrednosti sledilo |x|=|x|^α_∞.

Enakost velja zan=n₀. To dokaˇzemo z naslednjimtrikom. Izberemo poljubno celo ˇstevilo n in ga zapiˇsemo v bazi n₀ oz. v obliki

n =a₀ +a₁n₀+a₂n²₀ +· · ·+a_kn^k₀

ter upoˇstevamo, da je 0≤ai ≤n0−1 inak 6= 0. k je doloˇcen z neenakostjo n^k₀ ≤n < n^k+1₀ , kar pomeni, da je

k=

logn logn₀

.

Sedaj vzemimo ˇse absolutno vrednost. Dobimo

|n| = |a₀+a₁n₀+a₂n²₀+· · ·+a_kn^k₀|

≤ |a₀|+|a₁|n^α₀ +|a₂|n^2α₀ +· · ·+|a_k|n^kα₀ ,

saj smo upoˇstevali trikotniˇsko neenakost in da velja |n₀| = n^α₀. Ker je n₀ najmanjˇse celo ˇstevilo in je njegova absolutna vrednost veˇcja kot 1, je

|a_i| ≤1 in je zato|a₁|n^α₀+|a₂|n^2α₀ +· · ·+|a_k|n^kα₀ najveˇcn^α₀+n^2α₀ +· · ·+n^kα₀ . Tako dobimo

|n| ≤ 1 +n^α₀ +n^2α₀ +· · ·+n^kα₀

= n^kα₀ (1 +n^−α₀ +n^−2α₀ +· · ·+n^−kα₀ )

≤ n^kα₀

∞

X

i=0

n^−iα₀

= n^kα₀ n^α₀ n^α₀ −1. Doloˇcimo C= _nα^nα0

0−1 (ki je, vemo, pozitivno ˇstevilo). Potem lahko zapiˇsemo

|n| ≤Cn^kα₀ ≤Cn^α, saj jen^k₀ ≤n < n^k+1₀ .

Ta formula velja za vsak n, saj je bil n, ki smo ga izbrali, poljuben. Pri celem ˇstevilu oblike n^N dobimo

|n^N| ≤Cn^{N α}. Z uporabo N-tega korena pa dobimo

|n| ≤ √^N Cn^α. Ce greˇ N → ∞, gre ^N√

C →1 in tako dobimo neenakost|n| ≤n^α. Sedaj moramo dokazati neenakost ˇse v drugo smer. Vzemimo spet

n=a₀+a₁n₀+a₂n²₀+· · ·+a_kn^k₀. Ker je n^k+1₀ > n≥n^k₀, dobimo

n^(k+1)α₀ =|n^k+1₀ |=|n+n^k+1₀ −n| ≤ |n|+|n^k+1₀ −n|

in iz tega (z uporabo neenakosti, ki smo jo dokazali v prejˇsnjem odstavku)

|n| ≥n^(k+1)α₀ − |n^k+1₀ −n| ≥n^(k+1)α₀ −(n^k+1₀ −n)^α. Ker je n ≥n^k₀, je

|n| ≥ n^(k+1)α₀ −(n^k+1₀ −n^k₀)^α

= n^(k+1)α₀ (1−(1− 1 n₀)^α)

= C⁰n^(k+1)α₀

> C⁰n^α, kjer je C⁰ = 1−(1− _n¹

0)^α, ki ni odvisen od n in je pozitiven. Z uporabo takega trika kot prej dobimo ˇse neenakost|n| ≥n^α in tako |n|=n^α. S tem smo dokazali, da je| | ekvivalentnaobiˇcajniabsolutni vrednosti| |∞, kot smo zahtevali.

6

(2) Sedaj predpostavimo, da je | | nearhimedska. Potem za vsako celo ˇstevilo n velja |n| ≤1. Ker | | ni trivialna, mora obstajati manjˇse celo ˇstevilo n₀, da je |n₀|<1.

n₀ mora biti praˇstevilo. Predpostavimo, da je n₀ = a ·b, kjer sta a in b manjˇsa od n₀. Glede na izbiro n₀ bi imeli |a| = |b| = 1 in |n₀| < 1, kar pa ne more biti. Torej mora biti n₀ praˇstevilo, oznaˇcimo ga s p = n₀. Pokazati ˇzelimo, da je | | ekvivalentna p-adiˇcni absolutni vrednosti, kjer je p praˇstevilo.

Pokazati moramo tudi, da ˇcen ∈Zni deljivo s p, je|n|= 1. ˇCe delimo n s praˇstevilom p, bomo dobili ostanek. Zato lahko zapiˇsemo

n =rp+s,

kjer je 0< s < p. Zaradi minimalnosti praˇstevilapje|s|= 1. Ker je|r| ≤1 (saj je | | nearhimedska) in |p| < 1, je |rp| < 1. Ker je | | nearhimedska, sledi, da je |n|= 1.

Dan n∈Z zapiˇsemo kot n=p^redn⁰, kjer p6 |n⁰. Potem je

|n|=|p|^red|n⁰|=|p|^red=c^−red,

kjer je c=|p|⁻¹ >1. Torej je | | ekvivalentnap-adiˇcni absolutni vrednosti, kot smo zahtevali [9].

Bistvo izreka Ostrowskega je torej v tem, da lahko vsako absolutno vrednost na Q razumemo kot p-adiˇcno absolutno vrednost | |_p, kjer je p konˇcno ali neskonˇcno praˇstevilo, torejp≤ ∞.

POGLAVJE 3

p-adiˇ cna ˇ stevila

3.1. Vpeljava p-adiˇcnih ˇstevil Q^p

Na racionalnih ˇstevilih Q poznamo tri razliˇcne absolutne vrednosti, in sicer obiˇcajno ali neskonˇcno absolutno vrednost, trivialno absolutno vrednost inp-adiˇcno absolutno vrednost. Metriˇcni prostor (Q,| |0) s trivialno metriko| |0 je poln metriˇcni prostor, saj je zaporedje v njem Cauchyjevo natanko tedaj, ko je od nekega ˇclena dalje konstantno. Metriˇcna prostora (Q,| |_∞) in (Q,| |_p) z obiˇcajno metriko| |_∞ozi- roma sp-adiˇcno metriko| |_p pa nista polna metriˇcna prostora [15, 18]. Izkaˇze se, da je napolnitev metriˇcnega prostora racionalnih ˇstevilQ pri obiˇcajni metriki metriˇcni prostor realnih ˇstevil R z obiˇcajno metriko, napolnitev metriˇcnega prostora racio- nalnih ˇstevil Q pri p-adiˇcni metriki pa je tako imenovan metriˇcni prostor p-adiˇcnih ˇstevil, ki ga oznaˇcimo s Qp.

Realna ˇstevila R lahko vpeljemo z metriˇcno napolnitvijo racionalnih ˇstevil Q, pri ˇcemer polje Q opremimo z obiˇcajno absolutno vrednostjo| |∞. Podobno bomo vpeljali tudi p-adiˇcna ˇstevila Qp. V tem primeru bomo polje racionalnih ˇstevil Q opremili s p-adiˇcno normo | |_p.

Definicija 3.1. Naj bo p praˇstevilo. p-adiˇcna ˇstevila Q^p so polno normirano polje, ki ga dobimo z metriˇcno napolnitvijo normiranega polja (Q,| |p).

Napolnitev metriˇcnega prostora racionalnih ˇstevil Qpri p-adiˇcni metriki je torej metriˇcni prostor p-adiˇcnih ˇstevil, ki ga dobimo kot mnoˇzico ekvivalenˇcnih razredov Cauchyjevih zaporedij:

Q^p ={S⊂Cp :∃(sn)∈Cp, tako daS ={(tn)∈Cp : (tn)∼(sn)}}.

Tako kot v realnih ˇstevilih R je tudi v metriˇcnem prostoru p-adiˇcnih ˇstevil Qp

seˇstevanje definirano kot

[sn] + [tn] = [sn+tn], mnoˇzenje pa kot

[s_n]·[t_n] = [s_n·t_n].

Vsi aksiomi polja, ki veljajo za racionalna ˇstevila Q, se prenesejo na p-adiˇcna ˇstevila. Aksiomi urejenosti, ki se iz racionalnih ˇstevil Q prenesejo na realna ˇstevila R, pa za p-adiˇcna ˇstevilaQ^p ne veljajo. Znano je, da p-adiˇcna ˇstevila niso linearno urejeno polje. Poslediˇcno v metriˇcnem prostoru p-adiˇcnih ˇstevil Q^p ne moremo govoriti o Dedekindovem aksiomu, ki velja za realna ˇstevila R, namesto tega pa imamo seveda polnost.

Racionalna ˇstevila Q se, enako kot pri realnih ˇstevilih R, vloˇzijo v mnoˇzico Qp. Vsako ˇstevilo x ∈ Q lahko namreˇc zapiˇsemo kot (x) ∈ C_p (konstantno Cauchyjevo zaporedje) in dobimo ustrezno vloˇzitevQ,→Qp. Preostane nam le ˇse to, dap-adiˇcno absolutno vrednost| |_p razˇsirimo v mnoˇzico p-adiˇcnih ˇstevil Qp.

Zaporedje{a_n}^∞_n=1 racionalnih ˇstevilihQ, opremljenih sp-adiˇcno absolutno vred- nostjo | |_p, je Cauchyjevo, ˇce za vsakε >0 obstaja tak n₀ ∈N, da je |a_n−a_m|_p < ε

za vsakam, n≥n₀. V primerup-adiˇcne norme, oziroma vsake nearhimedske norme, je Cauchyjev pogoj ˇse bolj preprost.

Lema 3.2. Zaporedje (a_n) racionalnih ˇstevil je Cauchyjevo z upoˇstevanjem ne- arhimedske absolutne vrednosti | |, ˇce in samo ˇce velja

lim_n→∞|x_n+1−x_n|= 0.

Dokaz. Ceˇ m=n+r > n, dobimo

|x_m−x_n| = |x_n+r−xn+r−1+xn+r−1−xn+r−2+· · ·+x_n+1−x_n|

≤ max{|x_n+r−xn+r−1|,|xn+r−1−xn+r−2|, ...,|x_n+1−x_n|}, saj je absolutna vrednost nearhimedska. Rezultat takoj sledi. ([9])

Naj bo sedaj a_n Cauchyjevo zaporedje racionalnih ˇstevil, ki predstavlja nek a∈ Qp. Potem je

|a|_p = limn→∞|a_n|_p. (2)

Tako je mnoˇzica vrednosti, ki jih | |_p na p-adiˇcnih ˇstevilih Qp zavzame, enaka kot mnoˇzica vrednosti, ki jih zavzame na racionalnih ˇstevilihQ, to je {pⁿ, n∈Z} ∪ {0}.

Rezultat je nekoliko presenetljiv, saj obiˇcajna, evklidska absolutna vrednost pri razˇsiritvi iz racionalnih ˇstevilQna realna ˇstevilaR zavzame vse nenegativne realne vrednosti.

3.2. Primerjava med zapisom realnih ˇstevil R in zapisom p-adiˇcnih ˇstevil Q^p

V tem razdelku si bomo pogledali, kako zapisujemo p-adiˇcna ˇstevila Qp. Naˇcin zapisovanja je podoben naˇcinu zapisovanja realnih ˇstevil R.

3.2.1. Zapis realnih ˇstevilR. Vsako realno ˇstevilo lahko zapiˇsemo kot (konˇcni ali) neskonˇcni decimalni ulomek. Naj bo za x ∈ R, x > 0 ˇstevilo a najveˇcje celo ˇstevilo, ki ne presega ˇstevila x. Tedaj je x ∈ [a, a+ 1). Ta interval razdelimo na deset delov in poiˇsˇcemo najveˇcje ˇstevilo a₁, da velja

a+ a₁ 10¹ ≤x.

Za to imamo deset moˇznosti, saj jea₁ ∈ {0,1, . . . ,9}. Nato na deset delov razdelimo dobljeni interval [a₁, a₁+ 1) in poiˇsˇcemo najveˇcje ˇstevilo a₂, da velja

a+ a1

10¹ + a2

10² ≤x.

Za to imamo spet deset moˇznosti, saj je a₂ ∈ {0,1, . . . ,9}. Tako nadaljujemo [8].

Ponavadi zapiˇsemo

x=a, a₁a₂a₃...

oziroma

x = a+ a₁ 10¹ + a₂

10² +...

= a+ a₁ 10 + a₂

100 +...

To pa lahko zapiˇsemo tudi v obliki neskonˇcne vsote x=

∞

X

k=m

a_k10^−k,

10

kjer jem neko celo ˇstevilo, koeficienti oziroma ˇstevke pa lahko zavzamejo vrednosti iz mnoˇzice {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Takˇsna predstavitev realnih ˇstevil je enoliˇcna, razen v primeru, ko je za vsek > n a_k = 0 in a_n 6= 0. V tem primeru lahko ˇstevilo x predstavimo ˇse na drug naˇcin, in sicer je a⁰_k =a_k zak < n, a⁰_n =a_n−1 in a⁰_k = 9 za vsek > n.

Opisano predstavitev realnih ˇstevil lahko posploˇsimo tudi na druge baze b, kjer je b∈Z inb ≥2. V tem primeru dobimo

x=

∞

X

k=m

a_kb^−k,

kjer ˇstevkea_k lahko zavzamejo vrednosti iz mnoˇzice {0,1, . . . , b−1} [10].

3.2.2. Zapis p-adiˇcnih celih ˇstevil Zp. Sedaj bomo razmislili ˇse o zapisu p- adiˇcnih ˇstevil. Zaˇceli bomo s podmnoˇzico p-adiˇcnih celih ˇstevil Zp, zato jih bomo najprej definirali.

Definicija 3.3. Mnoˇzico celih p-adiˇcnih ˇstevil oznaˇcimo z Zp, definiramo pa jo kot

Zp ={x∈Qp : |x|_p ≤1}.

Poglejmo si sedaj nekaj lastnosti, ki veljajo za p-adiˇcna (cela) ˇstevila.

Lema 3.4. Naj bo F polje z nearhimedsko normo | |. Predpostavimo, da je (a_n) Cauchyjevo zaporedje in da zab ∈R velja

b6= lim

n→∞a_n. Potem obstaja tak M, da za ∀m, n > M velja

|a_m−b|=|a_n−b|,

torej postane zaporedje realnih ˇstevil (|a_n −b|) sˇcasoma konstantno. ˇCe zaporedje (a_n) ni niˇcelno, potem zaporedje(|a_n|) postane sˇcasoma (pri dovolj velikem n) kon- stantno. Zato dobimo naslednjo trditev in izrek.

Trditev 3.5. Vsak x∈Z^p je limita zaporedja nenegativnih celih ˇstevil in obra- tno, vsako Cauchyjevo zaporedje iz Q, katerega ˇcleni so cela ˇstevila, ima limito v Zp.

Izrek 3.6. Naj box∈Zp. Poiˇsˇcemo lahko enoliˇcno predstavitevxs Cauchyjevim zaporedjem celih ˇstevil (xn), ki zadoˇsˇca naslednjima pogojema:

(1) 0≤x_n≤pⁿ−1, za n = 1,2, . . . (2) x_n+1 ≡x_n(modpⁿ) za n = 1,2, . . .

Dokaz trditve 3.5 najdemo v [1], dokaz izreka 3.6 pa v [6].

Naj bo sedaj x ∈ Zp, torej je |x|_p ≤ 1. p-adiˇcno ˇstevilo x je pravzaprav ekvi- valenˇcni razred Cauchyjevih zaporedij, ki k x konvergirajo. Po zgornjem izreku 3.6 lahko zapiˇsemo ˇclene zaporedja kot

x_i = d₀p⁰+d₁p¹+d₂p²+. . .+di−1pⁱ⁻¹

= d₀+d₁p+d₂p²+. . .+di−1pⁱ⁻¹,

kjer so vsi d_i cela ˇstevila iz mnoˇzice {0,1,2, . . . , p−1}. Pogoj (2) iz izreka 3.6 pa pove, da je

x_i+1 = d₀p⁰+d₁p¹+. . .+di−1pⁱ⁻¹+d_ipⁱ

= d₀+d₁p+. . .+d_i−1pⁱ⁻¹+d_ipⁱ,

kjer so vsep-adiˇcne ˇstevke odd₀ dodi−1 popolnoma enake kot pri x_i.

Celop-adiˇcno ˇsteviloxje tako predstavljeno s konvergentno (vp-adiˇcnem smislu) vrsto

x=

∞

X

n=0

dnpⁿ.

To vrsto si lahko predstavljamo kot ˇstevilo, zapisano v bazi p, kar pomeni, da je ˇstevilo x ∈ Z^p ˇstevilo, ki ima neskonˇcno mnogo p-adiˇcnih ˇstevk v levo stran [10].

Zapiˇsemo

x=. . . d_nd_n−1. . . d₂d₁d₀.

Pokaˇzimo sedaj ˇse eno lastnost p-adiˇcnih celih ˇstevil. Podobno velja tudi za omejena zaporedja v Qp in tudi za omejena zaporedja v R (Bolzano-Weierstrassov izrek).

Izrek 3.7. Vsako neskonˇcno zaporedje p-adiˇcnih celih ˇstevil ima konvergentno podzaporedje.

Dokaz. Naj bo {x_k} zaporedje v Zp. Kanoniˇcna razˇsiritev vsakega ˇclena je enaka

x_k =. . . a^k₂a^k₁a^k₀.

Ker je za ˇstevke a^k₀ mnoˇznih le konˇcno mnogo moˇznosti, to so 0,1, . . . , p−1, lahko poiˇsˇcemob0 ∈ {0,1, . . . , p−1}in neskonˇcno podzaporedje{x0k}zaporedja{xk}, tako da je prva ˇstevka vseh x_0k vedno b₀. Na enak naˇcin poiˇsˇcemo b₁ ∈ {0,1, . . . , p−1}

in podzaporedje{x_1k}zaporedja{x_0k}, kjer sta prvi dve ˇstevki enakib₁b₀. To lahko ponavljamo in pridobimo ˇstevke b₀, b₁, b₂, . . . skupaj z zaporedjem zaporedij

x00, x01, x02, . . . , x0s, . . . , x₁₀, x₁₁, x₁₂, . . . , x_1s, . . . , x₂₀, x₂₁, x₂₂, . . . , x_2s, . . . ,

...

tako da je vsako zaporedje podzaporedje prejˇsnjega in da se vsak element (j + 1).

vrstice zaˇcne z b_j. . . b₁b₀. Za vsak j = 0,1, . . . . dobimo x_jj ∈ {xj−1j, xj−1j+1, . . .}.

Torej je diagonalno zaporedjex₀₀, x₁₁, . . .podzaporedje prvotnega zaporedja in nujno

konvergira k. . . b₃b₂b₁b₀ [10].

12

3.2.3. Zapis p-adiˇcnih ˇstevil Qp. Naj bo sedaj |x|_p > 1. p-adiˇcno ˇstevilo x lahko pomnoˇzimo s potenco praˇstevila p, da je p^m = |x|_p. Tako dobimo p-adiˇcno ˇstevilox⁰ =xp^m in velja|x⁰|_p = 1. p-adiˇcno ˇsteviloxje v tem primeru predstavljeno z vrsto

x=

∞

X

n=−m

d_npⁿ, (3)

kjer je d_−m 6= 0 in d_i ∈ {0,1,2, . . . , p−1}. Vrsta predstavlja racionalno p-adiˇcno ˇstevilox, zapisano v bazip, torej je ˇsteviloxv tem primeru ˇstevilo, ki ima neskonˇcno mnogo p-adiˇcnih ˇstevk pred decimalno vejico in konˇcno mnogo p-adiˇcnih ˇstevk za njo. Zapiˇsemo

x=. . . d_ndn−1. . . d₂d₁d₀, d−1d−2. . . d−m. (4) Tak zapis imenujemo kanoniˇcna razˇsiritev p-adiˇcnih ˇstevil oziroma kanoniˇcna oblikaˇstevila x[10].

Razmiˇsljanje o zapisu p-adiˇcnih ˇstevil lahko strnemo v naslednji izrek, ki je posledica izreka 3.6.

Izrek 3.8. Vsako p-adiˇcno ˇstevilo x ∈ Qp ima enoliˇcno kanoniˇcno p-adiˇcno razˇsiritev

x=d−mp^−m+d1−mp^1−m+d2−mp^2−m+· · ·+d−1p⁻¹+d₀+d₁p+d₂p² +· · · , kjer je d_n ∈ Z in 0 ≤ d_n ≤ (p−1). Poleg tega velja, da je x ∈ Zp, ˇce in samo ˇce d−m = 0, ko je m >0 oziroma ko v kanoniˇcni p-adiˇcni razˇsiritvi ˇstevila x nastopajo le nenegativne potence praˇstevila p.

Rezultat oz. zapisp-adiˇcnih ˇstevil je analogen decimalnemu zapisu realnih ˇstevil R, le da pri njih, kot smo videli, zapis ni nujno enoliˇcen. Enostaven primer, ki to ponazori, je naslednji

0,99999. . .= 1,00000. . .= 1.

Za p-adiˇcna ˇstevila pa velja, da ˇce dve p-adiˇcni razˇsiritvi konvergirata k istemu p-adiˇcnemu ˇstevilu, sta enaki, to je, se ujemata v vseh ˇstevkah [1].

Na tem mestu bomo navedli ˇse trditev, ki povezuje normo in kanoniˇcno razˇsiritev p-adiˇcnega ˇstevila.

Trditev 3.9. Ce jeˇ x = P∞

n=0d_npⁿ, kjer je d_n = 0 za 0 ≤ n < k in d_k 6= 0, potem je |x|_p =p^−k. ˇCe je x=P∞

n=−md_npⁿ, kjer je d−m 6= 0, potem je |x|_p =p^m. Dokaz. Po enakosti (2) je |x|p limita zaporedja p-adiˇcnih norm delnih vsot vrste. V prvem primeru, ko je x = P∞

n=0dnpⁿ, dobimo konstantno zaporedje p^−k, p^−k, p^−k, . . ., saj velja trikotniˇska neenakost in |d_k|_p = 1 (ker 0 < d_k < p).

Torej je |x|_p = p^−k. V drugem primeru, ko je x = P∞

n=−md_npⁿ, kjer je d_−m 6= 0, s podobnim razmislekom kot pri prvem primeru ugotovimo, da je |x|_p =p^m. Opomba 3.10. Velja tudi, da je za x ∈ Q^p vrednost redpx iz definicije 2.2 povezana s kanoniˇcno razˇsiritvijo p-adiˇcnega ˇstevila. Velja namreˇc, da je zax∈Q^p vrednost red_px enaka indeksu prvega neniˇcelnega koeficienta v kanoniˇcni razˇsiritvi p-adiˇcnega ˇstevila x[10].

3.2.4. p-adiˇcna razˇsiritev racionalnih ˇstevil. Vsakoobiˇcajnocelo ˇstevilo je tudi p-adiˇcno celo ˇstevilo. Torej se mnoˇzica p-adiˇcnih celih ˇstevil Zp nahaja med mnoˇzico racionalnih ˇstevil Q.

V razdelku o aritmetiˇcnih operacijah bomo videli, da ˇstevilo −1 zapiˇsemo kot

−1 = (p−1)

∞

X

i=0

pⁱ. Ce preuredimo, dobimoˇ

∞

X

i=0

pⁱ = 1 1−p

in 1

1−p =. . .1111,

kar je v mnoˇzici p-adiˇcnih celih ˇstevilZp, p-adiˇcna razˇsiritev tega p-adiˇcnega ˇstevila pa je neskonˇcna.

Obiˇcajna racionalna ˇstevila lahko med realnimi prepoznamo po decimalnem zapisu. Velja namreˇc, da je ˇstevilo racionalno, ˇce ima konˇcen oz. periodiˇcen de- cimalni zapis, in realno, ˇce je njegov decimalni zapis neskonˇcen. Podobno lahko ugotovimo tudi pri p-adiˇcni kanoniˇcni razˇsiritvi. To nam pove naslednji izrek. Do- kaz izreka si lahko preberemo v [10].

Izrek 3.11. Kanoniˇcnap-adiˇcna razˇsiritev (4) predstavlja racionalno ˇstevilo, ˇce in samo ˇce postane sˇcasoma v levo periodiˇcna.

Dokaz. Predpostavimo, da postane kanoniˇcna p-adiˇcna razˇsiritev sˇcasoma pe- riodiˇcna. Vzemimo primer, ko ima x∈Zp periodiˇcno razˇsiritev oblike

x=x₀ +x₁p+x₂p²+· · ·+xk−1p^k−1+x₀p^k+x₁p^k+1· · ·

ˇSteviloa=x₀+x₁p+x₂p²+· · ·+x_k−1p^k−1 je racionalno ˇstevilo,xpa lahko izrazimo v obliki

x=a(1 +p^k+p^2k+· · ·) = a 1 1−p^k, torej jex racionalno ˇstevilo.

Predpostavimo sedaj, da je a

b =X

i≥0

x_ipⁱ ∈Zp.

Predpostavimo lahko, da sta si a in b tuja in da p ne deli b. Ker je (b, pⁿ) = 1, obstajatac_n in d_n, da velja

1 =c_nb+d_npⁿ. Ce pomnoˇˇ zimo obe strani enaˇcbe za, dobimo

a =ac_nb+ad_npⁿ.

Ce dodamo veˇˇ ckratnikpⁿkac_n, dobimo ˇsteviliA_n, za katerega velja 0≤A_n≤pⁿ−1, inr_n, da velja enakost

a =A_nb+r_npⁿ. Ko obe strani enaˇcbe delimo z b, dobimo

a

b =An+pⁿr_n b .

14

Tako je

r_n= (a−A_nb) pⁿ in zato

a−(pⁿ−1)b

pⁿ ≤r_n ≤ a pⁿ.

Pri dovolj velikem n sledi −b ≤ r_n ≤ 0, kar pa pomeni, da lahko r_n zavzame le konˇcno mnogo vrednosti.

Sedaj lahko zapiˇsemo a

b =A_n+pⁿr_n

b =A_n+1+pⁿ⁺¹r_n+1

b . (5)

Ker jeA_n+1−A_n=pⁿ(^rn−pr_bⁿ⁺¹) celo ˇstevilo in je (b, pⁿ) = 1, je tudi izraz^rn−pr_bⁿ⁺¹ celo ˇstevilo. Torej je A_n+1 ≡A_n(mod pⁿ), po izreku 3.6 pa je zaporedje {A_n} zaporedje delnih vsot kanoniˇcne p-adiˇcne predstavitve za ^a_b =P

i≥0x_ipⁱ. Iz A_n+1 =A_n+x_npⁿ in (5) sledi r_n = x_nb+pr_n+1 za vse n. Ker lahko r_n zavzame le konˇcno mnogo vrednosti, obstaja indeksm in pozitivno celo ˇsteviloP, da je r_m =r_m+P. Tako je

x_mb+pr_m+1 =x_m+Pb+pr_m+P+1 (6) oziroma

(x_m−x_m+P)b=p(rm+P+1−rm+1).

Ker jeD(b, p) = 1,pdeli x_m−x_m+P. x_m inx_m+P sta ˇstevki iz mnoˇzice{0,1, . . . , p− 1}, torej velja x_m =x_m+P. ˇCe pogledamo v enakost (6), vidimo, da je tudir_m+1 = r_m+P+1. Tako ugotovimo tudi, da je

r_n=r_n+P in x_n=x_n+P (n≥m),

kar dokazuje, da imata zaporedji ˇstevk x_n in r_n dolˇzino P za n ≥ m. S tem smo

dokaz konˇcali [10].

p-adiˇcna razˇsiritevα naj bo enaka

α = a_npⁿ+a_n+1pⁿ⁺¹+a_n+2pⁿ⁺²+· · ·

= pⁿ(a_n+a_n+1p+a_n+2p²+· · ·)

= pⁿ· c₁ d₁,

kjer sta c1 in d1 tuji si ˇstevili in p ne deli ne c1 ne d1. an izraˇcunamo na naslednji naˇcin

a_n =c₁·d⁻¹₁ (modp).

Potem izraˇcunamo c₁

d₁ −a_n = p(a_n+1+a_n+2p+a_n+3p²+· · ·)

= p· c2

d₂,

kjer sta c₂ ind₂ tuji si ˇstevili inp ne deli nec₂ ne d₂. a_n+1 izraˇcunamo na naslednji naˇcin

a_n+1 =c₂·d⁻¹₂ (mod p).

Tako nadaljujemo, dokler ne ugotovimo, kakˇsna je perioda [12].

3.2.4.1. Primer. Naj bo p= 5 in α= ₁₅². Ker je 2

15 = 5⁻¹·2 3, je n=−1, c1 = 2 in d1 = 3. a−1 je tako enak

a−1 = 2·3⁻¹(mod 5) = 4.

Izraˇcunajmo sedaj ˇse nekaj decimalk.

2

3 −4 = −10

3 = 5· −2 3

a0 = −2·3⁻¹(mod 5) = 1

−2

3 −1 = −5

3 = 5· −1 3

a₁ = −1·3⁻¹(mod 5) = 3

−1

3 −3 = −10

3 = 5· −2 3

a₂ = −2·3⁻¹(mod 5) = 1

−2

3 −1 = −5

3 = 5· −1 3

a₃ = −1·3⁻¹(mod 5) = 3 ...

Torej je ₁₅² =. . .313131,4.

3.2.5. Predstavitev negativnih ˇstevil. Poglejmo si ˇse, kako predstavimo ne- gativna ˇstevila. ˇCe je

x=

∞

X

n=i

d_npⁿ, potem je

−x=

∞

X

n=i

e_npⁿ, kjer je ei =p−di in en= (p−1)−dn zan > i.

Nekoliko drugaˇce je pri ˇstevilih, ki imajo v zapisu vodilne niˇcle. Te namreˇc ostanejo nespremenjene, naslednje decimalke pa dobimo na zgoraj opisan naˇcin [12].

3.2.5.1. Primer. Naj bo p= 5.

x= 2

3 =. . .313131314.

Potem je

−x = −2 3

= . . .((5−1)−3)((5−1)−1)((5−1)−3)((5−1)−1)(5−4).

= . . .1313131.

y= 5

3 =. . .13131320.

16

Potem je

−y = −5 3

= . . .((5−1)−1)((5−1)−3)((5−1)−1)((5−1)−3)(5−2)0.

= . . .31313130.

POGLAVJE 4

Primerjava med topologijo realnih ˇ stevil R in topologijo p-adiˇ cnih ˇ stevil Q

V tem poglavju se bomo posvetili primerjanju topologije realnih ˇstevil R in p- adiˇcnih ˇstevilQp. Med tema dvema mnoˇzicama obstaja kar nekaj podobnosti, videli pa bomo, da je med njima tudi kar nekaj zanimivih razlik.

4.1. Osnovni pojmi

Za zaˇcetek se osredotoˇcimo na realna ˇstevila R in si poglejmo nekaj osnovnih topoloˇskih pojmov, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju. To podpoglavje smo povzeli po [2].

ε-okolico toˇcke a definiramo kot interval

K_ε(a) ={x∈R;|a−x|< ε}= (a−ε, a+ε).

Definicija 4.1. Mnoˇzica U ⊂R je odprta, ˇce za vsako toˇcko a∈U obstaja tak ε >0, da velja Kε(a)⊂U.

Med odprte mnoˇzice sodijo vsi odprti intervali (a, b) = {x ∈ R;a < x < b}.

Polodprti intervali oblike [a, b) oziroma (a, b] in zaprti intervali [a, b] pa niso od- prte mnoˇzice. Med odprte mnoˇzice sodita tudi mnoˇzica realnih ˇstevil R in prazna mnoˇzica ∅. Vsaka odprta mnoˇzica v R pa je unija odprtih intervalov, torej z zgoraj navedenimi primeri zajamemo vse primere odprtih mnoˇzic.

V nadaljevanju se bomo ukvarjali tudi z zaprtimi mnoˇzicami, zato si poglejmo ˇse, kako vRdefiniramo zaprte mnoˇzice. Omenimo naj ˇse, da v jeziku mnoˇzic pridevnika odprt in zaprt nista nasprotna, kot to velja v obiˇcajnem jeziku. Veˇcina mnoˇzic v R namreˇc ni ne odprta ne zaprta. Tak je npr. polodprt interval [a, b). Mnoˇzici ∅ in R pa sta edini mnoˇzici, ki sta v mnoˇzici realnih ˇstevil R odprti in zaprti, saj je R povezana. Kasneje bomo videli, da se mnoˇzicap-adiˇcnih ˇstevilQp nekoliko razlikuje odR.

Definicija 4.2. Toˇckaxjestekaliˇsˇcealilimitna toˇckamnoˇziceA, ˇce za vsakoε- okolico toˇcke x velja, da je v presekuK_ε(x)∩A kakˇsna toˇcka, ki nix. Toˇckix∈A, ki ni limitna toˇcka, pravimo izolirna toˇcka mnoˇzice A.

Mnoˇzica A ne vsebuje nujno vseh svojih stekaliˇsˇc. Npr. pri odprtem intervalu je tudi vsako krajiˇsˇce tega intervala njegovo stekaliˇsˇce, ˇceprav ni vsebovano v tem intervalu. Mnoˇzice, ki vsebujejo vsa svoja stekaliˇsˇca, so nekoliko posebne.

Definicija 4.3. Mnoˇzica F ⊂R je zaprta, ˇce vsebuje vsa svoja stekaliˇsˇca.

Zaprte mnoˇzice so tako npr. vse mnoˇzice, ki vsebujejo le eno toˇcko, torej so oblike {a}, tudi vsak zaprt interval je zaprta mnoˇzica, zaprta pa je tudi mnoˇzica naravnih ˇstevil N. Nikakor pa to niso vsi primeri zaprtih mnoˇzic v R, saj zaprte mnoˇzice niso tako preproste kot odprte [2]. Vseeno pa lahko vsako zaprto mnoˇzico napiˇsemo kot komplement odprte.

Spomnimo se ˇse, kako definiramo zaprtje mnoˇzice.

Definicija 4.4. Naj bo A ⊂ R in naj bo L mnoˇzica stekaliˇsˇc (limitnih toˇck) mnoˇzice A. Mnoˇzici ¯A=A∪L pravimo zaprtjemnoˇzice A.

Zaprtje mnoˇzice A ⊂ R torej definiramo kot najmanjˇso zaprto mnoˇzico, ki vse- buje mnoˇzico A. Notranjost mnoˇzice A pa je najveˇcja podmnoˇzica mnoˇzice A, ki je vRodprta. Na tem mestu bomo v zvezi z odprtimi in zaprtimi mnoˇzicami dokazali ˇse naslednji izrek, ki velja tudi v bolj sploˇsnih prostorih, kot je prostor realnih ˇstevil R.

Izrek 4.5. Velja:

(1) Unija poljubne druˇzine odprtih mnoˇzic je odprta. Presek konˇcno mnogo odprtih mnoˇzic je odprta mnoˇzica.

(2) Unija konˇcno mnogo zaprtih mnoˇzic je zaprta mnoˇzica. Presek poljubne druˇzine zaprtih mnoˇzic je zaprta mnoˇzica.

Dokaz. Dokaˇzimo najprej toˇcko (1). Naj bo U = [

λ∈Λ

U_λ,

kjer so vseU_λ ⊂Rodprte. Naj box∈U. Potem obstaja takλ_x ∈Λ, da jex∈U_λx. U_λx je odprta, zato obstaja ε >0, da jeK_ε(x)⊂U_λx. Potem velja tudi K_ε(x)⊂U.

Izberimo poljubno toˇcko

x∈V =

n

\

k=1

U_k,

kjer so mnoˇzice U_k odprte. Potem za vsak k = 1,2, . . . , n obstaja tak ε_k > 0, da veljaK_εk(x)⊂U_k. Iz tega sledi, da za

ε= min_k{ε_k} veljaK_ε(x)⊂V. Torej je V odprta mnoˇzica.

Dokaˇzimo sedaj ˇse toˇcko (2). Po De Morganovih zakonih veljata enakosti [

s∈S

U_s

!{

= \

s∈S

U_s^{, \

s∈S

U_s

!{

= [

s∈S

U_s^{.

Ce jeˇ S konˇcna mnoˇzica in so vse mnoˇzice Us zaprte, so vse mnoˇzice U_s^{ odprte. Po toˇcki (1) iz izreka je tudi njihov presek odprta mnoˇzica. Po prvi enakosti zgoraj je konˇcni presek enak komplementu unije U_s, torej je unija konˇcno mnogo zaprtih mnoˇzic res zaprta.

Naj bo sedajS poljubna mnoˇzica in vse mnoˇzice U_s zaprte. Tedaj so vsi U_s^{ odprte moˇzice. Po toˇcki (1) iz izreka je tudi unija takih mnoˇzic odprta. Unija takih mnoˇzic je po desni zgornji enakosti enaka komplementu preseka mnoˇzic Us. Torej je tak

presek mnoˇzic res zaprta mnoˇzica.

4.2. Geometrija pri ultrametriˇcni absolutni vrednosti

V tem razdelku bomo na kratko opisali geometrijo pri ultrametiˇcni absolutni vrednosti.

Metriki, za katero velja ultrametriˇcna lastnost, pravimo vˇcasihultrametrika. Pro- stor z ultrametriko pa se imenuje ultrametriˇcni prostor. Ker je merjenje razdalje v

20

tem primeru malce drugaˇcno, je tudi geometrija drugaˇcna od te, ki smo je vajeni.

Trditev 4.6. Naj bo F polje in | | nearhimedska absolutna vrednost na polju F. Ce staˇ x, y ∈F in velja |x| 6=|y|, potem velja

|x+y|= max{|x|,|y|}.

Dokaz. Predpostavimo, da je |x|>|y|. Potem je

|x+y| ≤ |x|= max{|x|,|y|}.

Po drugi strani jex= (x+y)−y, torej je

|x| ≤max{|x+y|,|y|}.

Ker je |x|>|y|, neenakost velja samo, ˇce je

max{|x+y|,|y|}=|x+y|.

S tem dobimo obratno neenakost |x| ≤ |x +y|. Iz tega lahko sklepamo, da je

|x|=|x+y| [9].

Ta trditev ima zelo zanimivo posledico.

Posledica 4.7. V ultrametriˇcnem prostoru so vsi trikotniki enakokraki.

Dokaz. Naj bodo x, y in z trije elementi prostora, ki predstavljajo krajiˇsˇca trikotnika. Razdalje

d(x, y) =|x−y|, dy, z) = |y−z|, d(x, z) = |x−z|

so dolˇzine stranic trikotnika. Velja

(x−y) + (y−z) = (x−z),

zato se lahko sklicujemo na trditev, ki pokaˇze, da ˇce |x−y| 6= |y−z|, potem je

|x−z| enaka najveˇcji izmed obeh. V vsakem primeru sta torej dve stranici enako

dolgi [9].

Poskuˇsajmo to razloˇziti. Imamop-adiˇcno absolutno vrednost inx, y ∈Z. Naj bo redp(x) =n in redp(y) =m, torej jex=pⁿx⁰, y =p^my⁰, kjerp6 |x⁰y⁰. Ce preuredimoˇ v absolutne vrednosti, dobimo |x| = p⁻ⁿ in |y| = p^−m. Ko je n < m, je |x| > |y|, m=n+ε. Potem

x+y=pⁿx⁰+p^n+εy⁰ =pⁿ(x⁰+p^εy⁰).

Kerp6 |x⁰,p6 |(x⁰+p^εy⁰) torej red_p(x+y) = n, kar pomeni, da je|x+y|=p⁻ⁿ =|x|.

Predpostavimo sedaj, da je|x|=|y|, to je n =m. Potem dobimo x+y =pⁿ(x⁰+y⁰),

kjer p 6 | x⁰ in p 6 |y⁰, zelo verjetno pa p|(x⁰+y⁰). ˇCe je tako, je redp(x+y) ≥n = min{red_p(x),red_p(y)}, kar se prevede v

|x+y| ≤max{|x|,|y|}=|x|=|y|.

V obeh primerih pa sta dve od treh absolutnih vrednosti|x|,|y|in|x+y| enaki [9].

Opomba 4.8. V realnih ˇstevilih omenjena posledica seveda ne velja, saj obiˇcajna absolutna vrednost ni ultrametriˇcna.

4.3. Krogle in sfere

Primerjavo med mnoˇzicama R in Q^p bomo zaˇceli s sploˇsnimi definicijami od- prte in zaprte krogle ter sfere v R. Definicije so standardne in veljajo v vseh metriˇcnih prostorih. Odprte krogle so prototipi odprtih mnoˇzic, zaprte krogle pa zaprtih mnoˇzic.

Definicija 4.9. Naj bo (M, d) metriˇcni prostor, x₀ ∈M inr >0. Mnoˇzici K(x₀, r) ={x∈M;d(x, x₀)< r}={x∈M;|x−x₀|< r}

pravimo odprta krogla s srediˇsˇcem v toˇcki x0 in polmerom r, reˇcemo pa ji tudi r- okolica toˇcke x₀. Mnoˇzici

K(x¯ _o, r) = {x∈M;d(x, x₀)≤r}={x∈M;|x−x₀| ≤r}

pravimo zaprta kroglas srediˇsˇcem v toˇcki x₀ in polmerom r. Mnoˇzici S(x₀, r) ={x∈M;d(x, x₀) = r}={x∈M;|x−x₀|=r}

pravimo sfera s srediˇsˇcem v toˇckix₀ in polmerom r [2].

V R so odprte krogle torej odprti intervali K(x₀, r) = |x−x_o| < r. V mnoˇzici p-adiˇcnih ˇstevilQp pa so odprte krogle mnoˇzice

K(x₀, r) ={x∈Qp;|x−x₀|_p < r},

pri ˇcemer upoˇstevamo samo krogle s polmerom r =pⁿ, kjer jen ∈ Z, saj lahko pri p-adiˇcni normi dobimo le diskretno mnoˇzico vrednosti {pⁿ; n ∈Z} ∪ {0} [10].

Posvetimo se sedaj sferam v p-adiˇcnih ˇstevilih Q^p. Videli bomo, da ima sfera v Q^p bistveno drugaˇcne lastnosti, kot jih ima v R.

Trditev 4.10. Sfera S(x₀, r) je odprta mnoˇzica v Qp.

Dokaz. Naj bo x ∈ S(x₀, r) in < r. Pokazali bomo K(x, ) ⊂ S(x₀, r). Naj bo y ∈ K(x, ). Potem velja |x−y|_p < |x−x₀|_p = r oz. |y−x₀ −(x−x₀)|_p <

|x−x₀|_p = r. Obstaja trditev, ki pravi, da ˇce elementa a in b iz nearhimedskega polja F zadoˇsˇcata neenakosti ||b−a||<||a||, velja ||b||=||a||. Po omenjeni trditvi velja torej|y−x₀|_p =|x−x₀|_p =r, kar pomeni, da je res y∈S(x₀, r).

Opomba 4.11. Pravkar dokazana lastnost sfere v p-adiˇcnih ˇstevilih ne velja v realnih ˇstevilih, saj sfere v R(in tudi Rⁿ) gotovo niso odprte mnoˇzice.

Na tem mestu se spomnimo ˇse nekaterih pojmov. Notranja toˇcka mnoˇzice A⊂ M, kjer je M metriˇcni prostor, je taka toˇckaa∈M, da obstaja kakˇsna okolica toˇcke a, ki je vsa vsebovana v A, oz. pri notranji toˇcki a obstaja krogla K(a, r) ⊂ A.

Velja a ∈ A. Zunanja toˇcka mnoˇzice A je taka toˇcka b ∈ M, da obstaja njena okolica, ki ne vsebuje nobene toˇcke iz mnoˇzice A, oz. obstaja tak r > 0, da velja K(b, r)∩A = ∅. Velja b /∈ A. Toˇcka c ∈ M je robna toˇcka mnoˇzice A, ˇce vsaka odprta krogla s srediˇsˇcem v cvsebuje vsaj eno toˇcko, ki je v mnoˇzici A, in vsaj eno toˇcko, ki ni element mnoˇzice A. Mnoˇzica A pa je zaprta natanko tedaj, ko vsebuje vse svoje robne toˇcke.

Poglejmo si ˇse nekaj zanimivih lastnosti. Najprej bomo dokazali trditvi, ki veljata v realnih ˇstevilihR. Povzemali bomo po viru [8].

Trditev 4.12. Vsaka odprta krogla K(x₀, r) v R je odprta mnoˇzica.

22

Dokaz. Dana je odprta krogla K(x₀, r), r > 0 in naj bo toˇcka x ∈ K(x₀, r).

Torej je d(x₀, x) < r. Doloˇcimo sedaj 0 < ρ < r−d(x₀, x) in naj bo y ∈ K(x, ρ).

Potem velja d(y, x₀)≤ d(y, x) +d(x, x₀) ≤ ρ+d(x, x₀)< r, iz tega pa sledi, da je K(x, ρ)⊂K(x₀, r), kar pomeni, da je vsaka poljubna toˇckaxnotranja toˇcka odprte krogle K(x₀, r). Torej je odprta krogla K(x₀, r) res odprta mnoˇzica.

Trditev 4.13. Vsaka zaprta krogla K¯(x₀, r) v R je zaprta mnoˇzica.

Dokaz. Velja, da je za vsak x₀ ∈ M in r > 0 mnoˇzica {x ∈ M;d(x₀, x) > r}, ki je komplement zaprte krogle ¯K(x₀, r), odprta. Zato lahko reˇcemo, da je zaprta krogla komplement omenjene odprte mnoˇzice, in s tem dokaz konˇcamo.

V mnoˇzici p-adiˇcnih ˇstevil pa je drugaˇce.

Trditev 4.14. Odprte krogle v Q^p so odprte in zaprte hkrati.

Dokaz. Vsaka odprta krogla K(x₀, r) je odprta v vsakem metriˇcnem prostoru, saj je vsaka toˇcka x ∈ K(x₀, r) v krogli K(x₀, r), ki je vsebovana v K(x₀, r). Za dokaz, da je krogla K(x₀, r) zaprta v Qp, moramo pokazati, da je njen komplement

C ={x∈Qp;|x−x₀|_p ≥r}

odprt. Komplement C lahko zapiˇsemo tudi kot C=S(x₀, r)∪D, kjer je D={x∈Qp;|x−x₀|_p > r}.

Dokaˇzimo sedaj, da je mnoˇzicaDodprta v vseh metriˇcnih prostorih. Naj boy∈D.

Potem je|y−x0|p =r1 > r. Trdimo, da je odprta krogla K(y, r1−r) vsebovana v D. ˇCe ne bi bila, bi obstajal x∈K(y, r₁−r), da bi veljalo|x−x₀|_p ≤r. Ampak s trikotniˇsko neenakostjo pridemo v protislovje:

r1 =|y−x0|p =|x0−x+x−y|p ≤ |x0−x|p+|x−y|p < r+r1−r=r1. Ker je unija dveh odprtih mnoˇzic odprta, je tudi komplement C odprt. Torej je krogla K(x₀, r) zaprta v Q^p. S tem smo trditev dokazali [10].

Kasneje bomo videli, da so tudi sfere v p-adiˇcnih ˇstevilih odprte in zaprte hkrati.

Iz trditve 4.14 sledi, da sfera S(x₀, r) v p-adiˇcnih ˇstevilih Qp ni rob odprte krogle K(x₀, r). Pravzaprav iz omenjene trditve sledi, da je rob K(x₀, r) prazna mnoˇzica.

Prav tako lahko iz omenjene trditve sklepamo, da v Qp zaprta krogla ¯K(x₀, pⁿ) = {x∈Qp;|x−x₀|_p ≤pⁿ}ni zaprtje odprte krogle K(x₀, pⁿ), saj velja

K(x¯ ₀, pⁿ) = {x∈Qp;|x−x₀|_p ≤pⁿ}

= {x∈Qp;|x−x₀|_p < pⁿ⁺¹}=K(x₀, pⁿ⁺¹).

Vidimo torej, da je zaprta krogla ¯K(x₀, pⁿ) pravzaprav odprta krogla z drugim, veˇcjim polmerom, zato lahko iz izreka 4.5, ki velja tudi v metriˇcnem prostoru p- adiˇcnih ˇstevilQp, sklepamo, da vse zgoraj omenjene lastnosti oz. trditve v povezavi z odprtimi kroglami veljajo tudi za zaprte krogle v Q^p [10].

Opomba 4.15. Seveda je v realnih ˇstevilih Rpovsem drugaˇce. Odprta krogla je le notranjost krogle, sfera vR pa je rob odprte krogle. Sfera S(x₀, r) torej omejuje odprto kroglo s srediˇsˇcem v toˇcki x₀ in polmerom r. Zaprta krogla pa je odprta krogla skupaj s sfero, torej ¯K(x₀, r) = K(x₀, r)∪S(x₀, r).

Navedimo ˇse nekaj razlik med kroglami in sferami v Qp ter kroglami in sferami v R. Pri nearhimedski absolutni vrednosti za krogle velja naslednja lastnost.