5. skupinska naloga
Zavarovalnica modelira zavarovalni portfelj zavarovanja odgovornosti pod- jetja Aza nesreˇce pri delu za tekoˇce leto. Pri tem predpostavlja, da so skupni stroˇski, povezani s posameznim delavcem, sluˇcajna spremenljivkaX, porazdel- jena po zakonu gamma(3, c) z gostoto f(x) = Γ(3)c3 x2e−cx, x >0, pri ustrezno izbrani vrednosti parametra raztegac.
1. Kako naj modelira skupno polico podjetja A, ˇce ima le-to ˇcez tisoˇc za- poslenih, vsak zaposleni dela za svojim strojem, nesreˇce so tipiˇcno posled- ica nakljuˇcne okvare stroja, v povpreˇcju pa pride do dveh okvar stroja na leto.
Kaj pa, ˇce je podjetjeAjeklarna z 20 martinovkami, pri katerih dela hkrati 15 delavcev v izmeni. Do nesreˇce tipiˇcno pride zaradi okvare martinovke, pri ˇcemer imajo vsi delavci, ki v ˇcasu nesreˇce delajo pri njej pribliˇzno enake poˇskodbe. Tipiˇcno pride do ˇskodnega dogodka enkrat na 8 let.
2. Zavarovalnica naˇcrtuje, da bo morala celotna sredstva za posameznega poˇskodovanca izplaˇcati v treh letih. Vendar pa mora doloˇcen del stroˇskov X1 plaˇcati ˇze v 1. letu. Ker nekaj stroˇskov krije tudi v 2. letu, naj bodo skupni stroˇski prvega in drugega leta X2. Ustrezna ˇcasovna razpored- itev priˇcakovanih izplaˇcil je izjemno pomembna, ker je od tega odvisna struktura in dospelost vrednostnih papirjev, v katere zavarovalnica vlaga zbrano premijo.
Kako naj po vaˇse zavarovalnica naloˇzi zbrano premijo?
3. Aktuarski oddelek se je odloˇcil, da bo za X1 in X2 uporabljal naslednji preprost model: X2=U2X, X1=U1U2X =U1X2, kjer je P(U2≤x) = x2,P(U1≤x) =x, 0≤x≤1 in soX, U1, U2 neodvisne.
Izraˇcunaj preˇzivetveno funkcijo sluˇcajne spremenljivkeZ3 = X−X2 in ugotovi, kako jeZ3porazdeljena. Enako stori ˇse zaX2. Poiˇsˇci tudi skupno preˇzivetveno funkcijo za (X2, Z3). Kaj opaziˇs? (Namig: pri vseh raˇcunih pogojuj na vrednostX.)
4. Poiˇsˇci ˇse preˇzivetveni funkciji za X1 in Z2 =X2−X1 ter njuno skupno preˇzivetveno funkcijo. Kaj opaziˇs? Kaj lahko poveˇs o skupni porazdelitvi za (X1, Z2, Z3), ki modelirajo izplaˇcila v posameznem letu.
5. Predpostavi, da so vsi ˇskodni dogodki znani v trenutku, ko se zgodijo.
Kaj je bistvena razlika pri modeliranju rezervacij s staliˇsˇca zavarovalnice po preteku tekoˇcega leta?
