Marko Razpet
Besselove funkcije kot integrali s parametrom
Studijsko gradivo ˇ
Besselovo funkcijo J
n(x) celoˇstevilskega indeksa n lahko definiramo kot inte- gral s parametrom x z izrazom:
J
n(x) = 1 π
Z π 0
cos(nφ − x sin φ) dφ . Nekaj lastnosti preverimo brez teˇ zav:
J
n(−x) = (−1)
nJ
n(x) , J
−n(x) = (−1)
nJ
n(x) .
Obe navedeni enakosti preverimo z uvedbo nove integracijske spremenljivke θ = π − φ. Prvo enakost preverimo takole:
J
n(−x) = 1 π
Z π 0
cos(nφ + x sin φ) dφ = 1 π
Z π 0
cos(nπ − nθ + x sin(π − θ)) dθ =
= 1 π
Z π
0
cos(nπ−(nθ−x sin θ)) dθ = (−1)
n1 π
Z π
0
cos(nθ−x sin θ) dθ = (−1)
nJ
n(x) . Drugo enakost preverimo podobno:
J
−n(x) = 1 π
Z π
0
cos(−nφ−x sin φ) dφ = 1 π
Z π
0
cos(−nπ+nθ−x sin(π−θ)) dθ =
= 1 π
Z π 0
cos((nθ−x sin θ)−nπ) dθ = (−1)
n1 π
Z π 0
cos(nθ−x sin θ) dθ = (−1)
nJ
n(x) . Tri zaporedne Besselove funkcije J
n−1(x), J
n(x) in J
n+1(x) povezujeta enakosti
x(J
n−1(x) + J
n+1(x)) = 2nJ
n(x) , J
n−1(x) − J
n+1(x) = 2J
n0(x) .
Preverimo ju s faktorizacijo vsote in razlike kosinusov pod integralskim znakom:
x(J
n−1(x)+J
n+1(x)) = x π
Z π 0
(cos((n−1)φ−x sin φ)+cos((n+1)φ−x sin φ)) dφ =
1
= 2x π
Z π 0
cos(nφ − x sin φ) cos φ dφ = 2 π
Z π 0
cos(nφ − x sin φ)(x cos φ − n) dφ+
+ 2n π
Z π 0
cos(nφ − x sin φ) dφ = 2nJ
n(x) ,
ker je predzadnji integral enak 0, kar dobimo takoj s substitucijo u = nφ − x sin φ, du = (n − x cos φ) dφ v integral.
Za odvod Besselove funkcije J
n(x) dobimo po pravilu za odvajanje pod inte- gralskem znakom:
J
n0(x) = 1 π
Z π 0
sin(nφ − x sin φ) sin φ dφ . S tem rezultatom lahko nadaljujemo:
J
n−1(x)−J
n+1(x) = 1 π
Z π 0
(cos((n−1)φ−x sin φ)−cos((n+1)φ−x sin φ)) dφ =
= 2 π
Z π 0
sin(nφ − x sin φ) sin φ dφ = J
n0(x) .
Besselova funkcija J
n(x) je ena od reˇsitev Besselove diferencialne enaˇ cbe:
x
2y
00(x) + xy
0(x) + (x
2− n
2)y(x) = 0 .
Prvi odvod ˇ ze imamo. Spotoma ga ˇse preoblikujemo z metodo per partes:
J
n0(x) = 1 π
Z π 0
sin(nφ − x sin φ) sin φ dφ =
= 1 π
Z π 0
cos(nφ − x sin φ)(n − x cos φ) cos φ dφ . Drugi odvod dobimo iz prve oblike za prvi odvod:
J
n00(x) = − 1 π
Z π 0
cos(nφ − x sin φ) sin
2φ dφ . Ko vse zloˇ zimo skupaj, dobimo:
x
2J
n00(x) + xJ
n0(x) + (x
2− n
2)J
n(x) =
2
= 1 π
Z π 0
cos(nφ − x sin φ)(−x
2sin
2φ + nx cos φ − x
2cos
2φ + x
2− n
2) dφ =
= n π
Z π 0
cos(nφ − x sin φ)(x cos φ − n) dφ = 0 .
Cisto v zadnjem integralu spet uporabimo substitucijo ˇ u = nφ − x sin φ.
Vse Besselove funkcije J
n(x) imajo v toˇ cki x = 0 vrednost 0 razen J
0, ki ima tam vrednost 1. To lahko izrazimo s Kroneckerjevim simbolom:
J
n(0) = δ
n,0. Grafi prvih treh Besselovih funkcij so na sliki.
..... ...........................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
x J
0(x)
J
1(x)
J
2(x)
0 1
...
..
1
...
..
2
...
...
...
...
CIP - Kataloˇzni zapis o publikaciji
Narodna in univerzitetna knjiˇznica, Ljubljana 517.923
RAZPET, Marko
Besselove funkcije kot integrali s parametrom [Elektronski vir] : ˇ
studijsko gradivo / Marko Razpet. - Besedilni podatki. - [Domˇzale : samozal.], 2006
Naˇcin dostopa (URL):http://javor.pef.uni-lj.si/~marko/matematika/b ess_fun.pdf. - Opis temelji na verziji z dne 10.02.2006
ISBN 961-6589-25-3
225020416
