UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in raˇ cunalniˇstvo
dr. Mateja Graˇsiˇc, dr. Niko Tratnik
Zbrano gradivo: vaje pri predmetu Osnove linearne algebre in
vektorske analize
Maribor, 2021
PREDGOVOR
V tem gradivu so zbrane naloge, ki so primerne za vaje iz predmeta Osnove linearne algebre in vektorske analize na ˇstudijskem programu 1. stopnje Fizika. Predstavljene so tudi nekatere osnovne definicije in izreki, ki lahko pomagajo pri reˇsevanju nalog.
Na koncu je dodanih nekaj primerov kolokvijev in pisnih izpitov. Pri izbiri nalog sva si pomagala z obstojeˇcimi uˇcbeniki, zbirkami vaj in internetnimi viri (predvsem iz [2]
in [15]; na nekaterih mestih je to tudi posebej oznaˇceno). Naloge za dodatno reˇsevanje lahko najdemo v zbirkah [4, 5, 6, 7, 8, 11, 12].
Kazalo
1 Logika, mnoˇzice in funkcije 1
2 Osnovno o vektorjih 7
3 Linearno neodvisni vektorji 9
4 Skalarni, vektorski in meˇsani produkt 12
4.1 Skalarni produkt . . . 12
4.2 Vektorski produkt . . . 13
4.3 Meˇsani produkt . . . 15
5 Premice in ravnine v prostoru 17 5.1 Premice . . . 17
5.2 Ravnine . . . 19
6 Matrike 21 6.1 Osnovno o matrikah . . . 21
6.2 Rang matrike . . . 23
6.3 Determinanta . . . 24
6.4 Inverzna matrika . . . 25
6.5 Sistemi linearnih enaˇcb . . . 27
6.6 Determinante in rekurzivne enaˇcbe . . . 28
7 Vektorski prostori 30
8 Linearne preslikave 32
9 Lastne vrednosti in lastni vektorji 35
10 Funkcije veˇc spremenljivk 37
10.1 Definicijsko obmoˇcje, nivojnice in prerezi . . . 37
10.2 Parcialni odvodi in ekstremi . . . 38
11 Gradient, divergenca in rotor 41 12 Primeri kolokvijev in pisnih izpitov 43 12.1 Primer prvega kolokvija . . . 43
12.2 Primer drugega kolokvija . . . 45
12.3 Primer pisnega izpita I . . . 46
12.4 Primer pisnega izpita II . . . 47
Poglavje 1
Logika, mnoˇ zice in funkcije
V tem poglavju so predstavljeni osnovni pojmi iz logike, mnoˇzic in funkcij. Vsebina poglavja je vzeta iz vira [9].
Logika
Izjava je neka smiselna poved, za katero lahko doloˇcimo, ali je pravilna ali nepravilna.
Ce je izjava pravilna, ji priredimo logiˇˇ cno vrednost 1, ˇce je nepravilna pa vrednost 0.
V nadaljevanju bomo izjave oznaˇcevali z velikimi tiskanimi ˇcrkami. Oglejmo si nekaj izjav, ki jih lahko tvorimo iz drugih izjav.
Negacija izjave A, ki jo oznaˇcimo kot ¬A, je izjava, ki je pravilna, ˇce je izjava A nepravilna in obratno.
Konjunkcija izjav A in B, ki jo oznaˇcimo kot A∧B, je izjava, ki je pravilna samo takrat, ko sta A inB obe pravilni. Izjavo A∧B beremo kot A in B.
Disjunkcija izjavA in B, ki jo oznaˇcimo kot A∨B, je izjava, ki je nepravilna samo takrat, ko sta A inB obe nepravilni. Izjavo A∨B beremo kot A ali B.
Implikacija izjavA in B, ki jo oznaˇcimo kot A⇒B, je izjava, ki je nepravilna samo takrat, ko je A pravilna in B nepravilna. Izjavo A ⇒ B beremo kot iz A sledi B oziroma tudiˇce A, potem B.
Ekvivalenca izjav A in B, ki jo oznaˇcimo kot A ⇔ B, je izjava, ki je pravilna samo takrat, ko sta A in B obe pravilni ali obe napravilni. Izjavo A ⇔ B beremo kot A natanko tedaj ko B oziroma tudiA ˇce in samo ˇce B.
Definicije zgornjih sestavljenih izjav lahko podamo tudi z resniˇcnostno tabelo:
A B ¬A A∧B A∨B A⇒B A⇔B
0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1
Izjava, ki je zmeraj pravilna (pri vsakem naboru logiˇcnih vrednosti osnovnih izjav), se imenuje tavtologija.
Mnoˇzice
Mnoˇzica je nek dobro definiran nabor objektov, ki jih imenujemo tudi elementi mnoˇzice. Mnoˇzice bomo obiˇcajno oznaˇcevali z velikimi ˇcrkami, medtem ko za elemente mnoˇzic veˇcinoma uporabljamo male ˇcrke. Kadar nek element a pripada mnoˇzici A, to s simboli zapiˇsemo kot a∈A.
Mnoˇzico lahko podamo tako, da naˇstejemo vse njene elemente, na primer A={1,2,3,4,5},
ali pa tako, da zapiˇsemo pogoje, ki karakterizirajo elemente v mnoˇzici, na primer A={n|n je naravno ˇstevilo in n <6}.
Pravimo, da je mnoˇzica B podmnoˇzica mnoˇzice A, ˇce velja, da je vsak element iz B tudi element iz A. V tem primeru piˇsemo B ⊆ A ali B ⊂ A. Mnoˇzici A in B sta enaki, A=B, ˇce velja B ⊆A inA⊆B.
Mnoˇzico, ki ne vsebuje nobenega elementa, imenujemoprazna mnoˇzicaali tudiniˇcelna mnoˇzica in jo oznaˇcimo kot ∅ ali{}. Po drugi strani mnoˇzico vseh elementov, ki nas v neki situaciji zanimajo, imenujemo univerzalna mnoˇzica.
Kadar neka mnoˇzica A vsebuje konˇcno mnogo elementov, reˇcemo, da je A konˇcna, ˇstevilo elementov v mnoˇzici pa imenujemomoˇc mnoˇzice in ga oznaˇcimo kot |A|.
Pogosto bomo sreˇcevali naslednje ˇstevilske mnoˇzice:
• N - mnoˇzica naravnih ˇstevil,
• Z - mnoˇzica celih ˇstevil,
• Q- mnoˇzica racionalnih ˇstevil,
• R - mnoˇzica realnih ˇstevil,
• C - mnoˇzica kompleksnih ˇstevil.
Operacije z mnoˇzicami
Unija mnoˇzic A in B, ki jo oznaˇcimo kot A ∪ B, je mnoˇzica vseh elementov, ki pripadajoA ali B. Bolj natanˇcno,
A∪B ={x|(x∈A)∨(x∈B)}.
Presek mnoˇzic A in B, ki ga oznaˇcimo kot A∩B, je mnoˇzica vseh elementov, ki pripadajoA in B. Bolj natanˇcno,
A∩B ={x|(x∈A)∧(x∈B)}.
Razlika mnoˇzicAinB, ki jo oznaˇcimo kotA\B aliA−B, je mnoˇzica vseh elementov, ki pripadajoA vendar ne pripadajo B. Bolj natanˇcno,
A\B ={x|(x∈A)∧(x /∈B)}.
Naj boU univerzalna mnoˇzica in A⊆ U poljubna mnoˇzica. Komplement mnoˇzice A, ki ga oznaˇcimo kot A ali Ac, je mnoˇzica vseh elementov, ki pripadajo U vendar ne pripadajoA. Bolj natanˇcno,
Ac=A ={x|(x∈ U)∧(x /∈A)}.
Karteziˇcni produkt mnoˇzicAinB, ki ga oznaˇcimo kotA×B, je mnoˇzica vseh urejenih parov elementov, kjer prvi element v paru pripadaA, drugi element v paru pa pripada B. Bolj natanˇcno,
A×B ={(a, b)|(a∈A)∧(b∈B)}.
Za operacije z mnoˇzicami med drugim veljajo naslednje lastnosti:
1. A∪A=A,A∩A=A,
2. (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C =A∩(B∩C), 3. A∪B =B∪A, A∩B =B∩A,
4. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C),
5. A∪ ∅=A,A∩ ∅=∅, 6. (Ac)c=A,
7. A∪Ac=U, A∩Ac=∅,
8. (A∪B)c=Ac∩Bc, (A∩B)c=Ac∪Bc (DeMorganova zakona).
Funkcije
Naj bosta A, B neprazni mnoˇzici. Funkcija f : A → B je predpis, ki vsakemu elementu mnoˇzice A priredi natanko en element mnoˇzice B. ˇCe funkcija f elementu a ∈ A priredi element b ∈ B, reˇcemo, da je b slika elementa a in piˇsemo b = f(a).
Mnoˇzico A imenujemo definicijsko obmoˇcje ali domena, mnoˇzico B pa kodomena.
Zaloga vrednosti funkcijef je definirana kot
Zf ={f(a)|a ∈A}.
Naj bo X ⊆A. Slika mnoˇzice X je definirana kot f(X) = {f(x)|x∈X}.
Naj bo Y ⊆B. Praslika mnoˇzice Y je definirana kot f−1(Y) ={a ∈A|f(a)∈Y}.
Naj bosta f : A → B in g : C → D takˇsni funkciji, da je B ⊆ C. Funkcija g◦f :A→D, ki je definirana s predpisom (g◦f)(a) =g(f(a)), se imenujekompozitum funkcijf ing.
Funkcija f : A → B je injektivna, ˇce za poljubna elementa a1, a2 ∈ A velja: a1 6=
a2 ⇒f(a1)6=f(a2).
Funkcijaf :A→B jesurjektivna, ˇce za poljuben element b ∈B obstaja a∈A, tako da velja b=f(a).
Funkcija f :A→B je bijektivna, ˇce je injektivna in surjektivna.
Naj bo f : A → B bijektivna funkcija. Potem definiramo inverzno funkcijo f−1 : B → A na naslednji naˇcin: za poljuben b ∈ B naj bo a ∈ A tak, da je f(a) = b.
Potem jef−1(b) =a.
Naloge na vajah:
1. Naj bodo A, B, C, D izjave. Za vsako izmed naslednjih izjav preveri, da je tavtologija:
(a) ¬(¬A)⇔A,
(b) (A⇒B)⇔(¬B ⇒ ¬A) (kontrapozicija implikacije), (c) ¬(A⇒B)⇔(A∧ ¬B) (negacija implikacije),
(d) (A⇒B)⇔(¬A∨B),
(e) ¬(A∨B)⇔(¬A∧ ¬B) (negacija disjunkcije), (f) ¬(A∧B)⇔(¬A∨ ¬B) (negacija konjunkcije),
(g) (A∧(B∨C))⇔((A∧B)∨(A∧C)) (distributivnost), (h) (A∨(B∧C))⇔((A∨B)∧(A∨C)) (distributivnost).
2. Tone je izjavil: Ce mi bo oˇˇ ce posodil avto, bom priˇsel pod okno in vrgel kamen.
(a) Dano izjavo zapiˇsi s simboli.
(b) Tone se je zlagal. Kaj se je v resnici zgodilo?
3. Skiciraj podane mnoˇzice in doloˇci relacije med njimi:
A={x∈R | |x|>4}, B ={x∈R | x3 ≥8},
C ={x∈R | x2−5x+ 6 <0}.
Izraˇcunaj ˇse A∪B,A∩B,A∪(B ∩C) in B\A.
4. V R2 skiciraj mnoˇzici
A={(x, y)∈R2 | x2+y2 ≤4}, B =Z×[−1,1].
5. Naj bo f funkcija, ki vsakemu ˇcloveku priredi njegov mesec rojstva. Za funk- cijof zapiˇsi definicijsko obmoˇcje, zalogo vrednosti ter preveri, ali je injektivna oziroma surjektivna.
6. Funkcija f : R → R je podana s predpisom f(x) = x2. Ali je f injektivna oziroma surjektivna? ˇCe ni, ustrezno spremeni domeno in kodomeno, da bo bijektivna.
7. Poiˇsˇci vsaj eno bijekcijo f :A→B, ˇce je
(a) A= [1,3] in B = [2,5], (b) A= (0,1) in B =R.
8. Za funkcijo f, podano s predpisom f(x) = x−13−x, zapiˇsi predpis inverzne funkcije f−1.
Dodatne naloge:
1. Skiciraj mnoˇzico A=
{−1,1} ×(−1,1)
∪
(−1,1)× {−1,1}
.
2. Funkcija f : R → R je podana s predpisom f(x) = cosx. Ali je f injektivna oziroma surjektivna? ˇCe ni, ustrezno spremeni domeno in kodomeno, da bo bijektivna.
3. Naj bosta f, g:R→R podani s predpisomaf(x) = 2x in g(x) = x−1. Doloˇci predpisa funkcij f◦g ing ◦f.
4. Funkcija f : R → R naj bo podana s predpisom f(x) = −x2 + 1. Doloˇci f([0,∞)),f−1((1,3]) in f−1((−2,−1)).
5. Funkcijaf :R→Rnaj bo podana s predpisomf(x) = cosx. Doloˇcif−1([12,
√ 3 2 ]).
Opomba: naloge v tem poglavju so iz vira [9].
Poglavje 2
Osnovno o vektorjih
Obiˇcajno bomo delali v prostoru R3 = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R} (analogne definicije in rezultati veljajo tudi v ravniniR2).
Geometrijski vektor h−→
ABi
(v nadaljevanju bomo pisali kar−→
AB) je ekvivalenˇcni razred usmerjenih daljic, ki so vzporedne, enako usmerjene in enako dolge kot usmerjena daljica od toˇcke A do toˇcke B. Vektor se torej ohrani, ˇce ga vzporedno premaknemo (gre za isti vektor). Definiramo tudi seˇstevanje vektorjev in mnoˇzenje vektorjev s skalarji.
Naj bo A(a1, a2, a3) poljubna toˇcka. Krajevni vektor toˇcke A je vektor, ki poteka od izhodiˇsˇca do toˇcke A. Zapiˇsemo ga lahko kot −→rA = (a1, a2, a3). Za poljubni toˇcki A inB potem velja
−→AB =−r→B− −→rA. Naj bodo −→v1,−→v2, . . . ,−→vn poljubni vektorji. Potem vektor
−
→a =λ1−→v1 +λ2−→v2 +· · ·+λn−→vn,
kjer soλ1, λ2, . . . , λn∈R, imenujemolinearna kombinacija vektorjev −→v1,−→v2, . . . ,−→vn. Dolˇzina vektorja −→a = (a1, a2, a3) je definirana kot |−→a| = p
a21+a22+a23. Vektor, katerega dolˇzina je enaka 1, se imenuje enotski vektor.
Vektorja −→a in −→
b sta kolinearna, ˇce je −→ b = −→
0 ali ˇce obstaja tako realno ˇstevilo λ, da je −→a =λ−→
b . Reˇcemo lahko tudi, da sta vektorja vzporedna oziroma da leˇzita na isti premici.
Naloge na vajah:
1. [14] V koordinatnem sistemu imamo podane toˇckeA(3,4),B(0,−2) inC(−3,2).
(a) Izraˇcunaj dolˇzino krajevnega vektorja toˇcke A.
(b) Izrazi vektor −→rC s pomoˇcjo vektorjev −→rA in−r→B.
2. Naj bodo A, B, C inD poljubne toˇcke iz prostora R3. Poenostavi izraza:
(a) −−→
DC+−−→ AD+−−→
CB, (b) −−→
BC+−→
AB−−→
AC.
3. [14] Podan je kvader ABCDEF GH ter vektorji −→a = −→
AB, −→
b = −−→
AD in −→c =
−→AE. Naj bo M razpoloviˇsˇce daljice AB, N pa preseˇciˇsˇce diagonal ploskve BCGF. S pomoˇcjo vektorjev −→a, −→
b , −→c izrazi vektorje −→
AG, −−→ BE, −−→
M N. Kaj lahko poveˇs o vektorjih−→
AG in −−→
M N?
4. Podana sta vektorja−→a = (−x,−3,8) in−→
b = (2x,3,2), kjer jex∈R. Ali lahko doloˇciˇs parameterx tako, da bosta vektorja −→a in−→
b kolinearna?
5. [14] Podana je kocka ABCDEF GH ter vektorji −→a = −→
AB, −→
b = −→
AC in −→c =
−→AE. Naj boM razpoloviˇsˇce daljice AB,N preseˇciˇsˇce diagonal ploskveEF GH, toˇcka O pa razdeli daljicoCGv razmerju 1 : 2. S pomoˇcjo vektorjev −→a,−→
b, −→c izrazi vektorje −→
CA, −−→
BH -−−→
F H, −−→
M Gin −−→
N O.
6. [4] Dan je enakokrak trapez s podatki|BC|=|CD|=|AD|= 2 in∠BAD= π3. Na stranici AB leˇzi enotski vektor −→m, na stranici AD pa enotski vektor −→n. Toˇcka M naj bo razpoloviˇsˇce daljice AB, toˇcka N pa naj deli daljico CD v razmerju|CN|:|N D|= 2 : 1.
(a) Preveri, da je |AB|= 4.
(b) Z vektorjema −→m in −→n izrazi vektorje −−→ BC, −−→
AN in−−→
M N.
7. Dan je paralelogramABCD, kjer jeA(−1,0,1), B(2,1,3) in D(0,2,3). Doloˇci koordinate toˇcke C ter izraˇcunaj dolˇzino straniceAB in dolˇzino diagonale BD.
Poglavje 3
Linearno neodvisni vektorji
Vektorji−→v1,−→v2, . . . ,−→vn solinearno neodvisni, ˇce je samo njihova niˇcelna linearna kom- binacija (torej taka, pri kateri so vsi koeficienti enaki 0) enaka niˇcelnemu vektorju. Z drugimi besedami mora velja naslednje:
λ1−→v1 +λ2−→v2 +· · ·+λn−→vn =−→
0 ⇒λ1 =λ2 =· · ·=λn= 0.
To pomeni, da se noben izmed danih vektorjev ne da izraziti s preostalimi. ˇCe vektorji niso linearno neodvisni, potem reˇcemo, da so linearno odvisni. V tem primeru se vsaj eden izmed vektorjev da izraziti s preostalimi.
Oˇcitno velja, da sta dva vektorja linearno neodvisna natanko tedaj, ko nista kolinearna (torej nista vzporedna oziroma ne leˇzita na isti premici). Podobno so trije vektorji iz prostoraR3 linearno neodvisni natanko tedaj, ko niso komplanarni (torej ne leˇzijo v isti ravnini).
Vpeljemo tudi vektorje −→
i = (1,0,0), −→
j = (0,1,0) in −→
k = (0,0,1), ki predstavljajo standardnobazo prostoraR3 (to pomeni, da so linearno neodvisni in da se vsak drug vektor lahko na enoliˇcen naˇcin zapiˇse kot linearna kombinacija teh treh vektorjev).
Izkaˇze se, da poljubni trije linearno neodvisni vektorji prostora R3 sestavljajo bazo tega prostora.
Podobno vsaka dva linearno neodvisna vektorja prostora R2 sestavljata bazo tega prostora, pri ˇcemer standardno bazo sestavljata vektorja −→
i = (1,0) in −→
j = (0,1).
Naloge na vajah:
1. Dani so vektorji −→a = (1,1,1), −→
b = (1,1,0) in −→c = (0,1,1). Ali so vektorji
−
→a ,−→
b ,−→c linearno neodvisni? ˇCe so neodvisni, izrazi vektor −→v = (4,−2,−1) kot linearno kombinacijo vektorjev−→a ,−→
b ,−→c. 2. Dani so vektorji−→a = (1,0,−1), −→
b = (3,2,−1) in−→c = (1,1,0). Ali so vektorji
−
→a ,−→
b ,−→c linearno neodvisni?
3. Vektor−→a = 4−→ i +3−→
j razstavi v smeri vektorjev−→p = 2−→ i −−→
j in−→q =−→ i −3−→
j . Preveri tudi, da sta vektorja−→p in −→q linearno neodvisna.
4. Preveri, ali so vektorji−→a = 3−→ i −2−→
j +−→ k,−→
b = 2−→ i −−→
j +−→
k,−→c = 4−→ i −3−→
j +−→ k komplanarni?
5. Dani so vektorji v1 = (1,−2,3,−4), v2 = (−1,3,4,2) in v3 = (1,1,−2,−2) iz prostoraR4. Preveri, ali so vektorji linearno neodvisni.
6. [2] Dokaˇzi naslednjo trditev: ˇce so vektorji−→a ,−→
b ,−→c linearno neodvisni, potem so linearno neodvisni tudi vektorji−→a +−→
b ,−→a +−→c, −→ b +−→c. 7. Dokaˇzi, da se v paralelogramu diagonali razpolavljata.
8. [4] Podan je pravilni ˇsestkotnik ABCDEF ter vektorja −→a =−→
AB in −→ b =−→
AF. (a) Vektorje −→
AC, −→
AE in −−→
F D zapiˇsi kot linearne kombinacije vektorjev −→a in
−
→b.
(b) Izraˇcunaj, v kakˇsnem razmerju deli daljica AE daljico F C.
(c) Izraˇcunaj, v kakˇsnem razmerju deli daljica F C daljico AE.
9. V trikotniku ABC sta podana vektorja −→a =−→
AB in −→
b =−−→ BC.
(a) Vse tri vektorje, ki leˇzijo na teˇziˇsˇcnicah, izrazi kot linearne kombinacije vektorjev −→a, −→
b ,−→c.
(b) Dokaˇzi, da teˇziˇsˇce razdeli teˇziˇsˇcnico v razmerju 1 : 2.
10. [2] Podan je paralelepipedABCDA0B0C0D0. Naj bo toˇckaE preseˇciˇsˇce diagonal ploskve BCC0B0. V kakˇsnem razmerju razdeli paralelogram BB0D0D daljico AE?
11. [2] Podan je pravilni ˇsestkotnik ABCDEF in→−a =−→
AB ter −→ b =−→
AF .
(a) Vektorje −→
AC, −−→ AD, −−→
BC, −→
F C izrazi kot linearno kombinacijo vektorjev −→a in −→
b .
(b) V kakˇsnem razmerju deli diagonala BD diagonalo AC?
12. [2] Naj boABCDA0B0C0D0 paralelepiped. Dokaˇzi, da njegova telesna diagonala AC0prebada ravnino, ki jo doloˇcajo toˇckeB,A0inD, v teˇziˇsˇcu trikotnikaBA0D.
13. [2] Vektorja −→a in −→
b doloˇcata trikotnik. V kakˇsnem razmerju simetrala kota, ki ga doloˇcata −→a in −→
b , razdeli nasprotno stranico?
Poglavje 4
Skalarni, vektorski in meˇ sani produkt
4.1 Skalarni produkt
Za vektorja−→a = (a1, a2, a3) in −→
b = (b1, b2, b3) je skalarni produkt definiran kot
−
→a ·−→
b =a1b1+a2b2+a3b3. Oˇcitno lahko dolˇzino (normo) vektorja−→a izraˇcunamo kot
|−→a|=||−→a||=
√−→a · −→a .
Velja naslednja formula:
−
→a ·−→
b =|−→a||−→ b |cosϕ, kjer je ϕ∈[0, π] kot med vektorjema −→a in −→
b. Torej sta neniˇcelna vektorja −→a in −→ b pravokotna natanko tedaj, ko je −→a ·−→
b = 0.
Naj bo xpredznaˇcna dolˇzina pravokotne projekcije vektorja −→
b na vektor −→a. Potem je
x=|−→
b |cosϕ=
−
→a ·−→ b
|−→a| .
Vektor −→c, ki je pravokotna projekcija vektorja −→
b na vektor−→a, se torej izraˇza kot
−
→c = x
|−→a|
−
→a =
−
→a ·−→
− b
→a · −→a
−
→a .
Naloge na vajah:
1. Podana sta vektorja −→a = 4−→ i −3−→
k in −→ b = −→
i + 2−→ j −−→
k. Izraˇcunaj njuni dolˇzini, njun skalarni produkt in kot med njima.
2. Podana sta vektorja −→a = 3−→p −2−→q in−→
b =−2−→p +−→q , pri ˇcemer sta −→p in −→q enotska vektorja, ki oklepata kot 60◦. Izraˇcunaj kot med vektorjema −→a in −→
b , dolˇzino projekcije vektorja−→a na vektor−→
b in ploˇsˇcino paralelograma, napetega na vektorja−→a in −→
b .
3. [12] Vektorja −→p =−→a + 2−→
b in −→q = 5−→a −4−→
b sta pravokotna. Vektorja −→a in
−
→b imata enako dolˇzino. Doloˇci kot med vektorjema −→a in −→ b .
4. [15] Za katere vrednosti realnega ˇstevila t oklepata vektorja −→a = (t, t+ 5,√ 3) in−→
b = (1,0,0) kot π3.
5. Izraˇcunaj dolˇzine stranic in notranje kote trikotnika ABC, ˇce velja A(3,1,1), B(4,3,3) in C(1,2,4). Doloˇci tudi dolˇzino teˇziˇsˇcnice skozi toˇcko B.
6. [2] Kolikˇsen kot tvori telesna diagonala kocke z osnovno ploskvijo kocke in ko- likˇsen z osnovno stranico kocke?
4.2 Vektorski produkt
Vektorski produkt vsakemu paru vektorjev −→a in −→
b priredi vektor −→a × −→ b , ki je definiran kot
−
→a ×−→ b =
a1
a2 a3
×
b1
b2 b3
=
a2b3−a3b2
a3b1−a1b3 a1b2−a2b1
.
Izkaˇze se, da za vse vektorje −→a ,−→
b ,−→c in λ∈R velja
• −→a ×−→
b =−−→ b × −→a,
• −→a ×(−→
b +−→c) =−→a ×−→
b +−→a × −→c,
• (λ−→a)×−→
b =λ(−→a ×−→ b ),
• za vektorje−→ i ,−→
j ,−→
k velja: −→ i ×−→
j =−→ k, −→
j ×−→ k =−→
i in −→ k ×−→
i =−→ j . Geometrijski pomen:
• vektor −→a ×−→
b je pravokoten na −→a in na −→ b ,
• vektorja −→a in−→
b sta kolinearna natanko tedaj, ko je −→a ×−→ b =−→
0 ,
• |−→a ×−→
b |=|−→a| |−→
b |sinϕ, kjer jeϕ∈[0, π] kot med vektorjema (norma vektor- skega produkta torej predstavlja ploˇsˇcino paralelograma, ki ga doloˇcata vektorja
−
→a in −→ b ),
• smer vektorja −→a ×−→
b je doloˇcena po pravilu desnega vijaka pri zasuku−→a v −→ b po najkrajˇsi poti.
ˇSe nekaj identitet:
• |−→a ×−→
b|2 + (−→a ·−→
b )2 =|−→a|2|−→ b|2,
• (−→a ×−→
b)× −→c = (−→a · −→c)−→ b −(−→
b · −→c)−→a,
• (−→a ×−→
b)× −→c + (−→
b × −→c)× −→a + (−→c × −→a)×−→ b =−→
0 (Jacobijeva identiteta),
• (−→a ×−→
b )·(−→c ×−→
d) = (−→a ·−→c)(−→ b ·−→
d)−(−→a ·−→ d)(−→
b ·−→c) (Lagrangeova identiteta).
Naloge na vajah:
1. Dana sta vektorja −→a = (1,2,2) in −→
b = (−2,1,3). Izraˇcunaj vektorski produkt vektorjev−→a in −→
b ter ploˇsˇcino paralelograma, ki ga okelpata ta dva vektorja.
2. Izraˇcunaj ploˇsˇcino trikotnika, podanega z ogliˇsˇciA(2,2,4),B(4,2,7) inC(3,0,3).
3. Izraˇcunaj ploˇsˇcino paralelograma, ki ga doloˇcata vektorja −→p = −→a + 2−→ b in
−
→q = 4−→a −−→
b , ˇce je|−→a|=|−→
b|= 2, kot med −→a in−→
b pa je 5π6 . 4. Poenostavi izraz −→
i ×(2−→ j −−→
k) +−→
j ×(−−→ i + 3−→
k) +−→
k ×(2−→ i +−→
j −3−→ k).
5. [2] Izraˇcunaj (((−→ i ×−→
k)×−→ i )×−→
i )×−→ k .
6. [2] Paralerogram doloˇcata diagonali−→e = 3−→ i +−→
j −2−→ k in−→
f =−→ i −3−→
j + 4−→ k . Izraˇcunaj ploˇsˇcino paralerograma.
7. [2] Naj bosta −→a in −→
b linearno neodvisna vektorja. Reˇsi vektorsko enaˇcbo (−→a · −→x)(−→a ×−→
b) = −→a × −→x . 8. Dokaˇzi, da velja|−→a ×−→
b |=|−→a| |−→
b |sinϕ, kjer jeϕ∈[0, π] kot med vektorjema
−
→a in −→
b . Namig: pomagaj s prvo izmed zapisanih identitet.
Opomba: nekatere naloge v tem razdelku so prirejene po viru [15].
4.3 Meˇ sani produkt
Meˇsani produkt vektorjev−→a, −→
b in−→c je definiran kot
(−→a ,−→
b ,−→c) = (−→a ×−→ b)· −→c . Ce imajo vektorjiˇ −→a,−→
b in −→c obiˇcajen zapis po komponentah, potem velja
(−→a ,−→
b ,−→c) =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3 .
Izkaˇze se, da je absolutna vrednost meˇsanega produkta (−→a ,−→
b ,−→c) enaka prostornini paralelepipeda, ki ga doloˇcajo vektorji −→a,−→
b in −→c. ˇSe nekaj lastnosti:
• (−→a ,−→
b ,−→c) = 0 natanko tedaj, ko so vektorji −→a, −→
b in −→c komplanarni,
• meˇsani produkt je linearen po vsaki komponenti,
• ˇce v meˇsanem produktu med seboj zamenjamo dva vektorja, se spremeni pred- znak meˇsanega produkta.
Naloge na vajah:
1. Izraˇcunaj volumen paralelepipeda, ki ga doloˇcajo vektorji−→a = (3,−1,2), −→ b = (4,2,2) in −→c = (1,1,−2). Doloˇci ˇse volumen piramide, ki jo doloˇcajo ti trije vektorji.
2. Preveri, ali toˇcke A(1,2,9), B(−2,3,20), C(−1,1,13) in D(2,2,2) pripadajo isti ravnini.
3. Doloˇci parameter x∈Rtako, da bodo vektorji −→a = (3x,−1,2), −→
b = (4,2x,2) in−→c = (x,1,−2) komplanarni.
4. Tristrana piramida je podana z ogliˇsˇci: A(1,1,0),B(4,0,2),C(5,3,2) inD(2,2,−2).
Izraˇcunaj prostornino piramide in dolˇzino viˇsine skozi ogliˇsˇce C.
5. [2] Naj bo (−→a ,−→
b ,−→c) = 1.Izraˇcunaj (2−→a + 3−→ b ,−→
b + 2−→c ,3−→c + 4−→a).
6. [15] Vektorji−→a, −→
b in−→c doloˇcajo tristrano piramido s prostornino 3. Kolikˇsna je prostornina piramide, ki jo doloˇcajo vektorji −→a ×−→
b, −→
b × −→c in−→c × −→a? Opomba: nekatere naloge v tem razdelku so prirejene po viru [15].
Poglavje 5
Premice in ravnine v prostoru
5.1 Premice
Premica p je doloˇcena s toˇcko A(x0, y0, z0) in smernim vektorjem −→p = (p1, p2, p3).
Vektorska enaˇcba premice je tako
−
→r =−→rA+t−→p , t ∈R,
kjer je−→r krajevni vektor poljubne toˇckeT(x, y, z) na premici. Enaˇcbo lahko zapiˇsemo tudi v parametriˇcni obliki
x = x0+tp1
y = y0+tp2, t∈R z = z0+tp3
ali vkanoniˇcni obliki
x−x0 p1
= y−y0 p2
= z−z0 p3
.
V zadnjem primeru smo predpostavili, da so vse komponente vektorja−→p razliˇcne od 0.
Oˇcitno sta dve premici vzporedni natanko tedaj, ko sta njuna smerna vektorja ko- linearna. Kot med dvema premicama, ki se sekata, doloˇcimo s pomoˇcjo kota med njunima smernima vektorjema.
Razdaljo toˇcke T do premice p, ki je podana s toˇcko A in s smernim vektorjem −→p, izraˇcunamo s pomoˇcjo formule
d(T, p) = |−→p ×−→
AT|
|−→p| .
Naj bosta pin q dve mimobeˇzni premici (torej taki, ki se ne sekata in ki nista vzpo- redni). Razdaljo med premicama, ki sta podani s toˇckama P in Q ter s smernima vektorjema −→p in −→q, izraˇcunamo kot
d(p, q) = |(−→p ,−→q ,−→
P Q)|
|−→p × −→q| .
Naloge na vajah:
1. Zapiˇsi enaˇcbo premice p, ki poteka skozi toˇcki A(1,0,−1) in B(1,2,3) v vseh treh oblikah. Ali toˇcka C(1,1,1) leˇzi na premici p?
2. Podana je premica p z enaˇcbo x−13 =−y2 =z. Premico p zapiˇsi v parametriˇcni obliki.
3. Zapiˇsi enaˇcbo premice p, ki je pravokotna na vektorja −→v 1 = (2,2,1) in −→v 2 = (3,−1,1) ter gre skozi toˇcko A(1,2,1). Ali toˇcka B(1,−1,−1) leˇzi na tej pre- mici? ˇCe ne, izraˇcunaj razdaljo toˇcke B do premice p.
4. [2] Izraˇcunaj preseˇciˇsˇce premic:
p: x= 1 + 2t , y=−1 + 3t , z =−6t , t∈R; q: x=−3 + 2s , y=−1 +s , z =−2s , s∈R. Zapiˇsi tudi enaˇcbi simetral kotov med premicama p inq.
5. [2] Dani sta premici p:x =y−1, z = 2 in q :x+ 1 = 2y+ 2 = 2z. Izraˇcunaj razdaljo med premicamap inq.
5.2 Ravnine
Ravnina je doloˇcena s toˇcko A(x0, y0, z0) in dvema nekolinearnima vektorjema −→a = (a1, a2, a3) in −→
b = (b1, b2, b3), ki leˇzita v tej ravnini. Vektorska enaˇcba ravnine je tako
−
→r =−→rA+t−→a +s−→
b , t, s∈R,
kjer je−→r krajevni vektor poljubne toˇckeT(x, y, z) na ravnini. Enaˇcbo lahko zapiˇsemo tudi v parametriˇcni obliki
x = x0+ta1+sb1
y = y0+ta2+sb2, t, s∈R. z = z0+ta3+sb3
Po drugi strani je ravnina doloˇcena tudi z normalnim vektorjem −→n = (a, b, c) (ki je pravokoten na ravnino) in toˇcko A(x0, y0, z0). Tako dobimo ˇse sploˇsno ali normalno obliko enaˇcbe ravnine
ax+by+cz =d,
kjer je d=ax0+by0+cz0. Razdaljo toˇcke T(x1, y1, z1) do ravnine π, ki je podana z zgornjo enaˇcbo, izraˇcunamo s pomoˇcjo formule
d(T, π) = |ax1+by1+cz1−d|
√a2+b2+c2 .
Naloge na vajah:
1. Zapiˇsi enaˇcbo ravnine π, ki vsebuje premici p : x−23 = y+32 = z−15 in q : x−13 =
y
2 = z5. Ali toˇcka C(1,2,3) leˇzi v tej ravnini? ˇCe ne, izraˇcunaj razdaljo toˇcke C do ravnine π.
2. Zapiˇsi enaˇcbo ravnine, ki vsebuje toˇckiA(2,0,4) inB(1,4,3) ter je pravokotna na ravninoπ :x−y+z = 1.
3. [2] Doloˇci presek ravniniπ : 2x+ 3y−z =−1 in Σ :x−y+z = 8. Pod kakˇsnim kotom se sekata ti dve ravnini?
4. Izraˇcunaj toˇcko, v kateri premica p: x−23 = y+14 = z−35 seka ravnino π :−2x+ y+ 3z = 17.
5. Katera toˇcka na ravniniπ : 2x+ 3y−z = 5 leˇzi najbliˇzje toˇcki T(7,9,−6)?
6. [2] Med toˇckami, ki so enako oddaljene od toˇck A(3,4,1) in B(−1,0,5) poiˇsˇci tisto, ki je najbliˇzje toˇckiC(6,5,−4).
7. [2] Poiˇsˇci pravokotno projekcijo premicep:x= 2y=zna ravninoπ :x+y−z = 1. Pod kakˇsnim kotom premica p seka ravnino π?
8. Prezrcali toˇcko A(−10,2,−2) ˇcez premico p:−x−1 = z−134 , y = 3.
9. [15] Podani sta ravnini π1 : 12x+ 9y−20z = 19 in π2 : 16x−12y+ 15z = 9.
Poiˇsˇci vse toˇcke, ki leˇzijo na osiz in so enako oddaljene od obeh ravnin.
Opomba: nekatere naloge v tem razdelku so prirejene po viru [15].
Poglavje 6 Matrike
6.1 Osnovno o matrikah
Realna matrika dimenzijem×n je pravokotna tabela ˇstevil
A=
a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n
... ... ... am1 am2 · · · amn
,
kjer je aij ∈ R za vse i ∈ {1, . . . , m} in j ∈ {1, . . . , n}. V tem primeru ima matrika A mvrstic in n stolpcev. Krajˇse lahko matriko zapiˇsemo tudi kotA= [aij], mnoˇzico vseh realnih m× n matrik pa oznaˇcimo z Mm×n(R). V posebnem primeru, ko je m = n, je A kvadratna matrika, mnoˇzico vseh n×n matrik pa oznaˇcimo z Mn(R).
Identiteta I ∈ Mn(R) je matrika, za katero je vsak diagonalni element enak 1, vsi ostali elementi pa so enaki 0.
Za matrike definiramo naslednje operacije (za veˇc informacij glej [1]):
1. seˇstevanje matrik: za A, B ∈Mm×n(R) jeA+B ∈Mm×n(R),
2. mnoˇzenje matrike s skalarjem: za A∈Mm×n(R) in λ ∈Rje λA ∈Mm×n(R), 3. mnoˇzenje matrik: za A∈Mm×n(R) in B ∈Mn×r(R) jeAB ∈Mm×r(R), 4. transponiranje matrik: za A∈Mm×n(R) jeAT ∈Mn×m(R).
Naloge na vajah:
1. [2] Podane so realne matrike:
A=
"
2 −1 1
0 2 −1
# , B =
1 2 −1 −1
1 2 2 −2
3 −1 1 0
, C =
1 1 3
, D =
0 2
−1 1
1 5
.
Izraˇcunaj matrike, ki obstajajo: A+B, AB, BA, AC, CTC, CCT, 2A+DT, CTD,DAB.
2. [15] Podani sta matriki A =
"
2 −1
5 3
#
in B =
"
−5 −2
1 3
# .
Poiˇsˇci matriko X, za katero velja 2A−3X =B.
3. [2] Za naravno ˇstevilo n izraˇcunaj An, kjer je
A =
1 1 0 0 1 1 0 0 1
.
4. [15] Poiˇsˇci vse matrike, ki komutirajo z matriko A=
"
0 1 1 1
# .
5. [2] Matrika A je simetriˇcna, ˇce je AT = A in je poˇsevno simetriˇcna, ˇce je AT =−A.
(a) Zapiˇsi sploˇsna primera realne 3×3 simetriˇcne in poˇsevno simetriˇcne ma- trike.
(b) Kakˇsne so naslednje matrike: A+AT, A−AT, ATA?
6.2 Rang matrike
Rang matrikeA, ki ga oznaˇcimo kot rangA, je enak ˇstevilu linearno neodvisnih vrstic matrike A (formalno rang definiramo kot dimenzijo linearne lupine vseh vrstic ma- trike). Za izraˇcun ranga matrike bomo potrebovali naslednje tri elementarne vrstiˇcne operacije:
(v1) i-to vrstico matrike A pomnoˇzimo z neniˇcelnim skalarjemλ,
(v2) i-to vrstico matrike A, pomnoˇzeno zλ, priˇstejemo k j-ti vrstici (j 6=i), (v3) zamenjamo i-to in j-to vrstico matrike A.
Izkaˇze se, da navedene vrstiˇcne operacije ne spremenijo ranga matrike [1]. S pomoˇcjo teh operacij lahko matriko preoblikujemo v takˇsno obliko, da velja:
1. ˇce je neka vrstica niˇcelna, potem so niˇcelne tudi vse naslednje vrstice,
2. ˇce je vrstica i+ 1 neniˇcelna, potem je prvi neniˇcelni element z leve v tej vrstici bolj desno kot prvi neniˇcelni element v i-ti vrstici.
Za matriko opisane oblike je rang oˇcitno enak kar ˇstevilu neniˇcelnih vrstic.
Naloge na vajah:
1. [15] Doloˇci ranga matrik
A=
1 −2 3 4
2 −1 8 −6
3 −3 11 −2
in B =
2 1 9
1 −1 −3
−4 3 7
−7 1 −9
.
2. [15] Glede na parameter k doloˇci ranga matrik
A=
1 −1 0 3
2 5 7 4
3 k 7 7
in B =
3 1 1 4
k 4 10 1 1 7 17 3
2 2 4 3
.
6.3 Determinanta
Naj bo A ∈ Mn(R). Determinanto matrike A oznaˇcimo kot detA in definiramo s formulo
detA= X
π∈Sn
s(π)a1,π(1)a2,π(2)· · ·an,π(n),
pri ˇcemer je Sn mnoˇzica vseh permutacij mnoˇzice {1, . . . , n} in s(π) predznak per- mutacije π [1]. Izkaˇze se, da je detAT = detA in det(AB) = detA · detB za A, B ∈Mn(R).
Determinanto lahko izraˇcunamo s pomoˇcjo razvoja po i-ti vrstici,i∈ {1, . . . , n}:
detA=
n
X
j=1
(−1)i+jaijdetAij,
kjer je Aij podmatrika matrike A, v kateri odstranimo i-to vrstico in j-ti stolpec.
Podobna formula velja tudi za razvoj po poljubnem stolpcu.
Determinanto lahko izraˇcunamo tudi s pomoˇcjo Gaussove metode, pri ˇcemer upoˇstevamo naslednje lastnosti vrstiˇcnih operacij:
1. ˇce i-to vrstico matrike A pomnoˇzimo s skalarjem λ, se determinanta matrike pomnoˇzi z λ,
2. ˇce i-to vrstico matrike A, pomnoˇzeno z λ, priˇstejemo k j-ti vrstici (j 6= i), se determinanta matrike ne spremeni,
3. zamenjava dveh vrstic matrike spremeni predznak determinante.
S temi operacijami lahko problem raˇcunanja determinante prevedemo na raˇcunanje determinante zgornje trikotne matrike, ki pa je enaka kar produktu diagonalnih ele- mentov.
Naloge na vajah:
1. Permutacijo
π= 1 2 3 4 5 6 2 4 6 1 3 5
!
zapiˇsi kot produkt transpozicij in doloˇci njen predznak.
2. [2, 15] S pomoˇcjo razvoja po vrstici ali stolpcu izraˇcunaj determinanti
2 1 1
0 5 −2
1 −3 4
in
9 7 6 8 5 3 0 0 2 0 5 3 0 4 0 7 5 4 6 0 1 0 0 0 0 .
3. [2, 15] S pomoˇcjo Gaussove eliminacije izraˇcunaj determinanti
0 1 0 −1
2 3 −1 0
4 7 2 4
−2 −2 4 −1
in
1 2 0 −1
2 3 −1 0
0 −1 2 4
−1 0 4 −1 .
Drugo determinanto izraˇcunaj ˇse s kombinacijo metod iz naloge 1 in 2.
4. [2] Izraˇcunaj determinanto reda n×n
−t 0 0 · · · 0 a1 a2 −t 0 · · · 0 0 0 a3 −t · · · 0 0 ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 · · · an −t
.
6.4 Inverzna matrika
Matrika A∈Mn(R) je obrnljiva, ˇce obstaja taka matrika B ∈Mn(R), da velja AB=BA=I.
V tem primeru pravimo, da je B inverzna matrika matrikeA in oznaˇcimo B =A−1. Izkaˇze se, da so za matriko A∈Mn(R) naslednje trditve ekvivalentne [1]:
(i) A je obrnljiva matrika, (ii) rang matrike A je enak n,
(iii) detA6= 0.
Postopek iskanja inverzne matrike: matriko A razˇsirimo z identiteto I, da dobimo matriko [A|I], nato z elementarnimi vrstiˇcnimi operacijami (v1)−(v3) prevedemo matriko [A|I] do matrike [I|A−1].
Inverzno matriko obrnljive matrikeA lahko izraˇcunamo tudi po formuli A−1 = 1
detA A˜
T
,
pri ˇcemer je ˜A= [˜aij] in ˜aij = (−1)i+jdetAij zai, j ∈ {1, . . . , n}. Matriko ˜A∈Mn(R) imenujemo prirejenka matrike A ali tudimatrika kofaktorjev.
Naloge na vajah:
1. Dani sta matriki
A=
3 1 3
2 −1 1 1 −1 0
in B =
"
1 0 1
1 −1 1
# .
(a) Z matriko kofaktorjev izraˇcunaj inverzno matriko A−1. (b) Reˇsi matriˇcno enaˇcbo AX =BT.
2. Dani sta matriki
A=
2 0 1
1 −1 3
6 1 0
in B =
1 0 1 0 1 0 1 0 1
(a) [15] S pomoˇcjo Gaussove eliminacije izraˇcunaj inverz matrike A.
(b) Reˇsi matriˇcno enaˇcbo AX−I =B.
3. Preveri, ali je matrika A obrnljiva, ˇce je
A=
2 0 0 −2
3 2 3 −4
8 4 5 −7
−4 −3 6 6
.
4. [2] Reˇsi matriˇcno enaˇcbo AXB =C, ˇce je A=
"
1 1 5 6
#
, B =
"
4 2 7 3
#
in C=
"
−1 2 2 −4
# .
5. [2] Reˇsi matriˇcno enaˇcbo 2AX −3A=BX, ˇce je
A=
2 3 1
−2 2 4
1 2 1
in B =
1 6 2
−4 0 8
2 4 1
.
6. Izraˇcunaj inverz matrike
A =
0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
.
6.5 Sistemi linearnih enaˇ cb
Sistemmlinearnih enaˇcb znneznankami lahko zapiˇsemo v matriˇcni obliki kotAx=b oziroma s pomoˇcjo razˇsirjene matrike [A|b] (pri tem je A matrika dimenzije m×n, x je stolpec n neznank in b stolpec z m elementi). Nato si pomagamo z elementarnimi vrstiˇcnimi operacijami (v1)−(v3), ki ne spremenijo reˇsitev sistema. Natanˇcneje, matriko [A|b] preoblikujemo tako kot v razdelku 6.2 in izpiˇsemo reˇsitve sistema.
Izkaˇze se, da je sistem linearnih enaˇcbAx = b reˇsljiv natanko tedaj, ko je rangA = rang[A|b]. Nadalje, ˇce je rangA = rang[A|b] = n, je sistem enoliˇcno reˇsljiv, ˇce je rangA= rang[A|b] =k < n, ima sistem n−k parametriˇcno druˇzino reˇsitev [1].
Naloge na vajah:
1. Reˇsi sistem linearnih enaˇcb 2x+ 5y−11z = 1,
x+ 2y−4z = 0, x+ 4y−3z = 9.
2. Reˇsi sistem linearnih enaˇcb 4x−5y+ 7z = 3,
x−2y+ 3z = 1, 2x−y+z = 4.
3. [15] Reˇsi sistem linearnih enaˇcb x+y+ 2z+ 3u−v = 5, x+ 2y+z+ 5u−v = 5,
−x+y−4z+ 2u = −3, 2x−y+ 7z−2u = 6,
4. [15] Glede na parameter k obravnavaj reˇsljivost sistema linearnih enaˇcb x−y+z = 0,
3x−y−z = −2, 4x−y−2z = k.
5. [15] Glede na parameter k obravnavaj reˇsljivost sistema linearnih enaˇcb kx+ 2y+ 3z = 4,
2x+y−z = 3, 3x+ 3y+ 2z = 10.
6.6 Determinante in rekurzivne enaˇ cbe
Naj bo dana rekurzivna enaˇcba c2an+2+c1an+1+c0an= 0, kjer je (an) iskano realno zaporedje in c2, c1, c0 realne konstante (c0, c2 6= 0). Tej enaˇcbi doloˇcimo karakteri- stiˇcno enaˇcbo c2λ2+c1λ+c0 = 0. Naj bosta λ1 in λ2 reˇsitvi karakteristiˇcne enaˇcbe.
Loˇcimo dve moˇznosti:
1. ˇce jeλ1 6=λ2, potem je reˇsitev rekurzivne enaˇcbe oblikean =A1λn1 +A2λn2,
2. ˇce jeλ1 =λ2, potem je reˇsitev rekurzivne enaˇcbe oblikean =A1λn1 +A2nλn1. KonstantiA1inA2doloˇcimo iz podanih zaˇcetnih ˇclenov zaporedja. Podoben postopek lahko uporabimo tudi za rekurzivne enaˇcbe viˇsjih redov.
Naloge na vajah:
1. Poiˇsˇci sploˇsna ˇclena zaporedij, ki sta podani rekurzivno:
(a) a0 = 4, a1 = 7 in an+1 = 5an−6an−1, (b) a0 = 3, a1 = 2 in an+2 = 4an+1−4an.
2. [2] S pomoˇcjo rekurzivne formule izraˇcunaj n×n determinanto
Dn=
5 2 0 · · · 0 0 2 5 2 · · · 0 0 0 2 5 · · · 0 0 ... ... ... . .. ... ...
0 0 0 · · · 5 2 0 0 0 · · · 2 5 .
Poglavje 7
Vektorski prostori
Naj boV neprazna mnoˇzica, na kateri sta definirani operaciji seˇstevanja in mnoˇzenja s skalarji (ki so elementi poljaF∈ {R,C}). Potem je (V,+,·)vektorski prostor nadF, ˇce je za omenjeni operaciji izpolnjenih 8 lastnosti [1]. Elementom mnoˇziceV pravimo vektorji, elementom mnoˇzice F pa skalarji. Neprazna mnoˇzica U ⊆ V je vektorski podprostor v V, ˇce velja:
(i) za vse x, y ∈U je tudi x+y∈U,
(ii) za vsak x∈U in vsakλ ∈Fje tudi λx ∈U.
Ce jeˇ M ⊆ V neprazna podmnoˇzica, potem je linearna lupina mnoˇzice M, ki jo oznaˇcimo z L(M), enaka mnoˇzici vseh (konˇcnih) linearnih kombinacij vektorjev iz M. Nadalje, mnoˇzica M je linearno neodvisna, ˇce je vsaka njena konˇcna podmnoˇzica linearno neodvisna. Dogovorimo se, da je prazna mnoˇzica linearno neodvisna in da veljaL(∅) = {0}.
Naj bo V vektorski prostor. Potem je B ⊆ V baza prostora V, ˇce je B ogrodje za V (torej L(B) = V) in je B tudi linearno neodvisna mnoˇzica. Izkaˇze se, da imajo vse baze nekega konˇcno dimenzionalnega vektorskega prostora enako moˇc, ˇstevilo elementov v bazi pa se imenuje dimenzija vektorskega prostora (oznaka dimV).
Naloge na vajah:
1. Ugotovi, katere od mnoˇzic so vektorski podprostori v R3: (a) U1 ={(x, y, z)∈R3 | xy= 0},
(b) U2 ={(x, y, z)∈R3 | 2x−3y+z = 0}, (c) U3 ={(x, y, z)∈R3 | z ≥0},
(d) U4 ={(x, y, z)∈R3 | x
3 =−y= 2z}.
2. Ali je mnoˇzica B={(1,−1,2),(2,3,1),(4,1,5)}baza prostora R3?
3. [15] Ali je mnoˇzica B = {(1,1,1),(1,1,2),(1,2,3)} baza prostora R3? ˇCe je, zapiˇsi vektor (6,9,14) kot linearno kombinacijo vektorjev izB.
4. Zapiˇsi kakˇsno bazo prostorov U2 in U4 iz naloge 1.
5. Ugotovi, katere mnoˇzice so vektorski podprostori od R[x] in zapiˇsi kak primer baze teh podprostorov.
(a) U1 ={a0+a1x+a2x2+a3x3 ∈R3[x] | a0+a1+a2+a3 = 0}, (b) U2 ={a0+a1x+· · ·+anxn∈Rn[x]| a0+a1+· · ·+an= 1},
(c) U3 ={p∈Rn[x] |p0(0) = 0}, (d) U4 ={p∈R3[x]| p(1) =p(0) = 0}.
6. Ali so polinomi p1(x) = 2x2−x+ 7,p2(x) =x2+ 4x+ 2 inp3(x) =x2−2x+ 4 linearno neodvisni?
7. Sestavi kakˇsno bazo prostora R2[x], ki vsebuje polinom (a) p1(x) = 2.
(b) p2(x) =−2x.
(c) p3(x) =x−4.
(d) p4(x) =x2 −4.
8. Poiˇsˇci koordinatni vektor polinoma p(x) = 4 −2x+ 3x2 glede na bazo B = {2,−4x,5x2−1}.
9. Katere od podanih mnoˇzic so podprostori prostora M3(R):
(a) U1 ={A∈M3(R) |A =AT}, (b) U2 ={A∈M3(R) |A2 =A},
(c) U3 ={A∈M3(R) | det(A) = 0}?
Poglavje 8
Linearne preslikave
Naj bosta U in V vektorska prostora nad F. Preslikava A : U → V je linearna preslikava, ˇce velja:
(i) A(x+y) =A(x) +A(y) za vse x, y ∈U, (ii) A(λx) = λA(x) za vsak x∈U in vsakλ∈F.
Jedro linearne preslikaveA je mnoˇzica KerA={u∈U| A(u) = 0}.
Slika linearne preslikaveA je mnoˇzica ImA={A(u)|u∈U}.
Izkaˇze se, da je KerA vektorski podprostor vU, ImA pa vektorski podprostor v V. Znana je tudi naslednja formula (kjer jeU konˇcno dimenzionalen vektorski prostor):
dim(KerA) + dim(ImA) = dimU.
Sedaj predpostavimo, da sta U in V konˇcno dimenzionalna vektorska prostora. Naj bostaBU ={u1, . . . , un}inBV ={v1, . . . , vm}urejeni bazi prostorovU inV. Za vsak j ∈ {1, . . . , n}zapiˇsemo A(uj) =a1jv1+a2jv2+· · ·+amjvm za neke skalarje aij ∈F. Matrika
A[BV,BU] =
a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn
se imenuje matrika linearne preslikave glede na urejeni bazi BU inBV.
Naj bosta BU in BU0 urejeni bazi prostora U ter I : U → U identiˇcna preslikava.
MatrikaI[BU0 ,BU] se imenujematrika prehoda, oznaˇcimo jo tudi kotP[BU0 ,BU]. Izkaˇze se, da je P[BU,BU0 ] = (P[B0U,BU])−1.
Ce staˇ BU inBU0 urejeni bazi prostoraU,BV inBV0 pa urejeni bazi prostoraV, potem velja
A[B0V,B0U] =P[BV0 ,BV]A[BV,BU]P[BU,BU0 ].
Naloge na vajah:
1. [10] Linearna preslikava A:R3 →R3 je podana s predpisom
A
x y z
=
2x−2y−z x−y+z
−x+y
.
(a) Dokaˇzi, da jeA linearna preslikava.
(b) Zapiˇsi matriko preslikave A glede na standardni bazi prostoraR3. (c) Doloˇci KerA in ImA ter zapiˇsi primera njunih baz.
2. [10] Linearni preslikaviA:R4 →R3 glede na standardni bazi prostorov pripada matrika
A =
1 3 1 4 1 2 1 3 2 2 2 4
.
(a) Zapiˇsi eksplicitni predpis preslikave A.
(b) Poiˇsˇci bazo jedra in bazo slike preslikave A.
3. Preslikava A :R2[x]→M2(R) je podana s predpisom A(p) =
"
p00(0) p0(0) p(0) p0(0) +p(0)
# .
(a) Dokaˇzi, da jeA linearna preslikava.
(b) Doloˇci dim(KerA) in dim(ImA) ter zapiˇsi primera njunih baz.
(c) Zapiˇsi matriko linearne preslikave A glede na standardni bazi prostorov R2[x] in M2(R).
4. [10] Podani so vektorji −→a = (1,2,0), −→
b = (1,1,0) in −→c = (0,0,1). Naj bo A : R3 → R3 linearna preslikava, ki vektor −→a preslika v −→a +−→
b, vektor −→ b preslika v 2−→a, vektor−→c pa v −→c.
(a) Zapiˇsi matriko preslikave A glede na bazo B={−→a ,−→ b ,−→c}.
(b) Zapiˇsi matriko preslikaveAglede na standardno bazoBS prostoraR3, torej A[BS,BS].
5. [10] Linearna preslikava A : R3 → R3 naj predstavlja zrcaljenje ˇcez ravnino Π :x−y−z = 0. Zapiˇsi eksplicitni predpis preslikave A.
6. [2] Linearna preslikavaA :R3 →R3 naj predstavlja zasuk prostora R3 za kot π3 v pozitivni smeri okoli osiy. Naj bo ˇseB={(1,0,2),(1,1,4),(0,1,3)} urejena baza prostora R3. Zapiˇsi matriko preslikave A glede na bazo B, torej A[B,B].
Poglavje 9
Lastne vrednosti in lastni vektorji
Naj boA:U →U linearna preslikava (endomorfizem). Skalarλ∈Fjelastna vrednost linearne preslikave A, ˇce obstaja tak neniˇcelni vektor x∈U, da velja A(x) =λx. V tem primeru je x lastni vektor za lastno vrednost λ, mnoˇzica Vλ = {x ∈ U| A(x) = λx} pa lastni podprostor za lastno vrednost λ. Na podoben naˇcin definiramo tudi lastno vrednost, lastni vektor in lastni podprostor matrike A∈Mn(R).
Naj bo U konˇcno dimenzionalen vektorski prostor z bazo B in A : U → U line- arna preslikava. Naj bo ˇse A matrika, ki pripada preslikavi A v bazi B. Potem so lastne vrednosti linearne preslikave A natanko niˇcle karakteristiˇcnega polinoma p(λ) = det(A−λI).
Naloge na vajah:
1. [10] Linearni preslikavi A:R3 →R3 glede na standardni bazi pripada matrika
A =
2 −2 1 1 −1 1
0 0 1
.
Izraˇcunaj vse lastne vrednosti linearne preslikave A in zapiˇsi pripradajoˇce la- stne podprostore. Ali je matrika A diagonalizabilna? ˇCe je, poiˇsˇci diagonalno matrikoD in tako matriko P, da veljaA=P DP−1.
2. Podana je linearna preslikava A:R3 →R3, ki standardne bazne vektorje zapo- redoma preslika v vektorje u1 = (1,3,2), u2 = (−1,2,1) inu3 = (4,−1,−1).
(a) Zapiˇsi matrikoA, ki pripada preslikaviA v standardnih bazah.
(b) Izraˇcunaj lastne vrednosti in lastne vektorje linearne preslikave A.
(c) ˇCe je matrika A diagonalizabilna, poiˇsˇci diagonalno matriko D in tako matriko P, da velja A=P DP−1.
3. [10] Podana je matrika
A=
1 −1 2 −2
−2 0 −1 1
0 0 2 0
0 0 0 2
.
Izraˇcunaj lastne vrednosti in pripadajoˇce lastne vektorje matrike A. Ali je matrika A podobna kakˇsni diagonalni matriki?
Poglavje 10
Funkcije veˇ c spremenljivk
Naj bo n ∈N inD ⊆Rn. Poljubni funkciji f :D→R pravimo funkcija n spremen- ljivk.
10.1 Definicijsko obmoˇ cje, nivojnice in prerezi
Naj bo f :D→R, D⊆R2, funkcija dveh spremenljivk ina ∈R. Mnoˇzici Na={(x, y)∈D|f(x, y) = a}
pravimo nivojnica na viˇsini a.
Naj bof :D→R funkcija dveh spremenljivk,y=kx+n enaˇcba premice,A={x∈ R|(x, kx+n)∈ D} in g : A→ R funkcija s predpisom g(x) =f(x, kx+n) za vsak x∈A. Grafu funkcijeg pravimo prerez grafa funkcije f nad premicoy =kx+n.
Naloge na vajah:
1. Poiˇsˇci naravna definicijska obmoˇcja naslednjih funkcij:
(a) f(x, y) = 7−3x+ 5y, (b) f(x, y) = y
y−4x, (c) f(x, y) = x
25y2−4x2, (d) f(x, y) = xy−4
3p
y−x2.
2. [15] Poiˇsˇci naravno definicijsko obmoˇcje funkcijef(x, y) = ln(x+y)+p
9−x2−y2. 3. Nariˇsi nekaj nivojnic in kakˇsen primer prereza funkcije:
(a) f(x, y) =xy, (b) f(x, y) =e
√
x2+y2.
4. Podana je funkcija f(x, y) = 1 x2+y2.
(a) Doloˇci naravno definicijsko obmoˇcje funkcije f. (b) Skiciraj nivojnice N1, N4, N1
4, Na, a∈R+, in prerez nad premicoy= 0.
(c) Ali lahko razˇsirimo definicijsko obmoˇcje tako, da bo funkcija f zvezna na obmoˇcju R2?
5. Skiciraj graf funkcije f(x, y) = x2 9 +y2
4.
Opomba: nekatere naloge v tem razdelku so prirejene po virih [3, 15].
10.2 Parcialni odvodi in ekstremi
Naj bo f : D → R funkcija dveh spremenljivk. Parcialni odvod funkcije f po spre- menljivki x v toˇcki (a, b) je definiran kot
fx(a, b) = ∂f
∂x(a, b) = lim
h→0
f(a+h, b)−f(a, b)
h .
Podobno jeparcialni odvod funkcije f po spremenljivki y v toˇcki (a, b) definiran kot fy(a, b) = ∂f
∂y(a, b) = lim
k→0
f(a, b+k)−f(a, b)
k .
Raˇcunanje pribliˇzkov funkcijskih vrednosti s pomoˇcjo diferenciala: naj bo funkcija dveh spremenljivkf :D→Rparcialno odvedljiva na neki okolici toˇcke (a, b)∈D in naj bosta parcialna odvoda zvezna v toˇcki (a, b). Potem za majhne h, k (ki so blizu 0) velja
f(a+h, b+k) .
=f(a, b) +fx(a, b)h+fy(a, b)k.
Iskanje lokalnih ekstremov za funkcijo dveh spremenljivkf :D→R: najprej poiˇsˇcemo stacionarne toˇcke(to so toˇcke (a, b)∈D, za katere jefx(a, b) = 0 infy(a, b) = 0), nato
za vsako stacionarno toˇcko (a, b) (za katero ima funkcijaf v okolici toˇcke (a, b) zvezne parcialne odvode do vkljuˇcno reda 3) definiramo ˇstevila A =fxx(a, b), B =fxy(a, b) inC =fyy(a, b). Loˇcimo moˇznosti:
1. ˇCe je AC −B2 > 0, tedaj ima funkcija f v toˇcki (a, b) lokalni ekstrem. ˇCe je A >0, gre za lokalni minimum, ˇce je A <0 pa za lokalni maksimum.
2. ˇCe jeAC−B2 <0, tedaj funkcija f v toˇcki (a, b) nima lokalnega ekstrema.
3. ˇCe jeAC−B2 = 0, tedaj o lokalnem ekstremu funkcijef v toˇcki (a, b) odloˇcajo parcialni odvodi viˇsjih redov.
Iskanje vezanih ekstremov: kandidati za ekstreme funkcijenspremenljivkf, pri ˇcemer so spremenljivke x1, . . . , xn povezane z enaˇcbo g(x1, . . . , xn) = 0, so:
1. Kandidati za lokalne ekstreme funkcije n+ 1 spremenljivk F, ki je definirana kot F(x1, . . . , xn, λ) =f(x1, . . . , xn) +λg(x1, . . . , xn).
2. Toˇcke (x1, . . . , xn), za katere je gxi(x1, . . . , xn) = 0 za vsei∈ {1, . . . , n}.
Iskanje globalnih ekstremov: globalne ekstreme zvezne funkcije f na nekem zaprtem in omejenem obmoˇcju (na primer na krogu x2 +y2 ≤ 1) poiˇsˇcemo po naslednjem postopku:
1. Poiˇsˇcemo kandidate za lokalne ekstreme funkcije f, pri tem upoˇstevamo samo tiste, ki leˇzijo v danem obmoˇcju.
2. Poiˇsˇcemo kandidate za vezane ekstreme funkcije f na robu obmoˇcja (v naˇsem primeru je vez kroˇznica x2+y2 = 1).
3. Nato izraˇcunamo vrednosti funkcije f v vseh toˇckah, ki smo jih dobili, in ugo- tovimo, kje funkcija doseˇze najveˇcjo oziroma najmanjˇso vrednost.
Naloge na vajah:
1. Izraˇcunaj parcialne odvode prvega reda za naslednje funkcije:
(a) f(x, y) =x3+ 8xy2−y6, (b) f(x, y) =ysin(xy),
(c) f(x, y, z) = ln(x2 +y2+z2).
2. [15] Izraˇcunaj parcialne odvode prvega in drugega reda za funkcijo f(x, y) = ln(x2+y).
3. Doloˇci realno ˇstevilo a ∈R tako, da bo funkcija f(x, y) = x3+axy2 zadoˇsˇcala enaˇcbi fxx(x, y) +fyy(x, y) = 0.
4. S pomoˇcjo diferenciala izraˇcunaj pribliˇzno vrednost izraza ln(√3
1.03+√4
0.98−1).
5. [3] Podana je funkcija f(x, y) = ln
1−x−y+xy 1−x−y
.
(a) Poiˇsˇci in skiciraj naravno definicijsko obmoˇcje funkcije f.
(b) Poiˇsˇci stacionarne toˇcke funkcije f.
6. Poiˇsˇci lokalne ekstreme funkcijef(x, y) = 7−x2−y2.
7. Poiˇsˇci lokalne ekstreme funkcijef(x, y) =x3+ 3xy2−3x−3y2+ 4.
8. [15] Poiˇsˇci lokalne ekstreme funkcije f(x, y) =e2y(x2+ 2x+y).
9. Poiˇsˇci lokalne ekstreme funkcijef(x, y, z) =x2+y2−z2.
10. [15] Poiˇsˇci ekstreme funkcije f(x, y) =x+ 2y na kroˇznici x2+y2 = 5.
11. Zgraditi ˇzelimo odprti bazen v obliki kvadra s prostorninoV. Kakˇsne naj bodo njegove dimenzije, da bo povrˇsina (brez zgornjega dela) najmanjˇsa?
Opomba: nalogo lahko reˇsiˇs s pomoˇcjo lokalnega ekstrema ali vezanega ekstrema.
12. [15] Na ploskvi z enaˇcbo 2x2+ 3y2 + 2z2+ 2xz = 6 poiˇsˇci toˇcke, ki so najbolj oziroma najmanj oddaljene od ravnine z = 0.
Poglavje 11
Gradient, divergenca in rotor
Funkciji f : R3 → R pravimo skalarna funkcija ali skalarno polje, funkciji −→ F = (f, g, h) :R3 →R3pavektorska funkcija alivektorsko polje (pri tem sof, g, hskalarne funkcije). Vpeljemo tudi operator nabla: ∇=
∂
∂x,∂y∂,∂z∂ .
Naj bo f parcialno odvedljiva skalarna funkcija. Potem je gradient funkcije f, grad(f), vektorska funkcija, definirana s predpisom
grad(f) = ∇f = (fx, fy, fz).
Naj bo −→
F = (f, g, h) vektorska funkcija, kjer so f, g, h parcialno odvedljive skalarne funkcije. Potem je divergenca funkcije −→
F, div(−→
F), skalarna funkcija, definirana s predpisom
div(−→
F) = ∇ ·−→
F =fx+gy+hz. Nadalje, rotor funkcije −→
F, rot(−→
F), je vektorska funkcija, definirana s predpisom rot(−→
F) = ∇ ×−→
F = (hy −gz, fz−hx, gx−fy).
Naloge na vajah:
1. Dano je skalarno polje u(x, y, z) =x3+y3+z3−3xyz.
(a) Izraˇcunaj gradient skalarnega poljau v toˇcki T(2,1,1).
(b) Poiˇsˇci vse toˇcke, v katerih je gradient vzporeden ravnini z = 0.
