Blaž Breznik ženja

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojništvo

Vpliv oblike zoženja kanala na porazdelitev hitrosti in razvoj toka

Blaž Breznik

Ljubljana, september 2021

Zaključna naloga Univerzitetnega študijskega programa I. stopnje

Strojništvo - Razvojno raziskovalni program

(2)

(3)

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojništvo

Vpliv oblike zoženja kanala na porazdelitev hitrosti in razvoj toka

Zaključna naloga Univerzitetnega študijskega programa I. stopnje Strojništvo - Razvojno raziskovalni program

Blaž Breznik

Mentor: doc. dr. Matjaž Perpar

Ljubljana, september 2021

(4)

(5)

VLOGA ZA PREVZEM TEME ZAKLJUCNE NALOGE

Univerzitetni studijski program I. stopnje STROJNISTVO- Razvojno raziskovalni program

St. zakljucne naloge (izpo/ni Studentski referat): UN I/1514 Datum prejema vloge v SR: 26.7.2021

Podatki o studentu:

lme in priimek: _______ ,Blaz Breznik _____ Vpisna st. __ 23180107 ______ _ Datum, kraj rojstva: ____ 02.07.1999, Ljubljana _ _________ _

Podatki o zakljucni nalogi:

Naslov zakljucne naloge (slovenski):

____ Vpliv oblike zozenja kanala na porazdelitev hitrosti in razvoj toka __________ _

Naslov zakljucne naloge (angleski):

____ The infiuence of channel narrowing shape on velocity distribution and development _____ _

Mentor na FS: _ doc. dr. Matjaz Perpar ______ _ Somentor na FS: ____________ _ Veljavnost naslova teme je 6 mesecev od oddaje Vloge ^zaprevzem ..

Podpis Studenta:

��j

Podpis mentorja:

Jt\ ��

(6)

Zahvala

Zahvaljujem se doc. dr. Matjažu Perparju, ki mi je kot mentor pomagal pri pisanju te zaključne naloge. Posebej pa bi se rad zahvalil tudi dr. Juriju Gregorcu, ki je poleg nasvetov glede same vsebine in strukture naloge, pomagal pri reševanju tehničnih težav pri programu Ansys. Na koncu bi se rad zahvalil še družini in prijateljem, ki so mi med študijem vlivali še kako potrebno energijo in motivacijo.

(7)

(8)

Izvleček

UDK 532.57:621.643.2(043.2) Tek. štev.: UN I/1514

Vpliv oblike zoženja kanala na porazdelitev hitrosti in razvoj toka

Blaž Breznik

Ključne besede: vpliv oblike zoženja porazdelitev hitrosti razvoj toka

laminarni tok zoženje cevi

Problem, ki sem ga preučeval v tej zaključni nalogi, je oblika zoženja cevi okroglega prereza.

Zanimalo me je, kako oblika vpliva na razvoj toka in porazdelitev hitrosti tako pred kot tudi za zoženjem. Analiziral sem dve obliki: konično in pravokotno zoženje. Potem, ko sem določil obliki, sem se lotil preračunov s programom Ansys. Analize sem naredil pri različnih geometrijah in različnih Reynoldsovih številih. S programom sem izrisal več grafov in odčital na kateri razdalji od zoženja se tok polno razvije. Rezultate sem na koncu med seboj primerjal in ugotovil kako posamezni parameter vpliva na razvoj toka. Pri koničnem zoženju se razvojna dolžina pred zoženjem veča z večanjem kota zožitve. Za zoženjem pa to nima vpliva, dolžina se povečuje z večanjem Reynoldsovega števila. Pri pravokotnem zoženju pa na razvojno dolžino pred zoženjem vpliva razmerje premerov ožje in širše cevi. Manjše kot je razmerje, večja je razvojna dolžina. Za zoženjem pa na razvojno dolžino vplivata tako Reynoldsovo število kot tudi razmerje premerov. Večje Reynoldsovo število pomeni večjo razvojno dolžino, pri razmerju pa je ravno obratno.

(9)

Abstract

UDC 532.57:621.643.2(043.2) No.: UN I/1514

The influence of channel narrowing shape on velocity distribution and development

Blaž Breznik

Key words: the influence of channel narrowing shape velocity distribution

flow development laminar flow pipe narrowing

The problem analysed in this thesis was the shape of narrowing pipe. The goal was to find out how does the narrowing shape influence the flow development before and after the pipe narrowing. Two shapes were analysed: conical and sharp-edged. After determination of the shapes, calculations in CFD program Ansys were performed. These calculations were done with various geometries and Reynolds numbers. Some charts were plotted and distances from the pipe narrowing to the point where flow was fully developed were measured.

Finally, the results were compered and figured out. The influence of each parameter on the flow development was discussed. At the conical narrowing the distance before the narrowing was getting greater with the larger angle of the narrowing. After the narrowing that does not influence but the distance is dependent on Reynolds number. The higher the Reynolds number is, greater is the distance. At the sharp-edged narrowing the distance before the narrowing is dependent on ratio between the diameter of narrower and wider pipe. The smaller the ratio is, greater is the distance. After the narrowing both, Reynolds number and the diameter ratio influence on the distance of fully developed flow. At higher Reynolds number and the smaller ratio, the distance is greater.

(10)

Kazalo

1 Uvod ... 1

1.1 Ozadje problema ... 1

1.2 Cilji ... 2

2 Teoretične osnove ... 3

2.1 Ohranitveni zakoni in mehanika kontinuuma ... 3

Zakon o ohranitvi mase ... 3

Zakon o ohranitvi gibalne količine ... 4

Splošno ohranitveno načelo ... 4

Bernoullijeva enačba ... 5

2.2 Laminarni tok ... 5

2.3 Tok v cevi ... 6

Energijske izgube v cevi ... 7

2.3.1.1 Linijske izgube ... 7

2.3.1.2 Lokalne izgube ... 8

Zoženje cevi ... 8

Razvojna dolžina ... 10

3 Metodologija raziskave ... 11

3.1 Izbira parametrov ... 11

Konično zoženje ... 12

Pravokotno zoženje ... 13

3.2 Programsko okolje Ansys ... 13

Geometrija ... 14

Računska mreža ... 14

Preračuni ... 14

Rezultati ... 15

3.3 Vpliv računske mreže na rezultate ... 15

4 Rezultati ... 20

(11)

4.1 Konično zoženje ... 21

4.2 Pravokotno zoženje ... 30

5 Diskusija ... 40

Primerjava ... 43

6 Zaključki ... 44

Literatura ... 45

Priloga A ... 46

Priloga B ... 47

(12)

Kazalo slik

Slika 2.1: Hitrostni profil in strižne napetosti v cevi [7] ... 7

Slika 2.2: Razvoj toka v cevi [8] ... 10

Slika 3.1: Skica koničnega zoženja ... 12

Slika 3.2: Skica pravokotnega zoženja ... 13

Slika 3.3: Konično zoženje, faktor zgostitve 1 ... 17

Slika 3.6: Pravokotno zoženje, faktor zgostitve 1 ... 18

Slika 4.1: Konture hitrosti pri različnih geometrijah (Re = 250) ... 21

Slika 4.2: Hitrostni profili na različnih delih cevi (Re = 250) ... 22

Slika 4.3: Hitrost v osi cevi (Re = 250) ... 23

Slika 5.1: Odvisnost razvojne dolžine pred zoženjem od kota zožitve ... 40

Slika 5.2: Odvisnost razvojne dolžine za zoženjem od Reynoldsovega števila ... 41

Slika 5.3: Odvisnost razvojne dolžine za zoženjem od razmerja premerov ... 42

Slika 5.4: Odvisnost razvojne dolžine za zoženjem od Reynoldsovega števila ... 42

(13)

Kazalo preglednic

Preglednica 3.1: Osnovni podatki koničnega zoženja pri preverjanju kvalitete mreže ... 16

Preglednica 3.2: Rezultati pri različnih mrežah (konično zoženje) ... 16

Preglednica 3.3: Osnovni podatki pravokotnega zoženja pri preverjanju kvalitete mreže ... 18

Preglednica 3.4: Rezultati pri različnih mrežah (pravokotno zoženje) ... 18

Preglednica 4.1: Osnovni podatki, ki veljajo v vseh primerih ... 20

Preglednica 4.2: Začetni podatki pri koničnem zoženju, Re = 250 ... 21

Preglednica 4.3: Pridobljeni podatki pri koničnem zoženju, Re = 250 ... 22

Preglednica 4.4: Začetni podatki pri koničnem zoženju, Re = 500 ... 24

Preglednica 4.6: Začetni podatki pri koničnem zoženje, Re = 750 ... 26

Preglednica 4.8: Začetni podatki pri koničnem zoženju, Re =1000 ... 28

Preglednica 4.10: Začetni podatki pri pravokotnem zoženju, Re = 100 ... 30

(14)

Seznam uporabljenih simbolov

Oznaka Enota Pomen

A m² površina

D m premer cevi

P Pa tlak

V 𝑉̇

𝑚̇

m³ m³ s^-1 kg s^-1

volumen

volumski pretok masni tok

ρ kg m^-3 gostota

v v_𝑎𝑣𝑔 L1

L2

Lp Lz D1

D2

m s^-1 m s^-1 m m m m m m

hitrost

povprečna hitrost

dolžina ravnega dela širšega cevi dolžina ravnega dela ožje cevi razvojna dolžina pred zoženjem razvojna dolžina za zoženjem premer širše cevi

premer ožje cevi

Kl / koeficient izgub

Re

R /

/ Reynoldsovo število razmerje premerov µ

ν hl

hm

g

∇

Pa s m² s^-1 m m m s^-2 /

dinamična viskoznost kinematična viskoznost linijske izgube

lokalne izgube

gravitacijski pospešek

nabla operator(odvod po vseh prostorskih komponentah) Indeksi

l linijski (angl. minor)

m lokalni (angl. major)

1 2 up avg max

začetna točka

končna točka upori

povprečje (angl. average) največja (maksimalna)

(15)

Seznam uporabljenih okrajšav

Okrajšava Pomen

RDT Računalniška dinamika tekočin (angl. CFD - Computational Fluid Dynamics)

2D Dvodimenzionalni objekti (ravnina) 3D Trodimenzionalni objekti (prostor)

Re Reynoldsovo število

(16)

1 Uvod

1.1 Ozadje problema

V tej zaključni nalogi sem preučeval zoženje cevi. Predvsem me je zanimalo, kako sama oblika zoženja vpliva na razvoj toka in porazdelitev hitrosti po cevi. Skušal sem ugotoviti, kako se spreminja razdalja na kateri se razvije tok v odvisnosti od oblike zoženja. To me je zanimalo tako pred kot tudi za zoženjem. Vse analize sem naredil v laminarnem tokovnem režimu.

Problem je relevanten pri načrtovanju in dimenzioniranju raznih cevovodov oziroma postavljanju zožitev znotraj cevovoda. V primeru, da želimo imeti na neki točki v cevovodu polno razvit profil, lahko s pomočjo rezultatov pridobljenih v tej zaključni nalogi preverimo minimalno razdaljo od željene točke, kjer lahko postavimo zoženje in zagotovimo polno razvit tok. Poleg tega lahko s pomočjo rezultatov ugotovimo, kaj naj bi se dogajalo pri različnih geometrijah zožitve v primeru, da za določeno geometrijo ni podanih rezultatov.

Ob poznavanju te razdalje vemo kje je tok razvit in na tistem mestu znamo predvideti kako se bo tok obnašal (če poznamo geometrijo cevovoda). Na območju nerazvitega toka pa ne poznamo točnih lastnosti fluida (npr. hitrost po prerezu). Razdalja od zoženja, kjer se tok polno razvije je dodobra raziskana tema pri uniformnem hitrostnem profilu na vstopu v cev, v primeru zoženja pa nekoliko manj.

Na začetku sem moral določiti oblike zoženja, ki sem jih analiziral. Izbral sem si dve obliki:

konično in pravokotno zoženje. Pri koničnem zoženju se premer širše cevi linearno zmanjšuje do premera ožje cevi oziroma cev se zoži pod neki kotom. Pri pravokotnem zoženju pa se cev zoži v trenutku oziroma hipno. Ko sem si enkrat izbral obliki, sem moral določiti kaj vse lahko spreminjam pri posameznem primeru. Pri koničnem zoženju sem se odločil za spreminjanje samo enega geometrijskega parametra. Spreminjal sem samo kot zožitve, izbral pa sem fiksen premer ožje cevi. Tako se je v vseh primerih cev zožila na enak premer. Izbral sem si tudi več Reynoldsovih števil pri katerih sem izvedel račune, paziti pa sem moral, da je kljub zmanjšanju premera cevi in s tem povečanjem Reynoldsovega števila, tokovni režim še vedno ostal laminaren. Na enak način sem določil še en geometrijski parameter, ki sem ga spreminjal pri pravokotnem zoženju. Spreminjal sem razmerje med ožjo in širšo cevjo. Tudi tukaj sem račun izvedel pri različnih Reynoldsovih številih, vendar sem uporabil drugačna kot pri koničnem zoženju.

(17)

Uvod

V zadnjem delu zaključne naloge sem se poglobil v kvaliteto računske mreže. Preden sem preračunal končne hitrosti za vsak primer geometrije in Reynoldsovega števila, sem moral izdelati računsko mrežo. V tem delu naloge sem to mrežo enkrat zgostil, drugič pa razredčil in ponovno izračunal željene vrednosti. Tako sem odkril do kakšnih napak pride samo zaradi kvalitete mreže.

1.2 Cilji

V sklopu te zaključne naloge sem želel ugotoviti kako posamezen parameter vpliva na razdaljo, kjer se tok polno razvije za zoženjem. Poleg tega pa sem želel ugotoviti še, kako oblika zoženja vpliva na tok pred samim zoženjem. Cilj je bil pridobiti brezdimenzijski popis parametrov in njihovega vpliva na razvojno dolžino pred in za zoženjem. To sem lahko naredil z Reynoldsovim številom in pa določenimi geometrijskim razmerji.

Nalogo sem strukturiral tako, da sem najprej določil na katerih primerih bom izvedel analize, določil sem tudi vse robne pogoje (Reynoldsova števila). Nato sem naredil same preračune in izrisal določene grafe. Iz teh grafov pa sem pridobil številčne vrednosti, ki so me zanimale – razvojne dolžine pred in za zoženjem. Ko sem pridobil vse te vrednosti, sem se lotil primerjave le teh in ugotavljanja odvisnosti med posameznimi parametri in razvojnimi dolžinami.

Pred samim delom in izračuni sem pričakoval, da se tok pri višjih vstopnih hitrostih razvije kasneje. Prav tako pa sem pričakoval, da pri večjih zoženjih oziroma pri večjih spremembah same geometrije tok potrebuje več časa, da se polno razvije.

Pri vseh primerih sem moral zagotovit laminarni tokovni režim, saj se fluid v turbulentnem režimu obnaša drugače. Prav tako sem moral biti pozoren na natančno odčitavanja rezultatov oziroma določevanja razvojnih dolžin, saj lahko tok že izgleda polno razvit pa ni.

(18)

2 Teoretične osnove

2.1 Ohranitveni zakoni in mehanika kontinuuma

Omenjeni zakoni so izredno pomembni pri vsakršni obravnavi fizikalnih sistemov (trdnine ali tekočine). Bazirajo na kontrolnem volumnu ali masi. Ti zakoni pravijo, da se v izoliranem sistemu določena značilnost fizikalnega sistema ne spremeni ob spremembi stanja opisanega sistema. Podrobneje je omenjenih samo nekaj teh zakonov, ki so pri reševanju problema celotne zaključne naloge najpomembnejši, obstaja pa še veliko drugih, ki pa ne sodijo k problematiki dinamike tekočin.

Mehaniko kontinuuma tvorijo ohranitveni zakoni in pa konstitucijski zakoni. Tekočine lahko opazujemo kot kontinuum, kar pomeni, da jih gledamo kot celoto in ne kot posamezne dele večjega sistema. V primerih, kjer pa tekočine ne moremo obravnavati kot kontinuum pa problem lahko rešujemo z molekularno dinamiko ali pa s statistično mehaniko. Pri problemu, kjer preučujemo tok skozi zoženje kanala, lahko uporabimo kontinuumsko hipotezo, saj se tekočina obnaša kot celota (kontrolni volumni so dovolj veliki).

Zakon o ohranitvi mase

Zakon o ohranitvi mase pravi, da se masa izoliranega sistema ne spremeni, ne glede na spremembe stanja sistema in procese znotraj tega. Navadno se pri obravnavi dinamike tekočin uporablja, da se ohranja masni tok, torej je masa tekočine, ki teče skozi določeno površino, v nekem časovnem intervalu konstantna. Ta način uporabe je bolj priročen, namesto enote za maso [kg] pa se uporablja masa tekočine, ki teče v skozi površino v določenem času [kg/s].

Lokalna konservativna oblika enačbe:

𝜕𝜌

𝜕𝑡 +𝛻 ∙ (ρv) = 0

(2.1)

(19)

Teoretične osnove

Zakon o ohranitvi gibalne količine

Prav tako kot pri prejšnjem zakonu gre pri tem zakonu za to, da se gibalna količina izoliranega sistema ne spreminja, ne glede na spremembe stanja sistema in procese znotraj le tega.

Lokalna konservativna oblika enačbe:

𝜕

𝜕𝑡(𝜌𝒗) +𝛻 ∙ (ρvv) = 𝛻 ∙ σ + 𝒇_𝒗 (2.2)

Splošno ohranitveno načelo

Ko enkrat poznamo enačbe ohranitvenih zakonov lahko izpeljemo splošno ohranitveno načelo, ki nam pove kako se skalar ali komponenta vektorja spreminja.

Φ(p, t) = skalar ali komponenta vektorja

Enačba:

𝜕

𝜕𝑡[ 𝜌(p, t)Φ(p, t)] +𝛻 ∙ [ρ(p, t)v(p, t)Φ( p, t)] = 𝛻 ∙ [𝑘_𝛷(p, t) 𝛻Φ(p, t)] +𝜌(p, t)Φ_𝑚(p, t) (2.3) Enačba (2.3) je sestavljena iz štirih členov.

Prvi člen se imenuje tranzientni člen in nam pove, kako se spreminja gostota tekočine v času:

𝜕

𝜕𝑡[ 𝜌(p, t)Φ(p, t)] ;= tranzientni člen

Drugi člen je konvektivni člen in popisuje konvekcijo, ki nam pove kako se prenaša toplota zaradi gibanja snovi:

𝛻 ∙ [ρ(p, t)v(p, t)Φ( p, t)] ;= konvektivni člen

Tretji člen je difuzijski člen in nam pove kako se snov širi:

𝛻 ∙ [𝑘_𝛷(p, t) 𝛻Φ(p, t)] ;= difuzijski člen

Zadnji člen pa je izvorni člen, ki popisuje izvore in ponore v sistemu:

𝜌(p, t)Φ_𝑚(p, t) ;= izvorni člen

Enačbo (2.3) navadno rešujemo numerično, saj so problemi prezahtevni za analitično reševanje. Pri reševanju upoštevamo še robne pogoje, ki se spreminjajo od problema do problema.

(20)

Teoretične osnove

Bernoullijeva enačba

Bernoullijev princip izhaja iz ohranitvenih zakonov oziroma iz zakona o ohranitvi energije, ki pravi, da se celotna energija sistema ne spreminja, energija lahko samo pretvarja iz ene oblike v drugo. Enačbo se uporablja pri reševanju problemov s tekočinami.

V primeru nestisljivega toka se enačba poenostavi in jo lahko zapišemo kot:

𝑝₁ 𝜌𝑔+^𝑐¹²

2 + 𝑧₁= ^𝑝²

𝜌𝑔+^𝑐²²

2 + 𝑧₂+ ^∆𝑝^𝑢𝑝

𝜌𝑔 (2.4)

Vsak člen predstavlja eno obliko energije. Prvi člen na vsaki strani predstavlja tlačno energijo fluida, drugi člen na vsaki strani predstavlja kinetično energijo fluida, zadnji pa potencialno energijo. Vsota vseh členov na eni strani je po vsaki spremembi enaka, členi pa se lahko spremenijo. V primeru, da se zmanjša kinetična energija sistema, se proporcionalno poveča potencialna ali tlačna energija oziroma obe. Zadnji člen na desni strani pa predstavlja izgube, ki so lahko linijske ali lokalne.

Bernoullijeva enačba (2.4) ima lahko več oblik, vendar se pomen ne spreminja. Spremeni se lahko samo oblika v kateri zapišemo energije (kot tlak, kot višino, kot hitrost). Zgornja enačba je zapisana tako, da imajo vsi členi enoto meter.

2.2 Laminarni tok

V zaključni nalogi sem v cevi obravnaval samo laminarni tok. Laminarni tok v cevi okroglega prereza obravnavamo pri Reynoldsovemu število do Re < 2100 (oziroma do 2300 v nekaterih literaturah). Poleg tega tokovnega režima poznamo še prehodni in pa turbulentni režim oziroma turbulentni tok.

Tokovni režimi:

Laminarni tok: Re < 2100

Prehodno področje: 2100 < Re < 4000 Turbulentni tok: Re > 4000

Reynoldsovo število je brezdimenzijsko število, s pomočjo katerega določimo tokovni režim.

𝑅𝑒 = ^𝑣^𝑎𝑣𝑔^𝐷

𝜈 (2.5)

(21)

Teoretične osnove

V enačbi (2.5) za izračun Reynoldsovega števila je zajeta povprečna hitrost fluida vavg, karakteristična dolžina, ki je v primeru cevi enaka premeru D in pa kinematična viskoznost fluida ν.

Pri toku v cevi ali med dvema ravnima ploščama je najpomembnejše dejstvo, da se hitrost fluida ne spreminja v nobeni drugi smeri kot v smeri toka. To pomeni, da sta pri toku v vodoravni cevi radialna in polarna komponenta vektorja hitrosti enaki nič. Ne nična je samo komponenta v vodoravni smeri (oziroma v navpični v primeru navpične cevi). Po samem prerezu pa se lahko komponenta spreminja. V primeru turbulentnega režima pa so vse komponente vektorja hitrosti v splošnem različne od nič.

2.3 Tok v cevi

Toku v cevi okroglega konstantnega prereza pravimo tudi Hagen – Poiseuille-jev tok in opisuje laminarni tok nestisljive, viskozne Newtonske tekočine po cevi. Za tak tok je značilno, da je porazdelitev hitrosti po prerezu parabolična. Hitrost je maksimalna na sredini, ob steni je enaka nič, povprečna hitrost pa je enaka polovici maksimalne. Takšna porazdelitev hitrosti je posledica viskoznosti tekočine in posledično strižnih napetosti.

Strižne napetosti so v taki cevi največje ob steni, na sredini pa jih ni.

Povprečna hitrost v cevi:

v_𝑎𝑣𝑔 = ^v^𝑚𝑎𝑥

2 (2.6)

Strižne napetosti:

𝜏 = −𝜇 ^𝑑v

𝑑𝑟 (2.7)

Iz enačbe (2.7) vidimo, da so strižne napetosti odvisne od odvoda hitrosti po radiju cevi (dv/dr) in pa dinamične viskoznosti µ. Vemo, da ima hitrostni profil v osi cevi ekstrem, kar pomeni, da je odvod hitrosti po radiju na tistem mestu enak nič. Posledično so strižne napetosti v osi cevi enake nič, nato pa linearno naraščajo z radijem cevi. Največje strižne napetosti so tik ob steni.

Slika (2.1) prikazuje hitrostni profil in strižne napetosti v cevi okroglega prereza.

(22)

Teoretične osnove

Slika 2.1: Hitrostni profil in strižne napetosti v cevi [7]

Do sedaj napisana teorija za tok v cevi velja samo v laminarnem področju, to pa je kadar je Reynoldsovo število manjše od 2100.

Energijske izgube v cevi

Tako kot v vsakem praktičnem primeru imamo tudi v cevi določene energijske izgube, ki so povezane s trenjem fluida oziroma s pretvarjanjem energije fluida v toploto.

V cevi poznamo linijske in lokalne izgube (angl. major in minor). Linijske izgube so tiste, ki nastanejo v ravnih delih cevovoda in so odvisne od hrapavosti sten. Pri velikih cevovodih te prevladujejo, vendar pa lokalne izgube niso zanemarljive. Slednje povzročijo spremembe v cevovodu. To so razni ventili, zavoji v cevovodu in spremembe premera cevi, kamor spada tudi zoženje.

Celotne energijske izgube v cevovodu dobimo tako, da seštejemo lokalne in linijske.

∆𝑝_𝑢𝑝

𝜌𝑔 = 𝛬 ^𝐿

𝐷 𝑣_𝑎𝑣𝑔²

2𝑔 + 𝛴𝐾_𝐿𝑖 ^𝑣^𝑎𝑣𝑔²

2𝑔 (2.8)

Enačba (2.8) prikazuje izračun celotnih izgub v sistemu. Prvi člen na desni strani predstavlja linijske izgube, drugi pa lokalne.

2.3.1.1 Linijske izgube

Odvisne so od premera cevi, dolžine cevovoda in hrapavosti stene cevi. Za vsak cevovod je potrebno določiti koeficient, to pa storimo tako, da najprej upoštevamo tokovni režim v cevi (laminarni ali turbulentni).

ℎ_𝑚 = 𝛬 ^𝐿

𝐷 𝑣_𝑎𝑣𝑔²

2 (2.9)

(23)

Teoretične osnove

Enačba (2.9) prikazuje izračun linijskih izgub v cevovodu.

Koeficient hrapavosti v laminarnem toku poiščemo po naslednji enačbi ali pa ga odčitamo iz Moodyjevega diagrama.

𝛬 = ⁶⁴

𝑅𝑒 (2.10)

Pri turbulentnem toku je računanje tega faktorja bolj komplicirano. Lahko ga izračunamo iz empiričnih enačb ali pa ga odčitamo iz Moodyjevega diagrama.

2.3.1.2 Lokalne izgube

Na lokalne izgube vplivajo različne komponente v cevovodih. Vsaka od teh komponent prinese dodane izgube, njihovo število pa je odvisno od vrste le-teh in njim pripisanih koeficientov. Vrednosti koeficientov so navadno tabelirane. Ko za posamezen sistem računamo izgube, seštejemo te koeficiente in tako dobimo skupni koeficient lokalnih izgub v opazovanem sistemu.

hl = ∑ 𝐾^𝑛_𝑖 _𝑙 ^𝑣^𝑎𝑣𝑔²

2 (2.11)

Enačba (2.11) prikazuje izračun celotne lokalne izgube v cevovodih.

Zoženje cevi

Glede na do sedaj spoznane ohranitvene zakone in predpostavke lahko vemo kaj se v teoriji zgodi s tokom, ko se cev zoži. Ob upoštevanju zakona o ohranitvi mase lahko ugotovimo, da je masni tok enak na začetku cevi, kjer je premer le te večji in na koncu cevi, kjer je ta ožja. Da pretok ostane isti pa se mora ob zmanjšanju premera cevi hitrost povečati. Razmerje med povečanjem hitrosti in zmanjšanjem premera lahko ugotovimo iz enačbe za masni tok v cevi okroglega prereza.

Splošni izraz za masni tok v cevi:

𝑚̇ = 𝑉̇ ∙ 𝜌 (2.12)

(24)

Teoretične osnove

Splošni izraz za volumski tok:

𝑉̇ = 𝐴 ∙ 𝑣 (2.13)

𝑚̇ = 𝐴 ∙ 𝑣 ∙ 𝜌

𝐴̇ = ^𝜋𝐷²

4 (2.14)

𝑚̇ =^𝜋𝐷²

4 ∙ 𝑣 ∙ 𝜌

𝑚₁̇ = 𝑚̇₂ (2.15)

𝜋𝐷₁²

4 ∙ 𝑣_{𝑎𝑣𝑔1} ∙ 𝜌 = ^𝜋𝐷²²

4 ∙ 𝑣_{𝑎𝑣𝑔2} ∙ 𝜌 𝐷₁²∙ 𝑣_{𝑎𝑣𝑔1} = 𝐷₂²∙ 𝑣_{𝑎𝑣𝑔2}

𝐷1

𝐷₂ = √^𝑣_𝑣^{𝑎𝑣𝑔2}

𝑎𝑣𝑔1

Iz enačb (2.13), (2.14), (2.15) izpeljemo razmerja spremembe premerov in spremembe hitrosti v okrogli cevi. Vidimo, da je odvisnost med tema dvema parametroma kvadratna. V primeru, da se premer zmanjša za 75 % (ožji premer je enak četrtini širšega), se hitrost v ožjem delu poveča samo za faktor 2. Seveda pa moramo pri zoženju upoštevati zakon o ohranitvi energije oziroma v našem primer je dovolj Bernoullijeva enačba, ki pravi, da se energija celotnega sistema ne spremeni. V tem primeru to pomeni, da se pri zoženju poveča hitrost in s tem kinetična energija, tlačna energija sistema pa se zmanjša (padec tlaka v ožjem delu cevi). Bernoullijeva enačba pa upošteva še lokalne izgube kamor spadajo tudi izgube pri zoženju. To rezultira v še večjem padcu tlaka v ožjem delu cevi, saj se del tlačne pretvori v kinetično, del pa v energijske izgube. Količina energijskih izgub pa je med drugim odvisna tudi od oblike zoženja.

Pri vsaki obliki zoženja se tok tekočine obnaša drugače, zato so drugačni tudi koeficienti lokalnih izgub in pa razdalja na kateri se tok polno razvije. Že pri vsakem posameznem načinu zoženja več stvari vpliva na izgube in dolžino razvijanja toka.

(25)

Teoretične osnove

Razvojna dolžina

Pri pregledu literature sem iskal, če že obstajajo relacije med obliko zoženja in razvojno dolžino, vendar tega nisem nikjer zasledil. Našel sem samo povezavo med uniformnim tokom in razvojno dolžino. Ta pravi, da v primeru, da v cev vstopi fluid s uniformnim hitrostnim profilom, se bo tok polno razvil na dolžini, ki je odvisna od premera cevi in Reynoldsovega števila. Ta enačba (2.16) je empirična, kar pomeni, da je pridobljena s pomočjo eksperimentov, zato le ta ni enaka v vseh virih.

𝐿_𝑣

𝐷 = 0,06 𝑅𝑒 (2.16)

Princip pridobivanja teh empiričnih vrednosti pa je naslednji: tok v cevi se je štel za polno razvitega, ko je hitrost v cevi dosegla 99 % teoretično izračunane hitrosti, ki se jo izračuna iz premera cevi in vstopne hitrosti.

Slika 2.2: Razvoj toka v cevi [8]

Slika (2.2) prikazuje, kako se tok razvija v cevi, če je hitrostni profil na vstopu uniformen.

(26)

3 Metodologija raziskave

Zaključne naloge sem se najprej lotil zgolj teoretično tako, da sem raziskal in pregledal literaturo o samem problemu, nato pa še sam naredil analizo toka v cevi s programom Ansys.

Uporaba takega programa je veliko bolj praktična kot izvajanje eksperimentov, saj lahko hitreje in učinkovitejše analiziramo več različnih primerov zoženja cevi. Prav tako lažje pridobimo rezultate in vrednosti, ki jih iščemo, saj nam jih program izračuna sam, seveda ob pravilnih nastavitvah. Pri uporabi programa Ansys je bilo potrebno najprej izdelati vse geometrije, ki sem jih želel testirati, nato pa na vsaki geometriji dodati računsko mrežo, ki jo program uporabi, da izračuna željene vrednosti po metodi končnih volumnov. Pred začetkom samega računanja sem v program vnesel še robne pogoje. Ko je program vse izračunal na željeno natančnost, sem pregledal vse rezultate v Ansys Results. S pomočjo tega dela programskega paketa Ansys Fluent sem lahko odčital željene vrednosti in nato nadaljeval izračune do končnih rezultatov.

3.1 Izbira parametrov

Za analizo koničnega in pravokotnega zoženja, sem moral določiti, katere parametre bom izbiral pri vsaki obliki. Potem pa je bilo potrebno določiti robne pogoje in začetno geometrijo.

V literaturi, ki sem jo pregledal pred samim reševanjem in analiziranjem problema, sem zasledil, da je pri uniformnem profilu na vstopu v cev eden izmed parametrov, ki vplivajo na razvojno dolžino, Reynoldsovo število. Tako sem se odločil, da bom svoje analize naredil pri različnih Re in tako ugotovil, kako le-to vpliva na dolžino, kjer se tok polno razvije.

Znotraj posamezne oblike zoženja sem moral določiti geometrijske parametre, ki sem jih lahko spreminjal in primerjal med seboj. Določil sem tudi, da ima pri vseh primerih širši del cevi enako velik premer, da sem rezultate lažje primerjal med seboj.

(27)

Metodologija raziskave

Pri izbiranju robnih pogojev sem:

- Vse analize so bile narejene v laminarnem toku (Re < 2100)

- Zaradi nizkih hitrosti lahko fluid obravnavamo kot nestisljiv (vmax < 0,3 Ma) - Temperatura je po celotni fluidni domeni konstantna in ne vpliva na rezultate

- Vse analize so bile narejene s tekočo vodo z lastnostmi: gostota vode ρ = 998,2 kg/m³, kinematična viskoznost ν = 1,003∙10^-6 m²/s

- Gravitacija nima vpliva na rezultate, saj sem obravnaval vodoravne cevi - Hitrostni profil na vstopu je paraboličen (predpisan s funkcijo)

- Premer širšega dela cevi je D1 = 0,2 m - Dolžina širšega dela cevi je L1 = 2 m - Dolžina ožjega dela cevi je L2 = 14 m

Konično zoženje

Pri koničnem zoženju se mi je zdel najpomembnejši geometrijski parameter, ki ga lahko spreminjam, kot pod katerim se cevi zoži (kot med steno cevi in samim zoženjem). Analize sem naredil pri štirih različnih kotih zožitve (α). Prvo sem naredil pri kotu zoženja 20°, nato pa s korakom 20° nadaljeval do kota 80°. Določil sem tudi, da je pri vseh koničnih zožitvah, ožja cev enako široka. Premer ožje cevi je v vseh primerih enak polovici premeru širše cevi.

Pri določanju začetnih pogojev oziroma začetne hitrosti v širšem delu cevi, sem moral upoštevati, da se Re v ožjem delu poveča. V mojem primeru se je to število povečalo za faktor dva, zaradi razmerja med ožjim in širšim premerom. To je pomenilo, da je lahko največje Re v širšem delu Re = 1050. Odločil sem se, da uporabim Re do največ 1000, da imam gotovo laminarni tokovni režim. Analize sem naredil pri Re = 250, 500, 750 in 1000.

Slika 3.1: Skica koničnega zoženja

Na sliki (3.1) je prikazana geometrija konične oblike zoženja in njej pripadajoče kote.

Narisal sem samo polovico prereza, saj gre za osno simetrično geometrijo, kasneje pa sem v programu Ansys nastavil, da gre za cev okroglega prereza, označil pa sem tudi os cevi.

(28)

Pravokotno zoženje

Pri tej obliki zoženja je edini geometrijski parameter, ki ga lahko spreminjamo, premer ožje cevi oziroma razmerje med ožjim in širšim delom cevi, ki je lahko med 0 in 1. Naredil sem štiri analize pri katerih sem spreminjal to razmerje R. Začel sem pri razmerju 0,8 (D2 = 0,16), nato pa s korakom 0,2 nadaljeval do razmerja 0,2 oziroma do premera ožje cevi D2 = 0,04.

Tudi pri tej obliki sem moral določiti Reynoldsova števila, pri katerih sem opravil analize.

Paziti sem moral, da je tudi v najožji cevi še vedno laminarni tokovni režim. Pri razmerju R

= 0,2 se Reynoldsovo število poveča za faktor pet tako, da je bilo to v širšem delu cevi, maksimalno 400. Analize sem naredil pri Re = 100, 200, 300 in 400.

Slika 3.2: Skica pravokotnega zoženja

Na sliki (3.2) je prikazana le polovica geometrije pravokotne oblike zoženja, saj gre za osno simetrično geometrijo. Tako kot pri konični obliki sem kasneje nastavil, da gre za cev okroglega prereza in označil os cevi.

𝑅 = ^𝐷²

𝐷₁ (3.1)

Enačba (3.1) predstavlja razmerje med ožjim in širšim premerom cevi. To je razmerje, ki sem ga spreminjal pri pravokotnem zoženju.

3.2 Programsko okolje Ansys

Pri tem delu naloge sem moral vse do sedaj zbrane podatke realizirati v programu Ansys.

Delo v tem programu poteka v štirih korakih, začne se z izdelavo geometrije v Ansys Geometry, nato se naredi računsko mrežo v Ansys Mesh, v Ansys Fluent se postavi pogoje preračuna in izvede preračun, konča pa s pregledom rezultatov v Ansys Results. Dela sem se v obeh primerih zožitve lotil enako.

(29)

Geometrija

Na začetku analize je potrebno izdelati model oziroma geometrijo, kjer nas zanima obnašanje toka. V mojem primeru sem lahko cev obravnaval kot 2D problem, nato pa samo v programu označil da gre za osno simetrično geometrijo.

Najprej sem narisal osnovni model in določil dimenzije le tega, nato pa sem še označil, kateri del geometrije predstavlja vstop, izstop, steno fluidne domene in srednico. Vse dimenzije sem nastavil kot parametrične, kar mi je omogočilo hitrejše spreminjanje parametrov, katerih vpliv sem preverjal. Tako sem lahko že narejeno geometrijo preprosto kopiral in spremenil samo en parameter, dobil pa sem popolno geometrijo z drugačnimi dimenzijami. Ko sem imel geometrijo narejeno, sem se lotil izdelave računske mreže.

Računska mreža

Z računsko mrežo določimo velikost končnih volumnov, s katerimi program računa in skuša doseči konvergenčni pogoj. Pri izdelavi je potrebno paziti, da je mreža dovolj gosta, da rešitev zajame vse pomembne dele geometrije, hkrati pa ni potrebe, da je mreža pregosta, saj se čas računanja s tem podaljša, rezultati pa niso nujno bistveno boljši. Potrebno je ustvariti tako gosto mrežo, da so rezultati dovolj natančni, hkrati pa je čas računanja čim manjši. V mojem primeru so geometrije tako preproste, da se računski čas ne spremeni bistveno v primeru gostejše mreže. Natančnost rezultatov lahko preverimo z Richardsonovo ekstrapolacijo.

Mrežo sem v mojem primeru naredil tako, da se na zoženju mreža zgosti. Na mestu, kjer se premer cevi zmanjša, so končni volumni manjši kot na vstopu ali izstopu v cev. Prav tako sem mrežo zgostil ob steni cevi, na sredini pa je bila mreža redkejša.

Preračuni

Preračuni so se izvajali v programu Ansys Fluent. Program je strukturiran tako, da najprej nastavimo osnovne pogoje v delu, ki se imenuje Setup.

Fizikalne nastavitve preračuna:

- Osnovne lastnosti toka: laminarni, enofazni, ustaljeni, nestisljivi, izotermni tok

- Delovna snov: voda (gostota ρ = 998,2 kg/m³, kinematična viskoznost ν = 1,003∙10^-6 m²/s, temperatura T = 298 K, tlak P = 1,013 bar (tlak okolice))

- Robni pogoji: definiramo vse robne pogoje fluidne domene. Določil sem, da je na izhodu iz cevi tlak enak tlaku okolice, stene cevi so brez zdrsa, na koncu pa sem določil še paraboličen hitrostni profil na vstopu. To sem naredil tako, da sem na vstopu napisal funkcijo v programskem jeziku C, ki jo Fluent lahko uvozi. Funkcija predpiše maksimalno hitrost v osi cevi in porazdelitev hitrosti drugje v cevi. Lahko bi predpisal tudi uniformni hitrostni profil, vendar bi potem potreboval daljšo cev pred zoženjem.

Primer funkcije je prikazan v prilogi A.

(30)

Izbor in nastavitve numeričnih shem:

- Sklapljanje tlaka in hitrosti: SIMPLEC

- Diskretizacija hitrosti: Privetrna shema drugega reda - Diskretizacija tlaka: Standard shema

- Določitev gradientov: Least Square Cell Based shema - Konvergenčni pogoj (globalno skaliranega ostanka):

o 1e-6: ohranitev mase

o 1e-8: ohranitev gibalne količine

- Število iteracij: nastavimo koliko iteracij (1000) program izvede v primeru, da konvergenčni pogoj ni izpolnjen

- Rešitev nato inicializiramo in poženemo program

Rezultati

Rezultate sem pregledal z Ansys Results. V tem delu programa sem si lahko natančno ogledal, kako se fluid in njegove lastnosti spreminjajo v cevi. Izrisal sem več grafov, na katerih sem prikazal obnašanje fluida v različnih delih cevi. Predvsem me je zanimalo spreminjanje hitrosti vzdolž cevi in hitrostni profili na različnih mestih (na začetku, na zoženju in za zoženjem). V tem sklopu sem moral določiti tudi dolžino na kateri je tok polno razvit. To sem storil tako, da sem najprej izračunal teoretično hitrost v ožjem delu cevi. Ob znanem Reynoldsovemu številu in hitrosti na vstopu sem ob upoštevanju zakona o ohranitvi mase izračunal hitrost v ožji cevi. Hitrost sem računal na sredini cevi (maksimalna hitrost).

Nato sem določil neko dovoljeno odstopanje od idealne oziroma teoretične vrednosti in sicer sem si izbral, da v trenutku, ko hitrost doseže 99,5 % teoretične hitrosti, se tok šteje za polno razvitega. Na tem mestu sem odčital razdaljo do zoženja in jo zapisal v tabelo. Tako kot zoženje vpliva na tok za zožitvijo, vpliva tudi na tok in hitrost pred tem. Zato sem enak postopek odčitavanja razdalje ponovil še pred zoženjem, le s to razliko, da sem iskal, v katerem trenutku se hitrost na sredini cevi poveča za 0,5 %. Na mestu zoženja fluid pospeši, pred tem pa je njegova hitrost konstantna. Enak postopek sem izvedel tako pri konični kot tudi pri pravokotni obliki zoženja.

3.3 Vpliv računske mreže na rezultate

Preveril sem vpliv gostote računske mreža na kvaliteto rezultatov. Pri vsaki obliki zoženja sem izbral eno geometrijo, nato pa za to naredil več računskih mrež. Pri koničnem zoženju sem izbral geometrijo, kjer se cev zoži pod kotom 80°, Reynoldsovo število pa je Re = 1000.

Pri pravokotnem zoženju pa sem si izbral geometrije, kjer je razmerje med premeroma enako R = 0,8 in Re = 400. Nato sem za izbrano geometrijo naredil tri mreže. Razmerje med številom mrežnih elementov je bilo 1 : 2 : 4. Da sem si izdelavo mreže olajšal, sem prvo mrežo naredil parametrično. Tako sem lahko drugi dve mreži naredil precej preprosto. Le kopiral sem prvo, nato pa spremenil parameter, ki definira število elementov na posameznem delu geometrije. Tako je sam posodobil novo mrežo. Za primerjavo mrež med seboj sem na koncu naredil posplošeno Richardsonovo ekstrapolacijo, ki predvidi za koliko določen model odstopa od najnatančnejše vrednosti, ki jo izračunamo z uporabljeno metodo. Osnova

(31)

Tako sem imel eno gostejšo in eno redkejšo mrežo od uporabljene. Postopek in enačbe posplošene Richardsonove ekstrapolacije so prikazani v prilogi B.

Pri preverjanju vpliva kvalitete mreža sem odčital razvojno dolžino, nato pa te med seboj primerjal. Pri vseh gostotah mreže so bile geometrije in začetne hitrosti enake.

V prvi preglednici pri vsaki obliki zoženja so prikazani začetni podatki, ki veljajo v vseh primerih pri določeni obliki zoženja.

V preglednicah z rezultati so prikazane razvojne dolžine za in pred zoženjem in njim pripadajoča odstopanja glede na ekstrapolirano vrednost določeno z Richardsonovo ekstrapolacijo.

Konično zoženje

V preglednici 3.2 so zapisani podatki, ki veljajo v vseh primerih koničnega zoženja. Sem sodijo geometrija, Reynoldsovo število in hitrosti.

Preglednica 3.1: Osnovni podatki koničnega zoženja pri preverjanju kvalitete mreže Reynoldsovo število [/] 1000

Kot zoženja [°] 80

Hitrost pred zoženjem [m/s] 0,01005 Hitrost za zoženjem [m/s] 0,0398

V preglednici 3.3 so zapisani rezultati razvojnih dolžin pred in za koničnim zoženjem, poleg tega pa so v preglednici tudi odstopki od najnatančnejših vrednosti izračunanih z Richardsonovo ekstrapolacijo.

Preglednica 3.2: Rezultati pri različnih mrežah (konično zoženje) Faktor

zgostitve Lp [m] Odstopanje[%] Lz [m] Odstopanje [%]

1 0,109 -18,66 12,870 1,47

2 0,124 -7,46 12,794 0,87

4 0,130 -2,99 12,749 0,52

Po pričakovanjih so manjša odstopanja pri gostejši mreži, vendar pa mreža, ki sem jo uporabil na vseh ostalih geometrijah in Reynoldsovih številih, ne odstopa veliko in lahko trdim, da je mreža dovolj natančna. Na slikah (3.3, 3.4 in 3.5) so prikazane različno goste mreže.

(32)

Slika 3.3: Konično zoženje, faktor zgostitve 1

(33)

Pravokotno zoženje

V preglednici 3.4 so zapisani podatki, ki veljajo v vseh primerih pravokotnega zoženja. Sem sodijo geometrija, Reynoldsovo število in hitrosti.

Preglednica 3.3: Osnovni podatki pravokotnega zoženja pri preverjanju kvalitete mreže Reynoldsovo število [/] 400

Razmerje premerov 0,8

Hitrost pred zoženjem [m/s] 0,00402 Hitrost za zoženjem [m/s] 0,024875

V preglednici 3.5 so zapisani rezultati razvojnih dolžin pred in za pravokotnim zoženjem, poleg tega pa so v preglednici tudi odstopki od najnatančnejših vrednosti izračunanih z Richardsonovo ekstrapolacijo.

Preglednica 3.4: Rezultati pri različnih mrežah (pravokotno zoženje) Faktor

zgostitve Lp [m] Odstopanje[%] Lz [m] Odstopanje [%]

1 0,088 -6,63 5,522 16,62

2 0,093 -1,33 4,901 3,51

4 0,094 -0,27 4,770 0,74

Tako kot pri koničnem zoženju, tudi tukaj vidimo, da so odstopanja pri gostejši mreži manjša, vendar je mreža s faktorjem zgostitve 2 še vedno dovolj natančna.

Iz zgornjih rezultatov vidimo, da ima gostota oziroma kvaliteta mreže vpliva na razvojno dolžino. Gostejša mreža poda natančnejše rezultate, vendar je tudi pri najgostejši mreži nekaj odstopanj. Pri mreži, ki sem jo uporabil pri vseh geometrijah, dobimo rezultate, pri katerih še lahko trdimo, da so natančni. Na slikah (3.6, 3.7 in 3.8) so prikazane različno goste mreže.

Slika 3.6: Pravokotno zoženje, faktor zgostitve 1

(34)

(35)

4 Rezultati

V tem sklopu naloge sem uredil do sedaj odčitane ali izračunane številčne vrednosti in med njimi iskal določene odvisnosti. Pri vsaki obliki zožitve sem naredil več grafov, kjer sem prikazal pridobljene vrednosti tako, da se jasno vidi, kakšen vpliv ima posamezen parameter na razvoj toka. Posebej sem ločil rezultate pri koničnem in pravokotnem zoženju cevi.

V preglednici 4.1 so prikazani geometrijski parametri, ki veljajo pri vseh oblikah zoženja.

Preglednica 4.1: Osnovni podatki, ki veljajo v vseh primerih

Tokovni režim Laminarni tok Premer širšega dela cevi D1 [m] 0,2 Dolžina širšega dela cevi L1 [m] 2

Dolžina ožjega dela cevi L2 [m] 14

Razvojna dolžina pred zoženjem Lp predstavlja dolžino od zoženja do točke, kjer se hitrost v osi širše cevi poveča za 0,5 %, se pravi je hitrost enaka 100,5 % teoretične hitrosti v osi širše cevi.

Lp = L (v1 = 100,5 % v1max)

Na enak način je definirana tudi razvojna dolžina za zoženjem Lz, le s to razliko, da je tukaj hitrost manjša od teoretične, se pravi je to razdalja, kjer je hitrost v osi ožje cevi enaka 99,5 % teoretične hitrosti v osi ožje cevi.

Lz = L (v2 = 99,5 % v2max)

(36)

Rezultati

4.1 Konično zoženje

Najprej sem naredil analizo pri Reynoldsovemu številu 250. Pred samim merjenjem razvojne dolžine sem poznal hitrost na sredini cevi na vstopu, izračunal pa sem tudi maksimalno hitrost na sredini cevi v ožjem delu cevi. Izračunal sem tudi hitrosti, pri katerih sem odčital razvojno dolžino tako pred zoženjem kot tudi za le tem. V preglednici 4.2 so prikazani podatki, ki sem jih izračunal ali nastavil pred odčitavanjem, v preglednici 4.3 pa so prikazane razvojne dolžine pred in za zoženjem za vsako geometrijo pri konični obliki zožitve. Enake tabele sem naredil za vsa Reynoldsovo števila. Podobno kot v preglednicah 4.2 in 4.3 so v preglednicah 4.4 in 4.5, 4.6 in 4.7, 4.8 in 4.9 predstavljeni začetni podatki in pa rezultati.

Preglednica 4.2: Začetni podatki pri koničnem zoženju, Re = 250

Reynoldsovo število 250

Teoretična hitrost pred zoženjem [m/s] 0,0025 Hitrost pred zoženjem[m/s] 0,0025125 Teoretična hitrost za zoženjem[m/s] 0,01

Hitrost za zoženjem [m/s] 0,00995

D2 [m] 0,1

Slika 4.1: Konture hitrosti pri različnih geometrijah (Re = 250)

Na sliki (4.1) vidimo, da je, po pričakovanjih, v ožjem delu cevi povsod enaka hitrost ne glede na kot zoženja. Na sami sliki pa težko ocenimo razvojno dolžino.

(37)

Rezultati

Preglednica 4.3: Pridobljeni podatki pri koničnem zoženju, Re = 250

Kot zoženja [°] Lp [m] Lz [m]

20 0,056 3,231

40 0,088 3,233

60 0,109 3,220

80 0,126 3,138

Slika 4.2: Hitrostni profili na različnih delih cevi (Re = 250)

(38)

Rezultati

Slika 4.3: Hitrost v osi cevi (Re = 250)

(39)

Rezultati

Preglednica 4.4: Začetni podatki pri koničnem zoženju, Re = 500

Teoretična hitrost pred zoženjem [m/s] 0,0050 Hitrost pred zoženjem [m/s] 0,005025 Teoretična hitrost za zoženjem [m/s] 0,02

D2 [m] 0,1

20 0,053 6,495

40 0,086 6,494

60 0,108 6,472

80 0,125 6,347

(40)

Rezultati

(41)

Rezultati

Preglednica 4.6: Začetni podatki pri koničnem zoženje, Re = 750

D2 [m] 0,1

20 0,052 9,760

40 0,085 9,756

60 0,107 9,725

80 0,125 9,569

(42)

Rezultati

(43)

Rezultati

Preglednica 4.8: Začetni podatki pri koničnem zoženju, Re =1000

D2 [m] 0,1

20 0,050 13,027

40 0,085 13,020

60 0,107 12,975

80 0,124 12,794

(44)

Rezultati

(45)

Rezultati

Na slikah (4.1 – 4.12) so prikazani rezultati analize konične oblike zoženja. Slike (4.1, 4.4, 4.7 in 4.10) prikazujejo hitrosti po cevi pri različnih Reynoldsovih številih. Vidi se, da je, ne glede na kot zoženja, hitrost pri enakem Re v ožjem delu vedno enaka. Slike (4.2, 4.5, 4.8 in 4.11) predstavljajo hitrostne profile na različnih delih cevi. Ponovno vidimo, da so hitrosti na vstopu in na delu, kjer je tok razvit, enake ne glede na kot zožitve (pri istih Re). Na slikah (4.3, 4.6, 4.9 in 4.12) pa so prikazane grafi hitrosti v osi cevi.

4.2 Pravokotno zoženje

Reševanja problema in urejanja rezultatov sem se pri pravokotnem zoženju lotil na popolnoma enak način kot pri koničnem. Razlikujejo se edino Reynoldsova števila, prvo analizo sem naredil pri Re = 100, nato pa nadaljeval do Re = 400. Preglednice so v tem primeru nekoliko drugačne, saj se hitrosti v ožjem delu cevi razlikujejo med seboj, saj so odvisne od ožjega premera. Pri koničnem zoženju pa so hitrosti na koncu, pri različnih naklonskih kotih, vedno enake.

V preglednici 4.10 so prikazani podatki, ki sem jih izračunal ali nastavil pred odčitavanjem, v preglednici 4.11 pa so prikazane hitrosti in razvojne dolžine pred in za zoženjem za vsako geometrijo pri pravokotni obliki zožitve. Enake tabele sem naredil za vsa Reynoldsova števila. Podobno kot v preglednicah 4.10 in 4.11 so v preglednicah 4.12 in 4.13, 4.14 in 4.15, 4.16 in 4.17 predstavljeni začetni podatki in pa rezultati.

Preglednica 4.10: Začetni podatki pri pravokotnem zoženju, Re = 100

Teoretična hitrost pred zoženjem[m/s] 0,001 Hitrost pred zoženjem[m/s] 0,001005

(46)

Rezultati

Preglednica 4.11: Pridobljeni podatki pri koničnem zoženju, Re = 100 Razmerje

premerov R

Teoretična hitrost za zoženjem [m/s]

Hitrost za zoženjem[m/s]

Lp [m] Lz [m]

0,8 0,0015625 0,0015547 0,096 1,215

0,6 0,0027778 0,0027639 0,126 1,344

0,4 0,00625 0,0062188 0,141 1,590

0,2 0,025 0,0024875 0,126 1,386

(47)

Rezultati

(48)

Rezultati

Teoretična hitrost pred zoženjem [m/s] 0,002 Hitrost na vstopu [m/s] 0,00201

premerov R Teoretična hitrost za zoženjem [m/s]

Hitrost za

zoženjem[m/s] Lp [m] Lz [m]

0,8 0,003125 0,0031094 0,094 2,447

0,6 0,0055556 0,0055278 0,126 2,714

0,4 0,0125 0,012438 0,142 3,201

0,2 0,05 0,04975 0,145 2,789

(49)

Rezultati

(50)

Rezultati

premerov R

Lp [m] Lz [m]

0,8 0,0046875 0,0046641 0,093 3,676

0,6 0,008333 0,0082917 0,126 4,081

0,4 0,01875 0,018656 0,143 4,684

0,2 0,075 0,074625 0,147 4,191

(51)

Rezultati

(52)

Rezultati

premerov R

Lp [m] Lz [m]

0,8 0,00625 0,0062188 0,093 4,901

0,6 0,001111 0,0011056 0,126 5,450

0,4 0,025 0,0024875 0,143 6,431

0,2 0,1 0,0995 0,143 5,892

(53)

Rezultati

(54)

Rezultati

Na slikah (4.13 – 4.24) so prikazani rezultati analize pravokotne oblike zoženja. Slike (4.13, 4.16, 4.19 in 4.22) prikazujejo hitrosti po cevi pri različnih Reynoldsovih številih. Vidimo, da je hitrost v ožji cevi odvisna od njenega premera. Slike (4.14, 4.17, 4.20 in 4.23) predstavljajo hitrostne profile na različnih delih cevi. Na slikah vidimo, da se kljub istim hitrostim na začetku končni rezultati močno razlikujejo. Na slikah (4.15, 4.18, 4.21 in 4.24) pa so prikazane grafi hitrosti v osi cevi.

(55)

5 Diskusija

Po pridobitvi vseh rezultatov, sem pri obeh oblikah zoženja izrisal dva grafa, ki prikazujeta kako Reynoldsovo število in kot zožitve oziroma razmerje premerov vplivata na razvojno dolžino pred in za zoženjem. Tako sem lahko prikazal medsebojne odvisnosti različnih parametrov, kar je bil cilj te zaključne naloge.

Konično zoženje

V preglednicah v prejšnjem poglavju se vidi, da pri razvojni dolžini pred zoženjem Reynoldsovo število ne vpliva bistveno oziroma so razlike majhne. Kot zožitve pa ima vpliv na razvojno dolžino. Spodnji graf (slika 5.1) prikazuje kako kot vpliva na dolžino pri različnih Reynoldsovih številih.

Slika 5.1: Odvisnost razvojne dolžine pred zoženjem od kota zožitve

(56)

Diskusija

Kot sem že omenil, Reynoldsovo število ne vpliva na razvojno dolžino, slednja pa se veča s kotom zoženja. Večji kot je kot, oziroma bolj kot se cev naglo zoži, večja je razdalja pred samim zoženjem, kjer to vpliva na tok in porazdelitev hitrosti.

Na drugem grafu (Slika 5.2) pa so prikazani podatki oziroma razvojne dolžine za zoženjem v odvisnosti od Reynoldsovega števila pri različnih kotih.

Slika 5.2: Odvisnost razvojne dolžine za zoženjem od Reynoldsovega števila

V tem primeru je zadeva ravno obrnjena, kot zoženja ne vpliva na razvojno dolžino, Reynoldsovo število pa. Z večanjem slednjega se veča tudi razvojna dolžina za zoženjem. Iz grafa lahko razberemo, da je odvisnost med Reynoldsovim številom in razvojno dolžino linearna.

Pravokotno zoženje

Pri rezultatih se opazi, da pri razmerju premerov R = 0,2 pri vseh Reynoldsovih številih pride do odstopanja. Še posebej se to odstopanje vidi pri razvojni dolžini za zoženjem. Da bi odpravil to težavo, sem najprej zgostil mrežo, tako da sem preprečil, da bi kvaliteta mreža vplivala na rezultate. Po tem so rezultati še vedno odstopali, zato sem problem skušal odpraviti tako, da sem to razmerje reševal kot neustaljeni tok, vendar to ni rešilo problema.

Ostala je samo še možnost, da se kljub nizkim Reynoldsovim številom začnejo pojavljati turbulentni efekti. Pri razvojni dolžini pred zoženjem rezultati ne odstopajo veliko, pri razvojni dolžini za zoženjem pa so ta odstopanja občutna. Z manjšanjem razmerja premerov se je razvojna razdalja večala, pri razmerju R = 0,2 pa se je razvojna dolžina, v primerjavi s prejšnjimi, zmanjšala.

(57)

Diskusija

V enačbah (2.16) za razvoj uniformnega toka na vstopu v cev se vidi, da so razvojne dolžine pri laminarnem tokovnem režimu večje kot pri turbulentnem. Enako se zgodi tukaj.

Razvojna dolžina se zmanjša, kljub temu, da smo predvidevali povečanje.

V spodnjih dveh grafih razmerja R = 0,2 nisem prikazal, saj ne spada več v laminarni tokovni režim. Na grafu bi s temi podatki samo pokvaril preglednost.

Slika 5.3: Odvisnost razvojne dolžine za zoženjem od razmerja premerov

Zgornji graf (slika 5.3) prikazuje kako razmerje premerov vpliva na razvojno dolžino pred zoženjem. Predstavljeno je pri različnih Reynoldsovih številih. Z manjšanjem razmerja premerov, oziroma pri bolj naglem zoženju, se razvojna dolžina poveča.

Na grafu (slika 5.4) so prikazani rezultati za razvojno dolžino za zoženjem v odvisnosti od Reynoldsovega števila pri različnih razmerjih premerov.

Slika 5.4: Odvisnost razvojne dolžine za zoženjem od Reynoldsovega števila

(58)

Diskusija

Vidimo, da na razvojno dolžino vplivata tako Reynoldsovo število kot tudi razmerje premerov. Manjše kot je razmerje premerov, oziroma večja kot je sprememba premera, večja je razvojna dolžina. Prav tako se razvojna dolžina poveča v primeru večjega Reynoldsovega števila. Iz grafa se vidi, da je odvisnost med Reynoldsovim številom in razvojno dolžino linearna.

Primerjava

Sedaj, ko sem zaključil z analiziranjem vseh rezultatov, lahko naredim primerjavo med obema oblikama zoženja. V obeh primerih vidimo, da na razvojno dolžino pred zoženjem Reynoldsovo število nima vpliva, vpliva pa geometrijski parameter, v primeru koničnega zoženja je to kot zožitve, v primeru pravokotnega zoženja pa je to razmerje premerov. Prav tako vidimo, da je pri obeh oblikah razvojna dolžina pred zoženjem večja v primeru večje spremembe. Pri konični obliki je to pri večjem kotu, pri pravokotni pa pri manjšem premeru ožje cevi.

Pri razvojni dolžini za zoženjem vidimo, da je pri obeh oblikah Reynoldsovo število tisto, ki bolj vpliva na razvoj toka, vendar s to razliko, da pri koničnem zoženju kot zožitve ne vpliva, pri pravokotnem pa razmerje premerov prav tako vpliva na razvojno dolžino.

Številčnih vrednosti ne moremo primerjati med seboj, saj so preračuni narejeni pri različnih Reynoldsovih številih, geometrijskih parametrov pa tudi ne moremo direktno primerjati.

Lahko pa pogledamo razvojne dolžine pri obeh primerih in opazimo, da so razvojne dolžine pred zoženjem v primeru koničnega zoženja manjše kot pri pravokotnem zoženju. Ta ugotovitev ni presenetljiva, saj je v splošnem konično zoženje bolj učinkovito kot pravokotno.