Univerza v Mariboru
Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in raˇcunalniˇstvo
1. kolokvij
Ravninska in prostorska geometrija
Maribor, 14. 12. 2012
1. V trikotniku ABC naj bo I srediˇsˇce vˇcrtane kroˇznice in Z dotikaliˇsˇce vˇcrtane kroˇznice s stranico c.
(a) Konstruiraj trikotnik ABC s podatki: |CI|= 5 cm, |IZ|= 3 cm in 6 CIZ = 165◦.
(b) Izraˇcunaj vse tri kote in stranico atrikotnika ABC.
2. Nosilka viˇsine na stranico c seka oˇcrtano kroˇznico trikotnika ABC v toˇckah C in C. Viˇsinsko toˇcko trikotnika˜ ABC oznaˇcimo s H, razpoloviˇsˇce daljice CH z M, srediˇsˇce kroˇznice devetih toˇck pa zO9. Pri danih toˇckahO9, M,C˜na sliki konstruiraj trikotnik ABC.
2
3. V trikotniku ABC naj bosta E in F noˇziˇsˇci viˇsin na stranici a in b. Ploˇsˇcino trikotnika ABC oznaˇcimo z S. Dokaˇzi:
(a) vavb= 2Ssinγ
(b) vavb=|AB| · |EF|+|BE| · |AF|.
V dokazih skrbno utemelji vse podrobnosti!
3
4. Naj bodoA′, B′, C′ razpoloviˇsˇca stranica, b, cinOsrediˇsˇce oˇcrtane kroˇznice trikot- nikaABC.
(a) Dokaˇzi, da sta ˇstirikotnika AC′OB′ inA′CB′O tetivna.
(b) Naj boK1 oˇcrtana kroˇznica trikotnikaAC′B′inK2oˇcrtana kroˇznica trikotnika A′CB′. Katera znana premica trikotnika ABC je potenˇcna premica kroˇznic K1 inK2?
(c) Srediˇsˇci kroˇznic K1 inK2 oznaˇcimoO1 inO2. Upoˇstevaj (b) in dokaˇzi, da sta nosilki daljic O1O2 in AC vzporedni.
4
