Stereografska projekcija

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

Studijski program: matematika in tehnika ˇ

Stereografska projekcija

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

dr. Marko Razpet Natalija Nagliˇ c

Zahvala

Iskreno se zahvaljujem mentorju, dr. Marku Razpetu, da si je vzel ˇcas za strokovno pomoˇc in nasvete pri nastajanju tega diplomskega dela. Zahvalju- jem se starˇsema, ki sta mi omogoˇcila ˇstudij in me ob tem moralno podpirala, kadarkoli pomagala in spodbujala. Najlepˇsa hvala tudi mojemu Gregu, ker me je pri ustvarjanju diplomskega dela neprestano priganjal, neizmerno mo- tiviral, mi nudil pomoˇc in oporo. Hvala tudi vsem soˇsolcem in prijateljem, ki ste mi stali ob strani in mi s tem olajˇsali ˇstudij.

Program dela

V diplomskem delu definirajte stereografsko projekcijo in raziˇsˇcite njene lastnosti.

Ljubljana, junij 2011 Mentor: dr. Marko Razpet

Povzetek

V diplomskem delu je podrobneje obravnavana stereografska projekcija, to je preslikava, pri kateri se toˇcke s sfere projicirajo iz severnega pola na ravnino, ki se sfere dotika v juˇznem polu. Opisane so osnovne lastnosti stereografske projekcije in stereografske slike nekaterih prostorskih krivulj.

Omenjena je uporaba stereografske projekcije v nekaterih nematematiˇcnih vedah, uporaba raˇcunalniˇskih programov za dinamiˇcno geometrijo pri pouku matematike v osnovni ˇsoli in obenem tudi pomembnost razlikovanja med pojmoma konstruiranje in risanje pri uˇcencih.

Kljuˇcne besede: stereografska projekcija, zgodovinski pregled stereografske projekcije, polarni koordinatni sistem, sferni koordinatni sistem, lastnosti stereografske projekcije, loksodroma, logaritemska spirala, Vivianijeva krivu- lja, strofoida, konstrukcija strofoide, dinamiˇcna geometrija v OˇS.

Stereographic projection - Abstract

The main part of this final paper contains a presentation of the stereographic projection, i.e. a function that projects a sphere onto a plane. We proved the basic properties of the stereographic projection and the stereographic projections of some space curves. We mentioned the use of stereographic projection in other disciplines, the use of computer programs for dynamic geometry during mathematics lessons in elementary school and the impor- tance of pupils differentiation between concept of construction and drawing.

Key words: stereographic projection, history of stereographic projection, polar coordinate system, spherical coordinate system, the properties of stereographic projection, loxodrome, logarithmic spiral, Viviani’s curve, strophoid, construction of strophoid, dynamic geometry in elementary school.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Koordinatni sistem 3

2.1 Polarni koordinatni sistem . . . 3

2.2 Sferni koordinatni sistem . . . 5

2.2.1 Krivoˇcrtne koordinate na sferi . . . 6

3 Zgodovinski pregled stereografske projekcije 8 4 Stereografska projekcija 10 4.1 Definicija . . . 11

4.2 Izpeljava transformacijskih formul . . . 12

4.3 Obravnava osnovnih lastnosti . . . 15

4.3.1 Slikanje skozi severni pol sfere . . . 16

4.3.2 Ohranjanje kotov – konformnost . . . 18

4.3.3 Rotacija sfere povzroˇci rotacijo projekcijske ravnine . 20 5 Stereografska projekcija nekaterih prostorskih krivulj 22 5.1 Stereografska projekcija loksodrome . . . 22

5.1.1 Logaritemska spirala . . . 27

5.2 Stereografska projekcija Vivianijeve krivulje . . . 29

5.2.1 Strofoida . . . 31

6 Lastnosti stereografske projekcije na ekvatorialno ravnino 33 6.1 Izpeljava transformacijskih formul . . . 33

6.2 Razmerje med povrˇsino lika na sferi in povrˇsino lika na ravnini 36 6.3 Tvorba pitagorejskih ˇcetveric . . . 38 7 Vloga stereografske projekcije v drugih

vedah 40

7.1 Kartografija . . . 40 7.2 Fotografija . . . 42 7.3 Kristalografija . . . 44 8 Stereografska projekcija v osnovni in

srednji ˇsoli 46

9 Dinamiˇcna geometrija v osnovni ˇsoli 48 9.1 Konstrukcija strofoide . . . 49

10 Zakljuˇcek 51

Literatura 52

Slike

1 Polarni koordinatni sistem. . . . 4

2 Sferni koordinatni sistem.. . . 5

3 Astrolab (angl. astrolabe) [8]. . . . 9

4 Valjna (a), stoˇzˇcasta (b) in azimutna projekcija (c) [23]. . . . 10

5 Stereografska projekcija s sfere na projicirno ravnino.. . . 11

6 Stereografska projekcija toˇckeGv toˇckoGbs sfere na tangencialno pro- jicirno ravnino.. . . 12

7 Obratna stereografska projekcija kroˇznice z ravnine v kroˇznico na sferi (a) in obratna stereografska projekcija premice z ravnine v kroˇznico skozi severni pol na sferi (b) [18]. . . . 15

8 Loksodroma na sferi z oznaˇcenim kotomβ (a) in loksodroma na sferi v celoti (b) [9], [17]. . . . 23

9 Enakokotna lastnost logaritemske spirale. Veljaµ=µ2=µ3=µ4. . . 27

10 Prikaz Vivianijeve krivulje; na levi kot presek valja s sfero [24], [25].. . 29

11 Strofoida zaa= 2. . . . 32

12 Stereografska projekcija toˇckeGv toˇckoGb s sfere na ekvatorialno pro- jicirno ravnino.. . . 33

13 Deformacija povrˇsine pri slikanju s stereografsko projekcijo [28]. . . . 41

14 Panoramska fotografija (a) in ”mini“ planet (b) [26]. . . . 43

15 Prebodiˇsˇca normal iz srediˇsˇca kristala na sferi [13]. . . . 44

16 _”Stereografska“ projekcija kocke [14]. . . . 45

17 Eksperimentalen prikaz stereografske projekcije, kjer votla akrilna krogla sluˇzi kot sfera, ˇspageti pa kot premice, ki potekajo skozi srediˇsˇce pro- jekcije in poljubo toˇcko na krogelni povrˇsini. . . . 47

18 Konstrukcija strofoide s programom GeoGebra. . . . 50

1 Uvod

V matematiki in tudi drugih vedah pogosto uporabljamo preslikave objektov na doloˇceno ravnino. S pomoˇcjo premic, ki so vzporedne ali pa se vse sekajo v skupni toˇcki, imenovani srediˇsˇce projekcije, preslikamo objekt na t. i. projicirno ravnino. Slika, ki pri tem nastane, se imenuje projekcija.

Projekcija je definirana z matematiˇcno zvezo med koordinatami toˇck na izbrani ploskvi in koordinatami teh toˇck, prikazanih na projicirni ravnini.

Uvodu bo zato sledilo poglavje, v katerem si bomo podrobneje pogledali po- larni in sferni koordinatni sistem. Polarnega kot osnovo za dva koordinatna sistema v prostoru: cilindriˇcnega in sfernega; sfernega pa zato, da bomo znali enoliˇcno doloˇciti lego vseh toˇck na sferi.

V tretjem poglavju je predstavljena zgodovina preuˇcevanja stereografske projekcije. Znano je, da so se nekateri ˇze v letih pred naˇsim ˇstetjem ubadali z vpraˇsanji, kako bi naˇs okrogel planet predstavili v ravnini in v ta namen izumili tudi nekatere pripomoˇcke oziroma instrumente. Eden izmed takih instrumentov je prav gotovo astrolab, s katerim lahko merimo zemljepisno ˇsirino, dolˇzino in ˇcas.

Cetrto poglavje je namenjeno raziskovanju lastnosti stereografske projekcije,ˇ ki jih bomo obravnavali na tangencialni ravnini; zapisali jih bomo v obliki ˇstirih izrekov, ki jih bomo tudi dokazali. Sledi poglavje, v katerem bomo potrebovali te lastnosti. Pogledali si bomo namreˇc, v kaj se s stereo- grafsko projekcijo preslikata dve prostorski krivulji: loksodroma in Vivia-

Sledi kratek pregled lastnosti stereografske projekcije na ekvatorialno ravni- no, izraˇcun razmerja med povrˇsino lika na sferi in povrˇsino lika na ravnini ter nekaj malega o nastanku pitagorejskih ˇcetveric. Posvetili se bomo tudi uporabi raˇcunalniˇskih programov za dinamiˇcno geometrijo pri pouku matematike v osnovni ˇsoli. V sedmem poglavju bomo povedali, zakaj je pomembno, da uˇcenci poznajo razliko med pojmoma konstruiranje in risanje.

Na koncu je podan zakljuˇcek s strnjenimi ugotovitvami diplomskega dela.

Diplomsko delo je namenjeno uporabi v viˇsjih letnikih srednjih ˇsol, ˇstuden- tom in vsem, ki jih tema zanima.

2 Koordinatni sistem

Koordinatni sistem je matematiˇcno orodje, ki omogoˇca, da toˇcke in druge geometrijske objekte zapiˇsemo s ˇstevili – s koordinatami. Poznamo veˇc vrst koordinatnih sistemov:

• karteziˇcni pravokotni koordinatni sistem,

• polarni koordinatni sistem,

• cilindriˇcni koordinatni sistem,

• sferni koordinatni sistem.

Za potrebe diplomskega dela bomo od naˇstetih podrobneje obravnavalipo- larnega insfernega.

2.1 Polarni koordinatni sistem

Polarni koordinatni sistem je ravninski koordinatni sistem in je osnova za dva koordinatna sistema v prostoru: cilindriˇcnega in sfernega.

ToˇckaT(r, ϕ) je v polarnem koordinatnem sistemu podana z dvema ˇstevilo- ma, ki ju imenujemo polarni koordinati (slika 1):

• prva koordinata toˇcke je polarni radij, ki ga oznaˇcimo z r. Pomeni oddaljenost toˇcke od izhodiˇsˇca. Praviloma je veˇcji od 0, le v izhodiˇsˇcu je r= 0.

Slika 1: Polarni koordinatni sistem.

Ce poznamo polarni koordinati toˇˇ cke, lahko izraˇcunamo njeni pravokotni karteziˇcni koordinati x iny z zvezama

x=rcosϕ, y =rsinϕ.

Ce poznamo karteziˇˇ cni koordinati, pa lahko polarni koordinati dobimo s pomoˇcjo enaˇcb

r² =x²+y², (2.1.1)

tgϕ= y x.

Tudi ravninske vektorje lahko podajamo s polarnimi koordinatami, pri ˇcemer r pomeni dolˇzino vektorja, ϕ pa njegovo smer (smerni kot). Vektor ~r, ki ima dolˇzinorin smerni kotϕ, lahko zapiˇsemo s polarnimi koordinatami kot

~

r = (rcosϕ, rsinϕ).

Povzeto iz [12].

2.2 Sferni koordinatni sistem

Sferni ali krogelni koordinatni sistem je krivoˇcrtni sistem koordinat v tri- razseˇznem prostoru, s pomoˇcjo katerega enoliˇcno doloˇcimo lego toˇck na sferi ali sferoidu. V geografiji mu reˇcemo geografski, v astronomiji pa nebesni koordinatni sistem, ki je poravnan z vrtilno osjo Zemlje.

Slika 2: Sferni koordinatni sistem.

ToˇckaT(r, ϕ, θ) je v sfernem koordinatnem sistemu doloˇcena s tremi sfernimi koordiantami (slika 2):

• dolˇzina krajevnega vektorja ~r pomeni razdaljo toˇcke T od izhodiˇsˇca.

To dolˇzino oznaˇcimo z r.

• polarni kot ϕ je kot med vektorjem ~r in ravnino xy. Zavzame vred- nosti med −π/2 in π/2.

• azimutni kot θ je kot med osjo x in smerjo projekcije vektorja ~r na ravninoxy. Zavzame vrednosti med 0 in 2π oziroma med −π in π.

Zvezo med pravokotnimi in polarnimi koordinatami poiˇsˇcemo na analogen naˇcin kot v [6]. Poljubno toˇckoT(x, y, z) pravokotno projiciramo na ravnino xy. S slike 2 je razvidno, da je

cosθ= x

OT⁰, cosϕ= OT⁰

r , sinθ= y

OT⁰, sinϕ= z r.

Od tod imamo naslednje zveze med polarnimi in pravokotnimi koordinatami:

x=rcosϕcosθ, y=rcosϕsinθ, z =rsinϕ, (2.2.1) ki jih lahko zapiˇsemo tudi s kotom ρ, ki je komplementaren kotu ϕ (slika 2):

x=rsinρcosθ, y=rsinρsinθ, z =rcosρ.

2.2.1 Krivoˇcrtne koordinate na sferi

Krajevni vektor~r toˇcke T(x, y, z) na sferi polmera aizrazimo parametriˇcno z

~r=a(cosucosv,sinucosv,sinv) (2.2.2) pri ˇcemer 0≤u≤2π in−π/2≤v ≤π/2.

Pri parametriˇcnih enaˇcbah sfere jeuzemljepisna dolˇzina toˇcke, v pa zemlje- pisna ˇsirina toˇcke. Krivuljeu=konst.so poldnevniki ali meridiani, krivulje v =konst. pa vzporedniki ali paralele.

Zapiˇsimo parcialna odvoda~r_u in~r_v krajevnega vektorja~r. Parcialni odvod

~r_u je vektor na tangenti krivuljev =konst., odvod~r_v pa vektor na tangenti krivulje u=konst.:

~

ru =a(−sinucosv,cosucosv,0), (2.2.3)

~r_v =a(−sinvcosu,−sinvsinu,cosv). (2.2.4) Gaussovi koeficienti ploskve imajo v vsaki toˇcki na ploskvi natanko doloˇcene vrednosti. Le-te oznaˇcimo zE, F inG in jih definiramo kot:

E =~r_u~r_u, F =~r_u~r_v, G=~r_v~r_v.

Z enaˇcbama (2.2.3) in (2.2.4) izrazimo Gaussove koeficiente na sferi s polme- rom a:

E = a²(−sinucosv,cosucosv,0)(−sinucosv,cosucosv,0) =

= a²cos²v,

F = a²(−sinucosv,cosucosv,0)(−sinvcosu,−sinvsinu,cosv) =

= 0,

G = a²(−sinvcosu,−sinvsinu,cosv)(−sinvcosu,−sinvsinu,cosv) =

= a².

Povzeto iz [1] in [7].

3 Zgodovinski pregled stereografske projekcije

Zgodovina stereografske projekcije sega v leta pred naˇsim ˇstetjem. Od takrat pa vse do leta 1831, ko je nemˇski matematik Magnus ˇsirˇsi javnosti predstavil izraz stereografska, se je imenovala kar projekcija astrolaba.

Stereografska projekcija je bila znana ˇze Hiparhu (190–120), grˇskemu astro- logu, astronomu, geografu in matematiku iz helenistiˇcnega obdobja. Imel je namreˇc idejo, da bi naˇs planet, ki je sicer okrogel, predstavil na papirusu v ravnini. V ta namen je leta 150 pr. n. ˇst. izdelal prvi astrolab (slika 3), astronomski instrument, s katerim je lahko meril zemljepisno ˇsirino, dolˇzino in ˇcas. Tako je doloˇcil navidezno lego vseh znanih zvezd in naredil svoj zvezdni katalog. Hiparh je prvi dokazal dve lastnosti takrat imenovanepro- jekcije astrolaba. Ena izmed njih je, da ta projekcija ohranja kote, druga pa, da projicira kroge na sferi, ki ne potekajo skozi srediˇsˇce projekcije, v kroge na ravnini. Veˇc o Hiparhu in njegovem delu si lahko preberemo v [11].

Omeniti veljaPlanisphaerium, najstarejˇsi obstojeˇci dokument o stereograf- ski projekciji, ki ga je napisal Klavdij Ptolemaj (90–168). V tem dokumentu je podrobneje opisan astrolab, prav tako pa so opisane nekatere lastnosti stereografske projekcije, ki jih bomo v diplomskem delu ˇse obravnavali.

Prvo teorijo stereografske projekcije z nekaterimi dokazanimi lastnostmi je napisal arabski astronom Ahmad al-Fergani (805–880) v svoji razpravi o astrolabu. Nekateri znanstveniki trdijo, da je njegova razprava ena naj- boljˇsih teorij, ki opisuje ta instrument. Dokazal je tudi, da toˇcka v ravnini, v katero se preslika (s stereografsko projekcijo) srediˇsˇce kroga na sferi, ne sovpada s srediˇsˇcem kroga na ravnini. Povzeto iz [5].

Slika 3: Astrolab (angl. astrolabe) [8].

Nekateri pravijo, da je prvi zemljevid sveta, ki je temeljil na stereografski projekciji, ustvaril Gualterious Lud leta 1507. Zemeljski polobli je kartiral z ekvatorialnega vidika, kot kroˇzni disk. Takˇsen pristop kartiranja je uporabil ˇ

ze astronom Ptolemaj. Veˇc o zgodovini stereografske projekcije si lahko preberemo v [5], [10] in [28].

4 Stereografska projekcija

Stereografska projekcija je ena izmed projekcij, ki slikajo iz ukrivljene ploskve na ravnino. V sploˇsnem poznamo tri vrste sfernih projekcij:

• Valjna oziroma cilindriˇcna projekcija (slika 4a); povrˇsino sfere projiciramo na plaˇcˇc valja,

• stoˇzˇcasta oziroma konusna projekcija (slika 4b); povrˇsino sfere projiciramo na plaˇsˇc stoˇzca,

• azimutna oziroma zenitna projekcija (slika 4c); povrˇsino sfere projiciramo na ravnino nad teˇcajem.

(a) (b)

(c)

Slika 4: Valjna (a), stoˇzˇcasta (b) in azimutna projekcija (c) [23].

Stereografska projekcija spada med azimutne oziroma zenitne projekcije.

4.1 Definicija

Definicija 1. Stereografska projekcija σ je obratno enoliˇcna preslikava, pri kateri se toˇcke s sfere, razen njenega severnega pola, projicirajo iz severnega pola na ravnino, ki je tangencialna na sfero v njenem juˇznem polu. Ker gre za obratno enoliˇcno preslikavo, lahko s stereografsko projekcijo slikamo iz ravnine na sfero in iz sfere na ravnino (slika 5). Lastnosti projekcije se bistveno ne spremenijo, ˇce tangencialno ravnino zamenjamo s katerokoli ravnino, ki je njej vzporedna in leˇzi niˇzje od severnega pola (na primer ekvatorialna projicirna ravnina).

X

Y Z

N

Gˆ S

G

Slika 5: Stereografska projekcija s sfere na projicirno ravnino.

4.2 Izpeljava transformacijskih formul

V pravokotnem karteziˇcnem koordinatnem sistemuX, Y, Z naj bo dana sfera X²+Y²+

Z −1

2 2

= 1 4

s severnim polom N(0,0,1). Njeno srediˇsˇce je v toˇcki S(0,0,1/2), njen polmer pa je 1/2 (slika 6). Na sferi si izberimo toˇcko G(X, Y, Z) 6= N. Skozi toˇcki N in G potegnimo premico p, ki prebode ravnino XY v toˇcki G(x, y). Izrazimo sedaj koordinatiˆ x, y s koordinatamiX, Y, Z in obratno.

X Y

Z

N

Gˆ S

G G

Gˆ

Slika 6: Stereografska projekcija toˇckeGv toˇckoGb s sfere na tangencialno projicirno ravnino.

Izraˇcunajmo najprej smerni vektor ~s premice p. Krajevni vektor toˇcke N oznaˇcimo z~n= (0,0,1) in krajevni vektor toˇcke G z~g = (X, Y, Z). Potem

je

~

s =~g−~n = (X, Y, Z)−(0,0,1)

= (X, Y, Z−1).

Enaˇcbo premice pv vektorski obliki zapiˇsemo tako:

~r=~n+λ~s, λ∈R. V koordinatah se enaˇcba premice pglasi:

(x, y, z) = (0,0,1) +λ(X, Y, Z−1).

Od tod dobimo relacije:

x=λX, y =λY, z = 1 +λ(Z−1). (4.2.1) Ker je tretja koordinata toˇcke Gb enaka niˇc, z = 0, iz (4.2.1) sledi:

1 +λ(Z−1) = 0⇒λ= 1

1−Z. (4.2.2)

Iz (4.2.1) in (4.2.2) sledi zapis koordinat toˇcke G, izraˇb zen s koordinatami toˇcke G:

x= X

1−Z, y= Y

1−Z. (4.2.3)

Sedaj zapiˇsemo koordinate toˇcke Gna sferi. KoordinatiX inY izrazimo iz enaˇcb (4.2.3), koordinata Z pa ima vrednost v intervalu [0, 1):

X = x

λ =x(1−Z), Y = y

λ =y(1−Z), 0≤Z <1. (4.2.4)

in izraˇcunamo

x²(1−Z)²+y²(1−Z)² = 1 4 −

Z− 1

2 2

.

Po poenostavitvi imamo (1−Z)²(x²+y²) = Z(1−Z), pri ˇcemer je 1−Z 6= 0 oziroma Z 6= 1, saj smo sferi odvzeli toˇcko N(0,0,1). Zaradi tega lahko zgornjo enaˇcbo delimo z izrazom (1−Z) in dobimo najprej

(1−Z)(x²+y²)−Z = 0, nato pa ˇse

x²+y²−Z(x²+y²+ 1) = 0.

Iz zgornje enaˇcbe lahko sedaj izrazimo koordinato Z:

Z = x²+y² x²+y²+ 1.

Da bomo lahko doloˇcili ˇse preostali dve koordinati toˇckeG, moramo najprej izraziti razliko 1−Z:

1−Z = x²+y²+ 1−x²−y²

x²+y²+ 1 = 1 x²+y²+ 1.

Zgornjo enakost vstavimo v (4.2.4) in dobimo iskane formule za koordinate toˇcke G na sferi:

X = x

x²+y²+ 1, Y = y

x²+y²+ 1, Z = x²+y²

x²+y² + 1. (4.2.5) Iz zgornjih formul je razvidno, da se neskonˇcno oddaljena toˇcka, oznaˇcimo jo z∞, ravnineXY preslika v severni polN(0,0,1) sfere. Zato bomo vzeli, da razˇsirjena stereografska projekcija σ preslika severni pol N v neskonˇcno toˇcko ravnineXY.

4.3 Obravnava osnovnih lastnosti

Zapiˇsimo osnovne lastnosti stereografske projekcije:

(A) Vsaka kroˇznica na sferi, ki ne poteka skozi njen severni pol, se s stereografsko projekcijo preslika v kroˇznico na ravnini (slika 7a). V primeru, da kroˇznica poteka skozi severni pol sfere, je njena projekcija na ravnini premica (slika 7b).

(a) (b)

Slika 7: Obratna stereografska projekcija kroˇznice z ravnine v kroˇznico na sferi (a) in obratna stereografska projekcija premice z ravnine v kroˇznico skozi severni pol na sferi (b) [18].

(B) Stereografska projekcija ohranja velikosti kotov. Torej, kot med krivul- jama² na sferi je enak kotu med slikama teh krivulj na ravnini in obratno.

(C) Pri stereografski projekciji rotacija (tudi vrteˇz, vrtenje) sfere za neki kot okrog premera sever-jug povzroˇci vrtenje projekcijske ravnine za

Zgoraj naˇstete lastnosti stereografske projekcije bomo posebej obravnavali na tangencialni projicirni ravnini. V ˇsestem poglavju diplomskega dela bomo na kratko pregledali ˇse lastnosti stereografske projekcije na ekvatori- alno projicirno ravnino.

4.3.1 Slikanje skozi severni pol sfere

Lastnost (A)podajmo v obliki dveh izrekov in ju dokaˇzimo.

Izrek 1. Vsaka premica pravnineXY se pri obratni stereografski projekciji σ⁻¹ preslika na kroˇznico skozi severni pol N sfere.

Dokaz. Naj boaX+bY +c= 0 enaˇcba premice pv ravnini XY, pri ˇcemer je a² +b² > 0. ˇCe je poljubna toˇcka G(x, y) na premicib p, potem velja ax+by+c= 0 in po formulah (4.2.3) za stereografsko projekcijo dobimo

ax+by+c= 0⇒

⇒ a X

1−Z +b Y

1−Z +c= 0.

Ce jeˇ Gb konˇcna toˇcka na premici p, potem Z 6= 1 in koordinate toˇcke G=σ⁻¹(G) ustrezajo enaˇb cbama:

aX+bY +c(1−Z) = 0, X²+Y²+

Z− 1 2

2

= 1 4,

kar pomeni, da je toˇckaG hkrati na preseku ravnine skozi severni pol N in sfere, torej na sferini kroˇznici, ki poteka skozi toˇcko N.

Toˇcka ∞ premicep pa se preslika ravno v N, tako da se res vsa premica p preslika na sferino kroˇznico, ki poteka skozi severni pol N.

S tem smo dokazali, da se premica na ravnini pri obratni stereografski pro- jekciji preslika na kroˇznico skozi severni pol sfere.

Izrek 2. Vsaka kroˇznica ravnine XY se pri obratni stereografski projekciji σ⁻¹ preslika na kroˇznico, ki ne poteka skozi severni pol N sfere.

Dokaz. Naj bo X²+Y²+ 2aX + 2bY +c= 0 enaˇcba kroˇznice k v ravnini XY. ˇCe je poljubna toˇckaG(x, y) na kroˇb znicik, potem veljax²+y²+ 2ax+ 2by+c= 0. Po formulah (4.2.3) za stereografsko projekcijo dobimo iz

x²+y²+ 2ax+ 2by+c= 0 relacijo

X²

(1−Z)² + Y²

(1−Z)² + 2a X

1−Z + 2b Y

1−Z +c= 0.

Ker kroˇznicak ne vsebuje toˇcke ∞, velja Z 6= 1, zato zgornjo enaˇcbo lahko mnoˇzimo z (1−Z)² in dobimo:

X²+Y²+ 2aX(1−Z) + 2bY(1−Z) +c(1−Z)² = 0.

Ker velja X²+Y² =Z(1−Z), lahko zgornjo enaˇcbo zapiˇsemo kot Z(1−Z) + 2aX(1−Z) + 2bY(1−Z) +c(1−Z)² = 0⇒

⇒ Z+ 2aX+ 2bY +c(1−Z) = 0⇒

⇒ 2aX+ 2bY + (1−c)Z +c= 0.

To je enaˇcba ravnine, v kateri leˇzi toˇckaGin v kateri ne leˇzi severni polN. Hkrati je G na sferiX² +Y²+ (Z−1/2)² = 1/4, se pravi, G je na sferini kroˇznici, ki ne poteka skozi njen severni pol N.

S tem smo dokazali, da se kroˇznica na ravnini z obratno stereografsko pro-

4.3.2 Ohranjanje kotov – konformnost

Lastnost (B) zapiˇsimo v obliki izreka in ga dokaˇzimo:

Izrek 3. Stereografska projekcija ohranja velikosti kotov: kot θ med krivul- jama na sferi je enak kotu τ med slikama teh krivulj na ravnini in obratno.

Dokaz. Kot med dvema krivuljama na sferi je enak kotu med tangentama v preseˇciˇsˇcuG(X, Y, Z) teh dveh krivulj in poslediˇcno kotu med vektorjema, usmerjenima vzdolˇz teh dveh tangent. Tangentni vektor ene krivulje oznaˇci- mo z (dX, dY, dZ) in tangentni vektor druge krivulje oznaˇcimo z (δX, δY, δZ).

Kot θ med dvema krivuljama na sferi je tako doloˇcen s formulo cosθ = dX·δX +dY ·δY +dZ·δZ

√dX² +dY²+dZ²·√

δX²+δY²+δZ². (4.3.1) Naˇs cilj je kot θ izraziti s kotom τ, zato moramo izraˇcunati diferenciale dX, dY, dZ in δX, δY, δZ.

Koordinate toˇckeG, (4.2.5), obravnavajmo kot funkcije dveh spremenljivk:

X = x

x²+y²+ 1 ⇒f(x, y) = x x²+y²+ 1,

Y = y

x²+y²+ 1 ⇒g(x, y) = y x²+y²+ 1, Z = x²+y²

x²+y²+ 1 ⇒h(x, y) = x²+y² x²+y²+ 1,

nato pa izraˇcunamo njihove gradiente:

gradf(x, y) = ∂f

∂x, ∂f

∂y

=

−x²+y²+ 1

(x²+y²+ 1)²,− 2xy (x²+y²+ 1)²

. gradg(x, y) =

∂g

∂x, ∂g

∂y

=

− 2xy

(x²+y²+ 1)², x²−y²+ 1 (x²+y²+ 1)²

. gradh(x, y) =

∂h

∂x, ∂h

∂y

=

2x

(x² +y²+ 1)², 2y (x²+y²+ 1)²

.

Diferenciale funkcijdX, dY, dZ, δX, δY inδZ funkcijf(x, y),g(x, y) inh(x, y) zapiˇsemo v naslednji obliki:

dX =df(x, y) = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy = (−x²+y²+ 1)·dx−2xy·dy (x²+y²+ 1)² , dY =dg(x, y) = ∂g

∂xdx+ ∂g

∂gdy= −2xy·dx+ (x²−y²+ 1)·dy (x²+y²+ 1)² , dZ =dh(x, y) = ∂h

∂xdx+∂h

∂ydy= 2x·dx+ 2y·dy (x²+y²+ 1)² ; δX =δf(x, y) = ∂f

∂xδx+∂f

∂yδy= (−x²+y²+ 1)·δx−2xy·δy (x²+y²+ 1)² , δY =δg(x, y) = ∂g

∂xδx+∂g

∂gδy = −2xy·δx+ (x²−y²+ 1)·δy (x²+y²+ 1)² , δZ =δh(x, y) = ∂h

∂xδx+∂h

∂yδy = 2x·δx+ 2y·δy (x²+y²+ 1)² . Zgornje diferenciale vstavimo v izraz (4.3.1) in dobimo³:

cosθ = (dx·δx+dy·δy)(x²+y²+ 1)(x²+y²+ 1) (x²+y²+ 1)²·p

dx²+dy²·p

δy²+δy² =

= dx·δx+dy·δy pdx²+dy²·p

δx²+δy² =

Torej je kotθmed dvema krivuljama na sferi enak kotuτmed pripadajoˇcima krivuljama na projicirni ravnini. Slednjega doloˇcata tangentni vektor (dx, dy) na prvi krivulji in tangentni vektor (δx, δy) na drugi krivulji.

4.3.3 Rotacija sfere povzroˇci rotacijo projekcijske ravnine

Lastnost (C) podajmo v obliki izreka in ga dokaˇzimo.

Izrek 4. Pri stereografski projekciji rotacija sfere za kot Φ okoli osi Z povzroˇci rotacijo projekcijske ravnine za enak kot ϕ okoli koordinatnega izhodiˇsˇca.

Dokaz. ToˇckaG(X, Y, Z) na sferi se po rotaciji za kot Φ okoli osi Z preslika v toˇcko G₁(X₁, Y₁, Z₁) s koordinatami

X₁ =Xcos Φ−Y sin Φ, Y₁ =Xsin Φ +Y cos Φ,

Z₁ =Z. (4.3.2)

Toˇcka G(x, y) na projicirni ravnini pa se po rotaciji za kotb ϕokoli koordi- natnega izhodiˇsˇca preslika v toˇcko Gb₁(x₁, y₁) s koordinatama

x₁ =xcosϕ−ysinϕ, y₁ =xsinϕ+ycosϕ.

Ker velja

x²₁+y²₁ = (xcosϕ−ysinϕ)²+ (xsinϕ+ycosϕ)² =x²+y²,

lahko koordinate toˇcke G₁, (4.3.2), zapiˇsemo kot X1 = x₁

x²₁+y₁²+ 1 = xcosϕ−ysinϕ

x²+y²+ 1 = xcosϕ

x²+y²+ 1 − ysinϕ x²+y²+ 1 =

=Xcosϕ−Y sinϕ, Y₁ = y₁

x²₁+y₁²+ 1 = xsinϕ+ycosϕ

x²+y²+ 1 = xsinϕ

x² +y²+ 1 + ycosϕ x²+y²+ 1 =

=Xsinϕ+Y cosϕ, Z₁ = (x²₁+y₁²)

x²₁+y₁²+ 1 = x²+y²

x²+y²+ 1 =Z.

Le-te sovpadajo s koordinatami (4.2.5) natanko tedaj, ko velja Φ =ϕ.

5 Stereografska projekcija nekaterih prostorskih krivulj

Krivulja je v matematiki prema ali kriva ˇcrta, bodisi v ravnini – ravninska krivulja, bodisi v prostoru – prostorska krivulja. Ravninske krivulje so na primer: premica, kroˇznica, parabola; prostorske krivulje pa so na primer:

vijaˇcnica, loksodroma, Vivianijeva krivulja.

Do krivulj lahko pridemo na veˇc naˇcinov, navedimo jih le nekaj:

• krivulja kot presek dane ploskve z ravnino (npr.: stoˇznice),

• krivulja kot tir toˇcke, ki se giblje po danem zakonu – kinematiˇcno dana krivulja (npr.: Arhimedova spirala),

• krivulja kot mnoˇzica toˇck z dano lastnostjo (npr.: elipsa).

Omeniti pa velja nastanek krivulj kot projiciranje dobro znanih prostorskih krivulj na izbrano ravnino. Tako s pravokotno ali centralno projekcijo vijaˇcnice na ravnino dobimo zanimive ravninske krivulje. Ker je stereo- grafska projekcija glavna tema diplomskega dela, si poglejmo, v katero od ravninskih krivulj se s slednjo preslikata loksodroma in Vivianijeva krivulja. Povzeto iz [4] in [15].

5.1 Stereografska projekcija loksodrome

Loksodroma (angl. loxodrome, rhumb line) je prostorska krivulja na sferi, ki vse njene poldnevnike seka pod enakim kotom (slika 8a). Spiralno se vije od enega pola do drugega in se jima neprestano pribliˇzuje, a ju nikdar ne doseˇze, zato v polih ni definirana (slika 8b). Povzeto iz [17].

(a) (b) Slika 8: Loksodroma na sferi z oznaˇcenim kotomβ (a) in loksodroma na sferi v celoti (b) [9], [17].

Z~r oznaˇcimo krajevni vektor toˇcke T(X, Y, Z) na sferi X²+Y²+Z² =Z in ga zapiˇsimo v parametriˇcni obliki:

~r= 1

2(cosucosv,sinucosv,1 + sinv), pri ˇcemer 0≤u≤2π in−π/2≤v ≤π/2.

Zapiˇsimo odvod krajevnega vektorja~r po parametruu in po parametru v:

~r_u = 1

2(−sinucosv,cosucosv,0),

~ rv = 1

2(−sinvcosu,−sinvsinu,cosv).

Loksodroma vse poldnevnike seka pod enakim kotom, zato se izpeljave njene enaˇcbe lotimo s formulo za izraˇcun kota β med dvema krivuljama:

cosβ = d~r·δ~r

ds·δs. (5.1.1)

Ker veljata enakosti

d~r=~r_udu+~r_vdv, δ~r =~r_uδu+~r_vδv,

lahko enaˇcbo (5.1.1) po krajˇsem izraˇcunu zapiˇsemo v naslednji obliki:

cosβ = Eduδu+F duδv+F dvδu+Gdvδv

ds·δs . (5.1.2)

Pri tem soE,F inGGaussovi koeficienti oziroma skalarne funkcije, ki smo jih definirali v razdelku (2.2.1).

Za nadaljnje delo bomo potrebovali izraze za Gaussove koeficiente na sferi X²+Y²+Z² =Z, zato jih izraˇcunamo:

E = 1

4(−sinucosv,cosucosv,0)(−sinucosv,cosucosv,0)⇒

⇒ E = 1

4cos²v.

Na podoben naˇcin izraˇcunamo ˇse F = 0 in G= 1/4.

Da bomo lahko nadaljevali, moramo izraziti ˇse kvadrat diferenciala loka oziroma loˇcnega elementa krivulje, to se pravi ds² in δs²:

ds² =Edu²+ 2F dudv+Gdv² = 1

4(cos²v du²+dv²), δs² =Eδu²+ 2F δuδv+Gδv² = 1

4(cos²v δu²+δv²).

Izraze za E,F, G, ds² inδs² vstavimo v enaˇcbo (5.1.2) in dobimo:

cosβ = cos²v duδu+dvδv

√cos²v du²+dv²·√

cos²v δu²+δv². Ker je na poldnevniku u=konst., imamo δu= 0 in zato

cosβ = dv

√cos²v du²+dv².

Po kvadriranju in po prehodu na inverz na obeh straneh enaˇcbe dobimo 1

cos²β = cos²v du²+dv² dv² ,

upoˇstevajoˇc zvezo 1/cos²β = 1 + tg²β pa zgornjo diferencialno enaˇcbo po kratkem raˇcunu zapiˇsemo kot ±tgβ = (cosv du)/dv. Iz te enaˇcbe ˇzelimo izraziti parameter u. Zapiˇsimo najprej du = ±(dv/cosv) tgβ, nato pa to enaˇcbo integriramo in dobimo

u=±tgβ

Z dv cosv oziroma

u=±tgβ·ln tgv

2+ π 4

+u₀. (5.1.3) Enaˇcba (5.1.3) je v bistvu parametriˇcna oblika enaˇcbe loksodrome, kjer u₀ nastopa kot konstanta. Brez ˇskode za sploˇsnost bomo vzeli u0 = 0. Tedaj dobimo loksodromo (pravzaprav dve loksodromi), ki poteka skozi toˇcko, ki ustreza parametroma u=v = 0.

Izrek 1. Stereografska projekcija loksodrome na tangencialno ravnino skozi juˇzni pol sfere je logaritemska spirala.

Dokaz. Enaˇcbo loksodrome (5.1.3) delimo s koeficientom tgβ in antiloga- ritmiramo:

u=±tgβ·ln tgv

2+ π 4

, uctgβ = u

tgβ =±ln tgv

2+ π 4

, e^±uctgβ = tgv

2 +π 4

.

V (4.2.3) vstavimo zgornje kooordinate in dobimo:

x= cosvcosu

1−sinv , y= cosvsinu 1−sinv .

Uporabimo zvezo (2.1.1) in izraˇcunamo r, oddaljenost neke toˇcke od izho- diˇsˇca:

r= s

cos²vcos²u

(1−sinv)² +cos²vsin²u (1−sinv)² =

s

cos²v(cos²u+ sin²u)

(1−sinv)² = cosv 1−sinv.

Zgornji izraz zapiˇsimo s komplementarnim kotom ρ(slika 2)⁴: r= sinρ

1−cosρ.

Nadalje uporabimo funkcijo poloviˇcnega kota sinρ/(1−cosρ) = ctg(ρ/2).

Zaradi komplementarnosti kot ρlahko zapiˇsemo kot razlikoπ/2−v in tako dobimo:

r = ctgπ 4 −v

2

= tgπ 2 − π

4 +v 2

= tgπ 4 +v

2

=e^±uctgβ, kar predstavlja ravno obe logaritemski spirali, levo in desno suˇcno.

4Spomnimo se parametrizacijev=ϕin u=θ.

5.1.1 Logaritemska spirala

Enaˇcba logaritemske spirale (angl. logarithmic spiral) je v polarnih koordi- natah

r =ae^{b ϕ}, a, b∈R, a >0.

Pomembna lastnost logaritemske spirale je ta, da tangenta v katerikoli njeni toˇcki z radijemr oklepa stalen kot µ (slika 9).

Slika 9: Enakokotna lastnost logaritemske spirale. Veljaµ=µ2=µ3=µ4.

Izraˇcunajmo:

tgµ= r(ϕ)

r⁰(ϕ) = ae^bϕ

abe^bϕ ⇒b= 1

tgµ = ctgµ,

odkoder sledi enaˇcba logaritemske spirale v polarni obliki: r =ae^ϕctgµ. Logaritemska spirala je edina ravninska krivulja z zgornjo lastnostjo, zato jo pogosto imenujemo tudi enakokotna spirala (angl.: equiangular spiral).

To lastnost ima sicer tudi kroˇznica, za katero je kot µ= π/2. V resnici je kroˇznica niˇc drugega kot logaritemska spirala z enaˇcbo r =ae^{b ϕ} pri b = 0.

Tedaj je e⁰ = 1, kar pa nam da ravno enaˇcbo kroˇznice s polmerom a v polarnih koordinatah.

Najbolj zanimivo pri vsem tem pa je to, da velja tgβ = tgµ, torej tangens kota, ki ga loksodroma oklepa s poldnevniki, je enak tangensu kota, ki ga tangenta v katerikoli toˇcki logaritemske spirale oklepa z radijem. Ta trditev izhaja iz lastnosti (B) stereografske projekcije, ki pravi, da stereografska projekcija ohranja kote med krivuljami. To smo dokazali v razdelku 4.3.2.

Podrobneje o logaritemski spirali najdemo v delih [2] in [4].

5.2 Stereografska projekcija Vivianijeve krivulje

Vivianijeva krivulja (angl. Viviani’s curve), na sliki 10, je prostorska krivulja, dobljena kot presek valja

X−1

4 2

+Y² = 1

16 (5.2.1)

in sfere

X²+Y²+

Z− 1 2

2

= 1

4. (5.2.2)

Slika 10: Prikaz Vivianijeve krivulje; na levi kot presek valja s sfero [24], [25].

Enaˇcba (5.2.1) je pravzaprav na ekvatorialni ravnini sfere enaˇcba kroˇznice, ki ima srediˇsˇce v toˇcki S(1/4,0,0) in radij 1/4.

Izpeljimo parametriˇcno obliko enaˇcbe Vivianijeve krivulje na sferiX²+Y²+

na ravninoXY. DobimoX−1/4 = (1/4) costoziromaX = (1/4)(1 + cost) in Y = (1/4) sint, pri ˇcemer t∈[0,2π].

Sedaj parametriˇcni obliki za X in Y vstavimo v enaˇcbo sfere. Po kratkem izraˇcunu dobimo Z = (1/2)(1 + sin(t/2)), kjer t∈[0,2π].

Da dobimo ˇse spodnjo polovico Vivianijeve krivulje, razˇsirimo obmoˇcje parametra t na interval [0,4π]. Sploˇsno parametriˇcno obliko enaˇcbe Vi- vianijeve krivulje na sferi X² +Y² + Z² = Z zapiˇsimo lepˇse po uvedbi parametra τ =t/2 v obliki:

X = 1

2cos²τ, Y = 1

2sinτcosτ, Z = 1

2(1 + sinτ), 0≤τ ≤2π.

(5.2.3) Izrek 1. Stereografska projekcija Vivianijeve krivulje na tangencialno ravni- no je strofoida.

Dokaz. V enaˇcbi (4.2.3) upoˇstevamo (5.2.3) in imamo najprej x= X

1−Z = cos²τ

1−sinτ = 1 + sinτ, nato pa ˇse

y= Y

1−Z = sinτcosτ(1 + sinτ)

(1−sinτ)(1 + sinτ) = (1 + sinτ) tgτ =x tgτ = x ctgτ. Po krajˇsem raˇcunu dobimo

y² = x²

ctg²τ = x²sin²τ

1−sin²τ = x²(x−1)²

1−(x−1)² = x(x−1)² 2−x oziroma

y=±(x−1) r x

2−x.

V zgornji enaˇcbi bomo z x= 1 +ξ naredili vzporedni premik vzdolˇz osi x:

y=±ξ s

1 +ξ 1−ξ.

To pa je ravno eksplicitna oblika enaˇcbe strofoide, krivulje, v katero se Vivianijeva krivulja stereografsko projicira.

5.2.1 Strofoida

Odkritje strofoide (angl. strophoid), to je krivulje z enaˇcbo y=±x

ra+x a−x,

pripisujejo italijanskemu fiziku in matematiku Torricelliju.

V enaˇcbi strofoide jea pozitivna konstanta. Oˇcitno je strofoida simetriˇcna glede na abscisno os. Krivulja ima navpiˇcno asimptoto z enaˇcbo x = a (slika 11).

Koordinatno izhodiˇsˇce (0,0) je dvojna toˇcka strofoide, saj tam seka samo sebe pod pravim kotom. Ima dve tangenti z enaˇcboy=±x, njeno teme pa je v toˇcki (−a,0).

Pri stereografski projekciji se spodnja polovica Vivianijeve krivulje preslika v zanko strofoide, zgornja polovica pa v loka, ki se pribliˇzujeta asimptoti strofoide. Pri tem je parameter a enak 1.

Slika 11: Strofoida zaa= 2.

6 Lastnosti stereografske projekcije na ekvatorialno ravnino

V tem poglavju navajamo lastnosti stereografske projekcije na ekvatorialno ravnino, saj smo doslej obravnavali zgolj primere za tangencialno ravnino.

6.1 Izpeljava transformacijskih formul

V pravokotnem karteziˇcnem koordinatnem sistemu X, Y, Z naj bo enotska sferaX²+Y²+Z² = 1 brez severnega polaN(0,0,1). Na sferi si izberimo toˇcko G(X, Y, Z). Skozi toˇcki N in G potegnimo premico p, ki prebode ravninoXY v toˇcki ˆG(x, y). Izrazimo sedaj koordinatix, y s koordinatami X, Y, Z in obratno (slika 12).

X Y

Z

N

Gˆ S

G O

Gˆ

Slika 12: Stereografska projekcija toˇckeGv toˇckoGb s sfere na ekvatorialno projicirno

oznaˇcimo z~n= (0,0,1) in krajevni vektor toˇcke G z~g = (X, Y, Z). Potem je

~

s =~g−~n = (X, Y, Z)−(0,0,1)

= (X, Y, Z−1) in enaˇcbo premice p lahko zapiˇsemo v vektorski obliki:

~r=~n+λ~s, λ∈R. V koordinatah se premica p glasi:

(x, y, z) = (0,0,1) +λ(X, Y, Z−1).

Od tod dobimo relacije:

x=λX, y =λY, z = 1 +λ(Z−1). (6.1.1) Ker je tretja koordinata toˇcke Gb enaka niˇc, z = 0, iz (6.1.1) sledi:

1 +λ(Z−1) = 0⇒λ= 1

1−Z. (6.1.2)

Iz (6.1.1) in (6.1.2) sledi zapis koordinat toˇcke G, izraˇb zen s koordinatami toˇcke G:

x= X

1−Z, y= Y

1−Z. (6.1.3)

Sedaj zapiˇsemo koordinate toˇcke Gna sferi. KoordinatiX inY izrazimo iz enaˇcb (6.1.3), koordinata Z pa ima vrednost v intervalu [−1,1):

X = x

λ = (1−Z)x, Y = y

Y = (1−Z)y, −1≤Z <1. (6.1.4) Da dobimo izraz za koordinatoZ, izraza zaX inY vstavimo v enaˇcbo sfere X²+Y²+Z² = 1 in izraˇcunamo

(1−Z)²x²+ (1−Z)²y² = 1−Z².

Po poenostavitvi imamo (1−Z)²(x²+y²) = (1−Z)(1 +Z), pri ˇcemer velja Z 6= 1, saj smo sferi odvzeli toˇcko N(0,0,1). Zaradi tega lahko zgornjo enaˇcbo delimo z (1−Z) in dobimo:

(1−Z)(x²+y²) = 1 +Z.

Iz zgornje enaˇcbe izrazimo koordinato Z:

Z = x²+y²−1 x²+y²+ 1.

Da bomo lahko doloˇcili ˇse preostali dve koordinati toˇckeG, moramo najprej izraziti razliko 1−Z:

1−Z = x²+y²+ 1−x²−y²+ 1

x²+y²+ 1 = 2 x²+y²+ 1.

Zgornji rezultat upoˇstevamo v (6.1.4) in dobimo iskane formule za koordi- nate toˇcke G:

X = 2x

x²+y²+ 1, Y = 2y

x²+y²+ 1, Z = x²+y²−1

x²+y² + 1. (6.1.5) Vidimo, da zgornje enaˇcbe dobimo iz formul (4.2.5) z naslednjimi zamen- javami:

X →2X, Y →2Y, Z →2Z−1.

Pri tem se vsi diferenciali pomnoˇzijo z 2:

dX →2dX, dY →2dY, dZ →2dZ.

Zato bi vse lastnosti in izreke v zvezi s stereografsko projekcijo na ekvatori-

6.2 Razmerje med povrˇ sino lika na sferi in povrˇ sino lika na ravnini

Zanima nas razmerje med povrˇsino lika na sferi in povrˇsino lika na ravnini.

Diferencial povrˇsine dS ploskve zapiˇsemo kot:

dS =√

EG−F²dudv. (6.2.1)

Element krogelne povrˇsine je ploˇsˇcina majhnega sfernega pravokotnika. Dve stranici tega pravokotnika sta poldnevniˇska kota s srediˇsˇcnim kotom dv, preostali dve pa vzporedniˇska loka s srediˇsˇcnim kotom du.

Izraze za Gaussove koeficienteE,F inGvstavimo v obrazec (6.2.1) in tako izraˇcunamo diferencial povrˇsine sfernega pravokotnika:

dS =√

EG−F²dudv=

√

a⁴cos²v dudv =a²cosv dudv.

Povrˇsino celotne sfere dobimo, ˇce izraˇcunamo spodnji integral:

S =a² Z π/2

−π/2

cosv dv Z 2π

0

du= 4πa².

Povrˇsina pravokotnikov na sferi v odvisnosti od parametrov uin v:

∆S =a² Z v2

v1

cosv dv Z u2

u1

du=a²(u2−u1)(sinv2−sinv1) = a²∆u∆ sinv, (6.2.2) kjer je ∆u=u2 −u1 in ∆ sinv = sinv2−sinv1.

Z zgornjo enaˇcbo smo doloˇcili povrˇsino pravokotnika na sferi. Sedaj moramo doloˇciti povrˇsino lika, v katerega se ta pravokotnik s sfere stereografsko projicira na ravnino.

Vzporedni krogi s sfere se s stereografsko projekcijo preslikajo v koncentriˇcne kroge s srediˇsˇcem v koordinatnem izhodiˇsˇcu, poldnevniki pa v premice skozi koordinatno izhodiˇsˇce. Kot se ohranja, pravokotnik s sfere pa se preslika v del kroˇznega kolobarja na ravnini. Izraˇcunati moramo ploˇsˇcino tega dela kroˇznega kolobarja in postaviti razmerje, ki ga iˇsˇcemo.

Zato najprej izrazimo oddaljenost ρ projekcije vzporednih krogov, ki ome- jujejo sferni pravokotnik, od koordinatnega izhodiˇsˇca.

Razmerje med pravokotno projekcijo koordinate Z na projicirno ravnino in polmerom sfere je enako razmerju med oddaljenostjo R pravokotne pro- jekcije koordinate Z od koordinatnega izhodiˇsˇca 0 in oddaljenostjo ρ do ustreznih koncentriˇcnih krogov. Zapiˇsimo to v obliki enaˇcbe:

Z

1 = ρ−R

ρ . (6.2.3)

Uporabimo zvezo (2.1.1) in zapiˇsemo R = √

X²+Y², iz sploˇsne oblike enaˇcbe sfere X²+Y²+Z² = 1 pa slediR =√

1−Z². Ker iz razmerja med R in ρ v enaˇcbi (6.2.3) sledi ρ=R/(1−Z), lahko piˇsemo

ρ= s

(1−Z)(1 +Z) (1−Z)² =

r1 +Z

1−Z. (6.2.4)

Ker iz (2.2.2) slediZ = sinv, lahko iz (6.2.4) natanˇcno doloˇcimoρ₁ inρ₂ za dva koncentriˇcna kroga na ravnini XY:

ρ₁ =

r1 + sinv₁

1−sinv₁, ρ₂ =

r1 + sinv₂

1−sinv₂, ρ₂ > ρ₁.

Sedaj lahko izraˇcunamo ploˇsˇcino dela kroˇznega kolobarja, ki nas zanima:

∆s = ∆u

2 (ρ²₂−ρ²₁) =

= ∆u

2

1 + sinv₂

1−sinv₂ − 1 + sinv₁ 1−sinv₁

=

= ∆u sinv₂−sinv₁

(1−sinv₂)(1−sinv₁) =

= ∆u∆ sinv

(1−sinv₂)(1−sinv₁). (6.2.5) Da dobimo iskano razmerje, moramo deliti enaˇcbi (6.2.5) in (6.2.2):

∆s

∆S = ∆u∆ sinv

∆u∆ sinv(1−sinv₂)(1−sinv₁) = 1

(1−sinv₂)(1−sinv₁). Naredimo ˇse limitni proces v₁, v₂ →v. Dobimo:

ds

dS = 1

(1−sinv)² = 1

(1−Z)² = 1

4(1 +x²+y²)².

6.3 Tvorba pitagorejskih ˇ cetveric

Transformacijske formule

X = 2x

x²+y²+ 1, Y = 2y

x²+y²+ 1, Z = x²+y²−1 x²+y²+ 1

lahko uporabimo za generiranje pitagorejskih ˇcetveric. Ker ima sfera enaˇcbo X²+Y²+Z² = 1, velja:

(2x)²+ (2y)²+ (x²+y²−1)² = (x²+y²+ 1)².

Zaa= 2x, b= 2y,c=x²+y²−1 ind=x²+y²+ 1 velja a²+b²+c² =d². Ce izberemoˇ x in y iz mnoˇzice naravnih ˇstevil, potem so tudi a, b, c in d

naravna ˇstevila in ˇcetverica (a, b, c, d) je pitagorejska. Na ta naˇcin dobimo neˇsteto kvadrov, ki imajo celoˇstevilske robove a, b, c in celoˇstevilske telesne diagonale d.

Izberimo x = 1 in y = 1. Dobimo: a = 2, b = 2, c = 1, d = 3. Dobljena pitagorejska ˇcetverica (2,2,1,3) je primitivna, saj je najveˇcji skupni delitelj ˇstevila, b, c in d enak 1.

Zax= 2 in y= 3 dobimo po opisanem postopku neprimitivno pitagorejsko ˇ

cetverico: a = 4, b = 6, c = 12 in d = 14. Iz nje pa dobimo po deljenju s skupnim faktorjem primitivno pitagorejsko ˇcetverico a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = 6 in d1 = 7.

Nadaljujmo s primerom x = 57 in y = 91. Po transformacijskih formulah dobimo a = 114, b = 182, c = 11529 in d = 11531, kar pomeni, da je (114, 182, 11529, 11531) tudi pitagorejska ˇcetverica, in sicer primitivna.

Pitagorejskih ˇcetveric pa lahko najdemo ˇse in ˇse. Zapiˇsimo jih nekaj:

(1, 4, 8, 9), (4, 4, 7, 9), (3, 4, 12, 13), (10, 14,73, 75).

7 Vloga stereografske projekcije v drugih vedah

Stereografska projekcija je uporabna tudi v nekaterih nematematiˇcnih vedah.

Poglejmo si njeno uporabo v kartografiji in fotografiji. Pogosto se uporablja tudi v kristalografiji in strukturni geologiji, kjer z njeno pomoˇcjo opiˇsejo kotne odnose med kristalnimi ploskvami in razliˇcne geoloˇske strukture. Vˇca- sih so metodo stereografske projekcije uporabljali v astronomiji, saj so z astrolabom lahko opisali in natanˇcno doloˇcili lego takrat znanih zvezd.

7.1 Kartografija

Kartografija je znanstvena veda, ki se ukvarja s procesom konstruiranja in sestavljanja zemljevidov, pri ˇcemer je zelo pomembno poznavanje osnovnih matematiˇcnih zakonov o prenosu zemeljskega povrˇsja na ravno ploskev.

Sfera je ploskev, ki je ne moremo razviti v ravnino. To velja tudi za vse njene dele. Pri preslikavanju s sfere na projekcijsko ravnino zato prihaja do deformacij, kar je lepo razloˇzeno v [3].

Matematiˇcno gledano loˇcimo tri znaˇcilne deformacije:

• deformacija kotov,

• deformacija dolˇzin,

• deformacija povrˇsin.

Pri risanju zemljevidov ali kartografiji se lahko z matematiˇcnimi sredstvi izognemo le eni od treh deformacij, drugi dve pa lahko le omilimo. S

stereografsko projekcijo se ohranjajo velikosti kotov in podobnost neskonˇcno majhnih likov, deformira pa se razmerje dolˇzin in poslediˇcno povrˇsina veˇcjih likov. V sploˇsnem velja, da ploˇsˇcina nekega obmoˇcja na sferi ni enaka ploˇsˇcini projekcije tega obmoˇcja na ravnino (slika 13).

Nobena preslikava s sfere na ravnino ne more hkrati ohranjati obmoˇcja in kotov. ˇCe bi to drˇzalo, potem bi se morala ohranjati ukrivljenost krivulj, kar pa je nemogoˇce, saj slikamo iz tridimenzionalnega prostora v dvodimen- zionalni prostor. Povzeto iz [19] in [20].

Slika 13: Deformacija povrˇsine pri slikanju s stereografsko projekcijo [28].

so tam deformacije oblik minimalne. Najveˇcja odlika te projekcije je, da so koti na zemljevidu nepopaˇceni. Tudi poldnevniki in vzporedniki so med se- boj pravokotni, tako kot na globusu, edinem pripomoˇcku, ki najbolj pristno opisuje Zemljino povrˇsje.

7.2 Fotografija

S pomoˇcjo stereografske projekcije lahko ustvarimo vizualno izjemno za- nimive panoramske fotografije, katerih konˇcen izgled spominja na majhen oziroma

”mini“ planet (angl.

”little planet“, panoramic photography).

Velikokrat je osnova za izdelavo

”mini“ planeta panorama 360^◦×180^◦, ker le-ta zajema vodoravno vidno polje 360^◦ in navpiˇcno vidno polje 180^◦, t. j.

od tal −90^◦ do zenita +90^◦. Srediˇsˇce projekcije v tem primeru so lahko tla (podnoˇziˇsˇce) ali zenit⁵ (nadglaviˇsˇce). Povzeto po [16].

Pri izbiri panoramske fotografije za predelavo v

”mini“ planet je pomembno, da izberemo takˇsno, ki ima raven horizont. V primeru, da levi in desni rob nista na enaki viˇsini, bo konˇcen produkt precej neestetskega videza, saj bodo prehodi in razpoke na predelani fotografiji dobro vidni. Ko je fotografija izbrana, jo v primerni programski opremi⁶ ustrezno predelamo.

Za pretvorbo zadostujejo ˇze trije koraki, ki so dobro opisani v [26].

Bistveno pri zgoraj omenjenem postopku je to, da panoramsko fotografijo s preoblikovanjem v kvadrat pripravimo na uporabo t. i. polarnega filtra.

5Zenit je v astronomiji toˇcka na nebu, ki je navidezno neposredno nad opazovalcem z nebesno viˇsino enako +90^◦ [27].

6Na primer: Adobe Photoshop in zastonjska programa The Gimp in Hugin.

Ta z matematiˇcnimi algoritmi, implementiranimi v programsko okolje, pra- vokotne koordinate pretvori v polarne. Primer takˇsne predelave je prikazan na sliki 14.

(a)

(b) Slika 14: Panoramska fotografija (a) in

”mini“ planet (b) [26].

7.3 Kristalografija

V kristalografiji in mineralogiji se stereografska projekcija uporablja za grafiˇcno predstavitev/upodobitev kristalov mineralov. V kombinaciji s pro- jekcijo simetrijskih elementov, ki doloˇcajo simetrijski razred, se v stereograf- ski projekciji izriˇsejo ploskve, razvite na kristalu.

Slika 15: Prebodiˇsˇca normal iz srediˇsˇca kristala na sferi [13].

Osrednji problem v kristalografiji je prouˇcevanje lastnosti kristalov. Za primer si lahko izberemo kristal v obliki poliedra⁷. Iz srediˇsˇca kristala potegnemo normale na vse ploskve kristala, nato pa iz istega srediˇsˇca temu kristalu oˇcrtamo krogelni plaˇsˇc oziroma sfero in na njem oznaˇcimo pre- bodiˇsˇca normal (slika 15). Ta prebodiˇsˇca s stereografsko projekcijo pres- likamo na ekvatorialno projicirno ravnino. Dobljeni ravninski graf ima podobne lastnosti kot prvotni polieder; ima enako ˇstevilo robov, ogliˇsˇc in lic oziroma ploskev kot prvotni polieder (slika 16). Enako ˇstevilo ogliˇsˇc nam

7Polieder je telo, omejeno s konˇcnim ˇstevilom ravnih ploskev, ki se stikajo v ravnih robovih, ti pa se stikajo v ogliˇsˇcih. Primeri poliedrov: tetraeder, kocka, piramida, prizma.

zagotovi dejstvo, da se ogliˇsˇce poliedra projicira v ogliˇsˇce grafa. Enako velja za robove in vse ploskve poliedra.

Slika 16:

”Stereografska“ projekcija kocke [14].

Na ta naˇcin sistematiˇcno preuˇcujemo pomembne lastnosti kristala, kot sta na primer doloˇcanje povrˇsinskih kotov med dvema ploskvama in usmeritev kristalnih osi. Povzeto iz [13] in [14].

8 Stereografska projekcija v osnovni in srednji ˇ soli

Obstoj stereografske projekcije lahko uˇcencem omenimo ˇze v osnovni ali srednji ˇsoli. Bolj kot pri matematiki je tu miˇsljena predstavitev pri pouku zemljepisa oziroma geografije. V ˇsestem razredu osnovne ˇsole med vsebinske sklope po posodobljenem uˇcnem naˇcrtu [22] spada upodabljanje oziroma naˇcini prikazovanja Zemljinega povrˇsja na zemljevid, med katerimi je zago- tovo tudi stereografska projekcija.

S preprostim eksperimentom lahko prikaˇzemo bistvo stereografske projek- cije. Za to potrebujemo prozorno in votlo akrilno kroglo, s premerom vsaj 10 cm in dober laser. Vrh krogle oznaˇcimo – to bo naˇs severni pol oziroma srediˇsˇce projekcije. Vse, kar moramo narediti, je, da kroglo oziroma sfero fiksiramo na ravni podlagi, ki sluˇzi kot tangencialna ravnina. S severnega pola usmerimo laserski ˇzarek skozi poljubno toˇcko s povrˇsine krogle na ravnino. ˇZarek bo projicirno ravnino sekal v toˇcki, ki je ravno stereografska projekcija toˇcke s povrˇsja krogle. Vsaka toˇcka na sferi z izjemo severnega pola ima ustrezno toˇcko na projicirni ravnini in obratno. Lom svetlobnega ˇ

zarka pri tem zanemarimo, saj gre zgolj za demonstracijo nastajanja slike iz ukrivljene povrˇsine na projicirno ravnino ali obratno.

Ce ne premoremo dobrega laserja, lahko eksperiment realiziramo na drugˇ naˇcin. Potrebujemo akumulatorski vrtalni stroj in nekaj ˇspagetov, ki bodo ponazarjali premice. Z vrtalnim strojem in primernim svedrom v akrilno kroglo izvrtamo vsaj dve luknji; ena bo namenjena srediˇsˇcu projekcije, druga pa poljubni toˇcki na sferi. Skozi obe luknji vstavimo ˇspaget. Na podlagi bomo dobili stereografsko projekcijo toˇcke s krogelne povrˇsine, skozi katero

Slika 17: Eksperimentalen prikaz stereografske projekcije, kjer votla akrilna krogla sluˇzi kot sfera, ˇspageti pa kot premice, ki potekajo skozi srediˇsˇce projekcije in poljubo toˇcko na krogelni povrˇsini.

gre ˇspaget.

Stvar lahko nadgradimo. Z lahkoto lahko na ta naˇcin prikaˇzemo deformacijo povrˇsine likov, ki nastane pri projiciranju z ukrivljene povrˇsine na ravno ploskev. Namesto samo ene luknje na sferi izvrtamo tri in na ta naˇcin ponazorimo sferiˇcni trikotnik (slika 17). V kakˇsen lik se ta trikotnik preslika, lahko ugotovimo na naˇcin, ki smo ga opisali ˇze zgoraj.

9 Dinamiˇ cna geometrija v osnovni ˇ soli

V danaˇsnjem svetu se uporaba informacijsko komunikacijske tehnologije (IKT) zahteva in priˇcakuje pri nadaljnjem ˇstudiju, v vseh poklicnih de- javnostih, na vseh delovnih mestih in je tudi sestavni del vsakdanjega ˇzivlje- nja. Pouk matematike naj uˇcence usposobi za uporabo IKT predvsem pri sooˇcanju z matematiˇcnimi problemi, ob tem pa se posredno usposabljajo tudi za uporabo tehnologije v vsakdanjem ˇzivljenju. IKT omogoˇca in pod- pira razliˇcne pristope k pouˇcevanju in uˇcenju in hitro povratno informacijo, ki je nepristranska in neosebna. To vse lahko opogumlja uˇcence, da sami predvidevajo in razvijajo svoje ideje, jih testirajo in spreminjajo ter popravl- jajo oziroma izboljˇsujejo. Uˇcni naˇcrt pri nekaterih vsebinah predvideva uporabo tehnologije, pri drugih pa je odloˇcitev prepuˇsˇcena uˇcitelju.

Programi za dinamiˇcno geometrijo so raˇcunalniˇski programi, ki omogoˇcajo uporabniku konstrukcije geometrijskih objektov ter interaktivno manipu- lacijo z le-temi. Konstrukcijo zaˇcnemo z osnovnimi objekti, kot so na primer toˇcke, premice in kroˇznice, nakar doloˇcamo nove objekte, ki so povezani z zaˇcetnimi. Dinamiˇcna komponenta nam omogoˇca premikanje zaˇcetnih objektov in s tem celotne konstrukcije, dinamiˇcnost geometrijske slike pa uˇcencem odpira vpogled v povezave med matematiˇcnimi pojmi, s ˇcimer dopolnijo razumevanje geometrije in geometrijske konstrukcije. Povzeto iz [21].

Razlikovanje med pojmoma risanje in konstruiranje je pri uˇcencih zelo pomembno in hkrati pogoj, da uˇcenci sploh lahko delajo s programom di- namiˇcne geometrije. Konstrukcijo bomo obravnavali v programu GeoGebra, ki je na spletu tudi prosto dostopen.

9.1 Konstrukcija strofoide

Razdalja toˇckN inGod toˇckeS na ordinatni osi (slika 18) je enaka razdalji toˇckeSod koordinatnega izhodiˇsˇcaO. To je znaˇcilna lastnost strofoide, piˇse v [4], kar omogoˇca opazovanje te krivulje tudi z raˇcunalniˇskimi programi za dinamiˇcno geometrijo, kot sta na primer GeoGebra in Cabri Geometry.

Oˇcitno posameznih toˇckN inGni teˇzko konstruirati. Za spremenljivo toˇcko pa izberemo S.

Konstrukcija strofoide po korakih:

1. Koordinatno izhodiˇsˇce oznaˇcimo s ˇcrko O, na osi x pa si poljubno izberemo toˇcko A.

2. Na ordinatni osi poljubno oznaˇcimo toˇcko S.

3. Skozi toˇcki AinS nariˇsemo premico c. Brez ˇskode je zaradi simetrije strofoide lahko smerni koeficient premice cpozitiven ali negativen.

4. Nariˇsemo kroˇznico K s srediˇsˇcem v S, ki gre skozi toˇcko O.

5. Preseˇciˇsˇci kroˇznice K s premico c oznaˇcimo zN in G.

6. Vklopimo sled toˇck N in G, katerih lega je odvisna od lege srediˇsˇca kroˇznice S. Ob spreminjanju lege toˇcke S po ordinatni osi se izriˇse sled oziroma mnoˇzica toˇck N in Gv obliki strofoide.

Slika 18: Konstrukcija strofoide s programom GeoGebra.

10 Zakljuˇ cek

V diplomskem delu sem priˇsla do ˇstevilnih spoznanj, ki so povzeta v nadal- jevanju. Zagotovo sem navduˇsena nad spoznanjem, na kakˇsen naˇcin so se v preteklosti spopadali s problemi, ki se nam danes zdijo nekaj povsem obiˇcajnega. Prepriˇcana sem, da se malokdo vpraˇsa, kako bi vedeli, koliko je v tem trenutku pravzaprav ura, ˇce ne bi imeli naprave, s katero merimo ˇcas.

Ali se kdo spraˇsuje, na kakˇsen naˇcin so nekoˇc narisali zemljevide sveta?

Odprtih vpraˇsanj na to temo je ˇse veliko. Samo na podroˇcju matematike bi v nadaljevanju lahko pregledali njeno vlogo v kompleksni analizi ali ari- tmetiˇcni geometriji, kjer nam stereografska projekcija zagotovi sredstva za opis vseh primitivnih pitagorejskih trojic.

Osredotoˇcili smo se zgolj na obravnavo lastnosti stereografske projekcije.

Pogledali smo si tudi, v kaj se s stereografsko projekcijo na tangencialno projicirno ravnino preslikata dve prostorski krivulji. Dobili smo pregled nad uporabo stereografske projekcije v nematematiˇcnih vedah in idejo, kako bi jo lahko demonstrirali pri pouku geografije v osnovni in srednji ˇsoli.

Literatura

[1] J. N. Bronˇstejn - K. A. Semendjajev: Matematiˇcni priroˇcnik, Tehniˇska zaloˇzba Slovenije, Ljubljana 1990

[2] T. Manfreda: Logaritemska spirala, diplomsko delo, Ljubljana 2000 [3] G. Pavliˇc: Matematika, slikovni pojmovnik, TZS, Ljubljana 1998 [4] M. Razpet: Ravninske krivulje, DMFA, Ljubljana 1998

[5] B. A. Rosenfeld, N. D. Sergeva: Stereographic projection, Mir Publish- ers, Moscow, 1977 (Translated from the Russian by Vitaly Kisin) [6] I. Vidav: Viˇsja matematika I, DMFA, Ljubljana 2008

[7] I. Vidav: Viˇsja matematika II, DZS, Ljubljana 1975 [8] Astrolab,

URL=http://www.kuriositas.com/2011/04/

astrolabe-magnificent-computer-of.html, 14. 6. 2011

[9] Curves in Space

URL=http://www.math.uregina.ca/~mareal/cs2.pdf, 14. 6. 2011 [10] Fran¸cois De Aguilon,

URL=http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/sj/scientists/

aguilon.htm, 14. 6. 2011

[11] Hipparchus,

URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Hipparchus, 14. 6. 2011

[12] Koordinatni sistem - polarni,

URL=http://sl.wikipedia.org/wiki/Polarni_koordinatni_

sistem, 14. 6. 2011

[13] Kristalografija in stereografska projekcija,

URL=http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/stereographic_

projections.htm, 20.7.2011

[14] Kristalografija, stereografska projekcija kocke,

URL=http://mara.pef.upr.si/mars2007/mars2007/

EulerjevaFormula.pdf, 20.7.2011

[15] Krivulja,

URL=http://sl.wikipedia.org/wiki/Krivulja, 14.6.2011

[16] Panorama photography,

URL=http://laughingsquid.com/stereographic-projection -360-180-panorama-photography/, 18.07.2011

[17] Rhumb line,

URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Rhumb_line, 14.06.2011

[18] Stereografska projekcija kroˇznice,

URL=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/compass/

compass4.html, 14.06.2011

[19] Stereographic projection,