Plimske sile in plimovanje

1111 Ljubljana, Jadranska 19, p.p. 64

avtor: Samo Lasi_

mentor: prof.dr. Rudi Podgornik

Plimske sile in plimovanje

Ljubljana, maj 2000 Povzetek:

Podrobna obravnava deformacije sferi_nega, homogenega planeta iz idealne teko_ine pod vpljivom plimskih sil. Opisani so dejavniki plimovanja na Zemlji in te_ave na katere naletimo pri kvalitativni razlagi. Nazadnje obravnavamo vpljiv plimovanja na dinami_ni razvoj sistema planetov in izra_unamo Rochejevo razdaljo.

Vsebina

Uvod ... 3

Plimski potencial ... 4

Hidrodinamska obravnava ... 8

Dejavniki plimovanja ... 11

Vpliv trenja ... 14

Rochejeva razdalja ... 18

Literatura ... 21

1. UVOD

Ljudje _e od negdaj poznajo fenomen plimovanja in vedo, da je povezan z gibanjem Lune.

_e pred nastankom kakr_ne koli teorije so na podlagi opazovanja znali plimovanje dokaj dobro napovedovati. Zanimivo pa je, da veliko ljudi _e danes ne pozna njegovega pravega vzroka, niti na kvalitativni ravni. Tudi sam sem se pri razmi_ljanju o tem “samoumevnem”

pojavu zna_el v te_avah in se tako odlo_il, da problem podrobno razi__em.

Pogosto si ljudje razlagajo plimo s pove_ano privla_nostjo Lune na eni strani Zemlje. To pa ni dovolj, da razumemo podobno plimo, ki isto_asno nastopi na nasprotni strani planeta. Iz te_av se pogosto re_ujejo z argumentom, da deluje na nasprotni strani ve_ja centrifugalna sila zaradi vrtenja Zemlje in Lune okoli skupnega te_i__a. _e smo pozorni na na_in vrtenja Zemlje okoli skupnega te_i__a, ugotovimo, da je ta argument nevztrezen.

Edini kvalitativno pravilen na_in, s katerim lahko preprosto razumemo vzrok plimskih sil, je

analogija s prosto padajo_im laboratorijem. Zamislimo si laboratorij, ki prosto pada v te_nostnem polju planeta. Nanj deluje gravitacijska sila, ki je seveda odvisnana od oddaljenosti. Pospe_ek celotnega laboratorija je dolo_en s silo, ki deluje na njegovo te_i__e.

Zaradi enakosti te_ne in vztrajnostne mase je odvisen le od oddaljenosti te_i__a. V laboratoriju izvedimo naslednji miselni poskus. Postavimo telo zanemarjive mase najprej v te_i__e laboratorija. Ker _uti telo enak pospe_ek kot te_i__e, pada skupaj z laboratorijem, torej v laboratoriju miruje. Sedaj telo nekoliko izmaknimo iz te_i__a proti vrhu laboratorija.

Zaradi pove_ane oddaljenosti od planeta deluje na telo manj_a sila in zato pada z manj_im pospe_kom. V laboratorijskem sistemu se telo z razliko pospe_kov oddaljuje od te_i__a proti vrhu laboratorija. _e pa telo postavimo nekoliko ni_je od te_i__a, se zaradi podobnega vzroka v laboratoriju pospe_eno giblje proti dnu. Razliko pospe_kov oziroma pospe_ek v laboratoriju priskrbi plimska sila. Ta predstavlja razliko med silo na te_i__e in silo na posamezen del laboratorija. Plimska sila torej na_ laboratorij “razteguje”.

V modelu prosto padajo_ega laboratorija smo zanemarili dva faktorja, ki ju pri realnem fenomenu ne smemo izpustiti. Obravnavali smo pospe_ek le vzdol_ te_i__a planeta in laboratorija, torej nismo upo_tevali celotne prostorske odvisnosti sile. Zraven tega pa smo zanemarili lastne gravitacijske u_inke, ki so pri dovolj masivnem telesu lahko pomembni.

Seveda je za dejansko plmovanje pomembnih _e vrsta dejavnikov, ki jih bomo v seminarju na grobo opisali.

S klasi_nim pristopom analiti_ne mehanike bomo najprej izra_unali, kako bi se zaradi plimskih sil deformirala Zemlja, _e bi bila sferi_na, homogena in sestavljena iz idealne teko_ine. Nato si bomo ogledali hidrodinamski pristop za izra_un deformacije in povdarili izhodi__a, ki pogosto privedejo do napa_nih interpretacij. Na_teli bomo bistvene dejavnike, ki dolo_ajo dejansko plimovanje na Zemlji in preu_ili _e dve pomembni posledici plimskih sil. Raziskali bomo kako trenje med plimovanjem in Zemljo vpliva na dinami_ni razvoj sistema Zemlja-Luna in izra_unali razdaljo, do katere se lahko Luna pribli_a Zemlji, da je plimske sile ne raztrgajo.

2. PLIMSKI POTENCIAL

Obravnavajmo pospe_ek mase m na povr_ju oceana, ki je posledica privla_nosti Zemlje z maso M_Z in oddaljenega planeta z maso M. Koordinate mas m, M_Z in M opi_imo z vektorji r₁, ^r2 in ^r3. Zaradi prikladnosti zasukajmo koordinatni sitem, ki je pripet v sredi__u Zemlje, tako, da le_i oddaljeni planet na osi x, zraven tega pa definirajmo _e vektorje ^r, ^R in ^d. Glej sliko 1.

r= −r₁ r₂ R = −r₂ r₃

d= − =r₁ r₃ R+r

(2.1)

Slika 1:

To_ka na povr_ju Zemlje in oddaljeni planet v inercialnem sistemu ter v sistemu, ki je pripet v te_i__u Zemlje. [1]

Ena_bi gibanja elementa m in Zemlje lahko v inercialnem sistemu zapi_emo kot:

m GmM

r

GmM d

⋅ = −&&r_{1 2} Z r$− ₂ d$ (2.2)

M GM M

Z R

⋅ = −&&r₂ Z₂ R$ (2.3) Ko prvo ena_bo delimo z m, drugo z M_Z in ju od_tejemo, dobimo ena_bo gibanja realtivne koordinate r.

&& $ $ $

r= − r−  d − R

 

 GM

r GM

d R

Z

2 2 2

(2.4)

Prvi _len na desni je centralni pospe_ek zaradi privla_nosti Zemlje, drugi _len pa je plimski pospe_ek zaradi oddaljenega planeta. Centalna privla_nost je ob privzetku, da je Zemlja okrogla, po celotni povr_ini enako velika in ni_ ne pripeva k _asovno odvini sili za katero se zanimamo. Plimski pospe_ek na desni pa je razlika med pospe_kom te_i__a Zemlje in delov, ki so na njenem povr_ju. Zaradi dnevnega vrtenja Zemlje okoli svoje osi, deluje na masni element _e sistemski centrifugalni pospe_ek. Ker pa je tudi ta od _asa neodvisen, ga v tej obravnavi ne vpo_tevamo. Deformacijo zaradi tega prispevka bomo vklju_ili v ni_elno lego povr_ja, oziroma jo zanemarili.

Na sliki 2 je prikazana smer in velikost plimskega pospe_ka, ki na nasprotnih straneh planeta povzro_i dve izboklini.

Slika 2: Plimski pospe_ek na povr_ini Zemlje okoli ekvatorja. [1]

S pomo_jo (2.1) lahko drugi _len v (2.4) zapi_emo kot:

$ $

d R R r R

R r

d² R² d³ R³ d³ R³ d³

1 1

− = + − =  −





 + . (2.5)

Ker je ^d=^R+^r in ^R>>^r lahko zapi_emo:

d R

R r

R R

=  + ⋅ + R

 

 ≈  + ⋅



 1 2 

2 1

2 2

1 2

2

R r ^/ R r

in ^d

R R

−3 ≈ − ⋅

3 4

1 3R r$ .

(2.6)

_len (2.5) lahko torej do prvega reda poenostavimo v:

( )

$ $

($ )$ ($ ) ($ )$

d R

R r R r R r r

R r R r

d² R² R³ R R³

1 3 3 1

− ≈ − ⋅ + − ⋅ 3





 ≈ − ⋅ + .

(2.7)

Ker smo izbrali koordinatni sistem tako, da velja ^R$= −^x$, lahko ena_bo gibanja (2.4) kon_no zapi_emo kot:

&& $ ( $ )

r = −GM r+ x−r r

GM R x

Z

2 3 3 (2.8)

Ker je gravitacijska sila konzervativna, jo lahko zapi_emo kot gradient potenciala.

&&

r ≡ −grad (2.9)

Potencial na enoto mase , ki vztreza definiciji pa je:

= − −  −







GM r

GM

R x r

Z 3

2 2

3 2

1 2

(2.10)

Iz slike 1 je razvidno, da velja ^{x= rsin cos} . Potencial lahko torej zapi_emo tudi kot:

= − − 





 ⋅ −







GM r

GM r

r R

Z

3

2 2

3 2

1 sin cos 2

(2.11)

Tukaj velja opomniti na naslednjo trigonometri_no zvezo:

sin cos = cos , (2.12)

kjer je kot med smerjo to_ke na Zemljinem povr_ju in oddaljenega planeta glede na Zemljino te_i__e.

Prvi _len potenciala prispeva privla_nost Zemlje, drugi pa je kvadrupolni _len multipolnega razvoja potenciala zaradi oddaljenega planeta. Tega lahko razvijemo po potencah ^{r R/} , koeficienti razvoja pa so sorazmerni z Legenderovimi polinomi prve vrste :

− = −

+ − = −  + −

 

 = − 





⋅







−

=

∑

∞

GM d

GM R r Rx

GM R

r R

x R

GM

R P x r

r

n R

n

n

2 2

2 2

1 2

2 0

1 2

/

(2.13)

Prvi _len razvoja (2.13), monopolni _len, ni_ ne prispeva k plimski sili, saj je za vse to_ke na povr_ini enak. Drugi, dipolni _len predstavlja energijo zaradi navora okoli te_i__a Zemlje.

Ta _len je prav tako nepomemben, ker je kompenziran z navorom sistemske centrifugalne sile. Druga_e re_eno, te_i__e Zemlje _uti prav tak_en navor za vrtenje okoli na_e masne to_ke. Ta je skrit v ena_bi (2.3). Tretji, kvadrupolni _len je prvi, ki prispeva k plimskim silam. Naslednji _len je v primeru Lune 0.02 krat tolik_en kot kvadrupolni, tako, da s kvadrupolnim _lenom opi_emo pribli_no 98% Luninega prispevka k plimovanju. Ostali prispevki, ki jih lahko izrazimo z Legenderovimi polinomi so seveda pomembni pri natan_nej_ih napovedovanjih plimovanja. Za ra_unanje vplivov Sonca pa se lahko zanesemo na kvadrupolni _len, s katerim opi_emo _e 99.996% celotnega prispevka.

V na_i obravnavi nismo upo_tevali, da Zemlja in oddaljeni planet tvorita sistem, ki se vrti okoli skupnega te_i__a, torej se vrti tudi Zemlja. To je seveda nujen popravek pri izra_unu kotne hitrosti vrtenja, na plimske sile pa nima nikakr_nega vpliva. Ker v _asu Luninega obrata vsaka to_ka na Zemlji opi_e kro_nico z enakim radijem, je sistemski potencial

1 2

2 2

b za vse enak. Tu je ² = G M+₃ M R

( Z)

kotna hitrost in ^{b M} M M R

Z

= + oddaljenost

Zemljinega te_i__a od skupnega te_i__a. Na_in vrtenja je prikazan na sliki 3 v naslednjem poglavju.

S pomo_jo zapisanega potenciala (2.11) lahko sedaj izra_unamo vi_ino plime. V stacionarnem stanju, ko se voda v oceanih prerazporedi, mora tangencialna komponenta sile izginiti. To pomeni, da se gladina oceanov prilagodi ekvipotencialni ploskvi. V primeru, ko ni plimskih sil, drugi _len v potencialu (2.11) odpade in ekvipotencialna ploskev je krogla z radijem ^RZ. S tako definiranim ^RZ lahko zapi_emo pogoj:

= − − 





 ⋅ −





 = − GM

r

GM r

r R

GM R

Z Z

Z 3

2 2

3 2

1 sin cos 2

(2.14)

Definirajmo _e relativno vi_ino gladine oceana:

h( , )≡ −r R_Z (2.15) Pogoj (2.14) lahko sedaj prepi_emo v

h M

M R r

R

M M

R

Z R

Z

Z

( , )= ⋅  sin cos − Z sin cos





 ≈  −







3 3

2 2

4 3

2 2

3 2

1 2

3 2

1 2 .

(2.16)

Edina spremenljivka od katere je odvisna vi_ina, je kot med izbrano to_ko na Zemlji in planetom (2.12). Pri izbranem kotu bo plima nastopila pri kotu = 0 in = , oseka pa pri ^{= / 2} in ^{= 3 /2}. Razlika med plimo in oseko, ki je poznana tudi kot razpon plime, pa je

∆h M

M R

Z R

= 3 Z

2

4 3

sin2 . (2.17)

Plimska deformacija ima obliko elipsoida z dolgo osjo v smeri veznice med Zemljo in oddaljenim planetom. Na ekvatorju, kjer je ^{= / 2}, je razpon plime najve_ji. Na_ izra_un daje za Luno oceno ∆h_max =0 56. m, kar se na grobo ujema z razponom izmerjenim na sredini oceana.

Plimski potencial smo v tej obravnavi zapisali za en planet, seveda pa mu lahko pri_tejemo potencial _e katerega drugega planeta. Razmerje amplitud plimovanja za vpliv Lune in Sonca lahko ocenimo iz (2.16):

h h

M M

R R

L S

L S

ZS ZL

= 

 

 ≈

3

2 2.

(2.18)

Tako idealizirano deformacijo vodne povr_ine je izra_unal _e Newton leta 1687.

3. HIDRODINAMSKA OBRAVNAVA

Do oblike plimske deformacije lahko pridemo tudi, _e ra_unamo z ena_bami za gibanje teko_in. Ta pristop je prikladnej_i za ra_unanje posledic trenja, ki jih bomo ocenili v nadaljevanju, in omogo_a izra_un deformacije, ki je nekaterim _tudentom bolj intuitiven od klasi_nega s plimskim potencialom. Velikokrat pa v poljudnih tekstih zasledimo napa_no razlago plime, ki izvira iz napa_ne interpretacije osnovnega izhodi__a za hidrodinamski izra_un. Po tej razlagi deluje zaradi Zemljinega vrtenja okoli skupnega te_i__a, ki le_i za priblji_no 72% Zemljinega radija proti Luni, na nasprotni strani Lune ve_ja centrifugalna sila, ki tam povzro_i plimo. Na strani bli_e Luni, pa naj bi bila plima posledica ve_je Lunine privla_nosti.

Zemljino te_i__e se zares vrti okoli skupnega te_i__a, ostale to_ke pa ne! Vrtenje Zemlje si na ilustartiven na_in lahko prestavljamo kot vrtenje ponve z ro_ajem, ki je v prostoru vedno enako vsmerjen. Pri tem se vsak del Zemlje vrti okoli svoje osi, te_i__e pa okoli skupnega te_i__a. Glej sliko 3.

Slika 3:

Trajektorije razli_nih to_k na povr_ju Zemlje pri kro_enju okoli skupnega te_i__a (c.m). [2]

Plimski pospe_ek je posledica Lunine privla_nosti relativno glede na gibanje Zemljinega te_i__a. Kot smo ugotovili v prej_njem poglavju _uti vsaka to_ka na Zemlji enak navor za vrtenje okoli te_i__a, kot te_i__e za vrtenje okoli vsake to_ke. Luna torej ne deluje na Zemljo z nobenim navorom (razen posredno zaradi vplivov trenja), pa_ pa deluje z navorom na “plimski val”, ki zaradi tega zares kro_i okoli skupnega te_i__a. V na_em modelu bomo predpostavili, da se voda v oceanih giblje skupaj s “plimskim valom” in upo_tevali, da zanje veljajo hidrodinamske ena_be. Velja si torej zapomniti, da plima na obeh nasprotnih straneh Zemlje ni posledica vrtenja teko_ine okoli skupnega Zemljinega in Luninega te_i__a, saj je tak_no vrtenje posledica navora na plimsko deformacijo. Za vrte_o se vodo pa veljajo naslednje hidrodinamske ena_be:

Kontinuitetna ena_ba:

t + ∇

( )

v =0 in (3.1)

Eulerjeva ena_ba:

( )

v v v f

t

+ ∇ + ∇ =p (3.2)

V Eulerjevi ena_bi nastopa na desni strani sila na enoto mase.

Izberimo si inercialni koordinatni sistem z izhodi__em v skupnem te_i__u. Vektor r= xi$ $ $+ +yj zk naj ka_e od skupnega te_i__a proti to_ki na Zemljinem povr_ju, vektor R_Zod Zemljinega te_i__a proti to_ki na povr_ju, ^RL od Luninega te_i__a proti povr_ju, vektorja ^din^D pa od skupnega te_i__a proti te_i__u Lune in te_i__u Zemlje. Razdalja med te_i__em Zemlje in te_i__em Lune naj bo^R. Glej sliko 4.

Slika 4: Sistem Zemlja-Luna z izhodi__em v skupnem te_i__u. [3]

Za hitrost vode velja:

v= × = −v r i+ j

y$ x$ (3.3)

_e privzamemo, da je voda nestisljiva, je z zapisano hitrostjo kontinuitetna ena_ba zadovoljena, saj velja ∇ =v 0.

Z upo_tevanjem privla_nosti Zemlje in Lune lahko iz Eulerjeve ena_be izlu__imo tlak, ki pa mora biti v stacionarenem stanju povsod enak. Ta pogoj je enakovreden pogoju, da se teko_ina prilagodi ekvipotencialni ploskvi. Zapi_imo torej silo, ki deluje na enoto mase.

f = −GM R_Z − R_L R

GM R

Z Z

L L

3 3

(3.4)

Ker smo privzeli, da je lokalni _asovni odvod hitrosti ^v

t =0 in ker je

( )

^{v∇ = −v 2}

(

^{xi$ $+yj}

)

, sledi iz Eulerjeve ena_be

( )

( )

[ ] [ ^{( )} ]

∇ = + − + + +

+ + + − − + +

− + +

p x y GM x d y z

x d y z

GM x D y z

x D y z

Z L

2

2 2 2 3 2

2 2 2 3 2

$ $ ( )$ $ $ ( )$ $ $

/ /

i j i j k i j k (3.5)

in re_itev za tlak

( )

( )

[ ] [ ^{( )} ]

p x y GM

x d y z

GM x D y z

konst

Z L

= + +

+ + + +

− + + +

1 2

2 2 2

2 2 2 1 2

2 2 2 1 2

/ / . (3.6)

Ker nas zanima oblika plime v koordinatnem sistemu z izhodi__em v te_i__u Zemlje, bomo uporabili standardne transformacije:

x_Z = + =x d r_Zsin cos ,

y_Z = =y r_Zsin sin , (3.7)

z_Z = =z r_Zcos .

S pogojem, da je tlak konstanten, dobimo iz (3.6) ena_bo za obliko plime:

( ) [ ]

− − + − −

− + =

1

2 2

2

2 2 2 2

2 2 1 2

r dr d GM

r

GM

r Rr L

konst

Z Z

Z Z

L

Z Z

sin sin cos

sin cos ^/

. (3.8)

Z upo_tevanjem kotne hitrosti, razdalje med skupnim in Zemljinim te_i__em ter razvoja potenciala (tretji _len v 3.8), podobno kot smo to naredili v prej_njem poglavju, se ena_ba za obliko plime do drugega reda v^rZ zapi_e kot:

− − 





  −





 − + 





 =

GM r

GM r

r R

G M M r

r

R konst

Z Z

L Z

Z Z L

Z

Z 3

2 2

3 2

3 2

1

2 2

sin cos ( ) sin

.

(3.9)

Podobno ena_bo smo _e zapisali v (2.14), le da imamo tu dodaten _len (tretji _len), ki je odvisen od kota ϑ. Ta _len, ki ga lahko zapi_emo tudi kot −1

2

2 2 2

r_Z sin predstavlja energijo zaradi mese_nega vrtenja plime okoli Zemljine simetrijske osi. Pri vrtenju okoli skupnega te_i__a, se namre_ plima vrti tudi okoli Zemljine osi. Ker pa je ta _len neodvisen od polo_aja Lune, dolo_a skupaj z dnevnim vrtenjem ni_elno vi_ino deformacije. Razmerje med tema dvema vplivoma je enako kvadratu razmerja pripadajo_ih kotnih hitrosti. Popravek k ni_elni vi_ini zaradi dnevnega vrtenja je torej okoli 0.13%.

4. DEJAVNIKI PLIMOVANJA

V prej_nih poglavjih smo izra_unali obliko plime, ki bi se v stacionarnem stanju vzpostavila zaradi enega samega planeta. Pri tem smo si z nekaterimi privzetki bitveno olaj_ali delo in tako pri_li do ocene, ki za prakti_ne namene _e zdale_ ni zadovoljiva. Vsekakor pa smo v obravnavo zajeli bistveni vzrok plimovanja. V nadaljevanju bomo opredelili _e nekatere druge dejavnike, ki so nujni za uspe_no napovedovanje plimovanja na Zemlji.

A) Vrtenje Zemlje okoli svoje osi

Za opazovalca na Luni je plimska deformacija Zemlje, _e za hip pozabimo na vplive Sonca, nehomogenosti, resonan_ne pojave in vplive trenja, vedno v obliki elipsojida z dolgo osjo vsmerjeno proti Luninemu te_i__u. _e se Zemlja ne bi vrtela okoli svoje osi, bi opazovalec na njej v enem Luninem ciklu plimo zaznal dvakrat. Zaradi dnevnega vrtenja Zemlje okoli svoje osi pa potuje plima preko to_ke na povr_ju pribli_no dvakrat na dan. Ker se Luna s periodo 27.33 dni vrti okoli Zemlje v isti smeri kot se Zemlja vrti okoli svoje osi, potuje plimska deformacija mimo dane to_ke vsakih (24+24/27.33)h. Plima torej nastopi pribli_no vsakih 12 h in 26.5 min, kar pomeni vsak dan pribli_no 53 min kasneje. Dve dnevni plimi pa nista enako veliki, ker je Zemljina os za priblji_no 23⁰ nagnjena glede na normalo Lunine orbite. Tako lahko lo_imo med dnevno in no_no plimo. U_inek nagnjenosti Zemljine osi je shemati_no prikazan na sliki 5.

Slika 5: Zaradi nagnjenosti Zemljine osi je plima v to_ki A vi_ja od plime v to_ki B. [4]

B) Plimovanje zaradi Sonca

Ugotovili smo _e, da je Lunin vpliv na plimsko deformacijo pribli_no 2.2-krat tolik_en kot Son_ev. Slednji pride najbolj do izraza ob novi in polni Luni, ko so te_i__a Zemlje, Lune in Sonca priblji_no poravnana na skupni premici, ter ob prvem in zadnjem krajcu, ko sta Sonce in Luna pod pravim kotom glede na Zemljo. Ob novi in polni Luni se oba pripevka se_tejeta, kar se ka_e v posebej veliki plimi, ob prvem in zadnjem krajcu pa si nasprotujeta, zato je plimovanje takrat manj izrazito. Na sliki 6 sta izra_unani in izmerjeni radialni del plimskega pospe_ka na 40⁰ zemljepisne _irine za obdobje 24 dni v Januarju/Februarju 1992. Lepo sta vidni dve razli_ni dnevni plimi kot tudi amplitudna modulacija zaradi vpliva Sonca.

Slika 6: Izra_unani (levo) in izmerjeni (desno) radialni del plimskega pospe_ka za Januar/Februar 1992 na 40⁰ zemljepisne _irine. [4]

C) Plimski spekter

Osnovni frekven_ni spekter plimovanja, ki ga generira eno samo telo, denimo Luna, lahko razberemo iz _lena

(

^{3cos2 −1 2}

)

^{, kjer je} kot med smerjo to_ke na Zemljinem povr_ju in Lune glede na Zemljino te_i__e.

Ker Luna ne kro_i okoli Zemljinega ekvatorja, moramo vpo_tevati tudi njeno spremenljivo zemljepisno _irino. Ozna_imo sferi_ne koordinate opazovane to_ke A z ^r, A in A ter koordinate Lune z ^R, L in L. Glej sliko 7.

Slika 7: Sistem Zemlja-Luna.

_e zapi_emo skalarni produkt ^{R r⋅ = ⋅ ⋅R r cos} , ugotovimo, da velja:

cos = sin Lsin Acos( A− L)+cos Lcos A. (4.1) Drugi Legenderov polinom lahko sedaj zapi_emo tudi kot:

( ) ^{[ ]}

( ) ( )

( ) ( ^{( )} )

1

2 3 1 3

4 2

3

4 2 2

1

8 3 1 3 2 1

2 2 2

2

cos sin sin cos ( )

sin sin cos( )

cos cos

− = −

+ −

+ − +

A L A L

A L A L

A L

(4.2)

Trije _leni razkrivajo tri osnovne komponente v spektru. Prvi _len se zaradi Zemljinega vrtenja okoli svoje osi spreminja s frekvenco 2/dan, drugi _len 1/dan in tretji zaradi gibanja Lune 2/mesec. Vidimo lahko, da sta prvi in drugi _len, ki predstavljata dvodnevno in dnevno plimovanje, enaka ni_ za severni in ju_ni pol. Ti dve to_ki ob_utita le dvomese_no komponento plimovanja.

Kot smo _e ugotovili, se zaradi orbitalnega gibanja Zemlje in Lune os plimske deformacije vrti v prostoru. _e merimo _as glede na zvezde - siderijski _as, nam torej to prinese fazno modulacijo k enodnevni in dvodnevni komponenti, zraven tega pa lahko v (4.2) vidimo tudi amplitudno modulacijo s frekvenco 2/mesec. Podobno velja tudi za plimovanje pod vplivom Sonca. Dodatne amplitudne modulacije nam prinese elipti_nost tirov. Zraven tega pa nagnjenost Lunine orbite za 5⁰ glede na ekliptiko vpliva na razmerje med dnevno in no_no plimo, ki je odvisno od polo_aja na Zemlji.

Osnovni spekter torej vsebuje frekvence 1/dan, 2/dan, 2/mesec in 2/leto. Zemljino in Lunino orbitalno gibanje prina_a tudi u_inke z dalj_o periodo, kot je na primer precesija enakono_ji. Komponente vi_jih frekvenc pa so skrite v vi_jih _lenih multipolnega razvoja.

Izra_unani spekter je zelo bogat, saj vsebuje okoli 400 komponent. _eprav so nakatere ni_je frekvence prikrite z vi_jimi, pa so zelo pomembne tam, kjer je amplituda vi_jih majhna, na primer v okolici polov.

D) Odziv trdnih tal

Plimske napetosti delujejo tako na trdno povr_je kot na oceane, vendar njun odziv _e zdale_

ni enak. Za sferi_no, homogeno Zemljo iz idealne teko_ine bi bila najvi_ja deformacija okoli 53.5 cm, povpre_na deformacija na trdih tleh pa je okoli 20cm. Ta je nelinearna in odra_a elasti_ne lastnosti Zemlje. V linearnem priblji_ku je njen odziv manj_i od idealnega za konstanten dele_, ki je odvisen od geografskih koordinat. Ta dele_ je poznan kot Love _tevilo h. Njegova vrednost je v povpre_ju 0.62.

E) Resonan_ni pojavi

Plimski spekter nam skoraj ni_ _e ne pove o dejanskem plimovanju. Seveda je treba upo_tevati _e strukturo Zemljinega povr_ja. Za plimovanje na vodi, kjer je dinamika izrazita, so resonan_ni pojavi odlo_ilen dejavnik. Vztrezna konfiguracija obal in morskega dna lahko povzro_i velika oja_anja plime. V dolgem ozkem kanalu, na primer, globina dolo_a hitrost prostega vala. Dol_ina kanala in hitrost pa dolo_ata frekvence naravnih oscilacij vode. _e lastne frekvence sovpadajo s frekvencami plimovanja, lahko pride do ogromnih resonan_nih amplitud. Razpon plimovanja se zaradi tega po svetu razlikuje celo za 20 m.

5. VPLIV TRENJA

Zaradi trenja oceanov z morskim dnom in obalo ter turbulenc in neelasti_nosti trdnega dela Zemlje, prihaja do disipacije energije. Dolg, ki ga za to pla_uje Zemlja, se ka_e v zmanj_evanju kotne hitrosti okoli svoje osi. V sto letih se tako dan podalj_a za okoli 28s.

Zato, ker se mora vrtilna koli_ina sistema Zemlja-Luna ohranjati, se Luna vsak mesec oddalji za okoli pol centimetra. Na zadnje se bo Luna oddaljila za okoli 40% dana_nje razdalje in na_ dan bo okoli 50-krat toliko dolg.

Da bi la_je razumeli kako se sistem razvija, bomo uvedli nekatere poenostavitve. Privzeli bomo, da je Lunina orbita okoli Zemlje kro_na in le_i v eklipti_ni ravnini. Ker vemo, da Zemljina os precedira okoli eklipti_ne normale s periodo 26000 let in Lunina orbita okoli Zemlje s perjodo okoli 19 let, lahko privzamemo, da sta kotni hitrosti Zemlje okoli svoje osi in Lune okoli Zemlje vzporedni. Zraven tega bomo privzeli, da je vrtilna koli_ina Lune pri vrtenju okoli svoje osi zanemarljiva, saj je njena masa veliko manj_a od Zemljine.

Zapi_imo energijo sistema Zemlja-Luna:

E M v GM M

r I

L

L Z

= 1 − +

2

1 2

2 2

. (5.1)

Tu je ^v hitrost Luninega kro_enja, ^rnjena oddaljenost od Zemlje, ^I in pa vztrajnostni moment in kotna hitrost Zemlje okoli svoje osi. Ker mora Zemljina privla_nost uravnovesiti centrifugalno sila velja:

M v r

GM M

L r

L Z

2

= 2 . (5.2)

Z ozna_bami za vrtilno koli_ino Zemlje ^{S= I} , Lune ^L = ^{M v r}L ⋅ = ^{M r}L ²Ω in vrtilno koli_ino sistema ^J = +^{L S}, lahko energijo zapi_emo tudi kot

( )

E GM M M

L

S I

L Z L

= − +

2 2

2

2 2 .

(5.3)

Zaradi ohranjevanja vrtilne koli_ine sistema lahko energijo izrazimo z vrtilno koli_ino Lune:

( ) ( )

E GM M M

L

J L I

L Z L

= − ² + −

2

2

2 2 .

(5.4)

Zaradi trenja se energija sistema in vrtilni koli_ini^Lin ^S spreminjata. Kon_no stanje sistema pa bo tisto z najni_jo energijo. S pogojem za kon_no stanje (minimum)

( )

₀

3

2 − − =

= I

L J L

M M GM dL

dE _{L Z L} (5.5)

in vpo_tevanjem zveze (5.2) ter ^{S = −J L} dobimo L

M r S

L I

∞

∞

= ∞

2 . (5.6)

Koli_ina na levi strani ena_be je kotna hitrost Lune pri vrtenju okoli Zemlje, koli_ina na desni pa Zemljina kotna hitrost okoli svoje osi, torej povzro_a trenje, da se Lunino in Zemljino vrtenje v kon_nem stanju popolnoma sklopi. Tedaj velja ^Ω∞ = ∞.

Na sliki 8 je prikazana odvisnost kotnih hitrosti od oddaljenosti Lune in Zemlje. Vidimo lahko dve re_itvi, pri katerih sta kotni hitrosti enaki. Na sorodni sliki 9 pa razberemo, da prva re_itev vztreza najvi_ji energiji sistema, druga pa najni_ji.

Slika 8: Kotna hitrost Zemlje okoli svoje osi in orbitalna kotna hitrost ^Ω v odvisnosti od oddaljenosti Lune in Zemlje^r. Indeks 0 ozna_uje trenutno vrednost. [1]

Slika 9: Energija sistema v odvisnosti od oddaljenosti ^r. [1]

Zemljin dan se dalj_a za ^{4 4.} ×¹⁰⁻⁸s dan^/ , kar vztreza kotnemu pospe_ku

&= −0 85 10. × ⁻²¹rad s/ ². (5.7)

Po _asovnem odvajanju zveze ^{L GM M}Z L ^r

2 = 2⋅ , ki sledi iz (5.2), zveze ^J = +^{L S} in

S =I lahko zapi_emo:

& & &

r r

S L

S

= −2 = −2 L

. (5.8)

S trenutnimi vrednostmi dobimo ^{r&≈0 4. cm me/ sec}. Ve_anje razdalje se nadaljuje dokler sistem ne dose_e minimalne energije pri ^r=1 44. ^r₀, _e je^r0 trenutna razdalja.

Pretakanje vrtilne koli_ine Zemljine rotacije okoli svoje osi v vtilno koli_ino Luninega orbitalnega kro_enja lahko razumemo tudi druga_e. Plimska deformacija z navorom trenja zavira Zemljino rotacijo, torej deluje tudi Zemlja z navorom na plimsko deformacijo. _e naj deluje na deformacijo nasprotno enak navor, ga mora priskrbeti Luna s plimskimi silami.

Navor plimskih sil pa je tem ve_ji, tem ve_ji je fazni zamik med osjo deformacije in osjo Zemlja-Luna. Tako plimska deformacija prehiteva Luno za okoli 2.9⁰, kar pomeni, da plima nastopi v to_kah, ki so bile to_no pod Luno ^{( . /2 9 360)×24 88. h≈12min}pred tem.

Slika 10: Trenje vle_e plimsko deformacijo pred Luno. [1]

Fazni zamik lahko izra_unamo, _e poznamo navor:

M = I&. (5.9)

Navor, ki deluje na volumski element vode, lahko ocenimo z:

( )

dM = _{H O} R_Z ⋅d d ⋅h −

 



2

2sin ( , ) .

(5.10)

Navor na enoto mase sledi iz (2.11):

− = − 





 ⋅ 3

3

GM 2

R R

R

L Z

Z sin cos sin .

(5.11)

V izra_unani vi_ini (2.16) pa moramo vpo_tevati fazni zamik :

h M

M R

Z R

( , )= Z sin cos ( − )−







4 3

2 2

3 2

1

2 . (5.12)

Integrirajmo prispevke navora po povr_ini Zemlje. Pri tem moramo izra_unati integral

[ ]

d d 3sin⁶ cos (² − ) cos −sin² sin cos

∫∫

^{. (5.13)}

Drugi _len bo z integracijo po odpadel, prvi pa bo zaradi faznega kota dal ⁴

5 sin2 . Celoten navor je tako:

M G M

M M R

R R

H O

L Z

Z Z

= −  Z

 

 





 ⋅ 6

5 2

2

2 6

2 sin .

(5.14)

Z izena_enjem (5.9) in (5.14) lahko iz izmerjene zakasnitve izra_unamo kotni pospe_ek.

6. ROCHEJEVA RAZDALJA

Plimske sile so vzrok _e enemu dobro znanemu astronomskemu pojavu. _e se manj_i planet preve_ pribli_a ve_jemu, ga plimske sile raztrgajo. Najmanj_o razdaljo, do katere se mu lahko pribli_a, da zaradi lastne te_e _e zdr_i skupaj, je prvi poskusil oceniti Edouard Roche l. 1850.

Kaj se dogaja, ko se manj_i planet pribli_uje ve_jemu? Zaradi plimskih sil se bo planet deformiral (v priblji_ku bo to kar elipsoid), deformacija pa bo spremenila lasten graviracijski potencial. Po eni strani se torej planet deformira zaradi plimski sil, po drugi strani pa se deformacija _e dodatno pove_a zato, ker so to_ke, ki so od te_i__a planeta bolj oddaljene, manj vezane z lastno gravitacijo, tiste bli_je te_i__u pa _e dodatno silijo v njegovo bli_ino.

Ocenimo, do katere razdalje bi se morala Zemlji pribli_ati Luna, da bi se zaradi omenjenih dveh u_inkov raztrgala oziroma neskon_no deformirala. V ta namen privzemimo, da je planet (Luna) vezan le z lastno te_o, torej zanemarimo notranje napetosti. Zraven tega bomo zanemarili deformacijo Zemlje in s tem popravke k plimskim silam. _eprav Luna pri izjemnih deformacijah ne ostane elipsoidna, lahko tudi to zanemarimo, saj ne bistveno vpliva na izra_un njenega lastnega te_nostnega potenciala.

Za homogen cigarast elipsojid s kraj_ima polosema dol_ine a in dalj_o polosjo dol_ine c je gravitacijski potencial na povr_ju dan z:

V G d

G a c x y z

c a c a

arcsh c a a G a c

c a

x y

a G a c

c a z x

= − = − + + −

−



 



−

 −

 



+ −

+ −

−

∫

^{3 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2}

1 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

2

1 2

2

2 2 r'

r r' ( )

/

(6.1)

Zanima nas potencial v dveh skrajnih to_kah, ^{P x( = =y 0,z = c)} in Q x( ² +y² = a z², = 0). Glej sliko 11.

( )

V G a c a

c a

arcsh c a a

c c a

P = ⋅

−

 −

 

 −

−













2 ²

2

2 2 3 2

2 2

2 1 2

2 2

/

/

(6.2)

( )

V G a c c a

c a

arcsh c a a

c c a

Q = ⋅ − −

−

 −

 

 +

−













2

2 2

2 2 3 2

2 2

2 1 2

2 2

2

/

/

(6.3)

Slika 11: Geometrija za izra_un Rocejeve razdalje. [5]

Da bi izra_unali elipti_nost Lune moramo upo_tevati celoten potencial v to_kah P in Q. K lastni te_nosti moramo torej dodati _e potencial zaradi Zemlje. To je garvitacijski potencial in potencial zaradi rotacije okoli skupnega te_i__a, ki ga dolo_imo s privzetkom, da zaradi navora plimskih sil Luna vedno ka_e Zemlji isti obraz. Ker se deformacija prilagodi ekvipotencialni ploskvi, velja:

V GM R c

M

M M R c V GM

R

M

M M R

P

Z Z

Z L

Q

Z Z

Z L

− − −

+ −



 

 = − −

+



 

 1

2

1 2

2

2

2

2

(6.4)

Z ozna_bo^{M M}

M M

c R

M M c

R

Z

L Z

L Z

* ≡

+ −  +

 



−





















1 3 3 1

1

in upo_tevanjem kotne hitrosti , lahko

pogoj (6.4) lep_e zapi_emo kot :

V V GM c

P− Q = 3 ⋅R 2

2 3

* . (6.5)

Po drugi strani pa sledi iz (6.2) in (6.3):

( )

V V G a c c a c a

arcsh c a a

c c a

P − Q = ⋅ +

−

 −

 

 −

−













2

2 2

2 2 3 2

2 2

2 1 2

2 2

2 3

/

/

. (6.6)

Pri kriti_ni oddaljenosti, ki jo i__emo, poljubno majhna sprememba oddaljenosti povzro_i poljubno veliko deformacijo. Veljati mora torej pogoj ^{de dR}→ ∞ oziroma ^{dR de}→0,

kjer je elipti_nost dana z ^{e= (c2 −a2) /a2} . Zaradi ugodnosti definirajmo _e radij krogle, ki ima enak volumen kot na_ elipsoid: ^{r0 ≡}

( )

^{a c2 1 3/} . Tako lahko zapi_emo ^c=r0

( )

^{1+e2 −1 6/ .}

Elipti_nost najdemo, _e izena_imo (6.5) in (6.6):

3

( )

2 2 1 3 2

1

3 3

0 3

3 3

2 2 1 2

M R

r M

M

R e

e e

arcsh e e

L

* *

/ ( )

= = +

+ −











. (6.7)

Ko ena_bo (6.7) odvajamo po elipti_nosti in upo_tevamo pogoj ^{dR de→0}, dobimo ena_bo, ki dolo_a kriti_no elipti_nost, to je elipti_nost pri Rochejevi razdalji:

(

^{4e4 +14e2+9}

)

^{arcsh e( )=}

(

^9e+8e3

)( )

^{1+e2 1 2/ . (6.8)}

Njena numeri_na vrednost je ^{e=1 676.} . Iz (6.7) nato sledi Rochejeva razdalja:

R M

M r M

M R

L Z

Z

=  Z

 

 = 

 

 

 



2 42 2 42

1 3 0

1 3 1 3

. .

* / * / /

,

(6.9)

kjer sta Z in ^RZ gostota in radij Zemlje.

Ker je ^M* odvisen od razdalje, bomo v prvi iteraciji faktor

(

^{M* MZ}

)

^{1 3/} izpustili. Z vrednostmi Z =5515kg m/ ³ in = 3340kg m/ ³ dobimo ^R=2 86. ^RZ, ki omogo_a izra_un popravka

(

^{M* MZ}

)

^{1 3/ =1 037. .}

Kon_ni rezultat je tako:

R=2 97. R_Z. (6.10)

V astronomski literaturi je Rochejeva razdalja obi_ajno definirana za planeta z enakima gostotama. V tem primeru dobimo splo_no zvezo:

R=2 44. R_planet. (6.11)

7. LITERATURA

[1] Vernon D. Barger, Martin G. Olsson, Classical Mechanics (McGraw-Hill, New York,

1973), 265-274.

[2] A. B. Arons, Basic physics of the semidiurnal lunar tide, American Journal of Physics 47, Nov. 1979, 934-937.

[3] P. Seligmann, M. Steinberg, Simple hydrodynamic treatment of ocen tide, American Journal of Physics 43, dec. 1975, 1106-1108.

[4] Mitchell M. Withers, Why do tides exist?, The Physics Teacher 31, oct. 1993, 394- 398.

[5] Frank D. Stacey, Physics of the Earth (Wiley, New York, 1977), 86-133 [6] Judah Levine, The earth tides, The Physics Teacher, dec. 1982, 588-595.

[7] Emanuel Tsantes, Note on the tides, American Journal of Physics 42, april 1974, 330- 333.

[8] Edgar Horsfield, Cause of the earth tides, American Journal of Physics 44, august 1976, 793-794.

[9] Neil M. Shea, Estimating the power in the tides, The Physics Teacher, oct. 1987, p.

426.

[10] Laurent Hodges, Tides, eclipses, and the densities of the Sun and the Moon, The Physics Teacher, oct. 1987, p. 427.

[11] Gary White, Tony Mondragon, David Slaughter, Dorothy Coates, Modelling tidal effects, American Journal of Physics 61, april 1993, 367-371.