UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
NINA POTO ˇ CAR
RIEMANNOV UPODOBITVENI IZREK
DIPLOMSKO DELO
Ljubljana, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
ˇSTUDIJSKI PROGRAM: DVOPREDMETNI U ˇCITELJ SMER: MATEMATIKA - RA ˇCUNALNIˇSTVO
KANDIDATKA:
NINA POTO ˇ CAR
MENTOR:
izr. prof. dr. MARKO SLAPAR
RIEMANNOV UPODOBITVENI IZREK
DIPLOMSKO DELO
Ljubljana, 2017
Zahvala
Iskreno se zahvaljujem svojemu mentorju izr. prof. dr. Marku Slaparju za vse strokovne nasvete in velikoduˇsno vsestransko pomoˇc pri izdelavi diplomskega dela.
ˇSe posebej se zahvaljujem mami, ki me je v vseh teh letih ˇstudija tako finanˇcno kot moralno podpirala in me usmerjala po pravi poti.
Na koncu iskrena hvala tudi Luku, Tjaˇsi in Sari ter ostalim prijateljem, ki so me tekom ˇstudija spodbujali in mi v teˇzkih trenutkih stali ob strani.
I
Povzetek
V prvem delu diplomske naloge najprej predstavimo osnovne definicije in lastno- sti kompleksne ravnine. V nadaljevanju se osredotoˇcimo na kompleksne funkcije in lomljene linearne transformacije. Eno izmed bolj pomembnih poglavij je tudi Schwarzova lema in avtomorfizmi kroga. V drugem delu predstavimo Riemannov upodobitveni izrek, ki nam pove, da je vsako enostavno povezano obmoˇcje v C, razen cele kompleksne ravnine, biholomorfno ekvivalentno enotskemu disku. Nato razloˇzimo, zakaj izrek ne velja za celotno kompleksno ravnino. Na koncu sledijo primeri uporabe Riemannovega upodobitvenega izreka.
Kljuˇcne besede: holomorfne funkcije, lomljene linearne preslikave, Schwarzova lema, Riemannov upodobitveni izrek
Abstract
In the first part of the thesis, we introduce the basic definitions and properties of the complex plane. We then focus on complex functions and linear fractional transformations. One of the main chapters of the thesis is the one regarding the Schwarz lemma and the automorphisms of the unit disk. In the second part of the diploma thesis we present the Riemann mapping theorey, which states that every simply connected domain in C, except for the whole plane, is biholomorphically equivalent to the unit disc. We then explain why the theorey does not apply to the whole complex plane. The final part of the thesis contains examples of the Riemann mapping theorey.
Keywords: holomorphic functions, linear fractional transformations, Schwarz lemma, Riemann mapping theorem
III
Kazalo
Poglavje 1. Uvod . . . 1
Poglavje 2. Kompleksna ravnina . . . 2
2.1. Kompleksne funkcije . . . 3
2.2. Lomljene linearne transformacije . . . 4
2.3. Konformnost holomorfne preslikave . . . 7
2.4. Schwarzova lema in avtomorfizmi kroga . . . 10
Poglavje 3. Riemannov upodobitveni izrek . . . 13
3.1. Zgodovina . . . 13
3.2. Riemannov upodobitveni izrek . . . 14
3.3. Uporaba Riemannovega upodobitvenega izreka . . . 15
Literatura . . . 21
POGLAVJE 1
Uvod
Diplomska naloga je sestavljena iz dveh veˇcjih poglavij.
V prvem delu diplome si pogledamo osnovne lastnosti kompleksne ravnine teh holo- morfnih funkcij. Bolj natanˇcno si pogledamo lomljene linearne preslikave. Lomljene linearne preslikave lahko razumemo kot holomorfne avtomorfizme razˇsirjene komple- ksne ravnine, ki kot take slikajo kroˇznice v kroˇznice oziroma premice in kroˇznice v premice in kroˇznice, ˇce jih razumemo definirane zgolj na ustrezni podmnoˇzici kom- pleksne ravnine. To lahko hitro razberemo iz dejstva, da lahko vsako linerano presli- kavo zapiˇsemo morda kot kompozitum translacije, rotacije, homotetije in inverzije.
V naslednjem podpoglavju pokaˇzemo, da so injektivne holomorfne preslikave vedno konformne preslikave, kar pomeni, da ohranjajo kote in smer rotacije. Eno izmed bolj pomembnih poglavij je poglavje o Schwarzovi lemi in avtomorfizmih enotskega diska. S pomoˇcjo Schwarzove leme lahko namreˇc popolnoma karakteriziramo grupo avtomorfizmov enotskega diska kot ustrezno podgrupo linearno lomljenih transfor- macij.
V drugem delu diplome se osredotoˇcimo na sam Riemannov upodobitveni izrek.
Na zaˇcetku predstavimo, kdo je bil matematik, po katerem je izrek dobil ime, kdaj je bil izrek predstavljen in kdaj je bil dokazan. Po kratkem uvodu predstavimo izrek in obrazloˇzimo, zakaj izrek ne velja za celotno kompleksno ravnino. Na koncu diplomske naloge sledijo ˇse ˇstirje primeri uporabe Riemannovega upodobitvenega izreka.
POGLAVJE 2
Kompleksna ravnina
Glavni viri tega poglavja so [2], [5] in [6].
Kompleksno ravnino lahko enaˇcimo z ravnino R2. Razdalja med dvema toˇckama z1 =x1+iy1inz2 =x2+iy2je podana zd(z1, z2) =|z1−z2|=p
(x2−x1)2+ (y2−y1)2 in je enaka razdalji med toˇckama (x1, y1) ter (x2, y2) v R2.
Z D(a, r) = {z ∈ C;|z − a| < r} in D(a, r) = {z ∈ C;|z − a| ≤ r} podamo odprt inzaprt krog s polmerom r okrog toˇcke a.
Slika 1: Odprt in zaprt krog s srediˇsˇcem v ain radijem r
Definicija2.1. MnoˇzicaD⊂Cjeodprta, ˇce za vsako toˇckoa ∈Dobstajar >0, da jeD(a, r)⊂D. Mnoˇzica Z ⊂C je zaprta, ˇce je njen komplement odprt.
Definicija 2.2. Odprta mnoˇzica D⊂Cje povezana, ˇce je ne moremo zapisati kot disjunktno unijo dveh nepraznih odprtih mnoˇzic. Mnoˇzica D ⊂ C je enostavno povezanaˇce je vsaka sklenjena pot vD homotopna konstanti.
2
Dve poti sta γ0, γ1 : [0,1] → D ⊂ C sta homotopni v D, ˇce obstaja zvezna preslikavaF : [0,1]×[0,1]→D, da velja F(t,0) = γ0(t) in F(t,1) =γ1(t).
Slika 2: Homotopija med potemaγ0 inγ1
2.1. Kompleksne funkcije
Glavni viri tega poglavja so [2], [5] in [6].
Definicija 2.3. Kompleksna funkcija je preslikava f : D → C, kjer je D pod- mnoˇzica kompleksnih ˇstevil.
Vsako kompleksno funkcijo lahko zapiˇsemo v obliki f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y), kjer jez =x+iy in sta u, v :D →R realni fuknciji na mnoˇzici D in kjer Drazumemo kot podmnoˇzico R2.
Na ta naˇcin si lahko kompleksne funkcije predstavljamo kot preslikave:
f :D→R2, D ⊂R2.
Definicija 2.4. Funkcija f je kompleksno odvedljiva v a z odvodom f0(a), ˇce obstaja limita
f0(a) = lim
z→a
f(z)−f(a) z−a , pri ˇcemer velja f :D →C ter a∈D.
Definicija 2.5. Kompleksna funkcija f : D → C je holomorfna na D, ˇce je kompleksno odvedljiva v vsaki toˇcki a∈D pri ˇcemer je D odprta mnoˇzica.
Definicija 2.6. Naj bosta D1 in D2 obmoˇcji v C. Preslikava f : D1 → D2 je biholomorfna, ˇce je f bijektivna in ˇce sta f in f−1,f−1 :D2 →D1, holomorfni.
Ce jeˇ D1 = D2 = D, potem se biholomorfne preslikave f : D → D imenujejo holomorfni avtomorfizmiobmoˇcja D.
Mnoˇzico vseh holomorfnih avtomorfizmov oznaˇcimo z Aut(D).
2.2. Lomljene linearne transformacije
Glavna vira tega poglavja sta [2] in [6].
Definicija 2.7. Preslikava
f(z) = az+b cz+d,
kjer so a, b, c, d∈C, se imenuje lomljena linearna preslikava (oz. lomljena line- arna transformacija). ˇCe dodatno velja ad−bc6= 0 je f M¨obiusova transforma- cija.
M¨obiusovo transformacijo lahko razumemo kot bijekcijo f : C\ {−dc} → {ac}, ˇce c6= 0 oziroma kot bijekcijo f :C→C, ˇce jec= 0. Inverz M¨obiusove transformacije pa je zopet M¨obiusova transformacija.
Iz az+bcz+d =w izraˇcunamo z. Torej
w(cz+d) = az+b wcz+wd−az−b = 0
z(wc−a) = −wd+b z= (−d)w+b
cw−a . Iz zaˇcetnega pogoja ad−bc6= 0 sledi
(−d)(−a)−bc=ad−bc6= 0.
Lomljeno linearno preslikavo
z 7→ az+b cz+d =w
lahko gledamo tudi kot preslikavo Riemannove sfere S = C ∪ {∞} nase. V primeru, ko jec6= 0 je
z→∞lim f(z) = a c in lahko definiramo f(∞) = ac. Podobno je
lim
z→−d
c
f(z) = ∞ in zatof(−dc) =∞.
4
Opomba 2.8. Preslikava
z 7→ az+b
cz+d =F(z),
je holomorfna povsod, kjer je cz+d 6= 0 oziroma z 6= −dc. Pri primerni definiciji holomorfnosti je preslikava avtomorfizem Riemannove sfere. Izkaˇze se, da so M¨obi- usova transformacije natanko vsi avtomorfizmi Riemannove sfere. Poseben primer, ko jec= 0,
F(z) = a dz+ b
d, tedajF imenujemoafina linearna preslikava.
Vsako lomljeno linearno transformacijo je mogoˇce zapisati kot kompozitum preslikav naslednjih tipov:
•translacija: z 7→z+b;
•rotacija: z 7→az, |a|= 1 (a=eiw);
•homotetija: z 7→rz, r >0 (r∈R);
•inverzija: z 7→ 1z.
Imamo linearno lomljeno preslikavo f(z) = az+bcz+d. Poraˇcunamo:
f(z) = a c
z+ ba+ dc − dc z+ dc f(z) = a
c (1 +
b a− dc z+dc) = a
c + bc−ad c2z+cd.
Iz tega lahko izpeljemo, da se zgornje preslikave: translacije,rotacijeinhomotetija slikajo kroˇznice v kroˇznice in premice v premice.
Inverzija pa slika premice v premice ali kroˇznice in kroˇznice v kroˇznice ali pre- mice.
Trditev 2.9. Vsaka M¨obiusova transformacija f : Cb → Cb preslika premice in kroˇznice v premice in kroˇznice.
Izrek 2.10. Za vsaki trojici med seboj razliˇcnih ˇstevil {a, b, c} in {a0, b0, c0} iz C∪ {∞}=S, obstaja natanko ena lomljena linearna transformacija ϕ, za ketero velja:
ϕ(a) =a0, ϕ(b) =b0, ϕ(c) =c0.
Dokaz. Naj bodo a, b, c tri med seboj razliˇcna kompleksna ˇstevila. Konstrui- ramo lomljeno linearno transformacijo ϕ, da bo
ϕ(a) = 0 ϕ(b) = 1 ϕ(c) =∞.
Naˇsa lomljena linearna preslikava je naslednja:
ϕ(z) = (b−c)(z−a) (b−a)(z−c)
Taka preslikava je ena sama, saj ˇce je ϕ(a) = 0, mora biti z −a v ˇstevcu, ˇce je ϕ(c) = ∞, mora biti z−c v imenovalcu. ˇCe pa je ϕ(b) = 1 dobimo ravno zgornjo formulo. Tudi inverz take preslikave je natanko ena lomljena linearna transformacija, za katero jeψ(0) =a, ψ(1) =b, ψ(∞) = c.
Tako za poljubni trojici med seboj razliˇcnih ˇstevil {a, b, c} in {a0, b0, c0} obstaja
natanko ena linearna transformacija.
Posledica 2.11. Vsak odprt krog je mogoˇce preslikati na vsak drug odprt krog z lomljeno linearno transformacijo. Prav tako je mogoˇce vsak odprt krog preslikati z lomljeno linearno transformacijo na vsako odprto polravnino.
Slika 3: Transformacija ϕpreslika krog D1 na krogD2.
Slika 4: Transformacija ϕpreslika krogD na eno od polravnin.
6
2.3. Konformnost holomorfne preslikave
Glavni vir tega poglavja je [2].
Naj bofpreslikava izD(a, R) vC. Naj bof(z)6=f(a), z ∈D(a, R)\{a}.Preslikava f v toˇcki a ohranja kote, ko grer→0 velja
f(a+reiϑ2)−f(a)
|f(a+reiϑ2)−f(a)|
f(a+reiϑ1)−f(a)
|f(a+reiϑ1)−f(a)|
→ei(ϑ2−ϑ1).
Opomba 2.12. f(a+reiϑ2)−f(a) je vektor od f(a) do f(a+reiϑ2).
Slika 5: Kot med daljicama
Kot med daljicamaf(a), f(a+reiϑ2) in f(a), f(a+reiϑ1) oznaˇcimo sϕ. ˇCe je f(a+reiϑ2)−f(a) =|f(a+reiϑ2)−f(a)|eiw2
f(a+reiϑ1)−f(a) = |f(a+reiϑ1)−f(a)|eiw1, kjer je w2−w1 =ϕ, je
f(a+reiϑ2)−f(a)
|f(a+reiϑ2)−f(a)|
f(a+reiϑ1)−f(a)
|f(a+reiϑ1)−f(a)|
= eiw2
eiw1 =ei(w2−w1) =eiϕ.
Pogoj pove, da se koti v limiti ohranjajo. Torej, ˇce imamo dve krivulji K1 in K2 skozi toˇcko a, katerih tangenti oklepata kot ϕ, potem sliki f(K1) in f(K2) v toˇcki f(a) oklepata isti kot in smer vrtenja se ohranja.
Izrek 2.13. Naj bo f : D(a, R) → C preslikava. ˇCe f0(a) obstaja in je f0(a) 6= 0, tedaj f v toˇcki a ohranja kote. Torej je f konformna v a. Obratno, ˇce je f kot preslikava z R2 v R2 diferenciabilna v a, ˇce (Df)(a) 6= 0 in ˇce f ohranja kote v a, tedaj f0(a) obstaja in velja f0(a)6= 0.
Dokaz. Naj bo f0(a) = α. Tedaj je limr→0
f(a+reiϑ)−f(a)
|f(a+reiϑ)−f(a)| = lim
r→0
f(a+reiϑ)−f(a) reiϑ
|f(a+rereiϑiϑ)−f(a)| =eiϑ f0(a)
|f0(a)|
in zato res velja
limr→0
f(a+reiϑ2)−f(a)
|f(a+reiϑ2)−f(a)|
f(a+reiϑ1)−f(a)
|f(a+reiϑ1)−f(a)|
= eiϑ2|ff00(a)(a)|
eiϑ1|ff00(a)(a)|
=ei(ϑ2−ϑ1).
Obrat: Na zaˇcetku predpostavimo, da je a = 0 in f(a) = 0. Naj bo f : R2 → R2 diferenciabilna in naj bo (Df)(0)6= 0. Tedaj je
f(z) = αz+βz¯+o(|z|)
za majhnez ∈C, kjer sta α, β ∈C, in nista oba hkrati enaka 0. Naj bo z =x+iy inf =u+iv,
u(x, y) =px+qy+o((x, y)) v(x, y) =rx+sy+o((x, y)) torej
f(z) = u(x, y) +iv(x, y)
f(z) =px+qy+o((x, y)) +i(rx+sy+o((x, y))) f(z) = pz+ ¯z
2 +qz−z¯
2i +irz+ ¯z
2 +isz−z¯
2i +o(|z|) f(z) = z(p
2 + q 2i +ir
2 +s
2) + ¯z(p 2− q
2i +ir 2 − s
2) +o(|z|) f(z) = αz+βz¯+o(|z|)
Po predpostavki je vsaj eno od ˇstevil p, q, r, srazliˇcno od 0.
u(x, y) v(x, y)
= p q
r s x
y
+o(|(x, y)|)
Ce bi biloˇ α=β = 0, bi bilo p 2 + q
2i +ir 2 + s
2 = 0 p
2 − q 2i + ir
2 − s 2 = 0.
Od tod bi sledilo
p 2 +ir
2 = 0 q
2i−s = 0
8
in od tod p= r = 0 in q = s = 0. Pridemo do protislovja. Konformnost v toˇcki 0, ki smo jo predpostavili pomeni,
αreiϑ2 +βre−iϑ2 +o(r)
|αreiϑ2 +βre−iϑ2 +o(r)|
|αreiϑ1 +βre−iϑ1 +o(r)|
αreiϑ1 +βre−iϑ1 +o(r) → eiϑ2 eiϑ1, pri r→0, zato
αr+βre−2iϑ2 +o(r)
|αr+βre−2iϑ2 +o(r)|
|αr+βre−2iϑ1 +o(r)|
αr+βre−2iϑ1 +o(r) →1, pri r→0, torej
α+βe−2iϑ2 +o(r)r
|α+βe−2iϑ2 +o(r)r |
|α+βe−2iϑ1+ o(r)r | α+βe−2iϑ1+ o(r)r →1.
Sledi
α+βe−2iϑ2
|α+βe−2iϑ2|
|α+βe−2iϑ1| α+βe−2iϑ1 ≡1 za vse ϑ1 in vse ϑ2.
Fiksirajmoϑ. Dobimo
α+βe−2iϑ2
|α+βe−2iϑ2| ≡A, A∈C.
Ker α, β nista oba hkrati enaka 0, je A6= 0.
α+βe−2iϑ2 =A|α+βe−2iϑ2|
Argument kompleksnega ˇstevila na desni je argument ˇstevila A. To pa je ˇstevilo, ki za vse ϑ leˇzi na istem poltraku skozi A.
Ce jeˇ β 6= 0, potem leva stran preteˇce celo kroˇznico, ki ni vsebovana v poltraku.
Slediβ = 0. Torej vemo α6= 0 in ˇse f(z) = αz+o(|z|), torej f0(0) = lim
z→0
f(z)
z =α+ lim
z→0
o(|z|) z =α.
Torej jef odvedljiva v toˇcki 0 in njen odvod je razliˇcen od 0.
Opomba 2.14. Holomorfni preslikavi, katere odvod je razliˇcen od 0, pravimo kon- formna preslikava (ohranja kote in smer vrtenja). Injektivna holomorfna preslikava je vedno konformna, saj je zaradi injektivnosti odvod razliˇcen od 0.
2.4. Schwarzova lema in avtomorfizmi kroga
Glavna vira tega poglavja sta [1] in [2].
V tem razdelku si bomo pogledali primere avtomorfizmov, Schwarzovo lemo in do- kaz. Opiˇsemo lahko dva tipa avtomorfizmov enotskega diska in izkaˇze se, da ravno ta dva tipa avtomorfizmov enotskega diska doloˇcata vse avtomorfizme D.
Prvi tip avtomorfizmov enotskega diska sorotacije. Podane so kot z 7→eiϑ, gre za rotacijo za kotϑ.
Drugi tip avtomorfizmov enotskega diska soM¨obiusove transformacije posebne vrste.
Definicija 2.15. Za vsakα∈D definiramo naslednjo fukncijo ϕα(z) := z−α
1−αz¯ , z∈C, z 6= 1
¯ α. Transformacijoϕα imenujemo M¨obiusova transformacija.
Slika 6: M¨obiusova transformacija
Trditev 2.16. Za vsak α ∈ D je ϕα (zoˇzena na disk) holomorfen avtomorfizem diska. Natanˇcneje ϕα(D) =D. Velja tudi:
ϕ0α(0) = 1− |α|2 ϕ0α(α) = 1
1− |α|2 Dokaz. Velja
ϕα(1) = 1−α
1−α¯ ϕα(−1) = −1−α
1 + ¯α ϕα(i) = i−α 1−i¯α in preprosto vidimo, da velja
|ϕα(1)|=|ϕα(−1)|=|ϕα(i)|= 1.
10
Ker linearne lomljene preslikave kroˇznice slikajo v kroˇznice in je ϕα(0) = −α ∈ D, je ϕα res avtomorfizem diska. Z odvajanjem dobimo
ϕ0α(z) = (1−αz) + (z−α)α (1−αz)2 ϕ0α(z) = 1−αα
(1−αz)2, od koder sledi
ϕ0α(0) = 1− |α|2 ϕ0α(α) = 1
1− |α|2.
Izrek 2.17. (Schwarzova lema) Naj bo f(z) : D → D holomorfna funkcija in veljaf(0) = 0. Tedaj za vsak z ∈D velja naslednje:
|f(z)| ≤ |z| in |f0(0)| ≤1.
Ce velja enakostˇ |f(z)|=|z| za nek z 6= 0, potem je f(z) =eiϑz, ϑ∈R (rotacija za kot ϑ).
Ce jeˇ |f(z)| = |z| za nek z ∈ D\{0}, je |g(z)| = 1. Po princpu maksimima je g(z) konstantna. Zato je f(z) = eiθz za vsakz ∈D.
Dokaz. Ker je f(0) = 0, ima f(z)z v 0 odpravljivo singularnost, saj je f(z) =f(0) +c1z+c2z2+. . .
f(z) = z(c1+c2z2+c3z3+. . .)
| {z }
g(z)
, torej
g(z) = f(z) z ,
kjer je funkcija g holomorfna na enotskem krogu. Velja |zg(z)| = |f(z)| ≤ 1, z ∈ D (D={z ∈C:|z|<1}),|z|=r <1, r|g(z)| ≤1,|g(z)| ≤ 1r.Po principu maksima sledi|g(z)| ≤ 1r za vsak z,|z| ≤r. Poˇsljemor proti 1. V limiti dobimo|g(z)| ≤1 za vsak z,|z| ≤1. Od tod sledi
|f(z)|=|zg(z)|
|f(z)|=|z||g(z)| ≤ |z|, saj je|g(z)| ≤1.
Vemo, da je f(z) =zg(z) za vsak z ∈D. Sledi f0(0) =g(0), torej
|f0(0)|=|g(0)| ≤1.
Posledica 2.18. (Posploˇsena Schwarzova lema)Naj bo f :D→D holomorfna funkcija, f(0) =:α ∈D. Velja:
|f0(0)| ≤1− |α|2. Ce velja enakost jeˇ f avtomorfizem diska.
g(z) := ϕα(f(z)), z ∈D g :D→D, g(0) = 0
Slika 7: Funkcijaf je holomorfna,f :D→D.
Po Schwarzovi lemi velja |g0(0)| ≤ 1. ˇCe velja enakost je g rotacija ter poslediˇcno g ∈AutD ing(z) = eiϑz, ϑ ∈R.
g0(0) =ϕ0α(f(0))f0(0) =ϕ0α(α)f0(0), torej
|ϕ0α| |f0(0)| ≤1, torej
|f0(0)| ≤ 1
|ϕ0α(α)| = 1− |α|2.
Izrek 2.19. Naj bo f nek holomorfen avtomorfizem diska in naj bo α ∈ D tista toˇcka, ki jo f preslika v 0 (f(α) = 0). Potem je f oblike:
f(z) = eiϑ z−α
1−αz¯ , ϑ∈R.
Dokaz. Naj bo f(0) = α in definiramo h(z) = φα ◦f. Po Schwarzovi lemi je
|h(z)| ≤ |z|. Ker je tudi |h−1(z)| ≤ |z| je |h(z)|=|z|in zato f(z) = eiθφα. Posledica 2.20.
Aut(D) = {z 7→eiϑ z−α
1−αz¯ : ϑ∈R, α∈D}
12
POGLAVJE 3
Riemannov upodobitveni izrek
3.1. Zgodovina
Glavni viri tega poglavja so [3], [4], in [8].
Georg Friedrich Bernhard Riemann je bil nemˇski matematik, ki se je rodil 17. sep- tembra 1826 in umrl leta 1866. Veliko je prispeval na podroˇcju analize, teorije ˇstevil in geometrije. Na podroˇcju realne analize je poznan predvsem po t. i. Riemannovem integralu, pri kompleksni analizi pa zaradi Riemannovih sfer in seveda Riemanno- vega upodobitvenega izreka.
Riemann je napovedal upodobitveni izrek v svoji disertacij, ki jo je zagovarjal v G¨ottingenu leta 1851. Njegova verzija je bila seveda pomanjkljivejˇsa, kot je danaˇsnja in tudi dokaz ni bil povsem natanˇcen. Kasneje so upodobitveni izrek in dokaz po- pravili razliˇcni matematiki. Matematik William Fogg Osgood pa je bil prvi, ki je dokazal celoten izrek leta 1900.
Riemannov upodobitveni izrek je eden izmed izjemnih odkritij 19. stoletja na po- droˇcju matematike. Tudi danes, veˇc kot 150 let kasneje, je dejstvo, da je vsako eno- stavno povezano obmoˇcje v kompleksni ravnini (razen cele ravnine) biholomorfno enotskemu disku, presenetljivo.
3.2. Riemannov upodobitveni izrek
Glavni viri tega poglavja so [2], [7] in [9].
Izrek 3.1. (Liouvillov izrek) Ce jeˇ f :C→Cholomorfna in omejena, potem je f konstantna.
Izrek3.2. (Riemannov upodobitveni izrek)Vsako enostavno povezano obmoˇcje vC, razen cele ravnine, je biholomorfno ekvivalentno krogu, t. j. za vsako obmoˇcje Dobstaja biholomorfna preslikava
F :D→D.
Slika 8: Riemannov upodobitveni izrek
Opomba 3.3. Ce jeˇ D = C, tedaj take preslikave ni. Ce jeˇ F : C → D holo- morfna preslikava, je F omejena holomorfna fukncija na C, taka pa mora biti po Liouvilleovem izreku konstantna.
Riemannov upodobitveni izrek lahko ”prenesemo”na Riemannove sfere: ˇCe je U enostavno povezana odprta podmnoˇzica Riemannove sfere, potem jeU biholomorfna Riemannovi sferi, kompleksni ravnini ali odprtemu disku.
14
3.3. Uporaba Riemannovega upodobitvenega izreka
Glavni viri tega poglavja so [2], [9] in [10].
Primer 3.4. Preslikajmo zgornjo polovico ravnine na enotski disk.
Zgornja polovica ravnine je definirana kot:
H ={z ∈C| =(z)>0}
H ={z ∈C|0< arg z < π}.
Preslikava
ϕ(z) = z−i z+i preslika zgornjo polovico ravnine na enotski disk D2.
Toˇcke 0,−1,1,∞ in i se s pomoˇcjo preslikave ϕ(z) slikajo v naslednje toˇcke:
ϕ(0) =−1, ϕ(−1) =i, ϕ(1) =−i, ϕ(∞) = 1 in
ϕ(i) = 0.
Opomba3.5. Ponavadi je laˇzje najprej preslikati obmoˇcje v zgornjo polovico ravnine ter nato v enotski disk. To opazimo tudi v 3. primeru.
Primer 3.6. Preslikajmo poljuben odprt disk na enotski disk.
Preslikava, ki preslika D(z0;r) na D, je sestavljena iz dveh preslikav, in sicer iz translacije in homotetije. S pomoˇcjo translacije preslikamo z → z−z0. To je biho- lomorfna preslikava, ki slikaD(z0;r)→D(0, r).
Naslednja preslikava je preprosta homotetija z → zr. Tudi ta preslikava je biholo- morfna in slika D(0, r)→D(0,1) =D.
Torej je preslikava, ki jo iˇsemo kompozitum translacije in homotetije:
z→ 1
r(z−z0).
Primer 3.7. Preslikajmo obmoˇcje 0 ≤ y ≤ 2, −∞ < x < ∞ na enotski disk
|w| ≤1.
Slika 9: Obmoˇcje 0≤y≤2, −∞< x <∞
Teˇzko enostavno vidimo, katera preslikava bi direktno preslikala celotno obmoˇcje na enotski disk, poznamo pa preslikavo, ki celotno zgornjo polovico ravnine preslika na disk. Da naˇse obmoˇcje preslikamo na enotski disk, tako potrebujemo dve preslikavi.
Preslikavaw=eπz/2 preslika naˇse obmoˇcje biholomorfno na celotno zgornjo polrav- nino.
Slika 10: Novo obmoˇcje je preslikano s w=eπz/2.
Opazimo, da sta toˇcki D in E = 0, ki sta leˇzali na x-osi sedaj leˇzita na pozitivni u-osi, kot toˇcki D0 in E0 = 1.
Sedaj, ko smo naˇse obmoˇcje preslikali v celotno zgornje obmoˇcje, lahko preslikamo na enotski disk. Zgornjo polovico ravnine preslikamo na disk z naslednjo preslikavo:
g(z) = i−z i+z. Sedaj zdruˇzimo obe preslikavi in dobimo naslednjo:
w=g(f(z)) = i−eπz/2 i+eπz/2.
To je naˇsa preslikava, ki preslika obmoˇcje 0≤y≤2, −∞< x < ∞na enotski disk
|w| ≤1.
16
Slika 11: Novo obmoˇcje preslikano s w=g(f(z)) = i−eπz/2
i+eπz/2.
Opazimo, da se negativna realna os preslika na interval (0,1].To nam omogoˇci naˇsa prva preslikava w = eπz/2. Druga preslikava g(z) = i−zi+z preslika interval od 0 do C= 1 na lok od 1 do C0 =ina enotskemu disku |w|= 1. Tako se negativna realna os preslika na lok od 0 doi na enotskem disku s pomoˇcjo
w= i−eπz/2 i+eπz/2.
Primer 3.8. Preslikajmo obmoˇcjeG:={z :|z|<1, Re(z)>0} na enotski disk.
Slika 12: ObmoˇcjeG:={z:|z|<1, Re(z)>0}
Ker ne poznamo direktne preslikave na enotski disk, gremo po korakih. Najprej bomo naˇse obmoˇcje preslikali v prvi kvadrant kompleksne ravine, nato v zgornjo polranino in na koncu ˇse na enotski krog.
Poiˇsˇcemo preseˇciˇsˇce roba naˇsega obmoˇcja s koordinatinim sistemom. Opazimo, da sta toi in−i.Sedaj ˇzelimo poiskati tako preslikavo, ki nam eno izmed toˇck preslika v 0 in eno v ∞. Z malo premisleka ugotovimo, da to lahko storimo s pomoˇcjo M¨obiusove preslikave:
z 7→ z−i z+i.
Preslikava nam lok in premer preslika v dva ˇzarka z izhodiˇsˇcem v 0. Oba ˇzarka gresta nato proti∞. Tako je naˇse novo obmoˇcje omejeno s tema dvema ˇzarkoma.
Poglejmo si naˇsa ˇzarka. Zadostuje pogledati, kam se slika ena toˇcka iz posameznega ˇzarka (lok in premer). ˇCe si izberemoRe(z) = 0 in 1 naj bo toˇcka na naˇsem loku, potem se ti dve naˇsi toˇcki preslikajo v −1 in −i. Tako sta naˇsa ˇzarka negativna realna in negativna imaginarna os. Ker ˇzelimo, da je spodnji del loka na pozitivni realni osi, naˇso preslikavo pomnoˇzimo z −1.
Tako imamo preslikavo, ki naˇse obmoˇcje preslika na desno polovico ravnine z z 7→ −z−i
z+i.
Slika 13: Obmoˇcje desne zgornje polovice ravnine
Ker poznamo preslikavo zgornje polovice ravnine na enotski disk, naˇse novo obmoˇcje preslikamo na zgornjo polovico ravnine. To storimo s pomoˇcjo preslikave z 7→ z2. Torej:
z 7→ (z−i)2 (z+i)2.
Sedaj imamo obmoˇcje zgornje polovice ravnine, kar pa znamo preslikati na disk.
Slika 14: Obmoˇcje zgornje polovice ravnine
18
Naˇsa konˇcna preslikava, ki preslika del diska na enotski disk:
z 7→ −i z2+ 2z−1 z2−2z−1.
Slika 15: Enotski disk
Literatura
[1] Chaplin R. Automorphisms of the Unit Disc (2. 3. 2015)
Dostopno prek: http://people.ds.cam.ac.uk/rc476/complexanalysis/autD.pdf (10. 7.
2017).
[2] Globevnik J., Brojan M. (2010). Skripta: Analiza II.
Dostopno prek: http://www.fmf.uni-lj.si/~globevnik/skriptaII.pdf (26. 3. 2017).
[3] Greene R., Kang-Tae K. (2007). The Riemann mapping theorem drom Riemann’s viewpoint.
Cornell University.
Dostopno prek: https://arxiv.org/pdf/1604.04071.pdf(20. 2. 2017).
[4] Riemann’s mapping theorem. (October 25, 2016)
Dostopno prek: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT4800/h16/riemann.
pdf(20. 2. 2017).
[5] Rudin W. (1987). Real and complex analysis. Singapore: McGraw-Hill Book Company.
[6] Slapar M. (2012). Skripta: Osnove kompleksne analize.
Dostopno prek: http://hrast.pef.uni-lj.si/slaparma/KompleksnaAnaliza.pdf(20. 3.
2017).
[7] Tillmann S. (2007). Complex analysis: Riemann mapping theorem and Riemann surfaces.
University of Melbourne.
Dostopno prek: http://www.maths.usyd.edu.au/u/tillmann/2007-complex/
ComAna-Lectures.pdf(20. 2. 2017).
[8] Bernhard Riemann. Wikipedia.
Dostopno prek: https://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann(25. 3. 2017).
[9] D. Shanahan P., G. Zill D.(2003). A First Course in Complex Analysis with Applications.
Canada: Jones and Bartkett publishers.
[10] Mathematics. (30. 6. 2014)
Dostopno prek: https://math.stackexchange.com/questions/882147/
find-a-conformal-map-from-semi-disc-onto-unit-disc(10. 7. 2017).
