Barvni sudoku
V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil.
1.
5 1
2
4 3 1
4
5 3
4 2
4 2
4 3
2
4 1
3 2
4 3
3
1 2
5 2 4
3
2
3 1 5
5 1
4
5 2
1
4 3 2
3
1 2
6
5 1
6 4
5
2 2
4 2
3 4
2 1
3 2
3 1
2 4
5
3 1
2
3
6
1 4 2
4 3
6
1 4
4 3
1
2 3
4
2 1
2 4
4
5
4
3 4 1
4
1 3 2 5
6
3 3 5
1
4 3
4 1
4
2 4
4
1
Latinski kvadrati
V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetne črke A, B, C, … tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu nastopalo vseh n črk.
B C
D C B D C E
B D C D D A E
B E
D
B A A
E B
B A E C D E
D E
E C B
D A B
A C A
B C
B D
D C
C A B
C B A D
D C B
A C
C E D B C
D E A D
C
D B
A E B E A E C
C
A
C B
B A
Sudoku s č rkami
V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.
D
C
D
C B
C
A
B A
D
A
B D
C
A
B
2 4
1 C
A
C
C B
D
B
C B
A
D
A B
A
D
D
2 3
1 B
A
A
B D
B
A
D B
D
C
C D
A
C
C
2 3
4
B
D
C
B B
A
C
D B
A
C
D D
A
C
2 A
4 3
D
D
A
C D
B
C
A C
B
B
A C
B
A
D
3
2 4
D
D
A
C B
C
A
A D
D
C
B C
B
A
B
2
3 1
B
B
B
A A
D
D
C B
C
A
A D
C
C
D
1
3 2
D
A
D
C C
B
B
A D
B
B
D C
C
A
A
4 3 1
D
A
B
C B
D
C
B C
A
D
D B
A
C
A
1 2
3
A
D
A
B A
C
B
B D
D
C
C C
D
A
B
3 2
1 D
A
A
D B
A
C
A D
C
B
D C
C
B
B
3
4 1
D
B
C
B D
C
C
D A
B
A
A A
D
B
C
1 4
2
Futoshiki
V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije.
5 3
3 4
2
> <
>
>
2
>
>
3 1
5 5
2 1 4
>
<
>
>
3 1 2
3
> >
>
3 2 5
1 4
5
<
> >
>
2
3
<
<
1 4
2
3 3
> > >
<
2
>
<
2 4 2
1
3 5
<
>
>
<
2
<
<
2 3
4 1
<
< <
2 5
3
2 5
1
<
<
<
>
Rde č i kvadratki
Naloga reševalca je, da poišče vse skrite rdeče kvadratke in jih označi z R. Pri tem veljata naslednji pravili: a) Vsako število v preglednici pove, koliko sosednjih kvadratkov je rdečih.
Kvadratek je soseden kvadratku, če imata skupno stranico ali oglišče. b) Kvadratki s številkami niso rdeči.
0 2
1 0
1
2 1 2
2 1
1 1
3
1
0
1 1 2 1
1 1
3 1
1 0
1 0
2 2
2 1
1 2 3 2
1
1 1 1
0 0
1 1
1
2 2
0 2
1
1
1 2 2 0 0
1 1 1
2 1 0
1
0 2
3
1 2
Lastnosti lika
Ugotoviti moramo lastnosti lika. Lik ima obliko (trikotnik, kvadrat, petkotnik), velikost (majhen, srednji, velik), barvo (rumen, oranžen, moder) in debelino (tanek, debel). Lahko si izberemo tudi le nekaj prvih lastnosti. Dano je nekaj stavkov v simbolni obliki in njihova resničnostna vrednost (R za resničen in N za neresničen). Stavki so lahko enostavni, na primer, “Rumen” pomeni, da je lik rumen, ali sestavljeni, na primer, “Velik ∧ Moder” pomeni, da je lik velik in moder; “Petkotnik ∨ Tanek”, pomeni, da je lik petkotnik ali tanek;
“Debel ∨ Oranžen” pomeni, da je lik ali debel ali oranžen; ; "Tanek fl Rumen" pomeni: če je lik tanek, potem je rumen; "Moder ñ Velik" pomeni: lik je moder, če in samo če je velik).
Srednji R
Majhen ÍOranžen R Kvadrat fiRumen N Oranžen flTrikotnik R
oblika velikost
barva
Kvadrat R
Velik R
Srednji ÏMajhen N Srednji flTrikotnik R VelikflKvadrat R
oblika velikost
Moder R
Kvadrat N
Rumen flSrednji R Majhen Srednji R Kvadrat fiPetkotnik R
oblika velikost
barva
Majhen N
Kvadrat ÏSrednji R Majhen Srednji N
oblika velikost
Dolo č i razpored znakov
Œ NI LEVO OD œ . Œ NI SOSED OD œ .
Õ JE LEVO OD Œ . Œ NI LEVO OD œ . Õ NI LEVO OD œ .
A JE LEVO OD C . B JE SOSEDA OD D .
B JE LEVO OD D .
A NI LEVO OD D .
Õ NI SOSED OD œ . Õ NI SOSED OD à . Õ NI DESNO OD Œ .
Œ NI SOSED OD à .
B NI LEVO OD D .
A JE LEVO OD B .
B JE SOSEDA OD E .
D JE SOSEDA OD E . B NI DESNO OD C .
B NI LEVO OD C .
A NI SOSEDA OD C .
A NI LEVO OD D .
B JE LEVO OD D . C JE DESNO OD E .
Œ NI DESNO OD œ . Œ JE DESNO OD à . Õ NI DESNO OD à . Œ NI SOSED OD à . œ NI SOSED OD ® .
Õ NI SOSED OD œ .
Õ NI DESNO OD œ .
œ NI DESNO OD ® .
Õ NI DESNO OD Ã .
œ NI SOSED OD ® .
œ JE DESNO OD à .
Gobelini
Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici ustrezalo zaporedju števil na desni, in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo zaporedju števil pod njim.
3 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 3
4 1
1 1 1
1
1 4
5 1, 1 1, 1 1, 1 4 1, 1 1, 1 3, 1 1
1 8 1 1 1
1 1
1 2
3 1 1
61 11 11 11 7 1 1
2 1 2 1
1 1 1
1 2 1
2 1
1 1
3 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 3 5 1
1 1 1
1 1 5
3 1 1 1 1 1 1 1, 1 6 1
1 9 1
1 1 1 1 1
51, 1 1, 11, 1 41, 1 1, 11, 1 1 3, 2
1 9 1 1 1
1 1
1 3
3 1 1 1
4 1, 1 3 1 1, 1 4 1
2 1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2
1 1 1, 2 2, 1 1, 1 1, 1 1, 1 2, 1 1, 2 9 1
1 1 1
1 1 5
2, 1 1, 2 1 3 1 1 2, 1 1, 2 2
2 1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 3
2, 3 1, 1 2, 1 1, 1, 1 1, 1, 1 1, 1, 1 1, 2 1, 1 3, 1 1
1 9 1
1 1 2 1 1 9 1
31, 1 1, 11 1, 31, 1 1, 11, 1 3 5 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
1 3
61, 1 11, 1 41, 1 11, 1 1 6
1 9 1 1 1
1 1 1
1 3 1
2 1 1
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da je vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
4 17 12
19 18
3 6 7
17 4 11
11 13
13 12
9
128 22
17 13
10 3 16
9 2116
19 12 4
7 16
11 11
15 8
11 13
10 8
6 7 17
13 14
13 9 17
12 116
13 13 7
11 9
6
15 22
7
15 9
8 4 13
11 15 12
12 811
16 16 16
8 8 23
6 8
14 10 5
11 1117
15 8 16
14 11 10
15 24
11 14
3
16 15
9 9 7
13 11 12
12 1118
16 13 16
7 22
9
14 18
16
15 11 16
15 16
12 14
7
Križni produkti
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 2 do 9 tako, da bo zmnožek števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
48 80
48
12
80
12
48 360
72
6
96
15
54 8
24
80 90
54 18
48
40 18
24
8 60
54 36
56 14
24
12 432
27
30
192
30
10 27
15
18
Labirint na kocki
Poveži točki na kocki:
Labirinti na enostavnih poliedrih
Poveži točki na poliedru:
Poveži sli č ici, ki pripadata isti grupi
5
4 2
8 9
17 13
14 6
10 15
1 16
12 3
7 11
Poveži sli č ici, ki pripadata isti grupi
a)
b)
Prostorska predstavljivost
a) Katero število moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta stranici pripadali istemu robu poliedra?
3
9 ??
6 1
2
4 7 5
8
10 6
13 8
1 4 12 7
14 11 2
?? 15
5 3 9
2
3 4
10 6 1
7
5 9 11
8
??
12 6 3
2
9 8 5
4 7
??
10 1
3
9 6 5
??
12
2 4
11
1 8 7 10
16 139
??
11
15 14
1 6
2
4 12 5
10 3
8 7 10
7 2
8 6
4 1
9
??
11 3
5 12
6 2
1
3 5
4 7
??
8 10 11
9 12
6 2 4 1 9 3
5 7
12 8
??
10 11 1
??
6 3
2
5 4
4 2
3
??
7 6
5
1 8
7
8 6 2 4
9
1 5
3 ??
6 1
4 7 5 2
8 10 3
12 11
9
??
4 6
1 3 5
11 7
??
8
2
9 10
12
1 5 6 2
??
3
9 4 8
7
oglišču poliedra?
4 21 3
??
6 5
??
6 1
4 2 3 5
??
1 42
3 5
6 2 3
??
5 4
1
2 5
1
??
3
4
??
1
3 5
4 2
1 2
4 6 5
??
3
2 1
4
5 6 3
??
3 2 1 56 4
??
??
6
1 5
2 3 4
8
7
4 5
3 2 6 7
1 8
??
1 2 6
??
8 4 3 5
7 3
2 7
4
1
??
8
5 6
3 2
??
6 7 4
8 1 5
1 6 ??
2 3
7 8 4
5
Imena likov
Dane so resničnostne vrednosti stavkov (R ali N). Poiskati je treba imena likov, ki so začetne črke v zaporedju A, B, C, D, E, …Liki so treh oblik (trikotnik, kvadrat, petkotnik), treh velikosti (majhen, srednji, velik) in treh barv (oranžen, zelen ali rumen).
1.
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. RumenHCL N 2. Levo odHA, BL R 3. Levo odHA, BL R
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. PetkotnikHCL R
2. Manjši kotHB, CL N 3. Desno odHA, DL N 4. Srednje v.HBL ŸZelenHAL R
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. VelikHAL N 2. Levo odHA, BL R 3. PodHA, CL R 4. Večji kotHC, DL R
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1.ŸSrednje v.HCL R
2. PodHB, DL R
3. NadHD, EL N
4. Desno odHC, EL N
5.ŸTrikotnikHELñMajhenHAL R
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. Levo odHA, BL R 2.ŸOranženHCL OranženHBL R 3. MajhenHAL fl ŸKvadratHCL R
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. Levo odHA, CL N 2.ŸVelikHCL fl ŸMajhenHDL N 3. PetkotnikHBL ŸOranženHBL R 4.ŸRumenHBL ñ RumenHAL N
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. Desno odHC, DL N 2. Levo odHA, BL N 3.ŸZelenHBL ŸTrikotnikHBL R 4. MajhenHBL fl TrikotnikHDL N
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. PodHC, EL R
2. Manjši kotHD, EL N 3. VelikHCL ŸOranženHAL R 4. OranženHEL fl MajhenHDL N 5. RumenHCL fl OranženHEL R
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. Lik A ni rumen. R 2. Lik A je večji kot C. N 3. Lik A je manjši kot C. R
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. Lik D je oranžen. R
2. Lik B je manjši kot C. N
3. Lik C je manjši kot D. N
4. Lik B ni petkotnik,če in samoče je lik C rumen. R
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. Lik B je majhen. R 2. Lik C je manjši kot D. R 3. Lik A je nad C. R 4. Lik A je pod C. N
Določi razpored objekov in poišči najnižji stavek , ki je odvisen od ostalih!
1. Lik B ni zelen. N
2. Lik A je pod B. N
3. Lik D je desno od E. R
4. Lik D je desno od E. R
5. Lik E ni zelen,če in samoče lik A ni oranžen. N
Razpis za najlepšo poliedrsko jelko
Pošljite fotografije svojih novoletnih jelk, okrašenih s poliedri, do 15.1.2016.
Najlepše jelke bomo objavli na strani: http://www.logika.si/revija/poliedri.htm
Labirinti na robovih poliedra
V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo pot od modre do oranžne točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima zelena črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra.
1.
Labirinti na zemljevidu
1.
2.
3.
Ve č delni labirinti na zemljevidu
1.
2.
3.
5.
6.
Odstranjene kocke
Dan je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?
Nagradna logi č na naloga
Štirje prijatelji (Borut, Janez, Ivo, Peter) z raznimi priimki (Gorjanc, Hafner, Kranjc, Novak) imajo razne poklice (zdravnik, kuhar, politik, sodnik).
Za vsakega ugotovi ime, priimek in poklic.
1. Borut ni politik.
2. Novak ni ne politik ne kuhar.
3. Kranjc ni ne politik ne kuhar.
4. Gorjanc ni po poklicu politik.
5. Kranjc ni po poklicu sodnik.
6. Ivo ni politik.
7. Borut ni zdravnik.
8. Janez se piše Novak.
Rešitev nagradne uganke pošljite do 15.1.2016 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik, s pripisom »Nagradna uganka«.
Naslednji reševalci nagradne uganke iz 1. številke bodo prejeli poševno prizmo in bon za 10%
popust pri nabavi proizvodov v internetni trgovini Medex ( http://www.medex.si/prodajalna-medex/
): L.T. Ribnica, A.N. Jesenice, L.B. Prem, L.O. Vrhnika, T.Ž. Dobje pri Planini, L.P. Žiri in V.D.
Celje.
Medex je sponzor 26. tekmovanja iz razvedrilne matematike.
Kocki dolo č i mrežo
Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.
Labirint v kvadru
Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednima oddelkoma istega sloja.
Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan belo.
Poišči najkrajšo pot od oddelka s smeškom do oddelka s srcem! Pot označi z zaporednimi naravnimi števili tako, da oddelek s smeškom označiš z 1, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa z številom, večjim za 1.
Ã
™
Ã
™
Ã
™ Ã
™
Protislovna množica izjav
V naslednjih nalogah bomo imeli neko situacijo z liki in množico pogojev, to je stavkov z
resničnostno vrednostjo. Vsaj en pogoj bo v protislovju z ostalimi in s situacijo. Kaj to pomeni? To pomeni, da se da negacija tega pogoja izpeljati iz ostalih pogojev in iz situacije. Pomembno se je
kvadrat, potem je seveda ta pogoj v protislovju z drugimi pogoji (ker je v protislovju s sliko), ne glede, kakšni so. Ali je lahko več pogojev v protislovju z ostalimi. V splošnem bi se lahko zgodilo.
Recimo, da je drugi pogoj, da je B kvadrat. Ali pa, da imamo pogoje: A je trikotnik, B je trikotnik, C je trikotnik. Ker sta le dva trikotnika, je vsak pogoj v protislovju z drugima dvema.
Da dokažemo, da je ta pogoj v protislovju z ostalimi, moramo izpeljati njegovo negacijo iz situacije in ostalih pogojev.
Dana je situacija z liki, katerih imena so A, B, C in D, in množica pogojev (stavkov z resničnostno vrednostjo). Dokaži, da je ta množica protislovna.
2 4
3
1
1. Lik C je trikotnik. R
2. Lik C je desno od D. R
3. Lik A je večji kot D. N
4. Lik A ni kvadrat,če in samoče lik A ni velik. N
Rešitev:
Pogoj pod številko 3
je v protislovju z ostalimi pogoji .
A B
C
D
(Da je pogoj 3 v protislovju z ostalimi, nam omogoča najlažjo ugotovitev protislovja. Lahko pa je tudi kakšen drugi pogoj v protislovju z ostalimi).
Dokaz:
1. C=3 ali C=2 (1. pogoj).
2. D≠2 (2. pogoj).
3. A je kvadrat, če in samo če A ni velik (4. pogoj). A je velik, A=2.
4. C=3 (sledi iz 1 in 3).
5. Toda A je edini velik lik, zato je večji od D, ne glede ali je D=1 ali D=4.
To je v nasprotju s 3. pogojem.
Dodatek za velikost:
1.
2
3
1
1. Lik A je majhen. R
2. Lik A je večji kot C. R 3. Lik C je majhen in lik C je petkotnik. R
2.
2
3 1
1. Lik C ni majhen. N
2. Lik A je manjši kot C. R 3. Lik A ni kvadrat ali lik C ni kvadrat. N
3.
2 3
1
1. Lik A je levo od C. R
2. Lik A je nad B. R
3. Lik A ni velik in lik A ni bel. R
1.
4.
3 2
1 1. Lik A je večji kot C. R
2. Lik B ni majhen in lik B ni trikotnik. N 3.Če lik A ni petkotnik, potem lik B ni velik. N
5.
2 1
3 1. Lik C ni majhen. R
2. Lik A je pod B. R 3. Lik B je desno od C. R
2
3 1
1. Lik A ni siv. R
2. Lik A je večji kot B. R 3.Če lik C ni bel, potem lik C ni velik. R
7.
1 2 3
1. Lik C je velik. N 2. Lik B je pod C. N 3. Lik A je manjši kot C. R
8.
3 1
4
2 1. Lik C je nad D. N
2. Lik A je manjši kot C. R
3. Lik B je srednje velikosti,če in samoče je lik A petkotnik. N 4. Lik D ni velik,če in samoče je lik D kvadrat. R
9.
3 1
2
4 1. Lik C je manjši kot D. N
2. Lik A ni velik ali lik A ni bel. N 3. Lik D je velik ali je lik D bel. R 4. Lik C ni bel ali lik B ni bel. N
10.
3
1 2 4
1. Lik A je pod D. R
2. Lik A je levo od D. N
3. Ali je lik A siv ali je lik B kvadrat. N 4.Če je lik D petkotnik, potem je lik C siv. N
1 4 2
3 1. Lik A je velik. R
2. Lik B je nad D. N
3.Če lik D ni majhen, potem je lik B bel. N 4. Lik C je petkotnik in lik A je majhen. R
12.
3 2
4 1
1. Lik A je nad C. N
2. Lik B je pod C. N
3. Lik A ni siv,če in samoče je lik C bel. N 4. Ali je lik B bel ali lik A ni petkotnik. R
13.
2
4 1
3 1. Lik D je trikotnik. R
2. Lik A je desno od C. N
3. Lik C je večji kot D. R 4.Če lik C ni bel, potem lik B ni kvadrat. R
14
4
3 1
2
1. Lik A ni kvadrat. R
2. Lik A je levo od B. N
3.Če je lik B kvadrat, potem je lik C srednje velikosti. R 4. Lik C ni majhen ali lik A ni majhen. N
15.
2
3 1
4
1. Lik D ni siv. N
2. Lik A je nad D. N
3. Ali lik B ni petkotnik ali lik A ni siv. R 4. Lik C ni velik,če in samoče je lik D velik. N
1
2 4
3
1. Lik A ni majhen. N
2. Lik A je levo od B. R
3. Lik D je majhen in lik D ni petkotnik. R 4. Lik B ni srednje velikosti in lik D je kvadrat. R
17.
4 1
3
2
1. Lik A je večji kot B. R
2. Lik C je pod D. N
3. Lik C je velik ali lik B ni siv. N 4. Lik C ni majhen,če in samoče lik A ni bel. R
18.
2
1 5
3 4
1. Lik B je večji kot E. N
2. Lik C je nad D. R
3. Ali lik D ni kvadrat ali je lik E bel. R 4. Lik E ni trikotnik ali je lik C velik. N 5. Lik B je kvadrat,če in samoče lik D ni majhen. R
19.
5 2
1
3 4
1. Lik D je levo od E. N
2. Lik D je večji kot E. R
3. Lik A ni trikotnik,če in samoče lik A ni kvadrat. R 4.Če lik B ni kvadrat, potem lik B ni majhen. N 5.Če je lik B velik, potem je lik E siv. N
20.
2 3 5
4 1
1. Lik B je velik. N
2. Lik C je desno od E. R
3. Lik C je desno od D. R
4. Ali je lik A petkotnik ali je lik A kvadrat. N 5.Če lik C ni velik, potem je lik C petkotnik. N
3
2
1
4
5
1. Lik B je desno od E. N
2. Lik B je nad E. N
3.Če je lik C bel, potem je lik B velik. N 4. Ali lik C ni trikotnik ali je lik D kvadrat. N 5.Če je lik D kvadrat, potem lik C ni trikotnik. N
22.
2
4 1 3
5
1. Lik B je večji kot D. R
2. Lik A je siv ali je lik E srednje velikosti. N 3. Ali je lik B siv ali je lik C trikotnik. N 4. Lik A je trikotnik ali je lik B srednje velikosti. N 5. Lik A ni trikotnik,če in samoče je lik B trikotnik. R
23.
2 3
5 4
1
1. Lik B ni siv. R
2. Lik A je nad C. R
3. Lik B je večji kot C. R
4.Če je lik E velik, potem je lik E petkotnik. N 5. Lik E je srednje velikosti in lik E je majhen. R
24.
1
5 4
3 2
1. Lik E ni trikotnik. N
2. Lik B je nad E. N
3. Lik A je nad B. N
4. Lik D ni siv in lik E je bel. N 5. Lik C ni kvadrat ali je lik E velik. N
25.
3
2 4
1
5
1. Lik D je petkotnik. N
2. Lik C je nad E. N
3. Lik E je majhen ali je lik B siv. N 4. Lik E je petkotnik in lik E ni velik. R 5. Ali je lik A kvadrat ali je lik E velik. R
1
4
5 2
3 6
1. Lik C je večji kot D. R
2. Lik B je nad C. N
3. Lik E je siv in lik C je siv. R 4. Ali je lik F petkotnik ali lik F ni trikotnik. R 5. Lik E ni velik in lik E je srednje velikosti. N 6. Lik B ni trikotnik in lik D je bel. R
27.
6 1
2
5 4
3
1. Lik C je nad D. N
2. Lik A je pod E. R
3. Lik F ni petkotnik in lik E ni petkotnik. R 4.Če je lik B bel, potem lik E ni srednje velikosti. N 5. Lik E ni majhen,če in samoče je lik D siv. R 6. Lik B je petkotnik in lik A ni trikotnik. N
28.
3 2
1 6
4 5
1. Lik B ni siv. N
2. Lik C je levo od E. R
3.Če je lik B petkotnik, potem lik F ni majhen. N 4.Če lik C ni trikotnik, potem lik C ni siv. N 5.Če je lik C siv, potem lik A ni srednje velikosti. R 6. Lik C je velik,če in samoče je lik F velik. N
29.
2 6 5
4
3
1
1. Lik D ni srednje velikosti. R
2. Lik A je večji kot F. R
3. Lik A je desno od C. R
4. Ali je lik E trikotnik ali lik A ni siv. R 5.Če lik B ni trikotnik, potem je lik F petkotnik. R 6. Lik F ni siv ali je lik A srednje velikosti. N
30.
2 3
1 4
5
6
1. Lik F je bel. N
2. Lik E je nad F. N
3. Lik A je večji kot E. R
4. Lik D ni petkotnik in lik B ni trikotnik. N 5.Če je lik B trikotnik, potem je lik D srednje velikosti. R 6. Lik C ni srednje velikosti in lik B ni srednje velikosti. N
Ena č be, podobne kemijskim, z enim atomom
Dana je kemijska enačba in pripadajoča diofantska enačba ax+by=cz, ki jo obravnavamo kot Frobeniusovo enačbo ax+by=e, to je, iščemo nenegativne rešitve te enačbe. Naravni števili a in b sta tuji. Največje število, za katerega enačba ax+by=e, nima nenegativnih rešitev, je ab-a-b, se imenuje Frobeniusovo število. Seveda pa se lahko zgodi, da ima enačba nenegativne rešitve tudi pri številih, ki so manjša od Frobeniusovo število (f). Zato je najlaže enačbo rešiti s tabeliranjem izraza ax+by. Dovolj je, da to naredimo samo do vrednosti ab. Pri kemijskih enačbah iščemo najmanjše število z. Poiščemo prvi večkratnik števila c, za katerega ima enačba nenegativne rešitve. Če je c>ab-a-b, je z=1.
"Balancing Abstract Chemical Equations with One Kind of Atom"
http://demonstrations.wolfram.com/BalancingAbstractChemicalEquationsWithOneKindOfAtom/
Primeri za Eulerjevo metodo reševanja diofantskih ena č b
"Euler's Method for Solving Linear Diophantine Equations"
http://demonstrations.wolfram.com/EulersMethodForSolvingLinearDiophantineEquations/
Gumbi s konstantno širino
V L&RM, 22. letnik, št. 4, smo se spoznali z liki in telesi s konstantno širino. Kot uporabo smo navedli nekaj kovancev. Nova uporaba pa so gumbi s konstantno širino.
Dobri so zato, ker se laže potisnejo skozi gumbnico. Gumbi so izdelani v podjetju Dolejši modni gumbi d.o.o., (http://dolejsi.si/). Še nekaj izdelkov tega podjetja:
V podjetju izdelujejo gumbe in dodatke iz naravnih materialov in plastike.
Zlati rez
V naslednjih naloga nastopajo ploščice dveh vrst.
Manjše predstavljajo enakokrak trikotnik ABD, katerega kot pri vrhu je 36o, druge pa enakokrak trikotnik CAD, s kotom pri vrhu 108o. Če ju položimo, kot kaže slika, dobimo trikotnik ABC, ki je podoben trikotniku ABD. Naj bo a=|AB|=1 in x=|AC|. Potem je 1/(x-1)=x, x2-x-1=0. Ena rešitev te enačbe je σ=(1+√5)/2. Temu številu pravimo zlati rez.
Recimo, da je ploščina rdečega trikotnika enaka p. Potem je ploščina rumenega enaka σp, saj imata trikotnika BDA in DCA enako višino, razmerje osnovnic pa je 1/(σ-1)= σ. Ploščina trikotnika ABC pa je vsota obeh ploščin p + σp=p(1+σ)=pσ2, saj je σ2=σ+1.
Ploščine trikotnikov v naslednjem zaporedju, gledano od desne proti levi so:
p, σp, (1+σ)p=σ2p, (1+2σ)p=σ3p, (2+3σ)p=σ4p.
Tako bi lahko nadaljevali. Vsak naslednji člen, od tretjega naprej, je vsota predhodnih dveh členov.
To je Fibonaccijevo zaporedje. Po drugi strani zaporedje dobimo tako, da predhodni člen pomnožimo a σ. Torej je to zaporedje tudi geometrijsko.
Seveda bi lahko konstrukcijo še nadaljevali.
Še dva lika, ki jih lahko sestavimo iz trikotnikov omenjenih dimenzij.
Narišimo daljico DE, ki je vzporedna z daljico AC. Imamo |BD|=σ-1=1/σ, |ED|=1-|EB|=1-
|BD|=|BD|/σ=1/σ2.
Dokažimo še, da sta σ in 1 nesoizmerljivi. To je enako trditvi, da je σ iracionalno število.
Recimo, da imata števili skupno mero d, to je σ=md, 1=nd, kjer sta m in n naravni števili. Seveda je d=1/n racionalno število. |DB|=md-nd=(m-n)d je tudi soizmerljiva dolžina. |EB|=|AB|-|AE|=|AB|-
|DB|=nd-(m-n)d=(2n-m)d je spet soizmerljiva dolžina. Če ta proces nadaljujemo, dobimo |BF|=sd, kjer je s naravno število, …. Toda dolžine teh daljic gredo proti 0, po drugi strani pa so najmanj enake d. To je protislovje.
Referenca:
Izidor Hafner
"Incommensurability of the Base and Leg in an Isosceles Triangle"
http://demonstrations.wolfram.com/IncommensurabilityOfTheBaseAndLegInAnIsoscelesTriangle/
Wolfram Demonstrations Project Published: September 4, 2012
Rombski dvanajsterec iz č etvercev
Rombski dvanajsterec lahko sestavimo iz določenih četvercev, ki so povezani v obroč.
Zanimivo pri tem je, da potrebujem tri t.i. kaleidocikle. Iz enega (prerezanega) lahko tvorimo tretjino rombskega dvanajsterca.
Štiri mreže za kaleidocikel:
Slavik Jablan (1952-2015)
Rojen je bil v Sarajevu, diplomiral je l. 1977 na beograjski univerzi, kjer je l. 1984 tudi doktoriral s tezo Theory of Simple and Multiple Antisymmetry in E
2and E
2\{O}. Bil je profesor geometrije na Univerzi Niš in sodelavec Matemati č nega instituta v Beogradu.
Objavil je ve č kot 40 č lankov v mednarodnih revijah: Acta Crystallographica, Zeitscrift für Kristallographie, Kristallografiya (Moskva), Symmetry: Culture and Science, Publications de l'Institute Mathematique (Beograd)...
Osnoval je medmrežni č asopis VisMat (Visual Mathematics) in bil do smrti glavni urednik. Je avtor ve č knjig, ki so izšle pri mednarodnih založbah.
Nekaj matemati č nih skulptur
Na vprašanje »Kaj je matematična skulptura?« je na spletu najti kvečjemu odgovor, da je to »skulptura, ki v svojo zasnovo in oblikovanje vključuje matematiko.« Analitično nastrojeni bralec, ki ne mara tavtologij, bo svoje razmišljanje verjetno preusmeril na vprašanji »Kaj je skulptura?« in »Kaj je matematika?«
Na eni izmed konferenc ISAMA1 je bila predlagana razdelitev2 matematičnih skulptur na naslednje kategorije:
● Klasična geometrija in poliedri ● Neorientirane ploskve ● Vozli
● Ploskve drugega reda in premonosne ploskve ● Simetrične in modularne strukture
● Boolove operacije ● Minimalne ploskve ● Transformacije ● Drugo
Rombski 210-terec
Rombu, ki ima diagonali v razmerju zlatega reza, rečemo zlati romb. Obstaja natanko pet konveksnih poliedrov, ki jih omejujejo skladni zlati rombi: romboedra s šestimi mejnimi ploskvami, zlata dvajseterec in trideseterec ter zlati dvanajsterec. Trideseterec je odkril v 17. stoletju astronom Johannes Kepler, romboedra sta verjetno bila znana že pred Keplerjem, dvajseterec je odkril leta 1885 ruski matematik Evgraf Stepanovič Fedorov, zlati dvanajsterec pa je leta 1960 odkril hrvaški matematik Stanko Bilinski.
Izdelamo zlati trideseterec in 30 dvanajstercev, ki imajo z njim skladne mejne ploskve. Na vsako mejno ploskev trideseterca prilepimo po en dvanajsterec. Dobimo rombski 210-erec (slika desno), ki ga je odkril slovenski matematik Izidor Hafner.
Model je narejen iz 390 lesenih ploščic. Pri njihovi obdelavi je treba upoštevati, da koti med stranskimi ploskvami merijo 72º, 108º; oziroma 144º.
Möbiusov trak
Za mravljo, ki se sprehaja po listu papirja in prekorači njegov rob, z gotovostjo pričakujemo, da bo prišla na drugo stran lista. Stvari se zapletejo, če se sprehaja po ploskvi, ki ima eno samo stran. Takšno ploskev je odkril nemški matematik August Ferdinand Möbius (1790 -- 1868), ponazoritev z mravljami pa dolgujemo M.
C. Escherju (1898-1972) in njegovemu lesorezu Möbiusov trak II (1963). Najdete ga na naslovu http://www.mcescher.com/gallery/recognition-success/mobius-strip-ii/ .
1 ISAMA: The International Society of the Arts, Mathematics and Architecture : http://isama.org/
2 Vir: http://archive.bridgesmathart.org/2003/bridges2003-53.pdf . Ogleda: 20. september 2015
kipar in oblikovalec Max Bill (1908 -- 1994), ki je - ne vede za skoraj sto let star matematični opis Möbiusove enostranske ploskve - oblikoval svojo skulpturo Neskončni trak (1935). O tem je pozneje pripomnil, »da je prvi naredil Möbiusov trak, ne da bi vedel, kaj to sploh je«.
Trolistni vozel
Med slikarji, ki so upodabljali matematične motive, je verjetno najbolj znan nizozemski grafik Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972). V svojih delih se je med drugim ukvarjal z dojemanjem neskončnega, s tlakovanji ravnine, z upodabljanjem nemogočih objektov in risal topološko zanimive motive. Med slednjimi so znani zlasti Vozli. ( http://www.mcescher.com/gallery/mathematical/knots/ ).
Boromejski obroči
Kipcu bi pristajalo tudi ime V slogi je moč.
Res: Če presekamo kateri koli člen povezave, razpade vse.
Kipec je prostorska inačica objekta, ki je v matematiki znan kot Boromejski obroči. Ti so dobili ime po italijanski aristokratski družini Borromeo, ki je imela v svojem grbu tri prepletajoče se kroge.
Enneperjeva ploskev
Svojo mikavno obliko je kipcu dala Enneperjeva ploskev. Gre za neskončno ploskev, ki seka samo sebe.Več o njej najdete na naslovu https://www.wikiwand.com/si/Enneperjeva_ploskev.
Upodobljen je tisti del ploskve, ki je v okolici njenega središča in ne seka samega sebe. Raztegnjen je vzdolž simetrijske osi.
izdelamo rob ploskve in ga potopimo v milnico. Ko ga izvlečemo, dobimo z nekaj sreče na okvirju razpeto minimalno ploskev iz milnega filma. Tekočinska opna se namreč vselej izoblikuje v ploskev, ki ima za dani rob minimalno površino.
Rešitve
Barvni sudoku
1.
4 5 2 1 3
1 2 5 3 4
5 3 4 2 1
2 1 3 4 5
3 4 1 5 2
4 1 5 2 3
1 4 2 3 5
3 2 4 5 1
2 5 3 1 4
5 3 1 4 2
1 2 3 4
3 1 4 2
2 4 1 3
4 3 2 1 4
2 1 3
1 3 4 2
2 4 3 1
3 1 2 4
3 1 4 2
4 3 2 1
2 4 1 3
1 2 3 4
4 1 3 2
3 2 4 1
2 3 1 4
1 4 2 3 1
4 2 3 5
5 3 1 2 4
4 5 3 1 2
2 1 4 5 3
3 2 5 4 1
4 2 3 1
1 4 2 3
3 1 4 2
2 3 1 4
1 5 4 3 2
4 2 3 5 1
5 3 1 2 4
3 4 2 1 5
2 1 5 4 3 3
4 5 1 2
2 3 1 5 4
5 2 3 4 1
4 1 2 3 5
1 5 4 2 3
5 4 1 2 3
4 3 5 1 2
3 1 2 5 4
2 5 3 4 1
1 2 4 3 5
4 2 3 1
3 1 4 2
1 4 2 3
2
3
1
4
2.
