Rudi Podgornik
August 2002
Teorija ima mnogo obrazov in ne vemo, katerega bi izbrali.
Eksperiment jih nima niˇc manj.
Montaigne,Essais, Knjiga III, Poglavje XIII.
Na osnovi zapiskov, komentarjev in sugestij ˇsledeˇcih ˇstudentov: Andrej Prˇsa Andrej Leban Blaˇz Kmetec Klemen ˇZagar Matjaˇz Liˇcer Boris Vodopivec Anita Praprotnik Robert Lesar David Erˇzen Anka Petroviˇc Mitja Urˇsiˇc Martin Horvat Andrej Miheliˇc Andrej Zorko Egon Pavlica Andrija Lebar Luka Gabrˇsˇcek Zala Lenarˇciˇc Urˇska Jelerˇciˇc.
1 Mehanika kontinuov 11
1.1 Hidrodinamski volumen . . . 11
1.2 Ohranitveni zakoni . . . 11
1.3 Disipacija . . . 12
1.4 Napetostni tenzor . . . 12
1.5 Klasifikacija mehanike kontinuov . . . 12
2 Elastomehanika 13 2.1 Kinematika deformacije . . . 14
2.1.1 Tenzor deformacije . . . 14
2.1.2 Fizikalen pomen komponent tenzorja deformacije . . . 16
2.1.3 Fotoelastiˇcni efekt . . . 18
2.1.4 Cauchy - Stokesova dekompozicija . . . 19
2.1.5 Invariante tenzorja deformacije . . . 20
2.1.6 Saint Venantove enaˇcbe kompatibilnosti . . . 20
2.2 Lagrangeova funkcija in enaˇcba gibanja . . . 22
2.3 Napetostni tenzor . . . 24
2.3.1 Geometrija sil . . . 24
2.3.2 Mohrov krog . . . 24
2.4 Ohranjevalni zakoni . . . 27
2.4.1 Zakon o ohranjevanju gibalne koliˇcine . . . 27
2.4.2 Zakon o ohranjevanju vrtilne koliˇcine in simetriˇcnost pik . . . 27
2.4.3 Zakon o ohranjevanju energije . . . 29
2.4.4 Ohranjevanje energije in nemehanski energijski tokovi . . . 30
2.4.5 Ekstremalni problem v elastomehaniki . . . 31
2.5 Hookeov zakon . . . 32
2.5.1 Elastiˇcna energija homogenega, izotropnega telesa . . . 32
2.5.2 Ut tensio, sic vis . . . 32
2.5.3 Clapeyronov teorem . . . 33
2.5.4 Izotropno telo pod izotropno obremenitvijo . . . 34
2.5.5 Young-Poissonovi snovni konstanti . . . 34
2.5.6 Janssenova enaˇcba in Poissonovo razmerje . . . 36
2.5.7 Prosta energija deformacije . . . 37
2.5.8 Hookeov zakon in simetrija elastiˇcnih teles . . . 39
2.5.9 Neizotropen eno-osni kristal . . . 39
2.6 Navierova enaˇcba . . . 41
2.6.1 Caucyjeva enaˇcba plus Hookeov zakon . . . 41
KAZALO KAZALO
2.6.2 Navierova enaˇcba za nestisljivo elastiˇcno telo . . . 42
2.6.3 Nestisljiva krogla pod vplivom lastne gravitacije . . . 43
2.6.4 Ena ali dve elastiˇcni konstanti za izotropno telo . . . 43
2.6.5 Lastnosti reˇsitev Navierove enaˇcbe . . . 44
2.7 Kelvinov problem . . . 45
2.7.1 Galerkinov nastavek . . . 45
2.7.2 Kelvinov problem . . . 46
2.7.3 Fundamentalna reˇsitev Navierove enaˇcbe . . . 48
2.7.4 Vektorske elastiˇcne interakcije . . . 48
2.7.5 Skalarne elastiˇcne interakcije . . . 49
2.8 Hertzov problem . . . 51
2.8.1 Loveov nastavek . . . 51
2.8.2 Boussinesqova reˇsitev . . . 52
2.8.3 Fundamentalna reˇsitev Boussinesqovega problema . . . 54
2.8.4 Hertzov problem . . . 55
2.8.5 Elastiˇcni stik dveh krogel . . . 56
2.9 Rotacijska deformacija planeta . . . 58
2.9.1 Gravitacijsko-rotacijski potencial vrteˇce se krogle . . . 58
2.9.2 Kelvinova reˇsitev . . . 58
2.9.3 Rotacijski elipsoid in koordinatni sistem Zemlje . . . 61
2.10 Valovanja elastiˇcnega telesa . . . 62
2.10.1 Helmholtzov teorem . . . 62
2.10.2 Valovna enaˇcba in njene reˇsitve . . . 62
2.10.3 Elastiˇcno valovanje v nehomogeni snovi . . . 63
2.11 Povrˇsinski valovi . . . 67
2.11.1 Rayleighovi valovi . . . 67
2.11.2 Loveovi valovi . . . 70
2.12 Debyejev model trdnega telesa . . . 72
2.12.1 Valovanja kot harmonski oscilatorji . . . 72
2.12.2 ˇStevilo stanj elastiˇcnega valovanja . . . 73
2.12.3 Kvantizacija elastiˇcnih valovanj . . . 74
2.12.4 Debyejeva enaˇcba . . . 76
2.13 Landau – Peierlsov teorem . . . 77
2.13.1 Mezoskopska prosta energija . . . 77
2.13.2 Ekviparticijski teorem . . . 78
2.13.3 ˇStevilo stanj elastiˇcnega kontinua . . . 79
2.13.4 Fluktuacije v razliˇcnih dimenzijah . . . 79
2.14 Deformacije tankih ploˇsˇc . . . 81
2.14.1 Diferencialna geometrija povrˇsin . . . 81
2.14.2 Deformacijski tenzor za tanko ploˇsˇco . . . 83
2.14.3 Prosta energija tanke ploˇsˇce . . . 85
2.14.4 Deformacijska energija in ukrivljenosti povrˇsine . . . 86
2.14.5 Zakljuˇcene povrˇsine . . . 87
2.14.6 Elastiˇcna energija povrˇsin s spontano ukrivljenostjo . . . 87
2.14.7 Tanka ploˇsˇca pod obremenitvijo zunanje sile . . . 88
2.14.8 Toˇckasta zunanja sila in Greenova funkcija elastiˇcne ploˇsˇce . . . 90
2.14.9 Elastiˇcne interakcije . . . 91
2.15 Deformacije palic . . . 93
2.15.1 Torzija . . . 93
2.15.2 Ukrivljanje . . . 96
2.15.3 Kirchhoffova teorija deformacije filamentov . . . 100
2.15.4 Elastica Eulerii . . . 107
2.15.5 Eulerjev kot . . . 109
2.15.6 Beˇzno deformiran filament . . . 110
2.16 Deformacije elastomerov . . . 112
2.16.1 Elastiˇcnost polimernih mreˇz . . . 113
2.16.2 Statistika posamiˇcne polimerne verige . . . 114
2.16.3 Statistika polimerne mreˇze . . . 115
2.16.4 Nelinearna elastomehanika polimerne mreˇze . . . 117
2.16.5 Primeri nelinearne elastomehanike . . . 120
2.16.6 Neidealne elastomerne mreˇze . . . 122
2.17 Elastiˇcne nestabilnosti . . . 124
2.17.1 Eulerjeva nestabilnost . . . 124
2.17.2 Torzijska nestabilnost . . . 125
2.18 Whiteov teorem o zvijanju . . . 127
3 Hidrodinamika 129 3.1 Hidrostatika . . . 130
3.1.1 Osnovne enaˇcbe hidrostatike . . . 130
3.1.2 Teorija plimovanja . . . 130
3.1.3 Potreben pogoj obstoja statiˇcne reˇsitve . . . 132
3.2 Kinematika gibanja tekoˇcin . . . 134
3.2.1 Eulerjev in Lagrangeov opis gibanja tekoˇcine . . . 134
3.2.2 Eulerjev in Lagrangeov pospeˇsek . . . 134
3.2.3 Eulerjeva identiteta . . . 135
3.2.4 Kontinuitetna enaˇca za maso tekoˇcine . . . 136
3.2.5 Reynoldsov transportni teorem . . . 136
3.2.6 Tokovnice in vrtinˇcnice . . . 137
3.3 Hidrodinamika idealnih tekoˇcin . . . 138
3.3.1 Eulerjeva enaˇcba . . . 138
3.3.2 Zgodovina Eulerjeve enaˇcbe . . . 138
3.3.3 Helmholtzeva enaˇcba za vrtinˇcnost . . . 139
3.3.4 Deformacija vrtinˇcnih niti . . . 140
3.3.5 Kelvinov teorem o ohranjevanju cirkulacije . . . 141
3.3.6 Helmholtzov teorem o vrtinˇcnosti . . . 142
3.3.7 Integrali Eulerjevih enaˇcb - Bernoullijeve enaˇcbe . . . 143
3.3.8 Ohranjevanje gibalne koliˇcine - kontrolni volumen . . . 145
3.3.9 Ohranjevanje gibalne koliˇcine - sogibajoˇc volumen . . . 146
3.3.10 Ohranjevanje energije - kontrolni volumen . . . 147
3.3.11 Ohranjevanje energije - sogibajoˇc volumen . . . 148
3.3.12 Biot - Savartov zakon . . . 149
3.4 Vrtinci . . . 151
3.4.1 Hitrostno polje vrtinˇcne niti . . . 151
3.4.2 Hidrodinamske interakcije med vrtinˇcnimi nitmi . . . 151
3.4.3 Rankinov vrtinec . . . 153
3.4.4 O neki zmotni urbani legendi . . . 154
3.4.5 Vrtinˇcni obroˇc . . . 155
3.4.6 Kelvinov vrtinˇcni model atoma . . . 156
KAZALO KAZALO
3.5 Obtekanje idealne tekoˇcine . . . 158
3.5.1 Potencialni tok nestisljive tekoˇcine . . . 158
3.5.2 Primeri potencialnega toka . . . 159
3.5.3 Obtekanje krogle . . . 161
3.5.4 D’Alambertov paradoks . . . 162
3.5.5 Reˇsitev d’Alembertovega paradoksa . . . 163
3.5.6 Hidrodinamska masa . . . 163
3.6 Dvodimenzionalen idealen tok . . . 165
3.6.1 Dvodimenzionalen potencialni tok . . . 165
3.6.2 Tokovnice in ekvipotencialne linije v dveh dimenzijah . . . 166
3.6.3 Kompleksni potencial . . . 166
3.6.4 Pretok tekoˇcine skozi krivuljo . . . 166
3.6.5 Vrtinci v dveh dimenzijah . . . 167
3.6.6 Sistem dvodimenzionalnih vrtincev je Hamiltonski sistem . . . 168
3.6.7 Dinamika sistema dveh dvodimenzionalnih vrtincev . . . 169
3.6.8 von K´arm´anova vrtinˇcna steza . . . 169
3.7 Teorija kril . . . 172
3.7.1 Tok okrog valja s cirkulacijo . . . 172
3.7.2 Teorem Kutta-ˇZukovski . . . 173
3.7.3 Krilo ˇZukovskega . . . 176
3.7.4 Sploˇsna enaˇcba krila . . . 177
3.7.5 Napaˇcne teorije leta . . . 180
3.8 Navier - Stokesova enaˇcba . . . 181
3.8.1 Tenzor striˇzne hitrasti . . . 181
3.8.2 Newtonske tekoˇcine . . . 181
3.8.3 Robni pogoj za viskozno tekoˇcino . . . 183
3.8.4 Brezdimenzijska oblika Navier-Stokesove enaˇcbe . . . 183
3.8.5 Mikroskopska narava viskoznosti . . . 184
3.9 Vrtinˇcnost . . . 185
3.9.1 Dinamika vrtinˇcnosti . . . 185
3.9.2 Difuzija vrtinˇcnosti . . . 185
3.9.3 Deformacija vrtinˇcnosti . . . 186
3.9.4 Difuzija cirkulacije . . . 186
3.10 Ohranjevalni zakoni . . . 188
3.10.1 Ohranjevanje gibalne koliˇcine v kontrolnem volumnu . . . 188
3.10.2 Ohranjevanje gibalne koliˇcine v sogibajoˇcem se volumnu . . . 188
3.10.3 Energijski zakon v kontrolnem volumnu . . . 189
3.10.4 Energijski zakon v sogibajoˇcem se volumnu . . . 190
3.10.5 Enstrofija . . . 191
3.11 Primeri viskoznega toka . . . 193
3.11.1 Hagen-Poisseuillov tok . . . 193
3.11.2 Vrtinˇcna plast . . . 193
3.11.3 Burgersov vrtinec . . . 194
3.12 Stokesova enaˇcba . . . 196
3.12.1 Stokesov pribliˇzek . . . 196
3.12.2 Fundamentalna reˇsitev Stokesove enaˇcbe - Stokeslet . . . 197
3.12.3 Stokeslet in sila . . . 198
3.12.4 Obtekanje krogle . . . 199
3.12.5 Posledice Stokesove sile . . . 200
3.12.6 Stokesov paradoks . . . 202
3.12.7 Rotlet in navor . . . 202
3.12.8 Obtekanje vrteˇce se krogle . . . 204
3.12.9 Stokesov dipol, Rotlet in Stresslet . . . 205
3.13 Hidrodinamske nestabilnosti . . . 206
3.13.1 Taylorjeva nestabilnost . . . 207
3.13.2 Ben´ardova nestabilnost . . . 207
3.13.3 Von K´arm´anova nestabilnost . . . 207
3.13.4 Kelvin–Helmholzova nestabilnost . . . 208
3.13.5 Rayleighova nestabilnost . . . 208
3.13.6 Faradayeva nestabilnost . . . 209
3.14 Turbulenca . . . 210
3.14.1 Interpretacija Navier-Stokesove enaˇcbe . . . 210
3.14.2 Fizikalne koliˇcine na razliˇcnih skalah . . . 212
3.14.3 Teorija Kolmogorova (K-41) . . . 213
3.15 Akustiˇcni hrup . . . 216
3.15.1 Lighthillova enaˇcba . . . 216
3.15.2 Lighthillova akustiˇcna analogija . . . 218
3.15.3 Sevalne reˇsitve Lighthillove enaˇcbe . . . 219
3.15.4 Izsevana akustiˇcna moˇc . . . 222
3.15.5 Lighthillov ”v8” zakon . . . 224
KAZALO KAZALO
Mehanika kontinuov
Pri obravnavi toˇckastih teles je bila v srediˇsˇcu pozornosti lega telesa v odvisnosti od ˇcasa r(t).
Ko smo obravnavali toga telesa, katerih dimenzije niso bile zanemarljive, smo poleg lege teˇziˇsˇca r(t) v prostoru potrebovali ˇse orientacijo telesa v prostoru φ(t), medtem ko so bile relativne razdalje med razliˇnimi deli telesa nespremenjeneri(t)−rk(t) = 0. Indeksi inj se nanaˇsata na dve razliˇcni toˇcki v telesu. Sedaj bomo nadoknadili zamujeno in se posvetili prav spremembi medsebojne relativne razdalje delov telesa (deformacijam) pod vplivom napetosti, katerim je izpostavljeno telo. Delo si bomo olajˇsali tako, da bomo privzeli mirujoˇce teˇziˇsˇce ˙r(t) = 0 in stalno orientacijo telesa. ˙φ(t) = 0. ˇCasovno odvisne pa bodo lege med posazmeznimi deli telesa, ki jih bomo opisali zvektorjem deformacije.
1.1 Hidrodinamski volumen
Pri mehaniki kontinuov se ne ukvarjamo z mikrostrukturo telesa (atomi, molekulami . . . ), bolj nas zanima makroskopska slika. Mikroskopsko so telesa seveda sestavljena iz diskretnih enot mase, upamo pa, da se pri dovolj velikih skalah ta diskretnost zabriˇse in da se pribliˇzamo zveznemu opisu. Tako npr. vpeljemo gostoto snovi kot povpreˇcno gostotoρ=mV =ρ(r), kjer povpreˇcimo maso po dovolj velikem volumnu, da je povpreˇcje gladko ( da ne vidimo veˇc posameznih atomov), a po zadosti majhnem, da ˇse vedno lahko sledimo spremembam gostote po telesu. Izkaˇze se, da je takˇsen volumen reda velikosti 10−8min vsebuje okrog 106atomov. Reˇcemo muhidrodinamski volumen. Hidrodinamski volumen naj bi obstajal pri vsaki snovi, s katero se mehanika kontinuov ukvarja. To jeosnovni postulat mehanike kontinuov.
1.2 Ohranitveni zakoni
Pri obravnavi mehanike zvezno porazdeljenih medijev iz mehanike toˇckastega telesa privzamemo veljavnost naslednjih fizikalnih zakonov:
• zakon o ohranitvi mase,
• zakon o ohranitvi gibalne koliˇcine,
• zakon o ohranitvi vrtilne koliˇcine in
• zakon o ohranitvi energije.
1.3. DISIPACIJA POGLAVJE 1. MEHANIKA KONTINUOV
Na osnovi teh postulatov in hidrodinamskega volumna lahko skonstruiramo dinamiko zveznih teles, ki jo imenujemomehanika kontinuov1. Mehaniko kontinuov tvorijo sploˇsniohranitveni zakoni(npr. zakon o ohranjevanju gibalne koliˇcine) in pakonstitutivni zakoni(npr. Hookeov zakon in Newtonov zakon).
1.3 Disipacija
V hidrodinamiki se zaradi viskoznosti mehanska gibalna koliˇcina, mehanska vrtilna koliˇcina in mehanska energija ne ohranjajo. Ohranjevalni zakoni imajo zato v tem primeru ponore, ki opisujejo neprestano izgubljanje oziroma disipacijo teh mehanskih koliˇcin. Najpomembnejˇsi ponor energije v hidrodinamiki jeenstrofija, ki opisuje disipacijo energije v vrtincih, oziroma njeno pretakanje iz mehanskih prostostnih stopenj v termodinamske prostostne stopnje kot je entropija.
Disipacija in enstrofija igrata pomembno vlogo pri razumevanju turbulence, ki ni niˇc drugega kot pojavna oblika toka energije iz mehanskih v termodinamske prostostne stopnje in s tem njena disipacija.
1.4 Napetostni tenzor
Najpomembnejˇsa razlika med mehaniko toˇckastih teles in mehaniko kontinuov je obstojnape- tostnega tenzorjav slednji. Zakaj? Med toˇkastimi telesi po predpostavki delujejo le toˇckaste sile, ki imajo tudi toˇckasto prijemaliˇsˇce. Kakor hitro pa ima telo konˇcne dimenzije, in torej predstavlja kontinuum oziroma zvezno porazdelitve mase, pa lahko sila deluje znotraj volumna telesa ali pa po njegovi povrˇsini. Newtonov tretji zakon se tako razdeli na dva ˇclena, od katerih prvi ustreza volumski porazdelitvi in drugi povrˇsinski porazdelitvi sil.
Z nekaj matematiˇcnimi prijemi lahko, kot bomo detajlno spoznali kasneje, povrˇsinski del prepiˇsemo v obliki volumskega dela, v katerem se pojavi divergenca koliˇcine, ki jo identificiramo kot napetostni tenzor. Ta je potemtakem zgolj formalna posledica dejstva, da imajo zvezna telesa povrˇsino in lahko sile delujejo neposredno na njihov volumen ali pa posredno preko mejnih povrˇsin.
1.5 Klasifikacija mehanike kontinuov
Mehaniko kontinuov v grobem delimo na elastomehniko in hidrodinamiko. Formalno ju loˇcimo po tem, ˇce ima tenzor napetosti v mirovanju izvendiagonalne elemente (strig) ali ne. Pri tem elastiˇcna telesa prenaˇsajo striˇzno obremenitev, tekoˇcine pa ne. ˇZal veˇcina snovi ne sodi striktno ne v eno ne v drugo kategorijo, saj so skoraj vse snovi viskoelastiˇcne. Njihovo obnaˇsanje je odvisno od tega, kako hitro kaj z njimi poˇcnemo.
1Vˇcasih se sliˇsi tudi termin mehanika kontinuumov. Tega preganjam. Latinske besede slovenimo tako, da vzamemo osnovo (pri besedicontinuumje tocontinu), jo prepiˇsemo v slovenˇsˇcino in nanjo nataknemo slovenska obrazila (kontinu−ov)!
Elastomehanika
2.1. KINEMATIKA DEFORMACIJE POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
2.1 Kinematika deformacije
Pri deformaciji se izbran del telesa, torej skupek njegovih atomov oziroma molekul, premakne iz izhodiˇsˇcne v neko drugo lego: ˇce smo pred deformacijo njegovo lego opisali skrajevnim vektorjem r, oziroma v komponentahxi, jo po deformaciji opiˇsemo s krajevnim vektorjemR(r).
Zavedati se moramo, da lahko lego skupka atomov oz. molekul, torej bodisi r ali pa R(r) definiramo le v snoveh, kjer imajo atomi (oziroma molekule) poloˇzajski red dolgega dosega. Vsak atom oz. molekulo torej lahko oznaˇcimo tako, da navedemo koordinate toˇcke v prostoru, kjer se nahaja. Za tekoˇcine (pa tudi veˇcino tekoˇcih kristalov) to ni mogoˇce, saj se atomi oz. molekule popolnoma neurejeno gibljejo po prostoru in jih ne moremo povezati z dolˇcenimi toˇckami v prostoru.
Loˇcimo dva opisa deformacije:
• pri enem preberemo dejanske koordinate nekega izbranega delca v telesu v starem, nedefor- miranem, koordinatnem sistemur. To jeLagrangeov opis, ki ga je vpeljal L. de Lagrange v svojem deluMecanique analytique, Vol II, (1788), stran 268. Uporabljamo ga pri teoriji elastiˇcnosti, kjer nas vedno zanimajo dejanske koordinate delcev snovi pri deformaciji.
• Pri drugem pa preberemo koordinate istega dela telesa v novem - deformiranem koordina- tnem sistemuR. Tu koordinate niso veˇc vezane na delce snovi, paˇc pa na element volumna snovi. To pa jeEulerjev opis, ki ga je Leonhard Euler vpeljal v deluPrincipes generaux du mouvement des fluides, M´emoires de l’Academie de Berlin, (1755), stran 274.. Upora- bljamo ga pri hidromehaniki. Mi se bomo zaenkrat ukvarjali s teorijo elastiˇcnosti in bomo uporabljali Lagrangeov opis.
Privzeli bomoprincip lokalne akcije: deformacije v telesu so posledice lokalnih sil. Uˇcinke dolgega dosega zanemarimo.
Zakonom, ki povezujejo zunanje uˇcinke z notranjimi odgovori razliˇcnih vrst snovi, pravimo konstitutivni zakoni. Taka sta npr. zakona D=0E v elektrodinamiki in F =κ∇2l/lpri deformaciji vzmeti. Da bi izpeljali sploˇsne konstitutivne zakone v elastomehaniki, pa moramo najprej znati opisati deformaicjo elastiˇcnega tlesa.
2.1.1 Tenzor deformacije
Posvetimo se najprejkinematikioz. opisu deformacije v zveznem mediju. Oglejmo si transfor- macijor7−→R(r); zapisano po komponentah je to:
xi 7−→Ri(xk) =xi+ui(xk), (2.1) kjer smo vpeljali vektor deformacijeui(xk), ki pove, za koliko se pri deformaciji premakne toˇcka, ki je bila pred deformacijo v xk. Komponenten zapis ui(xk) je popolnoma enakovreden vektorskemu zapisuu(r). Latinski indeksi seveda teˇcejo od 1−3 in predstavljajo komponente x, y, z.
Razdalja med dvema sosednjima toˇckama na poljubni mnogoterosti se zapiˇse kot
dl02=g(0)ikdxidxk, (2.2)
kjer je g(0)ik metriˇcni tenzor pred deformacijo. dr je seveda vektorska razlika poloˇzajev dveh infinitezimalno sosednjih vektorjev. Pri deformiranem telesu gledamo ustrezno razliko med vek- torjemaR(r) inR(r+dr). Tu vpeljemo element razdalje med istima toˇckama po deformaciji z zvezo
dl2=gikdxidxk. (2.3)
Slika 2.1: Shematska predstavitev vektorja deformacije.
Deformacijo potemtakem oˇcitno lahko opiˇsemo kar z metriˇcnim tenzorjem, Lagrangeove koordi- nate pa ostanejo iste. Razdalja med dvema bliˇznjima toˇckama v telesu pred in po deformacijio zapiˇsemo po definiciji kot
dl2−dl20= (gik−g(0)ik)dxidxk=: 2uikdxidxk, (2.4) kjer jeuik(Greenov)tenzor deformacije, ki smo ga vpeljali kot
uik= 1
2(gik−g(0)ik). (2.5)
Tenzor deformacije je oˇcitno tenzor, saj je enak razliki dveh drugih tenzorjev, je pa tudi sime- triˇcen,uik=uki, paˇc glede na lastnosti metriˇcnega tenzorja.
Poskusimo ga izraziti z vektorjem odmika ui(xk)! Zaˇcnimo s karteziˇcno 3D mreˇzo na ne- deformiranem telesu. Metriˇcni tenzor je kar identitetna matrika, kar pomeni, da od produkta preˇzivijo le diagonalni elementi, torej elementi z enakim indeksom:
dl02=dxidxi=dx2i. (2.6)
Sedaj telo infinitezimalno deformiramo. Vsaka toˇcka xk se preslika v Ri(xk), zato je razdalja med dvema infinitezimalno bliˇznjima toˇckama po deformaciji1:
dl2=dRidRi=dRi2. (2.7)
Tu smo prepostavili, da sta si toˇcki, ki sta si blizu pred deformacijo, blizu tudi po njej. Obiˇcajno je to res, razen v primerih, ko se telo pretrga, s katerimi pa se tu ne bomo ukvarjali. Ker je po definiciji vektorja deformacijeR(r) =r+u(r), sledi
dRi=dxi+ ∂ui
∂xk
dxk. (2.8)
Od tod sledi:
dl2=dRidRi=
dxi+ ∂ui
∂xk
dxk
·
dxi+ ∂ui
∂xp
dxp
. (2.9)
1infinitezimalna razlika med dvema toˇckama je ˇse vedno evklidska
2.1. KINEMATIKA DEFORMACIJE POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
Zmnoˇzimo in imamo dxidxi+∂ui
∂xk
dxidxk+∂ui
∂xp
dxidxp+∂ui
∂xk
∂ui
∂xp
dxkdxp= =dl02+ ∂up
∂xk
+∂uk
∂xp
+ ∂ui
∂xk
∂ui
∂xp
dxpdxk. Pri linearnih ˇclenih smo indeksi v drugem ˇclenu spremenili v p, v tretjem pa v k – to lahko naredimo, saj soi,pink nemi indeksi. Po definiciji je kot vemo
dl2−dl02
= 2upkdxpdxk (2.10)
in po primerjavi z prejˇsnjo enaˇcbo ugotovimo, da je Greenov tenzor uik=1
2 ∂ui
∂xk
+∂uk
∂xi
+∂ul
∂xi
∂ul
∂xk
. (2.11)
Clenˇ ∂x∂ui
k +∂u∂xk
i imenujemo linearna komponenta tenzorjauik, ˇclen ∂u∂xl
i
∂ul
∂xk pa nelinearna (kva- dratna) komponenta tenzorjauik. Mi se bomo ukvarjali z linearno teorijo elastiˇcnosti, zato bomo nelinearni del zanemarili. To pomeni, da se bomo v nadaljevanju omejili na majhne deformacije.
V linearnem opisu deformacije jeuik
uik= 1 2
∂ui
∂xk +∂uk
∂xi
(2.12) ravno simetriziran gradient deformacijskega vektorjaui. Imenujemo ga tudiGreenov tenzor.
2.1.2 Fizikalen pomen komponent tenzorja deformacije
Zanima nas ˇse pomen komponent tenzorja deformacije. Najprej si oglejmo, kako se transformira majhen vektor. ki kaˇze pred deformacijo recimo vxsmeri, (dx1,0,0). Dolˇzina tega vektorja je po deformaciji
dl2=dx12+ 2uikdxidxk =dx21+ 2u11dx12=dx21(1 +u11). (2.13) Oziroma od tod ko korenimo in razvijemo pou11do najniˇzjega reda
dl=dx1(1 +u11). (2.14)
Od tu dobimo za relativni raztezek vektrojadx1 pred in podeformacijo u11= dl−dx1
dx1 . (2.15)
Enako bi lahko dobili za vse diagonalne komponente tenzorja deformacije. Zakljuˇcimo, da dia- gonalne komponente tenzorja deformacije predstavljajo relativne raztezke v posameznih smereh.
Zanima nas ˇse pomen nediagonalnih elementov v tenzorju. Zato si oglejmo, kako se transfor- mirajo koti med smermi pred in po deformacijo. Vzemimo ortogonalna vektorja v dveh smereh, recimo, (dx1,0,0) in (0, dx2,0). Prvi vektor naj se transformira vdR(1)= (dR(1)1 , dR(1)2 , dR(1)3 ), drugi pa v dR(2) = (dR1(2), dR(2)2 , dR(2)3 ). Pri tem za komponente prvega vektorja po definiciji zapiˇsemo:
dR(1)1 =dx1+∂u1
∂x1
dx1=
1 + ∂u1
∂x1
dx1, (2.16)
kjer je
dR(1)2 = ∂u2
∂x1dx1, dR(1)3 = ∂u3
∂x1dx1, (2.17)
in za drugi vektor
dR(2)1 = ∂u1
∂x2
dx2, dR(2)2 = dx2+∂u2
∂x2
dx2=
1 + ∂u2
∂x2
dx2, dR(2)3 = ∂u3
∂x2
dx2. (2.18)
Sedaj izraˇcunamo skalarni produktdR(1)·dR(2) =|dR(1)||dR(2)|cosθ12in ohranimo le linearne ˇ
clene
dR(1)·dR(2)≈ ∂u1
∂x2
dx1dx2+∂u2
∂x1
dx1dx2= 2u12dx1dx2. (2.19) Ker je |dx1| · |dx2| do lieanrnega reda enako |dR(1)||dR(2)| (relativni raztezki so namreˇc po predpostavki majhni), je
dR(1)·dR(2)=|dR(1)||dR(2)|cosθ12≈2u12dx(1)dx(2). (2.20) Od tod pa sledi
2u12= cosθ12. (2.21)
Enak rezultat bi dobili za ostale nediagonalne elemente. Torej je npr. nediagonalni element u12 poloviˇcni kosinus kota med novima smerema prve in druge koordinatne osi, ki sta bili pred deformacijo pravokotni med seboj.
Kaj pa se zgodi z volumnom telesa po defromaciji? Pred deformacijo je volumski element v telesu po definiciji
dV0=dx1dx2dx3, (2.22)
po deformaciji pa
dV =dR1dR2dR3. (2.23)
Iz vektorske analize vemo, da lahko diferencial volumna zapiˇsemo z Jacobijevo determinantoJ(r) takole:
dV =
det∂Ri(r)
∂xk
dV0=J(r)dV0. (2.24)
Ker jeRi(xl) =xi+ui(xl) lahko v linearnem redu izpeljemo J(r) = det
∂xi+ui(xl)
∂xk
= det
δik+∂ui(xl)
∂xk
= (1 +Truik) +O(uik), (2.25) ali drugaˇce
dV −dV0
dV0
=Tr uik. (2.26)
Sled tenzorja deformacije je torej enaka relativni spremembi volumna pri deformaciji. Bilo bi neprijetno, ˇce bi bila ta relativna sprememba volumna odvisna od izbire koordinatnega izhodiˇsˇca.
Na sreˇco temu ni tako.
Ponovimo: diagonalni elementi tenzorja napetosti predstavljajo relativne spremembe doˇzine vektorjev, nediagonalni spremembe pravih kotov in sled relativno spremembo elementa volumna.
2.1. KINEMATIKA DEFORMACIJE POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
2.1.3 Fotoelastiˇ cni efekt
Ali lahko deformacijo v telesu opazimo neposredno? ˇZe od Maxwella naprej lahko deformacijo teles vizualiziramo s po moˇcjofotoelastiˇcnega efekta. Do fotoelastiˇcnega efekta pride, ko je
Slika 2.2: Fotoelastiˇcbi efekt na modelu gotskega cerkvenega stebra.
prozoren material pod izpostavljen deformacijam. Le-te se ponavadi spreminjajo po volumnu telesa in povzroˇcajo lokalne variacije v lomnem koliˇcniku. To seveda vodi do variacij v lokalni hitrosti svetlobnega valovanja v telesu. ˇCe skozi takˇsno telo potuje polarizirana svetloba pride do interference delov ˇzarka, ki gredo skozi dele telesa z razliˇcnimi svetlobnimi hitrostmi. Ceˇ jih pravlno interpretiramo lahko iz interferenˇcnih slik razberemo velikosti lokalne deformacije v telesu. To je torej princip fotoelastiˇcnosti.
J.C. Maxwell je zaˇcel raziskovati elastiˇcnost prozornih teles okrog leta 1850. Na sliki vidimo dva njegova originalna akvarela, ki prikazujeta fotoelastiˇcni efekt v elastiˇcno obremenjenem ste- klenem trikotniku in v votlem cilindru s torzisjko deformacijo. Na osnovi slik te vrste je Maxwell
Slika 2.3: Maxwellova akvarela, levi iz leta 1847 in desni iz leta 1850, ki prikazujeta fotoelastiˇcni efekt v trikotniku in votlem cilindru.
skuˇsal rekonstruirati deformacijsko polje in ga primerjati z rezultati, ki jih daje elastomehanika.
2.1.4 Cauchy - Stokesova dekompozicija
S pomoˇcjo deformacijskega tenzorja lahko zelo elegantno ugotovimo, kako se v sploˇsnem prema- knejo deli deformabilnega telesa. ˇCe je v toˇskir0 vektor deformacijeu(r0), potem je v sosednji toˇcki, oddaljeni zadrodr0, vektor deformacije
ui(r0+dr) =ui(r0) +∂ui(r0)
∂xk dxk+O(dxk). (2.27)
To lahko zapiˇsemo tudi takole ui(r0+dr) =ui(r0) +12∂u
i(r0)
∂xk +∂u∂xk(r0)
i
dxk+12∂u
i(r0)
∂xk −∂u∂xk(r0)
i
dxk, (2.28) oziroma kot
ui(r0+dr) =ui(r0) +uik(r0)dxk+ωik(r0)dxk, (2.29) kjer je seveda
uik=12∂u
i(r0)
∂xk +∂u∂xk(r0)
i
ωik= 12∂u
i(r0)
∂xk −∂u∂xk(r0)
i
. (2.30)
Prvi del predstavlja torej deformacijo, drugi pa vsebuje nek antisimetriˇcni tenzor ωik. Ker je vsak antisimetriˇcen tenzor ekvivalenten nekemu aksialnemu vektorju, ta ˇclen predstavlja rotacijo.
Poglejmo toˇcno kako. Antisimetriˇcni tenzorωik lahko v sploˇsnem zapiˇsemo kot ωik=−12 iklωl=
0 −ω3 ω2
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
. (2.31)
Ta izraz velja sploˇsno za vsak antisimetriˇcni tenzor. Pravimo, da je antisimetriˇcne tenzor ekvi- valenten nekemu vektorju, v zgornjem primeru vektorjuω. Vektorω imenujemo tudi aksialni vektor. Od tod ˇze sledi, da je
ωikdxk=−12 iklωldxk= 12 ω×dr. (2.32) Nazdnje lahko torej zapiˇsemo za vrednost vektorja odmika v dveh sosednjih toˇckah v telesu
ui(r0+dr) =ui(r0) +uik(r0)dxk+12 (ω(r0)×dr)i. (2.33) Oziroma ˇse malo drugaˇce, ˇce uvedemo tole dekompozicijo Greenovega tenzorja
uik(r0) =dik(r0) +13(uii(r0))δik (2.34) v kateri je novi tenzor dik brezsleden, dobimo konˇcno za Cauchy - Stokesovo dekompozicijo vektorja deformacije
ui(r0+dr) =ui(r0) +13(uii(r0))δik dxk+dik(r0)dxk+12 (ω(r0)×dr)i. (2.35) Zgornjo enaˇcbo preberemo takole: deformacija v bliˇzini toˇcker0 je sestavljena iz
• ˇclen 13(uii(r0)) dxi, ki ustreza zgolj spremembi volumna Truik = Tr 13(uii(r0))δik
= (∇·u)
• striˇzne deformacije brez spremembe volumna, ˇclendik(r0)dxk zdii = 0.
• rotacije, ˇclen 12 ω(r0)×dr.
Zgornjo trditev imenujemo tudi Cauchy - Stokesov izrek o dekompoziciji deformacije zveznega telesa. Krogla v okolici toˇcke r0 se bo torej v sploˇcnem deformirala v rotacijski elipsoid s pre- maknjenimi glavnimi osmi kot ga shematsko prikazuje tudi slika.
2.1. KINEMATIKA DEFORMACIJE POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
Slika 2.4: Krogla v okolici toˇcker0se v sploˇcnem deformira v rotacijski elipsoid s premaknjenimi glavnimi osmi.
2.1.5 Invariante tenzorja deformacije
Sled Truik je invarianta tenzorja in ni vezana na doloˇcen koordinatni sistem. To vemo iz li- nearne algebre. Pri iskanju lastnih vrednosti linearnega operatorja uik so namreˇc koeficienti karakteristiˇcnega polinoma invariante operatorja:
det(uik−tδik) =−t3+I1t2−I2t+I3= 0. (2.36) InvarianteI1,I2,I3so definirane kot
I1 = 12mnpinpuim=Truik
I2 = 12mnpmjkunjupk=12
(Truik)2−Truik2
= 12(ujjukk−ukjujk)
I3 = 16mnpijkuimujnukp= detuik. (2.37) V definicijah skalarnih invariant tenzorja smo vpeljali εijk, Levi-Civitajev absolutno antisime- triˇcni tenzor 3. reda, katerega elementi so:
εijk=
1 ; (ijk) je soda permutacija
−1 ; (ijk) je liha permutacija 0 ; sicer
(2.38) Pomagal nam bo pri bolj simetriˇcnem zapisu razliˇcnih enaˇcb tudi kasneje. Zato si ga zapomnimo.
2.1.6 Saint Venantove enaˇ cbe kompatibilnosti
Greenov deformacijski tenzor je torej definiran kot uik= 1
2 ∂ui
∂xk
+∂uk
∂xi
. (2.39)
Za vsak vektoru(r) lahko potemtakem najdemo ustrezen deformacijski tenzor. Kaj pa inverzni primer? Ali lahko za vsako tenzorsko poljeuik(r) najdemo ustrezen deformacijski vektor, tako da bo veljala zgornja enaˇcba? O tem govorijo Saint Venantovi pogoji kompatibilnosti.
Kot vidimo je inverzni problem predoloˇcen, saj imamo ˇsest komponent simetriˇcnega Gree- novega tenzorja, ki morajo doloˇcati tri komponente vektorja deformacije. Oˇcitno morajo torej med komponentami Greenovega tenzorja veljati doloˇceni kompatibilnotni pogoji, ki ˇsest enaˇcb prevedejo na tri.
Izraˇcunajmo najprej
∂2uij
∂xk∂xl
= 1 2
∂3ui
∂xj∂xk∂xl
+ ∂3uj
∂xi∂xk∂xl
(2.40) Hitro lahko ugotovimo, da mora veljati tole
∂2uij
∂xk∂xl + ∂2ukl
∂xi∂xj = 1 2
∂3ui
∂xj∂xk∂xl + ∂3uj
∂xi∂xk∂xl+ ∂3uk
∂xj∂xl∂xi + ∂3ul
∂xk∂xj∂xi
. (2.41) Zamenjajmo indeksaj inkpa imamo do tod
∂2uik
∂xj∂xl + ∂2ujl
∂xi∂xk = 1 2
∂3ui
∂xk∂xj∂xl + ∂3uk
∂xi∂xj∂xl+ ∂3uj
∂xl∂xi∂xk + ∂3ul
∂xj∂xi∂xk
. (2.42) Ce sedaj speˇˇ camo obe zgornji enaˇcbi dobimo konˇcbo
∂2uij
∂xk∂xl
+ ∂2ukl
∂xi∂xj
− ∂2uik
∂xj∂xl
− ∂2ujl
∂xi∂xk
= 0. (2.43)
To je potreben in hkrati zadosten pogoj, da obstoja enoznaˇcen vektor deformacije. Ta pogoj imenujemo tudi Saint Venantov pogoj kompatibilnosti. Zgornja tenzorska enaˇcba pred- stavlja dejansko sistem 34 = 81 enaˇcb, od katerih pa je le ˇsest linearno neodvisnih. Teh ˇsest enaˇcb ustreza indeksom i = j = 2, k = l = 3, i = j = 3, k = l = 1, i = j = 1, k = l = 2, i=j = 1, k = 2, l = 3,i=j = 2, k= 3, l= 1 in pai=j= 3, k = 1, l= 2. V dveh dimenzijah obstaja ena sama kompatibilnostna enaˇcba zai=j = 1, k =l= 2. Seveda zgornjih ˇsest enaˇcb ˇse vedno ne more biti popolnoma linearno neodvisnih. Pokazati pa se da, da lahko zgornjih ˇsect kompatibilnostnih enaˇcb drugega reda (po odvodih) zapiˇsemo kot tri enaˇcbe ˇcetrtega reda. Tako dobimo ravno prvˇsnje ˇstevilo pogojev. Te konˇcne enaˇcbe kompatibilnosti lahko izpeljemo v tejle obliki
∂3
∂x1∂x2∂x3
−∂u23
∂x1 +∂u31
∂x2 +∂u12
∂x3
= 0
∂3
∂x1∂x2∂x3
∂u23
∂x1
−∂u31
∂x2
+∂u12
∂x3
= 0
∂3
∂x1∂x2∂x3 ∂u23
∂x1 +∂u31
∂x2 −∂u12
∂x3
= 0. (2.44)
To so kompatibilnostne enaˇcbe v najbolj kompaktni obliki. Samo tenzorji, ki zadoˇsˇcajo zgornjim enaˇcbam, lahko predstavljajo deformacijo nekega elastiˇcnega telesa.
2.2. LAGRANGEOVA FUNKCIJA IN ENA ˇCBA GIBANJAPOGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
2.2 Lagrangeova funkcija in enaˇ cba gibanja
Sedaj imamo opis deformacije telesa in postavi se seveda vpraˇsanje, kakˇsne so ustrezne gibalne enaˇcbe. Postopali bomo podobno kot v mehaniki toˇckastih teles in najprej zapisali ustrezno Lagrangeovo funkcijo in od tod izpeljali enaˇcbe gibanja.
V klasiˇcni (analitiˇcni) mehaniki toˇckasteih delcev lahko izpeljemo osnovno enaˇcbo gibanja tudi s pomoˇcjo Hamiltonovega naˇcela, tako da poiˇsˇcemo ekstrem klasiˇcne akcije
S= Z
L(r(t),r(t))dt,˙ (2.45) ki vodi do Euler - Lagrangeove enaˇcbe v obliki
d dt
∂L
∂r(t)˙
− ∂L
∂r(t)
= 0. (2.46)
Le-ta ni niˇc drugega kot nekoliko drugaˇcen zapis Newtonovega zakona gibanja. Pri tem je Lagrangeova funkcija ravno razlika med kinetiˇcno in potencialno energijo delcaL=Wk−Wp.
Tudi v elastomehaniki lahko postopamo podobno, le da moramo ves ˇcas upoˇstevati zvezno naravo snovi, ki jih obravnavamo. Posledica tega dejstva je, da se mora Lagrangeova funkcija zapisati kot volumski integral po telesu. Kinetiˇcna energija zveznega deformabilnega telesa, katerega lokalne odmike od ravnovesja opisuje deformacijski vektoru(r) se da zapisati kot
Wk= 1 2 Z
V
ρu˙2(r, t)d3r. (2.47)
Zgornja enaˇcba skorajda ne potrebuje komentarja. Nekoliko manj trivialne so zadeve pri po- tencialni energiji. Najprej bomo predpostavili, da so interakcije med posameznimi deli telesa kratkega dosega. To pomeni, da so med seboj sklopljeni le najbliˇzji deli okolice neke toˇcke v elastiˇcnem telesu. ˇCe so atomi ali molekule telesa v ravnovesju na mreˇzni razdalji a, potem imamo po predpostavki samo sklopitve medu(r) inu(r+a). Ker pa je
ui(r+a)−ui(r)∼∂ui(r)
∂xk ak+O(a2) =uikak+O(a2) (2.48) to pomeni, da mora biti potencialna energija zgolj funkcija gradientov vektorja deformacije. Po- membni predpostavki tu sta dve: da imamo v telesu pozicijski red, ki definira najbliˇzje sosede in da med seboj interagirajo zopet le najbliˇzji sosedje. ˇCe nadaljujemo v tej smeri, moramo ugotoviti ˇse, da se gradient vektorja deformacije deli na simetriˇcni del, ki ustreza pravim deformacijam, in antisimetriˇcni del, ki ustreza lokalnemu vrtenju. To slednje seveda ne more prispevati k poten- cialni energiji telesa v ravnovseju. Ostane nam torej trditev: potencialna energija deformaicje mora biti odvisna od Greenovega tenzorja deformacije. Potemtakem se mora dati zapisati kot
Wp= Z
V
f(uik(r, t))d3r− Z
V
ρfz·u(r, t)d3r. (2.49) Drugi del predstavlja zgolj deformacijsko delo zunanjih sil.
V primeru zveznega telesa torej zapiˇsemo nujo v obliki S=
Z L
ui(r, t),u˙i(r, t),∂ui(r, t)
∂xk
d3rdt (2.50)
kjer jeLtokratgostota Lagrangeove funckije podana z L
ui(r, t),u˙i(r, t),∂ui(r, t)
∂xk
=1
2ρu˙2(r, t)−f(uik(r, t)) +ρfz·u(r, t). (2.51)
Glede na to, da je nuja sedaj funkcional ˇstirih parametrov: ˇcasa tin treh komponent vektorjar, lahko ustrezno Euler - Lagrangeovo enaˇcbo zapiˇsemo v obliki
∂
∂t ∂L
∂u˙i
+ ∂
∂xk
∂L
∂∂u∂xi
k
!
− ∂L
∂ui
= 0. (2.52)
Ker jeuik ravno simetriziran gradient vektorja deformacije velja
∂L
∂∂x∂ui
k
!
= ∂L
∂uik
.
Euler-Lagrangeova enaˇcba En. 2.52 pa se torej konˇcno glasi ρ¨ui=− ∂
∂xk
∂L
∂uik
+ρfiz, (2.53)
oziroma, ˇce upoˇstevamo, da je v Lagrangeovi funkciji le f(uik(r, t)) odvisna od tenzorja defor- macije
ρ¨ui= ∂
∂xk
∂f(uik(r, t))
∂uik
+ρ fiz. (2.54)
To enaˇcbo ponavadi zapiˇsemo ˇse nekoliko drugaˇce. Najprej uvedemonapetostni tenzorkot pik= ∂f(uik(r, t))
∂uik , (2.55)
s pomoˇcjo katerega se Euler - Lagrangeova enaˇcba zapiˇse kot ρ¨ui= ∂pik
∂xk +ρ fiz. (2.56)
Zgornjo enaˇcbo imenujemo ponavadi tudi bf Cauchyjeva enaˇcba. za zvezno telo in nadomeˇsˇca v tem primeru drugi Newtonov zakon. Potencialna energija deformacije pri konstantni tenm- peraturi ni niˇc drugega kot prosta energija deformacije. Zgornja definicija tenzorja napetosti torej pravi, da je le ta enak odvodu proste energije deformacije po tenzorju deformacije. Kot tak predstavlja posploˇsitev pojma sile na zvezne medije. A ne pozabimo: pozicijski red in sile kratkega dosega.
Da bi reˇsili zgornjo enaˇcbo nam manjka ˇse konstitutivna relacijapik=pik(ui) =pik(uik). V najbolj preprosti obliki se ta konstitutivna relacija imenuje Hookeov2zakon in ga bomo izpeljeli nekoliko pozneje.
2R. Hooke, 1678
2.3. NAPETOSTNI TENZOR POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
2.3 Napetostni tenzor
2.3.1 Geometrija sil
Euler-Lagrangeovo enaˇcbo gibanja lahko interpretiramo tudi takole ρ¨ui= ∂pik
∂xk
+ρ fiz=ρ fi, (2.57)
kjer je fi celtona sila na enoto mase, ki deluje na telo. Sestavljena je torej iz zunanjih sil in napetosti v telesu. Celotno silo na telo sedaj dobimo tako, da zgornjo enaˇcbo integriramo po volumnu telesaV takole
Fi= Z
V
ρ fid3r= Z
V
ρ fied3r+ Z
V
∂pik
∂xk
d3r. (2.58)
Prvi integral predstavlja interakcijo z zunanjimi polji kot npr. teˇznostjo, drugi pa interakcije med deli telesa. Po analogiji z Gaussovim teoremom, po katerem je integral vektorja a po povrˇsini enak integralu divergence tega vektorja po volumnu
I
akdSk= Z ∂ak
∂xk
dV
uvidimo da lahko zapiˇsemo podobno relacijo tudi za tenzorpik in sicer kot I
pikdSk=
Z ∂pik
∂xk
dV
. To se da pokazati za vsako komponentoiposebej, saj imamo opraviti z Gaussovim izrekom za vsako komponentoi.
Celotno silo, ki deluje na zvezno deformabilno telo lahko potenmtakem zapiˇsemo kot Fi=
I
∂V
pikdSk+ Z
V
ρ fie(r)d3r, (2.59)
kjer gre povrˇsinski integral ravno po meji volumna telesa ∂V. V primeru, ko nimamo zunanjih sil, drugi ˇclen seveda odpade. Za nek neskonˇcno majhen del povrˇsine je potempik ravno sila na enoto povrˇsine, ki deluje v smerii, ˇce normala elementa povrˇsine kaˇze v smeri k. NamestodSk
piˇsimo produkt enotskega vektorja normale na povrˇsino ter elementa ploˇsˇcine:
Fi= I
∂V
piknkdS. (2.60)
Produkt piknk smemo tako interpretirati kot gostoto sile na enoto povrˇsine v smeri i.
Zaenkrat ˇse ne vemo niˇc o simetrijskih lastnostih tenzorja napetosti. Ob te bomo trˇcli ˇsele pri ohranjevanju vrtilne koliˇcine deformirane snovi. Obstoj tenzorja napetosti je posledica dej- stva, daje potencilna energhija deformacije funkcija uik, kar pa je zopet posledica dejstva, da so interakcije med deli telesa kratkega dosega in da v ravnovesju vlada v telesu pozicijski red dolgega dosega.
2.3.2 Mohrov krog
Poglejmo si v dveh dimenzijah normalno in tangencialno komponento sile na povrˇsino, podano z normalonin tangentot, tako da jen·t= 0,
n= (sinθ,cosθ) t= (cosθ,−sinθ). (2.61)
Slika 2.5: Lokalna geometrija sile in povrˇsine pri definiciji tenzorja napetosti.
Za normalni in tangencialni komponenti sil,Fn inFtna to povrˇsino dobimo
Fn=piknink Ft=piknitk (2.62) oziroma
Fn=p11sin2θ+p22cos2θ+2p12sinθcosθ Ft=p11sinθcosθ−p22sinθcosθ−p12sin2θ+p21cos2θ.
(2.63) Upoˇstevajmo vse potrebne trigonometriˇcne zveze sin2θ=12(1−cos 2θ) in cos2θ=12(1 + cos 2θ) pa od tod dobimo, ˇce seˇstejemo ustrezne kvadrate ˇclenov, ki nastopajo v En. 2.63
Fn−p11+p22
2 2
+Ft2=p212+
p11−p22
2 2
. (2.64)
Ce sedajˇ FninFtvzamemo za koordinati, potem to ni niˇc drugega kot enaˇcba kroga,Mohrovega
3 kroga, ki ima radij q
p212+ p11−p2 222
in ima srediˇsˇce na abscisi pri Fn =p11+p22
2 =12Trpik, (2.65)
kar je ravno povpreˇcna vrednost napetosti, ki je invarianta. Radij Mohrovega kroga pa je najveˇcja moˇzna striˇzna napetost, ki jo lahko torej zapiˇsemo kot
Ftmax=p212+
p11−p22
2 2
. (2.66)
Preseˇciˇsˇci Mohrovega kroga z absciso,Ft= 0, sta doloˇceni z enaˇcbo
Fn0−p11+p22 2
2
=p212+
p11−p22 2
2
. (2.67)
Ce bi imeli tenzor napetosti podan v lastnem koordinatnem sistemu, torejˇ p12= 0, potem bi bili obe preseˇciˇsˇci z absciso ravnop11 in p22. Kot θ bi v tem primeru prdstavljal kot med lastnimi
3fizik
2.3. NAPETOSTNI TENZOR POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
Slika 2.6: Mohrov krog v dveh dimenzijah.
smermi tenzorja napetosti in pa smerjo normale na povrˇsino, kjer nas zanimata normalna in tangencialna komponenta sile.
Obliko Mohrovega kroga v dveh dimenzijah nam predstavlja slika. Omogoˇca nam, da iz oblike komponent tenzorja napetosti zlahka razberemo ustrezne tangencialne in normalne sile, ki delujejo na poljuben povrˇsinski element v prostoru. To naredimo takole: doloˇcimo kot med smermi koordinatnega sistema v katerem je definiran tenzor napetosti in pa smerjo normale povrˇsine, kjer nas zanimata normalna in tangencialna komponenta sile. Ta kot nam v Mohrovem krogu takoj doloˇsi tudi obe komponenti sileFn inFt, glej sliko 2.3.2.
2.4 Ohranjevalni zakoni
2.4.1 Zakon o ohranjevanju gibalne koliˇ cine
V tem podpoglavju bomo izpeljali Newtonov zakon za zvezno telo, ki mu obiˇcajno pravimo tudi Cauchyjev zakon in ki nam dejansko govori o ohranjevanju gibalne koliˇcine v primeru, ko nimamo zunanjih sil.
Euler - Lagrangeovo enaˇcbo En,. 2.56 integrirajmo po volumnu in definirajmo gibalno koliˇcino telesa kot
G= Z
V
ρud˙ 3r, oziroma Gi= Z
V
ρu˙id3r. (2.68) Potem dobimo
dGi
dt = Z
V
ρfi(z)+∂pik
∂xk
d3r. (2.69)
V primeru statiˇcnega ravnovesja se zgornja enaˇcba oˇcitno glasi 0 =ρfi(z)+∂pik
∂xk
. (2.70)
Izraz za ˇcasovni odvod gibalne koliˇcine elastiˇcnega telesa lahko s pomoˇcjo teorema Gaussa - Ostrogradskega zapiˇsemo tudi kot
dGi
dt =Fiz+ Z
∂V
piknk dS, (2.71)
kjer jeFiz ravno celotna zunanja sila na telo, enaka volumskemu integralu ρfiz po telesu. Prvi volumskem integralu divergence napetostnega tenzorja a zmo upoˇstevali Gaussov izrek.
Ce nimamo zunanjih sile potem se zgornja enaˇˇ cba reducira na dGi
dt = Z
∂V
piknk dS. (2.72)
Zgornja enaˇcba nam pove, da je celotna sila na telo, torej odvod njegove gibalne koliˇcine, urav- noteˇzena s silami, ki delujejo na njegovo povrˇsino, pri ˇcemer je povrˇsinska gostota teh sil enaka
F(∂V)i =piknk. (2.73)
V kolikor je telo na povrˇsini prosto in torej nanj tam ne delujejo nobene sile, potem je tudi povrˇsinski integral z zgornji enaˇcbi niˇc in dobimo ohranjevanje gibalne koliˇcine
Gi= Z
V
ρu˙id3r=const. (2.74) Gibalna koliˇcina se torej za zvezno telo ohranja le, ˇce nimamo nobenih zunanjih sil in ˇce je povrˇsina telesa prosta, torej je napetostni tenzor na njej enako niˇc. Ta zahteva je posploˇsitev pogojev za ohranjevanje gibalne koliˇcine toˇckastega telesa.
2.4.2 Zakon o ohranjevanju vrtilne koliˇ cine in simetriˇ cnost p
ikEuler - Lagrangeovo enaˇcbo En,. 2.56 sedaj pomnoˇzimo vektorsko zrin integrirajmo po volumnu telesa. ˇSe pred tema pa definirajmo vrtilno koliˇcino telesa kot
Γ= Z
V
ρr×ud˙ 3r oziroma Γi= Z
V
ρ ijkxju˙kd3r. (2.75)
