PRVI DEL PISNEGA IZPITA IZ MATEMATIKE

Univerza v Mariboru

Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za biologijo

Ekologija z naravovarstvom Biologija

PRVI DEL PISNEGA IZPITA IZ MATEMATIKE

Maribor, 18. 12. 2009

1. Z matematiˇcno indukcijo pokaˇzi, da za poljubno naravno ˇstevilon velja 1²+ 3²+ 5²+. . .+ (2n−1)² = n(4n²−1)

3 .

(25) 2. (a) Naj bo podano kompleksno ˇstevilo w=

√3−i

2 . Izraˇcunaj

w²⁰⁰⁹ in

w²⁰⁰⁹ .

(15) (b) V kompleksni ravnini nariˇsi mnoˇzico

A=

z∈C | Im (z) = Im z² .

(10) 3. Poiˇsˇci vse realne reˇsitve neenaˇcbe

x²−3

<|2x| .

(20) 4. Naj bosta podani funkciji f, g :R→Rs predpisom

f(x) =

√ 0 ; x <−1

x+ 1 ; x≥ −1 in g(x) =

x² ; x <1 1 ; x≥1 . (a) Ali sta funkcijif ing injektivni oz. surjektivni? Odgovor utemelji. (10) (b) Zapiˇsi predpis funkcij f ◦g ing◦f. (20)

Univerza v Mariboru

Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za biologijo

Ekologija z naravovarstvom Biologija

DRUGI DEL PISNEGA IZPITA IZ MATEMATIKE

Maribor, 22. 1. 2010

1. Naj bo podano zaporedje (a_n)n∈N s sploˇsnim ˇclenom a_n= 4n²+ 2n+ 3

2n² + 1 .

(a) Pokaˇzi, da je zaporedje padajoˇce in navzdol omejeno ter izraˇcunaj njegovo

limito. (15)

(b) Od katerega ˇclena zaporedja naprej bodo vsi ˇcleni zaporedja od limite

oddaljeni za manj kot ₁₀₀₀¹ ? (10)

2. Poiˇsˇci realni konstanti a inb 6= 0, da bo funkcija

f(x) =







2asin(x−1)

b(x³−1) ; x <1 b ; 1≤x≤2

a(x²−4)

√x−1−1 ; x >2

zvezna. (20)

3. Doloˇci enaˇcbo tangente in enaˇcbo normale na graf funkcije f(x) = _x+4^x v toˇcki

T(1, y₀). (15)

4. Poiˇsˇci takˇsni realni ˇstevili x, y ∈ [1,10], da je x ·y = 10 in je njuna vsota

najmanjˇsa moˇzna. (20)

5. Integriraj

Z dx

√4−x² in Z

cosx·ln(sinx)dx .

Opomba: reˇsitve integralov s pomoˇcjo priroˇcnika ne bodo upoˇstevane.

(20)