UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

DIPLOMSKO DELO

ZDENKA MIHELI ˇ C

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

ˇ Studijski program: matematika in fizika

KROˇ ZNICE IN HERMITSKE MATRIKE

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

prof. dr. Matija Cencelj Zdenka Miheliˇ c Somentor:

dr. Tadej Starˇ ciˇ c

Ljubljana, junij 2016

i

Zahvala

Najlepˇse se zahvaljujem mentorju dr. Matiji Cenclju in somentorju dr. Ta- deju Starˇciˇcu za vsestransko pomoˇc, nasvete, potrpeˇzljivo pregledovanje in strokovno vodenje pri pisanju diplomske naloge.

Za podporo hvala druˇzini in Simonu, ki mi vedno stoji ob strani in me spod- buja.

ii

Program dela

Raziˇsˇcite zvezo med kroˇznicami v kompleksni ravnini in hermitskimi ma- trikami dimenzije 2×2 in to uporabite za obravnavo inverzije preko kroˇznice in stereografske projekcije.

Osnovna literatura naj vam bo prvo poglavje naslednje knjige:

H. Schwerdtfeger, Geometry of Complex Numbers, Circle Geometry, Mo- ebius Transformation, Non-Euclidean Geometry, Dober Publications, inc., New York 1979.

Ljubljana, april 2016.

Mentor:

Dr. Matija Cencelj

iii

Povzetek

Vsako kroˇznico v kompleksni ravnini predstavimo kot reˇsitev neke komple- ksne enaˇcbe in s tem kot hermitsko matriko dimenzije 2×2.

Na ta naˇcin ne dobimo vseh hermitskih matrik, zato pa razumemo hermit- ske matrike kot posploˇsene kroˇznice, ki vkljuˇcujejo tudi premice v kompleksni ravnini. To uporabimo za obravnavo inverzije preko kroˇznice in stereografske projekcije.

Kljuˇcne besede:

analitiˇcna geometrija kroˇznic, kompleksna ˇstevila, kroˇznica, hermitska matrika, inverzija, stereografska projekcija.

iv

Abstract

Every circle in the complex plane is presented as a solution of a complex equation and thus as a hermitian matrix of dimension 2×2.

Not every hermitian matrix is obtained in this way, but we take the hermitian matrices as generalized circles, these include also lines in the complex plane.

We use this to study inversion in a circle and the stereographic projection.

Keywords:

analytic geometry of circles, complex numbers, circle, hermitian matrix, inversion, stereographic projection.

KAZALO v

Kazalo

1 UVOD 1

1.1 Geometrija . . . 1 1.2 Polje kompleksnih ˇstevil . . . 4 1.3 Hermitske matrike . . . 9 2 Predstavitev kroˇznic s hermitskimi matrikami 13 2.1 Ena kroˇznica . . . 13 2.2 Dve kroˇznici . . . 22 2.3 Svinˇcniki kroˇznic . . . 27

3 Inverzija 32

3.1 Definicija in osnovne lastnosti . . . 32 3.2 Ostale lastnosti inverzije in primeri . . . 39

4 Stereografska projekcija 50

4.1 Definicija . . . 50 4.2 Osnovne lastnosti stereografske projekcije . . . 53 4.3 Stereografska projekcija in polarnost . . . 56

5 Zakljuˇcek 60

1 UVOD 1

1 UVOD

Za zaˇcetek bomo opredelili nekaj pojmov, ki jih bomo uporabili v nalogi v nadaljevanju. Najprej poglejmo, kaj sploh je geometrija in njen zgodovinski okvir.

1.1 Geometrija

Vsebina tega podrazdelka je povzeta po [6].

Kaj je geometrija?

Beseda geometrija izvira iz grˇsˇcine (Gea – zemlja,metros – merjenje) in njen dobesedni pomen je zemljemerstvo.

Geometrija, ki je ena najstarejˇsih vej matematike, je posveˇcena prouˇcevanju toˇck, ˇcrt, kotov, prostora in raznih oblik, velikosti razliˇcnih likov in teles, njihovih odnosov in lastnosti.

Kratek zgodovinski oris

Prve geometrijske pojme opazimo pri narodih, ki so ˇze pred veˇc tisoˇcletji ˇ

ziveli v Egiptu in Mezopotamiji. Egiptovska reka Nil je vsako leto popla- vila rodovitne doline in zbrisala meje zemljiˇskih posestev med posameznimi obmoˇcji, ki jih je bilo nato potrebno ponovno doloˇciti. To so lahko naredili le ljudje, ki so znali natanˇcno meriti, risati in raˇcunati. V povezavi s tem je ta veja matematike dobila tudi ime: merjenje zemlje.

Od 7. stoletja pred naˇsim ˇstetjem so razvoj geometrije intenzivno nadaljevali stari Grki v antiˇcni Grˇciji, kamor so jo iz Egipta prinesli trgovci. Tales iz Mileta (624–547 pred naˇsim ˇstetjem) je v Grˇcijo prinesel egipˇcanske metode, ki so jih Grki podprli z dokazi ter intenzivno nadaljevali z razvojem geo- metrije (Silvester, 2001). Pribliˇzno v 5. stoletju pred naˇsim ˇstetjem sta se

1 UVOD 2 izoblikovala pojma trditve in njenega strogega dokaza. Hipokrat, Evdoks in Arhit so imeli pri tem pomembne zasluge. Dve stoletji kasneje, v 3. stoletju, je bilo nakopiˇcenega ˇze toliko gradiva in razliˇcnih metod, da so nastali prvi poskusi zdruˇzitve geometrijskih znanj v enoten sistem. Najznamenitejˇsi ge- ometer tedanjega ˇcasa je bil Platonov uˇcenec Evklid.

Aksiomi evklidske geometrije

Temelje geometrije – evklidske oziroma obiˇcajne – je postavil starogrˇski ma- tematikEvklid(tudi Evklides) [evkl´ıd/evkl´ıdes] (starogrˇsko Eυκλιδης: Eu- kle´ıdes), ki velja za zaˇcetnika ali oˇceta sodobne geometrije, ˇze okoli leta 300 pred naˇsim ˇstetjem. In sicer tako, da je doloˇcil pet aksiomov – temeljnih resnic.

Znano je le to, da je od leta 305 pred naˇsim ˇstetjem ˇzivel na Ptolomejevem dvoru v Aleksandriji, ˇcas Ptolomejeve vladavine se zaˇcne leta 323 pred naˇsim ˇstetjem in zakljuˇci leta 285 ali 283 pred naˇsim ˇstetjem. Evklid je tam osnoval visoko ˇsolo, na kateri je predaval geometrijo. ˇSola je postala znana po vsem tedanjem kulturnem svetu. Kasneje je ˇzivel tudi v Egiptu. Njegov ˇcas je oznaˇceval prehod nadvlade v znanosti iz Aten v Aleksandrijo. Umrl je leta 275 pred naˇsim ˇstetjem.

Evklidovo glavno delo Elementi ali Osnove (vˇcasih se naslov Stoihea pre- vaja tudi kot Zaˇcetki) obsega trinajst knjig in velja za eno od najpomemb- nejˇsih znanstvenih del vseh ˇcasov. Najstarejˇsi znani izvod te knjige je iz leta 876.

Peta, sedma, osma, deveta in deseta knjiga so preteˇzno posveˇcene arit- metiki, podani v geometrijski obliki, druge pa dejansko govorijo o geometriji.

Zasnova dela je celo za danaˇsnjega bralca neverjetno sodobna. Evklid

1 UVOD 3 je izhajal iz manjˇsega ˇstevila aksiomov oziroma postulatov – osnovnih re- snic, ki so tako oˇcitne, da jih ni treba dokazovati. Na podlagi teh aksiomov je potem dokazal veliko ˇstevilo precej bolj zapletenih lastnosti. Pri uvajanju novih pojmov je uporabljal jasne in natanˇcne definicije, pri dokazovanju izre- kov pa matematiˇcno strogost, ki je bila vzor naslednjim rodovom ˇse stoletja.

Aksiomatiˇcna metoda razvijanja matematiˇcne teorije se je uveljavila ˇsele veˇc stoletij pozneje.

Geometrija je torej nabor matematiˇcnih objektov, ki zadoˇsˇcajo nasle- dnjim aksiomom oziroma postulatom – osnovnim resnicam. Te so:

Aksiom 1: Skozi poljubni dve toˇcki poteka toˇcno ena premica.

Aksiom 2: Premica je neomejena – lahko jo podaljˇsamo v neskonˇcnost.

Aksiom 3: Za katero koli daljico obstaja kroˇznica, ki ima to daljico za pol- mer in eno od krajiˇsˇc za srediˇsˇce.

Aksiom 4: Vsi pravi koti so med seboj skladni.

Aksiom 5: ˇCe poljubni premici sekamo s tretjo premico (preˇcnico) in je vsota notranjih kotov na eni strani preˇcnice manjˇsa od dveh pravih kotov, potem se dani premici sekata na tej strani preˇcnice.

Peti postulat je nekoliko nerodno formuliran. Poznejˇsi matematiki so ga nadomestili z aksiomom o vzporednici, ki je razumljivejˇsi, po matematiˇcnem pomenu pa je enakovreden:

Skozi poljubno toˇcko T, ki ne leˇzi na premici p, poteka natanko ena vzpore- dnica k premici p.

Zanimivo je, da je ravno ta aksiom pritegnil ˇse posebno zanimanje nekaterih matematikov in pozneje pripeljal do odkritja neevklidskih geometrij.

1 UVOD 4 Analitiˇcna geometrija

Pomemben del sodobne evklidske geometrije je tudi analitiˇcna geometrija.

Za zaˇcetnika te veje geometrije velja:

Ren´e Descartes(latinsko Renatus Cartesius), francoski filozof in priro- doslovec, ki se je rodil 1. marca 1596 v francoskem kraju La Haye en Touraine (zdaj Descartes) v Indre-et-Loire. Umrl je 11. februarja 1650 v Stockholmu na ˇSvedskem.

Uvrˇsˇcamo ga med racionaliste in zaˇcetnike sodobne filozofije. Vpeljal je svoje metode za raziskovanje v znanosti in jih objavil v deluRazprava o me- todi. Najbolj poznan je njegov rekCogito, ergo sum. (Mislim, torej sem.).

Zelo pomembni so tudi njegovi doseˇzki in odkritja v matematiki, predvsem v geometriji, in fiziki.

Descartes je v svojih delih postavil osnove karteziˇcega koordinatnega sis- tema, s pomoˇcjo katerega je utemeljil analitiˇcno geometrijo (uporaba algebre pri razlagi geometrijskih lastnosti teles). Tako je omogoˇcil povezavo med geometrijo in raˇcunsko usmerjenimi matematiˇcnimi panogami: aritmetiko, analizo in algebro.

Koordinatni sistem omogoˇca, da toˇcko zapiˇsemo s ˇstevili (koordinatami), premico ali krivuljo pa z enaˇcbo. Poslediˇcno lahko geometrijsko reˇsevanje geometrijskih problemov nadomestimo z raˇcunskimi postopki.

1.2 Polje kompleksnih ˇ stevil

Kompleksna ˇstevila

Ker bomo obravnavali kroˇznice s kompleksnimi ˇstevili in z njimi pojem kroˇznice tudi posploˇsili, podrobno predstavimo kompleksna ˇstevila.

1 UVOD 5

V pomoˇc nam je bila knjiga [3].

V mnoˇzici realnih ˇstevil R ne moremo reˇsiti enaˇcbe: x² = −1. Zato polje realnih ˇstevil razˇsirimo do polja kompleksnih ˇstevil, oznaˇcimo ga s C, kjer lahko reˇsujemo omenjeno enaˇcbo.

Kompleksna ˇstevila lahko zapiˇsemo v obliki z=x+yi, kjer jei imaginarna enota, in kjer

• realno ˇstevilo x, ki nastopa v tem zapisu, imenujemo realna kompo- nenta ˇstevila z in to zapiˇsemo: Re z=x,

• realno ˇstevilo y, ki nastopa v tem zapisu, imenujemo imaginarna kom- ponenta ˇstevila z in to zapiˇsemo: Im z=y.

Seˇstevanje in odˇstevanje kompleksnih ˇstevil

Dve kompleksni ˇstevili seˇstejemo (oziroma odˇstejemo) tako, da med sabo seˇstejemo (odˇstejemo) obe realni komponenti in potem ˇse obe imaginarni komponenti. Torej:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.

Primera:

(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i, (2 + 3i)−(4 + 5i) =−2−2i.

Mnoˇzenje kompleksnih ˇstevil

Dve kompleksni ˇstevili zmnoˇzimo tako, da upoˇstevamo distributivno- stni zakon (pomnoˇzimo vsak ˇclen prvega oklepaja z vsakim ˇclenom drugega oklepaja) in pravilo i² =−1:

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i.

1 UVOD 6 Primer:

(2 + 3i)(4 + 5i) = 8 + 10i+ 12i+ 15i² = 8 + 22i−15 = −7 + 22i.

Torej je mnoˇzica kompleksnih ˇstevil:

C={x+yi; x, y ∈R}.

Ce je imaginarna komponenta ˇstevilaˇ z enaka 0, ima ˇstevilo z samo realno komponento. V tem primeru je ˇstevilo z realno ˇstevilo. To pomeni, da realna ˇstevila razumemo kot podmnoˇzico mnoˇzice komple- ksnih ˇstevil: R⊂C.

Konjugirana vrednost kompleksnega ˇstevila

Konjugirano vrednost kompleksnega ˇstevila x +yi dobimo tako, da spremenimo predznak pri imaginarnem delu.

Konjugirana vrednost ˇstevila z =x+yi je torej ˇstevilo z =x−yi.

Za konjugiranje veljajo naslednje lastnosti:

• z+w=z+w,

• z−w=z−w,

• zw=z w,

• (_w^z) = _w^z,

• (z) =z,

• zz =x²+y²,

• z =z, ˇce in samo ˇce je z realno ˇstevilo.

Obratna vrednost kompleksnih ˇstevil in deljenje kompleksnih ˇstevil Deljenje s ˇstevilom a +bi je standardno definirano kot mnoˇzenje z obratno vrednostjo. Pomagamo si tako, da deljenje zapiˇsemo v obliki

1 UVOD 7 ulomka in potem ˇstevec in imenovalec pomnoˇzimo s konjugirano vre- dnostjo imenovalca.

(a+bi)

(c+di) = (a+bi)(_(c2+d^{c 2})− _(c2+d^{d 2})i) = ^(ac+bd)_c2+d² +i^(bc−ad)_c2+d² = (a+bi)(c−di) (c+di)(c−di). Primer:

(2+3i)

(4+5i) = ⁽²⁺³ⁱ⁾_(4+5i)⁽⁴⁻⁵ⁱ⁾_(4−5i) = _(−10+12i)⁽⁸⁺¹⁵⁾ = ²²⁺²ⁱ₄₁ .

Geometrijska upodobitev kompleksnih ˇstevil

Realna ˇstevila smo upodobili na realni osi, ki jo realna ˇstevila popol- noma pokrijejo. Zato seveda kompleksnih ˇstevil ne moremo upodobiti na ˇstevilski premici.

Za upodobitev kompleksnih ˇstevil potrebujemo ravnino z ustreznim ko- ordinatnim sistemom. Na vodoravno os (ki predstavlja realno os, Re) nanaˇsamo realni del kompleksnega ˇstevila, na navpiˇcno os (imaginarna os, Im) pa nanaˇsamo imaginarni del kompleksnega ˇstevila. Komple- ksno ˇstevilox+yiupodobimo s toˇcko, ki ima koordinatiT(x, y). Vˇcasih uporabljamo tudi geometrijsko upodobitev kompleksnih ˇstevil z rav- ninskimi vektorji. Pri tem kompleksno ˇstevilo x+yi upodobimo kot vektor, ki poteka od izhodiˇsˇca do toˇcke T(x, y) (tj. krajevni vektor toˇcke T(x, y)).

Absolutna vrednost kompleksnega ˇstevila

Kompleksna ˇstevila lahko naravno identificiramo s toˇckami v ravnini, ˇ

ce vanjo vpeljemo pravokotni koordinatni sistem. Absolutna vrednost kompleksnega ˇstevila z je oddaljenost toˇcke, ki predstavlja to ˇstevilo v kompleksni ravnini, od izhodiˇsˇca koordinatnega sistema. To je hkrati tudi dolˇzina krajevnega vektorja, ki ponazarja to ˇstevilo v kompleksni ravnini (glej Sliko 1).

Absolutno vrednost kompleksnega ˇstevila z = x+yi izraˇcunamo po

1 UVOD 8

Slika 1: Geometrijska upodobitev kompleksnega ˇstevila s toˇcko in ravninskim vektorjem.

naslednjih dveh formulah:

• |z|=p

x²+y²,

• |z|=√ zz.

Za absolutno vrednost kompleksnega ˇstevila veljajo naslednje lastnosti:

• |zw|=|z||w|,

• |_w^z|= _|w|^|z|,

• |z+w| ≤ |z|+|w|.

1 UVOD 9

Slika 2: Prikaz kompleksne ravnine, kompleksnega ˇstevila z in njegove ko- njugirane vrednosti z.

1.3 Hermitske matrike

Poglejmo si najprej, kaj so matrike, kakˇsne zakonitosti veljajo zanje in nekaj njihovih lastnosti.

Matrike

Matrika A reda m×n z m-vrsticami in n-stolpci:

A=











a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2n ... ... ... am1 am1 · · · amn











= [a_jk]k=1, ..., n j=1, ..., m.

j-ta vrstica matrike A:

A_j =

a11 a12 · · · ajn

.

1 UVOD 10 k-ti stolpec matrike A:

A^k =









 a₁₁ a₂₁ ... amk









 .

Komponenta oz. element matrike a_jk leˇzi v j-ti vrstici in k-tem stolpcu.

Med matrikami istega reda veljata naslednji operaciji:

• Seˇstevanje matrik:

vsota matrik A, B;A= [a_jk]k=1, ..., n

j=1, ..., m, B = [b_jk]k=1, ..., n j=1, ..., m,

A+B =











a₁₁+b₁₁ a₁₂+b₁₂ · · · a_1n+b_1n a21+b21 a22+b22 · · · a2n+b2n

... ... ...

a_m1+b_m1 a_m2+b_m2 · · · a_mn+b_mn











= [a_jk+b_jk]k=1, ..., n j=1, ..., m.

Primer:

3 −1 2

0 5 2

+

1 −1 2

3 2 1

=

4 −2 4

0 7 3

.

• Mnoˇzenje matrike s skalarjem:

A= [a_jk]k=1, ..., n j=1, ..., m,

λA =











λa₁₁ λa₁₂ · · · λa_1n λa₂₁ λa₂₂ · · · λa_2n ... ... ... λam1 λam2 · · · λamn











= [λajk]k=1, ..., n j=1, ..., m.

Primer:

2

4 1

−2 2

=

8 2

−4 4

.

Mnoˇzica matrik reda m×n s kompleksnimi elementi tvori za ti dve ope- raciji vektorski prostor nad mnoˇzico kompleksnih ˇstevil (C).

1 UVOD 11 Transponiranje in konjugiranje transponiranje matrik.

Matriki A = [a_jk]k=1, ..., n

j=1, ..., m priredimo transponirano matriko (transponi- ranko): A^T = [a_kj]k=1, ..., n

j=1, ..., m (vrstice in stolpci se pri transponiranju zame- njajo).

Primer: A=

4 −2 4

0 7 3

,A^T =





4 0

−2 7 4 3



.

MatrikiA^H = [a_kj]k=1, ..., n

j=1, ..., m pa pravimo konjugirana transponiranka ma- trike A (elementi v vrsticah in stolpcih se zamenjajo ter konjugirajo).

Primer: A=

1 −i 2 +i 4 +i

, B =A^H =

1 2−i i 4−i

.

Lastnosti pri transponiranju oziroma konjugiranem transponiranju:

• (A^T)^T =A, (A^H)^H =A (involucija),

• (A+B)^T =A^T +B^T, (A+B)^H =A^H +B^H,

• (λA)^T =λA^T, (λA)^H =λA^H.

Posebni primeri kvadratnih matrik (to so matrike, ki imajo enako ˇstevilo vrstic in stolpcev – Am×m):

• Simetriˇcna matrika: A^T =A, ajk =akj, za vse j, k.

Primer: A=





2 5 −1

5 3 4

−1 4 7



.

• Diagonalna matrika: d_jk = 0, ˇcej 6=k, matrika ima le po diagonali od 0 razliˇcne elemente (lahko pa je 0 tudi na diagonali). Diagonalna matrika je tudi simetriˇcna. Primer: A=





2 0 0 0 0 0 0 0 7



.

1 UVOD 12

• Enotska matrika ali identiteta (je tudi diagonalna matrika):

d11 =d22=· · ·=dnn = 1. Primer: I =





1 0 0 0 1 0 0 0 1



.

• Niˇcelna matrika:

je matrika samih 0, 0m×n =A, a_jk = 0, za vse j, k.

0 =





0 0 0 0 0 0 0 0 0





• Hermitske matrike: A^H =A, a_jk =a_kj, za vse j, k.

Nekaj znaˇcilnosti hermitskih matrik:

– Diagonalni elementi hermitske matrike so realna ˇstevila.

– Hermitska matrika, ki ima realne elemente, je realna in simetriˇcna.

– Determinanta hermitske matrike je realno ˇstevilo ([5]).

ajj =ajj ⇒R.

Za matrike 2×2 se to hitro vidi:

a₁₁ a₁₂ a₁₂ a₂₂

=a₁₁a₂₂−a₁₂a₁₂∈R, saj a11a22∈R.

Primeri 2×2 in 3×3 hermitskih matrik:

1 −i i 1

,

3 2 +i

2−i 2

,





1 1 +i 2i

1−i 5 −3

−2i −3 0



.

V nadaljevanju se bomo ukvarjali samo s kvadratnimi matrikami 2×2.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 13

2 Predstavitev kroˇ znic s hermitskimi matri- kami

Pri pisanju tega razdelka je uporabljen glavni vir [1].

2.1 Ena kroˇ znica

Vse toˇcke z = x+yi kompleksne ravnine, ki leˇzijo na kroˇznici z radijem ρ okoli srediˇsˇca γ =α+iβ, so natanko vse reˇsitve enaˇcbe

(x−α)²+ (y−β)² =ρ². Primer 1: x²+y² = 16.

Ta enaˇcba nam pove, da je srediˇsˇce kroˇznice v koordinatnem izhodiˇsˇcuA(0,0), radij pa je ρ= 4, glej Sliko 3.

Slika 3: Kroˇznica s srediˇsˇcem v koordinatnem izhodiˇsˇcu

Primer 2: (x−3)²+ (y−4)² = 9.

Srediˇsˇce kroˇznice je v A(3,4), radij kroˇznice je 3 ima tako premaknjeno srediˇsˇce, in sicer je srediˇsˇce v toˇckiA(3,4), glej Sliko 4.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 14

Slika 4: Kroˇznica s premaknjenim srediˇsˇcem

Enaˇcbo kroˇznice (x−α)²+ (y−β)² =ρ² zapiˇsimo v kompleksni notaciji s spremenljivkama z =x+yi in z =x−yi. Oznaˇcimo γ =α+βi. Enaˇcba kroˇznice s srediˇsˇcem γ in radijem ρ dobi najprej obliko |z−γ|² = ρ² in ko upoˇstevamo ˇse (z−γ)(z−γ) =|z−γ|² ter zmnoˇzimo, sledi

zz−γz−γz+γγ−ρ² = 0. (1) Za naˇse namene je priporoˇcljivo zaˇceti z bolj sploˇsno enaˇcbo

C(z, z) = Azz+Bz+Cz+D= 0, (2) kjer sta A inD realni, B inC pa konjugirani kompleksni ˇstevili.

Matrika

C=

A B

C D

(3) je tako hermitska matrika.

Enaˇcba (2) bo predstavljala kroˇznico (1), ˇce

A6= 0, B =−Aγ, C =−Aγ =B, D=A(γγ−ρ²). (4)

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 15 V nadaljevanju bomo pojem kroˇznice razˇsirili. Vsaki mnoˇzici toˇck, ki jo doloˇca enaˇcba (2) (razen za A=B =C= 0), bomo rekli ’kroˇznica’.

Vsaka hermitska matrika C je povezana z enaˇcbo (2).

Zatorej je oznakaC uporabljena tako za oznaˇcitev kroˇznice kot tudi pri- padajoˇce hermitske matrike. Dve hermitski matrikiCinC₁ predstavljata isto kroˇznico, ˇce in samo ˇce jeC₁ =λC, kjer jeλrealno, od 0 razliˇcno ˇstevilo. Da bi razlikovali med razliˇcnimi tipi ’kroˇznic’, vkljuˇcenih v tej definiciji, pred- stavljamo determinanto

∆ =|C|=AD−BC =AD− |B|², (5) oˇcitno realno ˇstevilo (AD je realno ˇstevilo, saj sta Ain Drealni ˇstevili, |B|² pa je prav tako realno ˇstevilo), ki se imenuje diskriminanta kroˇznice C.

Kroˇznici C, podani z enaˇcbama (2) in (4), bomo rekli navadna realna kroˇznica. Za tako kroˇznico je diskriminanta enaka

∆ =AA(γγ −ρ²)− |Aγ|² =−A²ρ². (6) Zdaj zlahka vidimo, da je kroˇznica C, podana z enaˇcbo (2), navadna realna kroˇznica, ˇce in samo ˇce je A 6= 0 in ∆< 0. Njeno srediˇsˇce γ in radij ρ lahko sedaj dobimo iz (4), (6) in kroˇznico oznaˇcimo z (γ, ρ). Dobimo

γ =−C

A, ρ² = −∆

A² . Ker je ∆<0, jeρ=

q−∆

A².

Realne kroˇznice so v R×R≈C, naˇse posploˇsene ’kroˇznice’ pa v C×C.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 16 Kroˇznica se izrodi v premico, ˇce je A = 0: izkaˇze se, da je to linearna enaˇcba in sta x iny realna koeficienta.

Azz+Bz+Cz+D= 0, A= 0 Bz +Cz+D= 0

(B+C)x+ (B−C)yi+D= 0 Enaˇcba premice je tako:

y= (B +C)

(C−B)ix+ D (C−B)i.

Smerni koeficient in zaˇcetna vrednost premice sta realna, ker je (B+C) re- alno ˇstevilo, (C−B) pa imaginarno.

Za vsakA6= 0 in ∆ = 0 kroˇznica postane toˇckovna kroˇznica: ρ= 0.

Primeri:

• Primer 1 – Realna kroˇznica (Slika 5):

2 2−3i

2 + 3i 3

, ∆ = AD− |B|² = 6−13 = −7.

Pogoja A6= 0 in ∆ <0 sta izpolnjena.

Zapiˇsimo enaˇcbo kroˇznice ter poiˇsˇcimo njeno srediˇsˇce (γ =α+βi) in radij (ρ) v karteziˇcnih koordinatah.

(x−α)² + (y−β)² =ρ² Azz+Bz+Cz+D= 0

2(x+yi)(x−yi) + (2−3i)(x+yi) + (2 + 3i)(x−yi) + 3 = 0 2x² + 2y²+ 2x+ 2yi−3xi+ 3y+ 2x−2yi+ 3xi+ 3y+ 3 = 0

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 17 2x²+ 2y² + 4x+ 6y+ 3 = 0

x²+y²+ 2x+ 3y+ ³₂ = 0 (x+ 1)²−1 + (y+³₂)²− ⁹₄ + ³₂ = 0

(x+ 1)² + (y+ ³₂)²−⁷₄ = 0 Enaˇcba kroˇznice:

(x+ 1)²+ (y+³₂)² = 7 4. Radij kroˇznice:

ρ² = ⁷₄ >0, ρ=

√ 7 2 . Srediˇsˇce kroˇznice:

γ =−1− ³₂i.

Ce uporabimo formuli (4) in (6), dobimo seveda isti rezultat zaˇ γ inρ.

Slika 5: Primer realne kroˇznice.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 18

• Primer 2 – Kroˇznica, izrojena v premico:

0 1 +i

1−i 2

, ∆ =AD− |B|² =−|B|² =−2.

Pogoja A= 0 in ∆ <0 sta izpolnjena.

Zapiˇsimo enaˇcbo kroˇznice oziroma premice.

Azz+Bz+Cz+D= 0 Bz +Cz+D= 0

(1 +i)(x+yi) + (1−i)(x−yi) + 2 = 0 x+xi+yi−y+x−xi−yi−y+ 2 = 0

2x−2y+ 2 = 0 x−y+ 1 = 0

Dobili smo linearno enaˇcbo in x,y sta realna koeficienta. Enaˇcba premice v karteziˇcnih koordinatah se glasi:

y=x+ 1.

Prikaz premice je na Sliki 6.

• Primer 3 – Toˇckovna kroˇznica:

1 2 +i

2−i 5

, ∆ =AD− |B|² = 5−5 = 0.

Pogoja A6= 0 in ∆ = 0 sta izpolnjena.

Zapiˇsimo enaˇcbo kroˇznice.

Azz+Bz+Cz+D= 0

x²+y²+ (2 +i)(x+yi) + (2−i)(x−yi) + 5 = 0

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 19

Slika 6: Primer kroˇznice, izrojene v premico.

x²+y²+ 2x+xi+ 2yi−y+ 2x−xi−2yi−y+ 5 = 0 x²+y²+ 4x−2y+ 5 = 0

x²+ 4x+y²−2y+ 5 = 0 (x+ 2)²−4 + (y−1)²−1 + 5 = 0

(x+ 2)²+ (y−1)² = 0 Dobili smo enaˇcbo kroˇznice z radijem 0:

(x+ 2)²+ (y−1)² = 0.

Radij kroˇznice:

ρ² = 0, ρ= 0.

Prepriˇcajmo se, da je radij 0, ˇse s pomoˇcjo diskriminante ∆:

∆ = −A²ρ²,0 =−1ρ², ρ² = 0, ρ= 0.

Srediˇsˇce kroˇznice:

γ =−2 +i.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 20 Kroˇznica s srediˇsˇcem γ in radijem ρ= 0 je toˇckovna kroˇznica, glej Sliko 7.

S(−2 +i,0).

Slika 7: Primer toˇckovne kroˇznice.

Vpeljemo ˇse’imaginarno kroˇznico’. To je kroˇznica z enaˇcbo (1) z ra- dijem ρ² <0. Ta kroˇznica je ˇse vedno lahko predstavljena s simbolom (γ, ρ) in kot v primeru realne kroˇznice,γ inρdobimo iz (4) in (6). Velja pa ∆ >0.

Imaginarna kroˇznica nima realnih toˇck, kar pomeni: nobena toˇcka ni pred- stavljena s kompleksnim ˇstevilom z =x+yi, kjer sta x in y realni ˇstevili.

• Primer 4 – Imaginarna kroˇznica:

Kot primer vzemimo ’imaginarno enotsko kroˇznico’

zz+ 1 = 0, C= 1 0

0 1

. (7)

Oˇcitno ta enaˇcba ne more biti reˇsena z obiˇcajnim kompleksnim ˇstevilom z. Vendar pa jo lahko zapiˇsemo v obliki x² +y² = −1 in ta enaˇcba je

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 21 reˇsljiva s ’toˇckami’ (x, y), kjer koordinatixiny nista obe realni ˇstevili, na primer: x= 0 in y=i.

• Primer 5 – Imaginarna kroˇznica:

5 i

−i 2

, ∆ =AD− |B|² = 10−1 = 9.

Pogoja A6= 0 in ∆>0 sta izpolnjena.

Zapiˇsimo enaˇcbo kroˇznice in poiˇsˇcimo njeno srediˇsˇce (γ) in radij (ρ) v karteziˇcnih koordinatah.

(x−α)² + (y−β)² =ρ² Azz+Bz+Cz+D= 0

5(x+yi)(x−yi) +i(x+yi) + (−i)(x−yi) + 2 = 0 5x²+ 5y²+xi−y−xi+y+ 2 = 0

5x²+ 5y² + 2 = 0 5x²+ 5y² =−2

x²+y² =−2 5 Enaˇcba kroˇznice:

x²+y² =−2 5. Kvadrat radija kroˇznice je negativen:

ρ² =−2 5 <0.

Srediˇsˇce kroˇznice je v koordinatnem izhodiˇsˇcu:

γ = 0 + 0i= 0.

Kroˇznica s srediˇsˇcem γ in radijem ρ:

S(0, q

−²₅).

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 22 Klasifikacija kroˇznic

A6= 0 : ∆<0 Realna kroˇznica ρ² >0

∆ = 0 Toˇckovna kroˇznica ρ² = 0

∆>0 Imaginarna kroˇznica ρ² <0.

A= 0 : Potem vedno drˇzi ∆ =−|B|² ≤0

∆<0 Premica

∆ = 0 Ni kroˇznice:B =C = 0.

Po (6) je

A=±1 ρ

p(−∆). (8)

Realna kroˇznica C je pozitivno orientirana, ˇce je A >0. V tem primeru bo

−C ista kroˇznica z negativno orientacijo. Orientacija usmerjene kroˇznice je lahko nakazana s puˇsˇcico na obsegu. Pozitivna orientacija ustreza gibanju na obsegu v nasprotni smeri urinega kazalca, puˇsˇcajoˇc notranjost kroˇznice na levi strani.

Idejo orientacije bi lahko posploˇsili do imaginarne kroˇznice, naˇcin usmeri- tve pa oznaˇcili s predznakom A.

2.2 Dve kroˇ znici

Naj C₁ inC₂ predstavljata dve razliˇcni kroˇznici; to pomeni, da dve hermitski matriki C1 in C2 nista linearno odvisni, tako ni realnega ˇstevila λ6= 0, da bi veljalo C₂ =λC₁. Sedaj obravnavamo druˇzino kroˇznic z enim parametrom

C=λ1C1+λ2C2, λ1, λ2 sta realna, ne oba 0.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 23 To se imenuje svinˇcnik kroˇznic. Diskriminanta tega svinˇcnika je po defini- ciji determinanta

|C|=

λ₁A₁+λ₂A₂ λ₁B₁+λ₂B₂ λ₁C₁+λ₂C₂ λ₁D₁+λ₂D₂

= ∆₁λ²₁+ 2∆₁₂λ₁λ₂+ ∆₂λ²₂, (9) to je kvadratna forma v realnih spremenljivkahλ₁ inλ₂ z realnimi koeficienti

∆₁ =|C₁|, ∆₂ =|C₂|, 2∆₁₂=A₁D₂+A₂D₁−B₁C₂−B₂C₁. (10) Naj bo sedaj A₁A₂ 6= 0. ˇCe sta C₁,C₂ kroˇznici, doloˇceni s srediˇsˇcema in radijema (γ₁, ρ₁),(γ₂, ρ₂), potem po (4) in (6)

∆₁ =−A²₁ρ²₁, ∆₂ =−A²₂ρ²₂, 2∆₁₂=A₁A₂(δ²−ρ²₁−ρ²₂), (11) kjer je

δ=|γ₁−γ₂| razdalja med njunima srediˇsˇcema.

Nadalje privzemimo, da sta C₁ in C₂ obe realni kroˇznici (A_j 6= 0,∆_j <0, j = 1,2) in da imata vsaj eno skupno realno toˇcko (glej Sliko 8). Pri teh kroˇznicah je orientacija s predznakom koeficientov A_j. Potem bo kot ω med tema dvema usmerjenima kroˇznicama C₁,C₂ definiran kot kot med tangen- tama na skupni toˇcki, vzeto v smeri, doloˇceni z orientacijo.

Ce je orientacija kroˇˇ znic v isti smeri urinega kazalca (kot je na primer na Sliki 8), potem za kot med tangentama vzamemo ostri kot. ˇCe se orientaciji kroˇznic ne ujemata, vzamemo topi kot.

Pri oznakah kot na Sliki 8, kjerωoznaˇcuje ostri kot, po kosinusnem izreku velja δ² = ρ²₁+ρ²₂ −2ρ₁ρ₂cosω. Ce pa bi zˇ ω oznaˇcili topi kot, bi se v tej enaˇcbi predznak zadnjega ˇclena spremenil.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 24

Slika 8: Realni kroˇznici s skupno realno toˇcko.

Ceˇ ω oznaˇcuje kot med tangentama, lahko zapiˇsemo

δ² =ρ²₁+ρ²₂∓2ρ₁ρ₂cosω, (12) kjer je predznak zadnjega ˇclena−, ˇce se orientaciji kroˇznic ujemata, sicer pa +.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 25

Zato je

2∆₁₂=A₁A₂(δ²−ρ²₁−ρ²₂) = ∓2A₁A₂ρ₁ρ₂cosω=∓2p

(−∆₁)p

(−∆₂) cosω, predznak je enoliˇcno doloˇcen z orientacijo teh dveh kroˇznic Cj in

cosω =∓ ∆₁₂

√−∆₁√

−∆₂ =± ∆₁₂

√∆₁√

∆₂. (13)

Velja:

−1≤cosω ≤+1 oziroma |cosω| ≤1. (14) Po (13) je to ekvivalentno z

∆₁∆₂−∆²₁₂ ≥0, (15)

saj:

|cosω| ≤1

∆₁₂

√∆₁√

∆₂

≤1

∆²₁₂

∆₁∆₂

≤1

∆²₁₂−∆₁∆₂ ≤0

∆₁∆₂−∆²₁₂ ≥0.

Ceˇ λ6= 0, lahko kvadratno formo (9) preoblikujemo v:

|C|= ∆₁λ²₁+ 2∆₁₂λ₁λ₂+ ∆₂λ²₂ = =λ²₂(∆₁(^λ_λ¹

2)²+ 2∆₁₂(^λ_λ¹

2) + ∆₂).

Ker je ∆₁ <0 (realna kroˇznica), bo|C|ne-negativna za (2∆₁₂)²−4∆₁∆₂ ≤0 oziroma ∆₁∆₂−∆²₁₂≥0, je kvadratna forma (9) ne-pozitivna za vse realne vrednosti λ₁, λ₂.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 26 Domnevajmo, da sta obe kroˇznici pozitivno orientirani. ˇCe je cosω= +1, potem je ω = 0 in zato δ² = (ρ₁ −ρ₂)², tako da se manjˇsa kroˇznica do- tika veˇcje z notranje strani. Podobno velja, ˇce je cosω = −1, potem je ω =π, δ=ρ₁+ρ₂, in se ti dve kroˇznici dotikata z zunanje strani.

Oˇcitno predstavlja desni ˇclen v (13) realno ˇstevilo za kateri koli par real- nih ali imaginarnih orientiranih (usmerjenih) kroˇznic. V primeru realnih kroˇznic C₁,C₂ bo tako. ˇCe kvadratna forma (9) zavzame tako pozitivne kot tudi negativne vrednosti za razliˇcna para λ₁, λ₂, to pomeni, ˇce

∆₁∆₂−∆²₁₂ <0; (16)

potem je ali

cosω >+1,

oznaˇcujoˇc, da je manjˇsa kroˇznica popolnoma vsebovana v veˇcji, ali cosω <−1,

v tem primeru kroˇznici leˇzita zunaj druga druge. To vidimo, ˇce (12) zapiˇsemo v obliki

(ρ₁∓ρ₂)²−δ² = 2ρ₁ρ₂(cosω∓1). (17) Dejansko cosω >1 pomeni |ρ₁−ρ₂|> δ in cosω <−1 podobnoρ₁+ρ₂ < δ.

Po (12) sta dve realni kroˇzniciC₁,C₂ pravokotni, to pomeni pravokotni druga na drugo, ˇce in samo ˇce

δ² =ρ²₁+ρ²₂. (18) Glede na (13) lahko idejo o pravokotnosti razˇsirimo. Za par kroˇznic, ne nujno realnih, vendar ne toˇckovnih kroˇznic (∆_j 6= 0, je = 1,2), reˇcemo, da

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 27 sta pravokotni, ˇce

∆₁₂= 0, (19)

kar je v primeru realnih kroˇznic ekvivalentno (18).

2.3 Svinˇ cniki kroˇ znic

Za dve kroˇznici C1,C2 reˇcemo, da sta generatorja svinˇcnika λ1C1+λ2C2. Kateri koli dve kroˇznici svinˇcnika lahko vzamemo za generatorja istega svinˇcnika.

Naj bosta

C₃ =µ₁C₁+µ₂C₂, C₄ =ν₁C₁+ν₂C₂, kjer µ_j, ν_j nista hkrati 0,j = 1,2,razliˇcni kroˇznici svinˇcnika.

Potem C3 inC4 generirata svinˇcnik

λ₃C₃+λ₄C₄ = (λ₃µ₁+λ₄ν₁)C₁ + (λ₃µ₂+λ₄ν₂)C₂,

kjer λ₃, λ₄ nista hkrati 0, ki sovpada s svinˇcnikom, ki ga generirata C₁ inC₂, ˇ

ce izraza λ₃µ₁ +λ₄ν₁ in λ₃µ₂+λ₄ν₂ nista hkrati 0.

Kdaj pa velja: λ₃µ₁+λ₄ν₁ = 0,in λ₃µ₂+λ₄ν₂ = 0?

Gre za sistem enaˇcb. ˇCe naj ima ta sistem netrivialno reˇsitev, mora biti determinanta sistema enaka 0.

µ₁ ν₁ µ₃ ν₂

=µ₁ν₂−µ₂ν₁ = 0.

To pa pomeni, da soµ₁, µ₂inν₁, ν₂ sorazmerni, kar pomeni, da kroˇzniciC₃,C₄ sovpadata in zato ne moreta tvoriti svinˇcnika.

Obstajajo trije razliˇcni tipi svinˇcnikov:

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 28 (i) Eliptiˇcni svinˇcnik

∆₁∆₂−∆²₁₂ >0 ali |cosω| < 1. Kvadratna forma (9) je oˇcitno nega- tivna: vse kroˇznice svinˇcnika so zato realne kroˇznice, ki potujejo skozi dve razliˇcni toˇcki z₁, z₂, skupni toˇcki C₁,C₂. Pravzaprav vse kroˇznice skozi ti dve toˇcki pripadajo svinˇcniku. Katera koli taka kroˇznica

C=

A B

C D

mora zadovoljiti dvema pogojema

C(z₁, z₁) =Az₁z₁+Bz₁+Cz₁+D= 0

C(z2, z2) = Az2z2+Bz2+Cz2+D= 0. (20) To je sistem dveh linearnih homogenih enaˇcb v A, B, C, D z matriko

z₁z₁ z₁ z₁ 1 z₂z₂ z₂ z₂ 1

,

ki ima rang 2, kerz₁ 6=z₂. Zatorej ima enaˇcba 4−2 = 2 linearni neod- visni reˇsitvi, kjer pa za komponente A, B, C, D ni treba, da so elementi hermitske matrike. Toda opazimo, da sta za kateri koli podani A in B vrednosti C in D enoliˇcno definirani, ker je determinanta njihovih koeficientov v (20) enaka

z₁ 1 z₂ 1

=z₁−z₂ 6= 0.

Ce jeˇ C=

A B

C D

reˇsitev sistema (20), potem je tudi C^H =

A C B D

reˇsitve sistema (20). ˇCe konjugiramo enaˇcbi v (20), dobimo enaˇcbi Az₁z₁+Bz₁+Cz₁+D= 0

Az₂z₂+Bz₂ +Cz₂+D= 0.

Ce zaˇ C vzamemo neko nehermitsko reˇsitev, potem bosta

C₁ =C+C^H, C₂ =i(C−C^H) (21) neodvisni hermitski reˇsitvi.

C=λ₁C₁+λ₂C₂, z realnimaλ₁, λ₂ (22) podajata najbolj sploˇsno hermitsko reˇsitev.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 29 (ii) Paraboliˇcni svinˇcnik

∆₁∆₂−∆²₁₂= 0 ali|cosω|= 1. Kvadratna forma (9) je popoln kvadrat z negativnim koeficientom:

−[p

(−∆₁)λ₁+p

(−∆₂)λ₂]²;

zato vsebuje svinˇcnik natanko eno realno toˇckovno kroˇznico:

λ₁ =p

(−∆₂), λ₂ =p

(−∆₁),

locirano na edino skupno toˇcko vseh kroˇznic svinˇcnika. Tu se dotikajo druga druge (ω= 0 ali π). Vse kroˇznice svinˇcnika so realne.

(iii) Hiperboliˇcni svinˇcnik

∆₁∆₂−∆²₁₂ < 0 ali |cosω| > 1. Kvadratna forma (9) je nedoloˇcena;

zato svinˇcnik vsebuje realne kroˇznice, imaginarne kroˇznice in dve razliˇcni toˇckovni kroˇznici. Dve kroˇznici hiperboliˇcnega svinˇcnika ne moreta imeti skupne toˇcke.

Trije tipi svinˇcnikov so prikazani na slikah 9 in 10.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 30

Slika 9: Pravokotna paraboliˇcna svinˇcnika.

2 PREDSTAVITEV KRO ˇZNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 31

Slika 10: Pravokotna svinˇcnika – rdeˇci eliptiˇcni in modri hiperboliˇcni.

3 INVERZIJA 32

3 Inverzija

Obravnavana vsebina tega razdelka je povzeta po glavnem viru [1], v pomoˇc pa sta bila tudi vira [2] in [4].

3.1 Definicija in osnovne lastnosti

Najprej se spomnimo klasiˇcne definicije inverzije.

Naj bo C(S, r) kroˇznica v ravnini. Inverzija I glede na to kroˇznico je preslikava I, I : R²\ {S} → R² \ {S}, T⁰ = I(T), ki poljubno toˇcko T (pri ˇ

cemerT ni srediˇsˇce kroˇznice inverzije) preslika v toˇckoT⁰, ki leˇzi na poltraku ST tako, da velja:

|ST| · |ST⁰|=r².

Kroˇznico C imenujemo kroˇznica inverzije, toˇcka S je srediˇsˇce inver- zije, r je polmer inverzije in r² moˇc inverzije.

Inverzija se od ostalih transformacij ravnin, ki jih poznamo (kot so na primer translacija, razteg, rotacija), razlikuje v tem, da lahko pri preslikavi zamenja kroˇznico in premico.

S pomoˇcjo naslednjega izreka bomo klasiˇcno definicijo inverzije razˇsirili za bolj sploˇsne kroˇznice.

Izrek 1 Naj bo C₀ kroˇznica (ne toˇckovna kroˇznica) in z toˇcka, niti ne na kroˇznici C₀ niti v njenem srediˇscu. Potem obstaja ena in edina toˇcka z^∗, ki je razliˇcna od z in je skupna vsem kroˇznicam skozi z, ki so pravokotne na C₀. Toˇcka z^∗ kot v Izreku 1 se imenuje inverz od z glede na kroˇznico C₀, ki je lahko realna, imaginarna ali premica.

Transformacija, ki slika z v z^∗, se imenuje inverzija glede na kroˇznico C₀.

3 INVERZIJA 33 Posebej definirajmo, da inverzija toˇcko z na kroˇznici preslika samo vase.

Inverzija jeinvolucijskatransformacija, to je transformacija, ki sovpada s svojim inverzom (ˇce tako transformacijo naredimo dvakrat, pridemo nazaj v zaˇcetno stanje); saj je po Izreku 1 toˇckaz hkrati tudi inverz z^∗.

Ce jeˇ C₀ realna kroˇznica (γ₀, ρ₀), je premica skozi γ₀ in z pravkotna na kroˇznico C₀. Zato mora z^∗ leˇzati na tej premici in bo doloˇcena s ˇse eno pravokotno kroˇznico.

Oglejmo si primer:

Naj bo C₀ enotska kroˇznica zz −1 = 0, C₀ =

1 0 0 −1

in naj bo z = x realen (x 6= 0, x 6= ±1). Potem je z^∗ = _x¹. Srediˇsˇca vseh kroˇznic C skozi x in 1/x imajo zato absciso α = ¹₂(x+ ¹_x). Od tod sledi tudi: 2xα = x²+ 1.

Ce jeˇ ρ radij kroˇznice C, po Pitagorovem izreku velja β² = ρ²−(α−x)² = ρ² −α² − x² + 2αx = ρ² −α² + 1 (glej Sliko 11). Kvadrat razdalje med srediˇsˇcema kroˇznic C in C₀ (δ²) je enak

δ² =α²+β² =ρ² + 1.

Kar po (18) pomeni, da sta kroˇznici C inC₀ pravokotni.

Obratno: Naj gre kroˇznica C, podana z enaˇcbo Azz +Bz +Cz +D = 0, pravokotna naC₀, skozi toˇckox₁. Po (10) in (19) dobimo za pravokotni pogoj 0 = ∆12 = A−D . ˇCe je x1 en koren enaˇcbe Ax²+ (B +C)x+A = 0, je drugi koren x₂ = _x¹

1, saj velja A

1 x1

2

+ (B+C) 1 x1

+A= 1

x1

2

(Ax²₁ + (B+C)x₁+A) = 0.

KroˇznicaC gre torej tudi skozi _x¹

1.

3 INVERZIJA 34

Slika 11: Primer, kjer je C₀ enotska kroˇznica in sta C in C₀ pravokotni kroˇznici.

Dokaz Izreka 1 Naj bo C₀ =

A₀ B₀ C₀ D₀

hermitska matrika kroˇznice inverzije. Vzemimo sedaj z, ki ni v srediˇsˇcu kroˇznice, torej velja z 6=−C₀/A₀.

Doloˇciti moramo vse kroˇzniceC=

A B

C D

, ki gredo skozizin so pravokotne na C₀, in pokazati, da gredo vse skozi doloˇceno toˇcko z^∗. Tako dobimo tri

3 INVERZIJA 35 linearne homogene enaˇcbe v ˇstirih neznankah A, B, C, D:

C(z, z) = Azz+Bz +Cz+D = 0 : z ∈C

∆₀₁ =AD₀−BC₀−CB₀+DA₀ = 0 : C⊥C₀ C(z^∗, z^∗) = Az^∗z^∗+Bz^∗+Cz^∗+D = 0 : z^∗ ∈C.

(23) Te imajo vedno ne-niˇcelne reˇsitve. Obratno pa posamezna linearna neodvisna hermitska reˇsitev C utreza posamezni pravokotni kroˇznici C skozi z inz^∗. Z namenom, da bi dobili dvo-parametsko druˇzino reˇsitev, moramo najti z^∗ tako, da ima matrika treh enaˇcb (23), to je





zz z z 1

D₀ −C₀ −B₀ A₀ z^∗z^∗ z^∗ z^∗ 1



 (24) rang 2.

Opazimo, da matriki (ne nujno hermitski) C⁽¹⁾ =

1 −z

−z^∗ z^∗z

, C⁽²⁾ =

1 −z^∗

−z zz^∗

=C^H (25)

reˇsita prvo in tretjo enaˇcbo v (23). Reˇsiti pa morata tudi drugo enaˇcbo v (23), zato mora veljati:

A₀z^∗z+B₀z^∗+C₀z+D₀ =C₀(z^∗, z) = 0, (26) kjer je z^∗ enoliˇcno definirana kot funkcija od z:

z^∗ =−C₀z+D₀

A₀z+B₀. (27)

S tem se dokaz zakljuˇci.

Ce toˇˇ ckaz leˇzi na C₀, velja enaˇcba C₀(z, z) =A₀zz+B₀z+C₀z+D₀ = 0 in ves razmislek v dokazu ostane v veljavi. Ob upoˇstevanju (26) dobimo

(z−z^∗)(A₀z+B₀) = 0.

3 INVERZIJA 36 Ker z 6= −C₀/A₀, potem A₀z +B₀ = A₀z+C₀ 6= 0 ter nadalje sledi, da z^∗ = z. Zato je vsaka toˇcka, ki leˇzi na kroˇznici inverzije C₀, svoj lasten in- verz. Te toˇcke imenujemo negibnetoˇcke inverzije.

Za kroˇznico C₀ se je do sedaj predvidelo, da ni toˇckovna kroˇznica; zato je determinanta |C₀| 6= 0. ˇCe je determinanta |C₀| = 0 (in A 6= 0), da je C₀ toˇckovna kroˇznica, potem

D₀ = B₀C₀ A₀ . Zatorej je po (27)

z^∗ =−C0

A₀ = konst.

neodvisna od z. To pomeni, da transformacija slika vsako toˇcko z v eno in isto toˇcko z^∗; zato ne more biti obrnljiva.

Inverzija (27) se imenuje tudi simetrija glede na kroˇznico inverzije C₀ in za z in z^∗ reˇcemo, da sta simetriˇcni glede na C0. Enaˇcba (26) definira si- metrijo med dvema toˇckama, z, z^∗; iz enaˇcbe C₀(z, z) = 0 kroˇznice inverzije C0 je dobljena s formalno nadomestitvijoz zz^∗ in puˇsˇcajoˇc z nespremenjen.

Ce zapiˇsemo enaˇˇ cbo kroˇznice inverzije v obliki (z−γ₀)(z−γ₀) = ρ²₀ lahko izpeljemo

z^∗ = ^−(C_A ^0z+D)

0z+B0 = ^{−A0C0z−A0D0+B0C0−B0C0}

A²₀(z+^B_A⁰

0) =

= ^(B0_A^C2^0−A0D0)

0(z−γ) +^{C0(−A0z−B0)}

A²₀(z+^B_A⁰

0) = _A2^−∆

0(z−γ)− ^C_A⁰

0 =γ₀+ _z−γ^ρ20

0. z^∗ =γ₀+ ρ²₀

z−γ₀. (28)

Ta definicija se seveda ujema s klasiˇcno definicijo, ki smo jo podali na zaˇcetku, saj je:

|z−γ₀||z−γ₀|=|z−γ₀|

ρ²₀ z−γ₀

=ρ²₀.

3 INVERZIJA 37 Ce jeˇ C₀ realna (ρ² >0), se inverzija imenuje hiperboliˇcna.

Z realno kroˇznico C₀(γ₀, ρ₀) se povezuje imaginarna kroˇznica (γ₀, iρ₀).

Glede na to kroˇznico je inverzna toˇcka z∗ od z dana z

z∗ =γ₀− ρ²₀

z−γ₀. (29)

To je eliptiˇcna inverzija.

Eliptiˇcno inverzijo dobimo lahko tudi kot kompozitum hiperboliˇcne inver- zije in preslikave:

z_∗ = 2γ₀−z^∗. (30)

Primera:

• Primer 1: Dana je realna kroˇznicaC=

1 −2

−2 0

.

Poiˇsˇcimo sliko te kroˇznice, ki jo dobimo z inverzijo glede na enotsko kroˇznico |z|² =zz−1 = 0 oziroma C₀ =

1 0 0 −1

. Po (28) inverzija preslika z v ¹_z.

Naˇsa kroˇznica: C(z, z) =zz−2z−2z = 0, z =x+yi.

Kroˇznica ima srediˇsˇce v ρ = q−∆

A = 2 in polmer γ = −^C_A = 2. Gre skozi koordinatno izhodiˇsˇce in srediˇsˇce enotske kroˇznice, ki je kroˇznica inverzije.

Zgornja enaˇcba se pri inverziji transformira v (glej Sliko 12):

1

z(¹_z)−2¹_z −2(¹_z) = 0

1 z 1

z −2¹_z −2¹_z = 0 1−2z−2z = 0

3 INVERZIJA 38 1−2x−2yi−2x+ 2yi= 0

4x= 1

premico, vzporedno z osjo y in z enaˇcbo x= ¹₄.

Slika 12: Inverzija realne kroˇznice C v premicox= ¹₄.

• Primer 2: Dana je kroˇznica, ki je izrojena v premicoC=

1 1 +i 1−i 2

. Enaˇcba naˇse premice je: y=x+ 1.

Poiˇsˇcimo sliko te premice, ki jo dobimo z inverzijo glede na enotsko kroˇznico |z|² =zz−1 = 0 oziroma C0 =

1 0 0 −1

. Po (28) inverzija preslika z v ¹_z.

Enaˇcba naˇse premice oz. kroˇznice, izrojene v premico:

C(z, z) = (1 +i)z+ (1−i)z+ 2 = 0, z =x+yi.

3 INVERZIJA 39

Zgornja enaˇcba se pri inverziji transformira v (glej Sliko 13):

(1 +i)¹_z + (1−i)(¹_z) + 2 = 0 (1 +i)z+ (1−i)z+ 2zz = 0

(1 +i)(x+yi) + (1−i)(x−yi) + 2(x+yi)(x−yi) = 0 x²+x+y²−y= 0

(x+¹₂)²− ¹₄ + (y−¹₂)²− ¹₄ = 0

kroˇznico z enaˇcbo: (x+¹₂)²+ (y−¹₂)² =−¹₂, s srediˇsˇcem vγ =−¹₂+¹₂i in polmerom ρ=

q1 2.

3.2 Ostale lastnosti inverzije in primeri

Vsaka toˇcka v ravnini, razen srediˇsˇca z = γ₀ = −C₀/A₀ kroˇznice inverzije, se preslika z inverzijo v doloˇceno toˇcko z^∗, doloˇceno z (27) ali (28). Naj bo z^∗ = f(z) ta relacija. Z namenom, da bi inverzija slikala celotno rav- nino samo vase, je potrebno dopolniti obiˇcajno ravnino kompleksnih ˇstevih z dodajanjem nadaljnjega elementa, ki se imenuje toˇcka neskonˇcnosti in je predstavljena s simbolom∞. Zato dopolnimo definicijo inverzije s predpisom

f(γ₀) =∞. (31)

Ker je inverzija involucija, to je, f(z^∗) = z, bi bilo naravno postaviti

f(∞) =γ₀, (32)

po kateri je inverzija z^∗ =f(z) bijekcija ’dopolnjene ravnine’C∪ {∞}vase.

Iz (27) ali (28) izhaja lim

z→γ0

f(z) = ∞, lim

z→∞f(z) = γ₀, ki glede na (31) in (32) pomeni zveznost inverzije v srediˇsˇcu γ₀ in v∞.

3 INVERZIJA 40

Slika 13: Inverzija premice y=x+ 1 v kroˇznico C^∗.

Za transformacijo Z = φ(z) z-ravnine v Z-ravnino (za katero se lahko smatra, da se pokriva z z-ravnino, z ujemajoˇcimi koordinatnimi sistemi in enakimi merili na oseh) reˇcemo, da je izogonalna v toˇckiz₀, ˇce preslika kateri koli dve krivulji, da se sekata v z0 in oklepata kot¹ ω, v dve krivulji, ki se sekata pod kotom Ω = ±ω v Z₀ =φ(z₀). Transformacija se imenuje konfor- mna v z0, ˇce Ω =ω.

1Kot med dvema krivuljama v toˇcki preseka je, po definiciji, kot njunih tangent v tej toˇcki.

3 INVERZIJA 41

Dokazali bomo naslednja dva izreka.

Izrek 2 Vsaka inverzija slika kroˇznice v kroˇznice, realne kroˇznice (vkljuˇcujoˇc premice) v realne kroˇznice, imaginarne kroˇznice v imaginarne kroˇznice.

Izrek 3 Inverzija je izogonalna transformacija, ki kota med krivuljema slika v negativni kot:

ω^∗ =−ω.

Dovolj bo, da dokaˇzemo te izjave le za primer hiperboliˇcne inverzije. Zares je oˇcitno, da z∗ = 2γ₀−z^∗ (30) preslika kroˇznice v kroˇznice in je konformna transformacija. ˇCe komponiramo kroˇznico-ohranjajoˇco izogonalno preslikavo s tako simetrijo (30), bo rezultat ˇse ena kroˇznico-ohranjajoˇca izogonalna pre- slikava.

Dokaz Izreka 2

Naj bo kroˇznica inverzijeC₀ prava realna kroˇznica (|C₀|<0, A₀ 6= 0). Zaradi geometriˇcne definicije inverzije (osnovane na Izreku 1) njene geometriˇcne la- stnosti niso odvisne od poloˇzaja C₀ v ravnini ali dimenzije radija ρ₀. Zato izberimo γ0 = 0, ρ0 = 1. Po (28) je inverzija podana z z^∗ = ¹_z. Naj bo C katerakoli kroˇznica. Njena slika z inverzijo je dobljena z zamenjavoz = _z¹∗ v (2). Po mnoˇzenju s pozitivnim faktorjemz^∗z^∗ dobimo enaˇcbo

z^∗z^∗C(1 z^∗, 1

z^∗) =Dz^∗z^∗+Bz^∗+Cz^∗+A = 0. (33) To je enaˇcba slike kroˇznice C^∗₀ =

D B

C A

. Njena diskriminanta je ∆^∗ = ∆, zatorej je C^∗ realna, ˇce jeC realna; in imaginarna, ˇce jeC imaginarna.

Opomba. Kroˇznica C, ki gre skozi srediˇsˇceγ₀ kroˇznice inverzije (γ₀ = 0 v dokazu), se bo preslikala z inverzijo v kroˇznico, ki bo potovala skozi toˇcko∞, to je premico. V resnici nobena realna kroˇznica ne vsebuje∞. Algebraiˇcno