Kolokvij iz Geometrije

1. V ravnini (^IR2) imamo premico^pin kroznico^k. Pokazi, da premica^pseka kroznico^kv dveh (razlicnih) tockah natanko takrat, ko premica^pvsebuje kaksno notranjo tocko kroznice^k.

2. V ^IR4 sta podana ana podprostora^P1in^P2. Poisci bazi prostorov^P1\P2 in^P1+^P2.

P

1: ^x1 = ^;1 +^{t1 P2}: ^x1= 4^;2^s1;s2

x

2 = ^;2 ^x2=^;2^;s1;s2

x

3 = ^;3 +^{t2 x3}= 2^;2^s1

x

4 = ^;4 +^{t1 x4}= 5^;3^s1

3. V ^IR5 sta dana ana podprostora^P1 in^P2. Poisci vse premice, ki vsebujejo tocko (3^;2^;5^;3^;2) in sekajo prostora^P1 in

P

2.

P

1: 3^x1;4^x2+ 5^x3;2^x4+^x5= 28 ^P2: 4^x1+ 2^x2+ 3^x3+ ^x4+ ^x5= 38

;x

1

;x

2+^x4+^x5= 2 ^x3+ ^x4= 12

2^x1+ ^{x2; x4;}2^x5= 6 2^x1+ 3^x3+ ^x5= 22

4. Poisci vse ane preslikave ^{IR3 ;! IR3}, ki po vrsti preslikajo tocke (3^;;1^;4), (2^;3^;0), (^;1^;3^;0) in (1^;;1^;2) v tocke (3^;0^;1^;1), (0^;2^;;1^;1), (3^;0^;1^;1) in (0^;2^;;1^;1).

Kolokvij iz Geometrije

(25.5.1999)

1. Naj bodo ^{A;B;C ;D ;E} in ^F taksne tocke evklidske premice, da velja: ^{E 2 FD ; C 2 FD ; CD} = ^{ED ; E 2}

AD ; BC

=^{BF ; AB}=^BF. Poisci zgornjo in spodnjo mejo za moc mnozice^{fA;B;C ;D ;E;Fg}. ^(5tock) 2. Naj bodo^A;B;Cnekolinearne tocke v evklidski revnini in^Dpoljubna od^Arazlicna tocka. Pokazi, da obstaja premica, ki vsebuje tocko^A, ne vsebuje tocke^Din seka daljico^BC. V dokazu lahko uporabis le aksiome povezave in urejenosti

in izreke, ki sledijo iz teh aksiomov. ^(5tock)

3. Naj bo ravnina in ^f : ^;! taka preslikava, da sta za poljubni razlicni tocki^{A;B 2} daljici^AB in^f(^A)^f(^B) skladni (^f je gibanje). Naj bo^Nf =^X2f(^X) =^X mnozica negibnih tock gibanja^f.

Znano je, da za poljubno premico ^p obstaja tako gibanje ^f, da je^Nf =^p. Pokazi, da obstaja natanko eno tako

gibanje. V dokazu ne smes uporabiti aksioma o vzporednici. ^(5tock)

4. Naj bo ^IRP2 = ^{fa IR3j}dim^a = 1^g in naj bo ^{fP IR3j}dim^P = 2^gmnozica premic. Naj bodo ^{a;b;c;d 2 IRP2} razlicne kolinearne tocke v projektivni ravnini. Potem obstaja tak^{P IR3;} dim^P = 2, da so^a;b;c;dP. Naj bodo

~ a2a;

~

b2b; ~c 2c;

~

d2dnenicelni vektorji. Potem obstajajo taki^{1;2;1;2 2IRnf}0^g, da je^~c =^1~a+^1~b in

~

d=^2~a+^2~b. Pravimo da (^a;b)^j(^c;d) ^{(def) 1212 <}0.

Pokazi, da je predznak produkta¹²¹²odvisen le od^a,^b,^cin^d, ne pa od izbranih vektorjev^~a,^~b,^~cin^d~. ^(2tocki) Pokazi da v ^IRP2 za relacijo^jveljata projektivna aksioma urejenosti:

PU1. Za poljubne tri razlicne kolinearne tocke^a;b;cobstaja na premici, ki jo dolocajo, taka tocka^d, da (^a;b)^j(^c;d). ⁽²

tocki)

PU2. Kadar (^a;b)^j(^c;d), tudi (^b;a)^j(^c;d) in (^c;d)^j(^a;b). ^(3tocke)

1