podlagi dinamskega odziva ploˇ sˇ ce

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojniˇstvo

Karakterizacija kompleksnega modula elastiˇ cnosti viskoelastiˇ cnega materiala na

podlagi dinamskega odziva ploˇ sˇ ce

Magistrsko delo magistrskega ˇstudijskega programa II. stopnje Strojniˇstvo

Andraˇ z Kladnik

Ljubljana, avgust 2021

(2)

(3)

(4)

(5)

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojniˇstvo

Karakterizacija kompleksnega modula elastiˇ cnosti viskoelastiˇ cnega materiala na

podlagi dinamskega odziva ploˇ sˇ ce

Magistrsko delo magistrskega ˇstudijskega programa II. stopnje Strojniˇstvo

Andraˇ z Kladnik

Mentor: prof. dr. Miha Bolteˇ zar Somentor: doc. dr. Martin ˇ Cesnik

Ljubljana, avgust 2021

(6)

(7)

(8)

(9)

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju prof. dr. Miha Bolteˇzarju in somentorju doc. dr. Martinu Cesniku, za podporo in pomoˇˇ c pri izdelavi magistrske naloge. ˇSe posebej bi se rad zahvalil doc. dr. Martinu ˇCesniku za pomoˇc pri izvedbi meritev in za organizacijo sodelovanja z drugimi laboratoriji in fakultetami. Za pomoˇc se zahvaljujem tudi vsem ostalim ˇclanom laboratorija LADISK za njihove nasvete ter spodbudo.

Zahvaljujem se tudi svoji druˇzini in prijateljem, ki so me spodbujali in mi pomagali, ne samo v ˇcasu pisanja magistrske naloge, ampak tekom celotnega ˇstudija.

(10)

(11)

(12)

(13)

Izvleˇ cek

UDK 539.32:678.7:537.8(043.2) Tek. ˇstev.: MAG II/936

Karakterizacija kompleksnega modula elastiˇ cnosti viskoelastiˇ cnega materiala na podlagi dinamskega odziva ploˇ sˇ ce

Andraˇz Kladnik

Kljuˇcne besede: dinamske lastnosti polimerov dinamika ploˇsˇce

elektromagnetno vzbujanje brezkontaktno merjenje frekvenˇcna odvisnost temperaturna odvisnost

Pogostost uporabe polimernih materialov v zahtevnih inˇzenirskih aplikacijah se poveˇcuje z boljˇsim razumevanjem njihovih temperaturno in ˇcasovno odvisnih materialnih lastnosti. Dinamske lastnosti polimerov popisuje kompleksni modul, ki se ga doloˇci z metodo dinamske mehanske analize DMA (ang. Dynamic Mechanical Analysis).

Glavna pomanjkljivost te analize je naˇcin vpetja vzorca, saj je togost vpetja odvisna od temperature, pri kateri se izvaja meritev. V sklopu magistrskega dela je bil zasno- van nov postopek doloˇcanja dinamskih lastnosti, pri katerem je vzorec prosto vpet.

Vzorec predstavlja ploˇsˇca, ki jo dinamsko vzbujamo brezkontaktno preko permanen- tnega magneta in tuljave, njen odziv pa merimo z laserskim vibrometrom. Na podlagi frekvenˇcnih prenosnih funkcij nato preko ekvivalentnega numeriˇcnega modela s posoda- bljanjem doloˇcimo kompleksni modul. Meritve so bile opravljene pri veˇc temperaturah.

Rezultati nove metode so primerljivi z rezultati DMA analize.

(14)

(15)

Abstract

UDC 539.32:678.7:537.8(043.2) No.: MAG II/936

Characterization of complex elasticity modulus of viscoelastic material based on the dynamic response of the plate

Andraˇz Kladnik

Key words: dynamic properties of polymers dynamic response of plate electromagnetic excitation non-contact

non-contact measurement frequency dependent temperature dependent

The usage of polymer materials for demanding engineering applications is increasing due to better understanding of their temperature- and time-dependant properties.

Dynamic properties of polymers known as complex modulus is measured with Dynamic Mechanical Analysis (DMA). The main disadvantage of this method is fixation of the sample, since its stiffness strongly depends on temperature during the measurement.

The aim of this master thesis is development of new method for measurements of dynamic properties based on free-free supported sample. The sample is polyamide plate, which is dynamically excited with contactless method using interaction of permanent magnet secured to the plate and a coil. The response of the plate is measured with laser vibrometer. Parameters of measured frequency response functions are used as input parameters of equivalent numerical model. The complex modulus is determined by updating its value untill permissible error between measurement and numerical model is reached. The measurements were carried out at the different temperatures and the results are comparable to the one of standard DMA.

(16)

(17)

Kazalo

Kazalo slik . . . xvii

Kazalo preglednic . . . xxi

Seznam uporabljenih simbolov . . . xxiii

Seznam uporabljenih okrajˇsav . . . xxv

1 Uvod . . . 1

1.1 Ozadje problema . . . 1

1.2 Cilji naloge . . . 1

2 Teoretiˇcne osnove in pregled literature . . . 3

2.1 Polimeri . . . 3

2.2 Dinamske lastnosti polimerov . . . 7

2.3 Merjenje dinamskih lastnosti polimerov . . . 9

2.3.1 Dinamska mehanska analiza (DMA) . . . 9

2.3.2 Konzolni nosilci . . . 12

2.3.3 Analiza meritev dinamskih lastnosti . . . 13

2.4 Reoloˇski modeli . . . 15

2.4.1 Kelvin-Voigt model . . . 16

2.4.2 Maxwellov model . . . 16

2.4.3 Standardni model . . . 17

2.4.4 Model delnega odvoda . . . 18

2.5 Strukturna dinamika . . . 19

2.5.1 Dinamika sistemov z eno prostostno stopnjo . . . 20

2.5.1.1 Odziv sistema pri harmonskem vzbujanju . . . 22

2.5.1.2 Viskoelastiˇcni SDOF odziv na harmonsko vzbujanje . . 23

2.5.2 Dinamika sistemov z veˇc prostostnimi stopnjami . . . 24

2.5.2.1 Lastne frekvence in oblike neduˇsenega sistema z veˇc prostostnimi stopnjami . . . 25

2.5.2.2 Odziv sistema pri harmonskem vzbujanju . . . 27

2.5.3 Eksperimentalna modalna analiza . . . 29

(18)

2.5.3.1 Frekvenˇcna prenosna funkcija (FRF) . . . 29

2.5.3.2 Modalno testiranje . . . 29

2.5.3.3 Analiza signalov . . . 30

2.5.3.4 Vpliv oken . . . 30

2.5.3.5 Vpliv povpreˇcenja . . . 32

2.5.3.6 Identifikacija modalnih parametrov . . . 32

2.5.3.7 Korelacija dinamskih modelov . . . 34

3 Metodologija raziskave . . . 37

3.1 Izvedba meritev . . . 38

3.1.1 Merilna oprema . . . 39

3.1.2 Postopek obdelave podatkov . . . 40

3.1.2.1 Algoritem za zajem meritev . . . 40

3.1.2.2 Algoritem za obdelavo meritev . . . 41

3.2 Numeriˇcni modeli . . . 42

3.2.1 Neduˇsen model . . . 42

3.2.2 Viskoelastiˇcni model . . . 44

3.2.2.1 Validacija viskoelastiˇcnega modela . . . 45

3.2.2.2 Modeliranje viskoelastiˇcnih materialov z metodo konˇcnih elementov . . . 46

3.3 Materialne lastnosti . . . 47

3.3.1 DMA testiranje in obdelava meritev . . . 47

3.3.2 Natezni preizkus . . . 48

4 Rezultati in diskusija . . . 51

4.1 Doloˇcitev frekvenˇcnih lastnosti s standardno DMA analizo . . . 51

4.1.1 Izdelava sumarne krivulje . . . 51

4.1.2 Oˇzje frekvenˇcno podroˇcje . . . 55

4.2 Doloˇcanje parametrov delnega Zener modela . . . 57

4.3 Odziv sistema z eno prostostno stopnjo . . . 58

(19)

4.4.3 Analiza lastnih oblik . . . 66

4.4.4 Doloˇcitev Q faktorja . . . 67

4.5 Identifikacija kompleksnega modula . . . 69

4.5.1 Identifikacija elastiˇcnega modula preko neduˇsenega modela ploˇsˇce 69 4.5.2 Doloˇcitev kompleksnega modula . . . 70

4.5.3 Konˇcne ugotovitve . . . 74

5 Zakljuˇcki . . . 77

Literatura . . . 79

(20)

(21)

Kazalo slik

Slika 2.1: Primer σ−ε diagrama razliˇcnih polimerov [2]. . . 4

Slika 2.2: Vpliv temperature in hitrosti obremenjevanja na σ−ε diagram [2]. 4 Slika 2.3: Vpliv razliˇcnih temperaturnih obmoˇcji na mehanske lastnosti polimerov [2]. . . 5

Slika 2.4: Razvejanost in zamreˇzenost polimerov [3]. . . 6

Slika 2.5: Potek napetosti pri relaksaciji termoplastov in termosetov [2]. . . . 6

Slika 2.6: Prikaz faznega zamika signala ψ. . . 7

Slika 2.7: Vpliv temperature na komplepksni striˇzni modul [6]. . . 9

Slika 2.8: Tritoˇckovno konzolno-konzolno-konzolno vpetje; a) dejanska izvedba, b) shematski prikaz. . . 10

Slika 2.9: Doloˇcanje linearnega obmoˇcja z amplitudnim preletom [8]. . . 11

Slika 2.10: Doloˇcanje steklastega prehoda na podlagi DMA meritev [8]. . . 11

Slika 2.11: Testne konfiguracije nosilcev [5]. . . 12

Slika 2.12: Primer Wicketovega diagrama [5]. . . 13

Slika 2.13: Primer tvorjenja sumarne krivulje na podlagi meritev pri razliˇcnih temperaturah T_ref < T₁ < ... < T₅ [10]. . . 14

Slika 2.14: WLF in Arrhenius-ov model [5]. . . 15

Slika 2.15: Elementi linearnih viskoelastiˇcni modelov [11]. . . 15

Slika 2.16: Kelvin-Voigt model [12] . . . 16

Slika 2.17: Maxwellov model [12]. . . 17

Slika 2.18: Standardni model [12]. . . 18

Slika 2.19: Generaliziran Maxwellov in Kelvinov model [12]. . . 18

Slika 2.20: Shematski prikaz sistema z eno prostostno stopnjo (SDOF). . . 20

Slika 2.21: Odziv sistema z eno prostostno stopnjo (SDOF). . . 21

Slika 2.22: Odziv sistema z eno prostostno stopnjo v odvisnosti do vzbujevalne sile. . . 23

Slika 2.23: Shematski prikaz viskoelastiˇcno duˇsenega sistema z eno prostostno stopnjo. . . 23

Slika 2.24: Odziv in fazni zamik viskoelastiˇcnega sistema z eno prostostno stopnjo v odvisnosti od vzbujevlane sile [5]. . . 24

(22)

Slika 2.25: Primer sistema z veˇc prostostimi stopnjami. . . 25 Slika 2.26: Spektralno odtekanje. . . 31 Slika 2.27: Primer obiˇcajnega prekrivanja K=2 in r=2/3. . . 32 Slika 2.28: Primer cikliˇcnega prekrivanja K=2 in r=2/3. . . 32 Slika 2.29: Prikaz doloˇcanja Q faktorja. . . 34 Slika 2.30: Primer matriˇcnega prikaza MAC kriterija. . . 35 Slika 3.1: a) Prikaz merilnega sistema, b) shematski prikaz merilnega sistema. 38 Slika 3.2: Merilna veriga. . . 39 Slika 3.3: Shema vzorca z merilno mreˇzo. . . 39 Slika 3.4: Diagram poteka algoritma za zajem meritev. . . 41 Slika 3.5: Diagram poteka algoritma za obdelavo meritev odziva vzorca. . . . 42 Slika 3.6: Diagram poteka algoritma neduˇsenega numeriˇcnega modela. . . 43 Slika 3.7: Diagram poteka algoritma viskoelastiˇcnega numeriˇcnega modela. . . 45 Slika 3.8: Okno za doloˇcanje viskoelastiˇcnih materialnih lastnosti. . . 46 Slika 3.9: Vzorec za standardno DMA testiranje. . . 47 Slika 3.10: Diagram poteka algoritma za obdelavo DMA meritev . . . 48 Slika 3.11: σ−ϵ diagram. . . 49 Slika 4.1: Frekvenˇcna odvisnost shranjevalnega modula pri razliˇcnih tempera-

turah. . . 52 Slika 4.2: Frekvenˇcna odvisnost modula izgub pri razliˇcnih temperaturah. . . 52 Slika 4.3: Wicketov diagram meritev. . . 53 Slika 4.4: Sumarna krivulja shranjevalnega modula pri temperaturi 20^◦C. . . . 53 Slika 4.5: Sumarna krivulja modula izgub pri temperaturi 20^◦C. . . 54 Slika 4.6: WLF krivulja. . . 54 Slika 4.7: Wicketov diagram druge meritve. . . 55 Slika 4.8: Shranjevalni modul v oˇzjem frekvenˇcnem obmoˇcju. . . 56 Slika 4.9: Modul izgub v oˇzjem frekvenˇcnem obmoˇcju. . . 56 Slika 4.10: Shranjevalni modul popisan z delnim Zener modelom. . . 57

(23)

Slika 4.14: Frekvenˇcna prenosna funkcija sistema z eno prostostno stopnjo. . . 60 Slika 4.15: Fazni zamik sistema z eno prostostno stopnjo. . . 60 Slika 4.16: Frekvenˇcne prenosne funkcije meritev z udarnim kladivom nekaterih

toˇck na ploˇsˇci. . . 61 Slika 4.17: Frekvenˇcne prenosne funkcije meritev z elektromagnetnim vzbuja-

njem nekaterih toˇck na ploˇsˇci. . . 62 Slika 4.18: Prva lastna oblika a) impulzno vzbujanje, b) elektromagnetno vzbu-

janje. . . 64 Slika 4.19: Druga lastna oblika a) impulzno vzbujanje, b) elektromagnetno vzbu-

janje. . . 64 Slika 4.20: Tretja lastna oblika a) impulzno vzbujanje, b) elektromagnetno vzbu-

janje. . . 65 Slika 4.21: Cetrta lastna oblika a) impulzno vzbujanje, b) elektromagnetno vzbu-ˇ

janje. . . 65 Slika 4.22: Peta lastna oblika a) impulzno vzbujanje, b) elektromagnetno vzbu-

janje. . . 66 Slika 4.23: AutoMAC matrika-impulzno vzbujanje. . . 66 Slika 4.24: AutoMAC matrika- elektromagnetno vzbujanje. . . 67 Slika 4.25: Navskriˇzna MAC matrika. . . 67 Slika 4.26: Glajenje resonanˇcnega vrha z uporabo Savitzky-Golay filtra. . . 68 Slika 4.27: Vrednosti modula elastiˇcnosti neduˇsenega nihanja pri temperaturi

20^◦C, 50^◦C in 80^◦C. . . 70 Slika 4.28: Povpreˇcne vrednosti shranjevalnega modula 20^◦C, 50^◦C in 80^◦C. . . 74 Slika 4.29: Povpreˇcne vrednosti modula izgub 20^◦C, 50^◦C in 80^◦C. . . 75

(24)

(25)

Kazalo preglednic

Preglednica 2.1: Pogosto uporabljena okna. . . 31 Preglednica 3.1: Specifikacije laserskega vibrometra in silomera [21], [22]. . . 40 Preglednica 3.2: Specifikacije uporabljenih merilnih kartic [23], [24]. . . 40 Preglednica 3.3: Moduli elastiˇcnosti. . . 49 Preglednica 4.1: Vrednosti parametrov fraktalnega Zener modela. . . 57 Preglednica 4.2: Izpis povpreˇcnih vrednosti lastnih frekvenc in pripadajoˇcih

standardnih deviacij za impulzno in elektromagnetno vzbujanje. . . 62 Preglednica 4.3: Izpis povpreˇcnih vrednosti lastnih frekvenc in pripadajoˇcih

standardnih deviacij elektromagnetnega vzbujanja pri temperaturi 50^◦C. . . 63 Preglednica 4.4: Izpis povpreˇcnih vrednosti lastnih frekvenc in pripadajoˇcih

standardnih deviacij elektromagnetnega vzbujanja pri temperaturi 80^◦C. . . 63 Preglednica 4.5: Vrednostni Q faktorja udarnega vzbujanja v izbranih toˇckah. 68 Preglednica 4.6: Vrednosti Q faktorja elektromagnetnega vzbujanja v izbra-

nih toˇckah. . . 68 Preglednica 4.7: Vrednosti Q faktorja elektromagnetnega vzbujanja pri tem-

peraturi 50^◦C. . . 68 Preglednica 4.8: Vrednosti Q faktorja elektromagnetnega vzbujanja pri tem-

peraturi 80^◦C. . . 69 Preglednica 4.9: Vrednosti modula elastiˇcnosti neduˇsenega nihanja ploˇsˇce pri

temperaturi 20^◦C. . . 69 Preglednica 4.10: Vrednosti modula elastiˇcnosti neduˇsenega nihanja ploˇsˇce pri

50^◦C. . . 69 Preglednica 4.11: Vrednosti modula elastiˇcnosti neduˇsenega nihanja ploˇsˇce pri

80^◦C. . . 70 Preglednica 4.12: Vrednosti shranjevalnega modula-impulzno vzbujanje pri tem-

peraturi 20^◦C. . . 71 Preglednica 4.13: Vrednosti modula izgub-impulzno vzbujanje pri temperaturi

20^◦C. . . 71 Preglednica 4.14: Vrednosti shranjevalnega modula-elektromagnetno vzbuja-

nje pri temperaturi 20^◦C. . . 71

(26)

Preglednica 4.15: Vrednosti modula izgub-elektromagnetno vzbujanje pri temperaturi 20^◦C. . . 71 Preglednica 4.16: Povpreˇcne vrednosti kompleksnega modula pri temperaturi

nje pri temperaturi 50^◦C. . . 72 Preglednica 4.18: Vrednosti modula izgub-elektromagnetno vzbujanje pri tem-

peraturi 50^◦C. . . 72 Preglednica 4.19: Povpreˇcne vrednosti kompleksnega modula pri temperaturi

nje pri temperaturi 80^◦C. . . 73 Preglednica 4.21: Vrednosti modula izgub-elektromagnetno vzbujanje pri tem-

peraturi 80^◦C. . . 73 Preglednica 4.22: Povpreˇcne vrednosti kompleksnega modula pri temperaturi

80^◦C. . . 73

(27)

Seznam uporabljenih simbolov

Oznaka Enota Pomen

a / materialna konstanta

a_t / faktor horizontalnega premika

Ajk m

s²N modalna konstanta

b / materialna konstanta

b_t / faktor vertikalnega premika

B1 K parameter WLF modela

c Ns/m koeficient viskoznega duˇsenja

c_n Fourierovi koeficienti

Cr / koeficient podajnosti

C₁ / parameter WLF modela

D(t) Pa voljnost

E Pa modul elastiˇcnosti

E(t) Pa relaksacijski modul

E^∗ / kompleksni natezni modul

E^′ Pa shranjevalni modul (ang. storage modulus) E^′′ Pa modul izgub (ang. loss modulus)

err_abs / absolutna napaka

errrel / relativna napaka

F N sila

f 1/s frekvenca

f(t) N ˇcasovno odvisna vzbujevalna sila

G Pa striˇzni modul

G^∗ / kompleksni striˇzni modul

G^′ Pa shranjevalna komponenta striˇzenega modula G^′′ Pa komponenta izgub striˇzenega modula

G∞ Pa dolgoroˇcni striˇzni modul Hjk / frekvenˇcna prenosna funkcija k N/m elastiˇcna togost vzmeti

k^∗ / kompleksna togost

kr N/m generalizirana modalna togost K∞ Pa dolgoroˇcni stisljivostni modul

m kg masa

mr kg generalizirana modalna masa

T_A K parameter Arrhenius-ovega modela

T_d ^◦C temperatura degradacije

Tg ◦C temperatura steklastega prehoda T_m ^◦C temperatura taliˇsˇca

T_ref K referenˇcna temperatura

Ts / dolˇzina signala

S_xx / spektralna gostota

Q / Q faktor

(28)

Q_errrel / relativna napaka Q faktorja

Qt / izmerjen Q faktor

X m amplituda odziva

X¯ / kompleksna amplituda odziva

x / pomik

Y_jk _sN^m pomiˇcnost

α / materialna konstanta

α_jk ^m_N podajnost

β / dinamiˇcni faktor

βm / materialna konstanta

Γ / gama funkcija

ε / deformacija

η / faktor izgub

η_v Ns/m viskoznost

θ rad fazni zamik

λ / lastna vrednost

ξ / razmernik duˇsenja

σ Pa obremenitev, napetost

τ Pa striˇzna napetost

ϕ / striˇzna deformacija

Ψ / lastni vektor

Ω rad/s poljubna kroˇzna frekvenca

ω rad/s kroˇzna frekvenca

ω_nd rad/s duˇsena lastna kroˇzna frekvenca ω_n rad/s lastna kroˇzna frekvenca

Indeksi

0 konstanta

50 50^◦C

80 80^◦C

abs absoluten

d degradacija

em elektromagneten

g steklasti prehod

k udarno kladivo

m taliˇsˇce

max maksimalen

ref referenˇcno

rel relativen

(29)

Seznam uporabljenih okrajˇ sav

Okrajˇsava Pomen

ABS akrilonitril butadien stiren

DFT diskretna Fourierjeva transformacija (ang. Discrete Fourier Trans- form)

DMA dinamiˇcna mehanska analiza (ang. Dynamic Mechanical Analysis) FEM metoda konˇcnih elementov (ang. Finite element method)

FRF frekvenˇcna prenosna funkcija (ang. Frequency Response Function) MAC kriterij modalnega zaupanja (ang. Modal Assurance Criterion) MDOF sistem z veˇc prostostnimi stopnjami (ang. Multiple Degree of Freedom

System)

MIMO veˇc vhodov-veˇc izhodov (ang. multiple input multiple output) SDOF sistem z eno prostostno stopnjo (ang. Single Degree of Freedom) SIMO en vhod-veˇc izhodov (ang. single input multiple output)

SISO en vhod-en izhod (ang. single input single output) STD standardna deviacija

TTS ˇcasovno-temperaturna superpozicija (ang. Time–Temperature Super- position)

WLF Williams-Landel-Ferry model

(30)

(31)

1 Uvod

1.1 Ozadje problema

Polimerni izdelki so del vsakdanjega ˇzivljenja, saj izdelovalne tehnologije omogoˇcajo produkcijo velikega ˇstevila kosov. Zaradi velike pestrosti in moˇznosti krojenja materialnih lastnostih so polimeri zelo zanimivi tudi z vidika razvoja specializiranih, uˇcinkovitih in lahkih izdelkov. Obilica moˇznosti predstavlja velik izziv za inˇzenirje, saj na lastnosti polimerov vplivajo tako parametri okolja kot sama sestava materiala. Kakor lahko okolje moˇcno vpliva na lastnosti polimernih materialov, tudi polimeri moˇcno vplivajo na okolje, zato mora biti njihova uporaba smotrna in uˇcinkovita.

Kratka zgodovina uporabe polimernih materialov puˇsˇca odprta ˇstevilna vpraˇsanja, na katere znanost vztrajno odgovarja in s tem odpira nove moˇznosti za bolj zahtevne aplikacije materialov, ki jih poznamo manj kot dvesto let. Polimerni materiali so sestavljeni iz manjˇsih enot, imenovanih monomeri, ki se povezujejo v daljˇse verige.

Povezave znotraj in med verigami pogojujejo temperaturne in ˇcasovne pojave, ki so podrobneje predstavljeni v nadaljevanju.

Casovna odvisnost materialnih lastnosti se odraˇˇ za tudi v frekvenˇcni domeni, kjer se lahko togost in duˇsenje v odvisnosti od frekvence spreminjata za nekaj velikostnih razredov. Ustrezno razumevanje in izbira materiala omogoˇca razvijanje uˇcinkovitih izdelkov za specifiˇcno aplikacijo. Pri tem je potrebno posebno pozornost nameniti pogojem okolja, predvsem temperaturi, ki se na molekularni ravni odraˇza v gibanju in mobilnosti molekul, na makro skali pa v spremembi lastnosti. Polimeri imajo tako specifiˇcne temperature oziroma temperaturna obmoˇcja uporabe.

Skupaj z ˇzeljo po razumevanju odziva materiala na posamezne dejavnike se je razvijala tako merilna oprema kot tudi teoretiˇcni modeli. Kljuˇcni problem uveljavljenih merilnih metod za doloˇcanje dinamskih lastnosti polimerov predstavlja vpetje vzorcev. Zaradi obremenitve vpetja se znotraj vzorca ˇse posebej pri viˇsjih temperaturah pojavi pojav relaksacije, kar se odraˇza v zmanjˇsani togosti vpetja.

1.2 Cilji naloge

Cilj magistrske naloge je razviti brezkontaktno metodologijo merjenja frekvenˇcno odvi- snega kompleksnega modula polimernih materialov, ki bo odpravila teˇzave z relaksacijo

(32)

Uvod

in vpetjem. Vzorec, polimerna ploˇsˇca, bo brezkontaktno vzbujan z interakcijo med elektromagnetnim poljem tuljave in permanentnim magnetom, pritrjenim na ploˇsˇco.

Vzbujevalna sila bo merjena kot reakcija tuljave na okolico. Dinamski odziv ploˇsˇce bo brezkontaktno izmerjen s pomoˇcjo laserskega vibrometra. Kot referenca za metodo brezkontaktnega vzbujanja bo sluˇzila uveljavljena metoda impulznega vzbujanja z udarnim kladivom. ˇCasovni signali meritev bodo ustrezno obdelani in preslikani v frekvenˇcni prostor s pomoˇcjo Fourierove transformacije. V frekvenˇcnem prostoru bomo doloˇcili lastne frekvence in oblike ter Q faktor. Q faktor bo sluˇzil kot parameter, ki popisuje duˇsenje in bo tako eden izmed vhodnih parametrov numeriˇcnega modela. Za- snovan bo numeriˇcni model eksperimenta, ki bo omogoˇcal avtomatsko posodabljanje kompleksnega modula na podlagi lastne frekvence in Q faktorja.

Referenˇcna meritev kompleksnega modula bo izvedena s standardno DMA metodo. V sklopu analize rezultatov referenˇcne metode bo izdelan program, ki bo omogoˇcal iz- vedbo temperaturno-ˇcasovne superpozicije. Pomemben del magistrske naloge bo pred- stavljala predstavitev specifiˇcnih znaˇcilnosti polimernih materialov in teoretiˇcnih modelov viskoelastiˇcnega modula elastiˇcnosti. Pri obravnavanju razliˇcnih reoloˇskih modelov se bomo osredotoˇcili na analizo frekvenˇcnih prenosnih funkcij harmonsko vzbujenega sistema z eno prostostno stopnjo.

(33)

2 Teoretiˇ cne osnove in pregled lite- rature

Osnova za razumevanje dinamskih lastnosti polimernih materialov je njihova zgradba in dogajanje na molekularnem nivoju. V ta namen sledi sploˇsen uvod o zgradbi in pojavih, znaˇcilnih za razliˇcne skupine polimerov, ki se v nadaljevanju usmeri na po- droˇcje dinamskih lastnosti. V sklopu dinamskih lastnosti je predstavljeno merjenje in analiza meritev za doloˇcitev kompleksnega modula elastiˇcnosti. Na koncu pa so opisani ˇse razliˇcni reoloˇski modeli, ki se pogosto uporabljajo za popis materialnih lastnosti in predstavljajo osnovo za modeliranje dinamskega odziva struktur. Podroˇcje strukturne dinamike vkljuˇcuje analizo sistema z eno in veˇc prostostnimi stopnjami z viskoznim duˇsenjem, ki se nato posploˇsi na viskoelastiˇcno duˇsenje. Zadnji del poglavja o strukturni dinamiki pa se osredotoˇci na eksperimentalno modalno analizo.

2.1 Polimeri

Polimeri so dolge molekularne verige in so sestavljeni iz osnovnih enot, imenovanih monomeri, ki so med seboj povezani s kovalentnimi vezmi. Na lastnosti polimerov vplivajo vrsta monomera, dolˇzina, oblika verige in dodatki oz. polnila [1]. Dodajanje dodatkov in polnil kot so antistatiki, lubrikanti, plastifikatorji, stabilizatorji, barvila in vlakna nam omogoˇca, da prilagodimo materialne lastnosti polimera potrebam pri posamezni aplikaciji. Dodatne moˇznosti krojenja materiala glede na uporabo omogoˇca medsebojno meˇsanje razliˇcnih polimerov. Slika 2.1 prikazuje σ−ε diagram razliˇcnih tipov polimerov. Pri uporabi je potrebno posebno pozornost nameniti pogojem okolja, saj lahko temperatura in vlaga moˇcno vplivata na materialne lastnosti. Poleg okolja so materialne lastnosti odvisne ˇse od naˇcina, ˇcasa trajanja in frekvence obremenitve.

Vpliv temperature in hitrosti obremenjevanja na napetostno-deformacijske krivuljo je prikazan na sliki 2.2 [2].

Casovna odvisnost lastnosti uvrˇsˇˇ ca polimere v skupino viskoelastiˇcnih materialov. Za to vrsto materialov je znaˇcilno, da se na obremenitev odzovejo z elastiˇcnim in viskoznim odzivom. Tipiˇcna pojava sta lezenje in relaksacija.

Relaksacija je pojav, pri katerem je viskoelastiˇcni material izpostavljen konstantni deformaciji ε0, pri ˇcemer je napetost odvisna od ˇcasa. Relaksacijski modul E(t) je tako

(34)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

Slika 2.1: Primer σ−ε diagrama razliˇcnih polimerov [2].

Slika 2.2: Vpliv temperature in hitrosti obremenjevanja na σ−ε diagram [2].

ˇ

casovno odvisna materialna lastnost, ki jo najpogosteje doloˇcimo s pomoˇcjo enoosnega nateznega preizkusa:

E(t) = σ(t)

ε₀ . (2.1)

Lezenje je pojav, pri katerem viskoelastiˇcni material izpostavimo konstantni obreme- nitviσ₀, pri ˇcemer je deformacija odvisna od ˇcasa. VoljnostD(t) je lastnost materiala, ki opiˇse povezavo med σ₀ inε(t):

D(t) = ε(t)

σ₀ . (2.2)

(35)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature V sploˇsnem imajo polimeri tri znaˇcilne temperature in pet podroˇcji, kjer se spremeni obnaˇsanje materiala [2]:

– Temperatura degradacijeT_d je temperatura, pri kateri zaˇcnejo razpadati kovalentne vezi znotraj verig. Pri tej temperaturi polimer zagori oz. zogleni, pri ˇcemer se lahko sproˇsˇcajo strupene snovi. Temperatura degradacije se lahko poviˇsa z uporabo dodatkov, ki zagotovijo tudi viˇsjo negorljivost.

– Temperatura taliˇsˇca T_m je temperatura, pri kateri sekundarne vezi med verigami postanejo ˇsibke in ne predstavljajo nobenega odpora proti deformaciji. Nad to temperaturo se polimeri obnaˇsajo kot tekoˇcine.

– Temperatura steklastega prehoda T_g je temperatura, pod katero polimer preide v steklasto podroˇcje in postane bolj trd in krhek. Temperatura steklastega prehoda je obiˇcajno med 50% in 75% absolutne temperature taliˇsˇcaT_m [3].

Pri doloˇcanju posameznih karakteristiˇcnih temperatur se je potrebno zavedati, da gre pravzaprav za temperaturna obmoˇcja, ki so odvisna od strukture polimera [1].

Na sliki 2.3 je poleg zgoraj omenjenih temperatur prikazano ˇse steklasto podroˇcje, podroˇcje prehoda, gumijasto podroˇcje, podroˇcje gumijastega toka in taline.

Slika 2.3: Vpliv razliˇcnih temperaturnih obmoˇcji na mehanske lastnosti polimerov [2].

Glede na obliko verig loˇcimo razvejane in nerazvejane polimere. Razvejanost pomeni, da so na glavno verigo pripete krajˇse stranske verige, kar je prikazano na sliki 2.4.

Glede na monomere, ki so vezani v verigo, loˇcimo homopolimere in kopolimere. Za homopolimere je znaˇcilno, da so verige grajene samo iz enega tipa monomera, medtem ko so kopolimeri sestavljeni iz razliˇcnih monomerov. Razporeditev razliˇcnih monomerov je lahko nakljuˇcna (ABBAAABBABA), izmeniˇcna (ABABAB) ali blokovna (AABBA- ABB) [4]. Najbolj razˇsirjen kopolimer je ABS, ki je meˇsanica stirena in akrilonitrila v prisotnosti polibutadiena.

Polimeri se delijo na tri velike skupine: termoplaste, termosete in elastomere. Razliˇcne mehanske in temperaturne lastnosti posamezne skupine so posledica povezav med verigami in njihove oblike. Zatermoplasteje znaˇcilno, da so verige med seboj povezane

(36)

Slika 2.4: Razvejanost in zamreˇzenost polimerov [3].

zgolj s sekundarnimi vezmi (Van der Waalsove vezi, vodikova vez). Sekundarne vezi oslabijo pri poviˇsanih temperaturah, kar omogoˇci laˇzje drsenje verig in s tem bolj iz- razite ˇcasovno odvisne pojave lezenja in relaksacije. Zaradi odsotnosti primarnih vezi pri lezenju ne obstaja ravnovesna lega, pri relaksaciji pa napetosti padejo na niˇc (slika 2.5). Polimerne verige termoplastov se lahko uredijo v kristalno, amorfno ali delno- kristaliniˇcno strukturo. Za amorfne polimere je znaˇcilno, da imajo vse tri znaˇcilne temperature (T_g, T_m, T_d), za kristalniˇcne polimere sta znaˇcilni temperaturi T_m in T_d, za amorfne pa T_g in T_d.

Slika 2.5: Potek napetosti pri relaksaciji termoplastov in termosetov [2].

(37)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature kar se odraˇza v visoki togosti, natezni trdnosti in trdoti, njihovo obnaˇsanje pa je podobno keramiki (slika 2.1). Zamreˇzenost je ireverzibilna, zato termosetov ni mogoˇce preoblikovati [3]. Termoseti so primerni za uporabo v aplikacijah, ki zahtevajo visoko temperaturno in dimenzijsko stabilnost.

Elastomeri so skupina polimerov, katerih specifiˇcna deformacija preseˇze 200 %. V to skupino sodijo nekateri termoplasti kot tudi termoseti z nizko stopnjo zamreˇzenosti.

Visoka stopnja deformacije je posledica oblike molekul, ki se pod obremenitvijo spremeni. Za elastomere je znaˇcilna visoka stopnja nelinearnosti napetostno-deformacijske krivulje [3].

2.2 Dinamske lastnosti polimerov

Dinamske lastnosti polimerov so odvisne od temperature in frekvence vzbujanja, kar zahteva dodatno znanje in meritve za njihovo aplikativno uporabo. Zaradi viskoela- stiˇcne narave materiala se v odzivu na vzbujanje pojavi fazni zamik ψ (slika 2.6), ki ga popiˇsemo z merjenjem kompleksnega modula elastiˇcnosti.

Amplituda

Čas Fazni zamik

Vzbujanje Odziv

Slika 2.6: Prikaz faznega zamika signala ψ.

Kompleksni modul izpeljemo iz poteka napetosti in deformacij pri doloˇceni frekvenci vzbujanja ω. Ob ˇcasovnem poteku napetosti σ(t) = σ₀sin(ωt) in deformacij ε(t) = ε₀sin(ωt−ψ) lahko zapiˇsemo:

σ(t) =σ₀sin(ωt)

=σ₀sin [(ωt+ψ)−ψ]

=σ0sin(ωt−ψ) cos(ψ) +σ0cos(ωt−ψ) sin(ψ)

= σ₀

ε₀ cos(ψ)ε(t) + σ₀

ε₀|ω|sin(ψ)dε(t) dx .

(2.3)

Ce v zgornjo enaˇˇ cbo vstavimo E = (σ₀/ε₀) cosψ inη= tanψ dobimo faktor izgub.

σ(t) =Eε(t) + Eη

|ω|

dε(t)

dt (2.4)

(38)

V enaˇcbo (2.4) vstavimo deformacijo zapisano v Eulerjevi oblikiε=ε0e^(iωt)in upoˇstevamo ω >0, s ˇcimer dobimo ˇclen, ki predstavlja kompleksni modul.

σ(t) = [E(1 + iη)]ε(t) (2.5)

Podobno enaˇcbo lahko izpeljemo tudi za striˇzni modul elastiˇcnosti.

τ(t) = [G(1 + iη)]ϕ(t) (2.6)

Pogosto se v literaturi pojavljajo tudi spodaj podane oblike zapisa kompleksnih mo- dulov, kjer je G^′ striˇzni shranjevalni modul, G^′′ striˇzni modul izgub, E^′ natezni shranjevalni modul in E^′′ natezni modul izgub [5].

G^∗ =G^′+ iG^′′ =G(1 + iη) E^∗ =E^′+ iE^′′=E(1 + iη) tanδ= E^′′

E^′ = G^′′

G^′

(2.7)

Na dinamske lastnosti polimera, podobno kot pri pojavih lezenja in relaksacije, ima kljuˇcen vpliv dogajanje na molekularni ravni. Visoke frekvence obremenjevanja pov- zroˇcijo viˇsanje shranjevalnega modula, saj molekule niso dovolj mobilne, da bi se lahko odzvale. Ravno nasprotno pa velja za nizke frekvence, ki imajo podoben vpliv kot visoke temperature, pri katerih se mobilnost molekul poveˇca. Podobnost vplivov med temperaturo in frekvenco vzbujanja izkoriˇsˇcamo za razˇsiritev frekvenˇcnega obmoˇcja mehanskih lastnosti z naˇcelom ˇcasovno temperaturne superpozicije [6]. Podrobnosti uporabe superpozicije so pojasnjene v poglavju 2.3.3.

Na sliki 2.7 je prikazana temperaturna odvisnost kompleksnega striˇznega modula amorf- nega polimera [6]. Iz poteka krivulj je razvidno, da se tako shranjevalni kot modul izgub znotraj steklastega in plastiˇcnega podroˇcja ne spreminjata. V steklastem podroˇcju lahko opazimo manjˇso spremembo zaradi sekundarnega prehoda. Izrazit prehod je raz- viden med steklastim in plastiˇcnim obmoˇcjem, strmina katerega je odvisna od deleˇza kristaliniˇcnosti. Veˇcje kot je razmerje med kristalnim in amorfnim delom, manj je prehod izrazit. Znotraj prehoda se poveˇca faktor izgub, kar je posledica padanja shranjevalnega modula in naraˇsˇcanja modula izgub. Pomemben vpliv na dolˇzino plastiˇcnega obmoˇcja ima dolˇzina verig oz. molska masa molekul; veˇcja kot je, daljˇse je obmoˇcje.

Daljˇse verige so med seboj bolj prepletene, zato je potrebna viˇsja temperatura, da postanejo dovolj mobilne, da se razpletejo.

(39)

Slika 2.7: Vpliv temperature na komplepksni striˇzni modul [6].

2.3 Merjenje dinamskih lastnosti polimerov

Dinamskih lastnosti polimerov ni mogoˇce napovedati, saj je dogajanje na molekularni ravni preveˇc kompleksno, zato jih pridobimo na podlagi eksperimentov. Lastnosti tako doloˇcimo iz meritev pomikov in vzbujevalnih sil (slika 2.6), ki jih vnaˇsamo v polimerni vzorec. Za izraˇcun kompleksnega modula sta kljuˇcna amplituda in ˇcasovni potek napetosti in deformacij. Z razliˇcnimi konfiguracijami preizkuˇsevaliˇsˇc lahko izmerimo natezni, striˇzni in stisljivostni modul vzorca. Najpogosteje se za meritve uporablja dinamska mehanska analiza (DMA), ki je podrobneje opisana v naslednjem poglavju.

DMA analiza pa ni edini naˇcin za doloˇcanje kompleksnega modula. V literaturi [5]

je opisano doloˇcanja kompleksnega modula na podlagi dinamskega odziva nosilcev, na katere je pritrjen vzorec.

2.3.1 Dinamska mehanska analiza (DMA)

Metoda merjenja dinamskih mehanskih lastnosti (DMA, ang. Dynamics Mechanical Analysis) sodi med nedestruktivne metode. DMA se obiˇcajno izvaja v temperaturno nadzorovani komori, kar omogoˇca obravnavanje ˇstevilnih pojavov polimernih materialov, kot so:

– vpliv temperature na dinamske lastnosti, – doloˇcitev temperature steklastega prehoda T_g, – frekvenˇcna odvisnost materialnih lastnosti, – karakterizacija duˇsenja,

(40)

– zaznavanje delaminacije kompozitnih materialov,

– doloˇcitev vpliva staranja, mreˇzenja na temperaturo steklastega prehoda T_g in – temperaturno-frekvenˇcna superpozicija.

Z razliˇcnimi vpenjali lahko pri DMA vzorce obremenjujemo na nateg, tlak, upogib in strig. Izbira vpenjal ni pogojena zgolj z merjenim kompleksnim modulom, ampak tudi od vzorca, npr. tanke folije niso primerne za tlaˇcne obremenitve. Priprava vzorcev, potek testiranja in analiza meritev so opisani v standardu ISO 6721 [7]. V okviru magistrske naloge so bile opravljene meritve preko tritoˇckovnega konzolnega vpetja, katerega shematski prikaz je podan na sliki 2.8.

(a) (b)

Slika 2.8: Tritoˇckovno konzolno-konzolno-konzolno vpetje; a) dejanska izvedba, b) shematski prikaz.

Pri izvajanju meritev lahko izbiramo med dvema naˇcinoma delovanja; prvi je moduliranje sile, drugi pa moduliranje amplitude. Pri prvem naˇcinu predpiˇsemo amplitudo sile in merimo deformacijo vzorca, pri drugem pa ravno obratno. Na podlagi poznane geometrije vzorca lahko doloˇcimo napetosti in specifiˇcne deformacije, iz katerih nato izraˇcunamo kompleksne module.

Po ustrezni izbiri vpenjala in naˇcina moduliranja sledi amplitudni prelet pri konstantni temperaturi in frekvenci, s pomoˇcjo katerega doloˇcimo obmoˇcje linearnosti. Primer takega preleta je prikazan na sliki 2.9. Poznavanje meje linearnosti kljuˇcno vpliva na izbiro ustreznih metod za modeliranje materialnih lastnosti in njihovo uporabo v numeriˇcnih modelih.

Temperaturo steklastega prehoda T_g doloˇcimo z meritvijo kompleksnega modula pri konstantni amplitudi in frekvenci pri razliˇcnih temperaturah. Temperaturo prehoda Tg je mogoˇce doloˇciti na dva naˇcina:

(41)

Slika 2.9: Doloˇcanje linearnega obmoˇcja z amplitudnim preletom [8].

Slika 2.10: Doloˇcanje steklastega prehoda na podlagi DMA meritev [8].

oba naˇcina doloˇcanja temperature steklastega prehoda. Iz slike je tudi razvidno, da metodi ne podata enakega rezultata, saj se prehod dogaja znotraj temperaturnega obmoˇcja in ne pri posamezni temperaturi. Dogajanje na molekularni ravni se bolje izrazi v tanδ oz. modulu izgub, saj ta popisuje viskozno obnaˇsanje materiala. To postane najbolj izrazito pri temperaturi, ko se priˇcnejo verige premikati ena mimo druge in material preide v gumijasto podroˇcje. Iz slike 2.10 je razvidno tudi, kako pomembno je poznavanje dinamskih lastnosti v odvisnosti od temperature, saj se te v 25^◦C spremenijo za dva velikostna razreda.

Kljuˇcnega pomena za pridobivanje dinamskih mehanskih lastnosti polimera pa so meritve, opravljene pri konstantni amplitudi v odvisnosti od frekvence, pri ˇcemer se meritve

(42)

ponovijo pri razliˇcnih temperaturah. Na podlagi tako opravljenih meritev je mogoˇce izdelati sumarno krivuljo, ki popisuje ˇsirˇse frekvenˇcno obmoˇcje, kot je samo obmoˇcje merjenja [8]. Podrobnejˇsi opis postopa izdelave sumarne krivulje je opisan v poglavju 2.3.3.

2.3.2 Konzolni nosilci

Dinamske lastnosti polimernih materialov je mogoˇce doloˇciti tudi z analizo dinamskega odziva konzolno vpetih nosilcev, na katere je pritrjen vzorec. Poznamo tri razliˇcne konfiguracije nosilcev in sicer Oberstov, Van Ortov in sendviˇc nosilec. Omenjeni nosilci so prikazani na sliki 2.11 [5]. Prednost uporabe razliˇcnih nosilcev je predvsem ta, da je vzorce pritrjen na kovinski nosilec, s ˇcimer je mogoˇce zagotoviti konzolno vpetje nosilca tudi pri viˇsjih temperaturah. V primeru, da bi bil polimerni vzorec neposredno vpet v drˇzalo, bi se pri poviˇsani temperaturi spreminjala togost vpetja, poslediˇcno pa bi bili rezultati meritev neuporabni.

Slika 2.11: Testne konfiguracije nosilcev [5].

Glavna slabost Oberstovega nosilca se pokaˇze pri opravljanju meritev pri poviˇsani temperaturi. Zaradi uporabe dveh razliˇcnih materialov v asimetriˇcni kombinaciji se nosilec pri poviˇsani temperaturi obnaˇsa kot bimetalni trak. Neˇzelene deformacije zaradi razliˇcnih temperaturnih raztezkov materiala na eleganten naˇcin reˇsi Van Oortov nosilec s simetriˇcno razporejenimi materiali. Simetrija prereza nosilca dodatno poenostavi tudi enaˇcbe za doloˇcitev dinamskih lastnosti. Omenjeni konfiguraciji sta namenjeni merjenju nateznega kompleksnega modula, saj vzorec leˇzi izven upogibnice, zato so v njem prisotne zgolj upogibne napetosti. Za doloˇcanje striˇznega kompleksnega modula se uporablja sendviˇc nosilec. Iz slike 2.11 je razvidno, da polimerni vzorec leˇzi na upo- gibnici, poslediˇcno v njem prevladujejo striˇzne napetosti, medtem ko so upogibne napetosti zanemarljive [5]. Meritve dinamskih lastnosti z uporabno nosilcev je definirano s

(43)

2.3.3 Analiza meritev dinamskih lastnosti

Prvi korak analize rezultatov meritev se priˇcne s preverjanjem kvalitete pridobljenih podatkov. Z njim zagotovimo, da med opravljanjem meritev ni priˇslo do sistematiˇcnih pogreˇskov. V primeru, da je kvaliteta podatkov slaba, je potrebno iz nadaljnje analize izloˇciti del podatkov oz. meritev ponoviti. Preprosto, a uˇcinkovito orodje za preverja- nje kvalitete izmerjenih podatkov je Wicketov diagram [5]. Ta izkoriˇsˇca lastnost veˇcine polimerov, da obstaja ena sama zvezna funkcija, ki povezuje shranjevalni modul z modulom izgub. To z drugimi besedami pomeni, da je vsako odstopanje od omenjene neznane funkcije posledica merilnih pogreˇskov. Na podlagi vzorca odstopanj lahko sklepamo na nakljuˇcne ali sistematske pogreˇske, kar je prikazano na sliki 2.12. Rezul- tati, ki so podvrˇzeni nakljuˇcnim pogreˇskom, so tudi na diagramu nakljuˇcni, medtem ko so sistematski pogreˇski prikazani kot dodatne veje funkcije. Sistematiˇcni pogreˇsek se pri DMA analizi pojavi, ˇce je togost vzorca primerljiva togosti vpenjala. V primeru meritev s konzolnimi nosilci pa je pogost vzrok za pogreˇske razslojitev osnovnega nosilca in vzorca [5].

Slika 2.12: Primer Wicketovega diagrama [5].

Casovno-temperaturna superpozicija oz. TTS (ang.ˇ Time-Temperature Superposi- tion) je empiriˇcna metoda, ki omogoˇca zdruˇzevanje rezultatov veˇc meritev v eno samo t.i sumarno krivuljo. Jedro metode je dognanje, da so pri ˇstevilnih polimerih daljˇsi relaksacijski ˇcasi pri niˇzjih temperaturah enakovredni krajˇsim relaksacijskim ˇcasom pri viˇsjih temperaturah. To omogoˇca, da lahko za veˇcino polimerov opravimo meritve pri razliˇcnih temperaturah v danem merilnem obmoˇcju merilne naprave, nato pa kreiramo sumarno krivuljo na bistveno veˇcjem obmoˇcju. Poslediˇcno lahko doloˇcimo materialne lastnosti tako za zelo dolga ˇcasovna obdobja oz. nizke frekvence kot za kratka ˇcasovna obdobja in visoke frekvence [10].

Za izris krivulje si najprej izberemo referenˇcno temperaturo T_ref, ki mora biti ena izmed temperatur, pri kateri so bile opravljene meritve. Vsem ostalim meritvam nato

(44)

doloˇcimo ustrezna faktorja premika bT in aT tako, da dobimo eno samo sumarno krivuljo. Primer tvorjenja sumarne krivulje je prikazan na sliki 2.13. Iz te je razvidno, da se meritve podajnosti pri viˇsjih temperaturah premikajo k daljˇsim ˇcasom.

Slika 2.13: Primer tvorjenja sumarne krivulje na podlagi meritev pri razliˇcnih temperaturah T_ref < T₁ < ... < T₅ [10].

Matematiˇcni zapis superpozicije shranjevalnega modula podaja enaˇcba (2.8), v kateri je a_T horizontalni faktor premika in b_T vertikalni faktor premika:

E^′(ω, T) = 1

b_TE^′(aT, ω, Tref). (2.8)

Faktorja premika aT in bT sta funkciji razlike med temperaturama T −Tref, v veˇcini primerov pa se izkaˇze, da je b_T = 1 [10]. Za aproksimacijo horizontalnega faktorja premika se v literaturi najpogosteje uporabljata dva modela, Williams-Landel-Ferry (WLF) model in Arrhenius-ov model. Za uporabo obeh modelov morajo biti vse temperature v kelvinih [K]. WLF model je nelinearni model, ki ga popiˇsemo s konstantama B₁ inC₁ ter enaˇcbo (2.9):

log [a_T(T)] =−C₁ T −T_ref

B₁+T −T_ref. (2.9)

Arrhenius-ov model je, za razliko od WLF modela, linearen v izrisu log(a_T) =f(1/T).

Popisan je s parametrom T_A in enaˇcbo (2.10):

log [a_T(T)] =T_A (︃1

− 1 )︃

. (2.10)

(45)

Slika 2.14: WLF in Arrhenius-ov model [5].

2.4 Reoloˇ ski modeli

Reoloˇski model je model, ki popisuje obnaˇsanje trdnin ali tekoˇcin in je sestavljen iz razliˇcnih kombinacij reoloˇskih elementov. Dva najbolj osnovna elementa sta linearna vzmet in duˇsilka, ki vsaka zase popiˇseta linearno elastiˇcni in linearno viskozni reoloˇski model. Linearno elastiˇcni oz. idealno elastiˇcni model podaja Hookov zakon, kjer sta deformacijaε(t) in napetostσ(t) povezan z elastiˇcnim modulomE. Grafiˇcno je linearno elastiˇcen element v modelih predstavljen z vzmetjo (slika 2.15):

σ(t) =Eε(t). (2.11)

Linearno viskozni reoloˇski model povezuje hitrost deformacije z napetostjo preko vi- skoznosti η_v. Linearna viskoznost je v reoloˇskih modelih ponazorjena z duˇsilko (slika 2.15) [11] :

σ=η_vdε

dt. (2.12)

Slika 2.15: Elementi linearnih viskoelastiˇcni modelov [11].

Linearno viskoelastiˇcne materiale popiˇsemo z modeli, ki vkljuˇcujejo razliˇcne kombina- cije vzporedno in zaporedno vezanih linearnih vzmeti in duˇsilk. Primeri takˇsnih modelov so Kelvinov, Maxwellov, Zener in delni Zener model, ki so opisani v nadaljevanju

(46)

in v poglavju 4.3. Pri opisu posameznega reoloˇskega modela je poleg konstitutivne enaˇcbe podana tudi kompleksna togost sistema z eno prostostno stopnjo, v katerih je k_i togost vzmeti, c_i pa viskoznost duˇsilke.

2.4.1 Kelvin-Voigt model

Kelvin-Voigt model je sestavljen iz vzporedno vezane vzmeti in duˇsilke, kot je prikazano na sliki 2.16. Iz shematskega prikaza je razvidno, da je skupna napetost obeh elementov σ enaka vsoti napetosti posameznega elementa σ₁ inσ₂. Tako lahko zapiˇsemo:

σ =σ₁+σ₂, σ₁ =Eε, σ₂ =η_vdε

dt.

(2.13)

Na podlagi enaˇcb (2.13) tvorimo enaˇcbo, ki popisuje Kelvinov-Voigt model:

σ=Eε+η_vdε

dt. (2.14)

k^∗ =k₂+ iωc₂ (2.15)

Enaˇcba (2.15) predstavlja kompleksno togost Kelvin-Voigt modela za sistem z eno prostorsko stopnjo.

Slika 2.16: Kelvin-Voigt model [12]

2.4.2 Maxwellov model

(47)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Maxwellovega modela (2.17). Posebnost tega modela je, da pri konstantni obremenitvi nikoli ne doseˇze ravnovesnega stanja.

ε=ε₁+ε₂, σ=Eε₁, σ=η_vdε₂

dt

(2.16)

σ+ η_v E

dσ dt =ηv

dε

dt (2.17)

k^∗ = iωk₁c₁

k₁+ iωc₁ (2.18)

Enaˇcba (2.18) predstavlja kompleksno togost Maxwellovega modela za sistem z eno prostorsko stopnjo.

Slika 2.17: Maxwellov model [12].

2.4.3 Standardni model

Standardni oz. Zenerjev model je sestavljen iz treh elementov, dveh vzmeti in ene duˇsilke, ki so lahko razporejeni v dve konfiguraciji, kot je prikazano na sliki 2.18.

Izkaˇze se, da obe postavitvi elementov popiˇse enak predpis povezave med deformacijo in napetostjo:

σ+ η_v E2

dσ

dt =E₁ε+η_v(E₁+E₂) E2

dε

dt. (2.19)

Kompleksno togost sistema z eno prostorsko stopnjo za Zener model zapiˇsemo kot:

k^∗ = iωk₁c₁

k₁+ iωc₁ +k2. (2.20)

(48)

Slika 2.18: Standardni model [12].

2.4.4 Model delnega odvoda

Predstavljeni modeli zaradi majhnega ˇstevila elementov slabo popiˇsejo rezultate meritev, saj konstantna viskoznost η_v prehitro spreminja kompleksne module v odvisnosti od frekvence. Z mislijo na to odstopanje so bili razviti generalizirani modeli, ki vse- bujejo poljubno ˇstevilo vzmeti in duˇsilk. Primer takˇsnih modelov sta generaliziran Maxwellov in Kelvinov model, ki sta prikazana na sliki 2.19.

(49)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature razvit model delnega odvoda, ki z manjˇsim ˇstevilom parametrov bolje popiˇse frekvenˇcno obnaˇsanje polimerov [5].

σ(t) +b1

d

dtσ(t) +b2

d²

dt²σ(t) +· · ·+bn

dⁿ

dtⁿσ(t) =

=a₀ε(t) +a₁ d

dtε(t) +a₂ d²

dt²ε(t) +· · ·+a_m d^m dt^mε(t)

(2.21)

Sploˇsna konstitutivna enaˇcba viskoelastiˇcnega materiala je podana z enaˇcbo (2.21), v kateri soa₀, a₁, ...., a_n inb₀, b₁, ..., b_n materialne konstante.

Izkaˇze se, da mora za izpolnitev termodinamskega pogoja veljatim=n alim=n+ 1.

Ce celoˇstevilske odvode v enaˇˇ cbi (2.21) zamenjamo z ulomki, dobimo konstitutivno enaˇcbo modela delnega odvoda. V tej enaˇcbi velja, da so 0< α₁ < α₂ <· · ·< α_m <1 in 0< β₁ < β₂ <· · ·< β_m <1 materialne konstante [13]:

σ(t) +b₁ d^β¹

dt^β¹σ(t) +b₂ d^β²

dt^β²σ(t) +· · ·+b_n d^βⁿ

dt^βⁿσ(t) =

=a₀ε(t) +a₁ d^α¹

dt^α¹ε(t) +a₂ d^α²

dt^α²ε(t) +· · ·+a_m d^α^m dt^α^mε(t).

(2.22)

Model delnega odvoda redaα deformacije ε(t) zapiˇsemo z enaˇcbo:

d^α

dt^αε(t) = 1 Γ(1−α)

d dt

∫︂ t 0

ε(t)

(t−τ)^αdτ, (2.23)

kateri je Γ gama funkcija. Na podlagi zgornjih dveh enaˇcb lahko tvorimo delni Zener model z razliˇcnim ˇstevilom parametrov [13]. V nadaljevanju bomo za popis meritev kompleksnega modula uporabili pet parametriˇcni model, ki je podan z enaˇcbo (2.24):

E^∗(iω) = E0+E0(d−1) (iωτ)^α

1 + (iωτ)^β. (2.24)

V tej enaˇcbi je E₀ statiˇcni elastiˇcni modul, E∞ elastiˇcni modul pri visokih frekvencah, τ, α in β konstanti za katere velja α > β in d =E∞/E₀. Za polimere je obiˇcajno, da je α−β <0.06 [14].

2.5 Strukturna dinamika

Strukturna dinamika je podroˇcje, ki se ukvarja z odzivom struktur, podvrˇzenim ˇcasovno spreminjajoˇcim se obremenitvam. Glavne prostorske znaˇcilnosti, ki vplivajo na dinamski odziv strukture, so porazdelitev mase, togosti in duˇsenja. Za doloˇcanje odziva enostavnih struktur so poznane analitiˇcne reˇsitve, kompleksnejˇse strukture pa je potrebno sprva poenostaviti na sistem s konˇcnim ˇstevilom prostostnih stopenj. Osnova za obvladovanje sistemov z veˇc prostostnimi stopnjami je razumevanje sistema z eno prostostno stopnjo. Podroˇcje dinamike sistemov z eno in veˇc prostostnih stopenj je v veˇcjem delu povzet po [15]. Obˇsiren del strukturne dinamike je posveˇcen doloˇcanju lastnosti struktur na podlagi eksperimentov. Pri tem je kljuˇcnega pomena poznavanje in razumevanje razliˇcnih naˇcinov vzbujanja strukture in metod analize merilnih signalov.

(50)

2.5.1 Dinamika sistemov z eno prostostno stopnjo

Sistem z eno prostostno stopnjo je sestavljen iz bremena mase m, ki je preko idealno elastiˇcne vzmeti togosti k in viskozne duˇsilke s koeficientom viskoznega duˇsenja cpo- vezana z okolico. Na sliki 2.20 je prikazan sistem z eno prostostno stopnjo x(t), na katerega deluje ˇcasovno odvisna vzbujevalna sila f(t). Gibalna enaˇcba sistema z eno

Slika 2.20: Shematski prikaz sistema z eno prostostno stopnjo (SDOF).

prostostno stopnjo predstavlja diferencialna enaˇcba drugega reda:

mx¨(t) +cẋ (t) +kx(t) =f(t). (2.25)

x(t) =Xe^st (2.26)

V primeru, da jef(t) = 0 imamo opravka z lastnim viskozno duˇsenim nihanjem sistema z eno prostostno stopnjo. V tem primeru postane enaˇcba (2.25) homogena diferencialna enaˇcba drugega reda, katere nastavek reˇsitve je podan z enaˇcbo (2.26), kjer je s konstanta.

(︁ms²+cs+k)︁

Xe^st = 0 (2.27)

s_1,2 =− c 2m ±

√︃

(︂ c 2m

)︂2

− k

m (2.28)

Z vstavitvijo nastavka reˇsitve v homogeno obliko enaˇcbe (2.25) dobimo (2.27), iz katere sledi trivialna in netrivialna reˇsitev. Trivialno reˇsitev prestavlja x(t) = Xe^st = 0, iz ˇ

cesar sledi, da je sistem v mirovanju. Netrivialno reˇsitev predstavljajo niˇcle kvadratne funkcije (ms²+cs+k), ki jih izraˇcunamo z enaˇcbo (2.28).

s t s t

(51)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature – Podkritiˇcno duˇsenje, pri katerem prevladujejo vztrajnostne in elastiˇcne silec/(2m)² <

k/m. V tem primeru sta s₁ ins₂ kompleksni ˇstevili, kar pomeni, da sistem niha.

– Nadkritiˇcno duˇsen sistem, v katerem prevladuje duˇsenjec/(2m)² > k/m. s₁ ins₂ sta realni ˇstevili, kar se odrazi v prehodu iz ene v drugo ravnovesno lego brez prenihaja.

– Kritiˇcno duˇsen sistem, za katerega je znaˇcilno, da so vztrajnostne in elastiˇcne sile enake silam duˇsenja. V tem primeru sistem najhitreje preide iz enega v drugo ravnovesno stanje brez prenihaja.

Koeficient kritiˇcnega duˇsenje c_k predstavlja mejno vrednost koeficienta viskoznega duˇsenja, pri katerem sistem preide iz obmoˇcja pod kritiˇcnega v obmoˇcje kritiˇcnega duˇsenja:

c_k = 2√

km= 2mω_o. (2.30)

V enaˇcbi (2.30) ωo predstavlja lastno neduˇseno frekvenco sistema ωo = √︁

k/m. Za laˇzjo primerjavo duˇsenja v razliˇcnih sistemih se uporablja razmernik duˇsenja ξ, ki je brezdimenzijsko ˇstevilo, definirano kot razmerje med koeficientom viskoznega duˇsenja in njegovo kritiˇcno vrednostjo:

ξ= c

c_k. (2.31)

Iz enaˇcbe (2.31) je razvidno, da za podkritiˇcno duˇsen sistem velja ξ < 1, za kritiˇcno duˇsen sistemξ = 1 in za nadkritiˇcno duˇsen sistem ξ > 1. Vpliv razmernik duˇsenja na sistem z eno prostostno stopnjo je prikazan na sliki 2.21.

Slika 2.21: Odziv sistema z eno prostostno stopnjo (SDOF).

Sploˇsna reˇsitev podkritiˇcno duˇsenega sistema predstavlja enaˇcba (2.32) , v kateri sta koeficientaC₁ inC₂ doloˇcena na podlagi zaˇcetnih pogojev:

x(t) = e^−ξω^o^t(︂

C₁e^iω^o^t

√

1−ξ²

+C₂e^−iω^o^t

√

1−ξ²)︂

. (2.32)

Enaˇcbo (2.32) je mogoˇce dodatno poenostaviti, ˇce v enaˇcbo vkljuˇcimo duˇseno lastno frekvenco ωd=ωo

√︁1−ξ² [15].

(52)

2.5.1.1 Odziv sistema pri harmonskem vzbujanju

Odziv sistema z eno prostostno stopnjo predstavlja reˇsitev enaˇcbe (2.25) v primeru, da ima vzbujevalna sila konstantno amplitudo F in frekvencoω:

f(t) = Fe^iωt. (2.33)

x(t) =X¯ e^iωt. (2.34)

Nastavek reˇsitve obravnavane diferencialne enaˇcbe je podan z enaˇcbo (2.34), v kateri je X¯ kompleksna amplituda. Ker je X¯ kompleksno ˇstevilo, ga lahko zapiˇsemo kot X¯ =Xe^iθ.

X¯ = F

(k−ω²m) + iωc = F

√︂

(k−ω²m)² + (ωc)²

e^iθ (2.35)

Nastavek reˇsitve vstavimo v (2.25) in z nekaj preurejanja dobimo enaˇcbo (2.35), ki popisuje kompleksno amplitudo. V enaˇcbi (2.35) je θ fazni zamik, ki se doloˇci z:

tan(θ) = −ωc

k−ω²m = 2ξ_ω^ω

n

1−(︂

ω ωn

)︂2. (2.36)

X = F

√︂

(k−ω²m)²+ (ωc)²

= F k

1

√︄

(︃

1−(︂

ω ωn

)︂2)︃2

+ (︂

2ξ_ω^ω

n

)︂2

=X₀β (2.37)

Z vpeljavo identitet (mω²)/k = (ω/ωn)² in (cω)/k = 2ξω/ωn v enaˇcbo (2.37) jo lahko zapiˇsemo kot produkt statiˇcnega X₀ in dinamiˇcnega faktorjaβ.

Na sliki 2.22 je razvidno, da v primeru, ko je vzbujevalna frekvenca enak lastni duˇseni dinamiˇcni faktorβ doseˇze maksimum. Lastno duˇseno frekvenco izraˇcunamo po enaˇcbi ω_d =ω_n√︁

1−ξ². Za neduˇsen sistem je znaˇcilno, da je vrednost dinamiˇcnega faktorja pri ω =ω neskonˇcna. S poveˇcevanjem duˇsenja se vrednost maksimuma zmanjˇsuje in

(53)

Slika 2.22: Odziv sistema z eno prostostno stopnjo v odvisnosti do vzbujevalne sile.

2.5.1.2 Viskoelastiˇcni SDOF odziv na harmonsko vzbujanje

Harmonsko vzbujen viskoelastiˇcni sistem (slika 2.23) je popisan z;

mx¨(t) +k^∗(ω)x(t) =Fe^iωt, (2.38)

v kateri jek^∗(ω) kompleksna togost podana z izrazomk^∗(ω) =k(ω)(1+iη(ω)). Komple- ksna togost je reducirana oblika kompleksnega modula, ki je podrobneje predstavljena v poglavju 2.2.

Slika 2.23: Shematski prikaz viskoelastiˇcno duˇsenega sistema z eno prostostno stopnjo.

Nastavek reˇsitve gibalne enaˇcbe je enak kot nastavek, uporabljen pri reˇsevanju harmonsko vzbujenega sistema, podan v poglavju 2.5.1.1 z enaˇcbo (2.34).

(54)

Z vkljuˇcitvijo nastavka reˇsitve in kompleksne togosti v gibalno enaˇcbo lahko z nekaj preurejanja zapiˇsemo izraza, ki popiˇseta amplitudo in fazni zamik v odvisnosti od frekvence.

X = F

√︂

(k(ω)−mω²)² + (k(ω)η(ω))²

(2.39)

tan(θ) = k(ω)η(ω)

k(ω)−mω² (2.40)

Grafiˇcni prikaz enaˇcb (2.39) in (2.40) za frekvenˇcno neodvisno kompleksno togost k^∗ = k(1 + iη) je podan na sliki 2.24. Na podlagi izrisa dinamiˇcnega faktorja za razliˇcne faktorje izgub η se pri veˇcjih vrednostih η pokaˇze izrazit vpliv na amplitudo statiˇcnega odziva (ω = 0 rad/s). Razvidno je tudi, da faktor izgub bistveno manj vpliva na lokacijo maksimalnega odziva sistema v primerjavi z razmernikom duˇsenja ξ pri viskozno duˇsenem sistemu (slika 2.22) [5].

Slika 2.24: Odziv in fazni zamik viskoelastiˇcnega sistema z eno prostostno stopnjo v odvisnosti od vzbujevlane sile [5].

2.5.2 Dinamika sistemov z veˇ c prostostnimi stopnjami

(55)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature zveznih in nehomogenih, jih je za analizo pogosto potrebno poenostaviti na konˇcno mnogo prostostnih stopenj. Zvezni sistem se tako reducira na diskretni sistem, ki je predstavljen kot veˇcje ˇstevilo medsebojno povezanih mas z vzmetmi in duˇsilkami (slika 2.25).

Slika 2.25: Primer sistema z veˇc prostostimi stopnjami.

m₁x¨₁+ (c₁+c₂)ẋ₁−c₂ẋ₂+ (k₁+k₂)x₁−k₂x₂ =f₁ m₂x¨₂−c₂ẋ₁+ (c₂+c₃)ẋ₂−c₃ẋ₃−k₂x₁+ (k₂+k₃)x₂−k₃x₃ =f₂

... m_Nx¨_N −c_Nẋ_N−1+ (c_N +c_N+1)ẋ_N −k_Nx_N−1+ (k_N +k_N+1)x_N =f_N

(2.41)

Fizikalni model sistema, prikazanega na sliki 2.25, popiˇsemo z sistem gibalnih enaˇcb (2.41).

[M]{x¨}+ [C]{ẋ}+ [K]{x}={f} (2.42)

Sistem diferencialnih enaˇcb drugega reda (2.41) lahko zapiˇsemo v matriˇcni obliki, ki je podana z enaˇcbo (2.42). V enaˇcbi (2.42) [M] predstavlja masno matriko, [C] matriko viskoznega duˇsenja, [K] togostno matriko, {f} vektor vzbujevalnih sil in {x} vektorje premika s pripadajoˇcimi odvodi. Matrike so dimenzij N ×N, vektorji pa so dimenzij N×1 [15].

2.5.2.1 Lastne frekvence in oblike neduˇsenega sistema z veˇc prostostnimi stopnjami

Neduˇsen sistem z veˇc prostostnimi stopnjami popiˇse sistem homogenih diferencialnih enaˇcb drugega reda (2.43), katerega sploˇsno znana nastavek reˇsitve je podana z:

[M]{x¨}+ [K]{x}={0}. (2.43)

{x(t)}={︁

X¯}︁

e^iωt (2.44)

V enaˇcbi (2.44) je {︁

X¯}︁

ˇcasovno neodvisni vektor amplitud dimenzijN ×1.

[︁[K]−ω²[M]]︁ {︁

X¯}︁

e^iωt={0} (2.45)

(56)

V enaˇcbo (2.43) vstavimo nastavek reˇsitve in dobimo enaˇcbo (2.45). Ker e^iωt ̸= 0, mora veljati, da:

[︁[K]−ω²[M]]︁ {︁

X¯}︁

={0} (2.46)

Iz enaˇcbe (2.46) je razvidno, da se iskanje lastnih frekvenc in oblik prevede na problem iskanja lastnih vrednosti. Trivialno reˇsitev enaˇcbe (2.46) predstavlja {︁

X¯}︁

= {0}.

Netrivialno reˇsitev problema lastnih vrednosti dobimo, ko ne obstaja inverz matrike [K] −ω²[M]. V sploˇsnem velja, da inverzna matrika ne obstaja, ˇce je determinanta matrike enaka 0:

det ([K]−λ[M]) = 0. (2.47)

Lastne frekvence so z lastnimi vrednostmi v enaˇcbi (2.47) povezane z izrazom ω_n =

√λ_n. Z vstavitvijo ω_n v enaˇcbo (2.46) lahko doloˇcimo n lastni vektor{Ψ_n} sistema z veˇc prostostnimi stopnjami. Pomembna lastnost lastnih vektorjev je, da so med seboj ortogonalni. Za s-ti in r-ti lastni vektor lahko tako zapiˇsemo:

[︁[K]−ω_s²[M]]︁

{Ψ_s}={0} (2.48)

[︁[K]−ω_r²[M]]︁

{Ψ_r}={0} (2.49)

Enaˇcbo (2.49) z leve pomnoˇzimo s transponiranim lastnim vektorjem{Ψ_s}^T in dobimo:

{Ψ_s}^T [︁

[K]−ω_r²[M]]︁

{Ψ_r}= 0. (2.50)

Podobno enaˇcbo dobimo, ˇce enaˇcbo (2.48) transponiramo in z desne pomnoˇzimo z {Ψ_r}. Zaradi simetriˇcnosti [K] in [M] velja, da [M] = [M]^T in [K] = [K]^T.

{Ψ_s}^T [︁

[K]−ω_s²[M]]︁

{Ψ_r}= 0 (2.51)

Ce enaˇˇ cbi (2.50) in (2.51) odˇstejemo, dobimo enaˇcbo, ki velja samo pod pogojem ω_s ̸=ω_r.

(︁ω²_r−ω_s²)︁

{Ψ_s}^T [M]{Ψ_r}= 0 (2.52)

{Ψs}^T [M]{Ψr}= 0;ωs ̸=ωr (2.53)

Podobno lahko zapiˇsemo tudi:

T