Numeriˇ cna in eksperimentalna modalna analiza ploˇ sˇ ce

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojniˇstvo

Numeriˇ cna in eksperimentalna modalna analiza ploˇ sˇ ce

Zakljuˇ cna naloga Univerzitetnega ˇstudijskega programa I. stopnje Strojniˇstvo - Razvojno raziskovalni program

Miha Gradiˇ snik

Ljubljana, avgust 2021

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojniˇstvo

Numeriˇ cna in eksperimentalna modalna analiza ploˇ sˇ ce

Zakljuˇ cna naloga Univerzitetnega ˇstudijskega programa I. stopnje Strojniˇstvo - Razvojno raziskovalni program

Miha Gradiˇ snik

Mentor: izr. prof. dr. Gregor ˇ Cepon

Ljubljana, avgust 2021

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju, izr. prof. dr. Gregorju ˇCeponu za usmeritev pri izbiri zakljuˇcnega dela in vso pomoˇc med njenim nastajanjem. Zahvaljujem se tudi asistentu Mihi Kodriˇcu za ˇcas, ki ga je posvetil pomoˇci pri izvedbi eksperimenta in pri nastajanju naloge. Njegovi napotki in hitra odzivnost mi je bila med delom v veliko oporo in motivacijo.

Rad bi se zahvalil tudi svoji druˇzini, ki me je tekom ˇstudija ves ˇcas podpirala.

iii

Izvleˇ cek

UDK 534:519.61:62-415(043.2) Tek. ˇstev.: [UN I/1532]

[Numeriˇ cna in eksperimentalna modalna analiza ploˇ sˇ ce]

Miha Gradiˇsnik

Kljuˇcne besede: [modalna analiza]

[metoda konˇcnih elementov]

[ploˇsˇca]

[ˇcinela]

[eksperiment]

[Mathematica]

[Ansys]

Modalna analiza je orodje za razumevanje dinamskih lastnosti sistema, kot so lastne frekvence, lastne oblike in duˇsenje. Pomembna je predvsem iz vidika delovanja izdelkov, saj ˇzelimo, da ti delujejo karseda mirno. To doseˇzemo z izogibanjem obratovanja v obmoˇcju lastnih frekvenc in ravno zato jih je pomembno poznati, saj le na takˇsen naˇcin lahko sistem ustrezno optimiziramo.

Dinamski strukturni odziv je neposredno povezan z zvokom, kar je pri instrumentih ˇse bolj pomembno. V okviru zakljuˇcne naloge smo se lotili preuˇcevanja dinamskega od- ziva ˇcinele. Z lastno kodo v Mathematici smo numeriˇcno doloˇcili dinamski odziv ravne ploˇsˇce (kvadratne in okrogle), rezultate pa primerjali s tistimi v komercialnem pro- gramu Ansys. Za natanˇcnejˇse modeliranje ˇcinele je bilo potrebno upoˇstevati izboˇcenost ˇcinele, zato smo morali upoˇstevati drug tip konˇcnih elementov - lupine. Ravno to je bil razlog, da smo modalno analizo realnega modela izvedli le v komercialnem programu Ansys, rezultate pa smo primerjali z eksperimentalnimi, kjer se je izkazalo dobro uje- manje.

v

Abstract

UDC 534:519.61:62-415(043.2) No.: [UN I/1532]

[Numerical and experimental modal analysis of a plate]

[Miha Gradiˇsnik]

Key words: [modal analysis]

[finite element method]

[plate]

[cymbal]

[experiment]

[Mathematica]

[Ansys]

Modal analysis is a tool for understaing dynamic properties of a system, such as natural frequencies, mode shapes and damping. Above all, it is important in the terms of functioning of products, because it is usually desired for them to operate as calmy as possible. We can achieve this by steering their operation away from the natural frequencies and that is why it is important to know them, because only in this way we can optimize the system.

Dynamic strucutral response is directly connected with sound, which is even more important in the terms of instruments. As a part of the graduation thesis we undertook the study of a dynamic response of a cymbal. Using our own code in Mathematica, we numerically determined the dynamic response of a flat plate (square and round) and compared the results with those in the commercial program Ansys. For more accurate modeling of the cymbal, it was necessary to take into account the convexity of the cymbal, so we had to consider another type of finite elements - shells. This was the reason why we performed the modal analysis of the real model only in the commercial program Ansys and compared the results with the experimental ones, where a good match was shown.

Kazalo

Kazalo slik . . . ix

Kazalo preglednic . . . xi

Seznam uporabljenih simbolov . . . xii

Seznam uporabljenih okrajˇsav . . . xiii

1 Uvod . . . 1

1.1 Ozadje problema . . . 1

1.2 Cilji naloge . . . 1

2 Teoretiˇcne osnove in pregled literature . . . 3

2.1 Eksperimentalna modalna analiza . . . 3

2.2 Metoda konˇcnih elementov . . . 6

2.2.1 Teoretiˇcna izhodiˇsˇca za ploˇsˇce . . . 7

2.2.2 Izpeljava enaˇcb konˇcnega elementa za tanko ploˇsˇco . . . 9

2.2.2.1 Izraˇcun masne in togostne matrike . . . 11

2.2.3 Izpeljava enaˇcb konˇcnega elementa za debelo ploˇsˇco . . . 13

3 Metodologija raziskave . . . 17

3.1 Programiranje v Mathematici . . . 18

3.2 Modalna analiza v Ansys-u . . . 18

3.2.1 Kvadratna in okrogla ploˇsˇca . . . 19

3.2.2 Realen model ˇcinele . . . 19

3.3 Eksperimentalna modalna analiza . . . 20

3.3.1 Priprava na eksperiment . . . 20

3.3.2 Izvedba eksperimenta . . . 23

4 Rezultati in diskusija . . . 24

4.1 Primerjava rezultatov Mathematice in Ansys-a . . . 24

4.2 Primerjava rezultatov eksperimenta in Ansys-a . . . 26

4.2.1 Eksperimentalna modalna analiza . . . 26

4.2.2 Numeriˇcna modalna analiza realnega modela . . . 29

4.2.3 Primerjava rezultatov . . . 31 vii

5 Zakljuˇcki . . . 33 Literatura . . . 34

Kazalo slik

Slika 2.1: Togo vpet nosilec, ki je na prostem koncu vzbujen s sinusno spremi-

njajoˇco silo. . . 3

Slika 2.2: Odziv sistema v ˇcasovni domeni. . . 4

Slika 2.3: Odziv sistema v amplitudnem frekvenˇcnem spektru. . . 4

Slika 2.4: Casovna in frekvenˇˇ cna domena na enem grafu. . . 5

Slika 2.5: Vpliv duˇsenja na lastno frekvenco. . . 5

Slika 2.6: Vpliv reda lastne frekvence na obliko deformacije. . . 6

Slika 2.7: Kompleksen model aproksimiran z mreˇzo konˇcnih elementov. . . 7

Slika 2.8: Pascalov trikotnik in izbrani monomi. . . 11

Slika 2.9: Pascalov trikotnik in izbrani trije monomi. . . 15

Slika 3.1: Sabian XS20, 20”Medium Ride. . . 17

Slika 3.2: Uporabniˇski vmesnik orodja Ansys Mechanical. . . 18

Slika 3.3: Uvoˇzena slika in kontura debeline 1,2 mm. . . 19

Slika 3.4: Konˇcni model ˇcinele kot rezultat dela v Solidworks-u. . . 19

Slika 3.5: Modalno kladivce, ki je vpeto na horizontalno drˇzalo. . . 20

Slika 3.6: Analogno/digitalni pretvornik NI-9234, na katerega je zvezano kla- divce (ˇzica levo) in vse tri osi pospeˇskomera. . . 21

Slika 3.7: Triosni pospeˇskomer, ki je fiksiran na ˇcinelo. . . 21

Slika 3.8: Merilna veriga modalnega kladivca. . . 22

Slika 3.9: Merilna veriga pospeˇskomera. . . 22

Slika 3.10: Preizkuˇsevaliˇsˇce. . . 23

Slika 4.1: Mreˇza s 169 4-vozliˇsˇcnimi konˇcnimi elementi v programu Mathematica. 24 Slika 4.2: Koherenca meritve na obmoˇcju med 0 in 1000 Hz. . . 26

Slika 4.3: Amplituda izhodnega signala v odvisnosti od frekvence v obmoˇcju med 0 in 500 Hz. . . 27

Slika 4.4: Na grafu oznaˇcene lastne frekvence med 200 in 500 Hz. . . 27

Slika 4.5: Vizualiziran model ˇcinele v Python-u. . . 28

Slika 4.6: 1. lastna oblika v obmoˇcju od 200 Hz naprej. . . 29 ix

Slika 4.7: 1. lastna oblika analize v Ansys-u. . . 30 Slika 4.8: 11. lastna oblika (1. v naˇsem opazovanem obmoˇcju med 200 in 500

Hz). . . 31 Slika 4.9: Primerjava lastnih oblik med numeriko (levo) in eksperimentom (de-

sno). . . 32

Kazalo preglednic

Preglednica 3.1: Lastnosti ˇcinele, potrebne za analize in eksperiment. . . 17 Preglednica 4.1: Primerjava med lastnimi frekvencami pridobljenimi z Ma-

thematico in Ansys-om za kvadratno ploˇsˇco. . . 25 Preglednica 4.2: Primerjava med lastnimi frekvencami pridobljenimi z Ma-

thematico in Ansys-om za okroglo ploˇsˇco. . . 25 Preglednica 4.3: Prepoznane lastne frekvence eksperimentalne modalne ana-

lize ˇcinele v obmoˇcju med 200 in 500 Hz. . . 28 Preglednica 4.4: Prepoznane lastne frekvence numeriˇcne modalne analize re-

alnega modela v obmoˇcju med 200 in 500 Hz. . . 30 Preglednica 4.5: Primerjava med lastnimi frekvencami pridobljenimi z nume-

riko in eksperimentom v obmoˇcju med 200 in 500 Hz. . . 31

xi

Seznam uporabljenih simbolov

Oznaka Enota Pomen

a m/s² pospeˇsek

A m² povrˇsina

B / matrika povezav med vozliˇsˇcnimi pomiki in deformacijami

D Pa matrika togosti za Hookov zakon

E Pa modul elastiˇcnosti

h m debelina ploˇsˇce

k N/m togost ploˇsˇce

K N/m togostna matrika

L m dolˇzina

L / matrika povezav med vozliˇsˇcnimi pomiki in zasuki ter defor- macijami

M kg masna matrika

N / matrika oblikovnih funkcij

q m, rad vektor neznank v ploˇsˇci

q_e m, rad vektor vozliˇsˇcnih pomikov in zasukov

Q pC naboj

R Ω upor

t s ˇcas

T m matrika za pretvorbo zasukov v pomike

u m pomik v x smeri

u m vektor pomikov v 3D prostoru

U V napetost

V m³ prostornina

v m pomik v y smeri

w m pomik v z smeri

W m poves

x / koordinatna os x

y / koordinatna os y

z / koordinatna os z

γ / striˇzna deformacija

ε / osna deformacija

ε / deformacijska matrika

θ rad zasuk tanke ploˇsˇce

κ rad vektor radijev ukrivljenosti

ν / Poissonovo ˇstevilo

ρ kg/m³ gostota

σ / napetostna matrika

φ rad zasuk debele ploˇsˇce

ψ / oblikovna funkcija

ψ / vektor oblikovnih funkcij

Seznam uporabljenih okrajˇ sav

Okrajˇsava Pomen

IEPE Integrated Electronics Piezo-Electric, piezoelektriˇcni senzorji z vgra- jenim pretvornikom signala

CMIF Complex Mode Indicator Function, metoda za ugotavljanje lastnih oblik

xiii

1 Uvod

1.1 Ozadje problema

Za naˇcrtovanje novih izdelkov je poznavanje lastnih frekvenc obravnavanih sistemov zelo pomembno. V veˇcini primerov je zaˇzeleno tiho in mirno delovanje izdelkov, kar doseˇzemo z izogibanjem obratovanja v obmoˇcju lastnih frekvenc. V nekaterih prime- rih so vibracije zaˇzelene in celo poveˇcujejo uˇcinkovitost naprav (dozirniki, teptalniki) ali povzroˇcijo prijetne obˇcutke pri poskuˇsanju njihovega odziva (glasbeni instrumenti).

Bobni so inˇzenirsko zanimiv primer, saj se med igranjem generira ogromno vibracij, tako ˇzelenih, kot tudi neˇzelenih. Kljub temu, da so eden najbolj preprostih instrumen- tov, ki obstaja ˇze tisoˇcletja, je ozadje lahko precej kompleksno. Za prijeten zvok je potrebno natanˇcno nadzorovanje vseh vibracij, ki se pojavljajo med igranjem, da za- gotovimo kakovostni izdelek. Osredotoˇcili se bomo na dinamski odziv ˇcinel, kjer bomo v okviru zakljuˇcne naloge spoznali postopek numeriˇcnega doloˇcanje lastnih frekvenc in oblik z uporabo metode konˇcnih elementov, dinamske lastnosti ˇcinele pa bomo doloˇcili tudi eksperimentalno z eksperimentalno modalno analizo.

1.2 Cilji naloge

Cilj zakljuˇcne naloge je izvedba numeriˇcne modalne analize ploˇsˇce, ki bo predstavljala poenostavljen model ˇcinele. V prvem delu naloge se bomo osredotoˇcili na teoretiˇcno ozadje konˇcnega elementa za konstrukcijski element ploˇsˇce, kjer bomo predstavili pred- postavke ter izpeljavo masne in togostne matrike. Predstavljeno teorijo bomo v lastni programski kodi implementirali v programu Wolfram Mathematica. Pravilnost de- lovanja kode bomo preizkusili na primerih ploˇsˇce kvadratne in okrogle oblike, njeno natanˇcnost pa bomo primerjali z komercialnim programom Ansys. Priˇcakujemo, da se bodo rezultati dobro ujemali, saj bomo v Ansysu upoˇstevali enak tip konˇcnega elementa, kot v lastni programski kodi.

V drugem delu naloge bomo izvedli ˇse eksperimentalno modalno analizo s pravo ˇcinelo v laboratoriju in naredili ˇse modalno analizo realnega modela v Ansys-u. Priˇcakujemo doloˇceno odstopanje med eksperimentalnimi in numeriˇcnimi rezultati. Za postavitev numeriˇcnega modela je potrebno upoˇstevati predpostavke in poenostavitve glede geo- metrije in materialnih lastnosti ter tudi glede robnih pogojev. Pri eksperimentalnem

Uvod doloˇcanju dinamskih lastnosti strukture pa so vedno prisotne napake eksperimentira- nja. Vseeno priˇcakujemo, da se bo videla korelacija med numeriko in eksperimentom.

V prvem delu bomo na preprostih oblikah pokazali ozadje komercialnih programov (ge- neriranje masnih, togostnih matrik). V realnosti ponavadi nimamo opravka z ravnimi ploˇsˇcami, ˇse posebej pri ˇcinelah, ki so ukrivljene, kar predstavlja lupino. Poenostavitev geometrije izboˇcene ˇcinele v ravno okroglo ploˇsˇco je prevelika poenostavitev geome- trije, s ˇcimer se izgubijo dinamske lastnosti obravnavane strukture. Takˇsna oblika presega naˇse okvire zakljuˇcne naloge, zato bomo za numeriˇcno modeliranje komple- ksnejˇsih struktur v drugem delu uporabljali komercialni program Ansys, ki ˇze ima sprogramirane ustrezne metode za reˇsevanje takˇsnih modelov.

2

2 Teoretiˇ cne osnove in pregled lite- rature

V tem poglavju je na poljuden naˇcin predstavljena ideja modalne analize ter teoretiˇcne osnove za postavitev numeriˇcnega modela konˇcnih elementov za konstrukcijski element ploˇsˇce.

2.1 Eksperimentalna modalna analiza

Poglavje je povzeto po [1, 2].

S pomoˇcjo modalne analize ugotavljamo dinamiˇcne lastnosti sistema, kamor spadajo lastne frekvence, oblike in duˇsenje. Lastna frekvenca je frekvenca pri kateri je telo vzbujeno in se amplituda nihanja poveˇca, kljub konstantni amplitudi sile, ki vsiljuje nihanje. Lastne frekvence so odvisne od mase, togosti in duˇsenja sistema. Vsak pred- met ima veˇc lastnih frekvenc in s poznavanjem le-teh lahko laˇzje naredimo model, ki ustreza naˇsim potrebam, torej ”prestavimo”vzbujanja v obmoˇcja izven frekvenc delo- vanja naˇsega sistema. To lahko storimo s spreminjanjem mase, togosti, zmanjˇsanje odziva v obmoˇcju lastnih frekvenc pa doseˇzemo s poveˇcanjem duˇsenja.

Idejo modalne analize najenostavneje predstavimo na primeru nosilca, ki je na eni strani togo vpet, na drugi strani pa ga vzbujamo s sinusno spreminjajoˇco silo s konstantno amplitudo (slika 2.1).

0 L

F ( t )

Slika 2.1: Togo vpet nosilec, ki je na prostem koncu vzbujen s sinusno spreminjajoˇco silo.

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Ob poveˇcevanju frekvence vsiljene sile lahko opazimo, da se amplituda pomika nosilca spreminja in pri nekaterih frekvencah moˇcno poveˇca. Odmik nosilca na mestu delovanja sile od izhodiˇsˇcne lege je shematsko prikazan na sliki 2.2.

amplituda nihanja

čas

Slika 2.2: Odziv sistema v ˇcasovni domeni.

Tem vzbujenim obmoˇcjem reˇcemo lastne frekvence sistema in ko obravnavano strukturo vzbujamo s frekvenco, ki je blizu lastne, pride do znatnih poveˇcanj amplitud pomika.

Do tega pojava pride kljub temu, da je amplituda vsiljene sile ves ˇcas enaka in se spreminja le frekvenca osciliranja.

Casovni potek odziva lahko spremenimo v amplitudni frekvenˇˇ cni spekter, kjer anali- ziramo signal glede na frekvence in ne na ˇcas. Takˇsen spekter predstavlja amplitude signala pri doloˇcenih frekvencah. Transformacijo iz ene domene v drugo lahko nare- dimo s pomoˇcjo Fourir-jeve transformacije. Shematsko prikazan frekvenˇcni spekter za obravnavan primer je viden na sliki 2.3.

amplituda nihanja

frekvenca

Slika 2.3: Odziv sistema v amplitudnem frekvenˇcnem spektru.

Ce grafa iz slik 2.2 in 2.3 zdruˇˇ zimo v en graf (2.4), lahko opazimo poveˇcanja amplitud blizu frekvenc, pri katerih smo opazili najveˇcje pomike v ˇcasovni domeni. Iz tega lahko sklepamo, da lahko ugotavljamo lastne frekvence sistema z obema naˇcinoma, torej kot v ˇcasovni domeni tako tudi v amplitudnem frekvenˇcnem spektru.

4

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

amplituda nihanja

čas/frekvenca

Slika 2.4: ˇCasovna in frekvenˇcna domena na enem grafu.

Teoretiˇcno je pri neduˇsenih sistemih amplituda pri lastni frekvenci neskonˇcno velika, vendar je v praksi vedno prisotno duˇsenje, kar je prikazano na sliki 2.5. Z veˇcanjem duˇsenja se poleg manjˇsanja amplitude nihanja tudi sama krivulja pomakne v levo (niˇzje frekvenˇcno obmoˇcje).

Amplituda nihanja

Nedušena frekvenca

Frekvenca Brez dušenja Malo dušenja Veliko dušenja

Slika 2.5: Vpliv duˇsenja na lastno frekvenco.

Vsak sistem ima veˇc lastnih frekvenc, kar je tudi razvidno iz slik 2.2 in 2.3 kot vrhovi oz. amplitude signala, a vsaka lastna frekvenca drugaˇce vpliva na deformacijo telesa oz. na lastno obliko. ˇCe za primer vzamemo nosilec, ki smo ga obravnavali na zaˇcetku poglavja, bi glede na red vzbujene lastne frekvence njegove lastne oblike izgledale zelo razliˇcno, kar je shematsko prikazano na sliki 2.6). Naˇceloma velja, da viˇsji kot je red lastne frekvence, bolj kompleksna je njena lastna oblika.

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

0 L

L

L

L Mirovanje

1. lastna oblika

3. lastna oblika 2. lastna oblika

0

0

0

Slika 2.6: Vpliv reda lastne frekvence na obliko deformacije.

V primeru z nosilcem je bilo predstavljeno vzbujanje s stresalnikom, v naˇsem primeru pa bomo pri eksperimentalni modalni analizi merjenec vzbujali z modalnim kladivcem.

Odzive sistema lahko merimo na razliˇcne naˇcine:

– Najbolj preprost naˇcin je z uporabo pospeˇskomera, ki se ga bomo posluˇzevali tudi pri naˇsi eksperimentalni modalni analizi. Za merjenje odziva potrebujemo pospeˇskomer, ki je lahko eno ali veˇcosni, odvisno v koliko smereh bi radi merili odziv. Pritrdimo ga na naˇs merjenec. Priklopiti ga moramo na analogno/digitalni pretvornik, sam odziv pa beleˇzimo z raˇcunalnikom. Slabost te metode je, da lahko masa pospeˇskomera vpliva na odziv sistema.

– Uporabljamo lahko laser, ki ga usmerimo pravokotno na merjenec. Je brezkontaktna metoda merjenja, ki se za meritve posluˇzuje Dopplerjevega efekta.

– Ena izmed brezkontaktnih moˇznosti merjenja odziva je tudi hitra kamera, s katero merimo pomike merjenca med posameznimi sliˇcicami videoposnetka.

2.2 Metoda konˇ cnih elementov

Povzeto po [3].

Za numeriˇcno analizo dinamskih struktur se obiˇcajno uporablja metoda konˇcih ele- mentov. To je metoda, ki za reˇsevanje kompleksnih sistemov uporablja manjˇse enote - konˇcne elemente, za katere je reˇsitev laˇzje doloˇcljiva. Metoda je aproksimativna, ven- dar je njena uporaba kljub temu zelo razˇsirjena, saj je relativno preprosta in omogoˇca natanˇcne pribliˇzke reˇsitev.

6

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Reˇsitev predstavlja seˇstevek manjˇsih sklopov oz. konˇcnih elementov, njena natanˇcnost pa je odvisna od njihovih velikosti. Za laˇzjo predstavo je na sliki 2.7 prikazan model, pri katerem je z analitiˇcnim pristopom praktiˇcno nemogoˇce doloˇciti lastne frekvence, oblike, itd.

Slika 2.7: Kompleksen model aproksimiran z mreˇzo konˇcnih elementov.

Primarno spremenljivko znotraj konˇcnega elementa aproksimiramo z oblikovnimi funk- cijami. Poznamo razliˇcne tipe konˇcnih elementov v 1D, 2D, 3D prostoru in vsi imajo svoje lastnosti oz. predpostavke ter poenostavitve. V primeru velikega ˇstevila konˇcnih elementov oz. zelo goste mreˇze in kompleksnosti elementov je lahko izraˇcun z ome- njeno metodo lahko zelo zahteven. Za postavitev modelov pa moramo upoˇstevati poe- nostavitve geometrije in robne pogoje ter predpostavke glede materialnih lastnosti. V naslednjem poglavju je predstavljena izpeljava konˇcnega elementa za tanko in debelo ploˇsˇco v Kartezijevem koordinatnem sistemu in je povzeta po [4–6].

2.2.1 Teoretiˇ cna izhodiˇ sˇ ca za ploˇ sˇ ce

V tej zakljuˇcni nalogi imajo kljuˇcno vlogo ploˇsˇce, ki jih lahko privzamemo kot pribliˇzek ˇcineli. Upoˇstevati moramo naslednje predpostavke in pogoje, ki veljajo za vse ploˇsˇce:

– ploˇsˇca leˇzi v ravninix-y, dimenzija v smeri z (debelina) pa mora biti veliko manjˇsa od drugih dimenzij,

– material ploˇsˇce mora biti homogen in mora biti izotropen (enake mehanske in termiˇcne znaˇcilnosti materiala v vseh smereh) aliortotropen(mehanske in termiˇcne znaˇcilnosti so edinstvene in neodvisne v treh med seboj pravokotnih smereh, npr.

les),

– ploˇsˇca mora vedno biti obremenjena pravokotno na ravnino x-y, – komponenta napetostnega tenzorjaσ_zz mora biti zanemarljiva,

– v srednji ravnini zanemarimo εxx, εyy in εxy, saj predpostavimo, da se dimenzije srednje ravnine ploˇsˇce med obremenjevanjem deformirajo zelo malo.

Pomembno je, da poznamo osnovne vrste obravnave ploˇsˇc, ki jih lahko razdelimo na dve skupini, in sicer:

– tanke ploˇsˇce, kadar je razmerje med dolˇzino in debelino ≥ 10. Takˇsno vrsto ploˇsˇc popisujemo s Kirchhoff-Lovo teorijo ploˇsˇc.

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Pri Kirchhoff-Lovi teoriji upoˇstevamo ˇse dodatne predpostavke, in sicer:

– nevtralna ravnina je na sredini ploˇsˇce,

– prerezi ploˇsˇce so ravni in pravokotni glede na nevtralno ravnino, torej ni striˇznih deformacij in velja γ_xz = 0 in γ_yz = 0,

– v smeri z osi ni deformacij, torej velja: w(x,y,z) =w(x,y) in ε_zz = ∂w

∂z = 0, – deformacija obremenjene ploˇsˇce je majhna glede na njeno debelino.

– debele ploˇsˇce, kadar je razmerje med dolˇzino in debelino <10. Takˇsno vrsto ploˇsˇc popisujemo z Mindlin-Reissner-jevo teorijo ploˇsˇc, pri kateri moramo upoˇstevati ˇse naslednje predpostavke:

– nevtralna ravnina je na sredini ploˇsˇce,

– prerezi ploˇsˇce so ravni, niso pa nujno veˇc pravokotni glede na nevtralno ravnino, zato so prisotne ˇse striˇzne deformacije:

γxz = ∂u

∂z +∂w

∂x = ∂u

∂z +φy in γyz = ∂v

∂z + ∂w

∂y = ∂v

∂z −φx

– Zanemarimo lahko komponente ε_xx, ε_yy in ε_xy napetostnega tenzorja, saj se di- menzije srednje ravnine ploˇsˇce med obremenitvijo spreminjajo zelo malo.

Za naˇs primer ustreza teorija za tanke ploˇsˇce, saj ima ˇcinela veliko veˇcji premer, kot pa debelino, vseeno pa bomo izvedli izpeljavi za oba tipa.

Cilj izpeljave je doloˇcitev masne in togostne matrike. Zaˇcnemo lahko z definiranjem vektorja pomikov u v 3-D prostoru:

u=

⎧

⎨

⎩

u(x,y,z,t) v(x,y,t,z) w(x,y,z,t)

⎫

⎬

⎭

=N(x,y,z)q_e(t), (2.1)

kjer so u, v in w pomiki v x, y in z smeri, N je matrika oblikovnih funkcij, q_e(t) pa predstavlja vektor vozliˇsˇcnih pomikov in zasukov, ki so ˇcasovno odvisni. Matriko deformacij in napetosti lahko zapiˇsemo kot:

ε=Bq_e (2.2)

in

σ =D Bq_e, (2.3)

kjer B predstavlja matriko povezav med vozliˇsˇcnimi pomiki in deformacijami, D pa matriko togosti za Hookov zakon. Zapiˇsemo lahko masno in togostno matriko:

M=∫︁

V ρN^T NdV (2.4)

in

K=∫︁

V B^T D BdV . (2.5)

8

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

2.2.2 Izpeljava enaˇ cb konˇ cnega elementa za tanko ploˇ sˇ co

Prerez je pri tanki ploˇsˇci po deformaciji pravokoten na nevtralno ravnino, zato lahko upoˇstevamoε_xz =ε_zx=ε_zy =ε_yz = 0. Prav tako je ε_zz = 0, saj predpostavimo, da se debelina ploˇsˇce zaradi obremenitve ne spremeni. Zapiˇsemo lahko deformacijski tenzor:

ε=

⎡

⎣

ε_xx ε_xy ε_xz ε_yx ε_yy ε_yz ε_zx ε_zy ε_zz

⎤

⎦=

=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

∂u

∂x

1 2(∂u

∂y + ∂v

∂x) 1 2(∂u

∂z + ∂w

∂x) = 0 1

2(∂v

∂x +∂u

∂y) ∂v

∂y

1 2(∂v

∂z +∂w

∂y) = 0 1

2(∂w

∂x +∂u

∂z) = 0 1 2(∂w

∂y +∂v

∂z) = 0 ∂w

∂z = 0

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

(2.6)

Deformacije zapiˇsemo v odvisnosti od povesa w=w(x,y):

∂u

∂z =−∂w

∂x (2.7)

in

∂v

∂z =−∂w

∂y. (2.8)

Pomike v smeri x iny zapiˇsemo v odvisnosti od povesa w.

∂u

∂z = u

z (2.9)

ter

∂v

∂z = v

z. (2.10)

Upoˇstevamo ˇse enaˇcbi (2.7) in (2.8) in tako dobimo:

u=−z ∂w

∂x (2.11)

in

v =−z∂w

∂y. (2.12)

Zdaj lahko zapiˇsemo konˇcno obliko deformacijskega tenzorja (odvisnost samo od w):

ε=

⎡

⎣

εxx εxy εxz

ε_yx ε_yy ε_yz ε_zx ε_zy ε_zz

⎤

⎦=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

−z∂²w

∂x² −z ∂²w

∂x∂y 0

−z ∂²w

∂x∂y −z∂²w

∂y² 0

0 0 0

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

. (2.13)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Definiramo napetostni vektor in upoˇstevamo Hookov zakon:

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩ σxx

σ_yy σ_zz = 0

σxy

σ_yz σ_xz

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎭

=

= E

(1 +ν) (1−ν)

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

1−ν −ν −ν 0 0 0

−ν 1−ν −ν 0 0 0

−ν −ν 1−ν 0 0 0

0 0 0 1−2ν

2 0 0

0 0 0 0 1−2ν

2 0

0 0 0 0 0 1−2ν

2

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩ ε_xx εyy

ε_zz = 0 2ε_xy 2εyz = 0 2ε_xz = 0

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎭ .

(2.14) Napetostni vektor lahko zapiˇsemo v krajˇsi obliki:

⎧

⎨

⎩ σ_xx σyy

σ_xy

⎫

⎬

⎭

= E

(1−ν²)

⎡

⎢

⎣

1−ν −ν 0

−ν 1−ν 0

0 0 1−2ν

2

⎤

⎥

⎦

⎧

⎨

⎩ ε_xx εyy

2ε_xy

⎫

⎬

⎭

, (2.15)

kjer so:

σ =

⎧

⎨

⎩ σ_xx σ_yy σ_xy

⎫

⎬

⎭

,D = E (1−ν²)

⎡

⎢

⎣

1−ν −ν 0

−ν 1−ν 0

0 0 1−2ν

2

⎤

⎥

⎦,ε=

⎧

⎨

⎩ ε_xx ε_yy 2ε_xy

⎫

⎬

⎭

(2.16)

in predstavljajo ˇclene Hookovega zakona (σ =Dε).

Potrebujemo ˇse izraze za radij ukrivljenosti, ki pa jih dobimo z uvedbo enotskih mo- mentov. Da dobimo momente, moramo integrirati napetost po povrˇsini:

mxx =

∫︂

A

(σxxz dA) =

∫︂ h/2

−h/2

(σxxz dz) = −kx(∂²w

∂x² +ν∂²w

∂y²), (2.17)

myy =

∫︂

A

(σyyz dA) =

∫︂ h/2

−h/2

(σyyz dz) = −k_y(∂²w

∂y² +ν∂²w

∂x²) (2.18)

in

m_xy =m_yx=

∫︂

A

(σ_xyz dA) =

∫︂ h/2

−h/2

(σ_xyz dz) = −2k_xxy( ∂²w

∂x ∂y). (2.19) Parameter k predstavlja togost ploˇsˇce, kar pomeni, da je lahko ploˇsˇca ortotropna.

Enotske momente lahko sedaj zapiˇsemo ˇse v matriˇcni obliki:

m=D κ, (2.20)

kjer je κ vektor ukrivljenosti ploˇsˇce.

10

Teoretiˇcne osnove in pregled literature 2.2.2.1 Izraˇcun masne in togostne matrike

V naˇsi nalogi bomo uporabljali 4-vozliˇsˇcne konˇcne elemente. V posameznem vozliˇsˇcu so 3 neznanke: pomik vz smeri ter zasuka okoli osi xin y. Zasuka sta pri tanki ploˇsˇci definirana kot:

θ_x = ∂w

∂y in θ_y =−∂w

∂x. (2.21)

Ker morajo biti vrednosti spremenljivk v vozliˇsˇcih konˇcnega elementa zvezne, moramo upoˇstevati vse 3 neznanke (tudi zasuka). Z vsemi 4 vozliˇsˇci imamo skupno torej 12 neznank. Aproksimacijski polinom bo tako moral vsebovati 12 monomov, ki jih dobimo iz Pascalovega trikotnika (pazimo na simetriˇcnost izbire). Izbira monomov je prikazana na sliki 2.8.

1

x y

x  xy y 

x x  y xy  y x ! x y x  y  xy y !

Slika 2.8: Pascalov trikotnik in izbrani monomi.

Aproksimacijski polinom je tako oblike:

ψ(x,y) =a₁ +a₂x+a₃y+a₄x²+a₅x y+a₆y²+a₇x³+a₈x²y+

+a₉x y²+a₁₀y³+a₁₁x³y+a₁₂x y³. (2.22) V vektorju q so zbrane vse neznanke v ploˇsˇci (1 pomik in 2 zasuka). V primeru posameznega konˇcnega elementa pa so neznanke zapisane v vektorju q_e, ki vsebuje pomike in zasuke za vsako vozliˇsˇce konˇcnega elementa. Oblikovne funkcije so zbrane v vektorju ψ:

q(x,y) =

⎧

⎨

⎩ w θ_x θ_y

⎫

⎬

⎭

,ψ(x,y) =

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

ψ₁ . . . ψ₁₂

∂ψ₁

∂y . . . ∂ψ₁₂

∂y

∂ψ₁

∂x . . . ∂ψ₁₂

∂x

⎤

⎥

⎥

⎥

⎦ ,q_e =

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩ W₁ ϕx1

ϕ_y1 ... W₄ ϕ_x4 ϕ_y4

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭

. (2.23)

Konˇcna aproksimacija spremenljivk je definirana kot:

q(x,y) = ψ(x,y)qe. (2.24)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Vektor radijev ukrivljenosti lahko z upoˇstevanjem aproksimacij zapiˇsemo kot:

κ=Bq_e (2.25)

in nato ˇse enaˇcbo za enotske momente:

m=Dκ=D Bqe. (2.26)

Definiramo pomike v vseh smereh:

u=

⎧

⎨

⎩

u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y)

⎫

⎬

⎭

=

⎧

⎨

⎩ z ψ_y

−z ψ_x w(x,y)

⎫

⎬

⎭

. (2.27)

Vektor pomikovu uredimo tako, da ima enak vrstni red kot vektor q:

u=

⎧

⎨

⎩

w(x,y)

−z ψx

z ψ_y

⎫

⎬

⎭

=

⎡

⎣

1 0 0

0 −z 0

0 0 z

⎤

⎦

⎧

⎨

⎩ w θx

θ_y

⎫

⎬

⎭

, (2.28)

pri ˇcemer je:

T=

⎡

⎣

1 0 0

0 −z 0

0 0 z

⎤

⎦. (2.29)

Vektor pomikovu lahko z upoˇstevanjem (2.1), (2.24) in (2.28) zapiˇsemo kot:

u=Tq(x,y) =Tψ(x,y)q_e =N(x,y)q_e. (2.30) Matrika oblikovnih funkcijN(x,y) je definirana z:

N(x,y) = Tψ(x,y). (2.31)

Masno in togostno matriko konˇcnega elementa (enaˇcbi (2.4) in (2.5)) lahko sedaj zapiˇsemo kot:

M_e =

∫︂

V

ρN^T NdV =

∫︂

V

ρ(Tψ)^T TψdV =

∫︂

V

ρψ^T T^TTψdV (2.32) in

K_e=

∫︂

V

B^T D BdV. (2.33)

Upoˇstevamo ˇse:

T˜ =T^T T=

⎡

⎣

1 0 0

0 −z 0

0 0 z

⎤

⎦

⎡

⎣

1 0 0

0 −z 0

0 0 z

⎤

⎦=

⎡

⎣

1 0 0

0 z² 0 0 0 z²

⎤

⎦, (2.34)

T˜ =∫︂ h/2

−h/2

⎡

⎣

1 0 0

0 z² 0 0 0 z²

⎤

⎦=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

h 0 0

0 h³ 12 0 0 0 h³

12

⎤

⎥

⎥

⎥

⎦

. (2.35)

12

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Enaˇcbi za masno in togostno matriko konˇcnega elementa pretvorimo v integral po povrˇsini konˇcnega elementa in s tem dobimo konˇcni zapis:

M_e =

∫︂

A

ρψ^T T˜ ψdA (2.36)

in K_e=

∫︂

A

B^T D BdA. (2.37)

2.2.3 Izpeljava enaˇ cb konˇ cnega elementa za debelo ploˇ sˇ co

Ce za primer debele ploˇsˇˇ ce vzamemo deformacijo prereza, lahko ugotovimo, da prerez ni pravokoten na nevtralno ravnino. Pomik vx in y smeri je definiran kot:

u=z φ_y (2.38)

ter

v =−z φ_x. (2.39)

Vektor pomikov v tridimenzionalnem prostoru lahko tako dopolnimo in zapiˇsemo:

u=

⎧

⎨

⎩

u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y)

⎫

⎬

⎭

=

⎧

⎨

⎩ z φy

−z φ_x w(x,y)

⎫

⎬

⎭

. (2.40)

Mindlin-Reissnerjeva teorija debelih ploˇsˇc vkljuˇcuje tudi striˇzne deformacije, zato de- formacijski tenzor zapiˇsemo v odvisnosti od povesa vz smeri (w) in zasukov φ_x ter φ_y:

ε=

⎡

⎣

ε_xx γ_xy γ_xz γ_yx ε_yy γ_yz γ_zx γ_zy ε_zz

⎤

⎦=

=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

∂u

∂x (∂u

∂y +∂v

∂x) (∂u

∂z + ∂w

∂x) (∂v

∂x +∂u

∂y) ∂v

∂y (∂v

∂z +∂w

∂y) (∂w

∂x +∂u

∂z) (∂w

∂y + ∂v

∂z) ∂w

∂z

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

=

=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

z ∂φ_y

∂x z(∂φ_y

∂y − ^∂φ_∂x^x) (φy +∂w

∂x) z(∂φ_y

∂y − ∂φ_x

∂x ) −z∂φ_x

∂y (−φ_x+∂w

∂y) (φ_y +∂w

∂x) (−φ_x+∂w

∂y) ε_zz

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦ .

(2.41)

Za izraˇcun velikosti deformacij v z smeri lahko na podoben naˇcin kot za tanko ploˇsˇco uporabimo Hookov zakon. Upoˇstevati moramo, da je σ_zz = 0:

σ_zz =E ε_zz = 0. (2.42)

Iz enaˇcbe (2.42) sledi:

ε_zz =− ν

1−ν(ε_xx+ε_yy). (2.43)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Deformacije lahko zapiˇsemo v matriˇcni obliki, pri tem pa ne upoˇstevamo ε_zz, saj je odvisen od neznanih deformacijε_xx in ε_yy, lahko pa ga izraˇcunamo naknadno.

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩ ε_xx ε_yy γ_xy γ_xz γ_yz

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎭

=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

0 0 z ∂

∂x

0 0 −z ∂

∂y

∂

∂x 0 1

∂

∂y −1 0

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎧

⎨

⎩ w φ_x φ_y

⎫

⎬

⎭

=Lq. (2.44)

S sploˇsnim zapisom napetostnega tenzorja in upoˇstevanjem enaˇcbe (2.43), ter da je σzz = 0, dobimo naslednjo enaˇcbo:

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩ σ_xx σ_yy σ_xy σ_yz σ_xz

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎭

= E

(1−ν²)

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

1 ν 0 0 0

ν 1 0 0 0

0 0 1

2(1−ν) 0 0

0 0 0 1

2(1−ν) 0

0 0 0 0 1

2(1−ν)

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩ ε_xx ε_yy γ_xy γ_yz γ_xz

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎭

. (2.45)

Iz enaˇcbe (2.45) lahko posamezne ˇclene zapiˇsemo s pripadajoˇcimi simboli:

σ =

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩ σ_xx σ_yy σxy

σ_yz σ_xz

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎭

,D = E (1−ν²)

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

1 ν 0 0 0

ν 1 0 0 0

0 0 1

2(1−ν) 0 0

0 0 0 1

2(1−ν) 0

0 0 0 0 1

2(1−ν)

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦ ,ε=

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩ ε_xx ε_yy γxy

γ_yz γ_xz

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎭

(2.46) in tako dobimo bolj strnjeno obliko zapisa napetostne matrike:

σ =Dε. (2.47)

Enako kot pri teoriji tankih ploˇsˇc imamo v vsakem vozliˇsˇcu 3 neznanke, in sicer pomik v z smeri, ter zasuka okoli x in y osi. Za 4-vozliˇsˇcni konˇcni element je to skupno 12 neznank. Kljub temu pa ne potrebujemo 12 monomov, saj so oblikovne funkcije v vozliˇsˇcih konˇcnega elementa omejene le z vrednostjo funkcije, ne pa tudi z njenimi odvodi, kot pri tanki ploˇsˇci. Torej potrebujemo za vsako vozliˇsˇce 1 monom (za pomik) in za 4-vozliˇsˇcni konˇcni element skupno 4. Enako kot pri tanki ploˇsˇci jih izberemo iz Pascalovega trikotnika (slika 2.9).

14

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

1

x y

x  xy y 

x x  y xy  y x ! x y x  y  xy y !

Slika 2.9: Pascalov trikotnik in izbrani trije monomi.

Naˇsi aproksimacijski polinomi bodo tako oblike:

ψ(x,y) =a₁ +a₂x+a₃y+a₄x y. (2.48)

Enako kot pri teoriji tankih ploˇsˇc, so v vektorjuqzbrane vse neznanke v ploˇsˇci (pomik v z smeri ter zasuka okoli x in y osi). V primeru posameznega konˇcnega elementa pa so neznanke zapisane v vektorju q_e, ki vsebuje pomike in zasuke za vsako vozliˇsˇce konˇcnega elementa. Oblikovne funkcije so zbrane v vektorju ψ:

q(x,y) =

⎧

⎨

⎩ w φ_x φ_y

⎫

⎬

⎭

,ψ(x,y) =

⎡

⎣

ψ₁ 0 0 . . . ψ₄ 0 0 0 ψ₁ 0 . . . 0 ψ₄ 0 0 0 ψ₁ . . . 0 0 ψ₄

⎤

⎦,q_e =

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩ W₁ ϕ_x1 ϕy1

... W₄ ϕ_x4 ϕ_y4

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭

. (2.49)

Konˇcna aproksimacija spremenljivk je definirana kot:

q(x,y) = ψ(x,y)q_e. (2.50)

Vektor u iz enaˇcbe (2.40) preuredimo tako, da ima enak vrstni red kot vektor q:

u=

⎧

⎨

⎩

w(x,y) z φ_x

−z φ_y

⎫

⎬

⎭

=

⎡

⎣

1 0 0

0 −z 0

0 0 z

⎤

⎦

⎧

⎨

⎩ w φ_x φ_y

⎫

⎬

⎭

, (2.51)

pri ˇcemer je:

T=

⎡

⎣

1 0 0

0 −z 0

0 0 z

⎤

⎦. (2.52)

Vektor u lahko z upoˇstevanjem enaˇcbe (2.1), (2.50) in (2.51) zapiˇsemo kot:

u=Tq(x,y) =Tψ(x,y)q_e =N(x,y)q_e, (2.53)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature kjer je matrika oblikovnih funkcijN(x,y) definirana z:

N(x,y) = Tψ(x,y). (2.54)

Masno in togostno matriko konˇcnega elementa (enaˇcbi (2.4) in (2.5)) lahko sedaj zapiˇsemo kot:

Me =

∫︂

V

ρN^T NdV =

∫︂

V

ρ(Tψ)^T TψdV =

∫︂

V

ρψ^T T^TTψdV (2.55) in

K_e=

∫︂

V

B^T D BdV. (2.56)

Upoˇstevamo ˇse T˜ iz enaˇcbe (2.34) in da je matrika povezav med vozliˇsˇcnimi pomiki in deformacijami B definirana z:

B=Lψ. (2.57)

Enaˇcbi za masno in togostno matriko konˇcnega elementa pretvorimo v integral po povrˇsini in debelini konˇcnega elementa in s tem dobimo konˇcni zapis:

M_e =

∫︂ h/2

−h/2

(

∫︂

A

ρψ^T T ψ˜ dA)dz (2.58)

in K_e=

∫︂ h/2

−h/2

(

∫︂

A

(Lψ)^TD(Lψ)dA)dz. (2.59)

16

3 Metodologija raziskave

Zakljuˇcna naloga je sestavljena iz veˇc sklopov:

– programiranje v Mathematici, kjer mreˇzimo preproste oblike in ugotavljamo njihove lastne frekvence,

– modalna analiza istih oblik ˇse v komercialnem programu Ansys, primerjava s kodo v Mathematici,

– modalna analiza realnega modela ˇcinele v programu Ansys,

– eksperimentalna modalna analiza fiziˇcne ˇcinele in primerjava z analizo v programu Ansys.

V vseh opisanih sklopih so upoˇstevane lastnosti ˇcinele Medium Ride 20”, XS-20, proi- zvajalca Sabian, ki je prikazana na sliki 3.1. To je lita ˇcinela, izdelana iz zlitine B20, kar pomeni, da vsebuje 20% kositra in 80% bakra. Spodnja tabela prikazuje vse lastnosti, ki so potrebne za analize in eksperiment, podatki pa so pridobljeni iz [7].

Preglednica 3.1: Lastnosti ˇcinele, potrebne za analize in eksperiment.

Lastnost Vrednost Enota

Premer 50,8 mm

Debelina 1,2 mm

Gostota 8614 kg/m³

Modul elastiˇcnosti 100 GPa Poisson-ovo razmerje 0,3 /

Slika 3.1: Sabian XS20, 20”Medium Ride.

Metodologija raziskave

3.1 Programiranje v Mathematici

Wolfram Mathematica je program, ki ga je mogoˇce uporabiti za izvajanje preraˇcunov na najrazliˇcnejˇsih podroˇcjih, saj vsebuje mnogo uporabnih funkcij, ki moˇcno olajˇsajo pisanje programov in pospeˇsijo njihovo izvajanje. Program je izredno primeren za sim- bolno raˇcunanje matematiˇcnih problemov in omogoˇca interaktiven prikaz rezultatov.

Uporabljen programski jezik je Wolfram language.

S pomoˇcjo izpeljav iz poglavja 2.2 smo v programskem okolju Mathematica izdelali program, ki iz vnesenih toˇck generira vozliˇsˇca in mreˇzo, oz. ˇstirivozliˇsˇcne konˇcne ele- mente za ploˇsˇco kvadratne in okrogle oblike. Takˇsne poenostavitve smo uporabili, ker bi za mreˇzenje in analizo realnega modela potrebovali veliko bolj kompleksno kodo, ki presega cilje te naloge. Namen je opazovati odstopanja razliˇcnih metod (numerika, eksperiment) ter poenostavitev.

Obe ploˇsˇci imata stranico oz. premer in debelino enako realnemu modelu ˇcinele, ki je deleˇzna nadaljnje analize v Ansys-u in eksperimentu. Da smo dosegli maksimalno verodostojnost primerjave natanˇcnosti rezultatov med programom v Mathematici in analizo z Ansys-om, uporabljamo za obe analizi enako mreˇzo konˇcnih elementov. To smo dosegli s pomoˇcjo Python-ove knjiˇznice ”pyansys”, ki iz programa kliˇce vozliˇsˇca oz. mreˇzo in jo uvozi v Python, kar nato preberemo v Mathematici.

3.2 Modalna analiza v Ansys-u

Ansys Inc. je ameriˇsko podjetje, ki se specializira na podroˇcju inˇzenirskega simulacij- skega programa. Komercialni program Ansys se uporablja za mnoge razliˇcne simulacije, ki preverjajo npr. vzdrˇzljivost, temperaturno porazdelitev in gibanje fluidov testiranih produktov. To je le peˇsˇcica izmed vseh nalog, ki jih program lahko opravlja, med dru- gim pa ponuja tudi razne optimizacije. Slika 3.2 predstavlja uporabniˇski vmesnik in opravljeno modalno analizo z orodjem Ansys Mechanical.

Slika 3.2: Uporabniˇski vmesnik orodja Ansys Mechanical.

18

Metodologija raziskave V okolju Ansys smo opravili 3 numeriˇcne modalne analize, ki so opisane v naslednjih podpoglavjih.

3.2.1 Kvadratna in okrogla ploˇ sˇ ca

Za primerjavo s programom v Mathematici smo naredili analizo dveh ploˇsˇc. Najprej smo doloˇcili material, ki smo ga morali roˇcno vnesti, saj ga ni v Ansys-ovi knjiˇznici, nato pa smo zmodelirali geometrijo obeh ploˇsˇc (pravokotna in okrogla). Model smo zamreˇzili s 4-vozliˇsˇcnimi linearnimi konˇcnimi elementi. Definiranje robnih pogojev ni bilo potrebno, saj smo ˇzeleli obravnavati odziv ne-vpete ploˇsˇce.

3.2.2 Realen model ˇ cinele

Pri analizi realnega modela smo se posluˇzili uporabe modelirnika Solidworks 2020, saj je v njem enostavno konstruirati zahtevne oblike. Ker ima ˇcinela veˇcinoma proste povrˇsine in bi bilo klasiˇcno modeliranje zaradi zahtevnosti popisa povrˇsin in krivulj zelo zapleteno, smo se posluˇzili modeliranja s pomoˇcjo slike. Sliko ˇcinele s strani smo uvozili v skico in naredili njeno konturo. Kot prikazuje slika 3.3 smo to storili samo na polovici in nato konturo zapolnili z ukazom ”Revolve”. Sredinske luknje za vpetje na stojalo nismo vrisali, saj bi lahko pri mreˇzenju povzroˇcala teˇzave, vseeno pa na sam rezultat vpliva le minimalno.

Slika 3.3: Uvoˇzena slika in kontura debeline 1,2 mm.

Konˇcni model ˇcinele je prikazan na sliki 3.4

Slika 3.4: Konˇcni model ˇcinele kot rezultat dela v Solidworks-u.

S takˇsnim naˇcinom modeliranja smo brez teˇzav dobro popisali geometrijo predmeta.

Na podoben naˇcin kot v poglavju 3.2.1 smo nato izvedli modalno analizo.

Metodologija raziskave

3.3 Eksperimentalna modalna analiza

Pri eksperimentalnem delu te naloge smo izvedli ˇse eksperimentalno modalno analizo, kjer smo ˇse na fiziˇcni ˇcineli ugotavljali lastne oblike in frekvence z namenom, da vi- dimo, koliko med seboj deviirajo rezultati numerike iz Ansys-a in eksperimenta. Pri eksperimentalni modalni analizi poznamo dve metodi izvajanja poskusa:

– metoda statiˇcnega pospeˇskomera, kjer spreminjamo poloˇzaj udarjanja z modalnim kladivcem, lokacija pospeˇskomera pa ostaja enaka,

– metoda statiˇcnega udarca, kjer spreminjamo poloˇzaj pospeˇskomera, lokacija udarja- nja pa ostaja enaka.

Obe metodi teoretiˇcno generirata enake rezultate, vendar je v nekaterih situacijah bolj primerna ena, v drugih pa druga. ˇCe imamo predmet, kjer z lahkoto udarjamo po vseh zastavljenih toˇckah, je bolj primerna metoda statiˇcnega pospeˇskomera, saj je veliko laˇzje spreminjati poloˇzaj udarjanja, kot pa pospeˇskomera. ˇCe pa imamo predmet, ki ima nekatere predele teˇzko dostopne za modalno kladivce, je bolj primerna metoda statiˇcnega udarca, saj pospeˇskomer lahko prestavimo tudi na teˇzko dostopna mesta. V naˇsem primeru smo uporabili metodo statiˇcnega pospeˇskomera, ki je v tej situaciji ve- liko bolj smiselna, saj geometrija ˇcinele ne vsebuje za kladivce teˇzko dostopnih predelov in bi bilo prestavljanje pospeˇskomera ˇcasovno potratno.

3.3.1 Priprava na eksperiment

Pred samim eksperimentom je zelo pomembno, da dobro pripravimo preizkuˇsevaliˇsˇce in preizkuˇsanec, da ˇcim bolje simuliramo realne pogoje in si ˇcim bolj olajˇsamo potek preizkusa.

Najprej smo si izbrali modalno kladivce proizvajalca Dytran, ki je na eni strani togo vpeto v 3D tiskano konstrukcijo tako, da mora preizkuˇsevalec pri eksperimentu dvigniti konico kladiva in jo spustiti. Kladivce zaniha in udari ob preizkuˇsanec. S tem je zmanjˇsana moˇznost dvojnih udarcev, kar je lahko pri analizi velik problem. Kladivce smo nato vpeli na horizontalno drˇzalo, kar je vidno na sliki 3.5. To smo storili zato, da smo lahko s konico kladivca dostopali do vseh toˇck ˇcinele, ne da bi se je pri tem kje dotaknili, saj bi s tem spremenili odziv sistema.

Slika 3.5: Modalno kladivce, ki je vpeto na horizontalno drˇzalo.

20

Metodologija raziskave Modalno kladivce, ki vsebuje IEPE (pretvornik signala), smo zvezali na analogno/digi- talni pretvornik NI-9234 (slika 3.6), ki vsebuje 4 kanale in ima frekvenco vzorˇcenja f = 51,2 kHz. Na ostale 3 kanale pretvornika smo povezali triosni pospeˇskomer (meri pospeˇske v smerehx,y inz) in ga s pomoˇcjo posebnega lepilnega traku in sekundnega lepila prilepili na ˇcinelo, kar prikazuje slika 3.7. Vseeno je bilo, kam ga prilepimo, pomembno je le, da kasneje pri obravnavi rezultatov to toˇcko vzamemo za izhodiˇsˇce naˇsega koordinatnega sistema.

Slika 3.6: Analogno/digitalni pretvornik NI-9234, na katerega je zvezano kladivce (ˇzica levo) in vse tri osi pospeˇskomera.

Slika 3.7: Triosni pospeˇskomer, ki je fiksiran na ˇcinelo.

Metodologija raziskave Za laˇzjo predstavo potovanja signala pri modalnem kladivcu in pospeˇskomeru sta na slikah 3.8 in 3.9 prikazani njuni merilni verigi, kar smo naredili s pomoˇcjo [8].

ΔR

U Piezoelektrično merilno

zaznavalo

IEPE A/D pretvornik Računalnik

(prikaz rezultatov) Digitalni signal Analogni signal Legenda

[N]

[V]

[Ω]

Modalno kladivce F

Slika 3.8: Merilna veriga modalnega kladivca.

a

Q

U Piezoelektrično merilno

zaznavalo

Nabojni ojačevalnik A/D pretvornik Računalnik (prikaz rezultatov)

Digitalni signal Analogni signal Legenda

[m/s!]

[V]

[pC]

Pospeškomer

Slika 3.9: Merilna veriga pospeˇskomera.

Preden smo se lotili samega eksperimenta je bilo zelo pomembno tudi doloˇciti toˇcke, kjer bomo udarjali z modalnim kladivcem. V mislih je bilo potrebno imeti tudi to, da bomo morali za prikaz rezultatov te toˇcke tudi smiselno povezati. Definirali smo enakomerno razporejenih 40 toˇck in jih oznaˇcili na ˇcineli. ˇCinelo smo nato poloˇzili na kose pene, s ˇcimer smo simulirali prosto vpetje in minimalno vplivali na odziv sistema, kar lahko vidimo na sliki 3.10.

22

Metodologija raziskave

Slika 3.10: Preizkuˇsevaliˇsˇce.

Analogno/digitalni pretvornik smo priklopili na raˇcunalnik in nastavili potrebne pa- rametre, tj. definiranje vhodov in obˇcutljivosti modalnega kladivca. Za doloˇcanje obˇcutljivosti smo pogledali v kalibracijski certifikat in vzeli vrednost pri 100 Hz , ki je v naˇsem primeru znaˇsala 10,17 mV/g v x smeri, 9,89 mV/g v y smeri in 10,05 mV/g v z smeri.

3.3.2 Izvedba eksperimenta

Meritve smo opravljali oz. zaznavali s programom v Python-u, ki je ˇze samodejno zaznal meritve z dvojnimi udarci in tako prepreˇcil napaˇcne rezultate. Na vsaki toˇcki, ki je bila oznaˇcena na ˇcineli smo z modalnim kladivcem opravili 3 meritve in rezultate povpreˇcili ter s tem zmanjˇsali vpliv morebitnih dodatnih napak.

Eksperiment smo opravili tudi z drugim kladivcem in razliˇcnimi udarnimi kapicami, vendar smo pri mehkejˇsih kapicah imeli problem dvojnih udarcev, saj je bilo treba udarjati roˇcno. Pri trˇsih kapicah, pa smo vzbudili odziv v viˇsjem frekvenˇcnem obmoˇcju, ki pa vsebuje ˇze zelo kompleksne lastne oblike in bi bila analiza rezultatov zelo zahtevna.

Po opravljenih meritvah smo s pomoˇcjo Python-a pridobljene meritve tudi ustrezno oblikovali in jih vizualizirali, o ˇcemer pa je veˇc napisano v naslednjem poglavju.

4 Rezultati in diskusija

4.1 Primerjava rezultatov Mathematice in Ansys-a

V 1. delu te naloge smo opravili modalno analizo kvadratne in okrogle ploˇsˇce s pomoˇcjo programa v Mathematici in nato ˇse v komercialnem programu Ansys. Za vsako ploˇsˇco smo kot v Mathematici, kot tudi v Ansys-u uporabljali enako mreˇzo 4-vozliˇsˇcnih ele- mentov, da bi bili rezultati ˇcimbolj podobni.

Analize obeh ploˇsˇc smo opravili pri razliˇcnih gostotah mreˇze in ugotovili smo, da bolj kot je mreˇza gosta, bolj sovpadajo rezultati med programom v Mathematici in Ansys- om. Pri analizi v Ansys-u smo uporabili element SHELL63, ki temelji na teoriji tankih ploˇsˇc, medtem ko SHELL181, ki je nastavljen kot privzet, temelji na teoriji debelih ploˇsˇc. Ena izmed veˇcjih omejitev je ˇcas raˇcunanja v Mathematici, ki se pri zmanjˇsanju velikosti elementov znatno poveˇcuje, zato smo opravili zadnjo analizo pri velikosti mreˇze s 169 elementi. Primer mreˇze okrogle ploˇsˇce s 169 4-vozliˇsˇcnimi konˇcnimi elementi v Mathematici je prikazan na sliki 4.1.

Slika 4.1: Mreˇza s 169 4-vozliˇsˇcnimi konˇcnimi elementi v programu Mathematica.

24

Rezultati in diskusija V tabeli 4.1 in 4.2 je zbranih prvih 10 lastnih frekvenc analiz (Mathematica in Ansys) obeh ploˇsˇc ter razlika med njimi:

Preglednica 4.1: Primerjava med lastnimi frekvencami pridobljenimi z Mathematico in Ansys-om za kvadratno ploˇsˇco.

Red Velikost v Hz (Ansys)

Velikost v Hz (Mathematica)

Razlika v Hz

absolutna relativna razlika v %

1 10,29 10,28 0,01 0,10

2 14,96 14,96 0,00 0,00

3 18,53 18,53 0,00 0,00

4 26,62 26,55 0,07 0,26

5 46,67 46,69 -0,02 0,04

6 48,77 48,50 0,27 0,55

7 53,14 52,92 0,22 0,41

8 58,92 58,79 0,13 0,22

9 80,78 80,11 0,67 0,83

10 89,59 89,65 -0,06 0,07

Preglednica 4.2: Primerjava med lastnimi frekvencami pridobljenimi z Mathematico in Ansys-om za okroglo ploˇsˇco.

Red Velikost v Hz (Ansys)

Velikost v Hz (Mathematica)

Razlika v Hz

absolutna relativna razlika v %

1 16,41 17,00 -0,59 3,60

2 27,58 26,33 1,25 4,53

3 38,13 38,96 -0,83 2,18

4 62,65 61,10 1,55 2,47

5 67,09 69,89 -2,80 4,17

6 103,25 104,42 -1,17 1,13

7 107,31 108,28 -0,97 0,90

8 118,15 117,76 0,39 0,33

9 146,56 147,19 -0,63 0,43

10 160,60 162,76 -2,16 1,3

Kot lahko vidimo iz obeh tabel, rezultati dobro sovpadajo, ˇse posebej v primeru kvadra- tne ploˇsˇce, kjer znaˇsa absolutna relativna razlika vsepovsod manj kot 1 %. Pri okrogli ploˇsˇci rezultati nekoliko bolj deviirajo, vendar so kljub temu zelo skupaj (relativna razlika do 5 %).

Razlika med rezultati se je z veˇcanjem ˇstevila konˇcnih elementov nekoliko zmanjˇsala, s ˇcimer bi v teoriji lahko ˇse lahko zmanjˇsali deviacijo, ˇse posebej pri okrogli ploˇsˇci, vendar bi se zelo poveˇcali ˇcasi analize, predvsem pri Mathematici. Kljub temu veˇcanje ˇstevila elementov ni zelo vplivalo na izboljˇsanje rezultata, saj smo ˇze pri 4 elementih (kvadratna ploˇsˇca) dobili zelo podobne rezultate. Kot referenco smo vzeli rezultate analize v Ansysu, kjer smo uporabili 2580 konˇcnih elementov.

Rezultati in diskusija Ker rezultati skoraj sovpadajo, lahko potrdimo hipotezo iz uvoda o dobri skladnosti reˇsitev, saj se zelo dobro vidi korelacija med lastnimi frekvencami, kar pa je bil tudi cilj tega dela naloge.

4.2 Primerjava rezultatov eksperimenta in Ansys-a

V 2. delu te naloge smo opravili eksperimentalno modalno analizo prave ˇcinele in naredili numeriˇcno modalno analizo realnega modela v programu Ansys.

4.2.1 Eksperimentalna modalna analiza

Pri eksperimentalnem delu smo pri obravnavi rezultatov opazili, da je najbolj primerno obmoˇcje opazovanja interval med 200 in 500 Hz, saj je pod in nad tem obmoˇcjem veliko ˇsuma. To je posledica predvsem kapice modalnega kladiva, saj glede na trdoto vzbu- dimo razliˇcna frekvenˇcna obmoˇcja. Na sliki 4.2 lahko vidimo graf koherence izhodnega signala - bolj kot je vrednost pri 1, bolj koherentna je bila meritev.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 200 400 600 800 1000

C[/]

f [Hz]

Slika 4.2: Koherenca meritve na obmoˇcju med 0 in 1000 Hz.

Tudi ˇce pogledamo graf amplitude nihanja v odvisnosti od frekvence, vidimo, da vse- buje signal na obmoˇcju pod 200 Hz veliko ˇsuma in ne moremo dobro razbrati lastnih frekvenc. Na sliki 4.3 je amplituda prikazana v logaritemski skali, da se lepˇse vidi ˇsum pri niˇzjih amplitudah odziva.

26

Rezultati in diskusija

100 200 300 400 500

0

f [Hz]

Y [m/N]

10 ! 10 "

10"

1

Slika 4.3: Amplituda izhodnega signala v odvisnosti od frekvence v obmoˇcju med 0 in 500 Hz.

Na grafu 4.3 lahko izloˇcimo obmoˇcje pod 200 Hz in oznaˇcimo lastne frekvence z navpiˇcnimi ˇcrtami (slika 4.4) ter tako na najlaˇzji naˇcin ugotovimo vrednosti lastnih frekvenc naˇse ˇcinele. Iskane frekvence na grafu prepoznamo kot nenadne skoke ampli- tud.

250 300 350 400

200

f [Hz]

Y [m/N]

450 500 10 !

10!

1

Slika 4.4: Na grafu oznaˇcene lastne frekvence med 200 in 500 Hz.

Kot lahko vidimo na sliki 4.4, so nekatere lastne frekvence zelo blizu skupaj. Te so po- sledica simetriˇcnosti ploˇsˇce in predstavljajo enake lastne oblike, vendar so okoli srediˇsˇca zasukane za 90°. Nekatere od teh je na roˇcen naˇcin ugotavljanja frekvenc teˇzko prepo- znati, saj so zelo blizu skupaj ali pa niso tako izrazite.

Vse prepoznane lastne frekvence eksperimentalnega dela so predstavljene v tabeli 4.3.

Rezultati in diskusija Preglednica 4.3: Prepoznane lastne frekvence eksperimentalne modalne analize ˇcinele v obmoˇcju med 200 in 500 Hz.

Red Velikost v Hz

1 215

2 272

3 307

5 330

6 335

7 338

8 379

9 402

10 422

11 467

12 470

13 492

14 496

Na koncu obravnave smo rezulate tudi vizualno prikazali s pomoˇcjo Python-ove knjiˇznice pyFBS. Preden pa smo to lahko naredili, smo morali toˇcke, oznaˇcene na ˇcineli, popisati v Python-u.

Za vsako izmed 40 toˇck smo doloˇcili x, y in z koordinato, glede na pospeˇskomer, te toˇcke pa smo nato smiselno povezali. Uporabili smo 3 in 4 vozliˇsˇcne konˇcne elemente.

Konˇcni vizualiziran model ˇcinele v Python-u je predstavljen na sliki 4.5.

Slika 4.5: Vizualiziran model ˇcinele v Python-u.

Opazimo lahko, da ima vizualiziran model ˇcinele na sredini luknjo. To je zato, ker toˇck za eksperimentalno modalno analizo nismo imeli na zvoncu ˇcinele (sredinski ukrivljen del), saj bi bila analiza v tem primeru, zaradi ukrivljenosti dosti teˇzja.

28

Rezultati in diskusija Lastne oblike smo pridobili z uporabo metode CMIF. Metoda uporablja dekompozicijo singularne vrednosti. V okolici lastnih frekvenc so levi in desni singularni vektorji dobri pribliˇzki lastnih oblik [9].

Primer kako izgleda naˇsa 1. lastna oblika je prikazan na sliki 4.6. Rdeˇca barva pred- stavlja veˇcji odmik od ravnovesne lege.

Slika 4.6: 1. lastna oblika v obmoˇcju od 200 Hz naprej.

Kot lahko opazimo, veˇc kot oˇcitno naˇsa 1. lastna oblika ni tudi realna 1. lastna oblika, saj je deformacija ˇze precej kompleksna. To je zato, ker smo zaˇceli opazovati ˇsele pri 200 Hz, zaradi ˇsuma v izhodnem signalu.

4.2.2 Numeriˇ cna modalna analiza realnega modela

Rezultati numeriˇcne modelne analize realnega modela so dosti enostavnejˇsi za inter- pretacijo, saj nam tukaj ni potrebno biti pozorni na ˇsum signalov. V istem obmoˇcju kot pri eksperimentu je Ansys podal veˇc lastnih frekvenc, vendar moramo biti pozorni - nekatere frekvence Ansys zaradi simetriˇcnosti modela zazna kot razliˇcne, a v resnici predstavljajo enake lastne oblike, le zasukane za 90°. Takˇsne podvojene frekvence, ki so blizu skupaj in imajo enako lastno obliko smo eliminirali in zapisali le prvo izmed njih.

Tabela 4.4 prikazuje vse lastne frekvence numeriˇcne modalne analize. Pozorni mo- ramo biti na oznaˇcevanje reda, saj gledamo le obmoˇcje med 200 in 500 Hz, torej se oznaˇcevanje ne zaˇcne z 1.

Rezultati in diskusija Preglednica 4.4: Prepoznane lastne frekvence numeriˇcne modalne analize realnega mo- dela v obmoˇcju med 200 in 500 Hz.

Red Velikost v Hz

11 236,47

12 295,34

13 307,76

14 335,26

15 348,66

16 388,37

17 392,79

18 407,01

19 438,83

20 476,18

21 478,85

22 487,33

23 487,76

Slika 4.7 prikazuje 1. lastno obliko, ki se nahaja pri frekvenci 22,3 Hz:

Slika 4.7: 1. lastna oblika analize v Ansys-u.

Enako kot pri eksperimentalnem delu, nam slika 4.8 prikazuje 1. lastno obliko v obmoˇcju med 200 in 500 Hz, natanˇcneje pri 236,47 Hz. Skupno v intervalu od 0 Hz naprej je to 11. lastna oblika in je ˇze precej kompleksna.

30

Rezultati in diskusija

Slika 4.8: 11. lastna oblika (1. v naˇsem opazovanem obmoˇcju med 200 in 500 Hz).

4.2.3 Primerjava rezultatov

V tabeli 4.5 so zbrane vse lastne frekvence eksperimenta in numerike v obmoˇcju med 200 in 500 Hz.

Preglednica 4.5: Primerjava med lastnimi frekvencami pridobljenimi z numeriko in eksperimentom v obmoˇcju med 200 in 500 Hz.

Red Velikost v Hz (Ansys)

Velikost v Hz (eksperiment)

Razlika v Hz

absolutna relativna razlika v %

11 236,47 215 21,47 9,08

12 295,34 272 23,34 7,91

13 307,76 / / /

14 335,26 307 28,26 8,43

15 348,66 330 18,66 5,35

? / 335 / /

16 388,37 338 50,37 12,97

17 392,79 379 13,79 3,51

18 407,01 402 5,01 1,23

19 438,83 422 16,83 3,84

20 476,18 467 9,18 1,93

21 478,85 470 8,85 1,85

22 487,33 492 -4,67 0,95

23 487,76 496 -8,24 1,69

Rezultate smo med seboj primerjali tako, da smo primerjali lastne oblike modelov v Ansys-u in v Python-u za eksperiment. Nekatere oblike so dobro sovpadale, nekatere pa malo manj in smo si nekoliko pomagali ˇse z vrednostjo lastnih frekvenc.

Rezultati in diskusija Iz tabele 4.5 lahko vidimo, da smo pri eksperimentu eno lastno frekvenco (307,34 Hz - Ansys) zgreˇsili, kar je lahko posledica razlike med eksperimentalnim in numeriˇcnim modelom, oziroma posledica eksperimentalnih napak. Na podoben naˇcin smo pri eks- perimentalnem delu dobili lastno obliko, ki ne sovpada z nobeno v Ansys-u (335 Hz).

Rezultati 2. dela naloge sovpadajo precej dobro in je opazna korelacija med numeriˇcnim delom (Ansys) in eksperimentom. Absolutna relativna razlika je povsod razen pri 16.

lastni obliki manjˇsa od 10 %, kar potrjuje, da je bil eksperiment uspeˇsno opravljen.

Na sliki 4.9 lahko vidimo 3 najbolj vidne sovpadajoˇce lastne oblike in njihove pripa- dajoˇce frekvence.

f = 295,34 Hz

f = 335,26 Hz

f = 392,79 Hz

f = 307 Hz

f = 379 Hz f = 272 Hz

Slika 4.9: Primerjava lastnih oblik med numeriko (levo) in eksperimentom (desno).

Sklepamo, da je na rezultat eksperimenta najbolj vplivala pena, ki smo jo dali pod ˇcinelo. Predpostavili smo, da bo le-ta zelo malo vplivala na izhodni signal, vendar je bil vpliv oˇciten.

Najveˇcje teˇzave pri prepoznavanju lastnih oblik pri eksperimentu pa je povzroˇcalo ˇstevilo toˇck. Za ustrezen popis kompleksnejˇsih modalnih oblik je potrebno veˇcje ˇstevilo eksperimentalnih vzbujevalnih toˇck. Verjetno bi bilo glede na naˇse ˇstevilo toˇck pri eksperimentu bolj smiselno, da bi uporabili mehkejˇse modalno kladivce ali kapico. S tem bi bolj vzbudili niˇzje frekvenˇcno obmoˇcje in bi veliko laˇzje opazovali lastne oblike, ker so v niˇzjih frekvenˇcnih obmoˇcjih bolj preproste (glej sliko 4.7).

32