1 Skozi geometrijo pred na²im ²tetjem

Univerza v Ljubljani Pedago²ka fakulteta

Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo

Tadej Star£i£

NEKAJ NALOG IZ ELEMENTARNE

GEOMETRIJE OBARVANIH Z ZGODOVINO

U£no gradivo

Ljubljana, 2017

Predgovor

Pred vami je zbirka izbranih nalog iz elementarne geometrije. Njen namen je v prvi vrsti spoznavanje nekaterih klasi£nih problemov in razvoja geometrije skozi £as ter v razli£nih kulturah, pa tudi opozoriti na prepojenost matematike in celo drugih podro£ij z geometrijo. V ta namen je dodanih tudi nekaj zanimivih podatkov o znanih matematikih v zvezi z razvojem geometrije; glavna vira zanje sta [1] in spletna Wikipedia.

Zbirka je nastajala od ²tudijskega leta 2013/14 do sedaj, v tem £asu na- mre£ na Pedago²ki fakulteti Univerze v Ljubljani med drugim vodim vaje iz predmeta Geometrija neko£ in danes, izbirnega predmeta na drugi stopnji, ki si ga lahko izberejo tudi nematematiki. V veliki ve£ini so se naloge re²evale na vajah in v okviru doma£ih malog pri omenjenem predmetu, za njihovo re²evanje pa praviloma zado²£a dobro srednje²olsko znanje matematike. Re-

²itve, ve£inoma rezultati in uporabni nasveti, pa tudi precej v celoti re²enih nalog, so na koncu.

Pa veliko veselja in zabave pri re²evanju!

Ljubljana, december 2017 dr. Tadej Star£i£

Kazalo

1 Skozi geometrijo pred na²im ²tetjem 4

2 Evklidovi Elementi 10

3 Stoºnice 13

4 ’e nekaj o krivuljah 18

5 Par zanimivih problemov evklidske geometrije 21

6 Trigonometrija 26

7 Fraktali 28

8 Re²itve 30

8.1 Skozi geometrijo pred na²im ²tetjem . . . 30

8.2 Evklidovi Elementi . . . 32

8.3 Stoºnice . . . 33

8.4 ’e nekaj o krivuljah . . . 35

8.5 Par zanimivih problemov evklidske geometrije . . . 36

8.6 Trigonometrija . . . 39

8.7 Fraktali . . . 40

1 Skozi geometrijo pred na²im ²tetjem

1. Na babilonskem dokumentu (vklesano v kamen) iz leta 1900 p. n. ².

je narisan kvadrat s stranico 30, na diagonali pa sta v ²estdeseti²kem sestavu zapisani ²tevili 42, 25 35 in 1,24 51 10 (prevedeno v obi£ajno notacijo). Kaj predstavljata?

2. Babilonci so pribliºek za√

2verjetno ra£unali z metodo povpre£ja, kjer sta zaporedna pribliºka a_n in a_n+1 v zvezi a_n+1 = ¹₂(a_n+ _a²

n).

(a) Koliko dobi² s tremi koraki omenjene motode in prvim pribliºkom a1 = 1. Ugotovi, kako natan£en je ta izra£un? Ali je pribliºek enak kot v nalogi 1? Poskusi na ta na£in izra£unati ²e pribliºek za√

7.

(b) Ugotovi, ali metoda povpre£ja deluje, t.j. ali je vsak naslednji pribliºek bolj²i od prej²njega? Pozna² ²e kak²no drugo metodo za izra£un pribliºkov?

3. S pomo£jo Talesovega¹ izreka o podobnosti bi v son£nem vremenu do- lo£ili vi²ino egip£anske piramide tako, da bi v tla zapi£ili palico dolºine 1m ravno toliko dale£ stran od piramide, da bi se konca senc palice in piramide ujemala. Kolik²na bi bila vi²ina piramide, £e bi bila senca palice dolga 2m, senca piramide pa bi segala 300m stran od sredi²£a osnovne ploskve piramide? Kako pomembno je, kam postavimo palico, oziroma ali bo senca vedno enako dolga? (Nasvet: Sonce je zelo dale£

stran od Zemlje.) 4. ’tevilo ϕ= ¹⁺

√ 5

2 , zlati rez, na daljici, ter v trikotniku oziroma petko- tniku:

(a) Naj boC taka to£ka na daljiciAB, da je ^AB_AC = ^AC_BC. Pokaºi, da je potem to razmerje enako ϕ.

(b) Dan je pravokotni trikotnik4ABC s pravim kotom pri ogli²£uC in razmerjem katet BC : AC = 1 : 2. Kroºnica s sredi²£em v B in polmerom BC naj seka hipotenuzo AB v to£ki D, kroºnica s sredi²²£em vA in polmerom dolºineAD pa naj seka katetoAC v to£kiS. Dokaºi, da sta CS:SAv razmerju zlatega reza. (Nasvet:

Brez ²kode lahko zaradi podobnosti vzame²BC = 1 inAC = 2.) (c) Diagonali AC in BD pravilnega petkotnika ABCDE naj se se- kata v to£ki F. Izra£unaj notranji kot petkotnika, ter dakaºi, da

1Tales (okrog 624 p. n. ².- okrog 546 p. n. ².) je bil gr²ki matematik

diagonali iz istega ogli²£a razdelita kot na tri enake dele. Pokaºi, da sta trikotnika4ABD in4BF A podobna in iz pripadajo£ega razmerja stranic izra£unaj razmerje med stranico in diagonalo pet- kotnika.

(d) S pomo£jo Ptolemajevega² izreka (t.j. ²tirikotnikABCDje tetivni natanko tedaj, ko je AB·CD+BC ·AD = AC ·BD; glej tudi 4. nalogo v razdelku 6), dokaºi, da je razmerje med diagonalo in stranico v pravilnem petkotniku enako zlatemu rezu.

(e) (Odomova³ konstrukcija) Dan je enakostrani£ni trikotnik 4DEF in njegova o£rtana kroºnicaK. Naj bosta to£kiAinCzaporedoma razpolovi²£i stranicDF inEF, premica skozi to£kiA inC pa naj seka kroºnico K v to£kah B in B⁰ tako, da je C med A in B. Pokaºi, da je ^AB_AC = ^AC_BC =ϕ.

5. S ²estilom in ravnilom konstruiraj pravilni petkotnik.

6. (a) Dan je tak pravokotnik, da ko ga razdelimo na kvadrat in pravoko- tnik, ima dobljeni pravokotnik enako razmerje stranic kot prvotni pravokotnik. Pokaºi, da imata pravokotnika stranici v razmerju zlatega reza.

(b) Ali velja tudi obrat trditve (a)? Dan je pravokotnik P1 s strani- cama v razmerju zlatega reza. Pravokotnik razdelimo na kvadrat in manj²i pravokotnik P₂. Pokaºi, da je razmerje stranic pra- vokotnikov v zlatem rezu. Nadalje P2 razreºemo na kvadrat in pravokotnik, slednjega spet razdelimo na kvadrat in pravokotnik P₃, ter postopek ponavljamo. V vsak kvadrat nari²i £etrt kroºnice tako, da skupaj dobi² krivuljo, ki ji pravimo zlata spirala.

2Klavdij Ptolemaj (okoli 85 - okoli 170) je bil gr²ki ali egip£anski matematik in astronom

3George Phillips Odom (1941- ) je ameri²ki umetnik in amaterski geometer

(c) Konstrukcijo v to£ki (a) uporabi za dokaz, da je zlati rez iracio- nalno ²tevilo. (Nasvet: Razmisli, ali ima lahko tak pravokotnik stranici z najmanj²ima celo²tevilskima dolºinama.)

7. ƒe list formata A∗ razdelimo na pol dobimo pravokotna lista z ena- kim razmerjem stranic kot v prvotnem pravokotniku. Kak²no je to razmerje?

8. (Figurativna ²tevila) Poi²£i prvih nekaj trikotni²kih in kvadratnih ²te- vil, ter poskusi najti formulo za n-to trikotni²ko oziroma kvadratno

²tevilo. Z indukcijo ali kako druga£e dokaºi ²e, da je n-to petkotni²ko

²tevilo enakoPn= ³ⁿ²₂⁻ⁿ. Pri danemkzapi²i ²e prvih nekajk-kotni²kih gurativnih ²tevil, ter poskusi najti formulo za n-to k-kotni²ko ²tevilo.

Formulo nato poskusi tudi utemeljiti.

9. (Arhimedova⁴ lema) Na daljiciAC leºi to£kaB. Dokaºi, da je plo²£ina med polkrogi nad daljicami AC, CB in AB enaka plo²£ini kroga s polmerom BD, kjer je D prese£i²£e polkroga nad AB in pravokotnice na AB skozi B.

10. Na ve£ razli£nih na£inov dokaºi Pitagorov⁵ izrek:

(a) (Pitagorov dokaz) V kvadratu s stranicoa+bv ogli²£ih obsekamo pravokotne trikotnike s katetama a in b ter hipotenuzo c tako, da nam ostane kvadrat s stranico c. Preuredi dobljene like ali primerjaj njihove plo²£ine.

4Arhimed (okrog 287 p. n. ². - okrog 212 p. n. ².) je bil gr²ki matematik in zik

5Pitagora (okrog 570 p. n. ². - okrog 495 p. n. ².) je bil gr²ki matematik

(b) (Dokaz Bhaskara⁶) Nad vsako stranico dolºinecv kvadratu nari²i pravokotni trikotnik s hipotenuzo c in katetama a in b tako, da v notranjosti dobi² kvadrat s stranico dolºine |a−b|. Primerjaj plo²£ine lokov.

(c) (Dokaz Thabit ibn Qurra⁷) Primerjaj plo²£ine likov na sliki.

(d) (Fibonaccijev dokaz⁸) Spomni se, da vi²ina pravokotnega triko- tnika razdeli trikotnik na ve£ podobnih trikotnikov. S pomo£jo razmerij dokaºi Pitagorov izrek.

(e) (Dokaz Leonarda da Vincija⁹) Nad stranicami AB, BC in CA pravokotnega trikotnika 4ABC z vrhom v C zaporedoma nari²i kvadrateAA⁰B⁰B,CBB⁰⁰C⁰ inACC⁰⁰A⁰⁰, nato pa nadA⁰B⁰ ²e tri- kotnik 4A⁰B⁰D∼=4ABC. Pokaºi, da sta ²tirikotnika A⁰⁰B⁰⁰C⁰C⁰⁰ inDB⁰BC skladna, ter razmisli, kaj to pomeni.

(f) (Einsteinov dokaz¹⁰) Vi²ina na hipotenuzo razdeli pravokotni tri- kotnik na dva trikotnika, katerih plo²£ini sta v razmerju s plo²£ino osnovnega trikotnika v razmerju kvadratov hipotenuz. še vidi² za- kaj velja Pitagorov izrek?

11. V povezavi z znanim starogr²kim problemom kvadrature kroga (t.j. kon- strukcije kvadrata s plo²£ino enako plo²£ini kroga) so na egip£anskem

6Bhaskara (1114-1185) je bil indijski matematik in astronom

7Thabit ibn Qurra (826 - 901) je bil arabski matematik, astronom in zik

8Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250) je bil italijanski matematik

9Leonardo da Vinci (1452-1519) je bil italijanski znanstvenik in umetnik

10Albert Einstein (1879 - 1955) je bil nem²ki zik

Rhind papirusu iz leta 1600 p. n. ² na²li kvadrat s stranico dolºine 9 z obsekanimi vogali dolºine 3. Utemelji babilonski pribliºek 64 za plo²£ino kroga s premerom 9, ter nato iz sorazmernosti plo²£ine s kva- dratom radija sklepaj na pribliºek ²⁵⁶₈₁r² za plo²£ino kroga z radijem r. Kako dober pribliºek za ²tevilo π dobimo iz babilonskega pribliºka za plo²£ino kroga? (Opomba: Zgolj z neozna£enim ravnilom in ²estilom kvadratura kroga ni mogo£a, sajπni algebrai£no ²tevilo, kar je dokazal Lindemann¹¹.)

12. (a) Ugotovi, ali je re²ljiv problem kvadrature pravokotnika (oziroma trikotnika), t.j. konstrukcija kvadrata, ki bo imel plo²£ino enako plo²£ini poljubno podanega pravokotnika (oziroma trikotnika).

(b) Kaj pa obratno, ali lahko pri danem kvadratu konstruiramo plo-

²£insko enak enakostrani£ni trikotnik? Kaj pa 'pravokotnenje' kvadrata (ali celo kroga)?

13. Grki so pribliºke za plo²£ino oziroma obseg kroga (ter tako za π) izra-

£unavali s pomo£jo v£rtanih in o£rtanih pravilnih ve£kotnikov. Kak²ne pribliºke so dobili s pravilnim ²estkotnikom, osemkotnikom in dvanajst- kotnikom?

14. Arhimedova ocena 3¹⁰₇₁ < π < 3¹₇ oziroma izra£un stranice enotskemu krogu v£rtanega in o£rtanega 96-kotnika (metoda iz£rpavanja) je te- mljila na naslednjih premislekih:

(a) Dolo£i stranico pravilnega 12-kotnika.

(b) Pravokotnemu trikotniku4ABC s pravim kotom pri ogli²£uC je o£rtan enotski krog. Naj to£kaD leºi na razpolovi²£u loka medA in C. Premisli, zakaj je ∠CBD skladen ∠DBA, nato pa dolºino AD izrazi z dolºino AC. Naj nadalje z E oziroma F ozna£imo prese£i²£e premice ←→

BC oziroma ←→

BD in pravokotnice na ←→ AB skozi A. Premisli, zakaj je∠CBDskladen∠DBA, nato pa dolºinoAF izrazi z dolºino AE.

Svetovni rekord v ²tevilu decimal π (t.j. 126) je imel nekaj £asa celo na² Vega¹².

15. Znameniti klasi£ni starogr²ki problem, ki je bil znan tudi Egip£anom, je podvojitev kocke, t.j. konstrukcija kocke z dvojnim volumnom oziroma konstrukcija √³

2zgolj z neozna£enim ravnilom in ²estilom. Problem ni

11Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939) je bil nem²ki matematik

12Jurij Bartolomej Vega (1754 - 1802) je bil Slovenski matematik in vojak

re²ljiv, saj √³

2 ni ni£la polinoma stopnje 2ⁿ, kar je dokazal Wantzel¹³. Vendar pa lahko z ozna£enim ravnilom konstruira² √³

2, kako?

16. Ali je z neozna£eni ravnilom in ²estilom mogo£a (a) potrojitev oziroma 'poosmitev' kocke?

(b) podvojitev kvadrat, t.j. konstrukcija kvadrata z dvojno plo²£ino?

17. Eden izmed znamenitih starogr²kih problemov je bil tudi tretjinjenje kota s ²estilom in neozna£im ravnilom, ki pa je v splo²nem tudi nere-

²ljiv zaradi podobnega razloga kot podvojitev kocke (glej nalogo 16).

Razmisli, zakaj.

(a) Pojasni naprej, kako je z bisekcijo kota, ter poi²£i nekaj kotov, ki jih je mogo£e tretjiniti.

(b) Arhimed pa je znal problem tretjinjenja re²iti z ozna£enim rav- nilom in ²estilom. Pojasni tako konstrukcijo: Na kroºnici z ra- dijem r in sredi²£em O sta dani to£ki A in B. Ravnilo z ozna- kama na razdalji r postavimo tako, da se dotika to£ke B, ena oznaka leºi na kroºnici, druga oznaka pa na premici ←→

OA v to£ki C;3∠ADB =∠AOB.

13Pierre Laurent Wantzel (1814-1848) je bil francoski matematik

2 Evklidovi Elementi

1. (Evklid¹⁴, Elementi, I.4) Trikotnika s skladnima stranicama in vmesnim kotom sta skladna. V Hilbertovi¹⁵ aksiomatski formulaciji je ta trditev aksiom. Komentiraj.

2. (Evklid, Elementi I.32) Spomni se, zakaj je zunanji kot v trikotniku enak vsoti ostalih dveh neprileºnih notranjih kotov. Zakaj je vsota kotov enaka π? (To ne velja v hiperboli£ni (neevklidski) geometriji, kjer je vzporednic skozi to£ko lahko ve£. Za£etnika te geometrije pa sta Bolyai¹⁶ in Lobacevsky¹⁷, njuno delo pa so nadaljevali Beltrami¹⁸, Klein¹⁹, Poincare²⁰.)

3. (Evklid, Elementi II.11) Dan je kvadrat ABCD in naj bo E razpo- lovi²£e BC. Kroºnica s sredi²£em v E in polmerom ED seka nosilko stranice BC v to£ki F. Pokaºi, da sta potem AB in BF v razmerju zlatega reza.

4. Poi²£i geometrijski dokaz Trditve II.8. iz Evklidovih Elementov:

(a+b)² −(a−b)² = 4ab.

5. Geometrijsko dokaºi naslednje enakosti:

(a) 1 + 2 + 3 +. . .+n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ . (Nasvet: Opazuj enotske kvadratke nad diagonalo kvadratne mreºe dimenzijn×n.)

14Evklid (okoli 365 p. n. ².-275 p. n. ²) je bil gr²ki matematik

15David Hilbert (1862 - 1943) je bil nem²ki matematik

16Janos Bolyai (1802 - 1860) je bil madºarski matematik

17Nikolai Lobachevsky (1792 - 1856) je bil ruski matematik

18Eugenio Beltrami (1835 - 1900) je bil italijanski matematik

19Christian Felix Klein (1849 - 1925) je bil nem²ki matematik

20Jules Henri Poincare (1854 - 1912) je bil francoski matematik in zik

(b) 1·2 + 2·3 +. . .+n˙(n+ 1) = n(n+1)(n+2)

3 . (Nasvet: (T. C. Wu²¹) Na dalj²o stranico pravokotnika dimenzij ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ ×(n+ 1) zloºi po vrsti pravokotnike dimenzij 1×2,2×3, . . . n×(n+ 1).)

6. (Evklid, Elementi, Trditev III. 32.) Dan je trikotnik s stranicami a, b in c, ter naj bo v dolºina pravokotne projekcije stranice b na stranico a. Dokaºi, da potem velja

a²+b²−2av=c².

Kateri izrek v trikotniku nam pravzaprav opisuje trditev? Odtod skle- paj, da velja tudi obrat Pitagorovega izreka (Evklid, Elementi Trditev I.48.), t.j. £e v trikotniku velja a²+b² =c², potem je trikotnik pravo- kotni. (Evklid je slednje sicer dokazal nekoliko druga£e.)

7. Dokaºi Trditev III. 32 iz Evklidovih Elementov: ƒe je daljicaEF tan- gentna na kroºnicoKv to£kiB, ter staCinDto£ki na kroºnici, potem sta kota ∠DCB in∠DBE skladna.

8. Naj se kroºnici K₁ in K₂ sekata v to£kahP inQ. Naj premici skozi P oziroma Q sekata kroºnici K₁ oziroma K₁ zaporedoma ²e v to£kah A in C oziroma B in D, tako da sta A in B na isti kroºnici. Pokaºi, da sta premici ←→

AB in ←→

CD vzporedni.

9. Naj se dve kroºnici sekata v to£kah P inQ. Naj bo T to£ka na eni od kroºnic, premici T P in T Qpa naj sekata kroºnici ²e v to£kah A in B. Pokaºi, da je tangenta na kroºnico v to£ki T vzporedna z AB.

10. V Elementih je opisan tudi Evklidov algoritem za iskanje najve£jega skupnega delitelja dveh ²tevil, ki ga je predtem poznal ºe Evdods²², nekoliko kasneje pa so ga neodvisno odkrili tudi v Indiji oziroma na Kitajskem. Algoritem je v Elementih predstavljen tudi geometrijsko (Trditev X. 2.) preko razrezovanja na kvadratke. Za£etni pravokotnik v prvem koraku razreºe² na kvadrate maksimalne velikosti in ostanek - pravokotnik, ki ima eno stranico enako dolgo kot prvotni pravokotnik, drugo pa manj²o; nato postopek ponovimo na manj²em pravokotniku itd. dokler ostanka ne dobimo ve£, stranica najmanj²ega kvadratka pa je najve£ji skupni delitelj. S tem postopkom dolo£i najve£ji skupni delitel D(9,24).

21T. C. Wu je verjetno ameri²ki matematik

22Evdoks (410 p. n. ².- 347 p. n. ².) je bil gr²ki matematik in astronom

11. V trditvah od XII.3 do XII.9 Evklidovih Elementov je opisan volumen piramide V = ^O·v₃ , kjer je O plo²£ina osnovne ploskve, v pa vi²ina.

Pri utemeljevanju faktorja ¹₃ Evklid prizmo razreºe na tri piramide, ki imajo paroma skladni osnovni ploskvi in vi²ino. Zakaj? Za kak poseben primer poskusi najti enostaven direkten dokaz omenjene formule. V modernej²em dokazu formule za volumen piramide pa je pomembno dejstvo, da je razmerje osnovne ploskve in 'rezine' na vi²ini h' enako kvadratu _(v−h)^{v2 2}. Razmisli, zakaj to velja. Odtod sklepaj, da sta plo²£ini rezin na istih vi²inah dveh piramid z istima osnovnima ploskvima in vi²inama enaki.

12. Zakaj ne obstaja platonsko telo, ki bi bilo sestavljeno iz pravilnih ²est- kotnikov oziroma sedemkotnikov? Razmisli tudi, zakaj so tetraeder, kocka, oktaeder, dodekaeder in ikozaeder edina platonska telesa (Ev- klid, Elementi XIII.) (Poliedrsko telo je platonsko, £e se v vsakem ogli-

²£u stika enako ²tevilo pravilnih ve£kotnikov.)

3 Stoºnice

1. Stoºnice je kot preseke stoºca z ustreznimi ravninami vpeljal ºe Apolo- nij²³ v svoji znameniti knjigi Stoºnice (Trditev I.11, I.12, III.52). Pa- rabolo dobimo kot presek stoºca z ravnino, ki je enako strma kot stra- nica stoºca. ƒe je ravnina bolj oziroma manj strma kot stranica stoºca (dvojnega), dobimo hiporbolo oziroma elipso. S pomo£jo Dandelinove²⁴ sfere, ki se dotika tako ravnine kot stoºca poveºi omenjeno denicijo stoºnic z njihovo geometrijsko lastnostjo.

2. Naj bo dana vrvica dolºine10, ki je vpeta v obeh koncih, ki sta narazen za 6. Vrvico napnemo in ozna£imo to£ko prijemali²£a. Utemelji, da ta to£ka leºi na elipsi. Kolik²ni bosta polosi te elipse?

3. Dani sta vrvica dolºine 4 in palica dolºine 8, ki sta na enem koncu zvezani, druga dva konca pa sta vpeta v dveh to£kah, ki sta narazen za 10. ƒe del vrvice x pritiskamo tesno ob palico, bo to£ka na koncu od danih ksnih to£k oddaljena za 4−x oziroma 8−x. Katero krivuljo dobimo, £e spreminjamo x?

4. Dani sta vrvica in palica enake dolºine8, ki sta na enem koncu zvezani, drugi konec vrvice je vpet v ksni to£ki F. ƒe del vrvice x pritiskamo tesno ob palico, bo to£ka na koncuT(x)odF oddaljena za8−x. Katero krivuljo opi²e T(x), £e spreminjamo x tako, da se drugi konec palice premika po vnaprej izbrani premici p in je palica ves £as pravokotna na to premico?

5. Dolo£i mnoºico to£k, katerih produkt razdalj do dveh danih to£k v koordinatni ravnini F₁(−a,0)in F₂(a,0)je konstantno enak a² >0, ki ji re£emo Bernoullijeva²⁵ lemniskata. (Nasvet: Kartezi£ni koordinatni sistem, je vpeljal Descartes²⁶.)

23Apolonij (265 p. n. ² - 170 p. n. ²) je bil gr²ki matematik

24Germinal Pierre Dandelin (1794-1847) je bil belgijski matematik in inºenir

25Jakob Bernoulli I. (1654-1705) je bil ²vicarski matematik

26Rene Descartes (1596 - 1650)je bil francoski matematik in lozof

6. Dan je pravokoten (neprozoren) list papirja.

(a) Na listu naj bo dana to£ka P. Papir prepognemo tako, da rob papirja p poteka skozi dano to£ko P. Utemelji, da je prepogib, ki ga tako dobimo, tangenta parabole z vodnico na robu papirja in gori²£em v dani to£ki. Z ve£kratnim tak²nim prepogibanjem dobimo ogrinja£o parabole.

(b) Na listu naj bo dana kroºnica z radijem r, ter to£ka Q v njeni notranjosti, ki ni sredi²£eS. Papir prepogibamo tako, da kroºnica vedno pokrije izbrano to£ko. Utemelji, da je prepogib, ki to£ko na kroºnici A prepogne naQ, tangenta na elipso z gori²£ema v P in S, ter polosjo ^r₂ (in se elipse dotika v to£ki, ki leºi na premici skozi S in A). Z zaporednim prepogibanjem dobimo mnoºico tangent na elipso.

(c) Naj listu naj bo dan krog s sredi²£em S in radijem r, ter neka to£ka Qzunaj kroga. Papir prepogibamo tako, da kroºnica vedno pokrije to£koQ. Utemelji, da je prepogibp, ki to£koP na kroºnici prepogne na Q, ravno tangenta na hiperbolo z gori²£ema v Q in S, ter glavno polosjo ^r₂. ’e ve£,pse hiperbole dotika v to£ki A, ki leºi na premici skoziS inP. Z zaporednim prepogibanjem dobimo ogrinja£o hiperbole.

7. Pokaºi, da je elipsa oziroma hiperbola z ena£bo ^x_a²2 ± ^y_b2² = 1, a > b natanko mnoºica to£k, katerih razmerje oddaljenosti od dane to£ke (t.j.

gori²£a) ter premice (t.j. vodnice) z ena£bo x = ^{√ a2}

a²±b² je konstantno enako e=

√ a²±b²

a , a > b (t.j. ekscentri£nost).

8. Dana je hiperbola z ena£bo 2x² −y² = 4. Dolo£i polosi, linearno in numeri£no ekscentri£nost, koordinate gori²£, ter asimptote dane hiper- bole. Hiperbolo tudi nari²i.

9. Zapi²i en£bo parabole s temenom v to£ki (0,0) in gori²£em v to£ki (2,0). Dolo£i ²e vodnico parabole in nato parabolo ²e nari²i. Dano parabolo tudi prezrcali £ez simetralo lihih kvadrantov in zapi²i njeno ena£bo.

10. Po prvem Keplerjevem²⁷ zakonu planeti na²ega oson£ja kroºijo po elip- sah s Soncem v gori²£u. Ekscentri£nost tirnice Zemlje je trenutno 0.0167. Kak²no je razmerje njenih polosi?

11. (a) Premisli, da je tangenta skozi dano to£ko elipse simetrala kota med premicama skozi to to£ko in gori²£i (Apolonij, Stoºnice Trditev III.48).

(b) Iz gori²£a biljardne mize v obliki elipse udarimo kroglico. Z upo- rabo (a) razloºi, zakaj se ta od stene odbije in gre skozi drugo gori²£e.

12. (a) Utemelji, da je tangenta skozi dano to£ko parabole simetrala kota med premicama skozi to to£ko in njeno pravokotno projekcijo na vodnico oziroma gori²£e.

(b) S pomo£jo (a) pokaºi, da se vsi ºarki, ki so pravokotni na vodnico paraboli£nega zrcala, odbijejo v gori²£e parabole.

13. Pokaºi, da je tangenta skozi dano to£ko hiperbole simetrala kota med premicama skozi to to£ko in gori²£i hiperbole.

14. Pokaºi, da se tangenti skozi prese£i²£i elipse in hiperbole s skupnima gori²£ema sekata pravokotno.

27Johannes Kepler (1571-1630) je bil nem²ki matematik in astronom

15. Naj boxdolºina 's-tetive', t.j. daljice, ki jo na stoºnici odreºe premica p, ki je pravokotna na os stoºnice, ter gre skozi gori²£e. Z y pa ozna-

£imo dolºino omejenega loka, ki ga p odreºe od stoºnice. Pokaºi, da je natanko pri parabolah in kroºnicah razmerje ^x_y vedno enako.

16. (Apolonij, Stoºnice III.50) Dana je elipsa z glavno polosjo dolºine a, sredi²£em v O, ter gori²£ema F₁ in F₂. Naj bo naprej p premica, ki je tangentna na elipso v to£ki P in ni pravokotna na glavno polos.

Ozna£imo z R₁ inR₂ zaporedoma pravokotni projekciji gori²£F₁ inF₂ na tangento elipse p. Na premici skozi to£ki F₁ in P izberi to£ko B tako, da bo P leºala med F1 in B, ter bo veljalo F2P =BP.

(a) Pokaºi, da sta trikotnika 4F₂R2P in 4BR₂P skladna.

(b) Pokaºi, da sta trikotnika4F₂OR₂ in4F₂F₁B podobna z razmer- jem stranic 1 : 2.

(c) Utemelji, zakaj veljaF₁B =F₁P +P F₂ = 2a.

(d) Dokaºi, da to£ki R₁ inR₂ leºita na kroºnici z radijem a in s sre- di²£em v sredi²£u elipse.

17. V arhitekturi lahko najdemo oval kot na sliki spodaj. (Konstruiramo ga na naslednji na£in: Najprej konstruiramo enakokraka trikotnika 4ABC in4ADB s skupno osnovnicoAB dolºinecin skladnimi kraki dolºinea. Nato krake podalj²amo do to£kE,F, GinH, da so dolºine BE, AF, AG in BH enake s. Na koncu konstruiramo ²e kroºni lok s sredi²£em v B od to£ke H doE, lok s sredi²£em v Dod to£ke E doF, lok s sredi²£em v A od to£keF doG, ter lok s sredi²£em v C od G do H.) Natan£no utemelji, ali ima oval obliko elipse.

18. Apolonij je tretjinil dani kot s pomo£jo hiperbole. Pojasni njegovo konstrukcijo: Na kroºnici s sredi²£em O sta dani to£ki A in B. Kon- struiraj hiperbolo z gori²£em vB, ekscentri£nostjo2, ter simetralo kota

∠BOA za vodnico. Presek hiperbole s kroºnico ozna£i s C, ter izpelji 3∠BOC ∼=∠BOC.

19. (a) Pri izra£unu plo²£ine odseka parabole je Arhimed geometrijsko utemeljil vsoto geometrijske vrste

1 + (1 4 + 1

16 + 1

64+. . .) = 1 +1 3.

Kvadrat s stranico 1 je razdelil na ²tiri enake manj²e kvadrate s stranicami ¹₂, zgornji desni manj²i kvadrat spet na ²tiri manj²e s stranicami ¹₄, pa najmanj²i zgornji desni kvakrat spet na ²tiri manj²e s stranicami ¹₄, itd. Kvadrati na diagonali predstavljajo ravno vsoto dane vrste. Kolik²en del kvadrata zapolnijo.

(b) Poskusi najti podoben geometrijski dokaz kot v za izra£un po- ljubne geometrijske vrste

1 +r+r²+. . .= 1

1−r, |r|<1.

S pomo£jo spodnje slike pa poskusi podati ²e en geometrijski dokaz za vsoto geometrijske vrste (B. G. Klein ²⁸, Bivens²⁹).

28Benjamin G. Klein je ameri²ki matematik

29Irl C. Bivens je ameri²ki matematik

4 ’e nekaj o krivuljah

1. Arhimedova spirala je v polarnih koordinatah podana z ena£bo r = aϕ. Utemelji, da daljice, dolo£ene z Arhimedovo spiralo in premicami skozi izhodi²£e, med katerimi so vsi koti enaki, dolo£ajo aritmeti£no zaporedje (Arhimed, O spiralah, Trditev 12.) Na podlagi tega utemelji

²e trisekcijo danega kota s pomo£jo spirale, ter ugotovi, za koliko se pove£a oddaljenost to£ke na spirali od izhodi²£a, ko se spirala 5-krat ovije okrog izhodi²£a.

2. Arhimedova spirala je tudi tesno povezana s kvadraturo kroga. Naj bo P to£ka na spirali, ko ta naredi prvi ovoj. Tangenta na spiralo v P naj seka pravokotnico na daljico OP v to£ki T. Pokaºi, da je potem dolºina daljice OT enaka obsegu kroºnice s sredi²£em v O in radijem OP. Odtod sklepaj, da imata omenjeni krog in trikotnik4OP T enaki plo²£ini (Arhimed, O spiralah, Trditev 19.).

3. Skiciraj

(a) logaritmi£no spiralo z ena£bo r = ae^bϕ v polarnih koordinatah.

(Obliko logaritmi£ne spirale v naravi najdemo pri ²koljkah, obmo-

£jih nizkega pritiska, galaksijah, itd.)

(b) hiperboli£no spiralo, ki je v polarnih koordinatah podana z ena£bo r= ^a_ϕ. Dolo£i ²e njeno asimptoto, t.j. izra£unaj limitilimϕ→0x(ϕ) inlimϕ→0y(ϕ).

4. Theodorusovo³⁰ spiralo konstruiramo s pomo£jo pravokotnih trikotni- kov. Za£nemo s pravokotnim enakokrakim trikotnikom s katetama dol- ºine 1, nato nad hipotenuzo nari²emo pravokotni trikotnik, katerega

30Theodorus (5. st. p. n. ².) je bil gr²ki matematik

ena kateta se ujema s hipotenuzo prvega trikotnika, druga kateta pa je dolºine 1. Postopek nadaljujemo tako, da nad hipotenuzo prej²njega trikotnika nari²emo nov pravokotni trikotnik, katerega ena kateta se ujema s hipotenuzo prej²njega trikotnika, druga kateta pa je dolºine1. Utemelji, zakaj so dolºine hipotenuz nastalih pravokotnih trikotnikov ravno koreni naravnih ²tevil, t.j. h_n =√

n, koti trikotnikov z vrhom v skupnem ogli²£u pa so ϕ_n = arctan ^√1_n

. Razloºi, zakaj vsaj lokalno Theodorusova spirala dobro aproksimira Arhimedovo spiralo. (To velja celo globalno, kar pa je teºje dokazati.) Kak²ne oblike je njena ena£ba v polarnih koordinatah?

5. V implicitni ali parametri£ni obliki so podane naslednje krivulje:

(a) x(t) = 4 cos(t), y(t) = 3 sin(t), t∈R, (elipsa), (b) x²³ +y²³ = 1, (asteroida),

(c) x(t) =a(t−sint), y(t) = a(1−cost), t∈R, a >0, (cikloda), (d) x³−3axy+y³ = 0, a >0, (Descartesov list)

(Nasvet: Vpelji parametert = ^x_y.)

(e) x(t) =t, y(t) = ¹₂(e^t+e^−t), t∈R, (veriºnica), (f) x=t, y=t², z =t³, t ∈R,

(g) x=e^t, y =e^−t, z =√

2t, t∈R,

ƒimbolj natan£no nari²i dane krivulje.

6. Dana je vija£nica x=acost, y=asint,z =bt.

(a) Dolo£i pritisnjeno ravnino, t.j. napeto na r(t)˙ in ¨r(t) glede na krivuljo r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

(b) Poskusi reparametrizirati krivuljo z naravnim parametrom. (Na- svet: Izra£unaj s(t) = Rt

0

px˙²(t⁰) + ˙y²(t⁰) + ˙z²(t⁰)dt⁰, ter nato in- verz t=s(t).)

(c) Izra£unajte eksijsko ukrivljenost κ= ^|rר_|^˙_r|˙3^r|oziroma radij kroºnice, ki se krivulji najbolj prilega.

(d) Izra£unajte torzijsko ukrivljenost τ = ^{( ˙}_|˙^rר_rר^r)·_r|3^r˙¨ oziroma zvitost kri- vulje glede na pritisnjeno ravnino.

(Opomba: ƒe je krivulja r(s)parametrizirana z naravnim parametrom s(t.j. |r|˙ = 1), potem jeκ=|¨r|inτ = ˙n·b, kjer jen = _|¨^¨r_r| inb = ˙r×n.) 7. Izra£unaj ukrivljenost parabole, elipse in hiperbole.

5 Par zanimivih problemov evklidske geome- trije

1. Eleganten dokaz, da se nosilke vi²in v trikotniku sekajo v skupni to£ki, je podal tudi Gauss³¹. Ideja: Skozi ogli²£a torej nari²i vzporednice na nasprotne stranice trikotnika. Kaj opazi²?

2. (Paposov³² izrek o ²estkotniku) Dani sta dve premici, na katerih za- poredoma leºijo to£ke A1, A2, A3 oziroma B1, B2, B3. Potem so to£ke, ki jih dobimo kot preseke premic ←−→

A₂B₃ in ←−→

B₂A₃, A₁B₃ in ←−→

B₁A₃, ter

←−→A₁B₂ in←−→

B₁A₂ kolinearne v projektivni geometriji (Papos, Zbirka, VII.

138.-143.). Za za£etnika projektivne geometrije velja Desargues³³, za uveljavitelja pa Poncelet³⁴.

Dokaºi poseben primer tega izreka (v nekem abstraktnem smislu niti ni zelo poseben), ki ob dodatni predpostavki nevzporednosti za£etnih premic pravi, da iz vzporednosti parov←−→

A₂B₁ in←−→

A₃B₂ oziroma ←−→

A₁B₂ in

←−→A₂B₃ sledi vzporednost←−→

A₁B₁ in←−→

A₃B₃.

3. Papos je v svoji Zbirki (Trditev IV. 31.) podal tretjinjene kota s po- mo£jo hiperbole. Dan naj bo pravokotnik AEBF. Hiperbola skozi E in z asimptotama ←→

F Ain←→

F B naj seka kroºnico s redi²£emE in radijem 2AB v to£ki H. Vzporednica ←→

F A skozi H pa naj seka ←→

F B v to£ki C.

31Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) je bil nem²ki matematik, astronom in zik

32Papos (okrog 290 - okrog 350)

33Girard Desargues (1591 - 1661)

34Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867) je bil francoski matematik in inºenir

Zapi²i ena£bo hiperbole, £e je sredi²£e koordinatnega sistema v F,←→

F B in ←→

F A pa sta koordinatni osi. Pokaºi, da je 3∠EAC =∠EAB.

4. (a) Apolonij naj bi glede na Paposove zapise v eni izmed domnevno izgubljenih knjig pokazal, da je mnoºica to£k, katerih razdalja do dveh danih to£k je konstanta, t. i. Apolonijeva kroºnica. Zakaj?

Konstruiraj jo.

(b) Kaj pa je mnoºica to£ka, katerih razmerje razdalj do dveh premic je konstantno?

5. Uporaba kompleksnih ²tevil pri transformacijah v geometriji:

(a) Ozna£imo z =x+iy in α =a+ib, ter z¯=x−iy in α¯=a−ib. Pokaºi, da ena£bama premice ax+by =c in kroºnice (x−a)²+ (y−b)² =r² v 'realni' obliki ustrezata ena£bi v kompleksni obliki

¯

αz+α¯z = 2c inzz¯ −α¯z−αz¯ =r² −αα¯.

(b) Kako transformaciji premika f(z) = z +α, rotacije in raztega f(z) = βz, zrcaljenja £ez realno os f(z) = ¯z in inverzije preko kroºnice g(z) = ¹_z¯ (oziroma g(z) = ^R_z¯²) preslikata to£ke, premice in kroºnice?

6. Ugotovi, kako se s transformacijo inverzije na kroºnico g: C → C, g(z) = ¹_z¯ preslika

(a) kroºnica z ena£bo|z−2|² = 4, t.j. (z−2)(z−2) = (x−2)²+y² = 4, (b) kroºnica z ena£bo|z−i|² = 1, t.j. (z−i)(z−i) = x²+(y−1)² = 1, (c) kroºnica z ena£bo|z−2|² = 1, t.j. (z−2)(z−2) = (x−2)²+y² = 1, (d) premica z ena£bo z−z¯= 2i, t.j. y= 1,

(e) premica z ena£bo z+ ¯z = 4, t.j. x= 2, (f) premica z ena£bo z+ ¯z = 1, t.j. x= ¹₂.

7. (Paposov starodavni izrek (Zbirka, Trditev IV. 18.)) Nad premerom polkroºnice K₁ s sredi²£em S₁ in radijem r₁ sta dani dve medsebojno tangentni manj²i polkroºnici, ki sta tangentni tudi na K₁, eno izmed njiju ozna£imo sK₂(S₂, r₂)s sredi²£em vS₂in radijemr₂. Med kroºnico in polkroºnici je v£rtana veriga kroºnic (t.i. Paposova veriga) tako, da je vsaka tangentna na oba svoja soseda v verigi, ter na kroºnici K₁ in K₂. Velja, da so razmerja vi²in sredi²£ v£rtanih kroºnic nad premerom in njihovih premerov po vrsti enaka 2,3,4, . . .

(a) Z direktnim ra£unom preveri, da Paposov starodavni izrek velja za prvo kroºnico v verigi, £e sta dani polkroºnici nad premerovK₁ enakih radijev. (Modernej²i in enostavnej²i splo²ni dokaz izreka se naredi s pomo£jo inverzije na kroºnico. Poskusi ga narediti.) (b) Pokaºi, da sredi²£a v£rtanih kroºnic leºijo na elipsi z gori²£emaS₁

inS₂ ter glavno polosjo dolºine ^r1+r₂ ².

8. Dani sta dve taki disjunktni kroºnici (t.j. se ne sekata ali dotikata) K₁(S₁, r₁)inK₂(S₂, r₁)s sredi²£emaS₁ inS₂, ter radijema r₁ inr₂, da je ena znotraj druge.

(a) Naj bo med kroºnicama K₁(S₁, r₁) in K₂(S₂, r₁) v£rtana tretja kroºnica, ki se dotika obeh danih kroºnic. Pokaºi, da sredi²£e v£rtane kroºnice leºi na elipsi z gori²£ema S₁ in S₂ ter glavno polosjo dolºine ^r1+r₂ ².

(b) Naj bosta kroºniciK₁inK₂koncentri£ni. Pokaºi, da sredi²£e vsake kroºnice, ki leºi v vmesnem kolobarju, ter je tangentna na K₁ in K₂, leºi na elipsi z gori²£ema S₁ in S₂ ter glavno polosjo dolºine

r1+r2

2 . Premisli, kdaj lahko vmesni 'kolobar' med kroºnicama K₁ in K₂ zapolnimo s kon£no sklenjeno verigo dotikajo£ih se kroºnic tako, da je vsaka tangentna na obe svoji sosedi v verigi, ter tudi na kroºnici K₁ inK₂. Utemelji, da problem zapolnitve ni odvisen od izbire sredi²£a ene izmed kroºnic v verigi.

(c) Pokaºi, da velja celo naslednje: ƒe lahko neko kroºnico K, ki je tangentna na K₁ in K₂, dopolnimo do sklenjene verige, potem lahko to storimo tudi pri druga£ni izbiri kroºnice K (Steinerjev³⁵ porizem). Moderen in enostaven dokaz gre preko inverzije oziroma

35Jakob Steiner (1796 - 1863) je bil ²vicarski matematik

stereografske projekcije, Steiner je to pokazal brez inverzije in z veliko ve£ truda.

9. Dani sta dve taki disjunktni kroºnici (t.j. se ne sekata in se niti ne dotikata) K₁(S₁, r₁) in K₂(S₂, r₁) s sredi²£ema S₁ in S₂, ter radijema r₁ in r₂, da nobena ne leºi znotraj druge. Naj bo K tretja kroºnica s sredi²£em v S in radijem r, ki se dotika obeh danih kroºnic (t.j. je tangentna na dani kroºnici K₁ in K₂). Van Roomen³⁶ je pri re²evanju znamenitega Apolonijevega problema (konstrukcije tangentne kroºnice na tri dane kroºnice) opazil, da sredi²£e S kroºnice K leºi na hiperboli z gori²£ema S₁ inS₂ ter glavno polosjo dolºine

(a) ^r1+r₂ ², £e se Kene izmed kroºnicK₁ aliK₂ dotika od zunaj (t.j. je ne vsebuje), druge pa od znotraj (t.j. jo vsebuje).

(b) ^|r1−r₂ ^2|, £e se K bodisi obeh danih kroºnic K₁(S₁, r₁) in K₂(S₂, r₁) dotika od zunaj (t.j. ju ne vsebuje) bodisi se obeh kroºnic dotika od znotraj (t.j. ju vsebuje).

Sredi²£e kroºnice, ki se dotika treh takih paroma disjunktnih kroºnic, da nobena ne leºi znotraj druge, torej leºi na prese£i²£u ustreznih hi- perbol. S tem in z vodnicama hiperbole (glej 7. nalogo razdelka 3), si je pomagal Newton³⁷ in v svoji knjigi Principia je sredi²£e tudi zares kon- struiral. Kako? (Za druge re²itve oziroma posplo²itve tega problema glej 11. nalogo.)

36Adriaan van Roomen (1561 - 1615) je bil belgijsko-amski matematik

37Isaac Newton (1643 - 1727) je bil angle²ki zik in matematik

10. Dani sta kroºnici C₁ in C₂ s sredi²£ema S₁ in S₂, ter z radijema r₁ in r₂, C₂ znotraj C₁.

(a) Naj bosta kroºniciC₁ inC₂ koncentri£ni. Ugotovi, kolik²no mora biti razmerje radijevr1 :r2, da bo obstajal (enakostrani£ni) triko- tnik, ki bo imel eno izmed kroºnic za o£rtano kroºnico, drugo pa za v£rtano kroºnico.

(b) Denimo, da obstaja nek trikotnik, ki ima C₁ za o£rtano, C₂ pa za v£rtano kroºnico. Poskusi pokazati, da je potem vsaka tetiva kroºnice C₁, ki je tangentna na C₂, stranica nekega trikotnika, ki ima C₁ za o£rtano, C₂ pa za v£rtano kroºnico (poseben primer splo²nej²ega Ponceletovega porizma za stoºnice in ve£kotnike).

(Nasvet: Inverzija.)

11. V evklidski geometriji je zelo znan tudi splo²en Apolonijev problem konstrukcije kroºnice, ki naj se dotika treh danih objektov. Premisli tudi, kako konstruirati kroºnico, ki se dotika

(a) treh to£k, (b) treh premic,

(c) dveh premic (lahko vzporednih) in ene to£ke, (d) dveh to£k in ene premice,

(e) dveh to£k in kroºnice, (f) to£ke, kroºnice in premice, (g) dveh kroºnic in premice, (h) dveh premic in kroºnice,

(i) treh disjunktnih kroºnic enakih radijev, (j) treh kroºnic oziroma dveh kroºnic in to£ke?

ƒe ne gre v splo²nem, obravnavaj kak poseben primer (t.j. posebno lego objektov). Ali lahko kak²en primer reducira² na drugega? Razmisli tudi, pri kak²ni legi danih objektov ne bo re²itve. (Nasvet: Viete³⁸ je problem, ko sta dva od objektov kroºnica, reduciral na problem to£ke. Coxeter³⁹ pa je s pomo£jo inverzije ustrezne probleme reduciral na problem dveh koncentri£nih kroºnic. Utemelji.)

38Francois Viete (1540 - 1603) je bil francoski matematik

39Harold Scott MacDonald Coxeter (1907 - 2003) je bil angle²ki matematik

6 Trigonometrija

1. Dokaºi, da za kote ϕ ∈ [0,^π₂) velja sinϕ ≤ ϕ ≤ tanϕ. (Nasvet: Na enotski kroºnici s sredi²£em v O naj leºita to£ki A in B tako, da je

∠AOB =ϕ, to£ka C naj bo pravokotna projekcija B na OA, to£ka D pa presek nosilke daljice OB ter tangente na kroºnico skozi A. Primer- jaj plo²£ine nastalih trikotnikov.) Kotne funkcije je vpeljal Euler⁴⁰. 2. Viete je podal geometrijski dokaz adicijskih formul za sinus in kosinus s

pomo£jo naslednje konstrukcije: Na polkroºnici s premeromABdolºine 1 sta dani to£ki C inD tako, da je ∠BAC = α in ∠CAD =β, to£ka I pa je presek daljic AC in BD. Opazi, da sta trikotnika 4IBC in 4IAD podobna, ter daljice BC, BI, ID, AI, CI, AD, BD izrazi s sinusi oziroma kosinusi kotov α inβ.

3. S pomo£jo naslednje konstrukcije pokaºi adicijski formuli za sinus in kosinus: Dana sta pravokotna trikotnika 4ABC s pravim kotom pri B, kotom ∠BAC = α in hipotenuzo dolºine AC = 1, ter 4ADB s pravim kotom pri D, kotom ∠DAB = α in hipotenuzo AB. Naj pravokotnica na AD skozi C seka AD v to£kiE, pravokotnico na BD skozi B pa v to£ki F. Dolo£i AE inEC.

4. Pri izra£unih dolºine tetive nad sredi²£nim kotom v krogu je Ptole- maj uporabljal trditev, t.i. Ptolemajev izrek: V tetivnem ²tirikotniku ABCD s stranicami a, b, c, d in diagonalama e, f velja ac+bd = ef. Pokaºi ga z uporabo adicijskih izrekov za kotne funkcije. (Nasvet: Na

40Leonhard Euler (1707 - 1783) je bil ²vicarski matematik, zik in astronom

diagonali AC izberi to£ko E tako, da bosta skladna kota ∠EDA in

∠CDB, saj sta potem skladna para trikotnikov 4EDA in 4CDB (oziroma 4DCE in 4DBA).)

5. Zapi²i ena£be stoºnic v polarnih koordinatah s sredi²£em v gori²£u:

r = _1+e^a(e2_cos⁻¹⁾_ϕ za elipso in hiperbolo, ter r = _1+cos^p _ϕ za parabolo.

6. Ekvator in poldnevniki, ki so narazen za ve£kratnike kota ^π₅, razre- ºejo sfero na sferne trikotnike. Ugotovi, koliko jih je, kak²ni so njihovi notranji koti in kak²na je njihova plo²£ina.

7. Naj bosta A in B to£ki na sferi s severnim polom N, ki leºita na vzporedniku zemljepisne ²irineϕ, razlika njunih zemljepisnih dolºin pa je ψ.

(a) Poi²£i plo²£ino trikotnika4ABN, ki ga omejujeta glavni kroºnici z lokoma N A inN B ter vzporednik ²irine ϕ.

(b) Poi²£i plo²£ino sfernega trikotnika 4ABN, ki ga omejujejo tri glavne kroºnice.

8. Pokaºi sferni sinusni izrek ^sinα_sina = ^sinβ_sinb = ^sin_sin^γ_c, ter sferni kosinusni izrek cosa= cosbcosc+ sinbsinccosα. (Vpelji sferi£ne koordinate.)

9. Letalo leti iz Pariza (49^o severne zemljepisne ²irine in 3^o vzhodne ze- mljepisne dolºine) v Vancouver (49^o severne zemljepisne ²irine in 123^o zahodne zemljepisne dolºine). Dolo£i razdaljo med krajema, ter dolo£i smer odhoda letala, t.j. kot glede na severni pol.

(Opomba: Predpostavi, da je Zemlja krogla z radijem 6378 km.) 10. Ribi²ka ladja odda SOS signal iz neznanega mesta na morju. Signal

prejmejo v Trondheimu (63^o26⁰ severne zemljepisne ²irine,10^o24⁰ vzho- dne zemljepisne dolºine) iz smeri 74^o13⁰ severozahodno in v Tromsoju (69^o39⁰ severne zemljepisne ²irine,18^o59⁰ vzhodne zemljepisne dolºine) iz smeri 107^o17⁰ severozahodno. Kam naj gre re²evalni £oln?

7 Fraktali

1. (Trikotnik (oziroma preproga) Sierpinskega⁴¹) Za£nemo s trikotnikom, v katerem med seboj poveºemo razpolovi²£a stranic. Dobimo ²tiri manj²e trikotnike in srednjega izreºemo. Postopek ponovimo na preo- stalih manj²ih treh trikotnikih. To ponavljamo na vsakem novonasta- lem manj²em trikotniku. (Preprogo Sierpinskega pa dobimo na podo- ben na£in, le na vsakem koraku iz vsakega kvadrata izreºemo manj²i kvadrat.) Razmisli, za kolikokrat se na vsakem koraku pri dvakratni pove£avi pove£a plo²£ina. Koliko je dimenzija fraktala?

2. (Kochova⁴² sneºinka) je ravninski lik, ki ga dobimo z naslednjim po- stopkom. Za£nemo z enakostrani£nim trikotnikom, nato pa nad srednjo tretjino vsake od njegovih treh stranic nalepimo manj²i enakostrani£ni trikotnik. Nato spet nad srednjo tretjino vsake od dvanajstih stra- nic nalepimo ²e manj²i enakostrani£ni trikotnik. Postopek nato pona- vljamo in ponavljamo... Razmisli, za kolikokrat se na vsakem koraku pri trikratni pove£avi pove£a obseg. Koliko je dimenzija fraktala?

3. (Cantorjev⁴³ prah) Za£nemo s kvadratom, ki ga razreºemo na ²tiri manj²e kvadrate in razmaknemo, nato vsakega od kvadratkov spet raz- reºemo na ²tiri manj²e kvadratke in jih razmaknemo, ter postopek na- daljujemo... Koliko je dimenzija fraktala?

41Waclaw Franciszek Sierpinski (1882 - 1969) je bil poljski matematik

42Helge von Koch (January 1870 - 1924) je bil ²vedski matematik

43Georg Cantor (1845 - 1918) je bil nem²ki matematik

4. Skiciraj naslednje fraktale:

(a) (Spirala) Za£nemo s kvadratom, na njegovo stranico s hipote- nuzo poloºimo enakokraki pravokotni trikotnik, na njegovo stra- nico nato kvadrat, na njegovo stranico spet enakokraki pravokotni trikotnik in tako naprej.

(b) (Drevo) Za£nemo z deblom, na katerem sta dve veji, na vsaki od teh dveh vej sta dve manj²i veji, na vsaki od teh spet dve manj²i vejici,...

5. (Apolonijevo tesnilo) Za£nemo s tremi tangentnimi kroºnicami, med katere v£rtamo nove tangentne kroºnice,...

8 Re²itve

8.1 Skozi geometrijo pred na²im ²tetjem

1. Predstavljata pribliºka za √

2 (t.j. 1.43087962897) in za diagonalo v kvadratu s stranico 30(t.j. 42.0097222195).

2. 1.41422, izra£una za √

7: an+1 = ¹₂(an+ _a⁷

n), druge enostavne metode: bisekcija.

3. 150m.

4. (a) Enostaven ra£un.

(b) AS =√

5−1, SB = 3−√ 5. (c) ¹₂(1 +√

5).

(d) Ptolemajev izrek da d² =a²+ab.

(e) Utemelji, zakaj sta trikotnika 4EBC in 4F B⁰C podobna, ter zapi²i pripadajo£e razmerje ^B_CE^0C = ^CF_CB. Premisli ²e, da veljaCF = CE =AC in B⁰C =AB.

5. Spomni se, da sta stranica in diagonala v razmerju zlatega reza.

6. Naj bo a ve£ja in b manj²a od stranic pravokotnika. Potem sta triko- tnika podobna natanko tedaj, ko velja ^a_b = ^a−b_a .

7. √ 2.

8. T_n= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ ,K_n =n², k_n= ⁿ²(k−2)−n(k−4)

2 .

9. π·AC·CB.

10. Vsi dokazi so kratki in elegantni.

11. 9²− ¹₂9·4 = 63≈64.

12. Pri konstrukcijah kvadratnih korenov si pomagamo s Talesovim (ali z vi²inskim) izrekom v pravokotnem trikotniku.

(a) Pri daniha in b je potrebno konstruirati √

ab (oziroma p_ava

2 ).

(b) Pri danem a je potrebno konstruirati 2√⁴ 3a.

13. ’estkotnik je sestavljen iz enakostrani£nih trikotnikov. Osemkotnik pa dobi², £e kvadratu odreºe² ustrezno velike robove.

Lotimo se sedaj naprimer ²e stranice oziroma plo²£ine 12-kotnika.

Krogu s sredi²£em O in radijem 1 naj bo v£rtan pravilni ²estkotnik A₁A₂A₃A₄A₅A₆ s stranico dolºine 1. V razpolovi²£ih lokov med ogli-

²£i A₁, A₂, . . . , A₆ zaporedoma izberi to£ke B₁, B₂, . . . , B₆. Pokaºi, da je A₁B₁A₂B₂A₃. . . B₅A₆B₆ pravilni dvanajstkotnik s stranico dolºine A₁B₁ = p

2−√

3. (Pomagaj si s Pitagorovim izrekom.) Ozna£i raz- polovi²£e stranice A₁A₂ s C. S pomo£jo Pitagorovega izreka pokaºi, da je dolºina daljiceOC enaka q

1 2 +

√ 3

4 . Izra£unaj plo²£ino trikotnika 4OA₁B₁ (s stranicoA₁B₁ in z vi²inoOC) in odtod sklepaj na plo²£ino dvanajstkotnika A1B1A2B2A3. . . B5A6B6.

14. Pri to£ki (a) si pomagaj z nalogo 13.

15. Konstruirajmo √³

k,0< k < 8. Naj bo 4ABC enakokraki, kjer AC = BC = 1inAB = ^k₄. Podalj²amoACprekoA, da dobimoDinAD= 1. Podalj²amo ²e AB preko B. Sedaj pa postavimo ravnilo na to£ko C tako, da bosta oznaki na ravnilu, ki sta oddaljeni za 1, leºali na premicah ←→

BD in ←→

AB, ter ozna£evali to£ki Q in R. Kon£no, pokaºi BR=√³

k.

16. (a) Potrojitev (konstrukcija√³

3) ni mogo£a, 'poosmitev' (konstrukcija

√3

8 = 2) pa je.

(b) Podvojitev kvadrata je ekvivalentna konstrukciji √ 2.

17. (a) Tretjinimo lahko π, ^π₂ (enakostrani£ni trikotnik in bisekcija), ^π₅ (petkotnik).

(b) Opazi, da so nekateri trikotniki enakokraki in pora£unaj.

8.2 Evklidovi Elementi

1. Formalizem aksiomov in dokazovanja trditev v tistem £asu ²e ni bil do potankosti razvit.

2. Skozi ogli²£e potegni vzporednico nasprotni stranici.

3. Glej nalogo 4 .

4. ’tiri pravokotnike s stranicama a in b zloºi skupaj tako, da omejujejo kvadrat s stranico |a−b|.

5. (a) Stolpci kvadratne mreºe dimenzijn×n na in nad diagonalo zapo- redoma vsebujejo 1,2, . . . , n enotskih kvadratkov, pod diagonalo pa jih je skupaj ⁿ²₂⁻ⁿ.

(b) ƒe si pomagamo s to£ko (a), potem je nad oziroma na diagonali pravokotnika dimenzij ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ ×(n+ 1)²tevilo enotskih kvadratkov enako ¹₂ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ ((n+ 1)−1) + ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ ) = n(n+1)(n+2)

3 .

6. Pomagaj si s Pitagorovim izrekom.

7. Upo²tevaj, da je sredi²£ni kot enak dvakratniku obodnega kota.

8. Pomagaj si s Talesovim izrekom o obodnih kotih.

9. Uporabi Talesov izrek o obodnih kotih.

10. D(24,9).

11. Opazuj podobne trikotnike.

12. Opazi, da se v vsakem ogli²£u stikajo vsaj tri ploskve, vsota notranjih kotov teh ploskev pa je <2π. ƒe so ploskve trikotniki, se jih v vsakem ogli²£u stika 3, 4, 5, dobimo tetraeder, oktaeder, ikozaeder. ƒe pa so ploskve kvadrati oziroma pravilni petkotniki, se stikajo po 3, torej dobimo kocko in dodekaeder.

8.3 Stoºnice

1. Vse primere se obravnava na podoben na£in, zato si naprimer oglejmo le elipso.

Dotikali²£a sfer s stoºcem seveda predstavljajo kroºnici na vzpore- dnih ravninah. Premica na stoºcu, ki gre skozi vrh stoºca, ter je tan- gentna na sferi, se zato sfer dotika v to£kah P1 in P2, katerih razdalja je neodvisna od izbire tangente. ƒe ozna£imo z F₁ in F₂ ²e dotika- li²£i ravnine s sferama, potem je F₁P = P₁P in F₂P = P₂P. Sledi F1P +F2P =P1P2 je konstantna.

2. x+ (10−x) = 2a,b² =a²−3².

3. Spomni se 'geometrijske' lastnosti hiperbole; velja (8−x)−(4−x) = 4 = 2a,b² = 5²−a².

4. Spomni se 'geometrijske' lastnosti parabole; velja namre£d(T(x), F)) = d(T(x), p).

5. Ena£ba v kartezi£nih koordinatah (x² +y²)² = 2a²(x²−y²), ter r² = 2a²cos(2ϕ) v polarnih koordinatah.

6. Dan je pravokoten (neprozoren) list papirja.

(a) To£ka na prepogibu, katere oddaljenost doP je enaka oddaljenosti od roba papirja, leºi na paraboli.

(b) Pokaºi |SA+QA|=r. (c) Pokaºi |SA−QA|=r.

7. Ozna£i F₁(e,0), P(x, y), ter upo²tevaj konstantnost razmerja oddalje- nosti P od premice x= ^a_e² oziroma to£ke F1.

8. Zapi²i v obliki ^x_a²2 − ^y_b2² = 1.

9. Parabola y² = 8x; vodnica x=−2. 10. _a^b =√

1−0.0167².

11. To£ke na simetrali razen dotikali²£a ne leºijo na elipsi, ker je razlika njihovih razdalj do gori²£ prevelika.

12. To£ke na simetrali razen dotikali²£a ne leºijo na paraboli, t.j. njihova razdalja od vodnice oziroma do gori²£a ni enaka.

13. Nasvet: Pokaºi, da to£ke na simetrali razen dotikali²£a ne leºijo na hiperboli, t.j. razlika njihovih razdalj do gori²£ je premajhna.

14. Uporabi osnovno lastnost tangente na elipso oziroma hiperbolo.

15. Upo²tevaj, da je dolºina loka grafa funkcijefnad intervalom[a, b]enaka l =Rb

a

p1 + (f(x))².

16. (a) Upo²tevaj, da je tangenta skozi dano to£ko elipse simetrala kota med premicama skozi to to£ko in gori²£i, t.j. kotaR2P BinF2P R2

sta skladna. Odtod sklepaj, da to£keB,R₂inF₂ leºijo na premici.

(b) Pokaºi, da imata trikotnika skladne kote in opaziF₁F₂ = 2OF₂. (c) Upo²tevaj geometrijsko lastnost elipse, t.j. vsota razdalj od to£ke

na elipsi do gori²£ je konstantna.

(d) Uporabi to£ki (a) in (b), da izpelje² OR₂ =a. Podobno premisli, da jeOR₁ =a.

17. Primerjaj ena£bo elipse z ena£bo kroºnega loka v kartezi£nih koordina- tah.

18. Naj bo C⁰ zrcalna slika C glede na simetralo. Uporabi lastnost hiper- bole, da pokaºe², da je CB =CC⁰ =AC⁰.

19. (b) Temneje obarvani del predstavlja tretjino.

(b) Pri drugem dokazu si pomagaj s podobnimi trikotniki.

8.4 ’e nekaj o krivuljah

1. Dan naj bo torej kot ∠ABC z vrhom B v za£etku spirale. Najprej tretjinimo daljicoBC oziroma z D ozna£imo tako to£ko na njej, da je BD = ¹₃BC. Kroºnica s sredi²£em v B in radijem BD potem seka spiralo v to£ki E. Pokaºi, da meri kot ∠ABE ravno tretjino kota

∠ABC.

2. Pomagaj si z odvodom; Arhimed je to sicer korektno dokazal brez upo- rabe odvoda.

3. Ri²i v polarnih koordinatah.

4. Uporabi Pitagorov izrek oziroma kotne funkcije. Opazi tudi, da je prirastek Theodorusove spirale z enim trikotnikom enak h_n+1 − h_n, razmerje med prirastkom in kotomϕ_npa gre protilim_n→∞

√n+1−√ n arctan ^√1

n

=

1 2.

5. Skiciraj grafax(t)iny(t), ter poskusi dolo£iti ekstremne to£ke, t.j. re²i ena£bi x˙ = 0 in y˙ = 0.

7. Nar. par.: x=acos^{√ s}

a²+b²,y=asin^{√ s}

a²+b²,z =b^{√ s}

a²+b²,

~˙ r = ^{√ 1}

a²+b²

−asin^{√ s}

a²+b², acos^{√ s}

a²+b², b^{√ 1}

a²+b²

,

~¨

r =−_(a2+b^{1 2})

acos^{√ s}

a²+b²,−asin^{√ s}

a²+b²,0 ,

eksijska ukrivljenost κ = ^|˙rר_|˙r|3^r| = _a2+b^{a 2}; radij kroºnice, ki se krivulji najbolj prilega ¹_κ,

torzijska ukrivljenost τ = ^{( ˙}_|˙^rר_rר^r)·˙¨_r|3^r = _a2+b^{b 2} . 7. κ_e = _a2¹b²

x² a⁴ + ^y_b4²

−³₂

,κ_e = ^ab_ab b²ch²(t) +a²sh²(t)−³₂

,κ_p = (2a(1 +t²))⁻¹².

8.5 Par zanimivih problemov evklidske geometrije

1. Vi²ine danega trikotnika leºijo na simetralah stranic novega trikotnika, ki ga dolo£ajo vzporednice.

2. Uporabi Talesov izrek o podobnosti.

3. Po Talesovem izreku velja ^{F C}_{F B} = ^CA_DA = _DE^BE, ker pa sta E in H na ustrezni hiperboli pa F C ·CH = F A ·F B. Sklepaj na DE = CH ter na paralelogram EHCD. Naprej, £e je G razpolovi²£e CD, sta trikotnika 4AGB in4CGB enakokraka.

4. (a) Naj bosta C in D taki to£ki na nosilki daljice AB, da je _CB^AC =

AD

DB =k. Naj bo naprej X neka taka to£ka, da je XA :XB = k. Ker natanko simetrala notranjega (zunanjega) kota deli nasprotno stranico ('nosilko') v razmerju ostalih dveh stranic, sta torej XC oziroma XD simetrali notranjega oziroma zunanjega kota, ki se sekata pravokotno. Po Talesovem izreku je potem X na kroºnici s premerom AB.

(b) Zaradi podobnosti je mnoºica to£k premica skozi prese£i²£e danih premic. To£ka, ki je oddaljena od ene premice za1in od druge za k pa seveda leºi na ustreznih vzporednicah danima premicama.

5. Enostaven ra£un.

6. Vse primere obravnavamo podobno, zato si oglejmo le primer (a).

Kroºnica z ena£bo |z −2| = 4 se z inverzijo preslika v objekt z ena£bo(¹_¯z−2)(_z¹−2) = 4. Ko poenostavimo, dobimo(1−2¯z)(1−2z) = zz¯in nato−4zz¯+ 2(z+ ¯z) +zz¯= 1 (kroºnica).

7. (a) Upo²tevaj tangentnost kroºnic in Pitagorov izrek.

(b) Upo²tevaj tangentnost kroºnic in geometrijsko lastnost elipse.

8. (a) Glej 7. (b).

(b) Direktno lahko pokaºe², da je enakost sin(^π_n) = ^r_r^1−r2

1+r2 oziroma

r2

r1 = ^1−sin

π n

1+sin^π_n potreben in zadosten pogoj za obstoj take verige z n kroºnicami.

(c) Dani kroºnici najprej z inverzijo na ustrezno kroºnico preslikamo v dve koncentri£ni kroºnici. (Utemelji oziroma poi²£i kroºnico inverzije.) Pri tem se kroºnice v kolobarju med njima preslikajo v kolobar med dobljeni koncentri£ni kroºnici, saj se koti pri inverziji ohranjajo. Sedaj uporabimo (b).

9. Upo²tevaj tangentnost kroºnic in geometrijsko lastnost hiperbole. Glej podobno nalogo 7. (b).

Kostruiramo lahko vodnici hiperbol. Sredi²£e iskane kroºnice Z, ki leºi na hiperbolah, je potem to£ka, katere razmerji razdalj do gori²£

oziroma vodnic sta dani konstanti. ƒe izberemo prese£i²£e vodnic, je razmerje oddaljenosti Z od le-tega oziroma do gori²£ tudi konstantna.

Vemo pa, da potem Z leºi na ustrezni kroºnici (glej nalogo 4. (a)).

Sledi tudi, da je potem razmerje razdalj S do vodnic dolo£eno, zatoS leºi na ustrezni premici skozi prese£i²£e vodnic (glej nalogo 4. (b)).

10. (a) 1 : 2.

(b) Dani kroºnici najprej z inverzijo na ustrezno kroºnico preslikamo v dve koncentri£ni kroºnici. (Utemelji.) Pri tem se tetiva v ko- lobarju med njima preslika v tetivo v kolobarju med dobljenima koncentri£nima kroºnicama, saj se koti pri inverziji ohranjajo. Se- daj uporabimo (b).

11. Opazi, da £e radije danih theh kroºnic zmanj²amo za x, se radij tan- gentne kroºnice pove£a za x, sredi²£e pa se ohrani. Lotimo se sedaj konstrukcij: