N i naj bo ²tevilo vzorev v i-tem razredu, x ik

Uporaba Matematike I v elektrotehniki

Avtoria: Melita Hajdinjak

Datum: avgust 2007

1 ’TEVILSKE VRSTE

1. [RAZVR’ƒANJEVZORCEV℄Koºelimo²enerazvr²£envzoresamodejnorazvrstiti

oz. opredeliti, izra£unamo razdalje tega vzora do vseh znanih razredov vzorev.

Razvrstimogavtistirazredvzorev,odkateregajenajmanjoddaljeninzatovsebuje

vzore, ki somu v povpre£ju najbolj podobni.

Vzori naj bodo opisani z vektorji,

N i

^{naj bo ²tevilo vzorev v}

i

^{-tem razredu,}

x ik

pavektor, s katerim je opisan

k

^{-ti vzore}

i

^{-tega razreda.} Oddaljenost

D i (x)

^vzora

x

^od

i

^{-tega razreda vzorev lahko ra£unamo kot povpre£je razdalj}

D(x, x ik )

^med

vzorem

x

^{in vzori iz}

i

^{-tegarazreda:}

D i (x) = 1 N i

N _i

X

k=1

D(x, x ik ).

Pri tem lahko za mero podobnosti oz. razli£nosti med vzorema

x

ⁱⁿ

x ik

^vzamemo

Evklidsko razdaljo

D(x, x ik ) = v u u t

X n

j=1

(x j − x ik j ) ² ,

kjer je

n

^{razseºnost vektorjev,}

x j

ⁱⁿ

x ik j

^pa

j

^{-tikomponenti vektorjev}

x

ⁱⁿ

x ik

^.

Imejmo dvarazreda vzorev v prvemrazredu naj bodobelitrikotniki,v drugem

pa £rni ²tirikotniki. Predstavniki obeh razredov so opisani s ²tevilom ogli²£ in

povpre£no svetilnostjo slikovnih elementov. V prvem razredu so "belitrikotniki"

(3, 1), (3, 0.9), (3, 0.8), (3, 0.8)

v drugempa "£rni²tirikotniki"

(4, 0), (4, 0.1), (4, 0.2).

Izra£unjte razdalji temnosivega trikotnika

(3, 0.2)

^{do obeh razredov vzorev.}

RE’ITEV:

D ₁ (x) = ¹ ₄ P 4

k=1 D(x, x 1k ) = ¹ ₄ (0, 8 + 0, 7 + 0, 6 + 0, 6) = 0, 9 D 2 (x) = ¹ ₃ P 3

k=1 D(x, x 2k ) = ¹ ₃ ( p

1 ² + 0, 2 ² + p

1 ² + 0, 1 ² + 1) =

= ^{2 √ 26+ √} ₃₀ ¹⁰¹⁺¹⁰ ≈ 1, 01

Kerjetemnosivtrikotnikodrazredabelihtrikotnikovmanjoddaljenkotodrazreda

£rnih²tirikotnikov,garazvrstimovrazred belihtrikotnikov. Naosnoviizra£unanih

razdalj bi se lahko odlo£ilitudi, datemnosivega trikotnika ne birazvrstili v noben

razred vzorev. Pri samodejnem razvr²£anju vzorev pogosto dolo£imo prag raz-

dalje,ki²edovoljujerazvrstitevvzora vrazred. Vna²emprimerubizapraglahko

vzelinpr. vrednost

0, 5

^.

2. [OBDELAVA SIGNALOV℄Pristatisti£nem opisovanjunaklju£nihproesov (kot na

primernaklju£nihsignalov)igrapomembnovlogopojemvzor£nopovpre£je. Vzor£no

povpre£je naklju£nega signala ob izbranem £asovnem trenutku

t 1

^{je denirano kot}

povpre£na vrednost vseh realizaij signala

x(t)

^ob£asu

t ₁

^:

x(t 1 ) = 1

n X n

k=1

x k (t 1 ),

kjer je z

x k (t 1 )

^ozna£ena

k

^{-ta realizaija} naklju£nega signala

x(t)

^,

n

^{pa je ²tevilo}

vseh realizaij, ki jih obravnavamo.

Naj bodo

0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001, 0.0000001, 0.00000001, 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, 0.00002, 0.000002, 0.0000002, 0.00000002

realizaijenaklju£nega signala

x(t)

^ob£asu

0

^{. Dolo£ite vzor£nopovpre£je.}

RE’ITEV:

x(0) = 1 16

1 10 + 1

10 ² + 1 10 ³ + 1

10 ⁴ + 1 10 ⁵ + 1

10 ⁶ + 1 10 ⁷ + 1

10 ⁸ +

+ 1

16 · 2 1 10 + 1

10 ² + 1 10 ³ + 1

10 ⁴ + 1 10 ⁵ + 1

10 ⁶ + 1 10 ⁷ + 1

10 ⁸ =

= 3

16 · 1

10 · 1 − ₁₀ ¹

1 − ( ₁₀ ¹ ) ⁸ = 27 · 10 ⁶

16(10 ⁸ − 1) ≈ 0.017

3. [OBDELAVA SIGNALOV℄

1. [OBDELAVA SIGNALOV℄ Postopki, kivodijodofrekven£ne predstavitve signalov,

inpostopki,skaterimii²£emopribliºkekoriginalnimsignalom,sevelikokratpoenos-

tavijo, £e ima signal dolo£ene lastnosti, kot sta naprimer sodost in lihost. Preden

tak²en (pogosto £asovno in ra£unsko zamuden) postopek izvajamo, preverimo, ali

imadan signal kak²ne koristne lastnosti.

Zanaslednje signaleugotovite,ali sosodi, lihi,aliniso niti sodinitilihi.

(a) Signal

f (t)

^{prikazuje naslednja slika.}

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

f(t)

(b)

g(t) = ₂ ^t sin(t − ^π ₂ )

()

h(t) =

 



0, t < 0 1, 0 ≤ t ≤ 1 e ^{1− t} , t > 1

RE’ITEV:

(a) Signal

f (t)

^{je lih.}

(b) Ker velja

sin(t − ^π 2 ) = − cos t

^{, je}

g( − t) = − t

2 ( − cos( − t)) = t

2 cos t = − g(t)

in signal

g(t)

^{je lih.}

() Signal

h(t)

^{niniti sodniti lih:}

h( − t) =

 



0, − t < 0 1, 0 ≤ − t ≤ 1 e ^1+t , − t > 1

=

 



0, t > 0 1, − 1 ≤ t ≤ 0 e ^1+t , t < − 1

6

= ± h(t)

2.

3.

3 LIMITE

1. [OBDELAVASIGNALOV℄Opazujmodruºinosodihperiodi£nihpravokotnihimpul-

zov

g b (t)

^{zenako periodo}

T

^{, za katere velja, daso povr²ine impulzov enake}

0

^{. Ena}

periodasignala

g b (t)

periodi£nih pravokotnih impulzov je podanas predpisom

g b (t) =

E, Eb = 1

ⁱⁿ

− ^b ₂ ≤ t < ^b ₂ 0, ^b ₂ ≤ t < T − ₂ ^b .

Signal

g b (t)

^{prikazuje tudi spodnja slika:}

−T −b/2 0 b/2 T

0

E E

E ⋅ b =1 g b (t)

t

Kompleksnispekter

G b (n)

^{, ki gadobimo z}integriranjem,je enak

G b (n) = Eb T

sin ^nω ₂ ^{0 b}

nω 0 b 2

= 1 T

sin ^nω ₂ ^{0 b}

nω 0 b 2

,

kjer je

ω ₀ = ^2π _T

^.

Kaj se zgodi s signalom

g b (t)

^{in s spektrom}

G b (n)

^{, ko oºimo ²irino}

b

pravokotnih impulzov? Izra£unajte limito.

RE’ITEV:

Ko oºimo ²irino

b

pravokotnih impulzov, se amplituda

E

^{pove£uje. V limiti}

b → 0

^raste

E

^{£ez vse meje (}

E → ∞

^{), kar pomeni, da postanejo impulzi poljubno}

visoki. V limiti torej dobimo periodi£en niz impulzov z neomejeno amplitudo in

neskon£no majhnim £asom trajanja. Tak²nega signala, ki ga obi£ajno ozna£imo z

δ T (t)

^{, ni mogo£e prakti£no} realizirati. Kljubtemu igrav elektrotehniki pomembno vlogo. Signal

δ T (t)

^{, ki ima neomejeno povpre£no mo£, simboli£no} predstavimo s periodi£nimzaporedjem odebeljenih pu²£i, kot je prikazanona spodnji sliki:

−T 0 T 2T

δ _T (t)

Spekter

G b (n)

^{obstaja in je omejen:}

lim b →0 G b (n) = 1 T lim

b →0

sin ^nω ₂ ^{0 b}

nω 0 b 2

= 1 T .

2.

3.

4 ODVODI IN EKSTREMI

1. [OBDELAVASIGNALOV℄Frekven£naoz.spektralnapredstavitevperiodi£negasig-

nalaimenujemo zapisperiodi£negasignalasFourierjevo vrsto,tj.zneskon£novsoto

sinusnih nihanj s frekvenami

nω ₀

^{,kjer je}

ω 0 = 2π

T

kroºna frekvena,

n

^{elo ²tevilo,}

T

^{paperioda signala. Sinusno nihanje} predstavlja osnovni model nihanja, ki ga zasledimo v naravi. Z njim lahko naprimer opi²emo

nihanje matemati£nega nihala ali nihanje, ki gadoseºemo z elektri£nimvezjem ni-

hajnega kroga.

Povpre£na mo vsignalanapake,ki gadobimo kot razlikomed originalnimsignalom

f(t)

^{in njegovo Fourierjevovrsto}

f ˜ (t) =

X +∞

n=−∞

F (n)e ^{inω 0 t}

je enaka

0

^{. Teºave lahko nastopijo le primeru, ko vrednosti F}ourierjevih koe- ientov

F (n)

^{(v izra£unu nastopa integral) ne moremo dolo£iti ali £e Fourierjeva}

vrstani konvergentna. Izkaºe se, daje konvergena Fourierjevevrste zagotovljena,

£e periodi£ni signal izpolnjuje tako imenovane Dirihletove pogoje. Eden izmed

Dirihletovihpogojevpravi,dasmesignal

f(t)

^{naintervalueneperiode imetikve£-}

jemu kon£no ²tevilo lokalnih minimumov in maksimumov. Drugi pogoj

pravi,dasmesignal

f (t)

^{naintervalueneperiode imetikve£jemu kon£no ²tevilo}

nezveznosti.

Za naslednje periodi£ne signale ugotovite, ali izpolnjujejo omenjena Dirihletova

pogoja:

(a)

f (t) = arctan cos ^t ₂

(b) Eno periododolºine

1

periodi£nega signala

g(t)

^{prikazuje naslednja slika.}

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t

g(t)

(a) Signal

f(t) = arctan cos ₂ ^t

^{je zvezen, saj je kompoziija zveznih funkij. Na}

intervalu ene periode torej nima nobene to£ke nezveznosti in zato izpolnjuje

Dirihletov pogoj o (ne)zveznosti. Staionarne to£ke, ki so v tem primeru

edinikandidati(nito£knezveznosti,to£kneodvedljivostiinrobovdeniijskega

obmo£ja)za ekstreme,dobimo kot ni£le prvega odvodafunkije

f (t)

^:

f ^′ (t) = − 1

2 · sin ^t ₂

1 + cos ² ₂ ^t = 0.

Sledi, funkija

f(t)

^{ima na elotnem deniijskem obmo£ju ²tevno neskon£no}

lokalnih ekstremov, ki nastopijopripogoju

sin ₂ ^t = 0

^{v to£kah}

t = 2kπ

^{, kjer je}

k

^{elo ²tevilo. Na intervalu ene periode (npr. na intervalu}

[0, 4π)

^{) ima le dva}

lokalna ekstrema (

t 1 = 0

ⁱⁿ

t 2 = 2π

^{) in zato izpolnjujetudi Dirihletov pogoj}

o lokalnih ekstremih.

(b) Signal

g(t)

^{imanaintervalueneperiode}

(0, 1]

^{²tevnoneskon£noto£k}nezveznosti, karpomeni, dane izpolnjujeDirihletovega pogoja o (ne)zveznosti. Ta signal

ne izpolnjujenitiDirihletovega pogoja olokalnihekstremih.

2. [OBDELAVA SIGNALOV℄ Opazujmohkratne realizaije signala

x(t)

^{ob £asu}

t 1

ⁱⁿ

signala

y(t)

^ob£asu

t ₂

^{,kijurodiistinaklju£niproes. Vnamene}ugotavljanjasood- visnosti amplitudobeh signalov uporabljamokriterijsko funkijo srednje kvadratne

napake:

ǫ ² _t 1 t 2 (b) = 1 n

X n

k=1

(x k (t ₁ ) − by k (t ₂ )) ² ,

kjerje

n

^{²tevilohkratnihrealizaijsignalovin}

b

^parameterkriterijskefunkije,ki ga ºelimodolo£iti,tako da bovrednost srednje kvadratnenapake

ǫ ² _t 1 t 2 (b)

^najmanj²a.

Koje vrednostsrednje kvadratne napake enaka

0

^{, lahkovrednosti amplitudsignala}

y(t)

^ob£asu

t 2

^{popolnomadolo£imo zvrednostmi}

x(t)

^ob£asu

t 1

^.

Dolo£ite

b

^{,ki minimirasrednjo kvadratnonapako.}

RE’ITEV:

Potreben pogoj zanastop ekstrema je

∂ǫ ² _t 1 t 2 (b)

∂b = 0.

Ker je

ǫ ² _t 1 t 2 (b) = 1 n

X n

k=1

(x ² _k (t 1 ) − 2bx k (t 1 )y k (t 2 ) + b ² y ² _k (t 2 )),

je

∂ǫ ² _t 1 t 2 (b)

∂b = 2

− 1 n

X n

k=1

x k (t 1 )y k (t 2 ) + b 1 n

X n

k=1

y _k ² (t 2 )

= 0.

Iz ena£be

− 1 n

X n

k=1

x k (t ₁ )y k (t ₂ ) + b 1 n

X n

k=1

y _k ² (t ₂ ) = 0

dobimoza vrednostparametra

b

^{naslednjo re²itev:}

b = P n

k=1 x k (t 1 )y k (t 2 ) P n

k=1 y _k ² (t 2 ) .

ƒe imavsaj ena realizaijasignala

y(t)

^ob£asu

t ₂

^od

0

^{razli£noamplitudo,je drugi}

odvod

∂ ² ǫ ² _t 1 t 2 (b)

∂b ² = 2 n

X n

k=1

y ² _k (t 2 ) > 0,

karpomeni,daizra£unanavrednostparametra

b

^{dolo£aminimumsrednjekvadratne}

napake.

3. [OSNOVE ELEKTROTEHNIKE℄ Vkaterilegidrsnikaoziromaprikaterivrednosti

upornosti

R x

^{spodnjega deladrsnegaupora boelektri£namo£vvseh uporihskupaj}

maksimalnainkolik²na bo tamo£?

5A 20Ω R x

10Ω 20Ω

70 Ω

RE’ITEV:

Kerjevezjeuporovtokovnovzbujano,boelektri£namo£vvsehuporihskupaj mak-

simalnatakrat, ko bomaksimalna tudi njihova nadomestnaupornost:

R nad (R x ) = 20Ω + (10Ω + R x )(90Ω − R x )

(10Ω + R x ) + (90Ω − R x ) = 20Ω + 900Ω ² + 80Ω · R x − R ² _x 100Ω

= 2900Ω ² + 80Ω · R x − R ² _x 100Ω

Navzdol obrnjena parabola ima teme pri

R x = 40Ω

^{. Isti rezultat dobimo tudi, £e}

i²£emoekstrem funkije

R nad (R x )

^{z uporaboodvodov:}

R ^′ _nad (R x ) = 1

100Ω (80Ω − 2R x ) = 0 R _nad ^′′ (40Ω) = − 2

100 = − 1 50 < 0

Nadomestna upornost doseºe pri

R x = 40Ω

^vrednost

45Ω

^{, elektri£na mo£ pa je}

enaka

P = U · I = I ² · R x = (5

^A

) ² · 45Ω = 1125

^W

.

1. [ELEKTRIƒNA IN MEHANSKA VEZJA℄ Dinami£ne lastnosti sistemov opi²emo

z ve£ ²tevilskimi vrednostmi in terminolo²kimi opisi. Najpomembnej²i so: lega

polov in ni£el, vrsta in red sistema, £asovne konstante (

τ

^{), koeienti du²enja (}

ζ

^),

frekvene nihanja (

f

^{), kroºne frekvene (}

ω

^{) in oja£enje (}

K s

^{). Pomembna lastnost}

jestabilnostsistema,kijo lahkodolo£imoizodzivasistemanatestne signale. Eden

izmed kriterijev stabilnosti pravi, da so sistemi stabilni, kadar leºi eden ali ve£

polov v levipolravninikompleksneravnine, dasomejno stabilni, kadar njihovipoli

leºijonaimaginarniosi, insonestabilni, kadar imajovsaj en polv desni polravnini

kompleksne frekvene

s

^.

Linearen, £asovno nespremenljiv sistemobi£ajnoopi²emos prenosno funkijo

G(s)

^.

Ni£lesistema dolo£imokot korene ²teva, pole pakotkor ene imenovala prenosne

funkije. Red sistema dolo£a najvi²ja potena imenovala, vrsto pa ²tevilo polov

v koordinatnem izhodi²£u. Kadar ima sistem enega ali ve£ polov v koordinatnem

izhodi²£u kompleksne ravnine, govorimo o integriranih sistemih, diferenialni sis-

temipaimajov koordinatnemizhodi²£ukompleksne ravnineeno alive£ ni£el. ƒe v

koordinatnem izhodi²£u sistem nima niti polov nitini£el, imamo opravka s propor-

ionalnimsistemom,£e leºijovsi poli sistema v levipolravnini. ƒasovnekonstante

dolo£imoiz imenovalaprenosne funkije kot

τ i = 1 ℜ (a i ) ,

pri£emer so

a i

^{poliprenosne funkije. Koeientedu²enja lahko dolo£imo samo za}

prispevke konjugiranihkompleksnih polov kot

ζ = 1

q

1 + ^ℑ(a _ℜ(a ^{i )}

i )

2 ,

kjer so

a i

^{poli prenosne funkije. Dejanska frekvena nihanja in}

f d

^{in kroºna}

frekvena

ω d

^{stadolo£eni kot}

f d = 1

2π |ℑ (a i ) | , ω d = |ℑ (a i ) | ,

naravnakroºnafrekvena,kijoimenujemotudilastnafrekvenanedu²eneganihanja,

pakot

ω n = ω d

p 1 − ζ ² = p

( ℜ (a i )) ² + ( ℑ (a i )) ² = | a i | .

Oja£enje

K s

^{je denirano kot}

K s = lim

s →0 G(s),

£e limitaobstaja.

Izra£unajte dinami£ne lastnosti (poli in ni£le, vrsta in red sistema, £asovne kon-

stante, koeientidu²enja,frekvenenihanja,kroºne frekvene inoja£enje) sistema,

opisanega sprenosno funkijo

G(s) = s ² + 3s + 1

(s ² + 2s + 12)(s ² + 3s + 12) .

RE’ITEV:

Ni£ledolo£imo izena£be

s ² + 3s + 1 = 0.

Dobimo dve realni ni£li:

n 1 = − 3 + √ 5

2 ≈ − 0, 38, n 2 = − 3 − √ 5

2 ≈ − 2, 62.

Poledolo£imo iz karakteristi£ne ena£be sistema:

(s ² + 2s + 12)(s ² + 3s + 12) = 0.

Dobimo ²tirikompleksnepole:

p ₁ = − 1 + i √

11 ≈ − 1 + 3, 32 i p ₂ = − 1 − i √

11 ≈ − 1 − 3, 32 i p 3 = − 3 + i √

39

2 ≈ − 1, 5 + 3, 12 i p ₄ = − 3 − i √

39

2 ≈ − 1, 5 − 3, 12 i

Sistemje£etrtegaredainni£tevrste,re£emomulahkoproporionalnisistem£etrtega

reda. Sistemimadverazli£ni £asovni konstanti,

τ 1,2 = 1

− 1 = − 1, τ 3,4 = 1

− 1, 5 = − 2

3 ≈ − 0, 67,

dvarazli£na koeientadu²enja,

ζ ₁ = 1

√ 12 ≈ 0, 29, ζ ₂ =

√ 3

4 ≈ 0, 43,

dve razli£nidejanski frekveni nihanja,

f _d1 = 1 2π

√ 11 ≈ 0, 53, f _d2 = 1 2π

√ 39

2 ≈ 0, 50,

dve razli£nikroºni frekveni nihanja,

ω _d1 = √

11 ≈ 3, 32, ω _d2 =

√ 39

2 ≈ 3, 12,

ter eno samo lastno frekveno nihanja

ω n = √

12 ≈ 3, 46.

Oja£enje sistemapa je

K s = lim

s → 0

s ² + 3s + 1

(s ² + 2s + 12)(s ² + 3s + 12) = 1

12 · 12 = 1

144 ≈ 0, 007.

Grafprenosne funkije

G(s)

^{prikazuje spodnja slika:}

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−0.015

−0.01

−0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

s

G(s)

2. [OSNOVEELEKTROTEHNIKE℄ƒasovnipotekelektri£negatokajepodansfunkijo

I (t) = I b cos(ωt),

£asovni potek napetosti nakondenzatorju pas funkijo

U C (t) = U b C cos(ωt − π 2 ),

kjer je

I b = 2A

^,

U b C = 15V

ⁱⁿ

ω = 200s ⁻¹

^{. Nari²ite grafaobeh funkij £asa.}

RE’ITEV:

3.

5 INTEGRALI

1. [OBDELAVA SIGNALOV℄ Signale, ki nas obdajajo v prostoru in £asu, lahko teo-

reti£nopredstavimo ko t realno (alikompleksno) funkijo ene realne spremenljivke

(obi£ajno £asa). Energija signala

f (t)

^{na kon£nem £asovnem intervalu}

(t 1 , t 2 )

^je

denirana kot

E f (t ₁ , t ₂ ) = Z t 2

t 1

| f (t) | ² dt.

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

−15

−10

−5 0 5 10 15

I(t) U _C (t)

Povpre£no mo£ signala

f (t)

^{na£asovnem intervalu}

(t 1 , t 2 )

^{paizra£unamo kot}

P f (t 1 , t 2 ) = 1

t ₂ − t ₁ E f (t 1 , t 2 ) = 1 t ₂ − t ₁

Z t 2

t 1

| f (t) | ² dt.

Izra£unajte energijo in povpre£no mo£ signala

f (t) = sin 3t

^naintervalu

(0, 5)

^.

RE’ITEV:

E f (0, 5) = R 5

0 sin ² 3t dt = R 5 0

1 − cos 6t

2 dt = ¹ ₂

t − ¹ ₆ sin 6t 5

0 = ⁵ ₂ − ₁₂ ¹ sin 30 ≈ 2, 58 P f (0, 5) = ¹ ₅ E f (0, 5) ≈ 0, 52

2. [OBDELAVA SIGNALOV℄Energija signala

f(t)

^{naelotnem £asovnemintervaluje}

denirana kot

E f = lim

T →∞

Z T

− T | f (t) | ² dt.

ƒelimitaobstajainjekon£na(

E f < ∞

^{),imenujemosignal}

f (t)

energijski. Povpre£no mo£signala

f (t)

^{na elotnem £asovnem intervalupaizra£unamo kot}

P f = lim

T →∞

1 2T

Z T

− T | f (t) | ² dt.

ƒe limita obstaja in je kon£na ter pozitivna (

0 < P f < ∞

^{), imenujemo signal}

f (t)

mo£nosten.

Izra£unajte energijo in povpre£no mo£ naslednjihsignalov:

a.)

f (t) =

e ^{− t} , t ≥ 0 0, t < 0

b.)

g(t) = e ^αt

^{,kjer je}

α

^{poljubno kompleksno ²tevilo}

Kak²na je povpre£na mo£ energijskega signala?

RE’ITEV:

a.) Signal

f (t)

^je energijski, ni pamo£nosten:

E f = lim T →∞

R T

0 e ^−2t dt = − ¹ ₂ lim T →∞

e ^−2t T

0 = − ¹ ₂ lim T →∞

e ^−2T − 1

= ¹ ₂ P f = lim T →∞ 1

2T

R T

0 e ^−2t dt = − ¹ 2 lim T →∞ 1 2T

e ^−2t T 0 =

= − ¹ 2 lim T →∞ 1 2T

e ^−2T − 1

= 0

b.) Signal

g(t)

^je energijski, £e je realna komponenta

α

^{negativna, in mo£nosten,}

£e je

α

^{£isto imaginarno ²tevilo:}

E g = lim T →∞

R T

− T | e ^αt | ² dt = lim T →∞

R T

− T e ^{(α 1 +iα 2 )t} e ^{(α 1 − iα 2 )t} dt =

↓

^£e

α 1 6 = 0

= lim T →∞

R T

− T e ^{2α 1 t} dt = _2α ¹

1 lim T →∞

e ^{2α 1 t} T

− T =

= _2α ¹ ₁ lim T →∞ e ^{2α 1 T} − e ^{− 2α 1 T}

= _2α ¹ ₁ lim T →∞

e ^{4α 1 T} − 1 e ^{2α 1 T} =

= _2α ¹ ₁ lim T →∞

4α 1 e ^{4α 1 T} 2α 1 e ^{2α 1 T} = 1

α 1

T lim →∞ e ^{2α 1 T} =

∞ ,

^£e

α 1 ≥ 0 0,

^£e

α ₁ < 0 P g = lim T →∞ 1

2T

R T

− T e ^{(α 1 +iα 2 )t} e ^{(α 1 − iα 2 )t} dt = lim T →∞ 1 2T

R T

− T e ^{2α 1 t} dt =

↓

^£e

α 1 6 = 0

= _2α ¹ ₁ lim T →∞ 1

2T e ^{2α 1 T} − e ^{−2α 1 T}

= _2α ¹ ₁ lim T →∞ e ^{2 α1T}

2T − ^{e −} _2T ^{2 α1T}

= ∞

Torej, za

α ₁ 6 = 0

^signal

g(t)

^{nimo£nosten. Ko je}

α ₁ = 0

^{, padobimo}

P g = lim

T →∞

1 2T

Z T

− T

1 dt = lim

T →∞

1

2T 2T = 1

in

g(t)

^{je mo£nosten.}

Povpre£na mo£ signala,ki je energijski, je enaka 0:

P f = lim

T →∞

E f

2T = E f lim

T →∞

1 2T = 0.

3. [OBDELAVASIGNALOV℄Vpostopkihobdelavesignalovpogostouporabljamopri-

bliºke dejanskih signalov. Razlogi so lahko razli£ni velika numeri£na zahtevnost

dolo£anja amplitud originalnega signala, originalni signal ne poseduje zahtevanih

lastnosti signala. Pribliºek najve£krat sestavimo iz ve£ vnaprej podanih funkij,

imenovanihtemeljne funkije. Dolo£itipribliºek

x(t) ˜

^signala

x(t)

^{s kon£no energijo}

na omejenem £asovnem intervalu

(t ₁ , t ₂ )

^{, tako da minimiramo srednjo kvadratno}

napako

ǫ ² (t) = 1 t 2 − t 1

Z t 2

t 1

| x(t) − x(t) ˜ | ² dt,

pomeni minimiratipovpre£no mo£signala napake

ǫ(t) = x(t) − x(t) ˜

^.

Naj bosta

x ˜ ₁ (t) = ⁴ _π sin t

ⁱⁿ

x ˜ ₂ (t) = _π ⁴ cos t

^{dva pribliºkasignala}

x(t) =

1, 0 < t ≤ π

− 1, π < t < 2π

na£asovnem intervalu

(0, 2π)

^{. Kateriizmedpribliºkovje bolj²i? Dolo£itevrednosti}

srednjih kvadratnihnapak.

RE’ITEV:

ǫ ² ₁ (t) = _2π ¹ R 2π

0 | x(t) − x ˜ ₁ (t) | ² dt =

= _2π ¹ R π

0 | 1 − π ⁴ sin t | ² dt + R 2π

π | − 1 − π ⁴ sin t | ² dt

=

= _2π ¹ R π

0 (1 − ⁸ π sin t + ¹⁶ _π ² sin ² t) dt + _2π ¹ R 2π

π (1 + ⁸ _π sin t + _π ^{16 2} sin ² t) dt =

= 1 − π ^{8 2} ≈ 0, 19 ǫ ² ₂ (t) = _2π ¹ R 2π

0 | x(t) − x ˜ 2 (t) | ² dt =

= _2π ¹ R π

0 | 1 − _π ⁴ cos t | ² dt + R 2π

π | − 1 − _π ⁴ cos t | ² dt

=

= _2π ¹ R π

0 (1 − ⁸ π cos t + ¹⁶ _π ² cos ² t) dt + _2π ¹ R 2π

π (1 + ⁸ _π cos t + _π ^{16 2} cos ² t) dt =

= 1 + _π ⁸ 2 ≈ 1, 81

Srednja kvadratna napaka prvega pribliºka je manj²a od srednje kvadratnenapake

drugega pribliºka, karpomeni,daje prvipribliºek bolj²i od drugega.

Ali je napaka "velika"? Velikost napake, ki predstavlja povpre£no mo£ signala

napake

ǫ(t) = x(t) − x(t) ˜

^{naintervalu,kjerdolo£amopribliºek,jesmiselnoprimerjati}

s povpre£no mo£jo

P x

^signala

x(t)

^:

P x = 1

2π Z _2π

0

x ² (t) dt = 1 2π

Z _2π

0

1 dt = 1.

Srednja kvadratna napaka prvega (bolj²ega) pribliºka torej predstavlja pribliºno

19%

^{povpre£ne mo£i signala}

x(t)

^{. Drugi pribliºek ni} zadovoljiv, saj je povpre£no mo£signala napake

ǫ ₂ (t) = x(t) − x ˜ ₂ (t)

^{skoraj dvakrattolik²na kotpovpre£namo£}

P x

originalnegasignala.

nalaimenujemo zapisperiodi£negasignalasFourierjevo vrsto,tj.zneskon£novsoto

sinusnih nihanj s frekvenami

nω ₀

^{,kjer je}

ω 0 = 2π

T

kroºna frekvena,

n

^{elo ²tevilo,}

T

^{paperioda signala. Sinusno nihanje} predstavlja osnovni model nihanja, ki ga zasledimo v naravi. Z njim lahko naprimer opi²emo

nihanje matemati£nega nihala ali nihanje, ki gadoseºemo z elektri£nimvezjem ni-

hajnega kroga.

KompleksnaFourierjevavrsta periodi£negasignala

f(t)

^{s periodo}

T 0

^{je enaka}

f ˜ (t) =

+ ∞

X

n= −∞

F (n)e ^{inω 0 t} ,

kjer vrednostikoeientov

F (n)

^{dolo£imopopravilu}

F (n) = 1

T

Z t 0 +T

t 0

f (t)e ^{− inω 0 t} dt.

Ker so tako signal

f(t)

^{kot temeljne funkije}

e ^{− inω 0 t}

^{periodi£ne funkije s periodo}

T

^{,izbira spodnje meje}

t 1

^{integralane vplivana vrednost}

F (n)

^{in je zato poljubna.}

Koeienti

F (n)

^{so v splo²nem} kompleksni, tudi £e je

f (t)

^{realen, zato jih lahko}

zapi²emo kot

F (n) = P (n) + iQ(n),

kjer

P (n)

^{imenujemo realni spekter,}

Q(n)

^{pa imaginarni spekter.}

Dolo£ite kompleksno Fourierjevo vrsto, realni ter imaginarni spekter signala

f(t)

^,

ki je naintervalu

(0, 2π)

^enak

^At _2π

⁽

A > 0

^{) inje periodi£ens periodo}

T = 2π

^.

RE’ITEV: Najprej izra£unajmo Fourierjevekoeiente:

↓

^£e

n 6 = 0 F (n) = _2π ¹

Z 2π

0

At

2π e ^{− int} dt = A 4π ²

Z 2π

0

te ^{− int} dt = A 4π ²

i

n te ^{− int 2π}

0 −

Z 2π

0

i

n e ^{− int} dt

=

= A

4π ² ( 2πi n + 1

n ² e ^{− int 2π}

0 ) = Ai 2πn

F (0) = A

4π ² Z 2π

0

t dt = A 4π ²

t ² 2

^2π

0 = A

2 P (n) =

_A

2 , n = 0 0, n 6 = 0 Q(n) =

0, n = 0

A

2πn , n 6 = 0

f ˜ (t) =

+ ∞

X

n= −∞

F (n)e ^int = A 2 + Ai

2π X

n 6=0

1

n e ^int = A 2 − A

π X ∞

n=1

1

n sin nt.

5. [RAZPOZNAVANJE GOVORA℄ ƒe iste govorne posnetke digitaliziramo na dveh

lo£enihra£unalni²kihsistemih,pridedoproblema sinhronizaijeposnetkov vdigi-

talnihzapisih posameznih posnetkov se pojavijo nepredvidljivi £asovnizamiki. De-

tekija za£etka govora na osnovi pove£ane energije in podobnih parametrov se je

izkazala za nezanesljivo zaradi vpliva ²uma in moºnosti, da se na za£etku govora

pojavijo glasovizrelativnomajhnoglasnostjo. Takonaprimerglasova

f

ⁱⁿ

h

^{, kiju}

izgovorimovosami,zlahkazamenjamozzvokom, kigaustvarimozmalomo£nej²im

dihanjemali kak²no drugo ²ibko izraºeno akusti£no motnjo.

Poravnavo dveh hkrati zajetih signalov lahko zelo zanesljivo izvedemo z uporabo

kriºne korelaije, ki je globalno odvisna od poteka obeh signalov. Potrebno zakas-

nitevzauskladitevpotekasignalovnamre£zelonatan£nodolo£a£asovnizamik

τ max

^,

kjer je vrednost kriºne korelaije najve£ja. Kriºna korelaija

ϕ ij (τ )

neperiodi£nih signalov

f i (t)

ⁱⁿ

f j (t)

^{je dolo£ena z izrazom}

ϕ ij (τ) = Z _∞

−∞

f i (t)f j (t + τ) dt.

ƒestasignala

f i (t)

ⁱⁿ

f j (t)

^{energijskasignala,njuna kriºnakorelaija}

ϕ ij (τ)

^obstaja

zavsak

τ

^inje neperiodi£en signal.

Izra£unajte kriºni korelaiji

ϕ 12 (τ )

ⁱⁿ

ϕ 21 (τ)

^signalov

f ₁ (t) =

e ^{− t} , t ≥ 0 0, t < 0

in

f ₂ (t) =

2 − t, 1 < t < 2 0,

^drugod

,

nari²itenjun grafter dolo£ite

τ

^{, prikaterem doseºeta maksimum.}

RE’ITEV:

Lo£itije treba trimoºnosti:

τ ≤ 1

^{: Ko je}

0 ≤ τ ≤ 1

^{, premaknemo graf funkije}

f 2 (t)

^za

τ

^{v levo. Ko je}

τ < 0

^,

premaknemo graf funkije

f 2 (t)

^za

| τ |

^{v desno. V obeh primerih leºi interval,}

na katerem je funkija

f ₂ (t + τ )

^{neni£elna, znotraj intervala, na katerem je}

funkija

f 1 (t)

^{neni£elna. Velja}

f 1 (t)f 2 (t + τ ) =

e ^{− t} (2 − (t + τ )), 1 − τ ≤ t ≤ 2 − τ 0,

^drugod

in kriºna korelaijapri pogoju

τ ≤ 1

^jeenaka

ϕ ₁₂ (τ ) = R _∞

−∞ f ₁ (t)f 2 (t + τ ) dt = R ₂₋ τ

1 − τ e ^{− t} (2 − (t + τ )) dt =

= − (2 − t − τ)e ^{− t 2− τ}

1− τ − R ₂₋ τ

1− τ e ^{− t} dt = e ^{τ − 2} .

1 < τ < 2

^{: Ko je}

1 < τ < 2

^{, premaknemo graf funkije}

f ₂ (t)

^za

τ

^{v levo. V tem primeru}

se interval, na katerem je funkija

f ₂ (t + τ)

^{neni£elna, le delno prekriva z}

intervalom, nakateremje funkija

f 1 (t)

^{neni£elna. Velja}

f 1 (t)f 2 (t + τ ) =

e ^{− t} (2 − (t + τ)), 0 ≤ t ≤ 2 − τ 0,

^drugod

in kriºna korelaijapri pogoju

1 < τ < 2

^{je enaka}

ϕ ₁₂ (τ ) = R _∞

−∞ f ₁ (t)f ₂ (t + τ ) dt = R 2 − τ

0 e ^{− t} (2 − (t + τ )) dt =

= − (2 − t − τ)e ^{− t 2− τ}

0 − R ₂₋ τ

0 e ^{− t} dt = e ^{τ −2} − τ + 1.

τ ≥ 2

^{: Koje}

τ ≥ 2

^{,premaknemo graffunkije}

f 2 (t)

^za

τ

^{vlevo. Vtem primeruimata}

interval, na katerem je funkija

f ₂ (t + τ )

^{neni£elna, in interval, na katerem je}

funkija

f ₁ (t)

^{neni£elna, prazenpresek. Topomeni, daje}

f ₁ (t)f 2 (t + τ) = 0

ⁱⁿ

kriºna korelaija pripogoju

τ ≥ 2

^{je enaka}

ϕ 12 (τ ) = 0

^.

Izra£unalismo kriºno korelaijo

ϕ 12 (τ ) =

 



e ^{τ − 2} , τ ≤ 1 e ^{τ −2} − τ + 1, 1 < τ < 2

0, τ ≥ 2 .

Kriºnokorelaijo

ϕ ₂₁ (τ)

^{lahkoizra£unamozuporaboosnovnihpravilza}integriranje (uvedba novespremenljivke

u = t + τ

^{v integral):}

ϕ 21 (τ) = Z _∞

−∞

f 2 (t)f 1 (t + τ ) dt = Z _∞

−∞

f 1 (u)f 2 (u − τ) du = ϕ 12 ( − τ).

Torej

ϕ ₂₁ (τ) =

 



e ^{− τ −2} , − τ ≤ 1 e ^{− τ − 2} + τ + 1, 1 < − τ < 2

0, − τ ≥ 2

=

 



e ^{− τ −2} , τ ≥ − 1 e ^{− τ − 2} + τ + 1, − 2 < τ < − 1

0, τ ≤ − 2

.

Kriºnikorelaiji doseºeta maksimum pri

τ = 1

^oz.

τ = − 1

^.

−2 −1 0 1 2 3 4 0.2

0.4

τ φ ₁₂ ( τ )

−2 −1 0 1 2 3

0 0.2 0.4

τ

φ ₂₁ ( τ )