Dolˇ zina loka

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇSKA FAKULTETA

ANJA TISOVEC

DOLˇZINA LOKA V RAVNINSKI p-METRIKI DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇSKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI U ˇCITELJ MATEMATIKA-RA ˇCUNALNIˇSTVO

ANJA TISOVEC

Mentor: IZR. PROF. DR. MARKO SLAPAR

DOLˇZINA LOKA V RAVNINSKI p-METRIKI DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

Na koncu vsake poti je prav, da se ozremo nazaj in se spomnimo svojih sopotnikov.

V prvi vrsti iskrena hvala dr. Marku Slaparju za mentorstvo in strokovno vodenje.

Hvala lektorici Mojci in sestriˇcni Sanji za pomoˇc pri konˇcnih popravkih mojega diplomskega dela.

Najveˇcja zahvala pa vsem mojim za podporo, energijo, ˇcas in spodbude, ki so vedno priˇsle v pravem trenutku.

Povzetek

V diplomski nalogi se ukvarjamo z raˇcunanjem dolˇzine loka v ravninski p-metriki. Najprej definiramo metriko kot funkcijo merjenja razdalje in si ogledamo nekaj konkretnih osnovnih primerov metrik ter nadaljujemo s predstavitvijo nekaj sploˇsno znanih izraˇcunov razdalje v evklidskem prostoru. Spoznamo taksi metriko, maksimum metriko in bolj sploˇsno p-metriko.

Vsako od navedenih metrik utemeljimo s pomoˇcjo ˇstirih aksiomov metrike in obravnavamo nekaj osnovnih lastnosti p-metrike. V drugem in hkrati glavnem delu diplomskega dela predstavimo naˇcine raˇcunanja dolˇzine loka v prej navedenih metrikah v ravnini z metodo aproksimacije.

Kljuˇcne besede: evklidska metrika, taksi metrika, maksimum metrika, p-metrika, dolˇzina loka

Abstract

In this diploma thesis, we show how to calculate the ark length of a plane curve in the planar p-metric. We first give some basic concrete examples of metrics and then continue with presenting the standard distance functions in Euclidian spaces. We get familiar with the taxicab metric, maximum metric and the more general p-metric. We show that each of them satisfies the four axioms of metric functions and present some basic properties of p-metrics.

In the second and main part of our diploma thesis, we show how to calculate the arc length of a curve in all these different metrics in the plane, using the geodesic approximation method.

Key words: Euclidian metric, taxicab metric, maximum metric, p-metric, arc length

Kazalo

Poglavje 1. Uvod 1

Poglavje 2. Metrika 3

2.1. Definicija metrike 3

2.2. Evklidska metrika 5

2.3. Taksi metrika 5

2.4. Maksimum metrika 7

2.5. Druˇzina p-metrik 8

Poglavje 3. Dolˇzina loka 13

3.1. Definicija dolˇzine loka v ravninskih metrikah 13

3.2. Dolˇzina loka v evklidski metriki 15

3.3. Dolˇzina loka v taksi metriki 17

3.4. Dolˇzina loka v maksimum metriki 20

3.5. Dolˇzina loka v sploˇsni p-metriki 22

Poglavje 4. Sklep 23

Literatura 25

POGLAVJE 1

Uvod

Matematika se je zaˇcela pred veˇc tisoˇc leti na obmoˇcju velikih civilizacij. Razlogi za razvoj so bili razliˇcni: za potrebe poljedeljstva se je morala razviti astronomija, drˇzavniki so morali na premiˇsljen naˇcin med ljudstvo razdeliti zaloge hrane, pobirali so davke. Eden izmed mnogih razlogov je bilo tudi merjenje parcel, za kar so morali dodobra razviti geometrijo in s tem tudi merjenje razdalje. Evklid je ˇze 300 pr.n.ˇst. zasnoval to, kar danes poznamo pod pojmom evklidska geometrija.

Se pa v doloˇcenih situacijah zgodi, da je smiselno pri reˇsevanju problemov uporabiti drugaˇcne vrste merjenja razdalj in s tem tudi drugaˇcne geometrije. Eden od takih primerov je mer- jenje razdalj v moderno zasnovanih mestih, kjer se ulice sekajo pravokotno. V tem primeru najkrajˇsa pot med dvema mestoma ni veˇc daljica, ki ti dve toˇcki povezuje, temveˇc lomljena ˇ

crta, ki je vzporedna z osema. Takˇsnemu naˇcinu merjenja razdalje v ravnini reˇcemo taksi metrika, geometriji, ki jo porodi pa taksi geometrija.

S tem, ko v evklidski prostor vpeljemo nov naˇcin merjenja razdalje, drugaˇce obravnavamo tudi geometrijske koncepte, ki jih merjenje razdalje porodi. To so na primer dolˇzine lo- kov, ploˇsˇcine oziroma volumni mnoˇzic, pa tudi razne ukrivljenosti. V diplomskem delu bomo obravnavali predvsem problem merjenja razdalje v ravnini ob uporabi razliˇcnih metrik. Osre- dotoˇcili se bomo torej na merjenje dolˇzine loka v ravnini.

Za zaˇcetek se bomo ozrli na matematiˇcne koncepte, ki nam bodo v pomoˇc pri razumeva- nju tematike. Koncepte povezane z metriko bomo podrobneje pojasnili v prvem poglavju.

Pogledali si bomo nekaj razliˇcnih primerov merjenj razdalj v evklidskem prostoru in pokazali nekatere lastnosti posameznih metrik. Tako bomo predstavili nekaj sploˇsno znanih raˇcunanj razdalje - od tistih, ki jih poznamo ˇze vse od osnovne ˇsole, pa vse do zelo realnih situacij, s katerimi se vsakodnevno sreˇcujejo taksisti v veˇcjih svetovnih mestih. Omenili bomo tudi naˇcin merjenja razdalje, ki ni tako vsakdanji - maksimum metriko. Vse te metrike lahko obravnavamo kot posebne primere druˇzine p-metrik.

1

POGLAVJE 2

Metrika

V tem poglavju bomo predstavili nekatere osnovne pojme o metriˇcnih prostorih in razliˇcne metrike na evklidskih prostorih. Sploˇsna teorija je v tem poglavju povzeta po [1], [2] in [3].

2.1. Definicija metrike

Metrika je matematiˇcna funkcija, ki nam definirarazdaljo med dvema elementoma iz izbrane mnoˇzice. Od tako definirane razdalje priˇcakujemo doloˇcene lastnosti. Te so zajete v naslednji definiciji metrike.

Definicija 2.1. Naj bo X neprazna mnoˇzica. Realni funkciji d : X ×X → R, ki slika iz mnoˇzice urejenih parov v realna ˇstevila, pravimo metrika ali funkcija razdalje, ˇce zadosti naslednjim ˇstirim aksiomom

(1) za vsakx, y iz X veljad(x, y)≥0 (2) d(x, y) = 0 natanko tedaj, ko je x=y.

(3) za vsakx, y iz X veljad(x, y) = d(y, x).

(4) za vsakx, y, z iz X veljad(x, z)≤d(x, y) +d(y, z)

Ce funkcijaˇ d ne zadosti drugemu aksiomu iz definicije, zadoˇsˇca pa vsem ostalim, je d pse- udometrika. Pogoji iz definicije so za nas precej naravne lastnosti, ki jih priˇcakujemo od pojma razdalja. Ob preverjanju aksiomov metrike imamo pogosto najveˇc dela z zadnjim, ki ga imenujemo tudi trikotniˇska neenakost. Intuitivno nam trikotniˇska neenakost pove, da bo razdalja daljˇsa, ˇce ne gremo neposredno od toˇcke xdo toˇcke z, temveˇc na naˇsi poti obiˇsˇcemo ˇse toˇcko y.

Opomba 2.2. Prvo lastnost definicije metrike lahko v resnici izpeljemo iz ostalih treh, saj za vsaka x, y iz X velja

2d(x, y) =d(x, y) +d(y, x)≥d(x, x) = 0

in zato d(x, y) ≥ 0. Naˇceloma je prvi aksiom v definiciji metrike torej nepotreben, ga pa pogosto vseeno zapiˇsemo zaradi preglednosti.

Poglejmo si nekaj preprostih primerov metrik.

Primer 2.3. Naj bo X poljubna neprazna mnoˇzica in funkcija d : X×X → R definirana kot

d(x, y) =

(0 ; x=y 1 ; sicer

3

4 2. METRIKA

Prve tri lastnosti iz definicije metrike so oˇcitne. V nadaljevanju navajamo ˇse trikotniˇsko neenakost.

Ce veljaˇ x=z, potem je d(x, z) = 0, in trikotniˇska enakost velja.

Ce jeˇ x6=z in je bodisi x=y bodisi y=z, jed(x, z) = d(x, y) +d(y, z) = 1.

Ce pa so si vse tri toˇˇ cke razliˇcne, je 1 =d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) = 2. Sledi 1≤2.

Vsako mnoˇzico torej lahko opremimo z neko metriko. Metriko iz primera 2.3 imenujemo trivialna metrika.

Primer2.4. Verjetno je najbolj znan in najbolj preprost netrivialen primer metrike obiˇcajna razalja na realni osi, torej

d(x, y) = |x−y|.

Primer 2.5. Naj bo d poljubna metrika na mnoˇzici X in definirajmo d⁰(x, y) =

(d(x, y) ; d(x, y)≤1 1 ; d(x, y)>1.

Hitro lahko preverimo, da je d⁰ prav tako metrika na X. Edino kar ni oˇcitno je trikotniˇska neenakost. Preverimo torej, ali metrika d⁰ ustreza tudi ˇcetrtemu aksiomu.

Naj bodo x, y, z ∈ X poljubne toˇcke. Ce veljaˇ d(x, y) ≤ 1, d(x, z) ≤ 1 in d(y, z) ≤ 1, trikotniˇska enakost za d⁰ velja, saj je v tem primeru d=d⁰. ˇCe jed(x, z)>1, potem je leva stran trikotniˇske neenakosti za d⁰ enako 1. ˇCe je katera koli izmed vrednosti d(x, y) oziroma d(y, z) veˇcja od 1, je desna stran veˇcja ali enaka 1. ˇCe pa sta obe vrednosti manjˇsi ali enaki 1, pa trikotniˇska neenakost za d⁰ takoj sledi iz trikotniˇske enakosti za d.

Ta primer nam pokaˇze, da lahko vsako metriko spremenimo tako, da bo postala omejena, ne da bi spremenili, kako se metrika obnaˇsa pri toˇckah, ki so si blizu.

2.3. TAKSI METRIKA 5

2.2. Evklidska metrika

Zaˇcnimo z evklidsko metriko, ki jo vsi dobro poznamo. Pri razumevanju pa si pomagajmo s sliko 1.

Slika 1. Evklidska razdalja

Definicija 2.6. Evklidska metrika ali evklidska razdalja je premoˇcrtna razdalja med dvema toˇckama v evklidskem prostoru. ˇCe sta x in y toˇcki v Rⁿ in velja x = (x1, x2, . . . , xn) ter y= (y1, y2, . . . , yn), potem je

d₂(x, y) = p

(x₁−y₁)²+ (x₂−y₂)²+· · ·+ (x_n−y_n)² = v u u t

n

X

i=1

(x_i−y_i)².

• Ena dimenzija (n=1).: Evklidska razdalja med dvema toˇckama na realni osi je absolutna vrednost razlike numeriˇcne vrednosti obeh toˇck. Torej je razdalja d med toˇckama x in y podana kot

d₂(x, y) = p

(x−y)² =|x−y|.

• Dve dimenziji (n=2).: V evklidski ravnini, kjer sta x in y podana kot x = (x1, x2) in y= (y₁, y₂), je razdaljad podana s Pitagorovim izrekom:

d₂(x, y) =p

(x₁−y₁)²+ (x₂−y₂)². 2.3. Taksi metrika

Preden zaˇcnemo s formalnimi definicijami merjenja razdalje v taksi geometriji, si najprej oglejmo kako takˇsna geometrija sploh izgleda.

Predstavljajmo si, da se znajdemo na ˇzelezniˇski postaji na Manhattnu (toˇckax). Namenjeni smo v tamkajˇsnjo opero (toˇckay), zanima pa nas, kako najhitreje priti tja. Torej nas zanima

6 2. METRIKA

H

Slika 2. Prikaz razdalje med x in y v taksi metriki

razdalja med ˇzelezniˇsko postajo in opero. Seveda bi na cilj najhitreje prispeli z letalom, vendar to ˇzal ni mogoˇce. Odloˇcimo se, da bomo potovali kar peˇs. Znaˇcilnost Manhattna so ulice in ceste, ki se med seboj pravokotno sekajo. Do cilja lahko torej potujemo po razliˇcnih poteh (slika 2), vendar pa po vseh enako hitro (ker se odpravimo peˇs, nas prometne konice med potovanjem ne ovirajo). [4]

Ideja taksi metrike izhaja iz ˇzelje po definiranju nove oblike ne-evklidske geometrije z zaˇcetka 20. stoletja. Prvi je novo obliko geometrije nakazal nemˇski matematik in fizik Herman Minkowski (slika 3).

Slika 3. Hermann Minkowski (1864 - 1909)

Vendar pa Minkowski ni uporabljal poimenovanja ”taksi metrika”. Tega je skoval Karl Men- ger leta 1952, ko je v okviru geometrijske razstave v Muzeju znanosti in industrije v Chicagu izdelal tudi knjiˇzico, kjer je prviˇc uporabil izraz ”taksi metrika”. Danes to vrsto merjenja razdalje poznamo tudi kot urbano metriko. [5]

2.4. MAKSIMUM METRIKA 7

Veˇc si lahko preberemo v knjigi ”Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geo- metry”, Eugene Krause, 1975.

Definicija 2.7. Taksi metrika (znana tudi kot Manhattan razdalja), je definirana kot raz- dalja med toˇckama x = (x₁, x₂, . . . , x_n) in y = (y₁, y₂, . . . , y_n) v n-dimenzionalnem realnem prostoru Rⁿs fiksnim koordinatnim sistemom. Natanˇcneje: kot vsota dolˇzin projekcij daljice med toˇckama na koordinatni osi. Ali formalno

d1(x, y) = |x1−y1|+|x2−y2|+· · ·+|xn−yn|=

n

X

i=1

|xi −yi|.

Trikotniˇska neenakost za taksi metriko sledi direktno iz trikotniˇske neenakosti za obiˇcajno absolutno vrednost. Ostali aksiomi so prav tako oˇcitni.

• Ena dimenzija (n=1): Na premici je taxi metrika enaka kar obiˇcajni razdalji d₁(x, y) = |x−y|.

• Dve dimenziji (n=2): V evklidski ravnini, kjer sta x in y podana kot x = (x₁, x₂) in y = (y₁, y₂), bi taksi metriko zapisali kot

d₁(x, y) = |x₁−y₁|+|x₂−y₂|.

Pri ˇsahu se v skladu s taksi metriko pomika trdnjava, ki se premika le vzporedno s koordina- tnima osema, in lovec, ki se pomika le po diagonalnih poljih iste barve (njegovi koordinatni osi sta torej rotirani pod kotom 45). [6]

2.4. Maksimum metrika

Definicija 2.8. Maksimum metrika je v prostoru Rⁿ definirana kot razdalja med dvema toˇckama x= (x₁, ..., x_n) in y= (y₁, ..., y_n) s pravilom

d∞(x, y) = max{|x₁−y₁|, ...,|x_n−y_n|}= max

i=1,...,n|x_i−y_i|.

Prve tri lastnosti metrike so oˇcitno izpolnjene. Poglejmo si ˇse trikotniˇsko neenakost.

Naj bodo x= (x₁, . . . , x_n),y= (y₁, . . . , y_n) in z = (z₁, . . . , z_n) poljubne toˇcke iz Rⁿ. Ker pri vsakem k ∈ {1, . . . , n}velja |x_k−z_k| ≤ |x_k−y_k|+|y_k−z_k|, sledi

i=1,...,nmax |x_i−z_i| ≤ max

i=1,...,n(|x_i−y_i|+|y_i−z_i|)

≤ max

i=1,...,n|x_i−y_i|+ max

i=1,...,n|y_i−z_i|.

• Ena dimenzija (n=1): Maksimum metrika med dvema toˇckama na realni osi je pravzaprav enaka evklidski metriki v eni dimenziji. Torej je razdalja d∞ med toˇckama x in y podana kot

d∞(x, y) =|x−y|.

8 2. METRIKA

• Dve dimenziji (n=2): V ravniniR², kjer sta toˇcki x iny definirani kot x= (x₁, x₂) in y= (y₁, y₂), maksimum metrika predstavlja najveˇcjo izmed vertikalne ali horizontalne razdalje (glej sliko 4):

d∞(x, y) = max{|y₁−x₁|,|y₂−x₂|}.

Slika 4. Maksimum metrika v ravnini

Oglejmo si primer izraˇcuna razdalj po metrikah, ki smo jih spoznali do sedaj. Opazili bomo, da se razdalje med dvema toˇckama v razliˇcnih metrikah precej razlikujejo.

Primer 2.9. V ravnini R² leˇzita toˇcki A(6,1) in B(2,4). Kako daleˇc sta ena od druge, ˇce merimo z:

- evklidsko metriko: d2((6,1),(2,4)) =p

(6−2)²+ (1−4)² =√

25 = 5, - taksi metriko: d₁((6,1),(2,4)) =|6−2|+|1−4|= 4 + 3 = 7,

- maksimum metriko d∞((6,1),(2,4)) = max{|6−2|,|1−4|}= max{4,3}= 4.

Takoj tudi opazimo, da d∞ ≤d₂ ≤d₁. Seveda ta neenakost velja povsem sploˇsno, kar lahko hitro zaznamo.

2.5. Druˇzina p-metrik

Vse tri metrike, ki smo jih vpeljali zgoraj, so posebni primeri tako imenovanih p-metrik.

2.5. DRUˇZINA P-METRIK 9

Definicija 2.10. Naj bosta x= (x₁, ..., x_n) iny = (y₁, ..., y_n) toˇcki v prostoru Rⁿ. Metrika d_p med tema toˇckama je za 1≤p < ∞definirana s predpisom

dp(x, y) = p^p

|x1−y1|^p+|x2−y2|^p+· · ·+|xn−yn|^p = ^p v u u t

n

X

i=1

|xi−yi|^p.

V primeru, da je p=∞, d_p postane maksimum metrika.

• Ena dimenzija (n=1): Vsakap-metrika med dvema toˇckama na realni osi je enaka obiˇcajni evklidski metriki v eni dimenziji

d∞(x, y) =|x−y|.

• Dve dimenziji (n=2): V ravnini R², kjer sta toˇcki x in y definirani kot x = (x₁, x₂) in y= (y₁, y₂), jep-metrika enaka

d_p(x, y) = ^p q

|x₁−y₁|^p+|x₂−y₂|^p.

S pomoˇcjo vira [1], dokaˇzimo, da je predstavljena druˇzina res druˇzina metrik. Dokaz bo sledil iz naslednje trditve.

Trditev 2.11 (Neenakost Minkovskega). : Naj bodo x1, . . . , xn in y1, . . . , yn nenegativna ˇstevila in p≥1. Potem velja

n

X

i=1

(x_i+y_i)^p

!1/p

≤

n

X

i=1

x^p_i

!1/p

+

n

X

i=1

y_i^p

!1/p

.

Dokaz. Naj bo (x₁, . . . , x_n) =a(v₁, . . . , v_n) in (y₁, . . . , y_n) =b(w₁, . . . , w_n), pri ˇcemer je a=

_n P

i=1

x^p_i 1/p

,b = _n

P

i=1

y_i^p 1/p

, in zato

n

P

i=1

v_i^p = 1 ter

n

P

i=1

w^p_i = 1. Ker je u7→ |u|^p konveksna funkcija za p≥1, za vsak i∈ {1, . . . , n} velja

(tv_i+ (1−t)w_i)^p ≤tv^p_i + (1−t)w_i^p in zato

n

X

i=1

(tv_i+ (1−t)w_i)^p ≤

n

X

i=1

(tv^p_i + (1−t)w_i^p) = 1.

Ce vstavimoˇ t = _a+b^a , dobimo

1 (a+b)^p

n

X

i=1

(xi+yi)^p ≤1 oziroma

n

X

i=1

(x_i+y_i)^p

!

≤





n

X

i=1

x^p_i

!1/p

+

n

X

i=1

y_i^p

!1/p



p

.

10 2. METRIKA

Izrek 2.12. Za 1≤p <∞ je d_p metrika na Rⁿ.

Dokaz. Kot obiˇcajno, je zares potrebno dokazati le trikotniˇsko neenakost, saj so ostale lastnost oˇcitne. Dokaz trikotniˇske neenakosti je direktna posledica neenakosti Minkowskega:

d_p(x, y) +d_p(y, z) =

n

X

i=1

|x_i−y_i|^p

!1/p

+

n

X

i=1

|y_i−z_i|^p

!1/p

≥

n

X

i=1

(|x_i−y_i|+|y_i−z_i|)^p

!1/p

≥

n

X

i=1

|x_i−z_i|^p

!1/p

=d_p(x, z).

Poglejmo si, da se razdalja med toˇckama zmanjˇsuje, ˇce poveˇcujemo parameter p v druˇzini p-metrik.

Trditev 2.13. Naj bo p ≥ q ≥ 1 in x = (x₁, . . . , x_n) ter y = (y₁, . . . , y_n) poljubni toˇcki iz Rⁿ. Potem je dp(x, y)≤dq(x, y).

Dokaz. Predpostavimo, dax6=yin za vsaki∈ {1, . . . , n},oznaˇcimoz_i = ^|x_d^i−yi|

q(x,y). Potem za vsak i velja 0≤z_i ≤1 in zato

n

X

i=1

z_i^p ≤

n

X

i=1

z_i^q oziroma

1 (d_q(x, y))^p

n

X

i=1

|xi−yi|^p ≤ 1 (d_q(x, y))^q

n

X

i=1

|xi−yi|^q = 1,

kar pa ravno pomeni, da je d_p(x, y)≤d_q(x, y).

Oznaka d∞ za maksimum metriko se tako dobro vklopi v naˇso druˇzino p-metrik. Vrednosti d_p(x, y) se pribliˇzujejo vrednostid∞(x, y).

Trditev 2.14. Naj bosta x = (x₁, . . . , x_n) in y = (y₁, . . . , y_n) poljubni toˇcki iz Rⁿ. Potem velja

p→∞lim d_p(x, y) = d∞(x, y).

Dokaz. Naj bo d=d∞(x, y) = max_i=1,...,n|x_i−y_i|in z_i = ^|xi−y_d ^i|. Potem je d_p(x, y) =

n

X

i=1

|x_i−y_i|^p

!1/p

=d

n

X

i=1

z_i^p

!1/p

.

2.5. DRUˇZINA P-METRIK 11

Ker za vsak i veljaz_i ≤1, pri ˇcemer je vsaj za en tak i vrednostz_i = 1, je 1≤

n

X

i=1

z_i^p

!1/p

≤n^1/p

in zato

p→∞lim

n

X

i=1

z_i^p

!1/p

= 1 in s tem

p→∞lim dp(x, y) =d=d∞(x, y).

Druˇzino p-metrik smo definirali le za 1 ≤ p < ∞ in posebej za p = ∞. Kaj pa se zgodi v primeru, ko je p < 1? Hitro lahko ugotovimo, da v primeru p ≤ 1 funkcija d_p ne zadoˇsˇca trikotniˇski neenakosti. Poglejmo si to v primeru dveh dimenzij (n= 2).

Naj bo x= (1,0), y= (0,0) inz = (0,1). Potem je dp(x, y) = dp(y, z) = 1 in dp(x, z) = 2^1/p. V primeru, ko je p < 1, je torejd_p(x, z)>2≥d_p(x, y) +d_p(y, z). Nekoliko bolj geometrijsko bi lahko opazili, da je trikotniˇska neenakost za funkcijed_p pravzaprav posledica konveksnosti enotske krogle s srediˇsˇcem v izhodiˇsˇcu koordinatnega sistema. Torej mnoˇzice

Kp(0; 1) ={x∈Rⁿ, dp(0, x)≤1}.

V primeru, ko je p ≥1, je ta mnoˇzica konveksna, ˇce je p <1 pa ni konveksna. Slika 5 nam prikazuje mnoˇzico K_2/3 v primeru n= 2.

Slika 5. Astroida s formulo |x|^2/3+|y|^2/3 = 1

POGLAVJE 3

Dolˇ zina loka

V tem poglavju bomo predstavili, kako lahko izraˇcunamo dolˇzino loka (krivulje) v R² v razliˇcnih metrikah, ki smo jih predstavili v prvem poglavju. Razen nekoliko bolj sploˇsne obravnave v naslednjem razdelku, se bomo v tem poglavju omejili na raˇcunanje dolˇzine loka grafa funkcije f : [a, b] →R v ravnini in ne bomo obravnavali povsem sploˇsnih krivulj v R². Seveda bralec lahko zlahka posploˇsi izraˇcune na primer bolj sploˇsnih krivulj.

3.1. Definicija dolˇzine loka v ravninskih metrikah

Naj bod:R×Rneka metrika ins: [a, b]→R² poljubna zvezna preslikava. V nadaljevanju se bomo ukvarjali predvsem z ravninskimip-metrikami, tako da si zveznost lahko predstavljamo kar kot obiˇcajno zveznost. V primeru bolj sploˇsne metrikedpa je smiselno predpostaviti, da je preslikava zvezna kot preslikava v metriˇcni prostor (R², d). Kasneje bomo seveda predpostavili kaj veˇc od preslikave s. Obiˇcajno bomo predpostavili zvezno odvedljivost.

Dolˇzino slike preslikave s ne moremo izmeriti kar z ravnilom. Zato postopamo s pomoˇcjo metode aproksimacije. Na intervalu [a, b] si izberemo konˇcno mnogo toˇck a = x0 < x1 <

· · · < x_n−1 < x_n = b. Torej si izberemo delitev D intervala [a, b]. Tako dobimo n+ 1 toˇck na loku s, in sicer T₀ = s(x₀), T₁ = s(x₁). . . , T_n = s(x_n). Razdalja med dvema sosednjima toˇckama Tk−1 in T_k je v naˇsem primeru seveda odvisna od izbrane metrike d, in je enaka d(Tk−1, T_k). Definirajmo

λ(s, D) =

n

X

k=1

d(Tk−1, Tk) kot aproksimacijo dolˇzine loka pri dani delitvi D.

Trditev 3.1. Naj bosta D = {x₀, x₁, . . . .x_n} in D⁰ = {x⁰₀, x⁰₁, . . . .x⁰_m} dve delitvi intervala [a, b], pri ˇcemer je D⊂D⁰ (reˇcemo, da je delitev D⁰ bolj fina od delitve D). Potem velja

λ(s, D⁰)≥λ(s, D).

Dokaz. Dokaz je direktna poslednica trikotniˇske neenakosti.

Zgornja trditev nam pove, da nam finejˇse delitve naˇceloma poveˇcajo vrednost aproksimacije dolˇzine loka. V kolikor so aproksmacije omejene z neko vrednostjo, lahko definiramo dolˇzino loka.

Definicija 3.2. Naj bo s: [a, b]→(R², d) zvezna preslikava. ˇCe obstaja supremum l(s) = sup

D

λ(s, D)

13

14 3. DOLˇZINA LOKA

reˇcemo, da ima preslikava s konˇcno dolˇzino l(s). ˇCe supremum ne obstaja, reˇcemo, da ima preslikava s neskonˇcno dolˇzino.

Seveda se lahko zgodi, da je dolˇzina loka neskonˇcna, ˇce smo od s predpostavili le zveznost.

Kasneje bomo videli, da je v primeru, ko je s zvezno odvedljiva in imamo opravka z eno od p-metrik, dolˇzina loka vedno konˇcna.

Trditev 3.3. Naj bo s: [a, b]→(R², d) zvezna. Naj bo c∈(a, b) in definirajmo s₁ =s|_[a,c]: [a, c]→ (R², d) ter s₂ =s|_[c,b] : [c, b]→ (R², d). Potem ima s konˇcno dolˇzino natanko tedaj, ko imata s₁ in s₂ konˇcno dolˇzino. Velja

l(s) = l(s₁) +l(s₂).

Dokaz. Pri dokazovanju trditve 3.3, se bomo oprli na [1] in trditev 3.1.

Vzemimo poljubno delitevD₁ intervala [a, c], poljubno delitevD₂ intervala [c, b] in naj bosta s₁ in s₂ pripadajoˇca loka. Jasno je, da pri zdruˇzitvi teh dveh delitev dobimo novo delitev D=D1∪D2 intervala [a, b].

Oˇcitno je vsota aproksimacij dolˇzin loka pri delitvah D1 in D2 enaka aproksimaciji dolˇzine loka pri delitvi D in kveˇcjemu enaka dolˇzini celotnega loka.

λ(s₁, D₁) +λ(s₂, D₂) =λ(s, D)≤l(s)

Ker je λ(s₁, D₁)≤l(s)−λ(s₂, D₂) za katerokoli delitevD₁ intervala [a,c], je tudi l(s₁)≤l(s)−λ(s₂, D₂).

Tako dobimo λ(s₂, D₂) ≤ l(s) +l(s₁). Ker to velja tudi za vsako delitev D₂ intervala [c, b], je tudi l(s₂)≤l(s)−l(s₁) oziroma

l(s1) +l(s2)≤l(s).

Vzemimo sedaj poljubno delitev D intervala [a, b]. Naj bo D⁰ finejˇsa delitev od delitve D∪(a, c, b). Potem je D⁰ = D₁ ∪D₂ za neko delitev D₁ intervala [a, c] in neko delitev D₂ intervala [c, b]. Po trditvi 3.1 velja

λ(s, D)≤λ(s, D⁰) =λ(s₁, D₁) +λ(s₂, D₂)≤l(s₁) +l(s₂).

Ker to velja za vsako delitev D, je tudi l(s)≤l(s₁) +l(s₂).

3.2. DOLˇZINA LOKA V EVKLIDSKI METRIKI 15

3.2. Dolˇzina loka v evklidski metriki

Za zaˇcetek si poglejmo raˇcunanje dolˇzine loka v obiˇcajni evklidski razdalji.

Slika 6. Aproksimacija v metriki d₂

Kot lahko opazimo, smo na sliki 6 graf funkcije f aproksimirali s poligonsko ˇcrto, doloˇceno z n = 9 toˇckami (T₀, T₁, . . . , T₈) na grafu. V sploˇsnem vzamemo poljubno delitev D = {x₀, x₁, . . . , x_n; 0 = x₀ < x₁ < · · · < x_n = b} in tako dobimo n+ 1 toˇck T_i = (x_i, f(x_i)) na grafu funkcije f. Vsaka od dolˇzin delov poligonske ˇcrte je enaka evklidski razdalji med toˇckama Ti−1 in T_i.

|Ti−1, T_i|=p

(x_i−xi−1)²+ (y_i−yi−1)²

=p

(x_i−x_i−1)²+ (f(x_i)−f(x_i−1))²

Ce od funkcijeˇ f predpostavimo, da je zvezno odvedljiva, lahko uporabimo Lagrangeov izrek Izrek 3.4 (Lagrangeov izrek). Naj bo funkcija f : [a, b] → R zvezna na [a, b] in odvedljiva na (a, b). Potem obstaja ξ ∈(a, b), da velja:

f(b)−f(a) = f⁰(ξ)(b−a) in formulo preoblikujemo v

16 3. DOLˇZINA LOKA

|T_i−1, T_i|=p

(x_i−x_i−1)²+ (f(x_i)−f(x_i−1))²

=p

(x_i−xi−1)²+ (f⁰(ξ_i)(x_i−xi−1))²

=p

(x_i−xi−1)²+f⁰(ξ_i)²(x_i−xi−1)²

= (x_i−xi−1)p

1 +f⁰(ξ_i)². Dolˇzina aproksimacije pri delitvi D je potem

l₂(f, D) =

n

X

i=1

|Ti−1, T_i|=

n

X

i=1

(x_i−xi−1)p

1 +f⁰(ξ_i)²,

kjer so ξ_i neke toˇcke na intervalih [x_i−1, x_i]. To je ravno Riemannova vrsta za funkcijo p1 +f⁰(x)² za to delitevDin izbiro toˇckξ₁, . . . , ξ_n intervala [a, b]. Kot vemo, je Riemannov integral definiran kot posploˇsena limita Riemannovih vsot, ko delitve intervala delamo vse bolj fine (dolˇzino najdaljˇsega podintervala poˇsljemo proti 0). Ker smo predpostavili, da je funkcija f zvezno odveljiva, Riemannov integral omenjene korenske funkcije na [a, b] obstaja.

Zato obstaja tudi l₂(f) = sup_Dl₂(f, D) in velja

l₂(f) = Z b

a

p1 +f⁰(x)²dx.

Oglejmo si primer.

Primer 3.5. Poiˇsˇci dolˇzino krivulje f(x) = ^x₆³ + _2x¹ na intervalu x ∈ [1,2] v metriki d2. Pomagaj si s sliko 7 (Vir [7]).

Slika 7. Funkcija f(x) = ^x₆³ + _2x¹ na intervalu x∈[1,2]

3.3. DOLˇZINA LOKA V TAKSI METRIKI 17

l= Z b

a

p1 +f⁰(x)²dx

= Z 2

1

r

1 + ((x³ 6 + 1

2x)⁰)²dx= Z 2

1

r

1 + (x² 2 − 1

2x²))²dx

= Z 2

1

r 1 + x⁴

4 + 1 4x⁴ − 1

2dx= Z 2

1

rx⁴ 4 + 1

4x⁴ +1 2dx

= Z 2

1

r (x²

2 + 1

2x²)²dx= Z 2

1

(x² 2 + 1

2x²)dx

= (x³ 6 − 1

2x)

2 1

= (8 6− 1

4)−(1 6 −1

2)

= 17 12

Sedaj pa si oglejmo ˇse izraˇcun dolˇzine loka v drugih, ne tako intuitivnih metrikah.

3.3. Dolˇzina loka v taksi metriki

Kot prej bomo tudi tokrat uporabili metodo aproksimacije. Pomagali si bomo s sliko 8 (Vir [8]).

Slika 8. Aproksimacija v metriki d₁

Predpostavimo zopet, da je f : [a, b] → R zvezno odvedljiva, D ={x₀, x₁, . . . , x_n; a =x₀ <

x₁ <· · ·< x_n=b} neka delitev intervala [a, b] in T_i = (x_i, f(x_i)) pripadajoˇce toˇcke na grafu funkcije f. V primeru d₁ metrike je razdalja medT_i−1 in T_i enaka evklidski dolˇzini lomljene ˇ

crte, ki toˇcki povezuje in je vzporedna koordinatnima osema, torej

18 3. DOLˇZINA LOKA

d₁(Ti−1, T_i) =|x_i−xi−1|+|y_i−yi−1|

=|x_i−xi−1|+|f(x_i)−f(xi−1)|

=|x_i−xi−1|+|f⁰(ε)(x_i−xi−1)|

=|x_i−xi−1|+|f⁰(ε)||(x_i−xi−1)|

=|x_i−x_i−1|(1 +|f⁰(ε)|).

Dolˇzina aproksimacije pri delitvi D je tako

l₁(f, D) =

n

X

i=1

d₁(T_i−1, T_i) =

n

X

i=1

(x_i−x_i−1)|1 +f⁰(ξ_i)|,

kjer so ξ_i neke toˇcke na intervalih [x_i−1, x_i].Podobno kot prej tudi tokrat dobimo formulo za izraˇcun dolˇzine grafa v d₁ metriki

l₁(f) = Z b

a

(1 +|f⁰(x)|)dx.

Na tem mestu je vredno omeniti posebnost obravnavane metrike. Med tem ko je v evklidski metriki le ravna ˇcrta tista, ki minimizira razdaljo med dvema toˇckama, v taksi metriki vsaka naraˇsˇcajoˇca oziroma padajoˇca funkcija minimizira razdaljo med svojima krajiˇsˇcima (glej sliko 9).

Slika 9. Enakost razdalj razliˇcnih krivulj v metriki d₁

Izrek 3.6. Naj bo funkcija f : [a, b]→R naraˇsˇcajoˇca (oz. padajoˇca) in zvezna na intervalu [a, b]. Potem je dolˇzina loka funkcije f nad [a, b] enaka

l = (b−a) +|f(b)−f(a)|.

3.3. DOLˇZINA LOKA V TAKSI METRIKI 19

Dokaz. Naj bo f naraˇsˇcajoˇca zvezna funkcija na [a, b] in D={x₀, x₁, . . . , x_n; a=x₀ <

x₁ <· · ·< x_n=b} poljubna delitev. Potem je

l₁(f, D) =

n

X

i=1

d₁(Ti−1, T_i) =

n

X

i=1

(x_i−xi−1+f(x_i)−f(xi−1) = (b−a) +f(b)−f(a).

Podobno pokaˇzemo za padajoˇco funkcijo.

Oglejmo si primer raˇcunanja dolˇzine loka v metriki d₁.

Primer 3.7. Zaradi nazornosti in primerjave dolˇzin v razliˇcnih metrikah, uporabimo kar isti primer, kot pri metriki d₂. Poiˇsˇcimo torej dolˇzino grafa funkcije f(x) = ^x₆³ + _2x¹ na intervalu x∈[1,2] v metrikid₁. Pomagaj si s sliko 7 (Vir [7]).

l = Z b

a

(1 +|f⁰(x)|)dx

= Z 2

1

(1 +|x² 2 − 1

2x²|)dx

Ko si ogledamo graf odvoda dane funkcije v absolutni vrednosti (glej sliko 10), lahko vidimo, da nas v danih mejah (od x= 1 dox= 2) zanima le pozitivna vrednost odvoda.

Slika 10. Graf odvoda dane funkcije v absolutni vrednosti

Sledi torej:

20 3. DOLˇZINA LOKA

l = Z 2

1

(1 + x² 2 − 1

2x²)dx

= Z 2

1

1dx+ Z 2

1

(x² 2 − 1

2x²)dx

=x

2 1

+ (x³ 6 − 1

2x)

2 1

= (2−1) + ((8 6+ 1

4)−(1 6+ 1

2))

= 23 12.

Opomba 3.8. Ce se ozremo nazaj, opazimo, da je dolˇˇ zina loka iste funkcije v metrikid1 veˇcja od dolˇzine loka v metrikid2. Seveda neenakost

l1(f)≥l2(f)

velja povsem sploˇsno, saj je d1 ≥ d2. Hitro se lahko tudi prepriˇcamo, da enakost velja le v primeru poligonskih ˇcrt, ki so vzporedne z osema, v vseh ostalih primerih krivulj pa velja stroga neenakost.

3.4. Dolˇzina loka v maksimum metriki

Tudi pri izraˇcunu dolˇzine loka v maksimum metriki postopamo analogno kot do sedaj.

Najprej zopet predpostavimo, da je f : [a, b] → R zvezno odvedljiva, izberemo delitev D intervala [a, b] in pripadajoˇce toˇcke na grafu. V primeru maksimum metrike je razdalja med toˇckama Ti−1 in T_i enaka najveˇcji izmed vertikalne in horizontalne dolˇzine lomljene ˇcrte, ki toˇcki povezuje in je vzporedna osema, torej

d_∞(T_i−1, T_i) = max

i=1,...,n{|x_i−x_i−1|,|y_i−y_i−1|}

= max

i=1,...,n{|xi−xi−1|,|f(xi)−f(xi−1)|}

= max

i=1,...,n{|x_i−x_i−1|,|f⁰(ε)(x_i−x_i−1)|}

= max

i=1,...,n{|x_i−xi−1|,|f⁰(ε)||(x_i −xi−1)|}

=|x_i−xi−1| max

i=1,...,n{1,|f⁰(ε)|}.

Kot v prejˇsnjih dveh metrikah je tudi v tem primeru dolˇzina aproksimacije pri delitvi D

l∞(f, D) =

n

X

i=1

d∞(Ti−1, T_i) =

n

X

i=1

(|x_i−xi−1|) max

i=1,...,n{1,|f⁰(ξ_i)|}

3.4. DOLˇZINA LOKA V MAKSIMUM METRIKI 21

kjer so ξ_i toˇcke intervalov [xi−1, x_i]. Tako dobimo formulo za izraˇcun dolˇzine grafa v d∞

metriki

l∞(f) = Z b

a

max{1,|f⁰(x)|}dx.

Oglejmo si sedaj ˇse primer izraˇcuna dolˇzine loka v maksimum metriki.

Primer 3.9. Izraˇcunaj dolˇzini grafov funkcije f(x) = sin(x) in g(x) = 0 na intervalu x ∈ [0,2π] v metriki d∞.

l = Z b

a

max{1,|f⁰(x)|}dx

= Z 2π

0

max{1, cos(x)}dx

= Z 2π

0

1dx

=x

2 0

π

= 2π

l = Z b

a

max{1,|g⁰(x)|}dx

= Z 2π

0

max{1,0}dxdx

= Z 2π

0

1dx

=x

2 0π

= 2π

Opomba 3.10. Opazimo, da imata dve zelo razliˇcni funkciji na nekem intervalu isto dolˇzino loka. Spomnimo se, da se nam je to zgodilo tudi v taksi metriki.

Izkaˇze se, da imamo lahko v primeru d₁ in d_∞ veˇc razliˇcnih geodetk med dvema toˇckama v ravnini. Razlog za ta pojav je dejstvo, da enotska krogla tako v d₁ kot tudi v d_∞ ni strogo konveksna (Glej sliki 11 in 12).

22 3. DOLˇZINA LOKA

Slika 11. Enotska krogla v metrikid1

Slika 12. Enotska krogla v metrikid∞

3.5. Dolˇzina loka v sploˇsni p-metriki

Poglejmo si sedaj sploˇsen primer p-metrike. Po izvedbi povsem analognega postopka kot v zgornjih dveh primerih se izkaˇze, da je dolˇzina grafa zvezno odvedljive funkcije f : [a, b]→R v omenjeni metriki enaka

l_p(f) = Z b

a

pp

1 +|f⁰(x)|^pdx.

POGLAVJE 4

Sklep

V diplomskem delu smo raziskovali ravninske metrike in se osredotoˇcili na merjenje dolˇzine odsekov krivulj. Zaˇceli smo s ponovitvijo osnovnih pojmov metrike. Sledila je predstavitev bolj ali manj znanih metrik, ki jih lahko uporabimo v ravnini. Za vsako predstavljeno metriko smo si pogledali tudi naˇcin raˇcunanja razdalje med dvema toˇckama, tako v sploˇsnem kot tudi v eni in dveh dimenzijah. Na konkretnem primeru smo videli, da se razdalje v ravnini med dvema fiksnima toˇckama med metrikami razlikujejo. Konec drugega poglavja smo spoznali ˇse druˇzino p-metrik in nekaj lastnosti, ki veljajo zanjo. Razloˇzili smo, zakaj zap <1 funkcija d_p ni metrika.

V nadaljevanju smo z metodo aproksimacije izpeljali izraˇcun dolˇzine loka na intervalu funk- cije v vseh prej navedenih metrikah. Pri nekaterih metrikah smo ugotovili, da imata lahko dve razliˇcni funkciji nad istim intervalom isto dolˇzino loka.

23

Literatura

[1] Vrabec J. Metriˇcni prostori. Ljubljana, Druˇstvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, 1990.

[2] Metric and Topological Spaces, T. W. K¨orner (17.8.2015). Spletni naslov:

https://www.dpmms.cam.ac.uk/ twk/Top.pdf

[3] Lipschutz S. Theory and problems of General Topology. New York, Schaum publishing company, 1965.

[4] Taxi!, Joe Malkevitch (17.3.2016). Spletni naslov: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc- taxi

[5] History / Applications (14.5.2014). Spletni naslov: http://taxicabgeometry.altervista.org/general/history.html [6] The Nature of Length, Area, and Volume in Taxicab Geometry, P. K. Thompson (14.1.2011). Spletni

naslov: https://arxiv.org/pdf/1101.2922.pdf

[7] Arc Length of a Curve, B. Simmons (7.7.2016). Spletni naslov:

http://www.mathwords.com/a/arc length of a curve.htm

[8] Arc Length (14.5.2014). Spletni naslov: http://taxicabgeometry.altervista.org/measures/arc length.html [9] Hermann Minkowski (11.5.2016). Spletni naslov:

http://www.thefamouspeople.com/profiles/images/hermann-minkowski-2.jpg

25