UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
EVA BENEDI ˇ CI ˇ C
ORTOGONALNE KROˇ ZNICE
DIPLOMSKO DELO
Ljubljana, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
ˇSTUDIJSKI PROGRAM: DVOPREDMETNI U ˇCITELJ SMER: FIZIKA - MATEMATIKA
EVA BENEDI ˇ CI ˇ C
MENTOR:
prof. dr. MATIJA CENCELJ
ORTOGONALNE KROˇ ZNICE
DIPLOMSKO DELO
Ljubljana, 2017
Zahvala
Iskreno se zahvaljujem mentorju prof. dr. Matiji Cenclju za vso strokovno pomoˇc, nasvete in vodenje pri nastajanju diplomskega dela.
Velika zahvala gre tudi druˇzini, ki mi je tekom ˇstudija stala ob strani in me podpirala.
Prav tako se zahvaljujem vsem prijateljem in prijateljicam za sodelovanje in pomoˇc v ˇcasu ˇstudija in pisanja diplomske naloge.
I
Povzetek
Obravnavamo inverzijo ravnine glede na kroˇznico, potenco toˇcke glede na krog in ortogonalne kroˇznice.
Osnovna literatura je ustrezno poglavje knjige Osnove moderne elementarne geome- trije avtorja Howarda Evesa.
Kljuˇcne besede: Harmoniˇcna ˇcetverka, inverzija toˇcke glede na kroˇznico, inverzija premice glede na kroˇznico, inverzija kroˇznice glede na kroˇznico, ortogonalni kroˇznici, potenca toˇcke na krog, potenˇcna os, potenˇcno srediˇsˇce.
III
Abstract
Inversion in a circle, the power of a point with respect to a circle and orthogonal circles are considered.
The basic literature is Howard Eves: Modern Elementary Geometry.
Keywords: Harmonic conjugation, point inversion relative to the circle, line inver- sion relative to the circle, circle inversion relative to the circle, orthogonal circles, the power of a point with respect to a circle, the radical axis of a pair of circles, the radical center of circles.
V
Kazalo
Zahvala . . . I Povzetek . . . III Abstract . . . V
Poglavje 1. Uvod . . . 1
Poglavje 2. Osnovni pojmi . . . 2
2.1. Harmoniˇcna ˇcetverka . . . 2
2.2. Inverzija glede na kroˇznico . . . 3
Poglavje 3. Ortogonalne kroˇznice . . . 10
3.1. Konstrukcija potenˇcne osi. . . 18
3.2. Potenˇcno srediˇsˇce treh kroˇznic . . . 23
Literatura . . . 25
VII
Kazalo slik
Harmoniˇcna ˇcetverka. . . 2
Inverzija toˇcke glede na kroˇznico. . . 3
Korak 1. . . 4
Korak 2. . . 4
Korak 3. . . 4
Inverzija toˇcke glede na kroˇznico, ko je toˇcka znotraj kroˇznice. . . 4
Inverzija toˇcke glede na kroˇznico, ko je toˇcka zunaj kroˇznice. . . 5
Inverzija premice q glede na kroˇznico K. . . 6
Inverzija premice q glede na kroˇznico K. . . 6
Inverzija premice q glede na kroˇznico K je kroˇznicaL. . . 7
Podobnost trikotnikov v inverziji kroˇznice. . . 8
Inverzija kroˇznice L glede na kroˇznico K je kroˇznica M. . . 9
Ortogonalni kroˇznici. . . 10
Harmoniˇcna ˇcetverka. . . 11
Tangentnost. . . 12
Ortogonalni ”kroˇznici”K1 in p(AO1B). . . 13
Ortogonalni kroˇznici. . . 13
ToˇckaP znotraj kroˇznice. . . 14
ToˇckaP zunaj kroˇznice. . . 14
Potenca toˇcke na kroˇznico. . . 15
Potenca toˇcke na kroˇznico. . . 16
Potenˇcna os. . . 17
Potenˇcna os dveh sekajoˇcih se kroˇznic. . . 18
IX
Ortogonalna kroˇznica na K1 inK2. . . 19 Potenˇcna os dveh nekoncentriˇcnih kroˇznic K1 inK2. . . 20 Ortogonalna kroˇznica na K1 inK2, ki leˇzi na potenˇcni osi kroˇznic K1 in K2. . . 21 Potenˇcno srediˇsˇce treh kroˇznic. . . 23 Ortogonalna kroˇznica O na vse tri kroˇznice K1,K2 inK3 . . . 24 Tri kroˇznice, ki se paroma sekajo. . . 24
X
POGLAVJE 1
Uvod
Ortogonalne kroˇznice predstavljajo del moderne elementarne geometrije, ki je nada- ljevanje in razˇsiritev srednjeˇsolske geometrije. V veliki meri temelji na Evklidovih elementih, ki so bili napisani ˇze v letih okrog 300 pr.n.ˇst.. Za vpeljavo ortogonalnih kroˇznic bomo za zaˇcetek potrebovali nekatere dele osnovne geometrije krogov, kot so potenca toˇcke na kroˇznico, radikalna in potenˇcna os dveh kroˇznic ter potenˇcno srediˇsˇce kroˇznic.
Ceprav pojem potenca toˇˇ cke na krog najdemo ˇze v tretji knjigiEvklidovih elemen- tov, je koncept prviˇc bolj podrobno razvil francoski matematik Louis Gaultier leta 1813 v svojem delu Journal de l’Ecole Polytechnique. Prviˇc se pojavijo pogoji ra- dikalne osi in radikalnega centra. Izraz potenca je uvedel nekoliko kasneje ˇsvicarski matematik Jacob Steiner. Zaˇcetne ˇstudije pravokotnih kroˇznic so izvedli v zaˇcetku devetnajstega stoletja Gaultier, Poncelet, Steiner, J. B. Durrende in drugi.
1
POGLAVJE 2
Osnovni pojmi
2.1. Harmoniˇcna ˇcetverka
Harmoniˇcna ˇcetverka je poseben primer dvorazmerja, ki opisuje medsebojno lego ˇstirih toˇck na premici.
Naj bodo A, B, C, D ˇstiri kolinearne toˇcke, tako da velja D(A;B;C;D) = −1.
To pomeni, da par toˇck C inD razdeli interval [AB] navznoter in navzven v istem razmerju in obratno, tudi parA inB razdeli interval [CD] navznoter in navzven v istem razmerju. Reˇcemo, da je ˇcetverka toˇckA, B, C, D harmoniˇcna ˇcetverka.
Slika 1. Harmoniˇcna ˇcetverka.
Definicija2.1. [1] Naj bodoA,B,C,Dˇstiri kolinearne toˇcke. ˇCetverka danih toˇck je harmoniˇcna ˇcetverka, D(A;B;C;D) =−1 ˇce, in samo ˇce velja OB2 =OC·OD, kjer je toˇcka O razpoloviˇsˇce AB.
2
2.2. Inverzija glede na kroˇznico
V magistrskem delu Diofantski vidiki Steinerjevega porizma iz leta 2014, katerega avtor je Nejc Baroviˇc [4] in na spletni strani o inverziji kroˇznice [5] najdemo zelo podrobno opisano inverzijo glede na kroˇznico, iz ˇcesar je povzeto tudi nadaljnje podpoglavje.
Najprej definirajmo inverzijo toˇcke glede na kroˇznico K kot transformacijo ravnine brez srediˇsˇca kroˇznice K (to je, brez toˇcke O). Nato ravnino dopolnimo ˇse s toˇcko
”neskonˇcno”in definirajmo inverzijo toˇcke glede na kroˇznico K kot transformacijo tako dopolnjene ravnine same vase.
Definicija 2.2. Naj bo kroˇznica K s srediˇsˇcem v toˇckiO in polmerom r ter toˇcka A poljubna toˇcka v ravnini, tako da velja O 6=A. Inverzija toˇcki A na poltraku OAz zaˇcetkom v toˇcki O, priredi drugo toˇcko A0 na tem poltraku tako, da velja
|OA| · |OA0 |=r2.
Toˇcko A0 imenujemo inverzna toˇcka toˇcke A glede na kroˇznico K.
Definicija 2.3. [5] Naj bo v evklidski ravnini Π toˇcka O srediˇsˇce kroˇznice K = K(O, r) s polmerom r. Ravnino dopolnimo z neskonˇcno toˇcko O∞. Tako dobljeno ravnino imenujemo inverzna ravnina Σ. Inverzija ravnine Σ glede na kroˇznico K je bijektivna preslikavaf : Σ7→Σ za katero velja: ˇce jeA∈Π\{0}, je slika A0 =f(A) toˇcka na poltraku OA, tako da velja |OA| · | OA0 |=r2, srediˇsˇce inverzije O pa se preslika v toˇcko O∞ in obratno.
Slika 2. Inverzija toˇcke glede na kroˇznico.
3
Oglejmo si geometrijsko konstrukcijo inverzije toˇcke, premice in kroˇznice glede na izbrano kroˇznico ter na primerih spoznajmo nekaj znaˇcilnosti inverzije glede na kroˇznico.
• Geometrijska konstrukcija inverzije toˇcke glede na kroˇznico Po Definiciji 2.2 si izberimo poljubno toˇcko A, ki leˇzi v ravnini kroga, ki ga omejuje kroˇznica K in je razliˇcna od srediˇsˇca O; (O 6= A). Konstrukcijo lahko izvedemo s pomoˇcjo ˇsestila in ravnila. Najprej nariˇsemo poltrak OA, nato skozi toˇcko X naˇcrtamo tetivo XY pravokotno na poltrak OA. V krajiˇsˇcih tetive, to je v toˇckah A in B, naˇcrtamo tangenti na kroˇznico K. Tangenti sekata poltrak OA v toˇcki A0.
Slika 3. Korak 1. Slika 4. Korak 2. Slika 5. Korak 3.
Slika 6. Inverzija toˇcke glede na kroˇznico, ko je toˇcka znotraj kroˇznice.
Oglejmo si ˇse primer, ko toˇckaAleˇzi zunaj kroˇzniceK(Slika 7). ToˇckoA0 dobimo z obratnim postopkom konstrukcije, kot je bila opisana v prejˇsnjem primeru. In sicer, najprej nariˇsemo poltrak OA in nato skozi toˇcko A naˇcrtamo tangenti na kroˇznico
4
K. Tangenti nariˇsemo tako, da naˇcrtamo kroˇznico skozi srediˇsˇce O in toˇcko A, s premeromOA. Po Talesovem izreku vemo, da je kot, ki ima vrh na kroˇznici, njegova kraka pa potekata skozi krajiˇsˇce premera te kroˇznice, pravi kot. Zato sta preseˇciˇsˇci kroˇznic K in L toˇcki X in Y, ki ju poveˇzemo tako, da dobimo tetivo. Preseˇciˇsˇce tetiveXY s poltrakom OX je toˇcka A0.
Slika 7. Inverzija toˇcke glede na kroˇznico, ko je toˇcka zunaj kroˇznice.
Cim bolj se toˇˇ cka A pribliˇzuje kroˇznici K, tem bliˇzje je inverzna toˇcka A0 kroˇznici K na drugi strani. Torej, ˇce toˇcka A leˇzi na kroˇznici K, se z inverzijo na kroˇznico preslika sama vase.
• Inverzija premice glede na kroˇznico
Po Definiciji 2.3 je premica p skozi srediˇsˇce inverzije O kar sebi inverzna, saj velja f(p) ⊂ p. Inverzija je involucija, zato velja p = f(f(p))⊂ f(p). Tako dobimo kar p=f(p), kar pomeni, da se premica pres slika sama vase.
Poglejmo, kaj dobimo, ˇce poljubna premica ne poteka skozi srediˇsˇce kroˇznice K, to je, skozi srediˇsˇce inverzije.
Nariˇsemo poljubno premicoq (slika 8), ki ne poteka skozi toˇcko O. Nato naˇcrtamo pravokotnico na premico q skozi srediˇsˇce kroˇznice K, ki jo oznaˇcimo s t. Preseˇciˇsˇce teh dveh premic je toˇcka A. Po ˇze znanem postopku toˇcki A priredimo inverzno toˇcko A0 glede na kroˇznico K. Na premici q nato oznaˇcimo ˇse dve poljubni toˇcki B inC, ki jima prav tako priredimo inverzni toˇcki B0 in C0 glede na kroˇznico K.
5
Slika 8. Inverzija premice q glede na kroˇznicoK.
Na sliki 9 vidimo, da sta si trikotnika 4OAB in 4OB0A0 podobna, saj imata pri ogliˇsˇcuO skupen kot, iz ˇcesar sledi, da je
OA·OA0 =r2 =OB·OB0. Od tod dobimo, da je
OA:OB =OA0 :OB0.
Sledi, da se trikotnika ujemata v razmerju dveh stranic in kotu med njima, torej sta si res podobna. Zato tudi velja, da sta kota
∠OB0A0 =∠OAB = π 2, torej sta oba prava.
Slika 9. Inverzija premice q glede na kroˇznicoK.
6
ToˇckaA0leˇzi na kroˇzniciLs premeromOA0in s srediˇsˇcem na njegovem razpoloviˇsˇcu, kar je prikazano na sliki 10, saj iz gemetrije vemo, da srediˇsˇce oˇcrtane kroˇznice v pravokotnem trikotniku leˇzi na njegovi hipotenuzi, kar je v naˇsem primeru na OA.
Torej jef(q)⊂ L. Pokaˇzimo ˇse, da velja obrat, L ⊂f(q). Vzemimo poljubno toˇcko X 6= O na kroˇznici L. Premica skozi toˇcki X in O seka premico q v natanko eni toˇcki X0, ki je kar inverzna toˇcka toˇcke X. Srediˇsˇce kroˇznice K oziroma srediˇsˇce inverzije, pa se preslika v neskonˇcno toˇcko. Premica q je torej lahko mimobeˇznica, tangenta ali pa sekanta.
Slika 10. Inverzija premice q glede na kroˇznico K je kroˇznicaL.
Ce jeˇ q tangenta, je iz primerov inverzije toˇcke glede na kroˇznico in premice glede na kroˇznico oˇcitno, da toˇcki A in A0 sovpadata in je premer kroˇznice L enak OA oziroma polmeru kroˇzniceK. V primeru, ko q seka kroˇznico Kv toˇckah X inY, pa je kroˇznica L doloˇcena s srediˇsˇcem O in negibnima toˇckama X in Y.
• Inverzija kroˇznice glede na kroˇznico
Kot smo opazili v zgornjem primeru je inverzija involucija, kar pomeni, da velja, da je enaka svojemu obratu. Ker je inverzija premice na kroˇznico kroˇznica (ˇce gledamo zgornji primer, je inverzija premice q na kroˇznico K, ki ne poteka skozi toˇcko O, kroˇznica L skozi srediˇsˇce inverzije O). Torej velja tudi obrat. Inverzija kroˇznice L, ki poteka skozi srediˇsˇceO, na kroˇznicoKje premicaq, ki pa ne poteka skozi srediˇsˇce inverzije O, kar pa je ˇze prikazano na sliki 10.
7
Poglejmo si ˇse primer inverzije kroˇznice L, ki ne poteka skozi srediˇsˇce inverzije O, na kroˇznico K(slika 11).
Poljubno si izberemo kroˇznico L, ki ne poteka skozi srediˇsˇce kroˇznice K. Premica p naj poteka skozi srediˇsˇce kroˇznice L in toˇcko O. S toˇckama A in B oznaˇcimo preseˇciˇsˇci premice p in kroˇznice L. Toˇcka X naj bo poljubna toˇcka na kroˇznici L.
Toˇckam A, B in X po ˇze znanem postopku priredimo inverzne toˇcke A0, B0 in X0 glede na kroˇznico K. Podobno kot v zgornjem primeru, sta si trikotnika OXA in OX0A0 ter trikotnikaOXB inOX0B0 podobna, saj imata isti vrh ter enako razmerje dveh stranic, ki sledi iz Definicije 2.2.
Slika 11. Podobnost trikotnikov v inverziji kroˇznice.
Oznaˇcimo naslednje kote, ki jih vidimo na sliki 11:
∠OXA=α in ∠OA0X0 =α0
∠OXB =β in ∠OB0X0 =β0
∠AXB =γ in ∠A0X0B0 =γ0.
Dokaˇzimo, da jeγ0 =γ, sajγ leˇzi nad iztegnjenim kotom∠ASB na kroˇzniciL.
α=α0 ter β =β0. Od tod sledi, da je
γ0 =β0−α0 =β−α=γ = π 2.
Po Talesovem izreku kotγ0leˇzi nad daljicoA0B0, ki predstavlja iztegnjeni kot∠A0B0. Od tod sledi, da toˇcke A0, B0 in C0 leˇzijo na isti kroˇznici, katere premer je daljica A0B0, ki jo poimenujemo M.
8
Slika 12. Inverzija kroˇznice L glede na kroˇznico K je kroˇznica M.
Opisane lastnosti inverzije kroˇznice lahko sedaj zapiˇsemo kar v skupno trditev.
Trditev 2.4. Lastnosti inverzije glede na kroˇznicoK=K(O, r):
(1) premice, ki potekajo skozi srediˇsˇce O, se z inverzijo preslikajo same vase;
(2) premice, ki ne potekajo skozi srediˇsˇce O, preslika v kroˇznice, ki potekajo skozi O;
(3) kroˇznice, ki ne potekajo skozi O, se preslikajo v kroˇznice;
(4) kroˇznice skozi srediˇsˇce O kroˇznice K, se z inverzijo preslikajo v premice;
(5) toˇcke, ki leˇzijo na kroˇznici K, se z inverzijo preslikajo same vase, torej so toˇcke na kroˇznici fiksne toˇcke inverzije;
(6) toˇcke v notranjosti kroˇznice se preslikajo v toˇcko zunaj kroˇzniceKin obratno (ko se toˇcka pribliˇzuje srediˇsˇcu, se preslikana toˇcka od srediˇsˇca oddaljuje);
(7) velikosti kotov med premicami oziroma kroˇznicami se ohranijo;
(8) pri dani kroˇznici K, se vse premice skozi srediˇsˇce kroˇznice O in vse ostale kroˇznice, ki kroˇznicoKsekajo pod pravim kotom, z inverzijo glede na kroˇznico K preslikajo same vase.
9
POGLAVJE 3
Ortogonalne kroˇ znice
Definicija3.1. [3] Naj bostaK1 inK2 dve kroˇznici, ki se sekata v dveh toˇckah, kjer sta tangenti pravokotni. Potem reˇcemo, da stakroˇznici ortogonalni. Ali drugaˇce reˇceno, ˇce je v vsaki preseˇcni toˇcki polmer ene kroˇznice pravokoten na polmer druge kroˇznice sta kroˇznici ortogonalni.
Slika 13. Ortogonalni kroˇznici.
Spodaj naˇstete trditve oˇcitno sledijo neposredno iz definicije.
Izrek 3.2. [1] (1) Kot pod katerim se sekata dve kroˇznici v skupni toˇcki je enak v kateremkoli preseˇciˇsˇcu teh dveh kroˇznic.
(2) ˇCe sta dve kroˇznici ortogonalni, je daljica od srediˇsˇca prve kroˇznice do preseˇciˇsˇca obeh kroˇznic kar tangentna na drugo kroˇznico; in obratno; ˇce je daljica, od srediˇsˇca prve kroˇznice do preseˇciˇsˇca obeh kroˇznic, tangenta druge kroˇznice, sta kroˇznici orto- gonalni.
(3) Naj bosta polmera kroˇznic r1 in r2 ter d srediˇsˇcna razdalja dveh kroˇznic, potem sta kroˇznici ortogonalni, ˇce in samo ˇce velja: r21+r22 =d2.
(4) ˇCe sta dve kroˇznici ortogonalni, srediˇsˇce ene kroˇznice leˇzi zunaj druge kroˇznice.
10
Izrek 3.3. Naj bostaK1 in K2 kroˇznici, ki se sekata ortogonalno. ˇCe nosilka nekega premera AB kroˇznice K1 seka kroˇznico K2 v toˇckah C in D, je ˇcetverka A, B, C, D harmoniˇcna ˇcetverka. Velja tudi obratno: ˇce kroˇznica K1 seka kroˇznico K2 tako, da nosilka nekega premera AB kroˇznice K1 seka kroˇznico K2 v toˇckah C in D tako, da je ˇcetverka A, B, C, D harmoniˇcna ˇcetverka, se sekata kroˇznici ortogonalno.
Na sliki 14 vidimo nosilko premera AB kroˇznice K1, na kateri leˇzijo toˇcke A, B, C inD. Ko veljaO1B2 =O1C·O1D, potem nosilka premera kroˇzniceK1 harmoniˇcno seka kroˇznico K2.
Slika 14. Harmoniˇcna ˇcetverka.
Dokaz:
Naj boO1na sliki 14 srediˇsˇce ene od para ortogonalnih kroˇznic in naj nosilka premera AO1B te kroˇznice seka drugo kroˇznico v toˇckahC inD. ToˇckaP naj bo preseˇciˇsˇce obeh kroˇznic. Potem po Izreku 3.2.(2) velja (O1B)2 = (O1P)2 = (O1C)(O1D), saj je O1P tangenta druge kroˇznice. Po Definiciji 2.1 sledi, da je, (A;B;C;D) = −1, ker je O1 srediˇsˇce daljice AB.
Obratno, ˇce je (A;B;C;D) =−1, potem po Definiciji 2.1 sledi (O1P)2 = (O1B)2 = (O1C)(O1D) in ker je nosilka daljice O1P tangenta na drugo kroˇznico, po Izreku 3.2.(2) sledi, da sta kroˇznici ortogonalni.
11
Definicija3.4. (IN DOGOVOR). V nadaljevanju bomo tako kroˇznico, kot premico imenovali ”kroˇznica”in se dogovorili, da sta dve premici tangenti tedaj, in le tedaj ˇce bodisi sovpadata ali pa sta vzporedni. S tem dogovorom je jasno, kdaj sta dve
”kroˇznici”tangenti ena na drugo.
Iz definicije sledi, da je ”kroˇznica”torej lahko dejanska kroˇznica ali pa premica.
Loˇcimo tri primere tangentnosti glede na vrsto ”kroˇznice”:
• tangentnost dveh kroˇznic (primer 1 na sliki 15)
• tangentnost premice in kroˇznice (primer 2 na sliki 15)
• tangentnost dveh premic (primer 3 na sliki 15)
Slika 15. Tangentnost.
Kot vidimo na sliki 15, loˇcimo dva primera pri tangentnosti dveh kroˇznic in sicer, ko se kroˇznici dotikata na zunanji strani glede na njuno srediˇsˇce in primer, ko se dotikata na notranji strani. Pri tangentnosti dveh premic, pa se premici dotikata v neskonˇcnosti.
Izrek 3.5. Obstaja natanko ena ”kroˇznica”, ki je ortogonalna na kroˇznico K1 in poteka skozi dve toˇcki A in B v krogu z robom K1.
Dokaz:
Naj bo toˇckaO1 (na sliki 16) srediˇsˇce kroˇzniceK1. Loˇcimo dva primera, ko so toˇcke A,O1 inB kolinearne oziroma ko so nekolinearne.
Ce so toˇˇ cke A, O1 inB kolinearne, je premerAO1B, ki leˇzi na premicipskozi toˇcki A inB ortogonalen na K1.
12
Slika 16. Ortogonalni ”kroˇznici”K1 inp(AO1B).
Ce toˇˇ ckeA,O1 inB niso kolinearne, naj bo toˇckaA0 taka toˇcka, da skupaj s toˇckami O1, T in A (slika 17) predstavlja harmoniˇcno ˇcetverko, ki je opisana v poglavju 2.1.
Dobimo torej kroˇznico BAA0, ki poteka skozi toˇcki A in B in je po Izreku 3.3 ortogonalna kroˇzniciK1. Tako torej v vsakem primeru obstaja vsaj ena ”kroˇznica”, ki poteka skozi toˇcki A inB in je pravokotna na K1.
Za dokaz, da obstaja natanko ena takˇsna ”kroˇznica”, naj kroˇznica K2 predstavlja katero koli ”kroˇznico”, ki poteka skozi A in B in je ortogonalna na K1. ˇCe je K2 premica, je to lahko le nosilka premera kroˇzniceK1. Torej so A,O1 in B kolinearne in K2 sovpada s premico, ki smo jo omenili. ˇCe je K2 kroˇznica, potem mora po Izreku 3.3 tudi potekati skozi toˇcko A0 in zatorej sovpada s kroˇznico BAA0.
Slika 17. Ortogonalni kroˇznici.
13
Izrek 3.6. Naj bo toˇcka P nepremiˇcna toˇcka v ravnini kroˇznice K. ˇCe premica m poteka skozi toˇckoP in seka kroˇznicoK v toˇckah A in B, potem velja, da je produkt P A·P B neodvisen od pozicije premice m.
Naj bo toˇcka O srediˇsˇce kroˇznice K. Ce toˇˇ cka P sovpada s toˇcko O ali leˇzi na kroˇznici K, je izrek oˇciten. V primerih, ko toˇcka P leˇzi v ravnini kroga z robom K oziroma izven le-tega (sliki 18 in 19) pa ni tako oˇcitno. KroˇzniciKoznaˇcimo premer M N, ki poteka skozi P ter poveˇzemo toˇckoAs toˇckoM inB zN. V obeh primerih dobimo dva trikotnika,4P M A in4P BN, ki sta si podobna, saj imata oba enako velike kote. Od tod sledi, da je
P A:P M =P N :P B oziroma
P A·P B=P M ·P N .
Ker je premer M N nepremiˇcen, je tudi desna stran zadnje enaˇcbe, P M ·P N kon- stantna, torej neodvisna od pozicije premice m.
Slika 18. Toˇcka P znotraj kroˇznice.
Slika 19. ToˇckaP zu- naj kroˇznice.
Iz Izreka 3.6 lahko upraviˇceno napiˇsemo naslednjo definicijo.
Definicija 3.7. Potenca toˇcke P na kroˇznico K je produkt razdalje toˇcke P od katerihkoli razliˇcnih toˇck na K, ki sta s P kolinearna.
Zaradi zveznosti sledi, da je potenca toˇcke enaka tudi kvadratu razdalje toˇcke P od dotikaliˇsˇca tangente na kroˇznico K skozi toˇcko P.
14
Definicija nam poda ˇze znano enakost, ki jo preoblikujemo tako, da je primerna glede na sliko 19:
P A·P B =P C ·P D.
Slika 20. Potenca toˇcke na kroˇznico.
Iz definicije sledi, da loˇcimo tri primere, kje lahko leˇzi toˇckaP glede na kroˇznico:
• P leˇzi zunaj kroˇznice - potenca toˇcke je torej enaka kvadratu razdalje odP do dotikaliˇsˇca tangente skozi P na kroˇznico (slika 20), torej jeP pozitiven;
• P leˇzi na kroˇznici, torej je P enak niˇc;
• P leˇzi znotraj kroˇznice - potenca toˇcke je kar enaka minus kvadratu polovice tetive pravokotne na OP v P, torej je P negativen.
Oglejmo si, kam nas pripelje enakost, ˇce gre ena od premic skozi srediˇsˇce kroˇznice, druga pa je poljubna (slika 21).
Po Definiciji 3.7 velja
P A·P B =P C ·P D.
RazdaljoP C inP D lahko zapiˇsemo kot
P C =CO+OP =r+OP ter
DC =OD−OP =r−OP . Od tod sledi
P A·P B =r2−OP2, kar lahko zapiˇsemo v naslednji izrek.
15
Slika 21. Potenca toˇcke na kroˇznico.
Izrek 3.8. Naj boP toˇcka v ravnini kroga Ks srediˇsˇcem O in polmerom r. Potenca toˇcke P na kroˇznicoK je potem enaka (OP)2−r2.
Izrek 3.9. Potreben in zadosten pogoj, da sta dve kroˇznici ortogonalni je, da je potenca srediˇsˇca ene od kroˇznic glede na drugo enaka kvadratu prvega polmera.
Dokaz:
Po Izreku 3.8 je potenca prvega srediˇsˇca glede na drugo kroˇznico (O1O2)2−r22, kar pa je po Izreku 3.2.(2) ravno enako r21.
Definicija3.10. Toˇcke, ki imajo enake potence glede na dani nekoncentriˇcni kroˇznici, leˇzijo na toˇcno doloˇceni premici, ki ji reˇcemo potenˇcna os dveh kroˇznic.
Izrek 3.11. Potenˇcna os dveh nekoncentriˇcnih kroˇznic je pravokotna na nosilko srediˇsˇc danih dveh kroˇznic.
Dokaz:
Naj bosta kroˇznici K1 s srediˇsˇcem v O1 in polmerom r1 in K2 s srediˇsˇcem v O2 in polmerom r2 dve nekoncentriˇcni kroˇznici. Toˇcka N naj poljubno leˇzi na potenˇcni osi teh dveh kroˇznic (N ima enaki potenci glede naK1 in K2). ToˇckaM naj leˇzi na preseˇciˇsˇcu pravokotnice na premico O1O2 skozi toˇcko N (slika 22).
16
Slika 22. Potenˇcna os.
Po Izreku 3.8 velja
(N O1)2−r21 = (N O2)2−r22. Po Pitagorovem izreku dobimo
(O1M)2 = (O1M)2+ (M N)2 in
(N O2)2 = (M O2)2+ (M N)2. Odˇstejemo (N M)2 na vsaki strani in dobimo:
(O1M)2−(N M)2−r12 = (O2M)2−(N M)2−r22 (O1M)2−r21 = (M O2)2−r22,
oziroma,
(O1M +M O2)(O1M −M O2) =r21−r22 O1M −M O2 = (r12−r22)
O1O2
Opazimo, da sta O1M in O2M neodvisni od lege toˇcke N. Obstaja natanko ena taka toˇcka M na nosilki O1O2, ki zadostuje pogojem zgornje enakosti. Oglejmo si primer, ˇce toˇcka leˇzi kjerkoli drugje na prvokotnici potenˇcne osi. Potem po zgornji enakosti velja,
O1M −M O2 =O1L−LO2.
17
Naj toˇcka L leˇzi med toˇckama O1 in M. Potem namesto O1L lahko zapiˇsem nasle- dnje,
(O1L+LM)−M O2 =O1L−(LM +M O2), oziroma
O1L−M L−M O2 =O1L−M L−M O2,
kjer je M L = 0 ali pa L sovpada s toˇcko M. ˇCe je toˇcka na potenˇcni osi dveh kroˇznic, leˇzi na pravokotnici na potenˇcno os skozi O1O2, kar je ravno toˇcka M, ki leˇzi na preseˇciˇsˇcu in ima enaki potenci glede na dani kroˇznici.
Obratno, vsaka toˇcka, ki leˇzi na pravokotnici na premico O1O2 skozi toˇcko M, ima enaki potenci na dani dve kroˇzici in leˇzi na njuni potenˇcni osi. Sledi, da je potenˇcna os dveh kroˇznic pravokotna na nosilko srediˇsˇc O1O2 v toˇckiM.
3.1. Konstrukcija potenˇcne osi
• Kroˇznici se sekata
Potenˇcna os poteka kar skozi preseˇciˇsˇci kroˇznic.
Slika 23. Potenˇcna os dveh sekajoˇcih se kroˇznic.
Naj bosta kroˇznici K1 in K2 s polmeroma r1 in r2. Iˇsˇcemo vse toˇcke X, ki imajo enako potenco glede na dani kroˇznici.
ToˇckaX je v tem primeru poljubna toˇcka na potenˇcni osi skozi preseˇciˇsˇciA inB in vidimo, da je potenca XA·XB ista za obe kroˇznici.
18
Tangenti t iz toˇcke X do dotikaliˇsˇca kroˇznice K1 v toˇcki C oziroma do dotikaliˇsˇca kroˇznice K2 sta enako dolgi. Izraˇcunajmo dolˇzino take tangente, kjert zapiˇsemo kot t=XC.
XC·XC=XA·XB,
t2 =XA·XB in
t=√
XA·XB.
Kroˇznica s srediˇsˇcem v X in polmerom t seka obe kroˇznici K1 in K2 pravokotno (slika 24).
Slika 24. Ortogonalna kroˇznica na K1 inK2.
19
• Kroˇznici se ne sekata
(1) Prvo pomoˇzno kroˇznico K3 nariˇsemo tako, da njeno srediˇsˇce O3 ne leˇzi na nosilkiO1O2 in hkrati seka obe kroˇzniciK1 inK2 v toˇckahA1, B1, C1 inD1. (2) Nariˇsemo premicop1, ki poteka skozi toˇckiA1inB1(to je, preseˇciˇsˇci kroˇznic K1 inK3) in premicoq1, ki poteka skozi toˇckiC1 inD1 (to je, preseˇciˇsˇciK2 in K3). Premici se sekata v neki toˇcki, ki jo oznaˇcimo z X.
(3) Drugo pomoˇzno kroˇznico K4 nariˇsemo tako, da ima srediˇsˇce v toˇcki O3, le drugaˇcen polmer in hkrati seka obe kroˇznici K1 in K2 v toˇckah A2, B2, C2 in D2.
(4) Po enakem postopku kot v drugem koraku nariˇsemo premici p2 in q2 ter preseˇciˇsˇci premic oznaˇcimo z Y.
(5) Poveˇzemo toˇckiX inY. Dobljena premica je potenˇcna os kroˇznic K1 inK2. Opazimo lahko, da je potenˇcna os pravokotna na nosilko O1O2, ki poteka skozi toˇcko X in toˇcko Y.
Slika 25. Potenˇcna os dveh nekoncentriˇcnih kroˇznic K1 inK2.
ToˇckiX inY imata enako potenco glede na dani dve kroˇznici, saj leˇzita na potenˇcni osi kroˇznic K1 inK2.
20
Primer si oglejmo ˇse raˇcunsko, ki je povzeto po ˇstudijskem gradivu Geometrija nekoˇc in danes avtorja prof. dr. Matija Cenclja.
Slika 26. Ortogonalna kroˇznica naK1 inK2, ki leˇzi na potenˇcni osi kroˇznic K1 inK2.
Razdaljo med srediˇsˇcema O1O2 oznaˇcimo z a, ki je seveda veˇcja od razdalje r1+r2. Toˇcko M na daljiciO1O2 poiˇsˇcemo tako, da ima enako potenco na obe kroˇznici.
a=m1+m2, kjer je m1 =O1M in m2 =O2M ter upoˇstevamo, da velja:
(m1−r1)(m1+r1) =m21−r21 ter
(m2−r2)(m2+r2) = m22−r22. Dobimo:
m21−r12 =m22−r22 .
Obrnemo zgornjo enakost in vstavimoa (m2 =a−m1):
r21−r22 =m21−m22 =m21−(a−m1)2 =m21−(a2−2am1+m21) = a(2m1−a)
21
−a2+ 2am1 =r21−r22 Izpostavimom1 in dobimo
m1 = a
2 +r12−r22 2a Enako napravimo za m2 in dobimo
a2−2am2 =r12−r22
m2 = a
2 +r22−r21 2a
Izberimo si ˇse poljubno toˇcko X na pravokotnici na premico O1O2 skozi toˇcko M oziroma na potenˇcni osi. Naj bo h razdalja od M do X. K zgornji enaˇcbi nato dodamo ˇseh2 na obeh straneh in po Pitagorovem izreku dobimo:
h2+m21−r12 =h2+m22 −r22 in zato
x21−r21 =x22−r22. Na sliki 26 lahko vidimo, da je x1 =XO1 inx2 =XO2.
Vidimo, da imaX res enako potenco na obe kroˇznici in da sta m1 in m2 neodvisni glede na lego poljubne toˇcke na potenˇcni osi.
Izrek 3.12. [1] Naj bosta K1 in K2 poljubni kroˇznici in naj bo premicap njuna po- tenˇcna os. (1) Potem obstaja kroˇznica s srediˇsˇcem na potenˇcni osi, ki je ortogonalna na K1 in K2.
(2) ˇCe je kroˇznica, katere srediˇsˇce leˇzi na potenˇcni osi p, ortogonalna na K1, je ortogonalna tudi na K2.
To je posledica Izreka 3.8, ki je predstavljena v zaˇcetku podpoglavja Konstrukcja potenˇcne osi.
22
3.2. Potenˇcno srediˇsˇce treh kroˇznic
Trditev 3.13. [1] Naj bodo K1, K2 in K3 tri nekoncentriˇcne kroˇznice ter p, q in r potenˇcne osi parov danih kroˇznic. Potenˇcne osi se sekajo v skupni toˇcki.
Dokaz:
Naj boppotenˇcna os kroˇznicK1 inK2,qnaj bo potenˇcna osK2inK3 terrpotenˇcna osK1 in K3. Toˇcka X je preseˇciˇsˇce pinq in ima enako potenco na vse tri kroˇznice.
Torej mora prav tako leˇzati na potenˇcni osi prve in tretje kroˇznice, to je, nar.
Definicija 3.14. [1] Preseˇciˇsˇcu potenˇcnih osi treh nekoncentriˇcnih kroˇznic reˇcemo potenˇcno srediˇsˇce treh kroˇznic.
Posledica 3.15. Tri nekoncentriˇcne kroˇznice imajo natanko eno skupno ortogo- nalno kroˇznico, ki ima srediˇsˇce v potenˇcnem srediˇsˇcu, pod pogojem, da to srediˇsˇce leˇzi zunaj kroˇznic.
Oglejmo si ˇse konkreten primer zgornjega izreka in posledice, to je, potenˇcnega srediˇsˇca na potenˇcni osi treh kroˇznic. Nariˇsemo poljubne tri kroˇznice K1,K2,K3, ki se med seboj lahko sekajo, lahko pa tudi ne.
Na spodnji sliki imamo primer, ko se pari K1 in K2 ter K1 in K3 med seboj ne sekajo, K2 in K3 pa se sekata. Po ˇze znani metodi naˇcrtamo potenˇcne osi za vsak par kroˇznic, tako da dobimo tri potenˇcne osi.
Slika 27. Potenˇcno srediˇsˇce treh kroˇznic.
23
Preseˇciˇsˇce vseh treh potenˇcnih osi v toˇckiX pa je srediˇsˇce kroˇznice, ki je pravokotna na vse tri kroˇznice.
Slika 28. Ortogonalna kroˇznica O na vse tri kroˇznice K1, K2 inK3
Poseben primer potenˇcne osi treh kroˇznic je, ko se vse tri kroˇznice med seboj paroma sekajo. Potenˇcne osi skozi pare preseˇciˇsˇc pa tvorijo ˇsop.
Slika 29. Tri kroˇznice, ki se paroma sekajo.
24
Literatura
[1] Eves, H. (1992).F undamentals of M odern Elementary Geometry . Boston, London: Jones and Bartlett Publishers, Inc.
[2] prof. dr. Matija Cencelj, Gtadivo pri predmetu Viˇsja geometrija, 5.2.2015
[3] prof. dr. Matija Cencelj, Gradivo pri predmetu Geometrija nekoˇc in danes, Dodatek evklidske geometrije, 2013
[4] Baroviˇc, N. (2014). Diofantski vidiki Steinerjevega porizma (Magistersko delo). Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Maribor. (21.6.2017)
[5] http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/1999/ura/likar/inverzija.htm (6.7.2017)
25
