MNOˇ ZICA TRANSCENDENTNIH REALNIH ˇ STEVIL DIPLOMSKO DELO

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

TILEN MIKLAVEC

MNOˇ ZICA TRANSCENDENTNIH REALNIH ˇ STEVIL DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2017

(2)

(3)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI U ˇCITELJ: FIZIKA – MATEMATIKA

TILEN MIKLAVEC Mentor: doc. dr. Primoˇz ˇSparl

MNOˇ ZICA TRANSCENDENTNIH REALNIH ˇ STEVIL

Diplomsko delo

LJUBLJANA, 2017

(4)

(5)

Zahvala

Za strokovno vodenje in pomoˇc pri izdelavi diplomskega dela se iskreno zahvaljujem svojemu mentorju, doc. dr. Primoˇzu ˇSparlu.

Tilen Miklavec

(6)

(7)

Povzetek

Realna ˇstevila delimo na racionalna in iracionalna ˇstevila. To delitev uˇcenci spoznajo ˇze v osnovni ˇsoli, nekoliko bolj pa v srednji ˇsoli. Precej manj znano je, da realna ˇstevila delimo tudi na algebraiˇcna in transcendentna ˇstevila. Realna ˇstevila, ki so niˇcle kakˇsnega polinoma z racionalnimi koeficienti, imenujemo alge- braiˇcna ˇstevila. Po drugi strani realna ˇstevila, ki niso niˇcle nobenega takˇsnega polinoma, imenujemo transcendentna ˇstevila. Ta delitev realnih ˇstevil na alge- braiˇcna in transcendentna ˇstevila predstavlja glavno temo diplomskega dela. Tako algebraiˇcnih kot transcendentnih realnih ˇstevil je neskonˇcno, a kljub neskonˇcnosti enih in drugih lahko doloˇcimo, katerih je veˇc. Glavni cilj diplomskega dela je pred- stavitev dokaza, da je transcendentnih realnih ˇstevil bistveno veˇc kot algebraiˇcnih, kar se morda zdi presenetljivo, saj v osnovni in srednji ˇsoli veˇcinoma operiramo le z algebraiˇcnimi realnimi ˇstevili. ˇCe nekoliko poenostavimo, lahko reˇcemo, da sta edini transcendentni realni ˇstevili, ki ju spoznamo v petnajstih letih ˇsolanja, razmerje med obsegom in premerom kroga, torej ˇstevilo π, in osnova naravnega logaritma, ˇstevilo e.

Kljuˇcne besede: realna ˇstevila, algebraiˇcna ˇstevila, transcendentna ˇstevila, ne- skonˇcne mnoˇzice.

Klasifikacija MSC (2010): 03E17, 97E60, 97F50

(8)

(9)

Title: The set of transcendental real numbers Abstract

Real numbers are divided into rational and irrational numbers. Students learn about this division already in elementary school, but they become more familiar with it in secondary school. It is not so well known that real numbers are also divided into algebraic and transcendental numbers. Real numbers which are zeros of some polynomial with rational coefficients are called algebraic numbers. On the other hand, real numbers that are not zeros of any such polynomial are called transcendental numbers. This division of real numbers into algebraic and transcendental numbers represents the main topic of this diploma thesis. The set of algebraic real numbers and the set of transcendental real numbers are both infinite, but despite their infinity, we can still determine which is larger. The main goal of this diploma thesis is to present the proof that there are significantly more transcendental real numbers than algebraic real numbers, even though this may seem surprising, since we mostly operate with algebraic real numbers in elementary and secondary schools. Namely, almost the only transcendental real numbers that we learn about at school are the ratio between the circumference and the diameter of the circle, that is, the number π, and the basis of the natural logarithm, the number e.

Keywords: real numbers, algebraic numbers, transcendental numbers, infinite sets.

MSC(2010) classification: 03E17, 97E60, 97F50

(10)

(11)

Kazalo

Uvod 1

1 Mnoˇzice 3

1.1 Ekvipolenca mnoˇzic . . . 3

1.2 Hilbertov hotel . . . 7

1.3 ˇStevne in neˇstevne mnoˇzice . . . 9

1.3.1 Unija ˇstevnih mnoˇzic . . . 10

1.3.2 ˇStevna neskonˇcnost mnoˇzice racionalnih ˇstevil . . . 15

1.3.3 Neˇstevna neskonˇcnost mnoˇzice realnih ˇstevil . . . 16

2 Algebraiˇcna in transcendentna ˇstevila 17 2.1 Definicija algebraiˇcnih in transcendentnih ˇstevil . . . 17

2.2 Iskanje algebraiˇcnih in transcendentnih ˇstevil . . . 19

2.2.1 Gelfond-Schneiderjev izrek . . . 20

2.3 Primeri znanih transcendentnih realnih ˇstevil . . . 20 3 Dokaz neˇstevnosti mnoˇzice transcendentnih realnih ˇstevil 22

Zakljuˇcek 25

Literatura 26

(12)

(13)

Mnoˇzica transcendentnih realnih ˇstevil

Uvod

Vsebina diplomskega dela po eni strani sodi na podroˇcje teorije mnoˇzic, po drugi pa na podroˇcje algebre. Teorija mnoˇzic se ukvarja z mnoˇzicami in njihovimi elementi. Njen zaˇcetek sega v drugo polovico 19. stoletja, ko je Georg Cantor svojemu prijatelju Richardu Dedekindu sporoˇcil, da je s pomoˇcjo mnoˇzic uspel dokazati, da je realnih ˇstevil veˇc kot naravnih. Zatem je objavil svojo teorijo neskonˇcnosti, ki je v 20. stoletju zaznamovala razvoj vseh vej matematike, predvsem pa ana- lize. Kljub vsemu Cantorjeva teorija ni bila brez napak. Cantor je namreˇc skuˇsal definirati pojem mnoˇzice. Trdil je, da je mnoˇzica skupek doloˇcenih objektov ali predmetov, ki jih obravnavamo kot celoto. Izkazalo pa se je, da takˇsna definicija vodi v protislovje, o ˇcemer govori Russellov paradoks, ki izkoriˇsˇca dejstvo, da bi po Cantorjevi definiciji morala obstajati tudi mnoˇzica vseh mnoˇzic. Ne glede na to napako je Cantorjev doprinos na podroˇcju teorije mnoˇzic neprecenljiv. Med drugim je Cantor veliko ˇcasa posvetil neskonˇcnim mnoˇzicam (povzeto po [9]).

Tudi v diplomskem delu se bomo posvetili neskonˇcnim mnoˇzicam, predvsem mnoˇzici realnih ˇstevil in njenim elementom. Mnoˇzice naravnih, celih in racionalnih ˇstevil so podmnoˇzice mnoˇzice realnih ˇstevil. Vse omenjene podmnoˇzice so neskonˇcne, a vendarle jih lahko med seboj loˇcimo in primerjamo po velikosti. Loˇcimo na- mreˇc dve bistveno razliˇcni vrsti neskonˇcnih mnoˇzic. Najprej so tu mnoˇzice, ki so ekvipolentne mnoˇzici naravnih ˇstevil in zanje reˇcemo, da so ˇstevno neskonˇcne.

Da je mnoˇzica ˇstevno neskonˇcna, poenostavljeno pomeni, da lahko njene elemente smiselno ”oˇstevilˇcimo” z elementi mnoˇzice naravnih ˇstevil. Torej bi lahko rekli, da imajo ˇstevno neskonˇcne mnoˇzice ravno toliko elementov, kot jih ima mnoˇzica naravnih ˇstevil. Vendar ima mnoˇzica celih ˇstevil nekatere elemente, ki jih mnoˇzica naravnih ˇstevil nima, a je kljub temu ˇstevno neskonˇcna.

Stevno neskonˇˇ cne mnoˇzice in njihove lastnosti se lahko prikaˇze s t.i. Hilbertovim hotelom, kar je podrobneje opisano v razdelku 1.2. Neskonˇcne mnoˇzice, ki niso ekvipolentne mnoˇzici naravnih ˇstevil, so neˇstevno neskonˇcne. Primer take mnoˇzice je mnoˇzica realnih ˇstevil, ki ima bistveno veˇc elementov kot mnoˇzica racionalnih ˇstevil ali katerakoli druga ˇstevno neskonˇcna mnoˇzica. Realna ˇstevila delimo na racionalna in iracionalna ˇstevila. Nekoliko manj znana je delitev realnih ˇstevil na

1

(14)

algebraiˇcna in transcendentna realna ˇstevila. Realna ˇstevila, ki so niˇcle kakˇsnega polinoma z racionalnimi koeficienti, imenujemo algebraiˇcna ˇstevila, realna ˇstevila, ki pa niso niˇcle nobenega takˇsnega polinoma, imenujemo transcendentna ˇstevila.

Tako enih kot drugih je neskonˇcno. Ali lahko velikosti mnoˇzic algebraiˇcnih in transcendentnih realnih ˇstevil med seboj primerjamo po velikosti in povemo, katerih je veˇc? Odgovor je pritrdilen. Glavni cilj diplomskega dela je pokazati, da je al- gebraiˇcnih realnih ˇstevil ˇstevno neskonˇcno, od koder sledi, da je transcendentnih realnih ˇstevil neˇstevno neskonˇcno, torej bistveno veˇc kot algebraiˇcnih.

Diplomsko delo je razdeljeno na veˇc poglavij. V prvem poglavju so predstavljeni nekateri osnovni pojmi teorije mnoˇzic, ki jih bo bralec potreboval za razumevanje tematike, ki sledi. V drugem poglavju so definirana algebraiˇcna in transcendentna ˇstevila. Prikazanih je nekaj zgledov algebraiˇcnih in transcendentnih realnih ˇstevil.

Predstavljen je tudi Gelfond-Schneiderjev izrek, ki omogoˇca preprosto konstrukcijo transcendentnih ˇstevil. V zadnjem, tretjem poglavju, je predstavljen dokaz, da je transcendentnih ˇstevil neˇstevno neskonˇcno, kar da tudi odgovor na vpraˇsanje, ali je transcendentnih realnih ˇstevil bistveno manj, kot je vseh realnih ˇstevil. V zakljuˇcku diplomskega dela nekaj pozornosti posvetimo ˇse vpraˇsanju, ali je transcendentnih realnih ˇstevil ravno toliko, kolikor je vseh realnih ˇstevil.

2

(15)

1 Mnoˇ zice

V tem poglavju bomo obnovili nekaj osnovnih pojmov teorije mnoˇzic, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju. Razdelek 1.1 je povzet po [4] in [5], razdelek 1.2 je povzet po [7] in razdelek 1.3 je povzet po [1], [4], [5] in [11].

1.1 Ekvipolenca mnoˇ zic

Eden glavnih ciljev diplomskega dela je primerjati velikosti mnoˇzice algebraiˇcnih in mnoˇzice transcendentnih realnih ˇstevil. ˇCe ˇzelimo mnoˇzice primerjati po velikosti, se moramo najprej dogovoriti, kdaj imata dve mnoˇzici isto velikost. Intuitivno je to takrat, ko obstaja korespondenca, ki vsakemu elementu iz prve mnoˇzice priredi natanko en element iz druge mnoˇzice in obratno. Da bi lahko ta pojem definirali v matematiˇcnem jeziku, potrebujemo pojem bijektivne preslikave.

Definicija. Naj bosta A inB neprazni mnoˇzici. Preslikava f: A→B

jebijektivna, ˇce je hkrati injektivna in surjektivna, to je, ˇce katerakoli dva razliˇcna elementa iz mnoˇzice A preslika v razliˇcni sliki v mnoˇzici B in je vsak element iz mnoˇzice B slika vsaj enega elementa iz mnoˇzice A.

Definicija. Mnoˇzica A je ekvipolentna mnoˇzici B, kar oznaˇcimo z A ∼ B, ˇce obstaja vsaj ena bijektivna preslikava iz mnoˇzice A na mnoˇzico B. Tedaj pravimo tudi, da sta mnoˇziciAinB enakomoˇcnioziroma, da imata istokardinalno ˇstevilo.

Zgled. Pokaˇzimo, da sta mnoˇzici celih ˇstevil Z in naravnih ˇstevil N ekvipolentni. Po definiciji sta mnoˇzici ekvipolentni natanko takrat, ko obstaja bijektivna preslikava, ki eno mnoˇzico preslika na drugo. Zadoˇsˇca torej, da poiˇsˇcemo neko bijektivno preslikavo, ki mnoˇzico naravnih ˇstevil preslika na mnoˇzico celih ˇstevil.

Eno izmed moˇznih bijektivnih preslikav lahko najdemo tako, da cela ˇstevila smiselno postavimo v vrsto in jih nato ”oˇstevilˇcimo” z naravnimi ˇstevili od 1 dalje, na primer:

3

(16)

N : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Z : 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5

To korespondenco poskusimo zapisati s pomoˇcjo funkcije. Za vse n ∈N naj bo

f(n) =







n

2, n ≡0 (mod 2);

1−n

2 , n ≡1 (mod 2).

(1)

Najprej moramo preveriti, da ta predpis res doloˇca preslikavo f :N→Z. Za soda naravna ˇstevila je ⁿ₂ ∈ Z. Za liha ˇstevila, torej ˇstevila oblike n = 2k+ 1, kjer je k ∈ N∪ {0}, je tudi ¹⁻ⁿ₂ = ^1−2k−1₂ = −k ∈ Z. Nobeno ˇstevilo ne more biti hkrati liho in sodo, zato ima vsak n ∈N natanko eno sliko f(n) ∈Z in tako je f res preslikava. Zdaj moramo preveriti ˇse, da je f bijektivna. Najprej pokaˇzimo, da je injektivna. Izberimo poljubna n, n⁰ ∈ N. Opazimo, da je f(n) > 0 natanko tedaj, ko je n ≡ 0 (mod 2), zato posebej obravnavamo dva primera. ˇCe je f(n) =f(n⁰)>0, potem velja ⁿ₂ = ⁿ₂⁰, torej je n =n⁰. ˇCe pa je f(n) =f(n⁰)≤0 potem je ¹⁻ⁿ₂ = ¹⁻ⁿ₂ ⁰ in od tod sledi n=n⁰. V obeh primerih je n=n⁰, torej jef injektivna preslikava.

Za dokaz surjektivnosti izberimo poljubno ˇstevilo a ∈ Z in zopet loˇcimo dva primera. ˇCe je a > 0, potem za sodo ˇstevilo n = 2a ∈ N velja f(n) = ⁿ₂ = a, torej ima a vsaj eno prasliko. ˇCe je a ≤0, potem za liho ˇstevilo n = 1−2a ∈N velja f(n) = ¹⁻ⁿ₂ =a, torej ima tudi v tem primeru a vsaj eno prasliko. Dokazali smo, da je f surjetivna. Torej je f res bijekcija, zato sta mnoˇzici N in Z ekvipolentni, oziroma imata isto moˇc.

Naslednja preprosta trditev (dokaz lahko bralec najde v [1]) podaja uporabno karakterizacijo bijektivnih funkcij. Pri tem se dogovorimo, da je za mnoˇzico C preslikava id_c identiteta iz C v C, torej id_c(c) = cza vse c∈C.

Trditev 1.1. Naj bosta A inB neprazni mnoˇzici. Preslikava f: A→B je bijektivna natanko tedaj, ko obstaja funkcija g : B → A, za katero je f ◦g = id_B in g◦f =id_A

4

(17)

Zapiˇsimo sedaj trditev, ki podaja nekaj osnovnih lastnosti ekvipolence mnoˇzic.

Trditev 1.2. Naj bodo A, B, C poljubne mnoˇzice. Tedaj velja:

(i) Mnoˇzica A je ekvipolentna sama sebi.

(ii) Ce je mnoˇˇ zica A ekvipolentna mnoˇzici B, je tudi mnoˇzica B ekvipolentna mnoˇzici A.

(iii) Ce je mnoˇˇ zicaAekvipolentna mnoˇziciB in mnoˇzicaB ekvipolentna mnoˇzici C, potem je tudi mnoˇzica A ekvipolentna mnoˇzici C.

(iv) Mnoˇzica A×B je ekvipolentna mnoˇzici B×A.

Dokaz.

(i). Ker je identiˇcna preslikava id_A:A→A oˇcitno bijekcija, je A∼A.

(ii). Ker je mnoˇzica Aekvipolentna mnoˇzici B obstaja bijektivna preslikava f, ki mnoˇzico A preslika na mnoˇzico B. Vsaka bijektivna preslikava ima inverzno preslikavo, ki je prav tako bijektivna. Obstaja torej inverzna preslikava, ki mnoˇzico B bijektivno preslika na mnoˇzico A, zato je mnoˇzica B ekvipolentna mnoˇzici A.

(iii). Ker je A ∼ B, obstaja bijektivna preslikava f: A → B. Prav tako zaradi B ∼ C obstaja bijektivna preslikava g : B → C. Kompozitum bijektivne preslikave f z bijektivno preslikavo g je bijektivna preslikava g ◦f, ki mnoˇzico A bijektivno preslika na mnoˇzicoC. Potemtakem je mnoˇzicaAekvipolentna mnoˇzici C.

(iv). Definirajmo f: A × B → B × A s predpisom f((a, b)) = (b, a) za vse (a, b)∈A×B. Preslikava f je oˇcitno bijektivna, zato je A×B ∼B×A.

Opomba. Ce ˇˇ zelimo dokazati, da sta dve mnoˇzici ekvipolentni, zadostuje, da najdemo vsaj eno bijektivno preslikavo, ki preslika eno mnoˇzico na drugo. Kadar pa ˇzelimo dokazati, da dve mnoˇzici nista ekvipolentni, moramo pokazati, da ne obstaja nobena bijektivna preslikava, ki bi preslikala eno mnoˇzico na drugo.

5

(18)

Opomba. Zgornja trditev pove, da je ekvipolenca na dani mnoˇzici mnoˇzic ekvi- valenˇcna relacija, ekvivalenˇcni razredi pa ustrezajo ravno mnoˇzicam z isto moˇcjo.

Definicija. Naj bosta A in B neprazni mnoˇzici. Mnoˇzica A ima veˇcjo moˇc kot mnoˇzica B natanko takrat, ko mnoˇzicaAvsebuje vsaj eno podmnoˇzico, ki je ekvipolentna mnoˇziciB, mnoˇzicaB pa ne premore podmnoˇzice, ki bi bila ekvipolentna mnoˇzici A. To simboliˇcno oznaˇcimo z AB.

Opomba. V kolikor pri obravnavi teorije mnoˇzic privzamemo tako imenovani aksiom izbire, velja zakon trihotomije, ki pravi, da glede na primerljivost moˇci mnoˇzic A inB vedno velja ena izmed treh moˇznosti: AB,B A aliA∼B.

6

(19)

1.2 Hilbertov hotel

Razdelek je v celoti povzet po [7].

Zgodba o Hilbertovem hotelu intuitivno opiˇse ˇstevno neskonˇcne mnoˇzice in njihove lastnosti. Ker bomo v nadaljevanju prouˇcevali neskonˇcne mnoˇzice in njihove lastnosti, ter neskonˇcne mnoˇzice med seboj primerjali po velikosti, se moramo vpraˇsati, kaj je to neskonˇcnost. Da je to nekaj brez konca ni povsem zadovoljiv odgovor. Krog je brez zaˇcetka in konca, saj se nikjer ne zaˇcne in nikjer ne konˇca, kljub temu pa ni neskonˇcen, saj ima neko dolˇzino, ki jo lahko izmerimo, torej je konˇcna.

Pojem neskonˇcnosti obiˇcajno uporabljamo, ko govorimo o moˇci neskonˇcnih mnoˇzic.

Bistvo je v pojmu bijektivne preslikave ali bijektivne korespondence med dvema mnoˇzicama. Poglejmo si primer. Recimo, da opazujemo avtobus poln otrok. Vsi sedeˇzi so zasedeni, nihˇce ne stoji in nihˇce ne sedi nikomur v naroˇcju. Vsak sedi na svojem sedeˇzu. Potem brez preˇstevanja vemo, da je otrok ravno toliko, kolikor je sedeˇzev na avtobusu, ker je mnoˇzica otrok v bijektivni korespondenci z mnoˇzico sedeˇzev avtobusa. Mnoˇzica je konˇcna, ˇce je prazna ali pa obstaja tako naravno ˇstevilo n, da ima mnoˇzica natanko n elementov, kar pomeni, da lahko mnoˇzico postavimo v bijektivno korespondenco z mnoˇzico naravnih ˇstevil od 1 do n. ˇCe takega naravnega ˇstevila n ni, je neprazna mnoˇzica neskonˇcna. Sedaj se lahko osredotoˇcimo na razumevanje neskonˇcnih mnoˇzic s pomoˇcjo Hilbertovega hotela.

Poglejmo si primer. Imamo navaden hotel s 100 sobami. Vse sobe so zasedene in v vsaki sobi je en gost, ki ne ˇzeli deliti sobe z nikomer. Nato pride oseba, ki bi se rada nastanila v hotel, vendar ne ˇzeli deliti sobe. Prispelo osebo je tako nemogoˇce nastaniti v hotel. Drugaˇce povedano, ne da se vzpostaviti bijektivne korespondence med mnoˇzico vseh oseb in mnoˇzico hotelskih sob. Toda v hotelih, ki imajo neskonˇcno mnogo sob, je situacija drugaˇcna. Hilbertov hotel ima neskonˇcno mnogo sob. Vse sobe so oˇstevilˇcene z naravnimi ˇstevili, torej soba 1, soba 2, soba 3,. . ., soba n, itd. Hotel ima toliko sob, kolikor je naravnih ˇstevil. Ima prvo sobo, a nima zadnje. Recimo, da so vse sobe zasedene. Vsaka soba ima enega gosta. V hotel pride nova oseba in ˇzeli sobo. Tokrat osebo lahko nastanimo v hotel kljub temu, da nihˇce od ˇze nastanjenih gostov ne ˇzeli deliti sobe. To storimo na sledeˇc naˇcin. Vsakega gosta prosimo, da se premakne v eno sobo naprej. Gost, ki je bil

7

(20)

v sobi 1, se premakne v sobo 2, tisti, ki je bil v sobi 2, gre v sobo 3, . . ., gost, ki je bil v sobi n pa se premakne v sobo n+1. Hotel nima zadnje sobe, zato bodo vsi gosti dobili svojo sobo. Ker je soba 1 sedaj prazna, lahko vanjo nastanimo novo prispelo osebo. V matematiˇcnem kontekstu smo mnoˇzico naravnih ˇstevil postavili v bijektivno korespondenco z mnoˇzico ˇstevil od 2 dalje. Na podoben naˇcin lahko s pomoˇcjo Hilbertovega hotela ilustriramo dejstvo, da je mnoˇzica celih ˇstevil ekvipolentna mnoˇzici naravnih ˇstevil.

Poglejmo si ˇse en primer. V Hilbertov hotel, ki ima toliko sob, kot je naravnih ˇstevil, prispe toliko novih gostov, kot je naravnih ˇstevil. Poimenujemo jih G₁, G₂, . . . , G_n, . . . Ali jih je mogoˇce nastaniti? Odgovor je pritrdilen. Zelo zamu- dno bi bilo, ˇce bi upravitelj hotela najprej vse stare goste prosil, naj se premaknejo za eno sobo v desno in nato nastanil prvega novega gosta v sobo 1. Nato bi upravitelj zopet vse prosil, da se premaknejo za eno sobo v desno, nakar bi bila soba 1 prazna. Vanjo bi nastanil drugega novega gosta. Ker je vseh prispelih novih gostov neskonˇcno mnogo, bi se situacija ponavljala v neskonˇcnost. Nihˇce ne bi obdrˇzal sobe za stalno, poleg tega pa vseh novih gostov sploh nikoli ne bi nastanil. Upravitelj bi lahko neskonˇcno mnogo novo prispelih gostov nastanil na precej bolj enostaven naˇcin. Vsakega starega gosta premakne tako, da ˇstevilko njegove sobe podvoji. To pomeni, da gre stari gost, ki je bil nastanjen v sobi 1, v sobo 2, gost iz sobe 2 gre v sobo 4, . . ., gost iz sobe n pa v sobo 2n. Upravitelj vse stare goste premakne istoˇcasno z zgolj enim premikom. Vse sodo oˇstevilˇcene sobe so sedaj zasedene, vse liho oˇstevilˇcene sobe pa proste, in teh je neskonˇcno mnogo, zato prvega novega gosta G₁ nastani v prvo liho oˇstevilˇceno sobo, torej sobo 1, drugega novega gosta G₂ nastani v sobo 3, tretjega novega gosta G₃ v sobo 5, in tako naprej (n-ti gost G_n se vseli v sobo 2n−1).

8

(21)

1.3 Stevne in neˇ ˇ stevne mnoˇ zice

V tem razdelku pa bomo definirali ˇstevno in neˇstevno neskonˇce mnoˇzice in prika- zali nekaj primerov ˇstevnih mnoˇzic. Ogledali si bomo tudi, kako je z unijami in karteziˇcnimi produkti takih mnoˇzic.

Definicija. Naj bo A poljubna mnoˇzica. Tedaj velja:

• Mnoˇzica A je neskonˇcna, ˇce je ekvipolentna kakˇsni svoji pravi podmnoˇzici.

• Mnoˇzica A je konˇcna, ˇce ni neskonˇcna.

• Mnoˇzica A jeˇstevno neskonˇcna, ˇce je ekvipolentna mnoˇzici N.

• Mnoˇzica A jeˇstevna, ˇce je konˇcna ali ˇstevno neskonˇcna.

• Mnoˇzica A je neˇstevna, ˇce ni ˇstevna.

Opomba. Vˇcasih je za definicijo konˇcnosti mnoˇzice bolj prikladno vzeti ekvivalen- tno definicijo, ki pravi, da je mnoˇzicaAkonˇcna, ˇce je prazna ali pa obstaja naravno ˇstevilon, da je mnoˇzicaAekvipolentna mnoˇzici naravnih ˇstevil do vkljuˇcnon, torej {1,2,3, . . . , n}.

Zgled. Poglejmo si mnoˇzico 2Nvseh sodih naravnih ˇstevil, torej 2N={2n|n ∈N}={2,4,6, . . .}.

Na prvi pogled se zdi, da ima mnoˇzica 2N bistveno manj elementov kot mnoˇzica N, saj ima samo vsak drugi element mnoˇzice N. Kljub temu sta mnoˇzici N in 2N ekvipolentni, saj obstaja bijekcija

f:N→2N, definirana s predpisom

f(n) = 2n.

Njen inverz je funckija f⁻¹: 2N → N, definirana s predpisom f⁻¹(z) = ^z₂. Tako je mnoˇzica N ekvipolentna svoji pravi podmnoˇzici 2N, s ˇcimer smo dokazali, da

9

(22)

je mnoˇzica N (ˇstevno) neskonˇcna, obenem pa tudi, da je mnoˇzica 2N ˇstevno ne- skonˇcna.

Trditev 1.3. Vsaka podmnoˇzica ˇstevne mnoˇzice je ˇstevna.

Dokaz. Precej oˇcitno je, da trditev velja za konˇcne mnoˇzice, zato privzemimo, da je obravnavana mnoˇzica ˇstevno neskonˇcna. Vsaka ˇstevno neskonˇcna mnoˇzica je ekvipolentna mnoˇzici naravnih ˇstevil, zato je dovolj pokazati, da trditev velja za mnoˇzico N. Naj bo A ⊆ N. ˇCe je A konˇcna, ni kaj dokazati, zato lahko privzamemo, da je A neskonˇcna. Definirajmo sedaj bijektivno preslikavo f: N→A.

Najprej izberemo najmanjˇsi element mnoˇzice a1 ∈Ain definiramof(1) =a1, nato poiˇsˇcemo drugi najmanjˇsi element a₂ ∈ A in definiramo f(2) = a₂. Podobno na- daljujemo naprej. Ker jeA neskonˇcna mnoˇzica, nam ta postopek definira funkcijo f, ki je injektivna. Ker je pred vsakim elementom iz A le konˇcno mnogo elementov, bomo z izbranim postopkom naˇsteli vse elemente mnoˇzice A. Potemtakem je funkcija f tudi surjektivna in zato je funkcija f bijetivna. Ker slika iz mnoˇzice N na mnoˇzico A, je Aˇstevno neskonˇcna.

1.3.1 Unija ˇstevnih mnoˇzic

V tem podrazdelku bomo dokazali trditev, ki pravi, da je ˇstevna unija ˇstevnih mnoˇzic ˇstevna. Ta trditev predstavlja enega pomembnejˇsih korakov v dokazu glavnega izreka tega diplomskega dela.

Trditev 1.4. Unija dveh disjunktnih konˇcnih mnoˇzic je konˇcna mnoˇzica.

Dokaz. Ce je katera od mnoˇˇ zic A in B prazna, ni kaj dokazati. Naj bosta torej mnoˇzici A in B konˇcni in neprazni, torej obstajata n, m ∈ N in f: A → {1,2,3, . . . , n}ing: B → {1,2,3, . . . , m}bijekciji. Potem lahko definiramo preslikavo h: A∪B → {1,2,3, . . . , n+m} s predpisom

h(x) =







f(x); x∈A n+g(x); x∈B

(2)

10

(23)

Ker je preslikavahoˇcitno bijektivna in jen+m∈N, je mnoˇzicaA∪B konˇcna.

Trditev 1.5. Disjunktna unija ˇstevno neskonˇcne in konˇcne mnoˇzice je ˇstevno neskonˇcna mnoˇzica.

Dokaz. Naj boAkonˇcna, B pa ˇstevno neskonˇcna mnoˇzica. ˇCe je Aprazna, ni kaj dokazati. Tako lahko privzamemo, da jeA∼ {1,2,3, . . . , n}, za nekn ∈N, in zato obstaja bijektivna preslikava f: A → {1,2,3, . . . , n}. Ker je B ˇstevno neskonˇcna obstaja bijektivna preslikava g: B →N. Definirajmo preslikavo h: A∪B → N s predpisom

h(x) =







f(x), x∈A

g(x) +n, x∈B

(3)

Preslikava h je oˇcitno bijektivna, od koder sledi, da je A∪B ˇstevno neskonˇcna mnoˇzica.

Trditev 1.6. Naj bosta A in B ˇstevni mnoˇzici. Potem je mnoˇzica A∪B ˇstevna.

Dokaz. MnoˇzicoA∪B lahko zapiˇsemo kot unijo dveh disjunktnih mnoˇzicA∪B = A∪(B\A). Po trditvi 1.3 jeB\Aˇstevna mnoˇzica. ˇCe je katera od mnoˇzicAinB\A konˇcna lahko uporabimo trditev 1.4 ali trditev 1.5. Tako lahko predpostavimo, da sta obe ˇstevno neskonˇcni mnoˇzici in zato obstajata bijektivni preslikavif ing, kjer je f: A→N ing:B\A→N. Definirajmo preslikavo h:A∪B →N s predpisom

h(x) =







2g(x)−1, x∈B\A

2f(x), x∈A.

(4)

Preslikava h preslika elemente mnoˇzice A v soda naravna ˇstevila in elemente mnoˇzice B \A v liha naravna ˇstevila. Ni se teˇzko prepriˇcati, da od tod bijektivnost preslikaveh sledi iz bijektivnosti preslikav f ing. Potemtakem je mnoˇzica A∪B ˇstevno neskonˇcna in zato ˇstevna.

11

(24)

Definicija. Naj bo I poljubna neprazna mnoˇzica. Vsakemu elementu i ∈ I pri- redimo eno mnoˇzico, ki jo oznaˇcimo z A_i. Ustvarili smo druˇzino mnoˇzic, ki ima mnoˇzico I z elementi, ki jih imenujemo indeksi, za mnoˇzico indeksov. Druˇzino mnoˇzic oznaˇcimo z

{A_i}i∈I.

Unija druˇzine mnoˇzic je mnoˇzica, ki vsebuje elemente, ki so elementi vsaj ene mnoˇzice te druˇzine. Oznaˇcimo jo z

[

i∈I

A_i,

definirana pa je tako:

[

i∈I

A_i ={x: (∃i∈I :x∈A_i)}

Trditev 1.7. Mnoˇzica N×Nje ˇstevna.

Dokaz. Dokazali bomo, da je N ∼ (N×N). Pare (a, b) ∈ N×N razvrstimo v tabelo:

1 2 3 4 5 6 . . .

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) . . . 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) . . . 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) . . . 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) . . . 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) . . .

... ... ... ... ... ... ...

Pare uredimo v vrsto tako, da jih preˇstejemo po diagonalah. Zapiˇsemo jih glede na vsoto elementov para. Najprej zapiˇsemo (1,1), nato (1,2) in (2,1), zatem (1,3), (2,2), (3,1) in tako dalje. S tem smo opisali neko preslikavo f :N×N→N.

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .

N×N (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) (1,4) (2,3) (3,2) . . .

12

(25)

a\b 1 2 3 4 5 . . .

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) . . . 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) . . . 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) . . . 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) . . . 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) . . .

... ... ... ... ... ...

Prva diagonala vsebuje par (1,1), druga diagonala vsebuje para (1,2) in (2,1), itd. Potemtakem k-ta diagonala vsebuje pare (a, b), za katere je a+b = k + 1.

V prvi diagonali je en par, v drugi diagonali sta dva para, v tretji diagonali so trije pari, v k-ti diagonali pa je k parov. V prvih k diagonalah imamo tako skupaj 1 + 2 + 3 +. . .+k = ^k(k+1)₂ parov. Par (a, b) je torej v (a+b−1)-ti diagonali.

Zadnji par v prejˇsnji diagonali, torej (a+ b − 2,1), je bil (a+b−2)(a+b−1)

2 -ti po

vrsti. ˇCe ˇzelimo pare (a, b) oˇstevilˇciti po diagonali navzdol, moramo torej seˇstevku

(a+b−2)(a+b−1)

2 priˇsteti ˇstevilko vrstice, torej a. Tako dobimo predpis funkcije f((a, b)) = (a+b−2)(a+b−1)

2 +a.

Iz same konstrukcije je razvidno, da je preslikava f injektivna, zlahka pa se pre- priˇcamo tudi v njeno surjektivnost. Potemtakem je preslikava f bijektivna od koder sledi, da je mnoˇzica N×Nˇstevno neskonˇcna.

Posledica 1.8. Naj bosta mnoˇzici A in B ˇstevno neskonˇcni. Potem je njun kar- teziˇcni produkt A×B ˇstevno neskonˇcna mnoˇzica.

Dokaz. Mnoˇzici A in B sta ˇstevno neskonˇcni. Tedaj obstajata bijektivni preslikavi fA: A→NterfB: B →N. Po trditvi 1.7 obstaja bijektivna preslikavaf: N×N→ N. Definirajmo preslikavog: A×B →Ntako da, za vsea∈Aterb∈Bpostavimo predpisg((a, b)) =f(f_A(a), f_B(b)). Ker staf_Ainf_B bijektivni, se razliˇcni elementi iz A, oziroma iz B slikajo v razliˇcne elemente iz N, poleg tega pa je vsak element

13

(26)

iz mnoˇzice Nf_A-slika kakˇsnega elementa iz mnoˇzice A, oziroma f_B-slika kakˇsnega iz mnoˇziceB. Preslikavaf urejeni par (f_A(a), f_B(b)) bijektivno preslika v mnoˇzico N. Bijektivnost preslikave g sedaj sledi iz bijektivnosti preslikave f.

Do sedaj smo dokazali, da je unija dveh konˇcnih mnoˇzic konˇcna mnoˇzica, da je unija konˇcne in ˇstevno neskonˇcne mnoˇzice ˇstevno neskonˇcna mnoˇzica in da je unija dveh ˇstevno neskonˇcnih mnoˇzic ˇstevna mnoˇzica.

Trditev 1.9. Unija ˇstevno mnogo ˇstevnih mnoˇzic je ˇstevna mnoˇzica.

Dokaz. Ce gre za unijo konˇˇ cno mnogo ˇstevnih mnoˇzic, lahko uporabimo trditev 1.4. V nadaljevanju zato privzamemo, da je mnoˇzic ˇstevno neskonˇcno. Dane imamo torej ˇstevne mnoˇzice A_i za vse i ∈N. Zaradi trditve 1.3 lahko brez ˇskode za sploˇsnost privzamemo, da so mnoˇzice A_i paroma disjunktne.

Ker so mnoˇzice A_i ˇstevne, za vsak i ∈ N obstaja bijektivna preslikava f_i: A_i → N_i ⊆ N. Preslikava g: S

i∈N

A_i → N_i ⊆ N ×N, definirana s predpisom g(x) = (f_i(x), i), kjer je x ∈ A_i, je oˇcitno injektivna. Torej je unija S

i∈N

A_i ekvipolentna neki podmnoˇzici N×N in je torej po trditvi 1.3 in trditvi 1.7 ˇstevna.

14

(27)

Definicija. Naj bo Ω druˇzina mnoˇzic, ki ima za elemente neprazne mnoˇzice A₁, A₂, . . . , A_n. Karteziˇcni produkt druˇzine Ω oznaˇcimo z

YΩ ali

n

Y

i=1

A_i ali A₁×A₂×. . .×A_n,

definiramo pa z rekurzivno formulo

A₁×A₂ ×. . .×A_n = (A₁×A₂×. . .×An−1)×A_n. Elementi dobljene mnoˇzice so urejene n-terke oblike

(x₁, x₂, . . . , x_n)

kjer je x₁ ∈ A₁, x₂ ∈ A₂ in tako naprej do n-tega elementa, kjer je x_n ∈ A_n. Piˇsemo tudi

A₁×A₂×. . .×A_n={(x₁, x₂, . . . , x_n) : (x₁ ∈A₁)∧. . .∧(x_n ∈A_n)}

1.3.2 ˇStevna neskonˇcnost mnoˇzice racionalnih ˇstevil

Sedaj lahko dokaˇzemo, da je mnoˇzica racionalnih ˇstevil ˇstevno neskonˇcna. To dejstvo bomo uporabili v nadaljevanju, ko bomo ˇzeleli dokazati, da je mnoˇzica transcendentnih realnih ˇstevil neˇstevno neskonˇcna mnoˇzica.

Izrek 1.10. Mnoˇzica racionalnih ˇstevil, Q, je ˇstevno neskonˇcna.

Dokaz. Mnoˇzico racionalnih ˇstevil lahko zapiˇsemo kot disjunktno unijoQ=Q⁺∪ Q⁻∪ {0}. Najprej pokaˇzemo, da je mnoˇzica Q⁺ ˇstevna. Definirajmo preslikavo f:Q⁺ →N×N. Vsako racionalno ˇsteviloq ∈Q⁺lahko na enoliˇcen naˇcin zapiˇsemo kot do konca okrajˇsani ulomek q = ^a_b, kjer sta a, b ∈ N in D(a, b) = 1. Tedaj definiramo f(q) = (a, b). Preslikava f je dobro definirana in je oˇcitno injektivna.

Slika f(Q⁺), ki je torej ekvipolentna mnoˇzici Q⁺, je podmnoˇzica ˇstevne mnoˇzice N×N, zato je f(Q⁺) in s tem Q⁺ ˇstevna. Mnoˇzica pozitivnih racionalnih ˇstevil, Q⁺, je ekvipolentna mnoˇzici negativnih racionalnih ˇstevil Q⁻, zato je tudi Q⁻ ˇstevna mnoˇzica. Po trditvi 1.6, je mnoˇzica racionalnih ˇstevil ˇstevna. Ker je oˇcitno neskonˇcna, zakljuˇcimo, da je Qˇstevno neskonˇcna.

15

(28)

1.3.3 Neˇstevna neskonˇcnost mnoˇzice realnih ˇstevil Izrek 1.11. Mnoˇzica realnih ˇstevil, R, je neˇstevno neskonˇcna.

Dokaz. (Cantorjev diagonalni dokaz) Trditev dokaˇzemo s protislovjem.

Ce bi bila mnoˇˇ zica Rˇstevna, bi bila po trditvi 1.3 tudi mnoˇzica [0,1)⊂Rˇstevna.

Predpostavimo, da znamo preˇsteti elemente mnoˇzice [0,1) = {z₁, z₂, z₃, . . .}, torej obstaja bijekcija f med N in [0,1), pri ˇcemer oznaˇcimo zn =f(n).

Vemo, da lahko vsako realno ˇsteviloz ∈[0,1) enoliˇcno zapiˇsemo v obliki 0, a₁a₂a₃. . ., kjer jea_k∈ {0,1,2, . . . ,9}pri ˇcemer zahtevamo, da za vsakm ∈Nobstajae≥m, da jea_e6= 9 (torej ne dovolimo, da bi bile od nekje naprej same devetice).

z₁ = 0, a₁₁a₁₂a₁₃. . . , z₂ = 0, a₂₁a₂₂a₂₃. . . , z₃ = 0, a₃₁a₃₂a₃₃. . . ,

...

Konstruirajmo sedaj ˇstevilo y= 0, b₁b₂b₃. . .∈[0,1) z zahtevo

b_k=







1 ; akk6= 1, 2 ; a_kk= 1.

(5)

ˇStevilo y se odz_krazlikuje nak−tidecimalki, od koder iz enoliˇcnosti decimalnega zapisa sledi, da se razlikuje od vseh ˇstevila z_k. Ker to velja za vsak k∈N, nas to pripelje v protislovje s predpostavko, da je [0,1) = {z₁, z₂, z₃, . . .}.

16

(29)

2 Algebraiˇ cna in transcendentna ˇ stevila

Razdelek 2.1 je povzet po [2] in [8], razdelek 2.2 povzet po [8] in [13] in razdelek 2.3 po [12], [15], [10].

Kot smo omenili v uvodu, bomo v okviru tega diplomskega dela dokazali, da je transcendentnih realnih ˇstevil bistveno veˇc od algebraiˇcnih realnih ˇstevil. V tem razdelku bomo najprej definirali polinome nato pa algebraiˇcna in transcendentna realna ˇstevila. V nadaljevanju bomo predstavili Gelfond-Schneiderjev izrek, ki omogoˇca preprosto konstrukcijo transcendentnih ˇstevil. V samem zakljuˇcku razdelka pa bomo predstavili nekaj znanih transcendentnih realnih ˇstevil.

2.1 Definicija algebraiˇ cnih in transcendentnih ˇ stevil

Uˇcenci in dijaki skozi celotno osnovno in srednje ˇsolanje operirajo bolj ali manj le z algebraiˇcnimi ˇstevili. V osmem razredu osnovne ˇsole uˇcenci pri obravnavi kroga spoznajo svoje prvo trasncendentno ˇstevilo π, kot razmerje med obsegom in premerom kroga. V srednji ˇsoli, pri obravnavi naravnega logaritma, spoznajo svoje drugo transcendentno ˇstevilo e. Pravzaprav sta to na nek naˇcin edini transcendentni ˇstevili, ki jih uˇcenci in dijaki spoznajo v petnajstih letih osnovnega in srednjega ˇsolanja. Zato se zdi dejstvo, da so skoraj vsa realna ˇstevila transcendentna, ˇse toliko bolj ˇsokantno.

Definicija. Naj bo n ∈N∪ {0} in naj bodo a₀, a₁, a₂, . . . , a_n∈R, kjer je a_n 6= 0.

Preslikava f: R→R, podana s predpisom

f(x) =a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹. . .+a₁x+a₀, je realni polinom stopnje n, ki jo oznaˇcimo s st(f).

Definicija. Imejmo polinom

f(x) =a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹. . .+a₁x+a₀, n ≥1

17

(30)

Za vsako realno ˇstevilo β ∈ R je vrednost polinoma f v β realno ˇstevilo f(β) = a_nβⁿ +a_n−1βⁿ⁻¹ +. . .+a₁β +a₀. Realnemu ˇstevilu β reˇcemo niˇcla ali koren polinoma f ˇce je vrednost f(β) = 0.

Definicija. Naj bo β ∈ R neko realno ˇstevilo. Tedaj je ˇstevilo β algebraiˇcno, ˇ

ce obstaja neniˇcelni polinom z racionalnimi koeficienti, ki ima β za niˇclo. V na- sprotnem primeru jeβ transcendentno ˇstevilo. Mnoˇzico algebraiˇcnih realnih ˇstevil oznaˇcimo z A, mnoˇzico transcendentnih realnih ˇstevil pa sT.

Opomba. Nobeno realno ˇstevilo torej ne more biti hkrati algebraiˇcno in transcendentno. Vsako ˇstevilo, ki ni algebraiˇcno, je transcendentno, in obratno.

Zgled. Poglejmo, ali je realno ˇstevilo √

2 algebraiˇcno. Naj bo β =√

2. Potem je β² = 2. Od tod slediβ²−2 = 0, torej jeβ niˇcla polinoma z racionalnimi koeficienti f(x) = x²−2. Tako smo pokazali, da je√

2 algebraiˇcno ˇstevilo.

Zgled. Tokrat pokaˇzimo, da je

√_√

3−√ 2

2 algebraiˇcno ˇstevilo. Naj boβ =

√_√

3−√ 2

2 .

Potem je 4β² =√ 3−√

2. Sledi 16β⁴−5 = −2√

6. Tedaj je 256β⁸−160β⁴+ 1 = 0.

Opazimo, da jeβniˇcla polinoma z racionalnimi koeficientif(x) = 256x⁸−160x⁴+1, torej je

√_√

3−√ 2

2 algebraiˇcno ˇstevilo.

Zgled. Pokaˇzimo, da je ˇstevilo √ⁿ

m algebraiˇcno za vse n ∈ N in m ∈ Q. Naj bo β = √ⁿ

m. Potem je βⁿ = m. Potemtakem je βⁿ −m = 0. Torej β je niˇcla polinoma z racionalnimi koeficienti f(x) =xⁿ−m.

Opomba. Dokazati, da je neko ˇstevilo transcendentno, je v sploˇsnem izjemno zahtevno. Da je realno ˇsteviloe transcendentno, je prvi dokazal francoski matematik

18

(31)

Charles Hermite leta 1873. Deset let kasneje je Ferdinand Von Lindemann dokazal, da ˇstevilo π ni niˇcla nobenega polinoma z racionalnimi koeficienti, kar pomeni, da je poleg e tudi ˇstevilo π predstavnik transcendentnih realnih ˇstevil.

Idejo Lindemann-ovega dokaza transcendentnosti ˇstevila π si lahko preberete v [14].

2.2 Iskanje algebraiˇ cnih in transcendentnih ˇ stevil

Izkaˇze se, da lahko z osnovnimi operacijami seˇstevanja in mnoˇzenja generiramo neskonˇcno mnogo transcendentnih ˇstevil. V tem razdelku bomo zapisali nekaj smernic, ki nam povedo, kako s pomoˇcjo nekaterih transcendentnih ˇstevil, kot sta π in e, generiramo ˇse nekatera druga transcendentna ˇstevila.

Trditev 2.1. Naj bo c realno ˇstevilo. Ce jeˇ c algebraiˇcno ˇstevilo, je tudi √^k c algebraiˇcno za vsakk ∈N.

Dokaz. Ker je c algebraiˇcno realno ˇstevilo, je niˇcla polinoma z racionalnimi koeficienti, na primer f(x) = a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹ +. . .+a₁x+a₀. Velja torej a_ncⁿ+ an−1cⁿ⁻¹+. . .+a₁c+a₀ = 0. Naj bo sedaj √^k

c=β. Od tod sledi, da je c= β^k, torej a_n(β^k)ⁿ+an−1(β^k)ⁿ⁻¹ +. . .+a₁β^k +a₀ = 0. Zapis tega izraza lahko nekoliko poenostavimo in dobimo a_n(β)^kn+a_n−1(β)^k(n−1)+. . .+a₁(β)^k +a₀ = 0.

Torej je ˇstevilo √^k

calgebraiˇcno za vsak k ∈N, saj je niˇcla polinoma z racionalnimi koeficienti g(x) =a_nx^kn+an−1x^k(n−1)+. . .+a₁x+a₀.

Izkaˇze se, da gre zadeva tudi v drugo smer. Dokaz naslednje trditve, katere posledica je dejstvo, da je mnoˇzica vseh algebraiˇcnih ˇstevil polje, je precej enostaven, ˇ

ce se opremo na teorijo polj in njihovih razˇsiritev. Ker to ˇze presega okvire tega diplomskega dela, bomo dokaz izpustili. Zainteresiran bralec si lahko o tem pre- bere v [8].

Trditev 2.2. Naj bostaa inb algebraiˇcni realni ˇstevili. Tedaj sta algebraiˇcni tudi ˇstevili a+b in a·b.

19

(32)

Opomba. Trditev 2.2 torej pove, da lahko ”nova” transcendentna ˇstevila dobimo iz ˇze znanih tako, da jim priˇstevamo algebraiˇcna ˇstevila. Obstaja pa ˇse en preprost naˇcin, kako transcendentna ˇstevila dobiti iz algebraiˇcnih. O tem govori naslednji izrek.

2.2.1 Gelfond-Schneiderjev izrek

V zaˇcetku dvajsetega stoletja je nemˇski matematik David Hilbert objavil 23 takrat ˇse nereˇsenih matematiˇcnih problemov, ki so moˇcno zaznamovali delo matematikov tistega ˇcasa. Veˇcina teh problemov je danes reˇsenih, nekateri pa vse do danes ostajajo nereˇseni. Posebej zanimiv za nas je sedmi Hilbertov problem, ki klasifi- cira nekatera transcendentna ˇstevila. Problem je ostal nereˇsen vse do leta 1934, nakar sta ga razreˇsila Alexander Gelfond in Theodor Schneider, nedovisno eden od drugega. Od tod tudi ime pripadajoˇcega izreka, ki omogoˇca preprosto konstrukcijo trasncendentnih ˇstevil. Ker je dokaz precej dolg in zahteven, ga v tem diplomskem delu ne bomo navedli.

Izrek 2.3. Naj bosta ain b algebraiˇcni ˇstevili, pri ˇcemer jea6= 0,1 inb ∈R−Q. Potem je ˇstevilo a^b transcendentno.

Primera transcendentnih realnih ˇstevil, ki izhajata iz omenjenega izreka, sta Gelfond- Schneiderjeva konstanta 2

√2 in njen kvadratni koren, ki je enak √ 2

√2

.

2.3 Primeri znanih transcendentnih realnih ˇ stevil

Kot smo omenili v prejˇsnjem razdelku, je dokazovanje transcendentnosti danega realnega ˇstevila direktno po definiciji izjemno zahtevno. Kljub temu so matematiki prejˇsnjega stoletja za nekatera realna ˇstevila uspeli dokazati njihovo transcendentnost. V prejˇsnjem podrazdelku smo omenili Gelfond-Schneiderjevo konstanto in njen kvadratni koren, v tem razdelku pa bomo predstavili ˇse nekatera ostala zna- menita transcendentna realna ˇstevila.

20

(33)

• Liouvilleova konstanta

Liouvillovo konstanto je zapisal francoski matematik Joseph Liouville. Znan je po tem, da je leta 1844 dokazal obstoj transcendentnih ˇstevil ter 6 let kasneje dokazal transcendentnost Liouvilleove konstante. To je decimalno ˇstevilo, ki ima enice na mestih za decimalno vejico, katerih poloˇzaj ustreza vrednosti n!, in niˇcle povsod drugje.

L=

∞

X

n=1

10^−n!= 0,110001000000000000000001. . .

• Konstanta veriˇznega ulomka

Leta 1849 je nemˇski matematik Carl Ludwig Siegel dokazal, da je ”The con- tinued fraction constant”, oziroma Konstanta veriˇznega ulomka, transcendentno ˇstevilo. Gre za ˇstevilo

1 + 1

2 + _3+···¹

21

(34)

3 Dokaz neˇ stevnosti mnoˇ zice transcendentnih re- alnih ˇ stevil

V prejˇsnjem razdelku smo spoznali, da je realno ˇstevilo algebraiˇcno natanko tedaj, ko je niˇcla kakˇsnega neniˇcelnega polinoma z racionalnimi koeficienti, v naspro- tnem primeru pa je transcendentno. Na prvi pogled se zdi vpraˇsanje, ali je veˇc algebraiˇcnih realnih ˇstevil, s katerimi operiramo v osnovni in srednji ˇsoli, ali je veˇc transcendentnih ˇstevil, s katerimi se v ˇsoli bore malo ukvarjamo, precej enostavno.

Marsikdo bi rekel, da je algebraiˇcnih realnih ˇstevil veˇc. Izkaˇze se, da je v resnici transcendentnih realnih ˇstevil bistveno veˇc kot algebraiˇcnih. Pravzaprav bomo pokazali, da jih je toliko, kolikor je vseh realnih ˇstevil.

Naˇs glavni cilj je, da primerjamo mnoˇzici algebraiˇcnih in transcendentnih realnih ˇstevil. Da bi pokazali, da je transcendentnih realnih ˇstevil mnogo veˇc kot algebraiˇcnih, bomo najprej pokazali, da je algebraiˇcnih pravzaprav toliko, kolikor je naravnih ˇstevil.

Izrek 3.1. Mnoˇzica algebraiˇcnih realnih ˇstevil A je ˇstevna.

Dokaz. Za vsako algebraiˇcno ˇstevilo β obstaja neniˇcelni polinom z racionalnimi koeficienti, ki ima to ˇstevilo za niˇclo. Med takˇsnimi polinomi z racionalnimi koeficienti vzemimo takˇsnega z minimalno stopnjo. Stopnjo takˇsnega polinoma pro- glasimo za stopnjo algebraiˇcnega ˇstevila β. Niˇcle vseh linearnih polinomov z racionalnimi koeficienti torej imenujemo algebraiˇcna ˇstevila stopnje 1. Mnoˇzico vseh algebraiˇcnih ˇstevil stopnje 1 oznaˇcimo z A¹. Podobno so potem A² vse tiste niˇcle kvadratnih polinomov z racionalnimi koeficienti, ki niso ˇze v A¹. Tedaj je A disjunktna unijaA=

∞

S

k=1

Ak, kjer so vAk algebraiˇcna ˇstevila stopnje k, za vse k∈N. Spomnimo se, da ima vsak polinom z racionalnimi koeficienti k-te stopnje najveˇc k realnih niˇcel, kar pomeni, da je mnoˇzica algebraiˇcnih ˇstevil na naraven naˇcin podana z mnoˇzico takˇsnih polinomov. Od tu dalje moramo preˇsteti vse polinome z racionalnimi koeficienti. V sploˇsnem je vsak polinom stopnje k natanko doloˇcen z urejeno (k+ 1)-terico njegovih koeficientov. Za zaˇcetek si oglejmo linearne polinome z racionalnimi koeficienti. Linerani polinom z racionalnimi koeficienti oblike

22

(35)

p(x) = a₀ +a₁x lahko predstavimo z urejenim parom (a₀, a₁). Linearnih polinomov je torej toliko, kolikor je vseh takih urejenih parov. Algebraiˇcnih ˇstevil stopnje 1 je zato najveˇc toliko (razliˇcna linearna polinoma lahko imata isto niˇclo), kolikor je vseh urejenih parov ˇstevil iz Q×Q. Sledi, da je mnoˇzica A1 ekvipolentna neki podmnoˇzici mnoˇzice Q×Q in je zato po posledici 1.8 in trditvi 1.3 ˇstevna. Ker je neskonˇcna, ima ˇstevno neskonˇcno elementov. Po podobnem razmisleku je kvadratnih polinomov toliko, kolikor je vseh urejenih trojic racionalnih ˇstevil. Mnoˇzica algebraiˇcnih ˇstevil stopnje 2 je torej ekvipolentna neki podmnoˇzici mnoˇzice Q×Q×Q× {1,2} (saj ima lahko vsak kvadratni polinom najveˇc dve realni in zato tudi najveˇc dve racionalni niˇcli) in je zato po posledici 1.8 in trditvi 1.3 ˇstevna, torej ima ˇstevno neskonˇcno elementov. Po podobnem razmisleku pokaˇzemo, da je za vsak k ≥1 mnoˇzica Ak ˇstevno neskonˇcna.

Mnoˇzice A1,A2, . . . so torej ˇstevno neskonˇcne, ker pa je k iz mnoˇzice naravnih ˇstevil, ki je ˇstevna, smo potemtakem zgoraj mnoˇzico A zapisali kot ˇstevno unijo ˇstevno neskonˇcnih mnoˇzic A=

∞

S

k=1

A^k. Mnoˇzica A je tako po trditvi 1.9 ˇstevna.

Dokazali smo, da je mnoˇzica algebraiˇcnih realnih ˇstevil ˇstevna, torej ima ˇstevno neskonˇcno elementov.

Posledica 3.2. Mnoˇzica transcendentnih realnih ˇstevil je neˇstevna. Poslediˇcno ima mnoˇzica transcendentnih realnih ˇstevil veˇcjo moˇc od mnoˇzice algebraiˇcnih realnih ˇstevil.

Dokaz. Da je mnoˇzica transcendentnih realnih ˇstevil neˇstevna se zlahka pre- priˇcamo. ˇCe bi bila mnoˇzica T ˇstevna, bi bila mnoˇzica realnih ˇstevil, kot unija mnoˇzice algebraiˇcnih in mnoˇzice transcendentnih realnih ˇstevil, po trditvi 1.6 ˇstevna, kar nas privede v protislovje, saj je mnoˇzica realnih ˇstevil neˇstevna.

Spomnimo se, da ima mnoˇzicaTveˇcjo moˇc kotA, ˇce vsebuje podmnoˇzico, ki je ekvipolentna mnoˇziciA, mnoˇzicaApa ne premore podmnoˇzice, ki je ekvipolentnaT. Definirajmo mnoˇzico B ={π+n: n ∈N}. Po trditvi 2.2 so vsi elementi mnoˇzice B transcendentna realna ˇstevila in zato velja B ⊆T. Mnoˇzica B je ekvipolentna mnoˇzici N, saj obstaja bijekcija f :N→B, definirana s predpisom f(n) =π+n.

Mnoˇzica T torej vsebuje podmnoˇzico, ki je ekvipolentna mnoˇzici A, saj je slednja po izreku 3.1 ˇstevna in zato ekvipolentna N. Po trditvi 1.3 je vsaka podmnoˇzica

23

(36)

mnoˇzice Aˇstevna,Tpa je po zgornjem neˇstevna. ZatoAne premore podmnoˇzice, ki bi bila ekvipolentna mnoˇzici T. Od tod sledi, da ima Tveˇcjo moˇc kot A.

Posledica 3.3. Mnoˇzica transcendentnih realnih ˇstevil je ekvipolentna mnoˇzici realnih ˇstevil.

Dokaz. Naj bosta mnoˇzica B in bijekcija f: N → B kot v dokazu posledice 3.2. Mnoˇzico realnih ˇstevil lahko tedaj zapiˇsemo kot disjunktno unijo R = A∪ (T\B)∪B. Ker je po izreku 3.1Aˇstevno neskonˇcna, obstaja bijektivna preslikava g: A→N. Lahko je videti, da je preslikavah:R→T, definirana s predpisom

h(x) =











x; x∈T\B

f(2g(x)); x∈A f(2f⁻¹(x)−1); x∈B,

(6)

bijektivna.

24

(37)

Zakljuˇ cek

V diplomskem delu smo obravnavali ˇstevne in neˇstevne mnoˇzice in operacije nad ˇstevnimi mnoˇzicami. Spoznali smo algebraiˇcna in transcendentna realna ˇstevila.

Pokazali smo, da je ˇstevna unija ˇstevnih mnoˇzic ˇstevna mnoˇzica, kar je bil kljuˇcen rezultat v dokazu, da je algebraiˇcnih realnih ˇstevil ˇstevno neskonˇcno. Ker je vseh realnih ˇstevil neˇstevno mnogo, smo tako pokazali, da je tudi transcendentnih realnih ˇstevil neˇstevno neskonˇcno.

Kot smo videli, je transcendentnih ˇstevil ravno toliko, kolikor je vseh realnih ˇstevil.

To pa ˇse ne pomeni, da ne bi mogla obstajati kakˇsna njena podmnoˇzica, ki bi bila po moˇci med strogo med mnoˇzico naravnih ˇstevil in mnoˇzico realnih ˇstevil. Georg Cantor je veˇcino svojega ˇcasa posvetil neskonˇcnim mnoˇzicam. Zgornje vpraˇsanje, ali obstaja kakˇsna neskonˇcna mnoˇzica, katere moˇc je veˇcja od moˇci mnoˇzice naravnih ˇstevil in manjˇsa od moˇci mnoˇzice realnih ˇstevil, ga je zelo zanimalo. Domneval je, da takˇsna mnoˇzica ne obstaja, a tega ni znal dokazati.

Hipoteza kontinuuma govori o neobstoju mnoˇzice, ki bi bila po moˇci striktno med mnoˇzico naravnih ˇstevil in mnoˇzico realnih ˇstevil. Matematik Kurt G¨odel je pokazal, da z aksiomi standardne teorije mnoˇzic hipoteze kontinuuma ne moremo ovreˇci, kasneje pa je ameriˇski matematik Paul Cohen pokazal, da z uporabo istih aksiomov hipoteze kontinuuma ne moremo potrditi. S hipotezo kontinuuma se danaˇsnji matematiki ˇse vedno ukvarjajo.

25

(38)

Literatura

[1] Daepp, U. in Gorkin, P. (2011). Reading, writing, and proving. New York: Springer, cop.

[2] Grasselli, J. (1983).Algebraiˇcna ˇstevila. Ljubljana: Druˇstvo matematikov, fizikov in astronomov SRS.

[3] Halmos, P. R. (1974).Naive set theory. New York: Springer, cop.

[4] Kuzman, B. (2016). Logika in mnoˇzice. Zapiski predavanj.

[5] Prijatelj, N. (1988).Matematiˇcne strukture 1. Ljubljana: Partizanska knjiga.

[6] Rotar, P. (2012).Teorija mnoˇzic pri pouˇcevanju matematike. (Diplom- sko delo). Pedagoˇska fakulteta, Ljubljana.

[7] Smullyan, R. (1995). Satan, Cantor in neskonˇcnost. Kamnik: Logika d.o.o.

[8] ˇSparl, P. (2015).Abstraktna algebra. Zapiski predavanj.

[9] Vrtaˇcnik, M. (1996).Cantorjeva teorija neskonˇcnih mnoˇzic. (Diplom- sko delo). Pedagoˇska fakulteta, Ljubljana.

Spletna literatura

[10] James, R.D. (1950).Transcendental numbers. Pridobljeno 21.8.2017 s http://www.ams.org/journals/bull/1950−56−06/S0002−9904− 1950−09435−X/S0002−9904−1950−09435−X.pdf.

[11] Mrˇcun, J. in Kaliˇsnik, J. (2016). Matematika 1 za fizike. Ljubljana:

Fakulteta za matematiko in fiziko. Pridobljeno s http://www.fmf.uni- lj.si/ mrcun/preprints/mat1.pdf

[12] Transcendental number. Pridobljeno 18.1.2017 s https : //en.wikipedia.org/wiki/T ranscendental number.

26

(39)

[13] Gelfond-Schneider theorem. Pridobljeno 24.5.2017 s https : //en.wikipedia.org/wiki/Gelf ond%E2%80%93Schneider theorem.

[14] Lindemann-Weierstrassov izrek. Pridobljeno 18.1.2017 s https : //sl.wikipedia.org/wiki/Lindemann−W eierstrassov izrek.

[15] Liouville’s constant. Pridobljeno 21.8.2017 s http : //mathworld.wolf ram.com/LiouvillesConstant.html.

27