IZPIT IZ MATEMATIKE III 15. september 2011
1. Izraˇcunajte enaˇcbo tangentne ravnine na ploskev
~r(u, v) = (usinv, u2, ucosv) v toˇckiT(1,2,1).
Reˇsitev. Najprej poraˇcunamo/opazimo, da ploskev doseˇze toˇcko T pri u = √ 2 inv = π4. Raˇcunajmo:
~
ru(u, v) = (sinv,2u,cosv)
~ru√ 2,π
4
=
√2 2 ,2√
2,
√2 2
∼(1,4,1)
~rv(u, v) = (ucosv,0,−usinv)
~ rv√
2,π 4
= (1,0,−1)
~ n√
2,π 4
=~ru√ 2,π
4
×~rv√ 2,π
4
= (−4,2,−4)∼(2,−1,2) Torej se enaˇcba tangentne ravnine glasi 2x−y+ 2z = 2.
2. Izraˇcunajte krivuljni integral Z
C
(y−z)dx+ (z2−x3)dy+ (x3−y2)dz, kjer je krivulja C daljica od toˇcke A(0,1,−1) do toˇcke B(−1,4,−2).
Z ustreznim kriterijem preverite ˇse, ˇce je ta integral neodvisen od poti.
Reˇsitev. Ena od moˇznih parametrizacij daljice C je recimo x = −t, y = 1 + 3t, z = −1−t, kjer 0 ≤ t ≤ 1. Tako dobimo ˙x = −1,y˙ = 3,z˙ = −1 in integral se prevede do
Z 1 0
1 + 3t−(−1−t)
(−1) + (−1−t)2−(−t)3
3 + (−t)3−(1 + 3t)2 (−1)
dt =
= Z 1
0
4t3+ 12t2+ 8t+ 2dt= (t4+ 4t3+ 4t2 + 2t)
1 0
=
= 11
Iz teorije vemo, da bi bil ta integral neodvisen od poti, ˇce bi bil rotor vektorskega polja V~ = (y−z, z2−x3, x3−y2) enak~0. Velja pa, da je
rotV~ = (−2y−2z,−1−3x2,−3x2 −1)6= (0,0,0) in zato ta integral ni neodvisen od poti.
3. Izraˇcunajte pretok vektorskega polja
V~ = (6x2−ez−3y2,15xy+xcosz2,siny3 −3xz) skozi zakljuˇceno ploskev, ki je rob telesa:
x≥0, y ≥0, z ≥0, x+y+z ≤1.
Reˇsitev. Pomagali si bomo kar z Gaussovo formulo. Tako najprej poraˇcunajmo divV = 12x+ 15x−3x= 24x. Integral se torej prevede do
= Z 1
0
dx Z 1−x
0
dy
Z 1−x−y 0
24x dz = 24 Z 1
0
dx Z 1−x
0
xz
1−x−y 0
dy=
= 24 Z 1
0
dx Z 1−x
0
x−x2−xy
dy= 24 Z 1
0
xy−x2y− xy2 2
1−x
0
dx=
= 24 Z 1
0
x−2x2+x3− x−2x2+x3 2
dx=
= 12x2−16x3+ 6x4−6x2+ 8x3 −3x4
1 0
=
= 1 4. Razvijte funkcijo
f(z) = 9z−2 z2−z−6 v Laurentovo vrsto na kolobarju 2<|z|<3.
Reˇsitev. S pomoˇcjo parcialnih ulomkov z29z−2−z−6 = z−3A + z+2B dobimo po reˇsitvi sistema dveh enaˇcb z dvema neznankama, da je z29z−2−z−6 = z−35 + z+24 . Glede na dan kolobar 2<|z|<3 ulomka predelamo do:
9z−2
z2−z−6 = 5
z−3+ 4
z+ 2 = 5
−3(1−z3)+ 4
z(1−(−2z)) =
=−5 3
∞
X
n=0
z 3
n
+4 z
∞
X
n=0
−2 z
n
=
=−
∞
X
n=0
5zn 3n+1 +
∞
X
n=0
(−1)n2n+2 zn+1
5. Izraˇcunajte kompleksni integral Z
|z+2i|=1
1
z(z+ 1)(z+i)2 dz,
kjer je integracija v pozitivni smeri.
Reˇsitev. Singularnosti znotraj naˇsega obmoˇcja sta le z = 0 in z = −i, tako da upoˇstevamo le ta dva residuuma. Singularnost z = 0 je pol prve stopnje, singular- nost z =−ipa pol druge stopnje.
Resz=0 1
z(z+ 1)(z+i)2 = lim
z→0
1
(z+ 1)(z+i)2 = 1
i2 =−1 Resz=−i
1
z(z+ 1)(z+i)2 = lim
z→−i
1 z(z+ 1)
0
= lim
z→−i
−2z−1
z2(z+ 1)2 = 2i−1
(−i)2(−i+ 1)2 =
= 2i−1
−1(−1−2i+ 1) = 2i−1
2i = 1− 1
2i = 1 + i 2 Integral je tako enak
= 2πi
Resz=0 1
z(z+ 1)(z+i)2 + Resz=−i
1
z(z+ 1)(z+i)2
=
= 2πi
−1 + 1 + i 2
=−π
Vpraˇsanja in pripombe: kristijan.cafuta@fe.uni-lj.si
