Svetlobni ˇzarki padajo na ravninsko krivuljo, ki jo obravnavamo kot ide-alno zrcalo. Odbiti ˇzarki, podaljˇsani v premice, tvorijo druˇzino premic.
Ogrinjaˇco te druˇzine premic odbitih ˇzarkov imenujemo katakavstika [5].
V diplomskem delu ˇzelimo poiskati katakavstiko ˇze znane ravninske krivulje, ki jo imenujemo Steinerjeva krivulja ali deltoida.
Katakavstike spadajo v druˇzino kavstik, ki jih vidimo zaradi poveˇcane in-tenzivnosti svetlobe. Tipiˇcen primer kavstik je odtis svetlobe na mizi, ki ga pustijo svetlobni ˇzarki na poti skozi kozarec, poln vode. Kavstike lahko opazimo s prostim oˇcesom npr. v skodelici kave ob sonˇcnem jutru ali na morskem dnu (slika 13).
Slika 13: Primera kavstik: diakavstika (levo) in katakavstika (desno) [14].
Preden poiˇsˇcemo katakavstiko astroide, na kratko opiˇsimo ˇse Steinerjevo krivuljo.
Steinerjeva krivulja(tudi deltoida in trikuspoida) je hipocikloida z modu-lom m= 1/3, ki ima tri vrhove. Sestavljajo jo trije enaki loki. Ime spominja na grˇsko ˇcrko delta, ki ji je podobna [20].
Slika 14: Deltoida ali Steinerjeva krivulja [20].
Njeni parametriˇcni enaˇcbi dobimo iz sploˇsne oblike enaˇcb hipocikloide:
x = 2rcos t
3 +rcos2t
3, (17)
y = 2rsin t
3 −rsin2t
3. (18)
kjer je t ∈[0,2π].
Ce iz parametriˇˇ cnih enaˇcb izloˇcimo parameter t, dobimo implicitno obliko enaˇcbe Steinerjeve krivulje:
(x2+y2)2 + 8rx(3y2−x2) + 18r2(x2+y2)−27r4 = 0. (19)
Iz enaˇcbe (19) lahko sklepamo, da je deltoida algebrska krivulja 4. stopnje.
Njena oblika je prikazana na sliki 14.
Zelimo poiskati katakavstiko, ki nastane pri odboju snopa svetlobnih ˇˇ zarkov od Steinerjeve krivulje, obravnavane kot idealno zrcalo. Na Steinerjevo krivuljo naj ˇzarki padajo vzporedno z ordinatno osjo, kot je prikazano na sliki 15.
Slika 15: Odboj vpadajoˇcega ˇzarka od Steinerjeve krivulje.
Na Steinerjevi krivulji izberemo poljubno toˇcko M(x0, y0), v kateri opazu-jemo odbiti ˇzarek. Premica v predstavlja vpadni ˇzarek skozi toˇcko M. Za vpadiˇsˇcnico (vpadno pravokotnico) vedno vzamemo normalo na krivuljo v toˇcki, kamor ˇzarek vpada in se tam odbije.
Normala n je pravokotnica na tangentoτ skozi toˇcko M. Kot med normalo in absciso oznaˇcimo z β, kot med nosilko odbitega ˇzarka o in absciso pa z γ (slika 15).
Ker je po odbojnem zakonu vpadni kot enak odbojnemu, prezrcalimo nosilko vpadnega ˇzarka v ˇcez normalo in dobimo odbiti ˇzarek o.
Da bi izraˇcunali parametriˇcno enaˇcbo katakavstike Steinerjeve krivulje, moramo najprej doloˇciti enaˇcbo premice nosilke odbitega ˇzarka.
Enaˇcbo nosilke odbitega ˇzarka o dobimo iz sploˇsne oblike enaˇcbe premice:
y−y0 =k(x−x0), kjer je k naklon premice v izbrani toˇcki M(x0, y0).
Ker toˇcka M leˇzi na Steinerjevi krivulji, poznamo njene koordinate:
M(2rcost
3+rcos2t
3,2rsint
3 −rsin2t 3).
Doloˇcimo ˇse naklon premice o:
k = tanγ.
Iz slike 15 ugotovimo, da velja:
γ =π− π
2 −2α = π 2 −2α.
Opazimo, da je
Izraz preuredimo s pomoˇcjo trigonometrijskih formul in dobimo:
k=−tan(π
Kot β je naklon normale n. Naklon normale dobimo iz naklona tangente po formuli:
kn=−1/kt.
Ker je naklon tangente v toˇcki M enak kt = ˙y/x,˙ naklon normale zapiˇsemo kot:
kn = tanβ =−x/˙ y.˙ (20)
Naklon premice odbitega ˇzarka je torej:
k = (−x/˙ y)˙ 2−1
2 (−x/˙ y)˙ . (21)
Izraˇcunamo prva odvoda koordinat toˇcke M, ki leˇzi na Steinerjevi krivulji:
˙
˙
Vstavimo ju v izraz (21) in dobimo:
tanβ =−sin3t + sin2t3 cos3t −cos2t3 .
Vsoto in razliko kotnih funkcij pretvorimo v produkt in dobimo:
tanβ = 2 sin2tcos6t
2 sin2tsin6t = cot t 6.
Rezultat vstavimo v izraz za naklon premice odbitega ˇzarka k = cot2 6t −1
2 cot6t =
= cos2 6t −sin2 6t 2 sin6tcos6t .
Upoˇstevamo ˇse kotne funkcije dvojnih kotov in zapiˇsemo:
k = cos3t
sin3t = cot t 3.
Dobili smo enaˇcbo premice enega odbitega ˇzarka v toˇcki M: y−2rsint
Za laˇzje raˇcunanje uvedemo novo spremenljivko u =t/3. Sedaj enaˇcbo pre-mice odbitega ˇzarka zapiˇsemo v obliki:
y−2rsinu+rsin 2u= cosu
sinu(x−2rcosu−rcos 2u).
Izraz pomnoˇzimo s sinu. Po daljˇsem izraˇcunu, s pomoˇcjo adicijskih izrekov, dobimo enaˇcbo premice druˇzine odbitih ˇzarkov:
xcosu−ysinu=rcosu+ 2rcos 2u.
Ker katakavstiko dobimo kot ogrinjaˇco druˇzine premic, enaˇcbo odvajamo po parametru u:
xsinu+ycosu= 4rsin 2u+rsinu.
Parametriˇcni enaˇcbi ogrinjaˇce iskane katakavstike bomo dobili, ˇce reˇsimo sistem enaˇcb:
F = xcosu−ysinu−rcosu−2rcos 2u= 0, (22)
∂F
∂u = xsinu+ycosu−4rsin 2u−rsinu= 0. (23)
Izraˇcunamo determinanto sistema enaˇcb:
D=
Ker jeD6= 0, lahko uporabimo Cramerjevo pravilo. Izraˇcunamo determinanti:
Dx =
Dobili smo katakavstiko Steinerjeve krivulje v parametriˇcni obliki:
x = r(1 + 2 cosucos 2u+ 4 sinusin 2u), y = r(4 sin 2ucosu−2 cos 2usinu).
Krivuljo, ki smo jo dobili, zasukamo za π/4.Katakavstiko zapiˇsemo v obliki:
x−r = 2r(cosucos 2u+ 2 sinusin 2u), y = 2r(2 sin 2ucosu−cos 2usinu).
S pomoˇcjo rotacijske matrike za kot π/4 zapiˇsemo nove koordinate:
Upoˇstevamo adicijske izreke in izraz poenostavimo:
x−r−y=r(−cos 3u−sin 3u+ 3 cosu−3 sinu).
V izraz vstavimo ˇse kotne funkcije trojnih kotov:
x−r−y =r(4(sinu−cosu)(sin2u+ sinucosu+ cos2u)−6(sinu−cosu)) = Razliko kotnih funkcij pretvorimo v produkt:
x−r−y=−2r
Upoˇstevamo adicijske izreke in dobimo:
x−r+y =r(−cos 3u+ sin 3u+ 3 cosu+ 3 sinu).
Izraz poenostavimo in uporabimo formule za kotne funkcije trojnih kotov:
x−r+y = 2r(−2 sin3u−2 cos3u+ 3 sinu+ 3 cosu) = Vsoto kotnih funkcij pretvorimo v produkt:
x−r+y= 2r
Dobljena izraza (24) in (25) vstavimo v matriko, s katero zapiˇsemo novi koordinati katakavstike deltoide:
Ce upoˇstevamo, da veljaˇ π 2 − π
4 +u= π 4 +u,
dobimo novi koordinati katakavstike, ki je zasukana za kot π/4:
ξ = 4rcos3π 4 +u
, η= 4rsin3π
4 +u .
Katakavstika deltoide, ki smo jo dobili, je ravno astroida, saj je 4r ravno polmer R kroga, kateremu je vˇcrtana astroida.
Reˇsitev preverimo v GeoGebri. Vnesemo parametriˇcni enaˇcbi Steinerjeve krivulje, konstruiramo njeno tangento in normalo, nato vpadni ˇzarek prezr-calimo ˇcez normalo. Vklopimo funkcijo Sled. Izriˇse se ogrinjaˇca druˇzine normal. Katakavstika Steinerjeve krivulje je ravno astroida (slika 16 zgoraj).
Predpostavili smo, da so vpadni ˇzarki med seboj vzporedni in izraˇcunali katakavstiko pri predpostavki, da so vpadni ˇzarki vzporedni z ordinatno osjo.
Pokazati se da, da lahko vzporedni ˇzarki vpadajo na Steinerjevo krivuljo iz katerekoli smeri, pri tem pa je katakavstika Steinerjeve krivulje ˇse vedno as-troida (slika 16 spodaj).
Slika 16: Astroida kot katakavstika Steinerjeve krivulje.
4 Lastnosti astroide
Z znanimi formulami in postopki v tem poglavju izraˇcunamo celotno dolˇzino astroide, ploˇsˇcino lika, ki ga ograjuje, prostornino telesa, ki nastane z rotacijo astroide okoli osi x za polni kot in povrˇsino tega telesa.
4.1 Dolˇ zina krivulje
Dolˇzino astroide, podane z enaˇcbo v parametriˇcni obliki x = R cos3t in y =Rsin3t, izraˇcunamo po formuli:
s= Z b
a
px˙2+ ˙y2 dt. (26)
Izraˇcunamo odvoda koordinat:
˙
x=−3R sintcos2t,
˙
y = 3Rsin2t cost.
Astroida ustreza parametru t∈[0,2π], zato lahko enaˇcbo (26) zapiˇsemo kot:
s = Z 2π
0
px˙2+ ˙y2dt.
Ker je astroida simetriˇcna glede na obe koordinatni osi, lahko izraˇcunamo dolˇzino krivulje le v prvem kvadrantu. Tako je parameter t = 0 v toˇcki (R,0) in t =π/2 v toˇcki (0, R). To sta sedaj meji integriranja. Izraˇcunamo dolˇzino krivulje za vse 4 kvadrante:
s = 4