11.december2013 GregorDolinar Uporabnastatistika

(1)

Testiranje hipotez Linearna regresija Multipla regresija

Uporabna statistika

Gregor Dolinar

Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani

11. december 2013

(2)

Parnit-test

Parni t -test (test dvojic)

D_j =X_1j −X_2j

T₀ = D− △0

S_D/√n

(3)

Parnit-test

T0 = X₁−X₂−(µ₁−µ₂) S_p

q1 n+ ¹_n 2n−2 prostostnih stopenj

T₀ = D− △0

S_D/√n n−1 prostostnih stopenj

(4)

Parnit-test

Primer 91.50, 89.19 94.18, 90.95 92.18, 90.46 95.39, 93.21 91.79, 97.19 89.07, 97.04 94.72, 91.07 89.21, 92.75

x₁ = 92.255,x₂ = 92.733,s₁= 2.39, s₂ = 2.98

(5)

Parnit-test

Razmerje 2 varianc

F = S₁²/σ₁² S₂²/σ₂² F- porazdelitev

F = W/u Y/v

(6)

Parnit-test

Razmerje 2 deleˇzev populacije

Standardizirana normalna porazdelitev.

(7)

Linearna regresija

Primer

Poskus, pri katerem dobimo dve koliˇcini x in y pri vsaki ponovitvi.

Na primer, pri kemiˇcni reakciji merimo ˇcistost nastalega kisika y, ki ga dobimo pri dani koliˇcini ogljikovodikov x.

Radi bi raziskali, v kakˇsni odvisnosti stax in y.

Ce poznamo, kako sta koliˇciniˇ x iny povezani, lahko pri danemx napovemo vrednost y.

(8)

V primeru linearne regresije imamo eno samo neodvisno (pojasnjevalno) spremenljivko x in odvisno spremenljivkoY. Denimo, da sta x inY linearno odvisni (graf je premica) in da jeY sluˇcajna spremenljivka pri vsaki vrednosti x.

Torej je priˇcakovana vrednost sluˇcajne spremenljivke Y pri vsaki vrednosti x enaka

E(Y|x) =β0+β1x, kjer sta β0 inβ1 regresijska koeficienta.

(9)

Ce piˇsemoˇ

Y =β0+β1x+ǫ,

potem je ǫsluˇcajna spremenljivka (napaka) s povpreˇcno vrednostjo 0 in neznano varianco σ².

(10)

Metoda najmanjˇsih kvadratov (Gauss)

Imamon parov (x₁,y₁), . . . , (x_n,y_n). Iˇsˇcemo β₀ in β₁, da bo premica β0+β1x najbolje aproksimirala podatke.

Iˇsˇcemo taka β0 in β1, da bo vsota kvadratov vertikalnih odstopanj od premice najmanjˇsa.

(11)

Ce jeˇ

y_i =β₀+β₁x_i+ǫ_i, potem iˇsˇcemo taka β₀ in β₁, da je

L(β0, β1) =

n

X

i=1

ǫ²_i =

n

X

i=1

(yi−β0−β1x_i)² najmanj.

Iˇsˇcemo minimum funkcije dveh spremenljivk L(β0, β1).

(12)

Reˇsitvi enaˇcb:

∂L

∂β0

=−2

n

X

i=1

(y_i −β₀−β₁x_i) = 0 in

∂L

∂β₁ =−2

n

X

i=1

(yi−β0−β1xi)xi = 0 oznaˇcimo z ˆβ₀ in ˆβ₁.

(13)

Definiramo

S_xx =

n

X

i=1

(x_i −x)² in

S_xy =

n

X

i=1

y_i(xi−x)². Potem je

βˆ₀ =y−βˆ₁x in

βˆ₁= S_xy .

(14)

Torej

ˆ

y = ˆβ0+ ˆβ1x in

y_i = ˆβ₀+ ˆβ₁x_i +e_i, i = 1, . . . ,n, kjer je e_i =y_i−ˆy_i residual (odklon).

Oznaˇcimo ˇse s

SS_E =

n

X

i=1

e_i²=

n

X

i=1

(yi −yˆ_i)² vsoto kvadratov napak.

(15)

Velja

E(SSE) = (n−2)σ², zato je nepristranska cenilka za σ² enaka

ˆ

σ² = SS_E n−2. Velja ˇse

V( ˆβ₁) = σ² S_xx.