VPLIV LASTNOSTI TEKOČINE IN CEVI NA PRETAKANJE SKOZI NATEGO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

Drugostopenjski magistrski študijski program Poučevanje Poučevanje na predmetni stopnji

Primož Susman

VPLIV LASTNOSTI TEKOČINE IN CEVI NA PRETAKANJE SKOZI NATEGO

Magistrsko delo

Ljubljana, 2018

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

Drugostopenjski magistrski študijski program Poučevanje Poučevanje na predmetni stopnji

Primož Susman

VPLIV LASTNOSTI TEKOČINE IN CEVI NA PRETAKANJE SKOZI NATEGO

Magistrsko delo

Mentor: prof. dr. Mojca Čepič

Ljubljana, 2018

ZAHVALA

Iskreno se zahvaljujem svoji mentorici prof. dr. Mojci Čepič, ki me je tekom študija usmerjala in me vedno znova navduševala nad fiziko. Prav tako mi je svetovala in me usmerjala pri izdelavi magistrskega dela.

Posebna zahvala gre podjetju Beta inštrukcije, v katerem so s svojo pripravljenostjo in prizadevnostjo pripomogli k moji osebni rasti, strokovni podkovanosti in delu z učenci. Prav oni so razlog za moje ohranjanje navdušenosti nad poučevanjem.

Rad bi se zahvalil tudi svoji družini in prijateljem, ki so mi stali ob strani in mi kazali pot, ko je sam nisem videl.

Posebna zahvala gre tudi vsem sošolcem in sošolkam, ki so mi tekom študija na tak ali drugačen način pomagali in s tem pripomogli k njegovem uspešnem zaključku.

POVZETEK

Magistrsko delo opisuje natego in razjasni določene pojme v povezavi s pretakanjem tekočine. Podrobno so predstavljene meritve za pretakanje različnih tekočin z natego.

Teoretično ozadje delovanja natege se v različnih opisih delno razlikuje. Zapišemo lahko, da delovanje natege temelji na razliki tlakov zaradi gravitacijskega privlaka. Podrobno sta opisani dve vrsti pretoka, in sicer laminaren ter turbulenten pretok. Podrobno je opisan Reynoldsov poizkus za določanje vrste pretoka in Reynoldsovo število, ki predstavlja kriterij za določitev teh dveh tokov.

Magistrsko delo temelji na meritvah, ki so predstavljene v drugem delu. Izvedene so bile za različne tekočine (voda in sirup) ter za cevi okrogle oblike različnih premerov.

Ključne besede:

Kontinuitetna enačba, Bernoullijeva enačba, sesalna natega, laminaren tok, turbulenten tok, Reynoldsovo število

ABSTRACT

This thesis describes the principles of siphon and elaborates the specific concepts related to the flow of fluids. Measurements of the siphon flow for different liquids and different height differences are presented in detail.

The theoretical background describing the siphon mechanism differs slightly in the

literature. Generally, the siphon is based on the pressure difference due to the gravitational attraction. In this thesis, two types of flow are described in detail: the laminar flow and the turbulent flow. Furthermore, we provide the detailed description of the Reynold's

experiment and the Reynold's number, which is the criterion for determining if the flow is laminar or turbulent.

The thesis is based on the measurements presented in the second part. Measurements were carried out for various liquids (water and syrup) and with pipes of different diameters.

Key words:

Continuity equation, Bernoulli equation, siphon, laminar flow, turbulent flow, Reynolds number

KAZALO

I UVOD ... 1

1 Hidrodinamika ... 1

1.1 Zakon o ohranitvi mase oz. kontinuitetna enačba ... 2

1.2 Bernoullijeva enačba ... 3

2 Hidravlična oziroma sesalna natega ... 5

3 Gibanje tekočin ... 9

3.1 Laminarni tok ... 12

3.2 Turbulentni tok ... 16

II MERITVE ... 18

1 Postavitev eksperimenta ... 18

2 Predstavitev meritev ... 20

2.1 Premer cevi 2 mm... 20

2.2 Premer cevi 3 mm... 25

2.3 Premer cevi 6 mm... 28

2.4 Premer cevi 8 mm... 31

2.5 Premer cevi 6 mm in sirup ... 33

2.6 Premer cevi 8 mm in sirup ... 39

III ZAKLJUČEK ... 41

IV Priloge ... 42

V Viri in literatura ... 48

1 I UVOD

1 Hidrodinamika

Hidrodinamika obravnava zakone pri gibanju tekočine, pri čemer vsako gibanje tekočine imenujemo pretakanje. Tokovnice so tiri, po katerih se gibljejo molekule tekočine. Gostejše tokovnice pomenijo hitrejši tok. Tokovna cev je sestavljena iz več tokovnic (Slika 1).

Slika 1: Tokovnice in tokovna cev [15]

Vse tekočine tečejo zaradi razlike tlakov. Tako lahko ločimo dve vrsti vzrokov za razliko tlakov, in sicer gravitacijsko ter prisilno. O gravitacijskem pretakanju govorimo, kadar razliko tlakov povzroča teža, na primer hidravlična natega, kanalizacijski vodovodi ... Prisilno

pretakanje pa umetno povzroča razliko tlakov v tekočini zaradi črpalke, na primer pretakanje vode v vodovodni mreži.

Temeljni zakoni, ki jih moramo upoštevati, kadar se soočamo s hidrodinamičnimi problemi, so:

- zakon o ohranitvi mase, znan tudi kot kontinuitetna enačba v hidromehaniki;

- zakon o ohranitvi energije, ki ga opiše Bernoullijeva enačba za idealno tekočino;

- zakon o spremembi gibalne količine [1].

2 1.1 Zakon o ohranitvi mase oz. kontinuitetna enačba

Za lažje razumevanje nadaljnje vsebine ponovimo znanje o prostorninskem (volumskem) pretoku. Prostorninski pretok je količina, ki pove, kolikšna prostornina tekočine v časovni enoti preteče skozi opazovan presek. Izračunamo ga kot produkt preseka cevi S in srednje pretočne hitrosti v_sr.

v sr

V S v

   t (1)

Predpostavimo, da v tokovno cev tekočina ne priteka ali odteka iz nje skozi stransko steno.

Opazujmo pretakanje kapljevine skozi točki 1 in 2 (Slika 2). Pri tem upoštevamo, da je v točki 1 pretočna hitrost enaka v₁ ter presek S₁, v točki 2 pa v₂ in S₂.

Slika 2: Tokovna cev [15]

Ob času t priteče skozi presek 1 prostornina kapljevine V1    S v1 1 t v prostor med presekoma 1 in 2. Skozi presek 2 izteče prostornina V2 S v2  2 t. Zaradi nestisljivosti kapljevine sta obe prostornini enaki in zato velja:

1 2

V V  S v1   1 t S2  v2 t. (2) Ker je čas opazovanja v obeh presekih enak, zapišemo naslednje:

1 2

1 1 2 2 v v

S v S v     konst. (3) To je kontinuitetna enačba, ki pravi, da pri stacionarnem pretakanju kapljevine preteče v vsakem trenutku skozi vsak presek tokovne cevi enaka prostornina tekočine (enak prostorninski pretok) [1, 3, 4].

3 1.2 Bernoullijeva enačba

Skozi cev se pretaka idealna tekočina (to pomeni, da je to nestisljiva tekočina z viskoznostjo nič). Prav tako predpostavimo, da je tok znotraj cevi stacionaren.

Za lažje razumevanje si pomagajmo s sliko 3, ki prikazuje nagnjeno cev z različnima presekoma.

Slika 3: Nagnjena cev dveh različnih presekov [16]

Na levi strani cevi pritisnemo na bat preseka S1s silo F. S tem smo ustvarili tlak p1, ki ga izračunamo z enačbo:

1 1

p F

 S . (4)

Sila povzroči, da se bat in tekočina pod batom premakneta s hitrostjo v₁ za X . Težišči opazovanih delov tekočine sta označeni s h₁ in h₂.

Za enak volumen se premakne tudi tekočina v spodnjem, ožjem delu cevi, saj velja kontinuitetna enačba (enačba (3)).

Iz energijske enačbe vemo, da je delo tlaka enako spremembi energij, v našem primeru spremembi kinetične in potencialne energije.

4

tlaka k p

A  W  W (5)

2 1 2 2

1 2 k k p p

F  X F  X W W W W (6)

oziroma

2 1 2 2

1 2 k k p p

p  V p  V W W W W , (7)

kjer je    V S₁ X₁S₂ X₂.

Člene z indeksom 1 prestavimo na levo stran enačbe, člene z indeksom 2 pa na drugo stran.

Upoštevamo še, da je kinetična energija enaka

2 k 2

W   m v in potencialna energija enaka

Wp    m g h, kjer je m masa tekočine znotraj volumna V. Enačbo sedaj zapišemo kot:

2 2

1 2

1 1 2 2

2 2

m v m v

p   V       m g h p   V      m g h . (8) Če delimo levo in desno stran enačbe z V ter upoštevamo, da je gostota tekočine

nespremenljiva in podana z enačbo m

 ^V

 , dobimo:

2 2

1 2

1 1 2 2

2 2

v v

p ^     g h p  ^    g h . (9) V enačbi označuje p tlak,

2

2

v

je gostota kinetične energije in  g h gostota potencialne energije. To enačbo imenujemo Bernoullijeva enačba.

Bernoullijeva enačba, če jo opišemo z besedami, nam torej pove, da je v idealni tekočine vsota tlaka, gostote kinetične energije in gostote potencialne energije znotraj tokovne cevi in vzdolž tokovnice konstantna [4, 5].

5 2 Hidravlična oziroma sesalna natega

Hidravlična natega je krajši cevovod, ki povezuje dve posodi. Pri tem je potrebno zagotoviti, da sta gladini tekočine v posodah na različnih višinah, cevovod pa se dviga nad višjo gladino.

Izstopna odprtina cevovoda mora biti pod gladino iztekajoče se tekočine (Slika 4).

Slika 4: Natega [7]

Natega se uporablja za prečrpavanje tekočin iz rezervoarjev, pri pretakanju vina iz sodov v manjše posode, pri prečrpavanju bencina iz avtomobilskega rezervoarja ipd.

Sedaj, ko poznamo njeno uporabo, se pojavi vprašanje, kako natega deluje. V nadaljevanju magistrskega dela predstavljamo delovanje natege.

V članku The siphon (1971) je delovanje natege povzeto po slovarjih, v katerih večina razloge za delovanje le-te pripisuje hidrodinamiki, zračni tlak pa je naveden kot nujen pogoj za delovanje. Nekaj strokovnjakov v svojih delih trdi, da je kohezija tekočine (medsebojno delovanje molekul tekočine [1]) bolj pomembna kot zračni tlak in je kot taka bistvenega pomena za delovanje.

Natega deluje tudi v vakuumu. Tekočina bo tekla skoznjo, če bo gravitacijska sila, ki deluje na tekočino med predelom D in F (slika 4), večja od gravitacijske sile, ki deluje na odseku cevi B in C. Stolpec pretakajoče se tekočine ostaja skozi cev nepretrgan zaradi kohezijskih sil (kohezija je medsebojno delovanje molekul tekočine [1]). Zunanji tlak stisne obravnavani stolpec in tako zmanjša možnost pretrganja. Predstavljajmo si, da cev napolnimo s tekočino, en konec zapremo, drugega pa potopimo v enako tekočino. Nato oblikujemo natego, kot kaže slika 4. Takoj ko odmašimo cev v točki F, je tlak tam večji za  g h. Tekočina pospeši iz

6

cevi in hitrost iztekanja narašča, vse dokler ni tlak p_F (tlak v točki F) enak normalnemu zračnemu tlaku p₀. Zato da velja kontinuitetna enačba, predpostavimo, da tekočina teče s hitrostjo v in da je posoda širša, kot je presek cevi. Imenujmo p_s tlak v točki, ki je na vodoravnem nivoju z A, tik pred odprtino. Potem je tlak v točki A ravno v notranjosti cevi

enak 1 ²

s 2

p    v . Razlika tlakov na vhodu cevi ohranja pretok tekočine po cevi [7]. To bi veljalo, če v vakuumu tekočina ne bi zavrela, ker bi bil zunanji tlak manjši od parnega.

V knjigi Hidromehanika (Stropnik, 1999) je zapisano, da pretakanje tekočin iz višje ležeče posode v nižjo ležečo posodo omogoča razlika višin gladin H . V točki C je podtlak, saj leži višje, kot je gladina posode A. Pri podtlaku smo omejeni z zračnim tlakom p₀, zato je pri nategi pomembna višina H₁(slika 5). Tlak namreč ne sme biti manjši od parnega tlaka tekočine pri temperaturi, pri kateri pretakamo.

Slika 5: Hidravlična oz. sesalna natega [1]

Za točki 1 in 2 ter za točki 1 in 3 zapišemo Bernoullijevo enačbo, pri čemer upoštevamo absolutne tlake v tekočini:

2 2

0 1 3 3

0 2 2

p v p v

g g H g g

 

     

    in (10)

7

2 2

0 1 2 2

0 1

2 2

p v p v

g g H g g

 

    

    . (11)

V zapisanih enačbah (enačbi (10) in (11)) je hitrost v₁ hitrost spreminjanja gladine v posodi in je zanemarljiva v primerjavi s hitrostjo pretakanja tekočine po cevi, kar označuje hitrost v₂. Iz enačbe (10) izračunamo tlak v točki 2:

2 2

2 0 ( 1 )

2

p  p   g H v . (12)

Iz enačbe (12) lahko izračunamo največjo teoretično višino H_1MAX, pri čemer upoštevamo, da je, gledano teoretično, lahko parni tlak p₂ najmanj nič. Tako dobimo:

2

0 2

1^MAX 2

p v

H ^ g^ g . (13)

Kot zanimivost naj povemo, da je parni tlak za vodo pri 0C 6,1 mbar, pri temperaturi 20C pa 23,4 mbar [14].

Kadar je pri nategi presek uporabljene cevi konstanten, je stalna tudi pretočna hitrost,

2 3 .

v v  v konst To hitrost lahko za idealno tekočino izračunamo iz enačbe (11), pri čemer upoštevamo še, da je v₁0 in p₃  p₀. Tako dobimo:

3 2 2

v  v  g H . (14)

Z upoštevanjem enačbe (14) je največja višina ₁

HMAX naslednja:

0 1

( )

MAX

p p Ts

H H

 g

  

 , (15)

kjer je p T_s( ) parni tlak, ki je odvisen od temperature. To pomeni, da je, gledano teoretično, lahko največja višina cevovoda nekaj manj kot 10 m, praktično pa veliko manj.

V članku A practial example of a siphon at work (2010) je zapisano, da padajoča voda na eni strani vleče vodo na drugi strani navzgor. To si lahko lažje predstavljamo z ekvivalentim eksperimentom. Stolpec vode v cevi deluje kot veriga, sestavljena iz molekul vode (slika 6).

Če je konec verige na desni strani nižje kot na levi strani, bo teža daljšega dela verige povzročila premikanje verige. Na podoben način deluje natega.

8

Slika 6: Veriga kot razlaga delovanja natege [11]

Ta model sicer dobro ilustrira enačbe, a je v verigi natezni tlak lahko bodisi pozitiven (raztezek) bodisi negativen (skrček), v tekočini pa je tlak vedno pozitiven.

9 3 Gibanje tekočin

Kadar se tirnica delov premikajoče se vode in tokovnica ujemata (se v času ne spreminjata), govorimo o stacionarnem toku. Vzrok za poimenovanje in samo ime stacionaren namreč pomeni, da se tok ne spreminja. To pomeni, da se hitrost delcev (v vsakem opazovanem trenutku) vzdolž toka s časom ne spreminja. Da je to doseženo, morata biti izpolnjena dva pogoja, in sicer:

 volumski pretok mora biti konstanten (enačba (3)) in

 tekočina se ne sme vrtinčiti. [5]

Če sta zgornja pogoja izpolnjena, govorimo o laminarnem toku. Kadar se tekočina vrtinči, pa govorimo o turbulentnem toku. Več o tem v naslednjem poglavju.

Slika 7: Laminarni in turbulentni tok [19]

Razlog paraboličnega hitrostnega profila, ki ga vidimo na sliki 7 (levo), je sila trenja med plastmi tekočine, ki se gibljejo z različno hitrostjo. Ta sila je odvisna od hrapavosti površine sten in od trenja med različnimi plastmi molekul tekočine. Trenje v tekočini imenujemo viskoznost. Ker ob steni cevi tekočina miruje, se v cevi vzpostavi parabolični hitrostni profil.

Zaradi viskoznosti se hitrost od stene proti sredini cevi spreminja zvezno.

Pojavi se vprašanje, kako pri pretakanju tekočine ugotoviti, ali je tok laminaren ali turbulenten? Na zastavljeno vprašanje je leta 1883 odgovoril Osborne Reynolds. Po opazovanjih številnih poizkusov je ugotovil, da obstaja kriterij za določanje vrste toka tekočine [2, 10]. Njegov poizkus je prikazan na sliki 8.

10

Slika 8: Osborne Reynolds pri poizkusu [20]

V cevovod je vgradil kapilarno cev K, ki je povezana s posodo P, pri čemer ventil V₁ služi za regulacijo iztekanja obarvane tekočine. Konec kapilarne cevi se nahaja v cevi s premerom D. Na koncu te cevi je ventil V₂, ki služi za spreminjanje pretoka in s tem pretočne hitrosti v (slika 9).

Slika 9: Shema Reynoldsovega poizkusa [1]

Ugotovil je, da se sled obarvane tekočine pri majhnih pretočnih hitrostih ne meša s sosednjimi tokovnicami. Tekočina torej potuje gladko in se ne vrtinči. Takšen pretok je imenoval laminaren.

Ob postopnem večanju pretočne hitrosti se je pri določeni pretočni hitrosti barva razlila in obarvala vso kapljevino v cevi. V tekočini je opazil krajevno in časovno spreminjanje toka, zato ga je imenoval turbulenten. Pri zmanjšanju hitrosti tekočine je zopet prešel nazaj v laminarni tok. Ugotovil je, da je prehod iz ene vrste toka v drugega vselej enak in se pojavi pri približno enaki pretočni hitrosti, zato to hitrost imenujemo tudi kritična hitrost v_k[1].

11

Na osnovi opazovanj je ugotovil, da je kritična hitrost premo sorazmerna z viskoznostjo  tekočine in obratno sorazmerna s pretočnim premerom D. Zapišemo lahko naslednjo enačbo:

vk k D



  

 . (16)

Koeficient k je število brez enote in je enak za vse tekočine in za vse premere D. Rezultati so pokazali, da je vrednost koeficienta k2320 . To število imenujemo tudi kritično Reynoldsovo število [1].

Reynoldsovo število se uporablja kot kriterij, s katerim lahko napovemo, ali bo tok tekočine laminaren ali turbulenten. Za cevi ga izračunamo na naslednji način:

2 _t

e

R r v 



   , (17)

kjer je 2r premer cevi, v_t je hitrost iztekanja,  je gostota tekočine in  je njena viskoznost.

Mnenje o tem, katero Reynoldsovo število je meja med laminarnim in turbulentnim tokom, se v različnih virih razlikuje. V knjigi Hidrodinamika (Stropnik, 1999) je zapisano, da je tok laminaren, če je R_e2320, če pa je R_e2320, je tok turbulenten. V knjigi Fizika je zapisano, da je v gladkih ceveh tok laminaren, če je Reynoldsovo število manjše od 2300 [9].

Na internetu smo v enem izmed člankov zasledili podatek, da je tok laminaren, kadar je Reynoldsovo število manjše od 2300. Kadar je Reynoldsovo število večje od 4000, pa je tok turbulenten [10].

Ker je 2320 približno enako kot 2300, bomo v magistrskem delu upoštevali, da je tok laminaren, kadar je Reynoldsovo število manjše od 2300, če pa je večje od 4000, je tok turbulenten.

12 3.1 Laminarni tok

Laminarni tok je vrsta pretoka, pri katerem tekočina teče gladko. Tako se hitrost tekočine v vsaki opazovani točki ne spreminja s časom. Če se v tovrstni tok vnese barvilo, je sled tega barvila ravna črta, kot je prikazano na sliki 10.

Slika 10: Laminaren tok [17]

Laminaren tok se vzpostavi, kadar je pretočni kanal relativno ozek, viskoznost tekočine mora biti relativno visoka, tekočina pa se giblje počasi. Tak primer je pretok olja skozi tanko cev ali pretok krvi skozi kapilare [6].

V okrogli cevi polmera ^r opazujemo del tekočine v obliki valja s polmerom y in dolžino L (slika 11).

Slika 11: Laminaren tok tekočine v okrogli cevi [1]

V preseku 1 deluje tlak p1in na čelno površino opazovanega valja povzroča silo F1. Enako velja za presek 2. Predpostavimo, da se tekočina giblje stacionarno. Na opazovani valj deluje samo viskozno trenjeF_tr oziroma sila upora v nasprotni smeri toka tekočine.

Za obravnavani valj v smeri x velja 1. Newtonov zakon, ki ga zapišemo na naslednji način:

i 0 F 



13

Tlaka p₁ in p₂ povzročata sili F₁ in F₂, ki ju lahko zapišemo na naslednji način:

2

1 1 1 1

F  p S  p   y in (19)

2

2 2 2 2

F  p S  p   y . (20)

Sedaj lahko iz enačbe (18) izračunamo viskozno trenja na naslednji način:

2

1 2 ( 1 2)

Ftr F F   y  p p . (21)

Zavedati se moramo dejstva, da je razlika tlakov odvisna od višinske razlike (slika 12).

Zmanjšanju tlačne razlike na enoto višinske razlike rečemo enotski tlačni padec in ga izračunamo na naslednji način:

1 2 1 2 1 2 sin

p p z z p p

J g L L g L 

 

  

   

    . (22)

Slika 12: Višina izgub v ravnem cevovodu konstantnega preseka [1]

V enačbi imenujemo člen ^{p1 p2}

 g L



  tlačni padec, člensin pa imenujemo naravni padec cevovoda.

Iz enačbe (22) izrazimo tlačni padec p1p2, upoštevamo, da je naklonski kot 0(gledamo cev v vodoravni legi), in dobimo:

1 2

p p    J  g L. (23)

14

Enačbo (23) vstavimo v enačbo (22) in dobimo naslednji zapis za viskozno trenje oziroma upora tekočine:

2

Ftr   y    J  g L. (24) Ker smo spregovorili o uporu tekočine, omenimo še, da je bil Issac Newton leta 1687 prvi, ki je postavil zakon o viskoznem trenju tekočine oziroma uporu tekočine. Le-ta se glasi: sila viskoznega trenja F_tr oziroma upora tekočine je premo sorazmerna z dotikalno površino S dveh sosednjih slojev tekočine in relativno spremembo hitrosti ^v

y



 , kar zapišemo z naslednjo enačbo:

tr

F S v

 ^y

  

 , (25)

kjer je  viskoznost tekočine.

V enačbi (25) je Spovršina, na kateri prihaja do upora tekočine, in jo izračunamo enako kot površino plašča valja. To naredimo na naslednji način:

2

S     y L. (26)

Ker sila trenja deluje v nasprotno smer kot se giblje obravnavani del tekočine, ima enačba negativen predznak. Združimo enačbi (25) in (26) in dobimo:

tr 2

F y L v

  ^y

      

 . (27)

Izenačimo silo upora tekočine iz enačbe (24) in (27) ter izrazimo v. Dobimo naslednjo enačbo:

2

v  g J y y



       

 . (28)

Enačba (28) podaja, kako se spreminja hitrost v pri spreminjanju polmera za y. Diferencialno spremembo hitrosti zapišemo:

2

dv  g J y dy



     

 . (29)

Sedaj lahko s pomočjo integrala izračunamo hitrost na mestu y na naslednji način:

15

2 2

( )

2 4

r

y

g g

v  J y dy  J r y

 

 

       

 



Iz enačbe (30) vidimo, da radialna hitrost vode pada od sredine proti robu s kvadratom razdalje do središča cevi. Pravimo, da je hitrostni profil paraboličen [1, 3, 7] (slika 13).

Hitro se lahko prepričamo, da je največja hitrost v središču cevi, torej pri y 0:

2 maks 4

v  g J r



   

 . (31)

Slika 13: Potek hitrosti v okrogli cevi [12]

16 3.2 Turbulentni tok

Turbulentnemu toku rečemo tudi vrtinčen tok. Zanj je značilno, da je gibanje delcev tekočine nepravilno. Tokovnice se časovno neprestano spreminjajo. Lahko bi tudi rekli, da je

premikanje tekočinskih delov kaotično (Slika 14).

Turbulentni tok je nasprotje laminarnega. Tekočina ne teče v vzporednih plasteh, veliko je mešanja, hitrost tekočine se na izbrani točki nenehno spreminja po velikosti in smeri.

Podrobno poznavanje turbulentnega toka je pomembno v inženirstvu, saj je večina industrijskih tokov, zlasti pri jedrski tehniki, turbulentna [8].

Slika 14: Turbulentni tok [18]

V okrogli cevi, kjer je tok turbulenten, zasledimo tri vrste pretokov. Na sliki 15 vidimo, da je ob steni cevi tanka plast laminarnega toka (I), imenovana tudi mejna plast, sledi prehodna plast (II) in v sredini je turbulentno jedro (III).

Slika 15: Turbulentni tok v okrogli cevi [1]

17

Hitrost močno narašča v mejni plasti tekočine, v turbulentnem jedru pa relativno malo.

Debelino mejne plasti  , ki jo vidimo na sliki 16, lahko za okroglo cev premera d izračunamo iz naslednje eksperimentalne enačbe:

e

d d

R v

 



 

 . (32)

Na sliki 16 je prikazan profil hitrosti za okroglo cev [1].

Slika 16: Profil hitrosti v okrogli cevi za laminarni in turbulentni tok [1]

S prostim očesom ne moremo prepoznati, ali je tok tekočine laminaren ali turbulenten. Na podlagi Reynoldsovega števila smo določili vrsto pretoka. Ker je Reynoldsovo število odvisno tudi od viskoznosti izbrane tekočine, smo meritve opravili še za sirup, ki ima drugačno viskoznost od vode. S kamero smo posneli tudi sliko, ki prikazuje, kako se s časom spreminja smer hitrosti. Iz meritev smo izračunali povprečno hitrost iztekanja, iz katere smo določili Reynoldsovo število. Podroben vpogled v meritve in izračune se nahaja v naslednjem poglavju.

18 II MERITVE

1 Postavitev eksperimenta

V magistrskem delu smo se osredotočili na iztekanje dveh tekočin, in sicer vode in sirupa.

Zanimalo nas je, ali in kako različna viskoznost vpliva na končno hitrost iztekanja. V

diplomskem delu Sesalna natega pri pouku fizike (2016) smo predstavili štiri različne načine zbiranja podatkov. V magistrskem delu smo izbrali le enega, in sicer postavitev eksperimenta z uporabo Vernierjevega merilnika sile. Postavitev eksperimenta je prikazana na sliki 17.

Slika 17: Postavitev eksperimenta

Z uporabo napajalnika za perutnino smo omogočili konstanten nivo iztekanja tekočine. Težo pretečene tekočine v odvisnosti od časa smo merili z Vernierjevim merilnikom sile in

vmesnikom LabQuest2. V vmesniku smo zajemanje podatkov nastavili tako, da je merilnik zabeležil deset meritev v eni sekundi. Tako smo izvedli večje število meritev, zaradi česar je bila večja tudi sama natančnost meritev. Pri izbrani cevi in nastavljeni višini smo meritev izvedli štirikrat (ponekod tudi petkrat), saj smo s tem preverjali, če je hitrost res enaka. V izrisanem grafu F t_g( ) smo iz enačbe:

2

v k

g   r

   

(33)

19

izračunali hitrost iztekanja tekočine. V enačbi parameter kpredstavlja naklon premici v grafu, g je gravitacijski pospešek ( 9,81m₂

g s ),  je gostota izbrane tekočine in r je polmer izbrane cevi.

Pred vsako meritvijo smo izmerili tudi temperaturo tekočine. Ko smo obravnavali iztekanje vode, smo za gostoto vode uporabili ustrezno vrednost iz tabele 1 [14].

Tabela 1: Lastnosti vode pri izbrani temperaturi

Ko je bila povprečna hitrost iztekanja izračunana, smo lahko izračunali Reynoldsovo število iz:

2

e

R r v 



  

 , (34)

kjer je  viskoznost tekočine, njena vrednost pa je za vodo enaka 1, 0 10 ^3Pa s .

20

2 Predstavitev meritev 2.1 Premer cevi 2 mm

Meritve smo opravili pri različnih debelinah cevi. Če iz enačbe za izračun Reynoldsevega števila izrazimo povprečno hitrost iztekanja, opazimo, da mora biti hitrost relativno majhna, če želimo, da je tok laminaren. Iz tega razloga smo uporabili cevi ožjega premera in s tem omogočili opravljanje meritev v laminarnem toku. Za cevi širšega premera smo sklepali, da bo tok ustrezal turbulentnemu pretoku (ugotovitev iz diplomskega dela Sesalna natega pri pouku fizike (2016)). Zanimalo nas je tudi, ali bodo obdelane meritve pokazale, kdaj pretok tekočine preide v vmesno območje in kakšne zakonitosti veljajo tam. Uporabili smo

gumijasto cev s premerom 2 mm. Kot tekočino smo uporabili vodo in obdelane rezultate vpisali v tabelo 2. Pred vsako meritvijo smo izmerili temperaturo vode, ki je znašala 19,5°C 0,5°C. Ta podatek je pomemben, saj smo na podlagi le-tega iz razpredelnice izbrali ustrezno gostoto vode (tabela 1).

Slika 18: Meritev s cevjo premera 2 mm in razlika višin 20 cm

Na sliki 18 je prikazan graf sile teže vode v odvisnosti od časa. Hitrost iztekanja tekočine smo izračunali s pomočjo smernega koeficienta premice v grafu F t_g( ) za vsako meritev posebej.

21

Povprečno hitrost iztekanja smo izračunali na spodaj zapisan način.

1) Izračunamo hitrost iztekanja tekočine za vsako meritev in rezultate vpišemo v tabelo 2.

2) Izračunamo povprečno vrednost iztekanja in jo vpišemo v tabelo 3.

v [m/s] v [m/s] v_iv [m/s]

0,360(1 0, 000565)

0,361(1 0, 000522)

-0,001 0,370(1 0, 000396) 0,009 *

0,356(1 0, 000468) -0,005

0,356(1 0, 000658) -0,005

Tabela 2: Izračunana hitrost

Primer izračunane hitrosti iztekanja tekočine iz grafa F t_g( ) (slika 18) in Reynoldsovega števila.

2

v k

g   r

   

(35)

2

2 3

0, 01106(1 0, 00056) 9,81 998 (0, 001 )

N v s

m kg

s m  m

 

  

0,360(1 0, 000565)m

v  s

Povprečno hitrost smo izračunali na naslednji način:

1 2 3 4

4 v v v v

v    (36)

(0,360 0,370 0,356 0,356) 4

m v s

  

 .

0,361m v s Omeniti moram še napako meritve, in sicer:

22 poiščemo interval, znotraj katerega leži ²

3 meritev, in vidimo, da hitrost 0,370(1 0, 000396)m

v  s leži izven intervala (ima največje odstopanje od povprečne vrednosti). Tako je napaka naše meritve 0,005 ^m

s . Povprečna hitrost iztekanja je 0,361m 0, 005m 0,361(1 0, 0139)m

v s  s   s .

Reynoldsovo število smo izračunali po enačbi (17), potrebne podatke smo odčitali iz tabele 1 in dobili naslednjo število:

2

e

R r v 



  

3 3

2 0, 001 0,361 998

e 1 10

m kg

m s m

R ^ Pa s

  

   .

e 721 R 

V tabeli 3 so prikazane vrednosti povprečne hitrosti iztekanja (v ) in pripadajoče Reynoldsovo število (R_e ).

h [cm] v [m/s] Re

20 0,361(10,0139) 721

18 0,345(10,000548) 689

16 0,327(10,000572) 653

15 0,314(10,000571) 627

14 0,345(10,00870) 585

13 0,279(10,00158) 557

12 0,271(10,000620) 541

11 0,261(10,000543) 521

10 0,327(10,0122) 495

9 0,223(10,00210) 445

Tabela 3: Izračunane vrednosti hitrosti iztekanja tekočine

23

Izračunano Reynoldsovo število ustreza laminarnemu toku. Iz izračunov se vidi, da čim manjša je razlika višin gladin, tem manjša je hitrost iztekanja tekočine. Pojavi se vprašanje, v kakšni povezavi sta razliki višin gladine in hitrost iztekanja. Ali je odvisnost kvadratna, korenska, mogoče eksponentna? Če želimo odgovoriti na zastavljeno vprašanje, potrebujemo naslednjo predpostavko.

Predpostavimo, da obstaja odvisnost med hitrostjo iztekanja in razliko višin gladine.

0 0

( ) (h)^k v h v

  h (40)

Odpravimo oklepaje in hitrosti postavimo na levo stran enačbe. Tako dobimo:

0 0

( )^k

v h

v  h , (41)

kjer je v_i izbrana hitrost, h_i je njena pripadajoča višina, v₀ je najmanjša izmerjena hitrost, h₀ je višina, pri kateri smo izmerili najmanjšo hitrost, kpa je iskana odvisnost. Obe strani enačbe logaritmiramo in dobimo:

0 0

ln(vⁱ) ln(hⁱ)

v  k h oz. y k x, (42)

pri čemer je

0

ln(vⁱ)

y v in ln( ⁱ)

o

x h

 h v primernem grafu.

Izberemo ₀ 0, 223m

v  s in h₀ 9cm.

24

0

hi

h ₀

vi

v ln(h₀ⁱ)

h ln(v₀ⁱ) v

1,11 1,11 0,104 0,104

1,22 1,17 0,199 0,157

1,33 1,22 0,285 0,199

1,44 1,25 0,365 0,223

1,56 1,31 0,445 0,270

1,67 1,41 0,513 0,344

1,78 1,47 0,577 0,385

2,00 1,55 0,693 0,438

2,22 1,62 0,798 0,482

Tabela 4: Razmerja višin in hitrosti za cev premera 2 mm

V tabeli 4 so prikazane izračunane vrednosti razmerij med poljubno izbranimi višinami h_i in izbrano višino h₀. Prav tako so prikazana razmerja med poljubno izbranimi hitrostmi

iztekanja v_i in izbrano hitrostjo iztekanja v₀.

Slika 19: Graf odvisnosti razmerij hitrosti in višin pri cevi premera 2 mm

Iz slike 19 je razvidno, da je koeficient med razmerji hitrosti in razlik višine približno enak 0,5.

Odvisnost je korenska in je v skladu s teoretičnimi napovedmi.

y = 0,5654x + 0,0387

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

ln(v_i/v_0)

ln(h_i/h_0)

25 2.2 Premer cevi 3 mm

V tabeli 5 so prikazane izračunane vrednosti za povprečno hitrost iztekanja vode in Reynoldsovo število.

h [cm] v [m/s] Re

28 0,644(10,0171) 1928

27 0,632(10,000439) 1892

26 0,624(10,000642) 1868

25 0,618(10,000617) 1850

24 0,632(10,00633) 1781

23 0,591(10,000689) 1769

22 0,567(10,000611) 1698

21 0,555(10,000596) 1662

20 0,624(10,0112) 1545

19 0,506(10,000589) 1515

18 0,479(10,000369) 1434

17 0,471(10,000492) 1410

16 0,618(10,00485) 1368

15 0,443(10,000854) 1326

Tabela 5: Izračunane vrednosti hitrosti iztekanja tekočine

Reynoldsovo število je manjše od 2300, zato je tok laminaren.

Preverimo še odvisnost (kot v primeru cevi s premerom 2 mm).

Izbrali smo ₀ 0, 443m

v  s in h0 15cm. Izračunane vrednosti so predstavljene v tabeli 6.

26

0

hi

h ₀

vi

v ln(h₀ⁱ)

h ln(v₀ⁱ) v

1,07 1,03 0,0677 0,0296

1,13 1,06 0,122 0,0583

1,20 1,08 0,182 0,0770

1,27 1,14 0,239 0,131

1,33 1,16 0,285 0,148

1,40 1,25 0,336 0,223

1,47 1,28 0,385 0,247

1,53 1,33 0,425 0,285

1,60 1,34 0,470 0,293

1,67 1,40 0,513 0,336

1,73 1,41 0,548 0,344

1,80 1,43 0,588 0,358

1,87 1,45 0,626 0,372

Tabela 6: Razmerja višin in hitrosti za cev premera 3 mm

Slika 20: Graf odvisnosti razmerij hitrosti in višin pri cevi za cev premera 3 mm

y = 0,6661x - 0,022

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

log(v/v1)

log(h/h1)

27

Na sliki 20 opazimo, da tu ne moremo govoriti o linearni odvisnosti, tako kot smo to lahko trdili pri pretakanju vode v cevi s premerom 2 mm. Ugotovimo, da lahko graf razdelimo na tri manjše grafe, v sklopu katerih bo vsak set meritev najverjetneje imel svojo odvisnost. Tako bomo dobili podroben vpogled v različne pretoke, ki se pojavljajo zaradi naraščanje višine pretakanja. Predpostavljamo, da bo pretok prehajal iz laminarnega v vmesno območje, mogoče celo v turbulentni pretok. Graf zato razdelimo na 3 dele, in sicer:

- 1. del so izračunana razmerja, ki so v tabeli 6 pobarvana z rumeno barvo, - 2. del so izračunana razmerja, ki so v tabeli 6 pobarvana z zeleno barvo in - 3. del so izračunana razmerja, ki so v tabeli 6 pobarvana s turkizno barvo.

Slika 21: Tridelni graf

S slike 21 je razvidno, da je koeficient med razmerji hitrosti in razlik višine za prva dva seta meritev približno enak 0,5. To je v skladu s teoretičnimi napovedmi. Lahko torej

predpostavimo, da je pretok laminaren. Pri tretjem setu meritev pa je naklon premice približno enak ¹

3, torej gre za odvisnost s tretjim korenom. Možna razlaga je, da smo v tem delu prešli iz laminarnega toka v vmesno območje, zaradi česar je odvisnost drugačna. Tudi izračunano Reynoldsovo število nakazuje, da zapuščamo laminaren pretok in počasi

prehajamo v vmesno območje. Zavedati se moramo, da je Reynoldsovo število le okvirna

y = 0,561x - 0,0117 y = 0,5588x + 0,0363

y = 0,3226x + 0,169

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

ln(v_i/v_0)

ln(h_i/h_0)

28

vrednost, to pomeni, da ni nujno, da se vmesno območje začne točno ob številu 2000, ampak je mogoče, da se začne že malo pred tem številom. Naklon grafa to nakazuje.

2.3 Premer cevi 6 mm

V tabeli 7 so prikazane izračunane vrednosti za povprečno hitrost iztekanja vode in Reynoldsovo število.

h [cm] v [m/s] ^Re

29 0,880(10,0795) 5269

28 0,899(10,000544) 5383

27 0,828(10,000666) 4958

26 0,878(10,000549) 5257

25 0,899(10,0545) 5359

24 0,867(10,000828) 5192

23 0,861(10,00135) 5156

22 0,856(10,00205) 5126

21 0,828(10,0217) 4946

20 0,828(10,00173) 4958

19 0,786(10,00178) 4707

15 0,747(10,00145) 4473

Tabela 7: Izračunane vrednosti hitrosti iztekanja tekočine

Reynoldsovo število je večje od 4000, zato je tok turbulenten.

Pojavi se vprašanje, ali je tok res turbulenten? Odgovor najdemo v naslednjem eksperimentu.

Poustvarili smo podoben eksperiment, kot ga je izvedel Osborne Reynolds, le da smo obarvano tekočino vbrizgali z injekcijo za inzulin. Razlog za uporabo injekcije je ta, da je premer igle izredno majhen in lahko predre cev. Prav tako ne ustvari velike ovire pretakajoči se tekočini. Sliko smo zajemali s kamero, ki smo jo nastavili na HD način, in tako dobili vpogled v to, kako potekajo tokovnice. To smo izvedli le pri cevi premera 6 mm, saj smo pri

29

ceveh manjšega premera naleteli na dva problema, in sicer lahko vbrizgana tekočina zmoti tok, debelina injekcije pa predstavlja oviro za pretakajočo se tekočino. Z eksperimentom smo pridobili vpogled v dogajanje turbulentnega toka. Ker je tok turbulenten tudi v cevi premera 8 mm, bi bil tudi tam rezultat enak.

Postavitev eksperimenta je prikazana na sliki 22.

Slika 22: Pripomočki za pregled toka

Slika 23: Turbulentni tok

30 Na sliki 23 je prikazan turbulentni tok.

Razlika višin za izbrano cev je 15 cm. Če je tok pri tej višini turbulenten, je tudi povsod drugod.

Preverimo še odvisnost (kot v primeru cevi s premerom 2 mm).

Izbrali smo ₀ 0, 747m

v  s in h₀ 15cm. Izračunane vrednosti so predstavljene v tabeli 8.

0

hi

h ₀

vi

v ln(h₀ⁱ)

h ln(v₀ⁱ) v

1,27 1,05 0,239 0,0488

1,33 1,11 0,285 0,104

1,40 1,11 0,336 0,104

1,47 1,15 0,385 0,140

1,53 1,15 0,425 0,140

1,60 1,16 0,470 0,148

1,67 1,20 0,513 0,182

1,73 1,18 0,548 0,166

1,80 1,11 0,588 0,104

1,87 1,20 0,626 0,182

1,93 1,18 0,658 0,166

Tabela 8: Izračunane vrednosti razmerij za cev premera 6 mm

31

Slika 24 Graf odvisnosti razmerij hitrosti in višin pri cevi premera 6 mm Graf na sliki 24 prikazuje odvisnost, ki ne ustreza linearni funkciji. Graf kaže, da smo v turbulentnem območju. Zadnja štiri razmerja bi lahko nakazovala, da se hitrost z

naraščanjem višinske razlike ne spreminja več. Možno je, da smo v tem območje naleteli na končno hitrost iztekanja (na sliki označeno z rdečo).

2.4 Premer cevi 8 mm

V tabeli 9 so prikazane izračunane vrednosti za povprečno hitrost iztekanja vode in Reynoldsovo število.

h [cm] v [m/s] ^Re

29 1,01(10,0495) 8064

28 1,00(10,0600) 7984

27 0,980(10,0408) 7824

26 1,03(10,00971) 8224

25 0,973(10,0329) 7768

24 0,931(10,0344) 7433

22 0,970(10,0268) 7744

20 0,880(10,0352) 7026

15 0,803(10,0299) 6411

Tabela 9: Izračunane vrednosti hitrosti iztekanja tekočine

32

Izračunano Reynoldsovo število pove, da je tok v cevi za vse obravnavane meritve turbulenten.

Preverimo še odvisnost (kot v primeru cevi s premerom 2 mm).

Izbrali smo ₀ 0,803m

v  s in h0 15cm. Izračunane vrednosti so predstavljene v tabeli 10.

0

hi

h ₀

vi

v ln(h₀ⁱ)

h ln(v₀ⁱ) v

1,33 1,10 0,285 0,0953

1,47 1,21 0,385 0,191

1,60 1,16 0,470 0,148

1,67 1,21 0,513 0,191

1,73 1,28 0,548 0,247

1,80 1,22 0,588 0,199

1,87 1,25 0,626 0,223

1,93 1,26 0,658 0,231

Tabela 10: Izračunane vrednosti razmerij hitrosti in višine

Slika 25: Graf odvisnosti razmerij hitrosti pri cevi premera 8 mm Iz grafa (slika 25) lahko sklepamo, da smo v območju, ki nima lepih lastnosti. Smo v turbulentnem območju.

y = 0,3218x + 0,0268

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

0 0,2 0,4 0,6 0,8

ln(v/v1)

ln(h/h1)

33 2.5 Premer cevi 6 mm in sirup

Za potrebe magistrskega dela smo se odločili, da raziščemo še tok v drugi tekočini, in sicer v sirupu. Slednji ima drugačno viskoznost kot voda, zaradi česar se predvideva, da bo tok za izbrane cevi laminaren. To smo tudi eksperimentalno preverjali. Meritve smo izvedli za vse cevi, vendar je pri ceveh premera 2 mm in 3 mm ne glede na izbrano višinsko razliko sirup le kapljal, zaradi česar smo meritve izvedli le pri ceveh premera 6 mm in 8 mm.

Metoda določanja hitrosti iztekanja je enaka kot pri vodi, vendar smo morali za njeno določitev najprej izračunati gostoto tekočine. Na elektronsko tehtnico smo postavili prazno merilno menzuro in odčitali maso menzure m1 57, 6g. Nato smo sirup nalili v izbrano posodo in iz elektronske tehtnice odčitali novo maso m2 379, 2g0, 01g. V merilni menzuri smo odčitali volumen V 250ml1ml. Pripomočki za zbiranje podatkov so prikazani na sliki 26 in 27.

Slika 26: Pripomočki za obravnavo tekočine Slika 27: Masa 250 ml sirupa

Za izračun gostote najprej potrebujemo maso sirupa. Le-to izračunamo po naslednjem postopku:

2 1

SIRUP

m m m (43)

379, 2 57, 6 321, 6

SIRUP

m  g g g.

34

Sedaj, ko poznamo maso sirupa, lahko z naslednjo enačbo izračunamo gostoto sirupa.

SIRUP

m

 V (44)

3

321, 6(1 0, 00003)

1, 2864(1 0, 00403) 1286, 4(1 0, 00403) 250(1 0, 004)

g g kg

ml ml m

 ^    



V zgornjem izračunu smo upoštevali relativne napake meritev.

Sedaj, ko je gostota izračunana, lahko izračunamo hitrost iztekanja sirupa:

SIRUP

v k

g  S

   , (45)

kjer je k koeficient naklona premice na sliki 28.

Slika 28: Primer grafa za cev premera 6 mm in višine 28 mm in obravnavane tekočine – sirupa S slike 28 lahko izračunamo hitrost iztekanja za vsako meritev posebej. Primer izračuna je napisan spodaj.

SIRUP

v k

g  S

  

(46)

35

2

2 3

0, 04629(1 0, 0003910)

9,81 1286, 4(1 0, 00403) (0, 003 ) N

v s

m kg

s m  m

 

   

0,130(1 0, 0004454)m

v  s

Rezultati za vsako meritve so zapisani v tabeli 11.

v [m/s] v [m/s] v_iv [m/s]

0,130(1 0, 000445)

0,129(1 0, 00454)

0,001 0,136(1 0, 00456) 0,007 *

0,125(1 0, 00461) -0,004

0,126(1 0, 00452) -0,003

Tabela 11: Izračunane vrednosti hitrosti iztekanja tekočine

Povprečne hitrosti iztekanja pri izbranih višinah so zapisane v tabeli 12.

h [cm] v [m/s] Re

28 0,129(10,0310) 6

26 0,127(10,00446) 5

24 0,122(10,00476) 5

22 0,118(10,00475) 5

20 0,127(10,0315) 5

15 0,0927(10,00455) 4

Tabela 12: Izračunane vrednosti hitrosti iztekanja tekočine

Za izračun Reynoldsovega števila moramo najprej izračunati viskoznost sirupa.

V stacionarnem stanju silo teže uravnovešata sili upora in vzgona. Velja naslednja enačba:

g v 6

F F      r  v (47)

6

g v

F F

 r v



 

   , (48)

36

kjer je F_g sila teže ene krogle, F_v je sila vzgona, r je polmer kroglice, vpa je njena hitrost [13].

Silo vzgona izračunamo z naslednjo enačbo:

. .

v T P T

F   g V , (49)

kjer je _T gostota tekočine in V_{P T. .} volumen potopljenega telesa. Volumen krogle se izračuna z naslednjo enačbo:

4 3 KROGLE 3

V    r . (50)

Krogla na začetku v tekočini pospešuje, nato se giblje premo enakomerno. Opazovana pot je s = 11,2cm0,1 cm.

Ker so bile kroglice zelo majhne, smo jih nekaj vzeli in določili njihovo povprečno maso.

Izmerili smo, da je masa desetih kroglic enaka m₁₀ 6,81g, torej je masa ene kroglice enaka

1 0, 681

m  g. Prav tako smo z uporabo kljunastega merila izmerili njihove polmere in določili njihovo povprečno vrednost. Podatki so zapisani v tabeli 13.

premer [mm] 2r [mm] čas padanja [s] t [s]

8,18

8,100,08

0,50

0,490,04

8,18 0,57

8,16 0,45

8,16 0,44

8,13 0,47

8,13 0,53

8,02 0,50

7,94 0,50

7,90 0,47

8,20 0,49

Tabela 13: Potrebni podatki za izračun viskoznosti Hitrost padanja izračunamo po naslednjem postopku:

37 v s

 t (60)

11, 20(1 0, 0089)

22,89(1 0, 091) 0, 23(1 0, 091) 0, 49(1 0, 082)

cm cm m

v s s s

     

 .

Vse, kar moramo narediti je, da izračunamo viskoznost sirupa. To naredimo po naslednjem postopku:

6

KROGLICE SIRUP KROGLE

SIRUP

m g g V

r v

 



   

   

(61)

3 3 3

2 2 3

3

0, 681 10 9,81 9,81 1286, 4 4 (4, 05 10 ) 3

6 1 4, 05 10 0, 23 2

SIRUP

m m kg

kg m

s s m

m m

s

 



 



       



    

0,1805

SIRUP

Pa

  s .

Ker je izračun napake rahlo zahtevnejši, si ga bomo ogledali po korakih.

Napaka sile teže je: F_g 0, 00668(1 0, 00147) N 0, 00668N0, 00000982N . Napaka sile vzgona je : F_v 0, 00351(1 0, 00415) N 0, 00351N0, 0000146N.

Napaka števca je torej: F_g F_v (0, 00668N0, 00000982 ) (0, 00317N  N0, 0000146) F_g F_v 0, 00317N0, 0000244N 0, 00317 (1 0, 00770)N  .

Napaka imenovalca je:

2

6 0, 0176(1 0, 0190)m2

r v s



     .

Skupna napaka izračunane viskoznosti je enaka :

0, 0192

IMENOVALEC ŠTEVEC

    . (62)

Torej lahko zapišemo končni rezultat za izračunano vrednost viskoznosti:

0,1805(1 0, 0192)

SIRUP

Pa

   s . (63)

38 Izračunamo še Reynoldsovo število:

2 _SIRUP

e

SIRUP

R r v 



   (64)

2 0, 003 0,129 1286, 4 3

0,1805

e

m kg

m s m

R Pa

s

  



e 6 R  .

Preverimo še odvisnost (kot pri cevi s premerom 2 mm pri vodi).

Izbrali smo ₀ 0, 0927m

v  s in h₀ 15cm. Izračunane vrednosti so predstavljene v tabeli 14.

0

hi

h ₀

vi

v ln(h₀ⁱ)

h ln(v₀ⁱ) v

1,33 1,18 0,285 0,166

1,47 1,27 0,385 0,239

1,60 1,32 0,470 0,278

1,73 1,37 0,548 0,315

1,87 1,39 0,626 0,329

Tabela 14: Izračunane vrednosti razmerij hitrosti iztekanja in višine

39

Slika 29: Graf odvisnosti razmerij hitrosti in višin pri cevi premera 6 mm in pretakajočega se sirupa

Iz slike 29 je razvidno, da je koeficient med razmerji hitrosti in razlik višine približno enak 0,5, kar ustreza korenski odvisnosti. To je v skladu s teoretičnimi napovedmi. Korenska odvisnost ustreza laminarnemu toku.

2.6 Premer cevi 8 mm in sirup

Povprečne vrednosti iztekanja sirupa v cevi s premerom 8 mm so zapisana v tabeli 15.

h [cm] v [m/s] ^Re

30 0,225(10,0756) 13

28 0,228(10,00476) 13

26 0,222(10,00474) 13

24 0,208(10,00553) 12

22 0,228(10,0263) 11

20 0,184(10,00492) 10

15 0,154(10,00476) 9

Tabela 15: Izračunane vrednosti hitrosti iztekanja tekočine Preverimo še odvisnost (kot pri cevi s premerom 2 mm pri vodi).

y = 0,4807x + 0,0429

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

ln(v/v1)

ln(h/h1)

40 Izbrali smo ₀ 0,154m

v  s in h₀ 15cm. Izračunane vrednosti so predstavljene v tabeli 14.

0

hi

h ₀

vi

v ln(h₀ⁱ)

h ln(v₀ⁱ) v

1,33 1,19 0,285 0,174

1,47 1,26 0,385 0,231

1,60 1,35 0,470 0,300

1,73 1,43 0,548 0,358

1,87 1,48 0,626 0,392

2,00 1,46 0,693 0,378

Tabela 14: Izračunane vrednosti razmerij hitrosti iztekanja in višin

Slika 30: Graf odvisnosti razmerij hitrosti in višin pri cevi premera 8 mm in pretakajočega se sirupa

Iz slike 30 je razvidno, da je koeficient med razmerji hitrosti in razlik višine približno enaka 0,5, kar ustreza korenski odvisnosti. To je v skladu s teoretičnimi napovedmi, torej korenska odvisnost ustreza laminarnemu toku.

y = 0,5564x + 0,0266

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

ln(v/v1)

ln(h/h1)

41

III ZAKLJUČEK

Iz obdelanih meritev v 2. delu lahko povzamemo naslednje ugotovitve.

Hitrost iztekanja se z višino manjša pri vsaki izbrani cevi. Za cev premera 2 mm je pretok laminaren in se do višine 20 cm spreminja s časom. Velja zveza, čim večja je višinska razlika, tem večja je hitrost iztekanja. Prav tako velja teoretična napoved, da je hitrost v korenski odvisnosti z višinsko razliko, kar kaže tudi graf razmerij hitrosti in razlik višine.

Pretok v cevi premera 3 mm je laminaren vse do višine 25 cm, kjer preide v vmesno območje. To nastopi, ko je Reynoldsovo število blizu vrednosti 1900. Rezultat je rahlo

presenetljiv, saj bi teoretično moral pretok preiti v vmesno območje šele pri vrednosti števila 2300. Hitrost iztekanja tekočine se je z naraščanjem višinske razlike postopoma večala, kar ustreza ugotovitvam iz diplomske naloge Sesalna natega pri pouku fizike (2016).

V cevi premera 6 mm je pretok turbulenten, kar je potrjeno s strani izračuna Reynoldsovega števila in zajete slike pretoka. Končno hitrost iz izračunane pretočne hitrosti je težko določiti.

V grafu odvisnosti razmerij hitrosti in razlik višine opazimo, da so zadnja razmerja (zadnje točke) v približno enaki vrsti. Na podlagi tega lahko predvidevamo, da se tam razmerje hitrosti počasi ustali. V grobem lahko povzamemo, da ima cev premera 6 mm svojo končno hitrost pri višini 25–27 cm.

Tudi v cevi premera 8 mm je pretok turbulenten, kar zopet ustreza Reynoldsovemu številu. Iz izračunane hitrosti iztekanja opazimo, da se hitrost po višini 26 cm s časom bistveno ne spreminja. Predvidevamo, da končna višina iztekanja nastopi ravno v območju 26–28 cm.

Z izbiro sirupa smo zagotovili, da je pretok laminaren tudi pri ceveh premera 6 mm in 8 mm, kar ni bilo mogoče, ko smo uporabil vodo. Hitrosti iztekanja nismo mogli izmeriti pri ceveh premera 2 mm in 3 mm, saj je sirup vedno kapljal. Povzamemo lahko, da je premer cevi preozek za tako viskozno tekočino, da bi se lahko znotraj nje oblikoval pretok tekočine.

42

IV Priloge

V spodnji tabeli so izračunane vrednosti hitrosti za vsako meritev posebej. Prav tako so izračunane še povprečne hitrosti iztekanja za vsako višino posebej. Le-te so uporabljene v magistrskem delu.

Voda premer cevi

[mm]

višina [cm] meritev hitrost iztekanja v [m/s]

povprečna hitrost iztekanja v [m/s]

3 28 1 0,643(10,00118)

0,644(10,0171) 2 0,633(10,00104) *

3 0,645(10,000868) 4 0,653(10,00104)

27 1 0,631(10,000370)

0,632(10,00633) 2 0,628(10,000455) *

3 0,631(10,000443) 4 0,636(10,000487)

26 1 0,627(10,000606)

0,624(10,0112) 2 0,631(10,000662)

3 0,614(10,000544) * 4 0,623(10,000759)

25 1 0,620(10,000704)

0,618(10,00485) 2 0,618(10,000539)

3 0,613(10,000664) * 4 0,621(10,000559)

24 1 0,594(10,000490)

0,595(10,00336) 2 0,597(10,000510)

3 0,592(10,000454) * 4 0,595(10,000577)

23 1 0,587(10,000715)

0,591(10,00677) 2 0,587(10,000509)

3 0,591(10,000750) 4 0,597(10,000783) *

22 1 0,568(10,000534)

0,567(10,00353) 2 0,564(10,000603) *

3 0,569(10,000710) 4 0,565(10,000598) 21 1 0,565(10,000586) *

0,555(10,00901) 2 0,550(10,000562)

3 0,552(10,000554) 4 0,553(10,000669)

20 1 0,535(10,000669)

0,516(10,0368) 2 0,535(10,000711)

43

3 0,511(10,00177)

4 0,482(10,000671) * 19 1 0,524(10,000620) *

0,506(10,0296) 2 0,491(10,000583)

3 0,504(10,000576) 4 0,504(10,000576)

18 1 0,476(10,000529)

0,479(10,00835) 2 0,483(10,0000947)

3 0,474(10,000439) * 4 0,482(10,000414) 17 1 0,453(10,000527) *

0,471(10,0382) 2 0,489(10,000580)

3 0,474(10,000392) 4 0,467(10,000469)

16 1 0,453(10,000498)

0,457(10,0131) 2 0,451(10,000532)

3 0,452(10,000558) 4 0,471(10,000516) *

15 1 0,449(10,000755)

0,443(10,0135) 2 0,432(10,000707) *

3 0,449(10,00110)

6 29 1 0,950(10,00148)

0,880(10,0795) 2 0,937(10,000929)

3 0,797(10,00171) * 4 0,837(10,00239)

28 1 0,946(10,000544) *

0,899(10,0545) 2 0,896(10,000594)

3 0,905(10,000437) 4 0,850(10,000599)

27 1 0,816(10,000510)

0,828(10,0217) 2 0,509(10,00145) ne

3 0,859(10,000789) * 4 0,810(10,000700)

26 1 0,853(10,000610)

0,878(10,0285) 2 0,910(10,000416) *

3 0,879(10,000610) 4 0,869(10,000558)

25 1 0,865(10,000754) *

0,895(10,0156) 2 0,901(10,000721)

3 0,909(10,000706) 4 0,904(10,000661)

24 1 0,879(10,00118)

0,867(10,0392) 2 0,821(10,000620) *

3 0,901(10,000683) 4 0,638(10,00241) ne

23 1 0,865(10,00152)