DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO’KA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

TEJA ROZMAN

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO’KA FAKULTETA

’tudijski program: Matematika in tehnika

Vivianijeva krivulja

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

Dr. Marko Razpet Teja Rozman

Ljubljana, avgust 2011

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju dr. Marku Razpetu za dostopnost, strokovno po- mo£ in vodenje, koristne nasvete in korektnost pri nastajanju diplomskega dela.

Iskrena hvala druºini, ki mi je omogo£ila ²tudij, me podpirala ter verjela vame tako pri vzponih kot tudi padcih.

Hvala tudi vsem ostalim, ki ste mi stali ob strani in mi kakorkoli pomagali.

Program dela

V diplomskem delu opi²ite ºivljenje in delo Vincenza Vivianija. Obravna- vajte Vivianijevo krivuljo in opravite v zvezi z njo £im ve£ ra£unov.

Ljubljana, 21. aprila 2011 Mentor:

dr. Marko Razpet

Povzetek

Diplomsko delo govori o Vivianijevi krivulji. Zajema zanimive izra£une ma- temati£nih koli£in, ki jih je mo£ povezati z omenjeno krivuljo. Namen di- plomskega dela je temeljita preu£itev Vivianijeve krivulje in njenih lastnosti, kot so dolºina, povr²ina dela sfere, ki ga krivulja omejuje, prostornina telesa pod to povr²ino in ukrivljenost krivulje.

V nadaljevanju smo Vivianijevi krivulji dolo£ili stereografsko projekcijo, ki je dobro znana algebrska krivulja tretjega reda, in opravili nekaj izra£unov.

Zaklju£ili smo z dvema razli£nima konstrukcijama.

Klju£ne besede: dolºina, kot, povr²ina, prostornina, stereografska projek- cija, strofoida, ukrivljenost, Vivianijeva krivulja

Abstract Viviani's Curve

The diploma thesis deals with Viviani's curve. It comprises several intere- sting calculations of mathematical quantities, which can be connected with the curve mentioned above. The purpose of the thesis is to examine Viviani's curve and its properties, such as: the length, the curvature, the area of the sphere gure bounded by the curve, and the volume of the solid below the area.

Additionally we have set the stereographic projection of Viviani's curve, which is a well-known third order algebraic curve, and we have done some calculations. In conclusion we have completed the thesis with two dierent geometrical constructions.

Key words: length, angle, surface, volume, stereographic projection, stro- phoid, curvature, Viviani's curve

MSC(2010): 01A45, 01A50, 14H45, 26A06

Kazalo

1 Uvod 1

2 Vincenzo Viviani 3

2.1 Vivianijev izrek . . . 5

3 Krivulje v prostoru 8 3.1 Kaj je krivulja? . . . 8

3.2 Prostorska krivulja . . . 9

3.2.1 Dolºina krivuljnega loka . . . 11

3.2.2 Ukrivljenost prostorske krivulje . . . 13

4 Ploskve v prostoru 15 4.1 Kaj je ploskev? . . . 15

4.2 Ploskev v prostoru . . . 15

4.2.1 Dolºina krivulje na ploskvi . . . 15

4.2.2 Kot med krivuljama na ploskvi . . . 16

4.2.3 Povr²ina ploskve . . . 17

4.2.4 Prostornina telesa pod ploskvijo . . . 17

5 Vivianijeva krivulja 18 5.1 Dolºina . . . 22

5.2 Kot v samoprese£i²£u . . . 27

5.3 Povr²ina ploskve . . . 28

5.4 Prostornina telesa . . . 30

5.5 Ukrivljenost . . . 31

5.5.1 Fleksijska ukrivljenost . . . 31

5.5.2 Torzijska ukrivljenost . . . 36

6 Stereografska projekcija 37 6.1 Stereografska projekcija Vivianijeve krivulje . . . 40

6.2 Strofoida . . . 45

6.2.1 Plo²£ina lista strofoide . . . 46

6.2.2 Plo²£ina lika med strofoido in njeno asimptoto . . . 48 6.3 Konstrukcija strofoide . . . 52 6.3.1 Konstrukcija strofoide z ravnilom in s ²estilom . . . 53 6.3.2 Konstrukcija strofoide s programom za dinami£no ge-

ometrijo . . . 53

7 Zaklju£ek 58

Literatura 59

Slike

1 Vincenzo Viviani [20]. . . 4

2 Krater Viviani [15]. . . 6

3 Pravokotne projekcije to£ke na stranice enakostrani£nega tri- kotnika. . . 7

4 Enakostrani£ni trikotnik, razdeljen na tri manj²e trikotnike. . . 7

5 Razvrstitev krivulj v razrede. . . 9

6 Presek sfere in valja [19]. . . 18

7 Projekcija na ravnino xy, narisana v Graphu. . . 20

8 Projekcija na ravnino xz, narisana v Graphu. . . 21

9 Projekcija na ravnino yz, narisana v Graphu. . . 21

10 Vivianijeva krivulja [18]. . . 23

11 Graf eksijske ukrivljenosti, narisan v Graphu. . . 34

12 Graf torzijske ukrivljenosti, narisan v Graphu. . . 37

13 Strofoida, narisana v Graphu. . . 45

14 Strofoida, skupaj s simetralama lihih in sodih kvadrantov, na- risana v Graphu. . . 46

15 Kroºnice s sredi²£em na vertikalni premici in njihova prese£i- ²£a s premicami, ki potekajo skozi to£ko P in s pripadajo£im sredi²£em kroºnice. . . 53

16 Rde£e to£ke predstavljajo prese£i²£a kroºnic in premic. . . 54

17 Strofoida, konstruirana s pomo£jo ravnila in ²estila. . . 54

18 Pravokotni premici s prese£i²£em O. . . 55

19 Kroºnica s sredi²£em vS in polmerom SO. . . 56

20 Poltrak P S seka kroºnico v to£kah M in N. . . 56

21 Izris sledi. . . 57

22 Strofoida, narisana v Cabri Geometry. . . 57

1 Uvod

Verjetno ni osebe, ki ne bi vsaj enkrat v ºivljenju videla lipovega drevesa.

ƒe ne drugje, se je o njem u£ila pri naravoslovju v osnovni ²oli. Spomnimo se lipovega cveta v obliki dveh gladkih podolgovatih listov, ki se proti sredini raz²irita, med njima pa je majhna kroglica. Opisani cvet, brez vmesne kro- glice, predstavlja ploskev Vivianijeve krivulje. Predstavljajmo si, da bi bila lista brez vmesnega polnila in bi ostal le rob, katerega bi lahko poimenovali Vivianijeva krivulja.

Vivianijeva krivulja nosi ime po svojem odkritelju Vincenzu Vivianiju, itali- janskem matematiku, ki se je ukvarjal predvsem z geometrijo. Kot zanimivost je v diplomskem delu dokazan Vivianijev izrek v enakostrani£nem trikotniku.

Vivianijeva krivulja je prostorska krivulja, zato so v tretjem poglavju deni- rani pojem krivulje in njej pripadajo£e lastnosti. Vsebina se nato nadgradi s predstavitvijo prostorske krivulje ter formulama za izra£un dolºine loka in ukrivljenosti krivulje.

V £etrtem poglavju te£e beseda o ploskvah v prostoru, njenih oblikah in la- stnostih. Spoznamo formule za izra£un dolºine krivulje na ploskvi, povr²ine, prostornine telesa pod ploskvijo in kota med krivuljama na ploskvi.

V nadaljevanju je diplomsko delo osredoto£eno na Vivianijevo krivuljo. Pred- stavljen je njen nastanek s presekom dveh ploskev in parametri£na izraºava.

Sledijo izra£uni dolºine krivulje, velikosti kota, pod katerim seka samo sebe, povr²ine tistega dela sfere, ki je omejena s krivuljo, prostornine telesa pod omenjeno ploskvijo, eksijske in torzijske ukrivljenosti.

S pomo£jo stereografske projekcije lahko Vivianijevo krivuljo preslikamo na ravnino, kar je izvedeno v ²estem poglavju. Iz projekcije razberemo, da je preslikana krivulja algebrska krivulja tretjega reda, ki se imenuje strofoida.

Opisali smo njene zna£ilnosti in izra£unali plo²£ino strofoidnega lista ter plo-

²£ino lika med strofoido in njeno asimptoto. V nadaljevanju se diplomsko delo naveºe na konstrukcijo strofoide s pomo£jo ravnila in ²estila ter pro- grama Cabri Geometry, enega od razpoloºljivih programov za dinami£no geometrijo.

2 Vincenzo Viviani

Vincenzo Viviani (slika 1) je bil italijanski matematik in zik, ki se je rodil 5. 4. 1622 v Firencah o£etu Jacopu di Michelangelu Vivianiju in materi Marii Alamanno del Nente. Na jezuitski ²oli je ²tudiral humanistiko, kjer ga je matematiko pou£eval Clemente Settimi in kmalu opazil ²tudentovo in- teligenco. Zato ga je leta 1638 predstavil toskanskemu vojvodi Ferdinandu Medi£ejskemu¹, na katerega je Viviani naredil tak²en vtis, da mu je dodelil mese£no ²tipendijo. Z dobljenim denarjem si je Viviani kupoval matemati£ne knjige. Poleg omenjenega pa mu je Ferdinand omogo£il ²e sre£anje z Galile- jem², ki je bil prav tako impresioniran nad Vivianijevim znanjem. Leta 1639 ga je povabil na svoj dom kot spremljevalca, ²tudenta in sodelavca. Viviani se je pri Galileu veliko nau£il, predvsem na podro£jih zike in geometrije. Po Galilejevi smrti leta 1642 je Viviani sodelovanje nadaljeval s Torricellijem³. Leta 1644 je Viviani izvedel znanstveni poskus, ki je bil povod za razvoj ba- rometra. Po Torricellijevi smrti leta 1647 je Viviani zasedel njegov poloºaj na Akademiji risalnih umetnosti v Firencah. Obenem ga je Ferdinand postavil za u£itelja matematike v druºini Medici in imenoval za inºenirja na Uziali dei Fiumi, kjer je ostal do konca ºivljenja. Umrl je 22. 9. 1703.

Viviani je leta 1657 postal eden izmed prvih £lanov nove akademije ve- likega toskanskega vojvode, ki se je imenovala Eksperimentalna akademija.

Slednja je neuradno delovala ºe nekaj let prej, saj je Viviani s svojo skupino tu izvajal znanstvene poskuse. Leta 1656 sta Vincenzo in Borelli s pomo£jo nihala dokazala, da je hitrost zvoka konstantna. Nato sta izvedla poskus, s katerim sta dolo£ila hitrost zvoka. Eksperiment sta izvedla tako, da sta izmerila £as med bliskom ob izstrelitvi oddaljene topovske krogle in sli²ano eksplozijo. Izra£un je zna²al 350 m/s, kar je za 128 m/s bolje kot do takrat izmerjena vrednost. Danes vemo, da zvok potuje s hitrostjo 331,29 m/s pri

1Ferdinand Medi£ejski je bil veliki toskanski vojvoda med letoma 1621 in 1670.

2Galileo Galelei (1564-1642) je bil italijanski zik, matematik, astronom in lozof.

3Evangelista Torricelli (1608-1647) je bil italijanski zik in matematik.

Slika 1: Vincenzo Viviani [20].

konstantni temperaturi 0 ^◦C. Viviani je bil udeleºen pri ve£ini poskusov, ki so se izvajali na akademiji, kot so poskusi z barometrom in poskusi za odkri- vanje lastnosti zmrznjene vode.

Viviani je najve£je zanimanje v ºivljenju kazal za starogr²ko matematiko.

še med sodelovanjem s Torricellijem je obnavljal delo Aristeja Starej²ega⁴. Nato je obnavljal Apolonijevo⁵ peto knjigo o stoºnicah. Do takrat so bile namre£ najdene le prve ²tiri od osmih knjig. Ko je Viviani leta 1656 zaklju-

£eval z delom, je Borelli⁶ odkril arabsko razli£ico prvih sedmih Apolonijevih knjig in jo za£el prevajati v latin²£ino. Leta 1659 sta bili objavljeni obe deli, Borellijevo in Vivianijevo. Slednje je bilo odli£no narejeno, celo bolje kot Apolonijevo originalno delo, saj je Viviani s svojim znanjem prodrl glo- blje do matemati£nih resnic. Vivianijev sloves je zaobjel celotno Evropo.

4Aristej Starej²i je bil starogr²ki matematik, ki se je ukvarjal s stoºnicami.

5Apolonij je bil starogr²ki matematik, geometer in astronom, ki je znan po svojih knjigah o stoºnicah.

6Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679) je bil italijanski ziolog, zik, astronom in ma- tematik.

Leta 1666 mu je Ludvik XIV. ponudil mesto na francoski Kraljevi akadamiji, poljski kralj Jan II. Kazimir pa imenovanje za kraljevega astronoma. Veliki toskanski vojvoda se je zbal, da bo Vivianija izgubil, zato ga je imenoval za dvornega matematika. Viviani je izbral slednjo sluºbo, drugi ponudbi pa je zavrnil.

Vincenzo je dokon£al obnovitev pete knjige Evklidovih Elementov, ki sta jo prvotno za£ela Torricelli in Galileo. Knjiga je iz²la prvi£ v skraj²ani obliki leta 1674, £ez dve leti pa v raz²irjeni razli£ici. Viviani je izdal knjige o geome- triji Diporto Geometrico (1676) in Enofatio problematium universis geometris propositorum (1677) ter inºenirstvu Discorso intorno al difendersi da' riem- pimenti e dalle corrosione de' umi (1687). Viviani je zasluºen za ureditev prve zbirke Galilejevih zbranih del, ki pa je iz²la po njegovi smrti leta 1717.

Zapustil je tudi skoraj dokon£ano delo o resistenci trdih teles, ki jo je dokon-

£al in izdal Grandi⁷. Okrog leta 1730 so Galilejeve posmrtne ostanke prenesli v novo grobnico, kamor so poloºili tudi Vivianijeve.

Vivianija je doletela £ast, da eden izmed Luninih kraterjev nosi njegovo ime. Krater Viviani (slika 2) je sicer manj²i krater, ki leºi zahodno od kraterja King⁸ in jugovzhodno od kraterja Katchalsky⁹ [1, 20, 21, 22, 23, 24, 25].

2.1 Vivianijev izrek

Viviani je zapisal, da je geometrija edina prava znanost, ker znanje vre iz nje same brez posredovanja vzrokov. Geometrija sama nas u£i, kako dose£i znanje in spominja celo na £love²ki razum. ƒeprav je bil Viviani velik stro- kovnjak na podro£ju geometrije, se zdi, da je naredil bolj malo [22]. Da temu ni ravno tako, si bomo ogledali Vivianijev izrek.

7Luigi Guido Grandi (1671-1742) je bil italijanski rimskokatoli²ki duhovnik, lozof, matematik in inºenir.

8Arthur Scott King (1876-1957) je bil ameri²ki zik in astrozik; Edward Skinner King (1861-1931) je bil ameri²ki astronom.

9Aharon Katzir-Katchalsky (1914-1972) se je ukvarjal z elektrokemijo biopolimerov.

Slika 2: Krater Viviani [15].

Izrek 1. (Vivianijev izrek) Vsota razdalj med poljubno to£ko znotraj enako- strani£nega trikotnika in stranicami je enaka vi²ini trikotnika.

Dokaz. Naj to£ka P leºi znotraj enakostrani£nega trikotnika 4ABC. Naj bodo to£keP_AB,P_BC inP_CA pravokotne projekcije to£ke to£keP na stranice AB,BC inCAenakostrani£nega trikotnika4ABC. Ker ima enakostrani£ni trikotnik 4ABC vse stranice enako dolge, jih ozna£imo z a (slika 3).

Enakostrani£ni trikotnik 4ABC razdelimo na tri manj²e trikotnike 4ABP, 4BCP in4CAP (slika 4). Torej velja za vsoto ustreznih plo²£in:

S4ABC =S4ABP +S4BCP +S4CAP. (1) Zaradi preglednej²ega besedila ozna£imo daljice P P_AB =h₁, P P_BC = h₂ in P PCA = h3. Ker se plo²£ina poljubnega trikotnika izra£una kot polovi£ni produkt osnovnice in pripadajo£e vi²ine, lahko (1) preoblikujemo v:

a·v_a

2 = a·h₁

2 +a·h₂

2 + a·h₃

2 . (2)

Slika 3: Pravokotne projekcije to£ke na stranice enakostrani£nega trikotnika.

Slika 4: Enakostrani£ni trikotnik, razdeljen na tri manj²e trikotnike.

ƒe (2) pomnoºimo z 2/a, dobimo:

va=h1+h2+h3. (3)

S tem smo dokazali Vivianijev izrek.

3 Krivulje v prostoru

3.1 Kaj je krivulja?

Opazovanje narave in sprehod po gozdu nam ponudita obilico primerov ra- znih krivulj. Opazimo lahko razli£ne oblike cvetnih listov, obliko deºevnikov ali ka£ pri zvijanju, zavoje pri polºjih hi²icah. ƒe se ozremo nazaj v prete- klost, najdemo prve primere krivulj ºe pri jamskem £loveku, ki je po stenah risal tak²ne in druga£ne krivulje. Stari Grki so se ukvarjali s stoºnicami, do katerih so pri²li s preseki stoº£aste ploskve z ravninami. Renesan£ni ma- tematiki so si krivulje predstavljali kot tanke krive £rte, v £asu Descartesa pa so jih za£eli obravnavati z ena£bami [10]. Stoºnice so opisali z ena£bo f(x, y) = c, kjer je f funkcija spremenljivk x in y, c pa je konstanta. Rav- ninska krivulja je torej mnoºica to£k C ={(x, y)∈R² | f(x, y) =c}[9].

Evklid je krivuljo deniral kot £rto brez ²irine, v Diderotovi enciklopediji pa je krivulja predstavljena kot tir gibanja to£kastega telesa. Nadaljnji spre- hod skozi zgodovino nam ponudi tudi Chambersovo denicijo, ki pravi, da je krivulja £rta, na kateri imajo razli£ne to£ke razli£ne smeri oziroma leºijo razli£no ena glede na drugo [5]. Denicije krivulje zasledimo tudi v sodob- nej²ih matemati£nih leksikonih, tako je v [7] krivulja opisana kot ukrivljena ali ravna £rta, ki jo lahko prete£emo brez odmikanja. Prikaºemo jo kot sled to£ke, ki jo le-ta naredi s premikanjem po ravnini ali prostoru. Krivulje raz- delimo v ²tiri razrede (slika 5). Krivulja je enostavna, £e se ne seka oziroma nima ve£kratnih to£k in se ne dotika sama sebe, v nasprotnem primeru je neenostavna. Omejena krivulja je sklenjena, £e nima kraji²£, v nasprotnem primeru je nesklenjena.

V drugem matemati£nem leksikonu [13] najdemo krivuljo kot £rto na rav- nini ali v prostoru, ki je denirana kot mnoºica to£k z dolo£enimi lastnostmi, kot sled gibajo£e se to£ke, kot prese£nico dveh ploskev in kot geometri£no ponazoritev kake ena£be ali sistema ena£b.

Slika 5: Razvrstitev krivulj v razrede.

3.2 Prostorska krivulja

Ivan Vidav [14] je krivuljo v prostoru deniral takole: V prostoru naj bo dan pravokotni koordinatni sistem z osmix,yinz, v katerem naj bosta dani eno- li£ni in zvezni funkcijif(x)ing(x)na intervalu[a, b]spremenljivkex. Ena£bi y =f(x)inz =g(x) dolo£ata prostorsko krivuljo. Za vsakx∈[a, b] dobimo vrednosti y = f(x) in z = g(x). ’tevila x, f(x) in g(x) so koordinate neke to£ke T. ƒe se x zvezno spreminja od a do b, se tudi to£ka zvezno premika in opi²e neko krivuljo Kv prostoru.

V knjigi Pavline Mizori - Oblak [8] je denicija podana takole: ƒe so funk- cije x(t), y(t) in z(t) zvezne na intervalu [a, b], potem mnoºica to£k K = {(x(t), y(t), z(t)), t∈[a, b]}tvori krivuljo v prostoru, kjer je t∈Rparameter na krivulji.

V [3] zasledimo, da je krivulja v prostoru preslikava r : (α, β) ⊆ R → R³, r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Sliko oziroma zalogo vrednosti te preslikave imenu- jemo tir krivulje r. Ko parameter t prete£e ves interval (α, β), krivulja r(t)

popi²e svoj tir.

Prostorsko krivuljo opi²emo [2, 8, 14]:

1. s koordinatnimi ena£bami:

a. kot presek ploskev F(x, y, z) = 0 in G(x, y, z) = 0, ki sta podani v implicitni obliki.

b. v parametri£ni obliki: x = x(t), y = y(t) in z = z(t), kjer je t poljuben parameter, kar pomeni, da je lahko t = x, y ali z. Za vsakt∈[a, b]dobimo trojico realnih ²tevil ((x(t), y(t), z(t)), ki pripadajo koordinatam neke to£keT v prostoru. Ko spremenljivka t zavzame vse vrednosti z intervala [a, b], pripadajo£a to£ka T opi²e neko krivuljo K v prostoru. Spremenljivko t imenujemo parameter, sistem ((x(t), y(t), z(t)) pa parametri£ne ena£be krivulje K.

c. v parametri£ni obliki: x = x(s), y = y(s) in z = z(s), kjer je s naravni parameter, kar pomeni, da jes dolºina loka med izbrano to£ko A(x(0), y(0), z(0)) in to£ko B(x(s), y(s), z(s)).

2. z vektorsko ena£bo:

kot ~r =~r(t) = x(t)~i+y(t)~j+z(t)~k, kjer je ~r(t) krajevni vektor, ki sega od izhodi²£a koordinatnega sistema do to£keT na krivulji.

To pomeni, da je ~r funkcija parametra t. Ko te£e t od a do b (t∈[a, b]), opi²e drugo kraji²£e vektorja ~r krivuljoK.

Oglejmo si ²e nekaj lastnosti krivulj.

Krivulja K je gladka, £e so funkcijex(t), y(t)in z(t)zvezno odvedljive in je

˙

x²(t) + ˙y²(t) + ˙z²(t)>0 [8], kjer pika nad x, y inz pomeni njihov odvod po parametru t.

Krivulja K je sklenjena, £e ima tako parametrizacijo~r =~r(t), t ∈[a, b], za katero velja~r(a) =~r(b)[4].

3.2.1 Dolºina krivuljnega loka

Krivuljam v prostoru poskusimo izra£unati dolºino loka. Naj bo K gladka krivulja, podana z ena£bo ~r(t) =x(t)~i+y(t)~j+z(t)~k, ko gret od a dob. Interval [a, b] razdelimo na n podintervalov z delitvenimi to£kami a = t₀ <

t₁ < . . . < t_k−1 < t_k < . . . < t_n = b. Vrednostim t = t_k, k = 0,1, . . . , n, pripada na krivuljiKn+ 1to£kTk, kjer jeTk kraji²£e vektorja~r(tk). Pri tem je T₀ = A za£etna to£ka in T_n = B kon£na to£ka. Zveºimo po dve sosednji to£kiTk−1 inT_k. DaljiceTk−1T_k sestavljajo lomljeno £rto, ki pripada krivulji K in se tem tesneje prilega, £im gosteje so to£ke T_k. Dolºina lomljene £rte je enaka:

s_n=

n

X

k=1

Tk−1T_k. (4)

To£ke T_k gostimo tako, da gre dolºina δ_k = t_k−tk−1 vsakega podintervala proti ni£. Pri tem obstaja limita vsotes_n, ki jo imenujemo dolºina krivuljnega loka ABd.

Dolºina daljice T_k−1T_k je enaka:

|~r(tk)−~r(tk−1)|=p

(xk−xk−1)²+ (yk−yk−1)²+ (zk−zk−1)², kjer je xk−1 =x(tk−1), x_k=x(t_k)itd. Po Lagrangevem izreku je:

x(t_k)−x(tk−1) = ˙x(τ_k)δ_k, y(t_k)−y(tk−1) = ˙y( ˙τ_k)δ_k, z(t_k)−z(tk−1) = ˙z( ¨τ_k)δ_k,

kjer ²tevila τ_k, τ˙_k,τ¨_k leºijo medtk−1 in t_k. Vsoto (4) lahko preoblikujemo:

s_n=

n

X

k=1

p[ ˙x(τ_k)]²+ [ ˙y( ˙τ_k)]²+ [ ˙z( ¨τ_k)]² δ_k. (5) Postavimo:

ϕ(t) = p

[ ˙x(t)]²+ [ ˙y(t)]²+ [ ˙z(t)]².

Ker so odvodi x˙, y˙ in z˙ zvezni, je tudi funkcija ϕ zvezna in koren na desni strani v (5) se malo razlikuje od vrednosti ϕ(τ_k), £e je δ_k zelo majhen. Zato lahko pi²emo:

s_n=

n

X

k=1

[ϕ(τ_k) +η_k]δ_k.

’tevila η_k so tako majhna, kakor ºelimo, £e so vsi delni intervali δ_k dovolj majhni. Ker je funkcija ϕ(t) zvezna, konvergira vsota:

σ_n =

n

X

k=1

ϕ(τ_k)δ_k

proti integralu funkcije ϕ(t)na intervalu [a, b], ko gredo vsi δ_k →0. Vsotis_n in σ_n pa imata isto limito. Vsakemu pozitivnemu ²tevilu ε pripada namre£

takδ >0, da velja |η_k|< εza vsak indeksk, kakor hitro so vsi delni intervali δ_k manj²i od δ. Potem je:

|s_n−σ_n|=|

n

X

k=1

η_kδ_k|<

n

X

k=1

εδ_k=ε(b−a).

Iz te ocene sledi, da imata s_n inσ_n isto limito. Limita s je dolºina loka dAB krivulje K, to se pravi, da je tedaj:

s= Z b

a

ϕ(t)dt= Z b

a

px˙²+ ˙y²+ ˙z² dt. (6) Odvodix˙,y˙ inz˙so komponente vektorja~r˙. Od tod jex˙²+ ˙y²+ ˙z² = ˙~r~r˙. Zato lahko pi²emo formule za dolºino loka in njegov diferencial ds tudi v oblikah [4, 14]:

s = Z b

a

p~r˙~r dt,˙ ds=

p~r˙~r dt,˙ ds² = ˙~r~r dt˙ ², s˙² = ˙~r~r.˙ 3.2.2 Ukrivljenost prostorske krivulje

Prostorskim krivuljam lahko dolo£imo ukrivljenost, in sicer eksijsko ter tor- zijsko.

Naj boKkrivulja z ena£bo~r=~r(t), kjer je~r(t)vsaj trikrat zvezno odvedljiva funkcija parametra t. Odvod~r˙ =~tje smerni vektor na tangenti krivulje K, ki je odvisen od dotikali²£a. Oglejmo si njegov odvod~t˙= ¨~r. ƒe je~t˙enak ni£, je vektor~tkonstanten in je krivulja K v tem primeru premica. ƒe je~t˙6= 0, je vektor ~t˙ pravokoten na~t. Premica skozi dotikali²£e T v smeri vektorja ~t˙ se imenuje glavna normala. Njen smerni vektor ozna£imo z ~n.

Absolutna vrednost vektorja ~t˙ je eksijska ukrivljenost ali upognjenost krivulje K v to£kiT in jo ozna£imo s κ [3, 6, 14]:

κ= |~r˙×~r¨|

|~r˙|³ . (7) Absolutna vrednost odvoda~t˙pomeni hitrost, s katero se tangenta vrti, ko se dotikali²£e po krivulji giblje s hitrostjo 1 [14].

Krivinski polmer ρ je obratna vrednost eksijske ukrivljenosti [2, 11]:

ρ= 1

κ. (8)

Torzijska ukrivljenost ali zvitost krivulje K v to£ki T se izra£una po for- muli [3, 14]:

ω = ( ˙~r,~¨r,...

~r)

|~r˙×~r¨|². (9)

Absolutna vrednost torzijske ukrivljenosti pomeni hitrost, s katero se su£e binormala~b=~t×~n, ko dotikali²£e po krivulji potuje s hitrostjo 1 [14].

Polmer zvitosti je obratna vrednost torzijske ukrivljenosti [2]:

τ = 1

ω. (10)

4 Ploskve v prostoru

4.1 Kaj je ploskev?

Ploskev je dvorazseºni objekt v prostoru, najve£krat se pojavi kot mejna ploskev prostorskega telesa [7].

4.2 Ploskev v prostoru

V [8] je denicija ploskve v prostoru podana takole: Naj bo D obmo£je v ravnini xy in f(x, y) zvezna funkcija na D. Potem je mnoºica to£k P = {(x, y, z); z=f(x, y), (x, y)∈ D} ploskev v prostoru.

Denicija Ivana Vidava [14] se glasi: Naj bo f(x, y)enoli£na in zvezna funk- cija, denirana na odprtem obmo£ju D ravnine xy. Ena£ba z = f(x, y) dolo£a v prostoru ploskev, ki je graf funkcije f(x, y). Pravokotna projekcija te ploskve na ravnino xy je denicijsko obmo£je D. Vsaka to£ka obmo£ja D je projekcija natanko ene to£ke na ploskvi.

Ploskev v prostoru lahko podamo v naslednjih oblikah [2, 8, 11]:

1. implicitni: F(x, y, z) = 0, 2. eksplicitni: z=f(x, y),

3. parametri£ni: x=x(u, v), y =y(u, v), z =z(u, v),

4. vektorski: ~r =~r(u, v) ali~r=x(u, v)~i+y(u, v)~j+z(u, v)~k.

4.2.1 Dolºina krivulje na ploskvi

Poljubni krivulji K⁰ z ena£bama u = u(t), v = v(t), t ∈ [a, b], v ravnini parametrov u, v ustreza na ploskvi ~r = ~r(u, v) krivulja K, katere dolºino lahko izra£unamo po formuli (6). Pri tem je potrebno upo²tevati, da je krajevni vektor~r, ki opi²e krivuljoK, posredno funkcija parametrat. Odvod

je enak ~r˙ = ~r_uu˙ +~r_vv˙. Sledi, da je s˙² = ˙~r~r˙ = (~r_uu˙ +~r_vv)(~˙ r_uu˙ +~r_vv)˙ . Po izra£unu kvadrata dvo£lenika dobimo:

˙

s² = (~r_u~r_u) ˙u²+ 2(~r_u~r_v) ˙uv˙+ (~r_v~r_v) ˙v².

Ozna£imo skalarne produkte~r_u~r_u =E,~r_u~r_v =F in~r_v~r_v =G, kjer soE, F, G funkcije parametrov u in v. V vsaki to£ki ploskve imajo natan£no dolo£ene vrednosti. Dolºino krivulje lahko sedaj zapi²emo kot:

s= Z b

a

√

Eu˙²+ 2Fu˙v˙+Gv˙² dt. (11) Izraz pod integralom v (11) je diferencial loka ds. Upo²tevajmo ²e, da sta diferenciala koordinat du = ˙udt in dv = ˙vdt. Za kvadrat diferenciala ds² =

˙

s²dt² dobimo formulo:

ds² =Edu²+ 2F dudv+Gdv². (12) Izraz (12) se imenuje prva osnovna (fundamentalna) forma teorije plo- skev.

4.2.2 Kot med krivuljama na ploskvi

Kot med krivuljama ~r = ~r1(t) in ~r = ~r2(t) na ploskvi, ki se sekata v neki to£kiT, izra£unamo iz formule za skalarni produkt~t₁·~t₂ =|~t₁| · |~t₂|cosα, kjer sta ~t₁ in~t₂ tangentna vektorja v to£ki M, ki ju dobimo s prvim odvodom.

Torej lahko kot α izra£unamo po formuli:

cosα=

~r˙₁ ·~r˙₂

|~r˙₁| · |~r˙₂|. (13) Krivulji se sekata pod pravim kotom natanko tedaj, ko je~r˙₁·~r˙₂ = 0.

4.2.3 Povr²ina ploskve

Povr²ina ploskve D, ki je dana eksplicitno z ena£bo z =z(x, y), je enaka:

P = Z Z

D

s

1 +∂z

∂x 2

+∂z

∂y 2

dxdy, (14)

kjer je vsaka to£ka integracijskega obmo£ja D enoli£no dolo£ena s svojo pro- jekcijo v ravnini xy, torej je vsaka to£ka integracijskega obmo£ja enoli£no dolo£ena s svojima koordinatama [2, 11].

Povr²ino ploskve, ki je dana parametri£no z x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), izra£unamo po formuli [14]:

P = Z Z

∆

√EG−F² dudv,

kjer je integracijsko obmo£je ∆ v ravnini uv mnoºica to£k, ki v dani para- metrizaciji ploskve da na njej tisti del, katerega povr²ino ºelimo izra£unati.

4.2.4 Prostornina telesa pod ploskvijo

Prostornina telesa pod ploskvijo D, ki je dana eksplicitno z ena£bo z = f(x, y)[2, 11], je enaka:

V = Z Z

D

z dxdy. (15)

5 Vivianijeva krivulja

Presek sfere x² +y² +z² = a² z radijem a in valja x² +y² = ax z radijem a/2 je Vivianijeva krivulja (slika 6).

Slika 6: Presek sfere in valja [19].

Po preoblikovanju ena£be valja do popolnega kvadrata dobimo:

x−a

2 2

+y² = a² 4 .

Os valja poteka vzporedno z osjo z skozi to£ko S(a/2,0,0), njegov radij pa je a/2. Z vpeljavo parametra t po zgledu polarnih koordinat x = rcost in y =rsint lahko koordinati x in y izrazimo takole:

x− a

2 = a 2cost, x = a

2(1 + cost), y = a

2sint.

Koordinato z pa izrazimo iz ena£b sfere in valja:

z² = a²−x²−y² =

= a²−ax=

= a²−aa

2(1 + cost)

=

= a²−a² 2 −a²

2 cost=

= a² 2 − a²

2 cost=

= a²

2(1−cost).

Upo²tevamo, da veljata enakosti1 = cos² ₂^t + sin² ₂^t incost= cos² ₂^t −sin² ₂^t:

z² = a²

2(1−cost) =

= a² 2

cos² t

2 + sin² t

2−cos² t

2+ sin² t 2

=

= a²

2 ·2 sin² t 2 =

= a²sin² t 2.

Po korenjenju dobimo z =asin₂^t. Zapis Vivianijeve krivulje v parametri£ni obliki je torej:

x = a

2(1 + cost), y = a

2sint, z = asint

2,

~r = ~r(t) = a

2(1 + cost,sint,2 sin t 2).

ƒe vzamemo −2π ≤t ≤2π, dobimo ravno celotno Vivianijevo krivuljo.

Vivianijevo krivuljo si lahko ogledamo s treh razli£nih projekcij. Prva pro- jekcija je na ravnino xy (slika 7), katere ena£ba je:

x²+y² = ax.

Slika 7: Projekcija na ravnino xy, narisana v Graphu.

Sledi projekcija na ravnino xz (slika 8) z ena£bo:

x = a

2(1 + cost) =

= a 2

sin² t

2 + cos² t

2 + cos² t

2−sin² t 2

=

= a

2·2 cos² t 2 =

= acos² t 2 =

= a

1−sin² t 2

=

= a−asin² t 2 =

= a−z² a =

= a²−z² a .

Slika 8: Projekcija na ravnino xz, narisana v Graphu.

Oglejmo si ²e projekcijo na ravnino yz (slika 9), katere ena£ba je:

Slika 9: Projekcija na ravninoyz, narisana v Graphu.

y = a

2·2 sin t 2cos t

2 =

= asint 2cost

2 =

= zcost 2; y² = z²cos² t

2 =

= z²

1−sin² t 2

=

= z² 1− z²

a²

; y = ±z

r 1− z²

a².

5.1 Dolºina

Dolºino Vivianijeve krivulje (slika 10) izra£unamo po formuli (6). Najprej izra£unamo odvode koordinat:

˙

x = −a 2sint,

˙

y = a 2cost,

˙

z = a 2cos t

2.

Ker Vivianijeva krivulja ustreza parametru t med −2π in 2π, so to meje integriranja:

s = Z 2π

−2π

px˙²+ ˙y²+ ˙z² dt=

= Z 2π

−2π

ra²

4 sin²t+ a²

4 cos²t+a² 4 cos² t

2 dt.

Vivianijeva krivulja je dvakrat simetri£na, zato lahko zapi²emo:

s = 4 Z π

0

a 2

r

sin²t+ cos²t+ cos² t 2 dt=

= 2a Z π

0

r

1 + cos² t 2 dt =

= 2a Z π

0

r

2−sin² t 2 dt=

= 2a Z π

0

s 2

1− sin²₂^t 2

dt=

= 2√ 2a

Z π

0

s

1− sin² ₂^t 2 dt.

Za laºje integriranje vpeljemo novo spremenljivko, pri £emer ne pozabimo spremeniti tudi mej:

Slika 10: Vivianijeva krivulja [18].

t

2 = u, dt

2 = du, dt = 2du.

S tem dobimo:

s = 2√ 2a

Z ^π₂

0

r 1−1

2sin²u·2du=

= 4√ 2a

Z ^π₂

0

r 1−1

2sin²u du.

Integral bomo zapisali s pomo£jo elipti£nega integrala druge vrste, ki je de- niran takole [2, 11]:

E(k, ϕ) = Z ϕ

0

q

1−k²sin²ψ dψ, kjer je 0< k <1.

Za ϕ = π/2 lahko zapi²emo tudi E(k) = E(k, ϕ), kar imenujemo popolni elipti£ni integral druge vrste.

Re²itev je torej:

s = 4√

2aE( 1

√2) =

= 4√ 2aE(

√2 2 ).

Kot zanimivost omenimo, da popolni elipti£ni integral druge vrste lahko iz- razimo s poten£no vrsto [2, 11]:

E(k) = π 2

( 1−

∞

X

n=1

"

(2n−1)!!

(2n)!!

#2

k²ⁿ 2n−1

)

=

= π 2

"

1− 1

4k²− 3

64k⁴− 5

256k⁶−. . .

# , kjer je 0< k <1.

S pomo£jo popolnega elipti£nega integrala druge vrste lahko izrazimo tudi obseg elipse s polosema A in B. ƒe je 0 < B < A in ε = √

A²−B²/A, potem je [2]:

l = 4AE(ε), kjer je k =ε=√

2/2.

Dolo£imo taka A in B, da bo dolºina s Vivianijeve krivulje enaka dolºini l elipse:

s = l, 4√

2aE

√2 2

= 4AE

√2 2

.

Ena£bo kraj²amo s 4E^√

2 2

:

√

2a = A.

Velika elipsina polos A, izraºena s sferinim polmerom a, je torej A = √ 2a. Dolo£imo ²e malo polos B.

Pri elipsi izra£unamo numeri£no ekscentri£nost ε kot ε = e/A, kjer je e polovi£na gori²£na razdalja. Torej lahko zapi²emo:

ε = e A =

√2 2 . Izrazimo e:

e =

√2 2 A.

Polovi£no gori²£no razdaljoe lahko izra£unamo kote=√

A²−B², kar vsta- vimo v zgornjo ena£bo in izrazimo B:

√

A²−B² =

√2 2 A, A²−B² = 1

2A², B² = 1

2A²,

B =

√2 2 A.

Ker vemo, da je A=√

2a, lahko malo polos B zapi²emo kot:

B =

√2 2 ·√

2a=

= a.

Torej lahko elipsini polosi zapi²emo kotA=√

2ainB =a. Elipsa _2a^x22+^y_a²2 = 1 ima dolºinol, ki je enaka dolºinis Vivianijeve krivulje na sferi polmera a. Poglejmo, kolikokrat je dolºina s Vivianijeve krivulje dalj²a od svoje projek- cije na ravnino xy, ki jo predstavlja obseg o kroºnice s polmerom a/2:

s o =

4√

2aE^√

2 2

πa =

= 4√

2E^√

2 2

π .

V matemati£nem priro£niku [2] najdemo pribliºno vrednostE^√

2 2

= 1,3506. S pomo£jo ra£unala izra£unamo, da je koli£nik:

s

o = 2,432.

Vivialijeva krivulja je za faktor 2,432 dalj²a od obsega kroºnice s polmerom a/2.

5.2 Kot v samoprese£i²£u

Vivianijeva krivulja se£e samo sebe prit = 0int = 2π. Izra£unamo vrednost prvega odvoda ~r˙ = (−^a₂sint, ^a₂cost, ^a₂cos^t₂)v teh to£kah:

~r(0) =˙ 0, a

2, a 2

,

~˙

r(2π) = 0, a

2, −a 2

. Izra£unamo ²e dolºini zgornjih vektorjev:

~r(0)˙ =

r 0 +

a 2

2

+ a

2 2

=

=

r2a² 4 =

= ra²

2 =

= a

√2;

~˙ r(2π)

=

r

0 +a 2

2

+

− a 2

2

=

=

r2a² 4 =

= ra²

2 =

= a

√2. Po formuli (13) izra£unamo velikost kota:

cosα = (0, ^a₂, ^a₂)·(0, ^a₂, −^a₂)

√a 2 · ^√a

2

=

=

a² 4 − ^a₄²

a² 2

=

= 0

a² 2

=

= 0.

Iz tega sledi, da je α=π/2.

5.3 Povr²ina ploskve

Povr²ino tistega dela sfere, ki je omejena z Vivianijevo krivuljo, izra£u- namo po formuli (14). Najprej izra£unamo parcialna odvoda izraza z = pa² −x² −y² :

∂z

∂x = −x

pa²−x²−y² =−x z

∂z

∂y = −y

pa²−x²−y² =−y z Zaradi simetri£nosti lahko zapi²emo:

P = 4

Z Z

D

r 1 + x²

z² +y²

z² dxdy =

= 4 Z Z

D

rz²+x²+y²

z² dxdy=

= 4 Z Z

D

ra²

z² dxdy=

= 4 Z Z

D

a

z dxdy=

= 4a Z Z

D

dxdy pa²−x²−y². Pri tem je D={(x, y) : x²+y² ≤ax, y ≥0}. Vpeljemo polarne koordinate in dolo£imo meje:

x²+y² = ax, r² = arcosϕ,

r = acosϕ.

S tem dobimo:

P = 4a Z ^π₂

0

dϕ

Z acosϕ 0

√ r

a²−r² dr=

= 4a Z ^π₂

0

dϕ(−√

a²−r²)

acosϕ

0

=

= 4a Z ^π₂

0

(−p

a²−a²cos²ϕ+

√

a²) dϕ=

= 4a Z ^π₂

0

(−

q

a²sin²ϕ+a) dϕ=

= 4a Z ^π₂

0

(−asinϕ+a)dϕ=

= 4a(acosϕ+aϕ)|₀^π2 =

= 4a² π 2 −1

=

= 2a²(π−2).

5.4 Prostornina telesa

Prostornino telesa, ki je znotraj valja x²+y² =ax in znotraj sfere x²+y²+ z² =a², izra£unamo po formuli (15). Zaradi simetri£nosti lahko zapi²emo:

V = 4

Z Z

D

pa²−x²−y² dxdy.

Vpeljemo polarne koordinate in dolo£imo meje:

V = 4

Z ^π₂

0

dϕ

Z acosϕ 0

r√

a²−r² dr.

Vpeljemo novo integracijsko spremenljivko:

a²−r² = u,

−2rdr = du, dr = −du

2r.

Nadaljujemo z ra£unanjem prostornine:

V = 4

Z ^π₂

0

dϕ

Z a²sin²ϕ a²

√u

− rdu 2r

=

= 4 Z ^π₂

0

dϕ Z a²

a²sin²ϕ

√u du 2 =

= 4· 1 2 ·2

3 Z ^π₂

0

dϕu³²

a²

a²sin²ϕ

=

= 4a³ 3

Z ^π₂

0

(1−sin³ϕ) dϕ=

= 4a³

3 (ϕ+ cosϕ− 1

3cos³ϕ)

π 2

0

=

= 4a³ 3

π

2 −1 + 1 3

=

= 4a³ 3

π 2 − 2

3

=

= 2

9a³(3π−4).

5.5 Ukrivljenost

V nadaljevanju sledita eksijska in torzijska ukrivljenost. Za izra£un potre- bujemo prve tri odvode parametri£ne oblike Vivianijeve krivulje.

~r(t) =˙

− a

2sint, a

2cost, a 2cost

2

,

~¨r(t) =

− a

2cost, −a

2sint, −a 4sint

2

, ...~r(t) = a

2sint, −a

2cost, −a 8cost

2

. 5.5.1 Fleksijska ukrivljenost

Fleksijsko ukrivljenost izra£unamo po formuli (11). Najprej izra£unamo~r˙×~r¨ in |~r˙×~r¨|:

~˙

r×~¨r =

~i ~j ~k

−^a₂sint ^a₂cost ^a₂ cos₂^t

−^a₂cost −^a₂sint −^a₄sin₂^t

=

=

− a²

8 costsint 2 +a²

4 sintcos t 2, −a²

8 sintsint 2− a²

4 costcos t 2, a²

4

;

|~r˙×~¨r| = s

a²

8 costsin t 2+ a²

4 sintcost 2

2

+ +

a²

8 sintsin t 2 − a²

4 costcost 2

2

+ a²

4 2

=

= ra⁴

64cos²tsin² t 2 − a⁴

16costsin t

2sintcos t 2 + a⁴

64sin²tcos² t 2+ +a⁴

64sin²tsin² t 2+ a⁴

16costsint

2sintcost 2 + a⁴

16cos²tcos² t 2+ a⁴

16 =

= ra⁴

16cos² t 2 + a⁴

64sin² t 2+ a⁴

16 =

= a² 8

r

4 cos² t

2+ sin² t

2 + 4 =

= a² 8

r

4 cos² t

2+ 1−cos² t

2+ 4 =

= a² 8

r

3 cos² t 2+ 5.

Upo²tevamo, da velja cos²₂^t = ^cos₂^t+1. Torej je:

|~r˙×~r¨| = a² 8

r

3cost+ 1

2 + 5 =

= a² 8

r3 cost+ 13

2 .

Nato izra£unamo |~r˙|:

|~r˙| = ra²

4 sin²t+a²

4 cos²t+ a² 4 cos² t

2 =

= ra²

4 +a² 4 cos² t

2 =

= a 2

r

1 + cos² t 2 =

= a 2

r

1 + cost+ 1

2 =

= a 2

rcost+ 3 2 . Fleksijska ukrivljenost (slika 11) je torej:

κ =

a² 8

q3 cost+13 2

a 2

qcost+3 2

3 =

=

a² 8

q3 cost+13 2 a³

8

cost+3 2

³₂ =

= 2√

3 cost+ 13 a

cost+ 3³₂.

Poglejmo, kolik²na je eksijska ukrivljenost κ, ko parameter t zavzame vre- dnosti 0, π/2 inπ, in njej pripadajo£i krivinski polmerρ po formuli (8).

Najprej poglejmo eksijsko ukrivljenost za parameter t= 0:

Slika 11: Graf eksijske ukrivljenosti, narisan v Graphu.

κ(0) = 2√

3 cos 0 + 13 a cos 0 + 3³₂

=

= 2√

3·1 + 13 a(1 + 3)³² =

= 2√ 16 a·4³² =

= 2·4 a·8 =

= 1 a.

Iz tega sledi, da je pripadajo£i krivinski radij:

ρ(0) =a.

Sledi eksijska ukrivljenost za parameter t=π/2:

κπ 2

= 2p

3 cos^π₂ + 13 a cos^π₂ + 3³₂

=

= 2√

3·0 + 13 a(0 + 3)³² =

= 2√ 13 a·3³² =

= 2√ 13 3√

3a =

= 2√ 39 9a . Torej je pripadajo£i krivinski radij:

ρ π

2

= 3√ 3a 2√

13 =

= 3√ 39a 26 .

Poglejmo ²e eksijsko ukrivljenost za parameter t=π:

κ(π) = 2√

3 cosπ+ 13 a cosπ+ 3³₂ =

= 2p

3·(−1) + 13 a(−1 + 3)³² =

= 2√ 10 a·2³² =

= 2√ 10 2√

2a =

=

√5 a . Torej je pripadajo£i krivinski radij:

ρ(π) = a

√5 =

=

√5a 5 . 5.5.2 Torzijska ukrivljenost

Torzijsko ukrivljenost izra£unamo po formuli (12). Najprej izra£unamo( ˙~r,~r,¨...

~ r).

( ˙~r,~r,¨ ...

~r) = ( ˙~r×~r)¨ ·...

~ r =

=

− a²

8 costsin t 2 +a²

4 sintcos t 2, −a²

8 sintsint 2 −a²

4 costcos t 2, a²

4 ·

·(a

2sint, −a

2cost, −a 8cost

2) =

= −a³

16costsintsint 2+ a³

8 sin²tcost 2 + a³

16sintsin t

2cost+ +a³

8 cos²tcos t 2− a³

32cos t 2 =

= a³ 8 cost

2− a³ 32cost

2 =

= 3a³ 32 cos t

2.

Torzijska ukrivljenost (slika 12) je torej:

ω =

3a³ 32 cos₂^t a²

8

q3 cost+13 2

2 =

=

3a³ 32 cos^t₂

a⁴ 128

3 cost+ 13 =

= 12 cos₂^t a(3 cost+ 13).

Slika 12: Graf torzijske ukrivljenosti, narisan v Graphu.

6 Stereografska projekcija

Stereografska projekcija je obratno enoli£na preslikava, pri kateri se proji- cirajo to£ke povr²ja sfere iz njenega severnega pola na njeno ekvatorialno ravnino [13].

Naj bo sfera podana z ena£bo X² +Y²+Z² = a². Na njenem povr²ju naj leºi to£ka M(X, Y, Z). Iz severnega pola N(0,0, a)bomo to£koM projicirali v to£ko M⁰(x, y,0) na ravninixy.

Zapi²imo ena£bo premice p skozi to£koN v smeri vektorja −−→

N M. Ker je

~

s = −−→

N M =

= (X, Y, Z−a), ima premica pena£bo:

p: ~r = ~r₀+λ~s=

= (0,0, a) +λ(X, Y, Z−a).

Pri tem je~r₀ krajevni vektor to£keN in~r krajevni vektor poljubne to£ke na premici p.

Parametri£na ena£ba premice p je torej:

x = λX, y = λY,

z = a+λ(Z −a).

Ker vemo, da ima to£ka M⁰ na ravnini xy aplikato 0, lahko zapi²emo:

0 = a+λ(Z−a),

λ = a

a−Z.

Posledi£no lahko koordinati x iny zapi²emo kot:

x = aX

a−Z,

y = aY

a−Z.

Premica pprebode ravnino xy v to£ki M⁰(_a−Z^aX ,_a−Z^aY ,0).

Poglejmo, kako naredimo obratno, £e imamo dano to£koM⁰(x, y,0)v ravnini XY in i²£emo to£ko M na sferi.

Iz to£ke M⁰(_a−Z^aX ,_a−Z^aY ,0) izrazimo koordinatiX inY:

X = x(a−Z)

a ,

Y = y(a−Z)

a .

Dobljeni koordinati vstavimo v ena£bo sfere X² +Y² +Z² = a², kjer je Z 6=a:

x(a−Z) a

!2

+ y(a−Z) a

!2

+Z² = a² x²(a−Z)²

a² + y²(a−Z)²

a² = a²−Z² x²(a−Z)²

a² + y²(a−Z)²

a² = (a−Z)(a+Z).

Ker je Z 6=a, lahko ena£bo kraj²amo za−Z:

x²(a−Z)

a² + y²(a−Z)

a² = a+Z, x²(a−Z) +y²(a−Z) = a²(a+Z), x²a−x²Z+y²a−y²Z = a³+a²Z,

x²Z+y²Z +a²Z = x²a+y²a−a³, (x²+y²+a²)Z = (x²+y²−a²)a,

Z = (x²+y²−a²)a x²+y²+a² . Za dolo£itev koordinat X in Y najprej izra£unamo izraz a−Z:

a−Z = a− (x²+y²−a²)a x²+y²+a² =

= (x²+y²+a²−x²−y²+a²)a x² +y²+a² =

= 2a³ x²+y²+a².

Dobljeno razliko a−Z vstavimo v koordinati X inY:

X = 2a³x

(x²+y²+a²)a =

= 2a²x x²+y²+a²,

Y = 2a³y

(x²+y²+a²)a =

= 2a²y x²+y²+a². Iz razlike a−Z = _x2+y^2a23+a² izrazimo Z:

Z = a− 2a³

x²+y²+a² =

= ax²+ay² +a³ −2a³ x²+y²+a² =

= ax²+ay² −a³ x² +y² +a² =

= (x²+y²−a²)a x²+y²+a² . Torej smo na²li koordinate to£ke M:

M 2a²x

x²+y²+a², 2a²y

x²+y²+a²,(x²+y²−a²)a x²+y²+a²

! .

Za raz²irjeno ravnino R²∪ {∞} ustreza to£ki ∞ to£ka N(0,0, a) na sferi in obratno.

6.1 Stereografska projekcija Vivianijeve krivulje

V 5. poglavju smo parametrizirali Vivianijevo krivuljo. Brez ²kode za splo-

²nost naj bo njena parametrizacija za namene stereografske projekcije nasle- dnja:

X = a

2(1 + cost),

Y = a

2sint, Z = asint

2.

Najprej zapi²imo projekcijo M⁰ katerekoli to£ke M(X, Y, Z) Vivianijeve kri- vulje na ravnino xy. V izraza x =aX/(a−Z) iny =aY /(a−Z) vstavimo X in Y:

x = a· ^a₂(1 + cost) a−asin₂^t =

=

a²

2 (1 + cost) a(1−sin₂^t) =

= a(1 + cost) 2(1−sin₂^t).

Ulomek v ²tevcu in imenovalcu pomnoºimo z izrazom 1 + sin^t₂:

x = a(1 + cost)(1 + sin₂^t) 2(1−sin₂^t)(1 + sin₂^t) =

= a(1 + cost)(1 + sin₂^t) 2 cos²₂^t . Uporabimo zvezo cos² ₂^t = ^1+cos₂ ^t:

x = a(1 + cost)(1 + sin₂^t) 2· ^1+cos₂ ^t =

= a

1 + sin t 2

. Podobno izrazimo ²e y:

y = a· ^a₂sint a−asin₂^t =

=

a² 2 sint a(1−sin₂^t) =

= asint 2(1−sin₂^t).

Ulomek v ²tevcu in imenovalcu pomnoºimo z izrazom 1 + sin^t₂:

y = asint(1 + sin₂^t) 2(1−sin₂^t)(1 + sin₂^t) =

= asint(1 + sin₂^t) 2(1−sin²₂^t) =

= asint(1 + sin₂^t) 2 cos^{2 t}₂ .

Uporabimo formulo za dvojne kote sint = 2 cos₂^t sin₂^t:

y = a·2 cos₂^tsin₂^t(1 + sin^t₂) 2 cos² ₂^t =

= asin₂^t(1 + sin₂^t) cos₂^t =

= atgt 2

1 + sin t 2

.

Opazimo, da je v y prisoten tudi izrazx=a(1 + sin₂^t), zato lahko zapi²emo:

y = xtgt 2.

Projekcijo M⁰ v ravninixylahko torej zapi²emo kotM⁰

a(1 + sin₂^t), xtg₂^t . Iz izrazov x = a(1 + sin₂^t) in y = xtg₂^t izlo£imo kotni funkciji. Najprej iz x=a(1 + sin₂^t) izrazimo sin₂^t:

x = a(1 + sin t 2), sin t

2 = x a −1.

Izraz xtg₂^t pa najprej kvadriramo:

y² = x²tg² t 2. Uporabimo zvezo tg₂^t = _cot¹t

2:

y² = x² 1 cot² ₂^t. Preoblikujemo formulo 1 + cot² ₂^t = _sin¹2 t

2: cot² t

2 = 1

sin^{2 t}₂ −1 =

= 1−sin² ₂^t sin² ₂^t , 1

cot² ₂^t = sin² ₂^t 1−sin² ₂^t. Pravkar dobljeno izpeljavo uporabimo v y² =x² _cot¹2t

2: y² = x² sin² ₂^t

1−sin² ₂^t. Uporabimo zvezo sin₂^t = ^x_a −1:

y² = x²

x a−12

1− ^x_a −12 =

= x²

x a −12

1− ^x_a + 1

1 + ^x_a −1 =

= x²

x a−12

2− ^x_a

· ^x_a =

= x

x a −12

2− ^x_a

· ¹_a =

= x

x−a a

2 2a−x

a²

=

= x(x−a)² 2a−x .

Ker vemo, da je to krivulja 3. reda, jo poi²£emo v matemati£nih priro£nikih [2, 11]. Dobljena krivulja bi lahko bila strofoida, katere ena£ba jey² =x^{2 a+x}_a−x, vendar je o£itno vzporedno premaknjena vzdolº abscisne osi. Zato je v na²em primeru treba izvesti vzporedni premik:

x−a = ξ, x = ξ+a.

Zgornjo izraºavo uporabimo v domnevni ena£bi za strofoido y² = ^x(x−a)_2a−x²:

y² = (ξ+a)(ξ+a−a)² 2a−ξ−a =

= (ξ+a)ξ² a−ξ =

= ξ² a+ξ a−ξ.

Torej ena£ba, ki smo jo dobili, res predstavlja strofoido (slika 13) v prema- knjeni legi.