SVET PETKOTNIˇ SKIH ˇ STEVIL

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

POU ˇ CEVANJE: PREDMETNO POU ˇ CEVANJE

POLONA ˇ CREP

SVET PETKOTNIˇ SKIH ˇ STEVIL

MAGISTRSKO DELO

LJUBLJANA, 2014

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA Pouˇ cevanje: predmetno pouˇ cevanje

Fizika in matematika

Polona ˇ Crep

SVET PETKOTNIˇ SKIH ˇ STEVIL

MAGISTRSKO DELO

Mentor: dr. MARKO RAZPET, izr. prof

Ljubljana, 2014

Povzetek

V magistrskem delu je natanˇcneje obravnavana tema svet petkotniˇskih ˇstevil. V prvem poglavju je na sploˇsno opisano, kaj so potenˇcne vrste, kdaj potenˇcna vrsta konvergira in kako raˇcunamo s potenˇcnimi vrstami.

Nadalje je zapisano, kaj je rodovna funkcija. Izpeljane so rodovne funkcije za petkotniˇska ˇstevila, obratna petkotniˇska ˇstevila ipd. Ker se figurativna ˇstevila med seboj na nek naˇcin prepletajo, je predstavljena tudi povezava petkotniˇskih ˇstevil z nekaterimi drugimi figurativnimi ˇstevili. Reˇsevanje teh vrst vpraˇsanj nas pripelje do Pellovih in diofantskih enaˇcb, zato je nekaj besed namenjenih tudi matematiku Diofantu in njegovim enaˇcbam. Poja- snimo tudi, zakaj se enaˇcbe imenujejo po Pellu.

Ker lahko ˇstevilo predmetov urejamo tudi prostorsko, je eno od poglavij namenjeno piramidnim ˇstevilom. V samem poglavju je natanˇcneje opredel- jeno, kaj so piramidna ˇstevila in kako pridemo do njih. Ker pa je rdeˇca nit magistrske naloge svet petkotniˇskih ˇstevil, so pri piramidnih ˇstevilih bolj izpostavljena piramidna ˇstevila reda pet, torej piramidna ˇstevila, ki so povezana s petkotniˇskimi ˇstevili. Tudi tu je izpeljana rodovna funkcija za piramidna ˇstevila reda pet.

Zadnje poglavje je namenjeno figurativnim in piramidnim ˇstevilom v os- novnoˇsolskem izobraˇzevanju. Zapisano je, kdaj se uˇcenci seznanijo s figu- rativnimi ˇstevili, ter na kakˇsen naˇcin so jim le-ta predstavljena oziroma na kakˇsen naˇcin se sreˇcajo z njimi.

Kljuˇ cne besede:

grafiˇcno in prostorsko urejanje ˇstevila predmetov, petkotniˇska ˇstevila, potenˇcna vrsta, konvergenca potenˇcnih vrst, rodovna funkcija, povezava petkotniˇskih ˇstevil z drugimi figurativnimi ˇstevili, pi- ramidna ˇstevila, figurativna in piramidna ˇstevila v osnovni ˇsoli

Abstract

The master’s thesis accurately discusses the subject of the world of pen- tagonal numbers. First chapter generally describes what exactly power series are, when the power series converge and how do we calculate with power series. Further there is written what is generating function. Deriva- tions of a generating function for pentagonal numbers have been made as well as for inverse pentagonal numbers etc. As the figurate numbers inter- twine each other in some way the connection between pentagonal numbers and some other figurate numbers has been presented. Solving these kinds of questions brings us to Pell’s and Diophantine equations, that is why there is a section about the mathematician Diophantus and his equations. It is also explained, why the equation is named after Pell.

As the object number can be ordered also spatially there is one of the chapters explaining the pyramidal numbers. This chapter explains what ex- actly pyramidal numbers are and how we get them. But the main theme of this master’s thesis is the world of pentagonal numbers that is why the pyramidal numbers of rank five have been set out, therefore the pyramidal numbers, which are connected with pentagonal numbers.

The last chapter talks about figurate and pyramidal numbers regarding the elementary education. It has been written when the pupils meet the figurate numbers and how are these presented to them or in what way they get acquainted with this kind of numbers.

Key words:

graphical and spatial ordering of number of objects, pentag- onal numbers, power series, convergence of power series, generating function, connection of pentagonal numbers with other figurate numbers, pyramidal numbers, figurate and pyramidal numbers in elementary school

Zahvala

Zahvaljujem se vsem, ki so me spodbujali pri pisanju magistrske naloge.

Posebna zahvala za strokovno pomoˇc, usmerjanje in nasvete pri izdelavi magistrske naloge gre mojemu mentorju dr. Marku Razpetu, ki mi je sve- toval in mi dajal napotke, ki so me pripeljali do cilja. Ves ˇcas mi je nudil strokovno pomoˇc in podporo.

Zahvalo izrekam tudi vsem domaˇcim, ˇse posebej starˇsem, ki so mi omogoˇcili ˇstudij, ter moˇzu. Hvala za vse spodbudne besede in razumevanje skozi vsa leta ˇstudija.

Kazalo

Povzetek ii

Abstract iv

Zahvala vi

1 Uvod 1

2 Potenˇcne vrste 3

2.1 Konvergenca potenˇcnih vrst . . . 3

2.2 Pravila za raˇcunanje s potenˇcnimi vrstami . . . 8

2.2.1 Seˇstevanje in odˇstevanje potenˇcnih vrst . . . 8

2.2.2 Mnoˇzenje in deljenje potenˇcnih vrst . . . 8

2.2.3 Odvajanje in integriranje . . . 10

3 Rodovne funkcije za petkotniˇska ˇstevila 14 3.1 Petkotniˇska ˇstevila . . . 15

3.2 Centralna petkotniˇska ˇstevila . . . 16

3.3 Rodovna funkcija za ˇstevila Pn. . . 20

3.4 Rodovna funkcija za ˇstevila _P¹ n . . . 21

3.5 Rodovna funkcija za ˇstevila ^P_n!ⁿ . . . 28

4 Povezave petkotniˇskih ˇstevil z drugimi figurativnimi ˇstevili 31 4.1 Katera petkotniˇska ˇstevila so tudi kvadratna? . . . 34

4.1.1 Reˇsevanje s pomoˇcjo matrik . . . 37

4.1.2 Zakaj je pravilna vsaka druga reˇsitev? . . . 41

4.2 Katera petkotniˇska ˇstevila so hkrati trikotniˇska? . . . 44

4.2.1 Reˇsevanje s pomoˇcjo matrik . . . 48

4.2.2 Zakaj je pravilna vsaka druga reˇsitev? . . . 52

5 Aritmetiˇcno zaporedje drugega ranga v povezavi s figura- tivnimi ˇstevili 55 6 Piramidna ˇstevila 57 6.1 Piramidna ˇstevila reda tri ali tetraedrska ˇstevila . . . 63

6.2 Piramidna ˇstevila reda pet . . . 66

6.3 Rodovna funkcija za piramidna ˇstevila reda pet . . . 67

6.4 Rodovna funkcija za ˇstevila ¹ Π⁽⁵⁾p . . . 70

7 Figurativna in piramidna ˇstevila v

osnovnoˇsolskem izobraˇzevanju 74

7.1 Vzorci v uˇcnem naˇcrtu za osnovne ˇsole . . . 75

7.1.1 Prvo vzgojno-izobraˇzevalno obdobje . . . 75

7.1.2 Drugo vzgojno-izobraˇzevalno obdobje . . . 76

7.1.3 Tretje vzgojno-izobraˇzevalno obdobje . . . 77

7.2 Naloge z vzorci, ki so povezane s figurativnimi ˇstevili . . . 79

7.3 Naloge, ki so povezane s piramidnimi ˇstevili . . . 81

8 Zakljuˇcek 83

Slike

1 Grafiˇcno ponazorjeno tretje petkotniˇsko ˇstevilo. . . 15

2 Ponazoritev tretjega petkotniˇskega ˇstevila, kjer so pike raz- porejene v obliki pravilnega petkotnika. . . 16

3 Ponazoritev tretjega centralnega petkotniˇskega ˇstevila. Pike, ki smo jih dodali, da smo dobili grafiˇcno ponazorjeno drugo centralno petkotniˇsko ˇstevilo, so obarvane zeleno. Pike, ki smo jih dodali, da smo dobili grafiˇcno ponazorjeno tretje centralno petkotniˇsko ˇstevilo, pa so obarvane modro. . . 18

4 Ponazoritev tretjega centralnega petkotniˇskega ˇstevila, kjer so pike razporejene v obliki pravilnega petkotnika. . . 18

5 Diofant. [15] . . . 32

6 Ponazoritev ˇcetrtega piramidnega ˇstevila reda tri. [16] . . . 60

7 Grafiˇcna ponazoritev piramidnih ˇstevil reda ˇstiri. Na sliki so iz leve proti desni predstavljena prvo piramidno ˇstevilo reda ˇstiri, drugo piramidno ˇstevilo reda ˇstiri, tretje piramidno ˇstevilo reda ˇstiri in ˇcetrto piramidno ˇstevilo reda ˇstiri. [7] . . . 61

8 Peto tetraedersko ˇstevilo, ponazorjeno s kroglicami v prostoru, je ˇstevilo 35. . . 64

9 Pascalov trikotnik. Z zeleno so obarvana tetraedrska ˇstevila, ki jih najdemo na ˇcetrti diagonali. . . 65

10 [14] . . . 78

11 Primer naloge s figurativnimi ˇstevili. [4] . . . 79

12 Primer naloge s kvadratnimi ˇstevili. [4] . . . 80

13 Primer naloge s trikotniˇskimi ˇstevili. [4] . . . 80

14 Naloga iz razvedrilne matematike.[17] . . . 82

15 Naloga iz razvedrilne matematike.[17] . . . 82

1 Uvod

Ze vsaj od starih Grkov naprej je ˇˇ cloveˇstvo ˇstudiralo zaporedja ˇstevil, ki ustrezajo geometrijski razporeditvi tako predmetov, kot so npr. semena, kot atomov in podobno. Med prouˇcevanjem so matematiki ugotovili, da lahko stvari razporejamo tako v geometrijske kot v prostorske oblike. Tako so se rodila figurativna in piramidna ˇstevila, ki ˇse dandanes niso dokonˇcno raziskana. Marsikdo niti ne ve, kaj ta ˇstevila sploh so, kako jih lahko pred- stavimo. Veliko ljudi se niti ne zaveda, da se je med svojim izobraˇzevanjem ˇ

ze sreˇcalo z njimi, saj jih obiˇcajno uˇcitelji ne omenjajo. Tudi v uˇcnih naˇcrtih ta ˇstevila niso posebej navedena, pa ˇceprav, kot bomo videli, se uˇcenci vedno bolj sreˇcujejo z njimi.

Veliko vpraˇsanj o petkotniˇskih ˇstevilih nas pripelje do dilem in teˇzkih matematiˇcnih vsebin, ki smo jim komajda kos. Raziskovanje nas pripelje tudi do rodovnih funkcij, ki nam niso tako zelo blizu, pa vendarle nas pritegnejo za nadaljne raziskovanje. Tako lahko iˇsˇcemo rodovne funkcije vseh figurativnih pa tudi piramidnih ˇstevil. Seveda so nekatere rodovne funkcije, predvsem za piramidna ˇstevila, tako zapletene, da se moramo poglobiti in preˇstudirati ˇse kakˇsno dodatno snov ter si pomagati s kakˇsnim matematiˇcnim programom, da ugotovimo, ˇce smo sploh na pravi poti. Vsekakor pa nam je v veselje, da lahko vsako leto o figurativnih in piramidnih ˇstevilih izvemo kaj novega, saj ˇse niso tako raziskana, da bi bilo vse o njih ˇze znano.

Kot sem opazila med prebiranjem literature in raziskovanjem, so figura- tivna pa tudi piramidna ˇstevila vedno bolj prisotna v osnovnoˇsolskem izo- braˇzevanju. Uˇcenci bodo tako seznanjeni s temami, ki so morda bolj za- nimive, saj jim dajo priloˇznost za samostojno raziskovanje in odkrivanje pri matematiki. To je pomembno predvsem za uˇcence, ki so pri matematiki v samem vrhu, saj jih odkrivanje in raziskovanje figurativnih in piramidnih ˇstevil pripelje tudi do teˇzjih matematiˇcnih vsebin, ki jih lahko potem nadalje odkrivajo in s tem poglabljajo in nadgrajujejo svoje znanje.

2 Potenˇ cne vrste

Potenˇcna vrsta je neskonˇcna vrsta oblike f(x) =

∞

X

n=0

a_n(x−a)ⁿ=a₀+a₁(x−a) +a₂(x−a)²+a₃(x−a)³+. . . , (1) kjer x razumemo kot realno spremenljivko. Koeficienti a0, a1, a2, . . . so iz mnoˇzice realnih ˇstevil in prav tako tudi a. Reˇcemo, da je vrsta centrirana oziroma razvita okrog toˇcke a.

V primeru, kjer jea enak niˇc, ima potenˇcna vrsta preprostejˇso obliko:

f(x) =

∞

X

n=0

anxⁿ=a0+a1x+a2x²+a3x³+. . . . (2)

Vedno pa tudi lahko doseˇzemo razvoj okrog toˇcke niˇc, in sicer z vpeljavo nove spremenljivket =x−av enaˇcbi (1). Tako torej dobimo potenˇcno vrsto v obliki (2).

2.1 Konvergenca potenˇ cnih vrst

Glede konvergence potenˇcnih vrst si bomo ogledali kriterije za konvergenco ter izreke, ki so pomembni.

Potenˇcna vrsta f(x) =

∞

X

n=0

a_nxⁿ =a₀ +a₁x+a₂x²+a₃x³+. . .

vedno konvergira vsaj v toˇcki x = 0. Lahko se zgodi, da vrsta ni konver- gentna za prav noben x6= 0, ali pa je konvergentna za prav vsakxiz mnoˇzice realnih ˇstevil.

Naslednji izrek in posledica nam povesta, kako je s konvergenco oziroma divergenco potenˇcnih vrst sicer:

Izrek 1 Ce je potenˇˇ cna vrsta (2) konvergentna za x =x₀, konvergira abso- lutno za vsak x, za katerega velja |x|<|x₀|.

[2]

Posledica 2 Ce potenˇˇ cna vrsta (2) divergira v toˇcki x0 6= 0, divergira tudi za vsak x, za katerega velja |x|>|x₀|.

[13]

Potenˇcne vrste torej lahko za nekatere vrednosti spremenljivkex konver- girajo, za druge pa divergirajo. Vedno pa obstaja konvergenˇcni polmerR, za katerega velja 0≤R ≤ ∞, da vrsta:

• konvergira za vsak x, kjer |x−a|< R in

• divergira za vsak x, kjer |x−a|> R.

Pri|x|=Rpa lahko vrsta v toˇckixkonvergira ali pa divergira. ˇCe konver- gira, nam Abelov izrek (izrek 3) pove, da lahko vsoto vrste tudi izraˇcunamo.

Izrek 3 (Abelov izrek) Ce je potenˇˇ cna vrsta konvergentna na krajiˇsˇcu x= R, je njena vsota na zaprtem intervalu[0, R]zvezna funkcija, torej je zvezna tudi na krajiˇsˇcu x=R. Velja:

x→Rlim f(x) =a₀+a₁R+a₂R²+. . . [2]

Za konvergenco vrst poznamo kriterije, s pomoˇcjo katerih ugotovimo kon- vergenco oziroma divergenco dane vrste.

Izrek 4 (Integralski kriterij) Ce so ˇˇ cleni vrste enaki a_n = f(n), kjer je f pozitivna zvezna monotono padajoˇca funkcija na poltraku [1,∞), vrsta P∞

n=1an konvergira natanko takrat, ko konvergira integral R∞

1 f(x)dx.

[13]

Izrek 5 (Leibnizov kriterij) Alternirajoˇca vrsta a₁ −a₂ +a₃ −a₄ +. . . konvergira, ˇce je zaporedje (a_n) pozitivno, padajoˇce in velja lim_n→∞a_n= 0.

[13]

Izrek 6 Ce obstaja limitaˇ lim_n→∞|^an+1_a

n |=α, potem je konvergenˇcni polmer vrste P∞

n=0a_nxⁿ enak R = _α¹.

Izrek temelji na d’Alembertovem ali kvocientnem kriteriju:

Za ˇstevilsko vrsto P∞

n=0a_n izraˇcunajmo limito lim_n→∞|^an+1_a

n |= α. ˇCe je α <1, je vrsta absolutno konvergentna, in divergentna, ˇceα >1. V primeru, ko je α = 1 ali ne obstaja, kriterij odpove in je neodloˇcljiv.

Iz kvocientnega kriterija za ˇstevilske vrsteP∞

n=0a_n pridemo do kvocient- nega kriterija za potenˇcne vrste P∞

n=0|a_nxⁿ|:

n→∞lim

|a_n+1xⁿ⁺¹|

|a_nxⁿ| = lim

n→∞

a_n+1 a_n

|x|=|x| lim

n→∞

a_n+1 a_n

=|x|α Potenˇcna vrsta torej konvergira, ˇce je

|x|α <1, konvergenˇcni polmer vrste pa je

R = 1 α.

Izrek 7 Ce obstaja limitaˇ lim sup_n→∞p

|a_n| = α, potem je konvergenˇcni polmer vrste enak R= _α¹.

Izrek temelji na Cauchyjevem korenskem kriteriju:

Za ˇstevilsko vrsto P∞

n=0a_n izraˇcunajmo limito limn→∞ ⁿ

p|a_n|=α. ˇCe je α < 1, vrsta konvergira, in divergira, ˇce je α >1. V primeru, ko je α = 1, ne moremo niˇcesar trditi o konvergenci ali divergenci vrste.

Iz Cauchyjevega korenskega kriterija za ˇstevilske vrsteP∞

n=0a_n pridemo do Cauchyjevega korenskega kriterija za potenˇcne vrste P∞

n=0|anxⁿ|:

n→∞lim pn

|a_nxⁿ|=|x| lim

n→∞

pn

|a_n|=|x|α.

Potenˇcna vrsta torej konvergira, ˇce je

|x|α <1, konvergenˇcni polmer vrste pa je

R = 1 α.

Torej lahko povemo za konvergenˇcne polmere vrst, da v primeru, ko potenˇcna vrsta:

konvergira za vsak x, je konvergenˇcni polmer R=∞, in ko divergira za vsak x6= 0, je konvergenˇcni polmer R= 0.

Sicer pa za konvergenˇcni polmer potenˇcne vrste P∞

n=0a_nxⁿ velja sploˇsno 1

R = lim sup

n→∞

pn

|a_n|.

Ce povzamemo in povemo ˇse krajˇse, je v sploˇsnem konvergenˇˇ cni polmer doloˇcen kot:

R= 1

lim sup_n→∞ pⁿ

|a_n|.

Naslednji zgledi so namenjeni konvergenˇcnim polmerom:

1. R = 0

Potenˇcna vrsta P∞

n=0n!xⁿ ne konvergira za nobenx6= 0.

2. R =∞

Potenˇcna vrsta P∞ n=0

xⁿ

n! je konvergentna za vsak realen x.

3. R = 1

Geometrijska vrstaP∞

n=1xⁿ = 1 +x+x²+x³+. . . je konvergentna na intervalu (−1,1), torejR = 1. Vrsta je zax= 1 inx=−1 divergentna.

[2, 9]

2.2 Pravila za raˇ cunanje s potenˇ cnimi vrstami

Privzemimo, da sta funkciji f ing, ki sta zapisani spodaj, razviti v potenˇcni vrsti okoli istega srediˇsˇcaa= 0:

f(x) =

∞

X

n=0

a_nxⁿ,

g(x) =

∞

X

n=0

b_nxⁿ.

2.2.1 Seˇstevanje in odˇstevanje potenˇcnih vrst

Vsota in razlika potenˇcnih vrstf ing sta definirani s pravilom:

f(x)±g(x) =

∞

X

n=0

(a_n±b_n)xⁿ. Torej vrsti seˇstevamo in odˇstevamo po ˇclenih.

Ce ima prva vrsta konvergenˇˇ cni polmer R₁, druga vrsta pa konvergenˇcni polmer R₂, je konvergenˇcni polmer vsote vrst R= min(R₁, R₂).

2.2.2 Mnoˇzenje in deljenje potenˇcnih vrst

Podobno kot seˇstevanje in odˇstevanje sta definirana tudi produkt in kvocient potenˇcnih vrst.

Produkt

f(x)g(x) =

∞

X

n=0

a_nxⁿ

! _∞ X

n=0

b_nxⁿ

!

=

∞

X

n=0

c_nxⁿ.

Pri tem jec_n=Pn

i=0a_ib_n−i, torej c₀ =a₀b₀, c1 =a0b1+a1b0, c₂ =a₀b₂+a₁b₁ +a₂b₀, . . .

Ce ima prva vrsta konvergenˇˇ cni polmer R₁, druga vrsta pa konvergenˇcni polmer R₂, je konvergenˇcni polmer produkta vrst R = min(R₁, R₂).

Kvocient

f(x) g(x) =

P∞ n=0anxⁿ P∞

n=0b_nxⁿ =

∞

X

n=0

d_nxⁿ, b₀ 6= 0.

Pa poglejmo, zakaj je potreben pogoj b₀ 6= 0:

Ker imamo kvocient, lahko torejP∞

n=0a_nxⁿzapiˇsemo kot produkt koliˇcnika in delitelja:

∞

X

n=0

d_nxⁿ·

∞

X

n=0

b_nxⁿ =

∞

X

n=0

a_nxⁿ =a₀+a₁x+a₂x²+. . . Vsak ˇclen vrstea_n pa lahko izrazimo z b_n ind_n kot

a_n =

∞

X

i=o

d_ibn−i, kjer sta a_n in bn−i znana,d_i pa je neznan.

Torej iza₀ =d₀b₀ dobimo

d₀ = a₀ b0

in seveda mora biti b₀ 6= 0.

Podobno iz a₁ =d₀b₁+d₁b₀ dobimo za drugi ˇclen vrste d₁ = a1

b₀ − a0b1

b²₀ , kjer tudi mora biti b₀ 6= 0.

Ce tako nadaljujemo ˇse za naslednje ˇˇ clene, kaj hitro ugotovimo, da mora zmeraj biti b₀ razliˇcen od niˇc.

2.2.3 Odvajanje in integriranje Odvod

Potenˇcno vrsto s pozitivnim konvergenˇcnim polmeromRlahko na (−R, R) ˇ

clenoma odvajamo in tako dobimo zopet potenˇcno vrsto:

f⁰(x) =

∞

X

n=1

a_nnxⁿ⁻¹ =

∞

X

n=0

a_n+1(n+ 1)xⁿ.

Torej je prvi odvod potenˇcne vrste enak

f⁰(x) =a₁+ 2a₂x+ 3a₃x²+ 4a₄x³+. . . .

Zax= 0 sledi, da je f⁰(0) =a₁. Omenimo ˇse, da velja f(0) =a₀.

Ker pa je tudi odvod prvotne vrste potenˇcna vrsta, jo lahko ˇse enkrat ˇ

clenoma odvajamo:

f⁰⁰(x) = 2a₂+ 6a₃x+ 12a₄x²+. . .

Zax= 0 sledi, da je f⁰⁰(0) = 2a₂ oziroma a₂ = ^f00₂⁽⁰⁾.

Ta postopek lahko nadaljujemo, torej lahko potenˇcno vrsto poljubno mno- gokrat ˇclenoma odvajamo in tako ugotovimo, da velja

a_n = f⁽ⁿ⁾(0) n! .

Vrsto s temi ˇcleni zapiˇsemo takole:

f(0) + x

1!f⁰(0) +x²

2!f⁰⁰(0) + x³

3!f⁰⁰⁰(0) +· · ·=

∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ. (3)

Ker je funkcijaf(x) =P∞

n=0a_nxⁿpoljubno mnogokrat odvedljiva, potenˇcni vrsti (3) pravimoTaylorjeva vrstafunkcijefokoli toˇckeain lahko zapiˇsemo:

f(x) = f(0) + x

1!f⁰(0) + x²

2!f⁰⁰(0) + x³

3!f⁰⁰⁰(0) +· · ·=

∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ.

Vsaka funkcija, ki je definirana s konvergentno potenˇcno vrsto, se da razviti v Taylorjevo vrsto okrog x= 0.

Vsaki poljubnokrat odvedljivi funkcijif lahko priredimo Taylorjevo vrsto.

Taki funkciji prirejena Taylorjeva vrsta pa ne konvergira vedno k f.

Funkcijef(x), ki jim priredimo Taylorjevo vrsto, ki na nekem intervalu za vsak x konvergira, vsota pa je enaka f(x), imenujemo analitiˇcne funkcije.

Funkcija je analitiˇcna samo takrat, ko jo lahko predstavimo kot potenˇcno vrsto, katere koeficienti so take oblike, kakrˇsni so v Taylorjevi vrsti.

Po drugi strani pa obstajajo neskonˇcno mnogokrat odvedljive funkcije f(x), katerih Taylorjeva vrsta konvergira, vendar ni enaka f(x). Primer takˇsne funkcije je funkcija:

f(x) =

e^−x12 zax6= 0, 0 zax= 0.

Vrednost te funkcije v toˇcki 0 je f(0) = 0, povsod pa je poljubnokrat odvedljiva.

Po definiciji odvoda

f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

je prvi odvod v toˇcki x= 0 enak f⁰(0) = lim

h→0

e^−h12 h = 0.

Prvi odvod za x6= 0 je enak 2x⁻³e^−x12. Tudi drugi odvod v toˇcki niˇc jef⁰⁰(0) = 0.

Izkaˇze se, da ima ta funkcija vse odvode v toˇckix= 0 enake 0: f⁽ⁿ⁾(0) = 0 za vsak n iz mnoˇzice naravnih ˇstevil. Kljub temu pa ima prav v vseh neniˇcelnih toˇckah pozitivno vrednost, kar pomeni, da lahko tej funkciji prire- dimo Taylorjevo vrsto 0 + 0x+ 0x² + 0x³ +· · ·+ 0xⁿ+. . ., ki enakomerno konvergira k 0 in ne konvergira k f. Povedano drugaˇce, konvergira proti funkciji, iz katere smo jo dobili, samo v toˇcki x= 0.

Integral

Prav tako lahko potenˇcno vrsto tudi ˇclenoma integriramo:

Z x

0

f(t)dt=

∞

X

n=0

a_nxⁿ⁺¹ n+ 1 =

∞

X

n=1

an−1xⁿ n .

Tako pri odvodu kot pri integralu potenˇcnih vrst imata obe nastali vrsti enak konvergenˇcni polmer kot izvirna vrsta.

ˇSe nekaj pravil za laˇzje raˇcunanje z vsotami:

n

X

k=0

αa_k =α

n

X

k=0

a_k,

n

X

k=0

a_k =

n−p

X

k=−p

a_k+p =

n+p

X

k=p

a_k−p,

n

X

k=0

a_k =

p

X

k=0

a_k+

n

X

k=p+1

a_k.

[2, 9, 10]

3 Rodovne funkcije za petkotniˇ ska ˇ stevila

Rodovna funkcija je navadna ali formalna potenˇcna vrsta, ki je zapisana s potencami spremenljivke. Formalno potenˇcno vrsto razlikujemo od navadnih potenˇcnih vrst, ki jih obiˇcajno obravnavamo v matematiˇcni analizi. V teoriji formalnih potenˇcnih vrst simboluxne prirejamo ˇstevilske vrednosti, zato nas tu pojma konvergence in divergence navadno ne zanimata. Potenˇcna vrsta pa je absolutno konvergentna na odprtem intervalu (−R, R), divergira pa na uniji poltrakov (−∞,−r)∪(r,∞).

Rodovna funkcija zaporedja ˇstevil

a= (a₀, a₁, a₂, . . . , a_n, . . .) je vsota

G(a, x) = G(x) =a₀+a₁x+a₂x²+· · ·+a_nxⁿ+. . . Koeficientia₀, a₁, a₂, . . . so torej ravno ˇstevila iz zaporedja a.

Primer:

Rodovna funkcija zaporedja 1,1,1, . . . ,1,1,1, . . . je funkcijaG(x) = _1−x¹ .

[12]

3.1 Petkotniˇ ska ˇ stevila

Petkotniˇska ˇstevila so figurativna ˇstevila, ki jih za dani nenegativni celi indeks n dobimo po formuli:

P_n = n(3n−1)

2 . (4)

Naslednik n-tega petkotniˇskega ˇstevila je n+ 1-vo petkotniˇsko ˇstevilo, ki ga lahko dobimo tudi s pomoˇcjo rekurzijeP_n+1 =P_n+ 3n+ 1, kjer je n ≥0.

Ce po vrsti zapisujemo ˇstevila, ki jih dobimo, ko vstavljamo nenegativnaˇ cela ˇstevila n v obrazec za petkotniˇska ˇstevila (4), dobimo zaporedje nene- gativnih ˇstevil:

P = (P_n)^∞_n=0 = (0,1,5,12,22,35,51,70,92,117,145,176, . . .).

Petkotniˇska ˇstevila lahko grafiˇcno ponazorimo, saj vsako petkotniˇsko ˇste- vilo doloˇca ˇstevilo pik, ki jih prikaˇzemo kot pike v mreˇzi, potrebni za ogliˇsˇca petkotnika ustreznega nivoja. Petkotnik prvega nivoja definiramo kot piko, ˇstevilo P₀ = 0 pa ustreza prazni mnoˇzici.

Slika 1: Grafiˇcno ponazorjeno tretje petkotniˇsko ˇstevilo.

Slika 2: Ponazoritev tretjega petkotniˇskega ˇstevila, kjer so pike razporejene v obliki pravilnega petkotnika.

[5]

Ce v obrazcu (4) ˇsteviloˇ n zavzame vrednosti iz zaporedja a = (0,1,−1,2,−2,3,−3,4,−4, . . .), dobimo posploˇsena petkotniˇska ˇstevila.

SP_p(n) oznaˇcimo n-to posploˇseno petkotniˇsko ˇstevilo. Kot je omenjeno, pridemo do n-tega posploˇsenega petkotniˇskega ˇstevila tako, da po vrsti vs- tavljamo ˇstevila iz zgornjega zaporedja a v obrazec za petkotniˇska ˇstevila (4). Torej prvo posploˇseno petkotniˇsko ˇstevilo dobimo tako, da vstavimo prvo ˇstevilo iz zaporedja a v obrazec (4): P_p(0) = ^0(3·0−1)₂ = 0. Podobno do- bimo ostala posploˇsena petkotniˇska ˇstevila: drugo posploˇseno petkotniˇsko

ˇstevilo je P_p(1) = ^1(3·1−1)₂ = 1, tretje posploˇseno petkotniˇsko ˇstevilo je P_p(−1) = 0(3·(−1)−1)

2 = 2. Tako nadaljujemo, da dobimo vsa posploˇsena petkotniˇska ˇstevila.

Torej, ˇce po vrsti zapisujemo ˇstevila, ki jih dobimo, dobimo naslednje zaporedje nenegativnih celih ˇstevil:

P_p = (P_p(n))^∞_n=0= (0,1,2,5,7,12,15,22,26,35,40,51,57,70,77,92,100, . . .).

3.2 Centralna petkotniˇ ska ˇ stevila

Centralna petkotniˇska ˇstevila so figurativna ˇstevila, ki jih dobimo s pomoˇcjo formule

P_c(n) = 5n(n−1)

2 + 1, (5)

kjer je n nenegativno celo ˇstevilo.

Centralna petkotniˇska ˇstevila lahko zapiˇsemo tudi kot zaporedje nenega- tivnih celih ˇstevil:

P_c= (P_c(n))^∞_n=0 = (1,6,16,31,51,76,106,141, . . .).

Vsako centralno petkotniˇsko ˇstevilo doloˇca ˇstevilo pik, ki so po nekem pravilu razporejene v obliki petkotnika.

Podobno kot petkotniˇska ˇstevila lahko tudi centralna petkotniˇska ˇstevila grafiˇcno ponazorimo kot pike v mreˇzi, potrebni za ogliˇsˇca petkotnika us- treznega nivoja. Dogovorimo se, da petkotnik prvega nivoja grafiˇcno prikaˇze- mo kot eno piko, centralno petkotniˇsko ˇstevilo P_c(0) = 0 pa ustreza prazni mnoˇzici.

Drugo centralno petkotniˇsko ˇstevilo imenujemo tudi osnovno centralno petkotniˇsko ˇstevilo in ga ponazorimo tako, da iz prve pike nariˇsemo pet poltrakov, na vsakega od njih pa po eno piko (na sliki 3.2 so nove pike obar- vane z zeleno barvo). Tako dobimo drugo centralno petkotniˇsko ˇstevilo, ki je ˇstevilo 6. Tretje centralno petkotniˇsko ˇstevilo je ˇstevilo 16 in ga grafiˇcno ponazorimo tako, da na vsakega od poltrakov nariˇsemo po eno piko, pri tem pa mora biti druga pika na posameznem poltraku ravno na razpoloviˇsˇcu med prvo in tretjo piko. Dodamo ˇse po eno piko na razpoloviˇsˇcu daljic med dvema sosednjima, zadnjima pikama na sosednjih poltrakih (na sliki 3.2 so nove pike ponazorjene z modro barvo). Tako nadaljujemo z dodajanjem pik in pridemo

do n-tega centralnega petkotniˇskega ˇstevila.

Ce sproti zapisujemo ˇstevila, ki jih dobimo pri grafiˇˇ cnem ponazarjanju centralnih petkotniˇskih ˇstevil, dobimo zaporedje, ki smo ga ˇze zapisali: P_c= (P_c(n))^∞_n=0 = (1,6,16,31,51,76,106,141, . . .).

Slika 3: Ponazoritev tretjega centralnega petkotniˇskega ˇstevila. Pike, ki smo jih dodali, da smo dobili grafiˇcno ponazorjeno drugo centralno petkotniˇsko ˇstevilo, so obarvane zeleno. Pike, ki smo jih dodali, da smo dobili grafiˇcno ponazorjeno tretje centralno petkotniˇsko ˇstevilo, pa so obarvane modro.

Ce poltrake in pike lepo razporedimo, dobimo obliko pravilnega petkot-ˇ nika, kot je razvidno iz slike 4.

Slika 4: Ponazoritev tretjega centralnega petkotniˇskega ˇstevila, kjer so pike razporejene v obliki pravilnega petkotnika.

Kot je razvidno ˇze iz formule (5) in iz zgoraj zapisanega zaporedja, vsakemu naslednjemu ˇstevilu priˇstejemo naslednji veˇckratnik ˇstevila pet.

Torej prvemu centralnemu petkotniˇskemu ˇstevilu priˇstejemo prvi veˇckratnik ˇstevila pet, ˇstevilo pet, tako dobimo drugo centralno petkotniˇsko ˇstevilo.

Drugemu centralnemu petkotniˇskemu ˇstevilu priˇstejemo naslednji veˇckratnik ˇstevila pet, ˇstevilo deset in dobimo tretje centralno petkotniˇsko ˇstevilo. Ta postopek nadaljujemo in tako lahko dobimo poljubno centralno petkotniˇsko ˇstevilo.

Definirajmo ˇse trikotniˇska ˇstevila, saj so tesno povezana s centralnimi petkotniˇskimi ˇstevili.

Trikotniˇsko ˇstevilo je figurativno ˇstevilo. Poljubno trikotniˇsko ˇstevilo za dani nenegativni celi indeks n dobimo s pomoˇcjo formule

T_n= 1

2n(n+ 1). (6)

Prav tako kot ostala figurativna ˇstevila, tudi vsako trikotniˇsko ˇstevilo doloˇca ˇstevilo pik, ki so po nekem pravilu razporejene v obliki trikotnika.

Trikotniˇska ˇstevila lahko zapiˇsemo tudi kot zaporedje naravnih ˇstevil, ˇce po vrsti zapisujemo ˇstevila, ki jih dobimo, ko vstavljamo nenegativna cela ˇstevila n v obrazec (6):

T = (T_n)^∞_n=0 = (0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78, . . .).

Med centralnimi petkotniˇskimi ˇstevili in trikotniˇskimi ˇstevili obstaja povezava, sajn-to centralno petkotniˇsko ˇstevilo dobimo tako, da pomnoˇzimon-to trikotniˇsko ˇstevilo s pet in priˇstejemo ena:

Pc(n) = 5Tn+ 1.

To pa je prav tako razvidno ˇze iz formule (5), ˇce poznamo formulo za trikotniˇska ˇstevila.

3.3 Rodovna funkcija za ˇ stevila P

_n

Definirajmo g(x) kot vsoto potenˇcne vrste s koeficientiP_n:

g(x) =

∞

X

n=1

P_nxⁿ=P₁x+P₂x²+P₃x³+· · ·=

∞

X

n=0

P_n+1xⁿ⁺¹.

Konvergenˇcni polmer te vrste je R= lim

n→∞

P_n Pn+1

= 1, o ˇcemer se zlahka prepriˇcamo.

Ce uporabimo rekurzijoˇ Pn+1 = Pn+ 3n+ 1, kjer je n ≥ 0, dobimo za

|x|<1:

g(x) =

∞

X

n=0

(P_n+ 3n+ 1)xⁿ⁺¹.

Sedaj vsak ˇclen vsote zapiˇsemo posebej, pri tem pa upoˇstevamo formulo za vsoto geometrijske vrste:

∞

X

n=1

xⁿ= x 1−x. Torej:

g(x) =x

∞

X

n=0

P_nxⁿ+ 3

∞

X

n=0

nxⁿ⁺¹+

∞

X

n=0

xⁿ⁺¹.

Upoˇstevamo, da je g(x) =P∞

n=1P_nxⁿ ter pri drugi vsoti izpostavimo x² in tako dobimo v njenih ˇclenih odvode ((xⁿ)⁰):

g(x) = x·g(x) + 3x²

∞

X

n=0

nxⁿ⁻¹+ x 1−x =

=xg(x) + 3x²(

∞

X

n=0

xⁿ)⁰+ x 1−x =

=xg(x) + 3x²( 1

1−x)⁰+ x 1−x.

Izraz preoblikujemo tako, da dobimo na levi strani g(x), kar je rodovna funkcija za ˇstevila P_n:

g(x)(1−x) = x

1−x+ 3x² (1−x)², g(x) = x

(1−x)² + 3x²

(1−x)³ = 2x²+x (1−x)³.

Rodovna funkcija za ˇstevila P_n je torej:

g(x) = x(2x+ 1) (1−x)³ .

3.4 Rodovna funkcija za ˇ stevila

_P¹

n

Podobno, kot smo poiskali rodovno funkcijo za ˇstevila P_n, poiˇsˇcemo tudi rodovno funkcijo za ˇstevila _P¹

n. Definirajmof(x) takole:

f(x) =

∞

X

n=1

x³ⁿ P_n = 2

∞

X

n=1

x³ⁿ n(3n−1), kjer je |x|<1 in f(0) = 0.

Ko odvajamof(x), dobimo f⁰(x) = 6

∞

X

n=1

x³ⁿ⁻¹ 3n−1 in f⁰(0) = 0.

Drugi odvod je f⁰⁰(x) = 6

∞

X

n=1

x³ⁿ⁻² = 6(x+x⁴+· · ·) = 6x 1−x³.

Sedaj pa izraˇcunamo integral prvega odvoda:

f⁰(x) = 6 Z x

0

tdt 1−t³ =

=−2√

3 arctan

√3

3 (2t+ 1)|^x₀ + ln(t²+t+ 1)|^x₀ −2 ln(1−t)|^x₀=

=−2√

3 arctan

√3

3 (2x+ 1) + 2√

3 arctan

√3

3 + ln(x²+x+ 1)−2 ln(1−x) =

=−2√

3 arctan

√3

3 (2x+ 1) + ln(x²+x+ 1)−2 ln(1−x) +

√3π 3 .

Prvi odvod funkcijef(x) je torej f⁰(x) =−2√

3 arctan

√3

3 (2x+ 1) + ln(x² +x+ 1)−2 ln(1−x) +

√3π 3 .

Dobljen odvod moramo ˇse integrirati, da dobimo konˇcen rezultat:

f(x) =−2√ 3

Z

arctan

√3

3 (2x+1)dx+

Z

ln(x²+x+1)dx−2 Z

ln(1−x)dx+

√3π 3 x.

Vsak integral bomo izraˇcunali posebej in pri tem oznaˇcili prvi integral z I₁, drugi integral z I₂ in tretji integral zI₃:

I₁ =R

arctan

√3

3 (2x+ 1)dx, I₂ =R

ln(x²+x+ 1)dx, I₃ =R

ln(1−x)dx.

Integrirali bomo po metodi per partes:

Z

udv=uv− Z

vdu.

Izraˇcunajmo integral I₁ =

Z

arctan

√3

3 (2x+ 1)dx.

Integral bomo izraˇcunali po metodi per partes, kjer je u= arctan

√3

3 (2x+ 1) in

du=

√ 3 3 2dx

1 + ³₉(2x+ 1)² = 2√ 3dx 3 + (2x+ 1)² =

= 2√

3dx 4x²+ 4x+ 4 =

√3dx 2(x²+x+ 1) ter

dv=dx in

v =x.

Tako dobimo:

I₁ =xarctan

√3

3 (2x+ 1)−

√3 2

Z xdx x²+x+ 1 =

=xarctan

√3

3 (2x+ 1)−

√3 2

1

2ln(x²+x+ 1)−

√3

3 arctan

√3

3 (2x+ 1)

!

=

=xarctan

√3

3 (2x+ 1) +1

2arctan

√3

2 (2x+ 1)−

√3

4 ln(x²+x+ 1).

Rezultat, ki ga dobimo zaI₁, je potemtakem:

I₁ =xarctan

√3

3 (2x+ 1) + 1

2arctan

√3

2 (2x+ 1)−

√3

4 ln(x²+x+ 1).

Sedaj pa se lotimo raˇcunanja integrala I₂ =

Z

ln(x²+x+ 1)dx.

Tudi ta integral izraˇcunamo po metodi per partes, kjer vzamemo u= ln(x²+x+ 1)

in

du = 2x+ 1 x²+x+ 1dx ter

dv=dx in

v =x.

Integral, ki ga raˇcunamo, je:

I₂ =xln(x²+x+ 1)−

Z x(2x+ 1) x²+x+ 1dx=

=xln(x²+x+ 1) +√

3 arctan

√3

2 (2x+ 1) + 1

2ln(x²+x+ 1)−2x.

Rezultat, ki ga dobimo zaI2, je torej I₂ =xln(x²+x+ 1) +√

3 arctan

√3

2 (2x+ 1) + 1

2ln(x²+x+ 1)−2x.

Izraˇcunati moramo le ˇse integral I₃ =

Z

ln(1−x)dx.

Tudi pri tem se posluˇzimo metode per partes, kjer je u= ln(1−x)

in

du= −1 1−xdx ter

dv=dx in

v =x.

Dobimo:

I₃ =xln(1−x) +

Z x

1−xdx=xln(1−x) + Z

−1 + 1 1−x

dx=

=xln(1−x)−x−ln(1−x).

S tem smo izraˇcunali

I3 =xln(1−x)−x−ln(1−x).

Sedaj zapiˇsimo ˇse celotno funkcijo f(x), ki smo jo izraˇcunali po delih (I₁+ I₂ + I₃):

f(x) =−2√

3xarctan

√3

3 (2x+1)+(x+2) ln(x²+x+1)+2(1−x) ln(1−x)+

√3π 3 x+c.

Ker je f(0) = 0, dobimo c= 0. Torej je f(x) =−2√

3xarctan

√3

3 (2x+1)+(x+2) ln(x²+x+1)+2(1−x) ln(1−x)+

√3π 3 x.

Rodovna funkcija g(x) za ˇstevila _P¹

n je razmeroma zapletena:

g(x) =

∞

X

n=1

xⁿ P_n =

∞

X

n=1

(√³ x)³ⁿ

P_n =f(√³ x).

Ker potenˇcna vrsta definira funkcijo, ki je zvezna na odprtem intervalu (−R, R), razen morda na krajiˇsˇcih, moramo upoˇstevati ˇse Abelov izrek (izrek 3), po katerem velja

x→1limg(x) = 1 P₁ + 1

P₂ +· · ·

Torej moramo preveriti, kaj se dogaja z delom funkcije (2(1−x) ln(1−x)) na krajiˇsˇcu, zato izraˇcunamo limito lim_x→1f(x):

Vzemimo novo spremenljivko t= 1−x=t:

x→1lim(1−x) ln(1−x) = lim

t→0(tlnt) = lim

t→0

lnt

1 t

= lim

t→0 1 t

−_t¹2

=−lim

t→0t = 0,

x→1limf(x) = −2√

3 arctan√

3 + 3 ln 3 +

√3π

3 =

√3π 3 −2√

3π

3 + 3 ln 3 =

= 3 ln 3− π√ 3

3 =

∞

X

n=1

1 P_n.

Izpeljali smo:

∞

X

n=1

1

P_n = 3 ln 3− π√ 3 3 .

3.5 Rodovna funkcija za ˇ stevila

^P_n!ⁿ

Definiramo funkcijo g(x) kot vsoto vrste eksponentnega tipa:

g(x) =

∞

X

n=1

P_n n!xⁿ.

Zlahka se prepriˇcamo, da ima zgornja vrsta konvergenˇcni polmerR =∞.

Oˇcitno je g(0) = 0. Nato izrazimo:

g(x) =

∞

X

n=0

P_n+1

(n+ 1)!xⁿ⁺¹ =

∞

X

n=0

P_n+ 3n+ 1

(n+ 1)! xⁿ⁺¹ =

=

∞

X

n=0

P_nxⁿ⁺¹ (n+ 1)! + 3

∞

X

n=1

nxⁿ⁺¹ (n+ 1)!+

∞

X

n=0

xⁿ⁺¹ (n+ 1)!.

Zaradi veˇcje preglednosti bomo najprej zapisali naslednje izraze:

1. Rx 0

uⁿ

n!du= _(n+1)!^xn+1 , 2. P∞

n=1 nxⁿ⁺¹

(n+1)! =P∞ n=1

((n+1)−1)xⁿ⁺¹

(n+1)! =P∞ n=1

1

n!xⁿ⁺¹−P∞ n=1

xⁿ⁺¹ (n+1)! =

=xP∞ n=1

xⁿ

n! −P∞ n=2

xⁿ

n! =x(e^x−1)−(e^x−1−x), 3. P∞

n=0 xⁿ⁺¹

(n+1)! =P∞ n=1

xⁿ

n! =e^x−1.

Sedaj zopet zapiˇsemo funkcijo, ki smo jo vpeljali na zaˇcetku, le da zapiˇsemo znane vsote vrst, ki smo jih izraˇcunali:

g(x) =

∞

X

n=0

P_n Z x

0

uⁿ

n!du+ 3x(e^x−1)−3(e^x−1−x) +e^x−1 =

=

∞

X

n=0

P_n Z x

0

uⁿ

n!du+ 3(x−1)e^x+ 3 +e^x−1,

g(x) = Z x

0

∞

X

n=0

P_nuⁿ

n!du+ 3(x−1)e^x+ 3 +e^x−1.

Po poenostavitvi dobimo integralsko enaˇcbo Volterrovega tipa:

g(x) = Z x

0

g(u)du+ 3xe^x−2e^x+ 2.

Z odvajanjem dobimo najprej

g⁰(x) = g(x) + 3e^x+ 3xe^x−2e^x in po urejanju diferencialno enaˇcbo

g⁰(x) =g(x) +e^x+ 3xe^x.

Namestog(x) piˇsemoyin tako dobimo nehomogeno linearno diferencialno enaˇcbo prvega reda:

y⁰ −y=e^x(3x+ 1) pri zaˇcetnem pogoju y(0) = 0.

Nehomogena diferencialna enaˇcba prvega reda y⁰ + p(x)y = f(x) ima sploˇsno reˇsitev y =cy₁ +Y. Pri tem je cy₁ sploˇsna reˇsitev pripadajoˇce ho- mogene enaˇcbe, Y pa reˇsitev nehomogene enaˇcbe, ki jo navadno poiˇsˇcemo s pomoˇcjo metode variacije konstante.

Najprej poiˇsˇcemo reˇsitev pripadajoˇce homogene linearne diferencialne enaˇcbe, nato pa ˇse reˇsitev pripadajoˇce nehomogone linearne diferencialne enaˇcbe.

Pripadajoˇca homogena diferencialna enaˇcba zgornje enaˇcbe je y⁰−y= 0, ki ima sploˇsno reˇsitev y₁ =ce^x.

Sedaj moramo poiskati le ˇse reˇsitev nehomogene enaˇcbe. Odloˇcimo se za metodo variacije konstante:

Y =c(x)e^x,

c⁰(x)e^x+c(x)e^x−c(x)e^x =e^x(3x+ 1), c⁰(x) = 3x+ 1,

c(x) = Z

(3x+ 1)dx= 3x² 2 +x.

Reˇsitev nehomogene enaˇcbe je torej Y =e^x(3x²

2 +x), sploˇsna reˇsitev enaˇcbe pa

y=cy₁+Y =ce^x+ 3

2x²+x

e^x.

Iz zaˇcetnega pogoja y(0) = 0 dobimo g(x) =

3 2x²+x

e^x.

V posebnem primeru x= 1 dobimo:

∞

X

n=1

P_n n! = 5

2e.

4 Povezave petkotniˇ skih ˇ stevil z drugimi figurativnimi ˇ stevili

Ko se spraˇsujemo, katera figurativna ˇstevila so med seboj enaka, na primer, katero petkotniˇsko ˇstevilo je tudi kvadratno figurativno ˇstevilo in podobno, nas reˇsevanje teh vpraˇsanj pripelje do enaˇcb, ki jim pravimo diofantske enaˇcbe.

Diofantska enaˇcba je algebrska enaˇcba s celoˇstevilskimi koeficienti, kateri iˇsˇcemo celoˇstevilske reˇsitve. Takˇsne probleme je reˇseval grˇski matematik Dio- fant, po katerem se enaˇcbe tudi imenujejo.

O samem Diofantu ni kaj dosti znanega. Vemo le, da je ˇzivel v Alek- sandriji in umrl star okoli 84 let. V ˇcasu svojega ˇzivljenja je napisal nekaj del, od tega se je prvotnih njegovih knjig ohranilo ˇsest v grˇsˇcini in ˇstiri v arabskih prevodih. Njegovo najbolj znano delo je delo Aritmetika, ki ga je

Slika 5: Diofant. [15]

napisal okoli leta 250. V tej knjigi je pribliˇzno 150 razliˇcnih problemov iz teorije ˇstevil in danes ta knjiga velja za mejnik v razvoju teorije ˇstevil. Med njegovimi odmevnejˇsimi deli sta tudi zbirka izrekov Porizmi in razprava O mnogokotniˇskih ˇstevilih.

Ohranil se je problem, zapisan v grˇskih heksametrih. Oglejmo si ga v prevodu profesorja Franceta Kriˇzaniˇca:

Modrec ob grobu postoj, poˇcasti pepel Diofanta, leta njegova preˇstej, odmerjena z voljo bogov.

Sesti del sojenih let ozarja mu sreˇˇ ca otroˇstva, ˇse pol ˇsestine mini, ko lica poraste mu puh.

Let ˇse sedmino nato izbere si vdano druˇzico.

Pet let ˇze druˇzi ju vez, ko se rodi jima sin.

Le pol oˇcetovih dni je ljubljencu dano ˇziveti, radost oˇcetova vsa v prerani utrne se grob.

Dvakrat dve leti bridko pretoˇci nad teˇzko izgubo, potlej utrujen ˇse sam za vselej zatisne oˇci. [6]

Reˇsimo problem, ki je zapisan v zgornjih verzih. Naj bo xˇstevilo let, ki jih je preˇzivel Diofant. Iz besedila pridemo do naslednje enaˇcbe:

x 6 + x

12+x

7 + 5 + x

2 + 4 =x.

Enaˇcbo zlahka reˇsimo in dobimo reˇsitevx= 84.

Za Diofanta je zanimivo, da je iskal le pozitivne racionalne reˇsitve enaˇcb oblikeAx²+Bx+C =y², za iracionalne reˇsitve pa je menil, da so nemogoˇce.

Vedno je koeficiente A, B in C izbral tako, da je dobil pozitivno racionalno reˇsitev. Med omenjenimi enaˇcbami so tudi enaˇcbe, ki jih danes poznamo pod imenom Pellove enaˇcbe ali Fermat-Pellove enaˇcbe. Ime izhaja iz Euler- jevega napaˇcnega poimenovanja raziskovanj enaˇcbe po Johnu Pellu. Euler je poznal delo prvega evropskega matematika Brounckerja, ki je naˇsel sploˇsno reˇsitev enaˇcbe, vendar bi ga naj zameˇsal s Pellom. Problem reˇsevanja Pellove enaˇcbe je postavil francoski matematik de Fermat, ki je trdil, da ima Pellova enaˇcba neskonˇcno mnogo celoˇstevilskih reˇsitev. Tega ni nikoli dokazal, je pa poznal naˇcin reˇsevanja enaˇcbe, ki ga je odkril matematik Brouncker.

Pri Diofantu lahko prviˇc najdemo sistematiˇcno rabo algebrskih simbolov.

Poznal je nekaj posebnih znakov: za minus, za neznanko, za reciproˇcno vred- nost ipd. Vendar je potrebno omeniti dejstvo, da so ti znaki bili bolj kratice kot algebrski simboli, ki jih poznamo danes. Za Diofanta vˇcasih lahko sliˇsimo ime ”oˇce algebre”, saj je veliko prispeval k teoriji ˇstevil in matematiˇcni no- taciji.

[11, 18]

4.1 Katera petkotniˇ ska ˇ stevila so tudi kvadratna?

Kot ˇze vemo, so petkotniˇska ˇstevila podana s formulo Pn = ^n(3n−1)₂ in kvadratna s formulo Q_n =n². Da pridemo do odgovora, katera petkotniˇska ˇstevila so hkrati tudi kvadratna, moramo torej reˇsiti enaˇcbo P_n =Q_m:

1

2n(3n−1) =m².

Enaˇcbo pomnoˇzimo z 2, tako da dobimo enaˇcbo 3n²−n = 2m². Iˇsˇcemo primerno enaˇcbo za ta primer, da bomo dobili reˇsitve. Enaˇcbo pomnoˇzimo najprej z 12 in dobimo kvadratno enaˇcbo

36n²−12n= 24m².

Dobljeno enaˇcbo najprej preoblikujemo tako, da dobimo obliko:

(6n−1)²−1 = 24m². Sedaj postavimo

x= 6n−1 in

y= 2m.

Vstavimo v zgornjo enaˇcbo in dobimo:

x²−6y² = 1. (7)

Enaˇcba, ki jo reˇsujemo, je Pellova enaˇcba

x²−Dy² = 1 (8)

zaD= 6. Ta enaˇcba predstavlja hiperbolo v pravokotnem karteziˇcnem koor- dinatnem sistemu Oxy. Torej gre geometrijsko gledano za vpraˇsanje, katere od toˇck s celoˇstevilskimi koordinatami iz notranjosti prvega kvadranta leˇzijo na tej hiperboli.

Za laˇzje reˇsevanje enaˇcbe (7) in razumevanje dobljenih reˇsitev si najprej poglejmo spodnja izreka (Grasselli, 1984).

Izrek 8 Ce jeˇ Dnaravno ˇstevilo, ki ni kvadrat naravnega ˇstevila, ima Pellova enaˇcba (8) neskonˇcno reˇsitev v naravnih ˇstevilih.

Izrek 9 Naj bo D naravno ˇstevilo, ki ni kvadrat naravnega ˇstevila. ˇCe ima Pellova enaˇcba x² − Dy² = 1 eno reˇsitev v mnoˇzici naravnih ˇstevil, ima neskonˇcno takih reˇsitev.

V naˇsem primeru jeD = 6, ki ni kvadrat naravnega ˇstevila. Po izreku 8 ima enaˇcba (7) neskonˇcno reˇsitev v naravnih ˇstevilih.

Kot je razvidno iz spodnje tabele, jey= 2 najmanjˇse naravno ˇstevilo, za katerega je 1 + 6y² kvadrat. Torej vidimo, da je y₁ = 2 in poslediˇcno x₁ = 5, kar je osnovna reˇsitev enaˇcbe (7).

y x² = 1 + 6y²

1 7

2 25 = 5²

3 55

Do vseh ostalih reˇsitev pridemo s pomoˇcjo naslednjega izreka (Grasselli, 1984).

Izrek 10 Ce jeˇ D naravno ˇstevilo, ki ni kvadrat naravnega ˇstevila, ter x₁ in y1 osnovna reˇsitev enaˇcbe (8), so vse naravne reˇsitve enaˇcbe zajete v obrazcu

x_k+y_k√

D= (x₁+y₁√ D)^k, kjer k preteˇce vsa naravna ˇstevila.

Po izreku 10 so vse naravne reˇsitve enaˇcbe (7) zajete v obrazcu x_k+y_k√

6 = (5 + 2√ 6)^k. Pri tem upoˇstevamo princip enakosti: ˇce je

α+β√

6 =γ+δ√ 6,

kjer so α, β, γ inδ cela ˇstevila, potem je α=γ inβ =δ.

Izrek 11 Ce jeˇ √

Diracionalno ˇstevilo, ostalo pa so naravna ˇstevila, pridemo iz znane osnovne reˇsitve do vsake nadaljnje reˇsitve v naravnih ˇstevilih po obrazcih:

x_k+1 =x₁x_k+Dy₁y_k, y_k+1 =y₁x_k+x₁y_k. Dokaz

Izrazimo:

xk+1+yk+1

√

D= (x1+y1

√

D)^k+1= (x1+y1

√

D)(x1+y1

√ D)^k =

= (x₁+y₁√

D)(x_k+y_k√

D) = (x₁x_k+Dy₁y_k) + (x₁y_k+y₁x_k)√ D.

Po principu enakosti dobimo zgornji par enaˇcb.

Po izreku 11 torej dobimo enaˇcbi xk+1 = 5xk+ 12yk inyk+1 = 2xk+ 5yk, ki nas privedeta do ostalih reˇsitev. Nekaj zaˇcetnih reˇsitev enaˇcbe (7) vsebuje preglednica

k x_k y_k

1 5 2

2 49 20

3 485 198

4 4801 1960 5 47525 19402 Ker veljata enakosti

n_k= x_k+ 1 6

in

m_k = y_k 2 ,

lahko ugotovimo, katero petkotniˇsko ˇstevilo je hkrati kvadratno:

k n_k m_k ustreznost reˇsitve

1 1 1 da

2 ²⁵₃ 10 ne

3 81 99 da

4 ²⁴⁰¹₃ 980 ne

5 7921 9701 da

Kot vemo, morata n in m biti naravni ˇstevili, saj so tako definirana figurativna ˇstevila. Ravno zaradi tega pa vsak drugi n v tabeli ni ustrezen.

Tako ugotovimo, da sta prvo petkotniˇsko in prvo kvadratno ˇstevilo enaka, prav tako sta enainosemdeseto petkotniˇsko in devetindevetdeseto kvadratno ˇstevilo enaki: P₈₁=Q₉₉= 9801 itd. Torej za vsak lihi k velja enakost

P_nk =Q_mk.

[1]

4.1.1 Reˇsevanje s pomoˇcjo matrik

Reˇsevanja tovrstnih problemov se lahko lotimo tudi s pomoˇcjo matrik. Ker je daljˇsi postopek ˇze opisan pri reˇsevanju zgoraj, tu ne bomo ponavljali in se bomo sklicevali na zgornje izreke in enaˇcbe.

Kot ˇze vemo, so vse naravne reˇsitve Pellove enaˇcbe x² −6y² = 1

zajete v obrazcu

x_k+y_k√

6 = (5 + 2√ 6)^k. Reˇsitve Pellove enaˇcbex²−6y² = 1 oznaˇcimo z

A_k = x_k

yk

.

Reˇsitev Pellove enaˇcbex²−Dy² = 1 je tudix₀ = 1, y₀ = 0.

Ravno tako ˇze od prej vemo, da dobimok+ 1-vo reˇsitev s pomoˇcjo izreka 11 oziroma enaˇcb

x_k+1 =x₁x_k+Dy₁y_k, yk+1 =y1xk+x1yk,

kar pa lahko zapiˇsemo v naˇsem primeru v matriˇcni obliki:

x_k+1 y_k+1

=

x₁ 6y₁ y₁ x₁

x_k y_k

.

Oznaˇcimo

B =

x₁ 6y₁ y₁ x₁

in tako dobimo zgornji izraz, izraˇzen z matrikami:

A_k+1=BA_k. Od tu pa seveda lahko doloˇcimo reˇsitve:

A₁ =BA₀,

A₂ =BA₁ =BBA₀ =B²A₀, A₃ =BA₂ =B³A₀, . . . Vidimo torej, da v sploˇsnem velja zveza

Ak =B^kA0.

Reˇsitve Pellove enaˇcbe x² −6y² = 1 torej z lahkoto izraˇcunamo, saj poznamo matriko A₀, ki predstavlja trivialno reˇsitev, in matrikoB:

A₀ = 1

0

in

B = 5 12

2 5

.

Torej

A₁ =BA₀ = 5 12

2 5 1

0

= 5

2

,

A₂ =B²A₀ =

49 120 20 49

1 0

= 49

20

, . . .

Sedaj, ko imamo vrednostix_kiny_k, lahko ugotavljamo, katero petkotniˇsko ˇstevilo je hkrati kvadratno. Seveda pa dobimo enake reˇsitve kot zgoraj.

Imamo relaciji

n_k= x_k+ 1

6 , m_k = y_k 2 oziroma

x_k = 6n_k−1, y_k = 2m_k. To upoˇstevamo v rekurziji

x_k+2 y_k+2

=

49 120 20 49

x_k y_k

. Iz tega in prejˇsnjih relacij dobimo rekurziji

n_k+2 = 49n_k+ 40m_k−8 in

m_k+2 = 60n_k+ 49m_k−10, kar zapiˇsemo v matriˇcni obliki:

n_k+2 mk+2

=

49 40 60 49

n_k mk

− 8

10

.

Ker poznamo vrednosti za n₁ inm₁, lahko iz n₁

m₁

= 1

1

s pomoˇcjo zgornje rekurzije izraˇcunamo n₃

m₃

= 81

99

, n₅

m₅

=

7 921 9 701

, n7

m₇

=

776 161 950 599

, . . . Za vsak lihik velja enakost

Pn_k =Qm_k.

4.1.2 Zakaj je pravilna vsaka druga reˇsitev?

Reˇsitve na zastavljeno vpraˇsanje torej dobimo s pomoˇcjo enaˇcbx_k= 6n_k−1 in yk = 2mk. Pravilna reˇsitev je tista, pri kateri sta nk in mk celi ˇstevili.

Pri reˇsitvah za m_k nimamo teˇzav, saj je zmeraj celo ˇstevilo, pri reˇsitvah za n_k pa je pravilna vsaka druga reˇsitev, torej ko je n_k celo ˇstevilo. Ker velja xk = 6nk−1, je poslediˇcno nk = ^xk₆⁺¹, torej mora biti ˇsteviloxk+ 1 deljivo s 6, da je n_k celo ˇstevilo. Prav tako moramo dokazati, da morajo biti vsa ˇstevila y_k soda, da je m_k = ^y₂^k celo ˇstevilo.

Postavimo hipotezo:

Ce jeˇ k liho ˇstevilo, potem jenk celo ˇstevilo in prav tako tudi mk. Ce jeˇ k sodo ˇstevilo, potemn_k ni celo ˇstevilo, m_k pa je celo ˇstevilo.

Gledamo ˇstevili v paru, ko je k sodo ˇstevilo in ko je k liho ˇstevilo:

(x_2i, x_2i+1) oziroma (n_2i, n_2i+1).

Naˇsa hipoteza se torej glasi:

x2i+1 ni deljivo s ˇsest, x2i+1+ 1 je deljivo s ˇsest za vsako celo ˇstevilo i.

V matriˇcni obliki dobimo reˇsitve iz enaˇcbe:

x_k+1 yk+1

=

x₁ 6y₁ y1 x1

x_k yk

=B x_k

yk

. Ce preoblikujemo enaˇˇ cbo, dobimo

x_k+1 yk+1

=B² xk−1

yk−1

.

Sedaj vstavimo nov indeks k + 1 = 2i oziroma k = 2i−1 in tako dobimo naslednjo obliko enaˇcbe:

x_2i y2i

=B² x2i−2

y2i−2

.

Ker nas zanima deljivost ˇstevil x_2i+1 in x_2i+1 + 1 s ˇsest, preoblikujemo enaˇcbo ˇse v obliko

x_2i+1 y2i+1

=B² x2i−1

y2i−1

.