UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

DIPLOMSKO DELO

MARUŠKA ROVTAR

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika

Matematična preiskovanja zanimivih naravnih števil

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

dr. Zlatan Magajna Maruška Rovtar

Ljubljana, januar 2015

Zahvala

Mentorju dr. Zlatanu Magajni se zahvaljujem za mentorstvo, usmerjanje in strokovne nasvete pri pisanju diplomskega dela.

Zahvaljujem se tudi vsem domačim za spodbudne besede, potrpežljivost in vso nudeno podporo

.

POVZETEK

V diplomskem delu so predstavljene najpomembnejše lastnosti trikotniških, Fibonaccijevih, palindromnih in Pascalovih števil. Predstavljena so tudi matematična preiskovanja ter nekaj idej za matematična preiskovanja.

V prvem delu diplomskega dela so predstavljene izbrane vsebine iz teorije števil, ki so primerne za matematična preiskovanja v osnovni šoli. Matematične preiskave so namenjene predvsem učenju procesnih znanj. Matematično preiskovanje je del osnovnošolskega kurikuluma. V devetletki se le redki učenci seznanijo s trikotniškimi, Fibonaccijevimi, palindromnimi in Pascalovimi števili. Ta števila skrivajo čudovite lastnosti, ki jih lahko osnovnošolci ugotovijo s preprostimi preiskovanji brez uporabe zahtevnejših matematičnih orodij. Učenci ob preiskovanju pojasnjujejo svoja razumevanja, interpretirajo problemsko situacijo in predlagajo rešitve. Spoznajo praktično uporabnost in smiselnost učenja matematike in matematiko povežejo s svojimi izkušnjami in z ostalimi šolskimi predmeti.

Drugi del diplomskega dela sestavljajo gradiva, ki jih učitelj lahko uporabi pri matematičnih preiskovanjih s področja teorije števil v osnovni šoli.

KLJUČNE BESEDE: matematično preiskovanje, trikotniška števila, Fibonnaccijeva števila, palindromna števila, Pascalov trikotnik.

ABSTRACT

In the thesis the most important properties of triangular, Fibonacci, palindrome and Pascal numbers are presented. These properties are used as a source for mathematical investigation.

The first part of the thesis considers selected topics from number theory which are suitable for mathematical investigation in lower secondary school. Mathematical investigation is primarily intended for the learning of cognitive processes related to problem solving, and is part of the school curriculum. On the other hand triangular, Fibonacci, palindrome and Pascal numbers are not part of the mathematics curriculum in lower secondary schools. Yet, these numbers possess interesting properties that can be discovered by students using simple investigation without making use of advanced mathematical tools. In the course of investigations, students explain their understanding, interpret the problem and propose solutions. They become aware of the practical usefulness and value of learning math and relate the learnt mathematics with other school subjects and everyday experience.

The second part of the thesis consists of materials that teachers can use in the course of mathematical investigations in the lower secondary school in the field of number theory.

KEYWORDS: Fibonacci numbers, mathematical investigation, triangular numbers, palindrome numbers, Pascal triangle.

KAZALO VSEBINE

1. Uvod ... 1

2. Zanimiva zaporedja naravnih števil ... 3

2.1. Večkotniška števila ... 3

2.1.1. Trikotniška števila ... 4

2.1.2. Kvadratna števila ... 6

2.1.3. Zanimive lastnosti trikotniških števil... 7

2.2. Fibonaccijeva števila ... 16

2.2.1. Zanimive lastnosti Fibonaccijevih števil ... 17

2.2.2. Zlato število in Fibonaccijeva števila ... 24

2.2.3. Binetova enačba... 27

2.3. Palindromna števila ... 32

2.3.1. Pogostnost palindromnih števil ... 33

2.3.2. Generiranje palindromnih števil ... 36

2.4. Pascalov trikotnik ... 40

2.4.1. Kratka zgodovina Pascalovega trikotnika ... 41

2.4.2. Pascalov trikotnik in binomski simbol ... 42

2.4.3. Binomski izrek in Pascalov trikotnik ... 45

2.4.4. Vsota števil v vrstici Pascalovega trikotnika ... 48

2.4.5. Pascalov trikotnik in potence števila 11 ... 49

2.4.6. Diagonale v Pascalovem trikotniku ... 51

2.4.7. Pascalov trikotnik in Fibonaccijeva števila ... 53

2.4.8. Pascalovi cvetovi ... 55

2.4.9. Pascalove nogavice ... 56

3. Naravna števila in matematična preiskovanja ... 58

3.1. Matematični problemi ... 58

3.2. Matematična preiskovanja ... 62

3.3. Primeri matematičnih preiskovanj ... 66

3.3.1. Preiskovanja trikotniških števil ... 66

3.3.2. Preiskovanja Fibonaccijevih števil ... 71

3.3.3. Preiskovanja palindromnih števil ... 77

3.3.4. Preiskovanja Pascalovega trikotnika ... 86

4. Literatura in elektronski viri ... 92

KAZALO SLIK

Slika 1: Geometrijski prikaz večkotniških števil………..………..………. 3

Slika 2: Večkotniška števila, kot so jih videli Pitagorejci .………..…….…………. 3

Slika 3: Razmnoževanje zajcev …….……….……..………..…….………... 17

Slika 4: Palindromni napis na rimskem stolpu ……….………..…. 32

Slika 5: Verige trimestnih in štirimestnih Lychrelovih števil ..………... 39

Slika 6: Aritmetični trikotnik, kot ga je prikazal Zhu Shijie …..………... 41

Slika 7: Aritmetični trikotnik, kot ga je prikazal Blaise Pascal …………....……….…. 42

Slika 8: Trikotnik Sierpinskega (mod 2) ………….………..…………..…….………..…. 87

Slika 9: Trikotnik Sierpinskega (mod 3) ………….………..……….…. 88

Slika 10: Trikotnik Sierpinskega (mod 4) ………..………..………...…………..……. 88

Slika 11: Trikotnik Sierpinskega (mod 5) ………..………..……….………. 88

KAZALO TABEL

Tabela 2: Število parov zajcev v posameznem mesecu ….……….……...…….…….….…………. 17

Tabela 3: Povezava med Fibonnaccijevimi števili ….……….……...………….……….………. 19

Tabela 4: Količniki zaporednih Fibonnaccijevih števil ……….……..…….………….………. 30

Tabela 5: Največje število iteracij za n – mestna števila ……….……….………. 37

Tabela 6: Vsota števil v vrstici Pascalovega trikotnika (do n=7) ……..………..………. 48

Tabela 7: Svet domin ………..………..…….……….………. 69

1 1. UVOD

Reševanje matematičnih problemov je prepleteno z vsakdanjim življenjem in z družbenimi procesi. Zato ni pomembno le, da si učenci zapomnijo čim več učnih vsebin, temveč to, da znajo kritično obravnavati posredovane informacije in podatke. V današnji informacijsko-komunikacijski družbi tudi ni pomembno le rutinsko obvladovanje računskih postopkov. Vse bolj pomembnejši so razumevanje, uporaba matematičnega znanja, njegova uporaba v vsakdanjem življenju ter zmožnost reševanja problemov.

Zato so želje in zahteve po učenju problemskih znanj (uporabi obstoječih znanj v novih situacijah) pri pouku matematike toliko bolj prisotne. Cilji poučevanja matematike, ki so bili v preteklosti usmerjeni predvsem k usvajanju konkretnih vsebin, se danes vse bolj dopolnjujejo s procesnimi znanji, ki so naravnana k iskanju poti in strategijam reševanja problemov. Reševanje matematičnih problemov postaja sredstvo za boljše razumevanje matematičnih znanj kot tudi za njihovo kvalitetnejšo gradnjo.

Matematične preiskave so primer učenja procesnih znanj in osmišljanja matematičnih vsebin. Učenci ob preiskovanju pojasnjujejo svoja razumevanja, interpretirajo problemsko situacijo in predlagajo rešitve. Interakcija med učenci in učiteljem ter med učenci samimi je zelo intenzivna. Učenci novo znanje močneje povežejo s predhodnim znanjem in s svojimi izkušnjami.

Palindromna, trikotniška, Fibonaccijeva in Pascalova števila so primeri zanimivih zaporedij števil s prav tako zanimivim zgodovinskim ozadjem. To so zaporedja, ki skrivajo čudovite lastnosti. V devetletki se le redki učenci seznanijo z njimi. V diplomskem delu so predstavljene najpomembnejše lastnosti teh zaporedij in zanimiva matematična preiskovanja, namenjena učencem drugega in tretjega triletja.

Albert Einstein je nekoč dejal: "Življenje lahko živite na dva načina. Prvi način je, da ste prepričani, da čudežno ne obstaja, drugi pa, da ste prepričani, da je vse čudežno."

2

Števila nam ne odvzamejo sposobnosti, da bi občudovali svet, ampak to sposobnost le poglobijo in povečajo. Morda bomo nekoč odkrili, da so vse niti v preprogi vesolja med seboj povezane.

3

2. ZANIMIVA ZAPOREDJA NARAVNIH ŠTEVIL 2.1. VEČKOTNIŠKA ŠTEVILA

Večkotniško (poligonalno) število je število, ki ga lahko predstavimo z vzorcem točk v obliki pravilnega večkotnika (pravilnega -kotnika). To je naravno število, ki nam pove, koliko je narisanih točk v vzorcu v obliki pravilnega -kotnika (slika 1). Poznamo trikotniška, štirikotniška (kvadratna), petkotniška, šestkotniška, -kotniška števila.

Večkotniška števila povezujejo geometrijo in aritmetiko. Poznana so bila že v stari Grčiji (liki sami so veliko starejši, saj se nekateri pojavljajo že na neolitskih lončarskih izdelkih). O njih govori že Pitagora, ki je zbral okoli sebe svojo šolo matematikov, nekakšno skrivno bratovščino. Pitagorejci so se lotili proučevanja nespremenljivih elementov v naravi in družbi. Pri iskanju večnih zakonov sveta so proučevali geometrijo, aritmetiko, astronomijo in glasbo. Pitagorejci so razvili filozofski nauk, ki je temeljil na številih. Števila so povezovali z geometrijskimi liki, dobljenimi z razporejanjem določenega števila točk (slika 2). Novopitagorejec Nihomah omenja ta števila v svojem delu Uvod v aritmetiko, vendar večino svojih opažanj ne dokazuje (Guedj, 1998).

Slika 1: Geometrijski prikaz večkotniških števil

(vir: http://mathworld.wolfram.com/PolygonalNumber)

Slika 2: Večkotniška števila, kot so jih videli Pitagorejci (vir: Guedj, 1998, str. 83)

4

Pitagorejci so poznali mnogo značilnosti naravnih števil. Obravnavali so pojme, kot so:

liha in soda števila, soda krat soda, liha krat liha, praštevila in sestavljena števila, perfektna, prijateljska števila. Števila so bila zanje naravna števila in razmerja med njimi.

Proučevali so njihove lastnosti in jih postavili v središče kozmične filozofije, ki je skušala vsa razmerja povezati s številskimi razmerji. Verjeli so, da so števila ključ do vesolja, števila so bila zanje gradbeni elementi vesolja. Pitagorejski sen o popolnem matematičnem redu v vesolju je prekinilo spoznanje, da obstajajo nesoizmerljive količine, tj. razmerja, ki jih ne moremo izraziti kot razmerja dveh naravnih števil. Primer nesoizmerljivih dolžin sta stranica kvadrata in njegova diagonala.

2.1.1. TRIKOTNIŠKA ŠTEVILA

Naj bo vsota prvih naravnih števil:

_! " 1

_$ " 1 % 2 " 3 ₍ " 1 % 2 % 3 " 6 _* " 1 % 2 % 3 % 4 " 10 _- " 1 % 2 % 3 % 4 % 5 " 15 …

Pitagora (580/500 pr.n.št.) je števila poimenoval trikotniška števila. Števila 1, 3, 6, 10, 15 … nam povedo, koliko je narisanih točk v vzorcu enakostraničnih trikotnikov s stranico 1, 2, 3, 4 …

1 0 " 1 % 2 1 " 1 % 2 % 3 23 " 1 % 2 % 3 % 4 …

Podobne slike lahko napravimo za nadaljnja trikotniška števila (vsak trikotnik je vsebovan v svojem nasledniku).

Trikotniško število ₄ je vsota prvih naravnih števil.

4 " 1 % 2 % 3 % ⋯ % " 6 7

4 89!

5

Trikotniško število _4:! dobimo iz trikotniškega števila ₄ tako, da trikotniško število ₄ povečamo za % 1. Tako pridemo do rekurzivne opredelitve trikotniških števil.

_! " 1 in _4:! " ₄% ( % 1) , " 1, 2, 3 …

Na ta način lahko dobimo trikotniška števila ₄ s poljubno velikim indeksom , vendar je ta način precej zamuden. Iz tega razloga določimo še splošen člen trikotniških števil.

Trditev 2.1. Za trikotniška števila ₄ velja:

₄ " 1 % 2 % 3 % ⋯ % "( % 1)

2 , " 1, 2, 3 …

Dokaz. Zapišimo ₄ na dva načina: ₄ " 1 % 2 % 3 % ⋯ %

₄ " % ( / 1) % ( / 2) % ⋯ % 3 % 2 % 1.

Obe enačbi seštejemo in dobimo:

2 ₄ " ( % 1) % ( % 1) % ( % 1) % ⋯ % ( % 1)>?????????????@?????????????A

4B8CDE

" ( % 1).

Delimo z 2 in sledi:

₄ "( % 1) 2 . ∎

Iz trditve 2.1. sledi, da je naravno število G trikotniško natančno takrat, ko je 2G produkt dveh zaporednih naravnih števil: 2G " 2 ₄ "( % 1). Zapišimo nekaj primerov.

a) Naravno število 6 je trikotniško, saj je 2 ∙ 6 " 12 " 3 ∙ 4.

b) Naravno število 78 je trikotniško, saj je 2 ∙ 78 " 156 " 12 ∙ 13. c) 2 ∙ 210 " 420 " 20 ∙ 21 in zato je naravno število 210 trikotniško.

Razlika _4:!/ ₄ " % 1 nam pove, da med trikotniškima številoma _4:! in ₄ leži ravno naravnih števil. Pri vedno večjih naravnih številih so trikotniška števila vse redkejša.

Tabela 1 prikazuje število trikotniških števil do danega . Do milijona je 1413 trikotniških števil, od enega milijona do dveh milijonov jih je 585, od dveh do treh milijonov je 449 trikotniških števil … Zato npr. obstaja tak , da med in % 1 000 000

6

ni trikotniških števil (seveda velja podobno za vsako naravno število K; ko postane dovolj velik, med in % K lahko ni trikotniških števil).

Tabela 1: Število trikotniških števil do

2.1.2. KVADRATNA ŠTEVILA

S kvadriranjem naravnih števil dobimo kvadratna števila L. M_! " 1^$ " 1

M_$ " 2^$ " 4 M₍ " 3^$ " 9 M_* " 4^$ " 16 M_- " 5^$ " 25

…

Kvadratna števila 1, 4, 9, 16, 25 … nam povedo, koliko je točk v kvadratu s stranicami 1, 2, 3, 4, 5 …

1 O " 1 % 3 P " 1 % 3 % 5 21 " 1 % 3 % 5 % 7 Število trikotniških

števil do Število trikotniških

števil do

10 3 800 39

100 13 900 41

200 19 1 000 44

300 24 10 000 140

400 27 100 000 446

500 31 1 000 000 1413

600 34 2 000 000 1999

700 36 3 000 000 2448

7

Podobne slike lahko napravimo za nadaljnja kvadratna števila (vsak kvadrat je vsebovan v svojem nasledniku).

Tudi kvadratno število M₄ lahko zapišemo kot vsoto.

M₄ " 1 % 3 % 5 % ⋯ % (2 / 1).

Kvadratno število M₄ dobimo tako, da kvadratnemu številu M_4B! prištejemo –to liho število. Tako pridemo do rekurzivne opredelitve kvadratnih števil.

M_!" 1 in M₄ " M_4B!% (2 / 1) , " 2, 3, 4 …

Trditev 2.2. M₄ " 1 % 3 % 5 % ⋯ % (2 / 1) " ^$ , " 1, 2, 3 …

Dokaz. Dokažemo podobno kot pri trikotniških številih.

M₄ " 1 % 3 % 5 % ⋯ % (2 / 1)

M₄ " (2 / 1) % (2 / 3) % ⋯ % 5 % 3 % 1 Enačbi seštejemo in dobimo:

2M₄ " 2 % 2 % ⋯ % 2 % 2 % 2>????????@????????A

4B8CDE " ∙ 2 " 2^$. Delimo z 2 in sledi M₄ " ^$. ∎

2.1.3. ZANIMIVE LASTNOSTI TRIKOTNIŠKIH ŠTEVIL

A. Seštejmo dve zaporedni trikotniški števili.

_!% _$ " 1 % 3 " 4 " 2^$ _$% ₍ " 3 % 6 " 9 " 3^$ ₍% _* " 6 % 10 " 16 " 4^$ _*% _- " 10 % 15 " 25 " 5^$ …

Dobljene vsote so kvadrati naravnih števil. To lastnost trikotniških števil so ugotovili že stari Grki. Prvič je omenjena okrog leta 100 v spisih novopitagorejca Nikomaha (Grasselli, 1986/1987).

8

Trditev 2.3. Nikomahova identiteta

Vsota dveh zaporednih trikotniških števil je kvadrat naravnega števila.

₄ % _4:! " ( % 1)^$ , " 1, 2, 3 …

Dokaz.

₄% _4:! " ( % 1)

2 % ( % 1)( % 2)

2 "

" (^$% ) % (^$% 3 % 2)

2 "

"2^$% 4 % 2

2 "

" ^$% 2 % 1 " ( % 1)^$ ∎

Nikomahovo enakost za " 3 ( ₍% _* " 4^$) prikažimo tudi grafično.

• • • •

• • • •

• • • •

• • • •

B. Izračunajmo vsoto osemkratnika trikotniškega števila in števila 1.

8 _!% 1 " 8 ∙ 1 % 1 " 9 " 3^$ 8 _$ % 1 " 8 ∙ 3 % 1 " 25 " 5^$ 8 ₍ % 1 " 8 ∙ 6 % 1 " 49 " 7^$ 8 _*% 1 " 8 ∙ 10 % 1 " 81 " 9^$ …

Dobljene vsote so kvadrati lihih naravnih števil. To lastnost trikotniških števil omenja Nihomahov sodobnik Plutarh, ki je bil pisec življenjepisov slavnih grških in rimskih mož (Grasselli, 1986/1987).

Trditev 2.4. Plutarhova identiteta

Za ena povečan osemkratnik trikotniškega števila je kvadrat lihega naravnega števila.

8 ₄% 1 " (2 % 1)^$ , " 1, 2, 3 …

9

Dokaz.

8 ₄ % 1 " 8 ∙^4(4:!)_$ % 1 " 4(^$% ) % 1 " 4^$% 4 % 1 " (2 % 1)^$ ∎

Plutarhovo enakost za " 2 ( 8 _$% 1 " 5^$) prikažimo tudi grafično.

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

S pomočjo Plutarhove identitete lahko s preprostim računom ugotovimo, ali je neko naravno število Q trikotniško. Če je Q trikotniško število, potem seveda velja

8Q % 1 " (2 % 1)^$ oziroma:

" √8Q % 1 / 1

2 .

Če je tako izračunani naravno število, potem je Q trikotniško število. Če tako izračunani ni naravno število, potem Q ni trikotniško število.

Zgled. Ali je število 14 196 trikotniško? Ugotovimo z računom.

" √8Q % 1 / 1

2 " √8 ∙ 14196 % 1 / 1

2 " √113569 / 1

2 " 168

Število 14 196 je trikotniško in velja _!ST " 14 196.

C. Seštejmo kube prvih nekaj zaporednih naravnih števil.

1⁽ " 1 " _!^$ 1⁽% 2⁽ " 9 " _$^$ 1⁽% 2⁽% 3⁽ " 36 " ₍^$ 1⁽% 2⁽% 3⁽% 4⁽ " 100 " _*^$ … Dobljene vsote so kvadrati trikotniških števil.

10

Trditev 2.5. Kvadrat –tega trikotniškega števila je enak vsoti kubov prvih naravnih števil .

₄^$ " 1⁽% 2⁽% 3⁽ % ⋯ % ( / 1)⁽% ⁽ , " 1, 2, 3 …

Dokaz. Dokazali bomo s popolno indukcijo.

Za " 1 dobimo 1⁽ " 1 " _!^$.

Naj enačba ₄^$ " 1⁽% 2⁽% 3⁽ % ⋯ % ( / 1)⁽% ⁽ velja za . Dokažimo, da velja tudi za % 1. Torej bi moralo veljati _4:!^$ " 1⁽% 2⁽% 3⁽ % ⋯ % ⁽ % ( % 1)⁽.

Upoštevajmo, da je _4:!^$ " ( ₄% ( % 1))^$ " ₄^$% 2( % 1) ₄% ( % 1)^$. Potem je

4:!$/ ₄^$ " 2( % 1) ₄% ( % 1)^$ " 2( % 1)( % 1)

2 % ( % 1)^$ "

" ( % 1)^$% ( % 1)^$ " ( % 1)( % 1)^$ " ( % 1)⁽. Dobimo: _4:!^$ " ₄^$% ( % 1)⁽ " 1⁽% 2⁽% 3⁽% ⋯ % ⁽ % ( % 1)⁽. ∎

Č. Zapišimo nekaj primerov, ko je vsota dveh trikotniških števil tudi trikotniško število.

_-% _S " _T , saj je 15 % 21 " 36 _!*% _!T" _$( , saj je 105 % 171 " 276 _$U% _(U " _*S , saj je 378 % 703 " 1081

Trditev 2.6. Identiteta Sierpinskega

Obstaja neskončno parov trikotniških števil, ki imajo trikotniško vsoto.

D% _V " _W

Dokaz. Za trikotniška števila velja ₄% ( % 1) " _4:!. Naj bo % 1 " ₈, torej " ₈/ 1 . Zato je _XYB!% ₈ " _XY.

Trikotniško število _XYna desni je vsota dveh trikotniških števil _XYB! in ₈ na levi. Ker je 7 poljubno naravno število, 7 ≥ 2, je parov res neskončno. ∎

Trditev 2.7. Za trikotniški števili ₄ in _[ velja _4:[ " ₄ % _[% \.

Dokaz. Naj bo:

11

4 " ( % 1)

2 , _[ "\(\ % 1)

2 .

Potem je:

4% _[% \ "( % 1)

2 %\(\ % 1)

2 % \ "^$% % \^$% \ % 2\

2 "

"( % \)^$% ( % \)

2 "( % \)]( % \) % 1^

2 " _4:[. ∎

Za trikotniški števili ₍ in _* ne velja ₍% _* " _(:* " _U. Velja namreč: 6 % 10 " 16 in 16 ≠ 28 (" _U). Če pa vsoti ₍% _* prištejemo produkt 3 ∙ 4 dobimo _U. Podobno je

!`" _$% _T% 2 ∙ 8.

D. Nekatera trikotniška števila so hkrati tudi kvadrati. Zapišimo nekaj primerov.

_! " 1 " 1^$ , _T " 36 " 8^$ , _*a " 1225 " 35^$…

Nemški matematik Leonhard Euler (1707–1783) je pokazal, da je takih trikotniških števil neskončno mnogo.

Trditev 2.8. Med trikotniškimi števili je neskončno mnogo kvadratov.

Dokaz. Trikotniško število _b je kvadrat naravnega števila c. Poiskati moramo rešitve enačbe

_b" Q(Q % 1)

2 " c^$ (1) v naravnih številih.

Obstajajo rekurzijski obrazci, ki zajamejo vse take rešitve za Q in c. S popolno indukcijo dokažimo, da to velja za naslednji rekurzijski obrazec.

Q_! " 1 , Q_4:! " 3Q₄% 4c₄% 1 c_! " 1 , c_4:! " 2Q₄ % 3c₄ % 1 Preveriti moramo enačbo (1).

a) Za Q_! in c_! moramo dokazati, da je _bd " c_!^$. Res velja:

!"1(1 % 1)

2 " 1 " 1^$ .

12

b) Preverimo za " 1 (torej za Q_$ in c_$).

Q_! " 1 , c_! " 1 , Q_!:! " Q_$ " 3Q_!% 4c_!% 1 " 3 ∙ 1 % 4 ∙ 1 % 1 " 8 c_!:!" c_$ " 2Q_!% 3c_!% 1 " 2 ∙ 1 % 3 ∙ 1 % 1 " 6 Dokazati moramo, da je _be " c_$^$ . In res je:

T " 8(8 % 1)

2 " 36 " 6^$ .

c) Če rekurzijski obrazec velja za , dokažimo, da velja tudi za % 1. Q_4:! " 3Q₄% 4c₄% 1 in c_4:! " 2Q₄% 3c₄% 1.

Dokazati moramo, da je _bfgd " c_4:!^$ .

_bfgd "Q_4:!(Q_4:!% 1)

2 " (3Q₄% 4c₄% 1)(3Q₄% 4c₄% 2)

2 "

"9Q₄^$% 16c₄^$% 24Q₄c₄% 9Q₄% 12c₄ % 2

2 "

"9Q₄^$% 9Q₄

2 % 16c₄^$

2 %24Q₄c₄% 12c₄

2 % 2

2 "

"9Q₄(Q₄% 1)

2 % 8c₄^$% 6c₄(2Q₄ % 1) % 1

Upoštevamo enakost

Q₄(Q₄% 1)

2 " _bf " c₄^$ in zato je

9 _bf " 9c₄^$ " c₄^$% 8c₄^$ " c₄^$% 8 _bf " c₄^$% 4Q₄(Q4% 1).

Lahko nadaljujemo s poenostavljanjem izraza _bfgd.

bfgd" 9Q₄(Q₄% 1)

2 % 8c₄^$ % 6c₄(2Q₄% 1) % 1 "

" c₄^$% 4Q₄(Q₄ % 1) % 8c₄^$% 6c₄(2Q₄% 1) % 1 "

" 4Q₄^$% 9c₄^$% 4Q₄ % 6c₄% 12Q₄c₄ % 1 "

" (2Q₄ % 3c₄% 1)^$ " c_4:!^$ ∎

Trikotniško število _! " 1 je tudi kub in bikvadrat naravnega števila 1. Francoski matematik Pierre de Fermat (1601–1665) je ugotovil, da nobeno trikotniško število, ki je

13

večje od 1, ni niti kub niti bikvadrat naravnega števila. Ni znano, ali je Fermat svojo trditev tudi dokazal. Prvič jo je dokazal Euler (Grasselli, 2008).

Enačbi

b "Q(Q % 1)

2 " c⁽ in _b"Q(Q % 1)

2 " c^* ,

zato v naravnih številih nimata druge rešitve kot Q " c " 1 (Grasselli, 2008). Trditve ne bomo dokazali.

E. Trikotniška števila so redka, vendar se z njimi naravna števila preprosto izražajo.

Vsako naravno število lahko zapišemo kot vsoto največ treh trikotniških števil. To lastnost naravnih števil je prvi ugotovil Fermat leta 1636, ne poznamo pa njegovega dokaza.

Zapišimo naravna števila do 20 kot vsote največ treh trikotniških števil.

1 " _! 11 " 10 % 1 2 " 1 % 1 12 " 10 % 1 % 1 " 6 % 6 " 6 % 3 % 3 3 " _$ " 1 % 1 % 1 13 " 10 % 3 " 6 % 6 % 1

4 " 3 % 1 14 " 10 % 3 % 1 5 " 3 % 1 % 1 15 " _- " 6 % 6 % 3 6 " ₍ " 3 % 3 16 " 15 % 1

7 " 3 % 3 % 1 " 6 % 1 17 " 15 % 1 % 1 8 " 6 % 1 % 1 18 " 15 % 3 " 6 % 6 % 6

9 " 6 % 3 " 3 % 3 % 3 19 " 15 % 3 % 1 " 10 % 6 % 3 10 " _* " 6 % 3 % 1 20 " 10 % 10

Fermat je zapisal trditev, da lahko vsako naravno število zapišemo kot vsoto največ treh trikotniških števil, največ štirih kvadratnih števil, največ petih petkotniških števil … največ –kotniških števil.

Prvi je trditev za trikotniška števila (leta 1796) dokazal nemški matematik Carl Friedrich Gauss (1777 / 1855). Francoski matematik Joseph Luis Lagrange (1736 / 1813) je leta 1770 dokazal trditev za kvadratna števila, francoski matematik

14

Augustin Cauchy (1789‒1857) pa je leta 1813 dokazal trditev v celoti (Grasselli, 2008).

Dokazali bomo trditev za trikotniška števila.

Trditev 2.9. Vsako naravno število je vsota največ treh trikotniških števil.

Dokaz. Pri dokazu bomo izhajali iz dejstva (ki ga ne bomo dokazali), da je število 8 % 3 za vsako naravno število vsota treh kvadratov (kar je ugotovil že Gauss). Torej lahko zapišemo 8 % 3 " Q_!^$% Q_$^$% Q₍^$, kjer so Q_!, Q_$ in Q₍ cela števila. Celo število Q lahko zapišemo kot 87 , 87 ± 1, 87 ± 2, 87 ± 3, 87 ± 4 pri celem številu 7. Kvadrat Q^$ oziroma izrazi (87)^$ , (87 ± 1)^$, (87 ± 2)^$, (87 ± 3)^$, (87 ± 4)^$ imajo pri deljenju z 8 ostanek 0, 1 ali 4. Število 8 % 3 ima pri deljenju z 8 ostanek 3. Zaradi tega mora pri deljenju z 8 tudi izraz Q_!^$% Q_$^$ % Q₍^$ imeti ostanek 3. To pa je mogoče le, če imajo kvadrati Q_!^$, Q_$^$ in Q₍^$ pri deljenju z 8 ostanek 1 (ne pa 0 ali 4). Zato so Q_!, Q_$ in Q₍ liha naravna števila.

Zapišemo Q_! " 2G % 1, Q_$ " 2i % 1 in Q₍ " 2j % 1, kjer so G, i in j naravna števila ali pa so enaka 0. Enakost 8 % 3 " Q_!^$ % Q_$^$% Q₍^$ zapišimo v odvisnosti od G, i in j.

8 % 3 " (2G % 1)^$% (2i % 1)^$% (2j % 1)^$ "

" 4G(G % 1) % 1 % 4i(i % 1) % 1 % 4j(j % 1) % 1

Na obeh straneh enačbe odštejemo 3, dobimo 8 " 4G(G % 1) % 4i(i % 1) % 4j(j % 1). Delimo z 8 in sledi:

"G(G % 1)

2 %i(i % 1)

2 %j(j % 1) 2

( je vsota treh trikotniških števil).

G, i in j ne morejo biti vsi enaki 0, saj je ≠ 0. Če so G, i in j vsi različni od 0, je število enako vsoti treh trikotniških števil, drugače pa je enako vsoti dveh trikotniških števil ali pa je samo trikotniško število. ∎

Zapišimo dva primera za enakost, ki smo jo uporabili v zgornjem dokazu.

Upoštevamo 8 % 3 " Q_!^$% Q_$^$% Q₍^$ " (2G % 1)^$% (2i % 1)^$ % (2j % 1)^$ za cela števila Q_!, Q_$ in Q₍ in nenegativna števila G, i in j.

a) Naj bo " 100. Potem je 8 % 3 " 803.

803 " 27^$% 7^$% 5^$ " (2 ∙ 13 % 1)^$% (2 ∙ 3 % 1)^$ % (2 ∙ 2 % 1)^$ Iz te enakosti sledi G " 13, i " 3 in j " 2. Zato je:

15

100 " 13 ∙ 14

2 %3 ∙ 4

2 %2 ∙ 3

2 , saj je "G(G % 1)

2 %i(i % 1)

2 %j(j % 1) 2 .

Število 100 zapišemo kot vsoto treh trikotniških števil 100 " _!(% ₍% _$ .

b) Naj bo " 1000. Potem je 8 % 3 " 8003.

8003 " 89^$% 9^$% 1^$ " (2 ∙ 44 % 1)^$% (2 ∙ 4 % 1)^$% (2 ∙ 0 % 1)^$ Iz te enakosti sledi G " 44, i " 4 in j " 0. Zato je:

1000 "44 ∙ 45

2 %4 ∙ 5 2 in 1000 " _**% _* .

Trditev 2.10. Vsota obratnih vrednosti trikotniških števil je 2.

6 1

4 k 49!

" 2

Dokaz. Obratna vrednost splošnega člena je:

( % 1)1 2

" 2

( % 1) "2]( % 1) / ^ ( % 1) " 2

/ 2

% 1 .

Zapišimo še delno vsoto l₄ dane vrste in jo poenostavimo.

l₄ " 2 1 /2

2 %2 2 /2

3 %2 3 /2

4 % ⋯ % 2

/ 1 /2 %2

/ 2

% 1 l₄ " 2

1 / 2

% 1 " 2 / 2 % 1

Zato je:

6 1

4 k 49!

" 6 2 ( % 1)

k 49!

" lim_4→k(l4) " lim_4→ko2 / 2

% 1p " 2 . ∎

F. Zapišimo (brez dokazov) še nekaj zanimivih lastnosti in identitet s trikotniškimi števili.

16

a) Zaporedni pari trikotniških števil tvorijo zanimivo zaporedje: dve lihi (1 in 3), dve sodi (6 in 10), dve lihi (15 in 21), dve sodi (28 in 36), dve lihi (45 in 55) … trikotniški števili.

b) Trikotniško število se nikoli ne konča z 2, 4, 7 ali 9.

c) 3 je edino trikotniško število, ki je praštevilo.

d) 1, 3, 21 in 55 so edina trikotniška števila, ki so tudi Fibonaccijeva.

e) 55, 66 in 666 so edina trikotniška števila z vsemi enakimi števkami v zapisu.

2.2. FIBONACCIJEVA ŠTEVILA

Neskončno zaporedje števil, ki ima prva člena q_! " 1 in q_$ " 1, nadaljnje člene pa določa rekurzijski obrazec q₄ " q_4B$% q_4B!, ≥ 3, se imenuje Fibonaccijevo zaporedje. Členi zaporedja q_! " 1, q_$ " 1, q₍ " 2, q_* " 3, q_- " 5, q_S " 8, q_U " 13, q_T " 21, q_a " 34, q_!`" 55 … so Fibonaccijeva števila.

Ime so dobila po italijanskem matematiku Leonardu (okoli 1170 / 1250) iz Pise z vzdevkom Fibonacci (filius Bonacci – Bonaccijev sin). Leta 1202 je napisal obsežno in vplivno delo Liber abaci (Knjiga o računanju). Knjigi o indijsko–arabski umetnosti računanja je dodal več uporabnih nalog, tudi znamenito nalogo o razmnoževanju zajcev (Bentley, 2010).

V ograjen prostor damo en par zajcev. Par zajcev, ki je star vsaj dva meseca, vsak mesec skoti nov par zajcev. Koliko parov zajcev bo živelo po enem letu, če v tem času nobeden ne pogine?

S q₄ označimo število zajčjih parov v –tem mesecu. V prvem mesecu imamo en par zajcev, q_! " 1 (slika 3). V drugem mesecu imamo še vedno samo ta par, saj zajca še nista dopolnila dveh mesecev, q_$ " 1. V tretjem mesecu imamo dva para: začetni par in par, ki sta ga skotila, q₍ " 2. V četrtem mesecu bo prvi par imel spet en par mladičev, drugi par pa še ni ploden, q_* " 3 ...

17

mesec število parov

1 1

2 1

3 2

4 3

5 5

V 12. mesecu imamo vse pare zajcev, ki smo jih imeli v 11. mesecu. Novih parov je ravno toliko, kolikor jih je bilo v 10. in 11. mesecu skupaj. Ta razmislek velja za poljuben mesec in ne le za 12. Ugotovili smo, da je q_! " 1, q_$ " 1 in q_!`% q_!! " q_!$, oziroma za vsak ≥ 3 velja q_4B!% q_4B$ " q₄. Torej je število parov zajcev v omenjenem ograjenem prostoru v -tem mesecu enako Fibonaccijevemu številu q₄. Tabela 2 predstavlja število parov zajcev v posameznem mesecu.

Mesec 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Število parov 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Tabela 2: Število parov zajcev v posameznem mesecu

2.2.1. ZANIMIVE LASTNOSTI FIBONACCIJEVIH ŠTEVIL

A. Seštejmo nekaj prvih Fibonaccijevih števil.

q_!% q_$ " 1 % 1 " 2 " q_*/ 1 q_!% q_$% q₍ " 1 % 1 % 2 " 4 " q_-/ 1 q_!% q_$% q₍% q_* " 1 % 1 % 2 % 3 " 7 " q_S/ 1 q_! % q_$% q₍% q_* % q_- " 1 % 1 % 2 % 3 % 5 " 12 " q_U/ 1 …

Slika 3: Razmnoževanje zajcev

(vir: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits)

18

Trditev 2.11. q_!% q_$% ⋯ % q_4B!% q₄ " q_4:$/ 1 , " 1, 2, 3 …

Dokaz. Dokažimo s popolno indukcijo.

Za " 1 dobimo: q_! " q_!:$/ 1 " q₍/ 1 " 2 / 1 " 1 in trditev velja.

Naj velja: q_!% q_$% ⋯ % q_4B!% q₄ " q_4:$/ 1. Dokažimo, da velja enakost tudi za % 1. Dokazati moramo, da velja: q_!% q_$% ⋯ % q₄% q_4:! " q_4:!:$/ 1 " q_4:(/ 1. Predpostavko uporabimo v izrazu

q_!% q_$% ⋯ % q₄% q_4:! " q_4:$/ 1 % q_4:! " q_4:!% q_4:$/ 1 " q_4:(/ 1. Trditev velja. ∎

B. Seštejmo nekaj prvih členov Fibonaccijevega zaporedja z lihim indeksom.

q_!% q₍ " 1 % 2 " 3 " q_* q_!% q₍% q_- " 1 % 2 % 5 " 8 " q_S q_!% q₍% q_-% q_U " 1 % 2 % 5 % 13 " 21 " q_T q_!% q₍ % q_-% q_U% q_a " 1 % 2 % 5 % 13 % 34 " 55 " q_!`

…

Trditev 2.12. q_!% q₍% q_-% ⋯ % q_$4B!" q_$4 , " 1, 2, 3 …

Dokaz. Dokažimo s popolno indukcijo.

Za " 1 dobimo q_! " q_$∙!" q_$ " 1 in trditev velja. Naj velja q_!% q₍% ⋯ % q_$4B!" q_$4. Dokažimo, da velja enakost tudi za % 1. Dokazati moramo, da velja:

q_!% q₍% ⋯ % q_$(4:!)B!" q_$(4:!) oziroma q_! % q₍% ⋯ % q_$4:!" q_$4:$. Ker je q_!% q₍% ⋯ % q_$4B!% q_$4:! " q_$4 % q_$4:!" q_$4:$, trditev velja. ∎

C. Seštejmo nekaj prvih členov Fibonaccijevega zaporedja s sodim indeksom.

q_$% q_* " 1 % 3 " 4 " q_-/ 1 q_$ % q_*% q_S " 1 % 3 % 8 " 12 " q_U/ 1 q_$% q_*% q_S% q_T " 1 % 3 % 8 % 21 " 33 " q_a/ 1

q_$% q_*% q_S% q_T% q_!` " 1 % 3 % 8 % 21 % 55 " 88 " q_!!/ 1 …

Trditev 2.13. q_$% q_*% q_S% ⋯ % q_$4" q_$4:!/ 1 , " 1, 2, 3 …

19

Dokaz. Dokažimo s popolno indukcijo.

Za " 1 dobimo q_$ " q_$∙!:!/ 1 " q₍/ 1 " 1 in trditev velja.

Naj velja q_$% q_* % ⋯ % q_$4 " q_$4:!/ 1. Dokažimo, da velja enakost tudi za % 1. Dokazati moramo, da velja q_$% q_*% ⋯ % q_$(4:!) " q_$(4:!):!/ 1 oziroma, če izraz poenostavimo q_$ % q_*% ⋯ % q_$4:$" q_$4:(/ 1. Ker je q_$% q_*% ⋯ % q_$4% q_$4:$ "

q_$4:!/ 1 % q_$4:$" q_$4:!% q_$4:$/ 1 " q_$4:(/ 1, trditev velja. ∎

Č. Seštejmo kvadrate prvih Fibonaccijevih števil.

q_!^$% q_$^$ " 1^$% 1^$ " 2 " q_$∙ q₍ q_!^$% q_$^$% q₍^$ " 1^$% 1^$% 2^$ " 6 " q₍ ∙ q_*

q_!^$% q_$^$% q₍^$% q_*^$ " 1^$% 1^$ % 2^$% 3^$ " 15 " q_*∙ q_- q_!^$% q_$^$% q₍^$% q_*^$% q_-^$ " 1^$% 1^$% 2^$% 3^$% 5^$ " 40 " q_-∙ q_S …

Trditev 2.14. Za Fibonaccijeva števila velja q_!^$% q_$^$ % q₍^$% ⋯ % q₄^$ " q₄∙ q_4:! .

Dokaz. Dokažimo s popolno indukcijo.

Za " 1 dobimo q_!^$ " q_!∙ q_$ " 1 ∙ 1 " 1 in trditev velja.

Naj velja q_!^$% q_$^$% q₍^$% ⋯ % q₄^$ " q₄∙ q_4:!. Dokažimo, da velja enakost tudi za % 1. Dokazati moramo, da velja q_!^$ % q_$^$% q₍^$% ⋯ % q₄^$% q_4:!^$ " q_4:!∙ q_4:!:! oziroma q_!^$% q_$^$% q₍^$% ⋯ % q₄^$% q_4:!^$ " q_4:!∙ q_4:$. In res je:

q_!^$% q_$^$% q₍^$% ⋯ % q₄^$% q_4:!^$ " q₄ ∙ q_4:!% q_4:!^$ " q_4:!(q₄% q_4:!) "q_4:!∙ q_4:$ . ∎

D. Primerjajmo kvadrat Fibonaccijevega števila s produktom predhodnika in naslednika danega Fibonaccijevega števila (tabela 3).

Tabela 3: Povezava med Fibonaccijevimi števili

1 2 3 4 5 6 7

q_4:!^$ 1 4 9 25 64 169 441

q₄∙ q_4:$ 2 3 10 24 65 168 442

q_4:!^$ / q₄∙ q_4:$ /1 1 /1 1 /1 1 /1

20

Vidimo, da je razlika 1 ali pa /1.

Trditev 2.15. Kvadrat kateregakoli Fibonaccijevega števila se za 1 razlikuje od produkta njegovega predhodnika in njegovega naslednika:

q_4:!^$ " q₄ ∙ q_4:$% (/1)^r , " 2, 3, 4 ….

Dokaz. Dokazali bomo z metodo popolne indukcije.

Za " 1 dobimo: q_!∙ q₍% (/1)^! " 1 ∙ 2 / 1 " 1 " q_$^$ . Trditev za " 1 velja.

Predpostavimo, da enačba velja za in dokažimo, da velja tudi za % 1.

Enačbi q_4:!^$ " q₄∙ q_4:$% (/1)^r na obeh straneh prištejemo produkt q_4:!∙ q_4:$. q_4:!^$ % q_4:!∙ q_4:$ " q₄ ∙ q_4:$% (/1)^r% q_4:!∙ q_4:$

q_4:!(q_4:!% q_4:$) " q_4:$(q₄% q_4:!) % (/1)^r q_4:!∙ q_4:( " q_4:$∙ q_4:$% (/1)^r

Torej je q_4:$^$ " q_4:!∙ q_4:(/ (/1)^r " q_4:!∙ q_4:(% (/1)^r:! in trditev je dokazana. ∎

E. Zapišimo še nekaj najpomembnejših lastnosti v zvezi z deljivostjo Fibonaccijevih števil.

Trditev 2.16. Poljubni dve zaporedni Fibonaccijevi števili sta tuji si števili.

Dokaz. Naj bosta q₄ in q_4:! dve zaporedni Fibonaccijevi števili.

Naj imata poleg števila 1 še kakšen skupni delitelj. Naj bo to naravno število \, \ > 1. Potem \ ∣ q₄ in \ ∣ q_4:! in ker je q_4B!" q_4:!/ q₄, potem tudi \ ∣ q_4B!. Ker je tudi q_4B$ " q₄/ q_4B!, potem \ ∣ q_4B$. Postopek nadaljujemo. Število \ deli vsa Fibonaccijeva števila, ki so manjša od q_4:!. Torej velja tudi \ ∣ q₍ oziroma \ ∣ 2 in

\ ∣ q_$ oziroma \ ∣ 1. Tu pa smo v nasprotju z dejstvom, da sta 2 in 3 praštevili (razen števila 1 nimata nobenega skupnega delitelja). ∎

Navedimo (brez dokazov) še nekaj dejstev v zvezi z deljivostjo Fibonaccijevih števil.

a) q₄ ∣ q_[ natanko tedaj, ko ∣ \.

b) Če naravno število \ deli q₄, deli \ tudi q₄, q_$4, q₍₄ …

c) Fibonaccijevo število je sodo natanko tedaj, ko je njegov indeks deljiv s 3.

21

d) Fibonaccijevo število je deljivo s 3 natanko tedaj, ko je njegov indeks deljiv s 4.

e) Če je u največji skupni delitelj naravnih števil \ in , je q_v največji skupni delitelj Fibonaccijevih števil q_[ in q₄.

f) Zaporedje ostankov Fibonaccijevih števil pri deljenju z 2 je 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0 … in se periodično ponavlja.

F. Zapišimo naravna števila od 1 do 20 kot vsote različnih nesosednjih Fibonaccijevih števil.

1 " q_$ 11 " 8 % 3 " q_S% q_* 2 " q₍ 12 " 8 % 3 % 1 " q_S% q_*% q_$

3 " q_* 13 "q_U

4 " 3 % 1 " q_*% q_$ 14 " 13 % 1 " q_U% q_$ 5 " q_- 15 " 13 % 2 " q_U% q₍ 6 " 5 % 1 " q_-% q_$ 16 " 13 % 3 " q_U% q_*

7 " 5 % 2 "q_-% q₍ 17 " 13 % 3 % 1 " q_U% q_*% q_$ 8 "q_S 18 " 13 % 5 " q_U% q_-

9 " 8 % 1 " q_S% q_$ 19 " 13 % 5 % 1 " q_U% q_-% q_$ 10 " 8 % 2 " q_S% q₍ 20 " 13 % 5 % 2 " q_U% q_-% q₍

Res je tudi 2 " 1 % 1 " q_$% q_$ , toda q_$ se dvakrat ponovi.

5 lahko zapišemo tudi 5 " 3 % 2 " q_*% q₍ , toda števili q_* in q₍ sta sosednji.

Trditev 2.17. Vsako naravno število lahko enolično zapišemo kot vsoto različnih nesosednjih Fibonaccijevih števil, torej v obliki

" q_wd % q_we % ⋯ % q_wY za 7 ≥ 1 in ko je x_!/ x_$ ≥ 2, … , x_8B!/ x₈ ≥ 2 .

Dokaz. Naj drži izrazitev do nekega , veljata enačbi

" q_wd% q_we% ⋯ % q_wY (1) in x_!/ x_$ ≥ 2 , … , x_8B!/ x₈≥ 2 in q_wd > q_we > ⋯ > q_wY≥ q_$ . (2) Dokažimo, da izrazitev velja tudi za % 1.

Če je % 1 Fibonaccijevo število, potem je % 1 " q_w in smo s tem že dokazali.

22

Če % 1 ni Fibonaccijevo število, potem leži med zaporednima Fibonaccijevima številoma. Lahko zapišemo

q_w < % 1 < q_w:!. (3) Potem je razlika

K " % 1 / q_w (4) naravno število, manjše od % 1.

Če je K ≥ q_wB!, potem iz (4) sledi % 1 " K % q_w ≥ q_wB!% q_w " q_w, torej % 1 ≥ q_w:!. To pa je v nasprotju z oceno (3). Zato velja

1 ≤ K < q_wB!. (5) Ker je K naravno število pod % 1, se po privzetku izrazi v obliki (1).

K " q_wd % q_we % ⋯ % q_wY Iz (4) sledi

% 1 " K % q_w " q_w% q_wd% q_we% ⋯ % q_wY. (6) Indeksi x_!, … , x₈ že izpolnjujejo pogoje (2). Iz (5) sledi, da je q_wd ≤ K < q_wB! in zato je (x / 1) / x_! ≥ 1 oziroma x / x_! ≥ 2. Torej tudi za indeks x velja pogoj (2).

Trditev 2.18. je dokazana za % 1, % 1 se izraža kot (6).

Dokažimo še enoličnost izrazitve (1). Naj enoličnost izrazitve drži do nekega . Zapišimo % 1 na dva načina. Za % 1 velja (6) in naj bo tudi

% 1 " q_Ed % q_Ee % ⋯ % q_E{. (7) V enakosti (7) Fibonaccijeva števila ustrezajo pogojem v (2). V izrazitvah (6) in (7) se lahko pojavi enak seštevanec. Odštejemo ga od % 1. Ker je razlika pod % 1, se po privzetku vsi ostali seštevanci ujemajo. Izrazitvi (6) in (7) se torej popolnoma ujemata in smo dokazali enoličnost izrazitve (1).

Lahko pa izrazitvi (6) in (7) nimata skupnega seštevanca. V tem primeru je q_Ed ≠ q_w. Ker leži % 1 po oceni (3) med zaporednima Fibonaccijevima številoma q_w in q_w:! in je q_Ed ≠ q_w ter seštevanca v enakosti (7) izpolnjujeta pogoje v (2), mora nujno biti q_Ed ≤ q_wB!.

Obravnavajmo sodi in lihi |_!.

Pri sodem |_! in z upoštevanjem trditve 2.13. dobimo:

% 1 " q_Ed% q_Ee % ⋯ % q_E{ ≤ q_Ed % q_EdB$% ⋯ % q_$ " q_Ed:!/ 1 ≤ q_w / 1 ≤ q_w. Ugotovili smo, da je % 1 ≤ q_w, kar pa je v nasprotju z oceno (3).

Pri lihem |_! in z upoštevanjem trditve 2.12. dobimo:

23

% 1 " q_Ed % q_Ee % ⋯ % q_E{ ≤ q_Ed % q_EdB$… % q₍% q_! " q_Ed:!≤ q_w. Ugotovili smo, da je % 1 ≤ q_w, kar pa je spet v nasprotju z oceno (3).

Torej lahko % 1 zapišemo na en sam način v obliki (6). ∎

Izrazimo s Fibonaccijevimi števili s pomočjo trditve 2.17. tudi večja naravna števila. S pomočjo preglednice Fibonaccijevih števil izrazimo števili 85 in 986.

85 " 55 % 30

55 je številu 85 najbližje Fibonaccijevo število, manjše od 85. 30 pa seveda ni Fibonaccijevo število. Na podoben način sedaj izrazimo število 30.

30 " 21 % 9

9 " 8 % 1

Tako dobimo izrazitev za število 85: 85 " 55 % 21 % 8 % 1 " q_!`% q_T % q_S% q_$.

Za število 986 dobimo:

986 " 610 % 376 376 " 233 % 143

143 " 89 % 54 986 " 610 % 233 % 89 % 34 % 13 % 5 % 2 54 " 34 % 20 986 " q_!-% q_!(% q_!!% q_a% q_U% q_-% q₍ 20 " 13 % 7

7 " 5 % 2

Naj na kratko omenimo še, da vsako naravno število lahko zapišemo kot vsoto različnih, lahko tudi sosednjih Fibonaccijevih števil. Ni pa ta zapis enoličen (kot v trditvi 2.17.).

Zapišimo število 214 kot vsoto različnih Fibonaccijevih števil na dva načina.

214 " 144 % 55 % 13 % 2 " q_!$% q_!`% q_U% q₍

214 " 144 % 34 % 21 % 8 % 5 % 2 " q_!$% q_a% q_T% q_S% q_-% q₍

G. Na Fibonaccijeva števila naletimo v številnih problemih. Navedimo podrobneje enega izmed njih (več primerov v poglavju Primeri matematičnih preiskav). Zapišimo prvih pet naravnih števil kot vsote samih enk in dvojk na vse možne načine.

1 " 1

2 " 1 % 1 " 2