UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

MARIJANA FIDEL

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

ˇ Studijski program: Matematika in tehnika

Astroida

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

dr. Marko Razpet Marijana Fidel

Ljubljana, julij, 2013

Zahvala

Vsak uspeh je del mozaika, sestavljenega iz veˇcjih ali manjˇsih zmag in spoznanj, predvsem pa oseb, ki so pripomogle na poti do njega.

Na prvem mestu bi se zahvalila mami in tati, da sta mi v vseh letih ˇsolanja stala ob strani, me spodbujala in verjela vame. Zahvaljujem se tudi bratu Denisu za pozitivne besede ter ostalim bliˇznjim za podporo v ˇcasu ˇstudija.

Brez vas mi ne bi uspelo.

Hvala posebni osebi, ki me razume in zaradi katere je vsak moj dan pozitiven.

Prav tako gre zahvala vsem, ki ste z mano delili nepozabna ˇstudentska leta.

Posebej bi se zahvalila mentorju, dr. Marku Razpetu, za strokovne nasvete, njegov trud in dostopnost v ˇcasu nastajanja diplome.

Program dela

V diplomskem delu ˇcim bolj izˇcrpno obravnavajte astroido.

Mentor:

Ljubljana, 10. april 2013 dr. Marko Razpet

Povzetek

V diplomskem delu je predstavljena astroida, ravninska krivulja, ki ima obliko zvezde s ˇstirimi kraki. Opiˇse jo toˇcka na kroˇznici, ki se brez drsenja kotali po notranjosti neke druge kroˇznice. Zato pravimo, da je astroida predstavnica posebne druˇzine krivulj, ki jih imenujemo hipocikloide. Obravnavani so ˇse drugi naˇcini nastanka te krivulje. Astroida nastane bodisi kot ogrinjaˇca druˇzine premic, ogrinjaˇca posebne druˇzine elips ali kot katakavstika Steiner- jeve krivulje.

Cilj diplomskega dela je ˇcim bolj izˇcrpna obravnava astroide, zato so v nadaljevanju obravnavane njene lastnosti. Omenjene so noˇziˇsˇcne krivulje astroide. V zakljuˇcku so predstavljene moˇznosti obravnave astroide v osnovni ˇsoli, ob izkustvenem uˇcenju ali z uporabo programa dinamiˇcne geometrije GeoGebra.

Kljuˇcne besede: krivulja, cikloidne krivulje, hipocikloida, astroida, ogrinjaˇca, kavstika, evoluta, noˇziˇsˇcna krivulja.

Abstract - Astroid

The aim of the present diploma thesis is to present the astroid, a plane curve with the shape of a 4-pointed star. It is defined by a point on the circle that rolls in the inside of another circle, without slipping. A curve formed in this way is called a hypocycloid. Different formations of an astroid are also being discussed. The astroid can be formed as the envelope of line segments, as the envelope of specific family of ellipses or as the catacaustic of Steiner curve.

The purpose of the diploma thesis is to examine the astroid and its properties.

Pedal curves of astroid are also presented. The conclusion offers possibili- ties of discussing the astroid in primary school with the help of experiential learning or the use of GeoGebra, the program of dynamic geometry.

Key words: curve, cycloid curves, hypocycloid, astroid, envelope, caustic, evolute, pedal curve.

MSC(2010): 01A99, 14H45, 26A06.

Kazalo

Zahvala II

Program dela III

Povzetek IV

Abstract V

1 Uvod 1

2 Zgodovina astroide 3

2.1 Dvojni nastanek . . . 5

3 Nastanek astroide 7 3.1 Astroida kot poseben primer hipocikloide . . . 8

3.1.1 Cikloidne krivulje . . . 8

3.1.2 Hipocikloida . . . 9

3.1.3 Astroida, hipocikloida z modulom m= 1/4 . . . 13

3.2 Astroida kot ogrinjaˇca . . . 17

3.3 Astroida in idealno zrcalo . . . 26

4 Lastnosti astroide 37 4.1 Dolˇzina krivulje . . . 37

4.2 Ploˇsˇcina lika . . . 38

4.3 Povrˇsina telesa . . . 40

4.4 Prostornina telesa . . . 41

4.5 Ukrivljenost krivulje . . . 43

4.6 Evoluta astroide . . . 46

5 Poˇsevna astroida 50

6 Noˇziˇsˇcne krivulje astroide 53

7 Uporaba v osnovni ˇsoli 62

7.1 Konstrukcija astroide v GeoGebri . . . 63 7.2 Konstrukcija astroide s priroˇcnimi sredstvi . . . 68

8 Uporabna vrednost astroide 71

9 Zakljuˇcek 72

Literatura 74

Seznam slik

1 Olaus Ole Rømer [13]. . . 3

2 Johann Bernoulli [19]. . . 4

3 Dvojni nastanek [11]. . . 5

4 Astroida. . . 7

5 Nastanek hipocikloide (GeoGebra). . . 9

6 Hipocikloida z modulom m= 1/2. . . 12

7 Hipocikloide z razliˇcnimi moduli. . . 13

8 Simetrale astroide. . . 15

9 Medosni odseki dolˇzine R. . . 18

10 Parameter α. . . 19

11 Ogrinjaˇca tangent. . . 22

12 Ogrinjaˇca elips. . . 23

13 Primera kavstik: diakavstika (levo) in katakavstika (desno) [14]. 26 14 Deltoida ali Steinerjeva krivulja [20]. . . 27

15 Odboj vpadajoˇcega ˇzarka od Steinerjeve krivulje. . . 28

16 Astroida kot katakavstika Steinerjeve krivulje. . . 36

17 Rotacijsko telo (GeoGebra). . . 40

18 Ukrivljenost |K| astroide. . . 43

19 Krivinski krog [8]. . . 45

20 Evoluta astroide. . . 47

21 Evoluta, konstruirana v GeoGebri. . . 49

22 Poˇsevna astroida. . . 50

23 Poˇsevna astroida, konstruirana v GeoGebri. . . 52

24 Nastanek noˇziˇsˇcne krivulje. . . 53

25 Konstrukcija ˇstiriperesne deteljice. . . 56 26 Stiriperesna deteljica. . . .ˇ 58

27 Konstrukcija ˇzuˇzka. . . 59

28 Simetriˇcni ˇzuˇzek. . . 60

29 Nesimetriˇcni ˇzuˇzek. . . 61

30 Preseˇciˇsˇce koordinatnih osi. . . 63

31 Kroˇznica s srediˇsˇcem v A. . . 63

32 Pravokotnici na koordinatni osi skozi M. . . 64

33 Preseˇciˇsˇci Din E. . . 64

34 Premica f. . . 65

35 Premica g. . . 65

36 Astroida, konstruirana v GeoGebri. . . 66

37 Konstukcija astroide z geometrijskim orodjem. . . 68

38 Konstruirana astroida. . . 69

39 Sivanje krivulj [15]. . . .ˇ 70 40 Zobniˇski sestav, ki tvori astroido [23]. . . 71

41 Stoner-Wohlfarthova astroida [16]. . . 71

1 Uvod

Ob besedi astroida najprej pomislimo na nebesno telo, ki kroˇzi okrog Sonca.

Vendar astroida, ki jo obravnavamo v diplomskem delu, nima povezave z astronomijo, temveˇc je obravnavana v matematiˇcnem jeziku. Opazimo, da imata besedi skupen le izvor - aster, ki izhaja iz grˇsˇcine in pomeni zvezda.

Asteroida ali krajˇse astroida je v diferencialni geometriji ravninska krivulja, ki ima obliko zvezde s ˇstirimi kraki. Cilj diplomskega dela je temeljita obravnava astroide, njenega nastanka in lastnosti ter morebitna umestitev astroide v osnovnoˇsolski program.

Obravnavo krivulje zaˇcnemo s kratko zgodovino astroide, ki sega v 17. stoletje.

Kot zanimivost je dodan Bernoullijev izrek o dvojnem nastanku.

V 3. poglavju so predstavljeni razliˇcni nastanki astroide. Astroida je ena izmed predstavnic hipocikloidnih krivulj, zato jih na kratko predstavimo. V tem poglavju sta opisana ˇse dva nastanka te krivulje: astroida kot ogrinjaˇca in astroida kot katakavstika Steinerjeve krivulje.

Astroida je primer ravninske krivulje, za katero veˇcina izraˇcunov poteka brez veˇcjih zapletov. Cetrto poglavjeˇ Lastnosti astroide vsebuje izraˇcun dolˇzine krivulje, ploˇsˇcine lika, ki ga astroida omejuje, ter izraˇcun povrˇsine in prostornine vrtenine, ki nastane z vrtenjem astroide okrog izbrane koordinatne osi. Na koncu poglavja je obravnavana ˇse ukrivljenost astroide in njena evoluta.

Vsebino nadgradimo z obravnavo poˇsevne astroide v 5. poglavju.

Astroido lahko na razliˇcne naˇcine preoblikujemo v nove krivulje. V 6. poglavju so obravnavane noˇziˇsˇcne krivulje astroide, s katerimi dobimo nove krivulje v obliki simetriˇcnih ali nesimetriˇcnih ˇzuˇzkov.

Zadnje poglavje je namenjeno obravnavi astroide v osnovni ˇsoli. Podana je konstrukcija astroide v programu dinamiˇcne geometrije GeoGebra. Pred- stavljena je praktiˇcna dejavnost, na podlagi katere uˇcenci v problemskih situacijah spoznajo za njih nekoliko bolj zapleteno krivuljo.

2 Zgodovina astroide

Krivulja, podobna zvezdi s ˇstirimi kraki, ki jo danes imenujemo astroida, je bila prviˇc obravnavana leta 1674. Prvi jo je raziskoval Ole Christensen Rømer.

Slika 1: Olaus Ole Rømer [13].

Ole ali Olaus Rømer (1644-1710) je bil danski astronom in matematik (slika 1). Bil je prvi, ki je doloˇcil hitrost svetlobe. Izdelal je veˇc astronom- skih naprav. Leta 1680 je v Parizu predstavil mehansko napravo, ki je sluˇzila za prikaz orbit planetov in izraˇcun Luninega mrka. Leta 1681 je na Danskem postal kraljevi svetovalec glede tehniˇcnih zadev. Uvedel je enotni drˇzavni merski sistem [22].

Rømer je ˇzelel ustvariti stroj, pri katerem bi bilo trenje med zobniki koles mi- nimalno. Priˇsel je do ugotovitve, da bi tak stroj deloval optimalno v primeru, ko bi se manjˇse kolo kotalilo znotraj veˇcjega kolesa, njuno potovanje pa bi opisovala hipocikloida.

V svojih zapisih je omenil poseben primer hipocikloide, ki jo ustvarita dve kolesi. Pri tem ima veˇcje kolo ˇstirikrat veˇcji polmer od manjˇsega, ki se kotali v notranjosti veˇcjega kolesa. Rømer je bil prvi, ki je omenil, da je oblika krivulje, ki jo taki dve kolesi ustvarita, podobna zvezdi s ˇstirimi kraki.

Leta 1691 je astroido natanˇcneje preuˇceval ˇsvicarski matematik Johann Bernoulli¹ (slika 2) v izreku o dvojnem nastanku.

Slika 2: Johann Bernoulli [19].

Obravnavali so jo nekateri pomembni matematiki. Leta 1715 jo je raziskoval Gottfried Leibniz, ki je astroido zapisal v obliki enaˇcbe x^2/3+y^2/3 = R^2/3, leta 1748 pa francoski matematik Jean le Rond d´Alembert [2]. Astroida je imela veliko razliˇcnih imen vse do leta 1838, ko je svoje poimenovanje dobila v knjigi Karla Ludwiga von Littrowa, ki je izˇsla na Dunaju.

1ˇsvicarski matematik in fizik (1667-1748)

2.1 Dvojni nastanek

Leta 1725 je Johann Bernoulli odkril izjemno lastnost hipocikloid, ki jo imenujemo izrek o dvojnem nastanku oziroma izrek o dvojnem generiranju.

Izrek pravi: kroˇznica s polmeromr se brez oddrsavanja kotali znotraj nepre- miˇcne kroˇznice s polmerom R. Njeno geometrijsko mesto (sled) je ista hipocikloida, kot jo naredi kroˇznica s polmerom R−r, ki se prav tako kotali znotraj nepremiˇcne kroˇznice. ˇCe oznaˇcimo prvo hipocikloido z [R, r] in drugo z [R, R−r], potem po izreku velja [R, r] = [R, R−r]. Opazimo, da sta kotaleˇci se kroˇznici komplementarni glede na nepremiˇcno kroˇznico (slika 3).

Slika 3: Dvojni nastanek [11].

Pri dokazu izreka uporabimo sploˇsni parametriˇcni enaˇcbi hipocikloid [1]:

x = (R−r) cosθ+rcosφ, (1) y = (R−r) sinθ−rsinφ, (2)

ki ju bomo izpeljali v nadaljevanju in kjer sta kot premiˇcne kroˇznice θ in kot φ parametra.

V enaˇcbah zamenjamo r⁰ =R−r in dobimo:

x = r⁰cosθ+ (R−r⁰) cosφ, y = r⁰sinθ−(R−r⁰) sinφ.

Parametraθ inφ sta med seboj odvisna in zanju velja enaˇcba (R−r)θ =rφ.

Iz enaˇcbe izrazimo φ in dobimo θ = _R−r^rφ = _R−r⁰

r⁰

φ. Enaˇcbi (1) in (2) sta sedaj oblike:

x = r⁰cos[R−r⁰

r⁰ ]φ+ (R−r⁰) cosφ, y = r⁰sin[R−r⁰

r⁰ ]φ−(R−r⁰) sinφ.

Enaˇcbi sta zelo podobni enaˇcbama (1) in (2). Uporabimo ˇse trigonometrijske enakosti cos(−φ) = cosφ in sin(−φ) = −sinφ ter zamenjamo parameter ψ =−φ:

x= (R−r⁰) cosψ+r⁰cos[R−r⁰ r⁰ ]ψ, y= (R−r⁰) sinψ−r⁰sin[R−r⁰

r⁰ ]ψ.

Enaˇcbi sta sedaj enaki enaˇcbama (1) in (2). S tem smo dokazali izrek o dvojnem nastanku. Posledica tega izreka je, da lahko astroido dobimo tako s kotaljenjem kroˇznice s polmerom 3R/4, kot tudi kroˇznice s polmerom R/4 znotraj nepremiˇcne kroˇznice, ki ima polmer R.

3 Nastanek astroide

Astroida je ravninska krivulja, ki jo opiˇse izbrana toˇcka na kroˇznici polmera R/4, ˇce se ta kroˇznica brez drsenja kotali po notranji strani kroˇznice s polmeromR. Zato reˇcemo, da je astroida poseben primer hipocikloide. Nas- tane lahko tudi kot ogrinjaˇca posebne druˇzine premic ali druˇzine elips.

Njeno ime izvira iz grˇske besedeaster, ki pomeni zvezda. Krivulja ima obliko zvezde s ˇstirimi kraki (slika 4). Sestavljajo jo ˇstirje enako dolgi loki. Skozi leta so se za astroido pojavila razliˇcna pojmovanja, na primer asteroida, zvezdnica, tetrakuspoida, kubocikloida inparacikloida [18].

Slika 4: Astroida.

3.1 Astroida kot poseben primer hipocikloide

Astroido lahko obravnavamo kot poseben primer hipocikloide. Da bi lahko natanˇcno opredelili njen nastanek, najprej opiˇsimo druˇzino krivulj, med katere jo uvrˇsˇcamo. To so cikloidne krivulje, katerih posebna podmnoˇzica so tudi hipocikloide.

3.1.1 Cikloidne krivulje

Ze Apolonij Pergejski (3. stoletje p.n.ˇst.), kasneje astronom Hiparh (2. sto-ˇ letje p.n.ˇst.) in Klavdij Ptolemaj, so pri preuˇcevanju gibanja planetov opazili krivulje, ki nastajajo, ko se planeti istoˇcasno gibajo v dveh rotacijah. Te krivulje lahko opiˇsemo kot sledi fiksirane toˇcke kroˇznice, ki se brez drsenja kotali po drugi kroˇznici.

Cikloidne krivulje so v [6] definirane kot krivulje, ki jih opiˇse sled toˇcke na kroˇznici pri kotaljenju po nekem drugem objektu (premici, kroˇznici, drugi cikloidi ipd.). Lahko so transcedentne ali algebrske. Posebno zanimive so algebrske, med katere uvrˇsˇcamo znane krivulje kot so kardioida, astroida, Steinerjeva krivulja ipd.

Krivulja, ki jo opiˇse toˇcka na kroˇznici pri kotaljenju po premici, se imenuje cikloida. V posebnem primeru cikloidne krivulje nastanejo z zasledovanjem gibanja toˇcke na kroˇznici, ki se kotali znotraj ali zunaj druge kroˇznice. Takrat delimo cikloidne krivulje na hipocikloide in epicikloide. Ko se premiˇcna kroˇznica kotali v notranjosti nepremiˇcne kroˇznice, govorimo o hipocikloidi.

Ko se premiˇcna kroˇznica kotali po zunanji strani nepremiˇcne kroˇznice, gre za epicikloido.

3.1.2 Hipocikloida

Krivuljo, ki jo opiˇse toˇcka na kroˇznici in se brez drsenja kotali po notranjosti neke druge kroˇznice, imenujemo hipocikloida [1].

Slika 5: Nastanek hipocikloide (GeoGebra).

Pri opisu hipocikloide uporabimo oznake na sliki 5. Postavimo koordinatno srediˇsˇce v toˇckoO, ki naj bo srediˇsˇce nepremiˇcne kroˇznice z enaˇcbox²+y² = R². Premiˇcna kroˇznica K₁ s polmerom r naj se kotali po notranji strani nepremiˇcne kroˇznice K₂ s polmerom R.

V zaˇcetnem poloˇzaju leˇzi generatorna toˇcka T(x, y) v toˇcki A. Tam je dotikaliˇsˇce obeh kroˇznic. Kot ⁶ T SB oznaˇcimo s t. Uvedemo karakteristiˇcni parameter opazovane krivulje, ki ga imenujemo modul in je razmerje obeh polmerov, m = r/R. Opazujemo krivuljo, ki jo pri kotaljenju brez drsenja opiˇse toˇcka T.

Ker gre za kotaljenje kroˇznice brez drsenja, predpostavimo, da velja:

ABd =T B.d Ce upoˇstevamo formulo za kroˇˇ zni lok, dobimo

R·⁶ AOB =r·t.

Od tod je⁶ AOB =r/R·t =mt. Ko se kroˇznica s polmeromr zasuˇce za kot t, se toˇckaA preseli v toˇcko B, ki ima polarni kot mt.

Sedaj lahko izpeljemo parametriˇcne enaˇcbe hipocikloide.

Za koordinato x toˇcke T velja:

x=OE =OD+DE =OD+CT =

= (R−r) cosmt+r sin⁶ CST . Ce upoˇstevamo, da jeˇ

sin⁶ CST = sin [π−t−⁶ OSD] =

= sinh

π−t−(π− π

2 −mt)i

=

= sinhπ

2 −(t−mt)i

= cos(t−mt), potem dobimo novo obliko enaˇcbe:

x= (R−r) cosmt+r cos(t−mt).

Sem vstavimo ˇse r=m·R in dobimo

x= (R−mR) cosmt+mR cos(t−mt).

Podobno izraˇcunamo ˇse koordinato y toˇcke T: y=T E =SD−SC =

= (R−r) sinmt−r cos⁶ CST . Ce upoˇstevamo, da jeˇ

cos⁶ CST = cos [π−t−⁶ OSD] =

= cos h

π−t−(π− π

2 −mt) i

=

= coshπ

2 −(t−mt)i

= sin(t−mt), dobimo koordinato y toˇcke T:

y= (R−r) sinmt−r sin(t−mt).

Vstavimo r=mR in dobimo

y= (R−mR) sinmt−mR sin(t−mt).

Dobili smo parametriˇcni enaˇcbi, ki veljata za hipocikloide:

x = (R−mR) cosmt+mR cos(t−mt), (3) y = (R−mR) sinmt−mR sin(t−mt). (4)

Oblika hipocikloid je odvisna od velikosti modula m. ˇCe je m racionalno ˇstevilo, ga lahko zapiˇsemo v obliki okrajˇsanega ulomka p/q. Potem bo hipocikloida zakljuˇcena krivulja. Na poti se krivulja q - krat znajde na nepremiˇcni kroˇznici, torej bo imela q lokov in q konic. To velja za hipocik- loide, ki imajo m < 1/2. Za hipocikloide, ki imajo m > 1/2 velja, da imajo q lokov in q vozliˇsˇc. Za p= 1 si konice sledijo v istem vrstnem redu kot loki krivulje. Za p 6= 1 bo med zaˇcetkom in koncem vsakega loka p−1 konic.

Posebno obliko hipocikloide dobimo, ko je m = 1/2. Takrat se generatorna toˇcka premika vzdolˇz premera nepremiˇcne kroˇznice (slika 6).

Slika 6: Hipocikloida z modulomm = 1/2.

Ce je modul hipocikloide iracionalno ˇstevilo, potem ne glede na to, kolikoˇ obhodov naredi premiˇcna kroˇznica, generatorna toˇcka nikoli veˇc ne pride v zaˇcetni poloˇzaj. V tem primeru hipocikloida ni zakljuˇcena krivulja. Sesta- vljena je iz neskonˇcnega ˇstevila lokov.

Slika 7: Hipocikloide z razliˇcnimi moduli.

3.1.3 Astroida, hipocikloida z modulom m= 1/4

Astroida je poseben primer hipocikloide, katere modul je m = 1/4 [3].

Parametriˇcni enaˇcbi astroide dobimo iz (3) in (4), sploˇsnih enaˇcb hipoci- kloide:

x= R 4

3 cos t

4 + cos3t 4

, y= R

4

3 sin t

4 −sin3t 4

.

Z zamenjavo parametra t→4t dobimo x= R

4 (3 cost+ cos 3t), y = R

4 (3 sint−sin 3t).

Spomnimo se Moivrove formule, iz katere dobimo (cosα+isinα)³ = cos 3α+isin 3α.

Ko kubiramo levo stran zgornje enakosti, dobimo

(cosα+isinα)³ = cos³α+ 3isinαcos²α−3 sin²αcosα−isin³α.

Iz obeh oblik lahko izrazimo ˇze znane trigonometrijske enakosti sin 3α = 3 cos²αsinα−sin³α=

= 3(1−sin²α) sinα−sin³α=

= 3 sinα−4 sin³α in

cos 3α = −3 cosαsin²α+ cos³α=

= −3(1−cos²α) cosα+ cos³α =

= 4 cos³α−3 cosα.

Ce upoˇstevamo dobljene trigonometrijske enakosti, dobimo enostavnejˇso o-ˇ bliko parametriˇcnih enaˇcb astroide:

x = Rcos³t, (5)

y = Rsin³t. (6)

Parametriˇcni enaˇcbi potenciramo z eksponentom 2/3 in ju seˇstejemo, da se znebimo parametra. Z izloˇcitvijo parametra t dobimo enaˇcbo astroide v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy:

x^2/3+y^2/3 =R^2/3. (7) S tem smo zapisali astroido s karteziˇcnimi koordinatamiv centralni legi.

Iz te enaˇcbe lahko ugotovimo, da je astroida neobˇcutljiva za zamenjave x → −x, y → −y, x → −y in x → y. To pomeni, da so premice x = 0, y = 0, y=x in y=−xsimetrale astroide [4].

Slika 8: Simetrale astroide.

Osti astroide so (±R,0) in (0,±R). Dobimo jih po vrsti za t = 0, t =π/2, t = π in t = 3π/2. Tako za en obhod toˇcke po astroidi parameter t preteˇce interval [0,2π]. Za t= 2π dobimo isto toˇcko kot za t= 0.

Astroida poteka po prvem kvadrantu za 0 < t < π/2, po drugem za π/2<

t < π, po tretjem za π < t <3π/2 in za 3π/2< t <2π po ˇcetrtem.

Enaˇcba (7) velja za astroido v centralni legi. Da se znebimo potenc, jo kubiramo na obeh straneh in dobimo

x² + 3x^4/3y^2/3+ 3x^2/3y^4/3+y² =R². Izpostavimo

3(x^4/3y^2/3 +x^2/3y^4/3) =R²−x²−y² in zamenjamo x^2/3 z (R^2/3−y^2/3) in y^2/3 z (R^2/3−x^2/3)

3(x^4/3(R^2/3−x^2/3) + (R^2/3−y^2/3)y^4/3) = R²−x²−y². Dobimo

3R^2/3(x^4/3+y^4/3) =R²+ 2(x²+y²).

Ce kvadriramo enaˇˇ cbo x^2/3 + y^2/3 = R^2/3, dobimo x^4/3 +y^4/3 = R^4/3 − 2x^2/3y^2/3, kar vstavimo v prejˇsnjo enaˇcbo:

3R^2/3(R^4/3−2x^2/3y^2/3) = R²+ 2(x²+y²),

−3R^2/3x^2/3y^2/3 =x²+y²−R². Da se znebimo potence, enaˇcbo ponovno kubiramo

−27R²x²y² = (x²+y²−R²)³

in dobimo implicitno enaˇcboastroide, ki jo zapiˇsemo v obliki

(x²+y²−R²)³+ 27R²x²y² = 0. (8) Iz enaˇcbe (8) lahko sklepamo, da je astroida algebrska krivulja ˇseste stopnje.

3.2 Astroida kot ogrinjaˇ ca

Enoparametriˇcna druˇzina krivulj naj bo podana z enaˇcbo

F(x, y, α) = 0, (9)

kjer jeαparameter te druˇzine krivulj. Z razliˇcnimi parametri dobimo razliˇcne krivulje. Geometrijsko mesto karakteristiˇcnih toˇck (toˇck najveˇcje bliˇzine) te druˇzine krivulj tvori ogrinjaˇco druˇzine krivulj. To je krivulja, ki se dotika vsake ˇclanice druˇzine krivulj [1].

Ogrinjaˇca ali ovojnica (angl. envelope) druˇzine krivulj je krivulja, ki je tangentna na vsako ˇclanico druˇzine krivulj [21]. Enaˇcbo ogrinjaˇce izraˇcunamo iz enaˇcbe (9) tako, da parameter α eliminiramo iz sistema enaˇcb:

F(x, y, α) = 0 (10)

in

∂F(x, y, α)

∂α = 0. (11)

Veˇc o ogrinjaˇci lahko preberemo v [9].

Astroida nastane kot:

1. ogrinjaˇca druˇzine premic z doloˇcenimi lastnostmi;

2. ogrinjaˇca druˇzine elips z doloˇcenimi lastnostmi.

Druˇzina premic

Ce ˇˇ zelimo pokazati, da je astroida ogrinjaˇca druˇzine premic, najprej doloˇcimo pogoje zanje. Predstavljajmo si lestev, ki drsi ob steni ali garaˇzna vrata, katerih zgornji rob se premika vodoravno ob stropu, spodnji pa se pomika navzven. To predstavo prevedemo v geometrijski jezik. Vzamemo druˇzino premic s stalnim medosnim odsekom.

Tako se daljice enake dolˇzine premikajo med pravokotnima osema koordi- natnega sistema. Pri tem ima vsaka daljica krajiˇsˇci vedno na koordinatnih oseh. Te daljice imenujemo medosni odseki premic. Astroida nastane kot ogrinjaˇca druˇzine teh medosnih odsekov s stalno dolˇzino R (slika 9).

Slika 9: Medosni odseki dolˇzine R.

Naj bo α kot med koordinatnima osema, R pa kot smo rekli, dolˇzina daljice AB, slika 10.

Slika 10: Parameter α.

Enaˇcba druˇzine premic je:

x

Rsinα + y

Rcosα = 1, ali

F =xcosα+ysinα−Rsinαcosα= 0. (12) Enaˇcbo odvajamo po parametru α:

∂F

∂α =−xsinα+ycosα−Rcos²α+Rsin²α= 0. (13)

Da dobimo ogrinjaˇco, reˇsimo sistem enaˇcb (12) in (13). Enostavno reˇsitev dobimo z izraˇcunom determinant po Cramerjevem pravilu. Cramerjevo pravilo uporabimo, ko:

• je ˇstevilo neznank enako ˇstevilu enaˇcb v sistemu,

• je determinanta matrike koeficientov razliˇcna od 0, torej D6= 0.

Reˇsitev nehomogenega sistema enaˇcb podamo eksplicitno:

x= D_x

D , y = D_y D. Najprej izraˇcunamo determinanto sistema enaˇcb:

D=

cosα sinα

−sinα cosα

= cos²α+ sin²α = 1.

Parametriˇcni reˇsitvi sistema sta:

x= D_x

D =Rcos³α, y= Dy

D =Rsin³α.

Znebimo se parametra α in dobimo:

x^2/3+y^2/3 =R^2/3.

Opazimo, da je ogrinjaˇca druˇzine medosnih odsekov konstantne dolˇzine R ravno astroida.

Velja tudi obratno: medosni odseki tangent na astroido so konstantne dolˇzine.

Naj bosta x in y osi koordinatnega sistema in parameter t kot, ki je su- plementaren naklonskemu kotu tangente v toˇcki, ki ustreza parametru t.

Enaˇcbo tangente na astroido izraˇcunamo po obiˇcajnem postopku. Zapiˇsemo jo v eksplicitni obliki:

y−y₀ =k(x−x₀).

Najprej poiˇsˇcemo smerni koeficient tangente na astroido, ki je podana v parametriˇcni obliki. Smerni koeficient k tangente v toˇcki T(x₀, y₀), ki ji ustreza parameter t, izraˇcunamo po formuli:

k= dy

dx = 3Rsin²tcost

−3Rcos²tsint =−sint

cost =−tant.

Smerni koeficient tangente na astroido je torej k = −tant = tan(π−t). V zgornji in spodnji ostik ni definiran, dobimo vodoravno in navpiˇcno premico.

Ce upoˇstevamo, da jeˇ T(x₀, y₀) = T(Rcos³t, Rsin³t), dobimo eksplicitno enaˇcbo tangente:

y−Rsin³t=−tant(x−Rcos³t).

Enaˇcbo preuredimo v obliko, ki da pravilen rezultat za vse osti astroide:

xsint+ycost=Rsintcost. (14) Tangenta (14) preseka osxv toˇckiA(Rcost,0), osy pa v toˇckiB(0, Rsint).

Oˇcitno je AB=R [4].

Astroide se v vsaki toˇcki dotika natanko ena premica oblike (14), v dveh razliˇcnih toˇckah pa dve razliˇcni taki premici.

Razdalja med toˇckama A in B, dolˇzina medosnega odseka tangent, je enaka R, ne glede na izbiro toˇcke T na astroidi. Za astroido je znaˇcilno, da je medosna razdalja za vse njene tangente stalna. Izjema so le tangente v njenih osteh.

Slika 11: Ogrinjaˇca tangent.

Ogrinjaˇca druˇzine elips

Druˇzina elips naj bo definirana z enaˇcbo:

F = x²

c² + y²

(1−c)² −1 = 0, (15)

kjer je c ∈ (0,1) parameter, ki definira obliko elipse. Ko se c premika od 0 do 1, nastajajo razliˇcne elipse, ki skupaj ogrinjajo astroido (slika 12).

Slika 12: Ogrinjaˇca elips.

Izraˇcunamo ˇse parcialni odvod po parametru c:

∂F

∂c = −2x²

c³ + 2y²

(1−c)³ = 0.

Enaˇcbo delimo z −2 in dobimo:

x²

c³ − y²

(1−c)³ = 0. (16)

Enaˇcbi (15) in (16) tvorita sistem enaˇcb. Za laˇzje reˇsevanje ga zapiˇsemo v obliki matrike BX₁ =A.





1 c²

1 (1−c)² 1

c³ −_(1−c)¹ 3







 x² y²



=



 1 0



.

Reˇsitev je matrika oblike X₁ =B⁻¹A.

Najprej izraˇcunamo inverzno matriko matrikeB: B⁻¹ = 1

detB





−_(1−c)¹ 3 −_(1−c)¹ 2

−_c¹3

1 c²



, kjer je determinanta

detB =− 1

c²(1−c)³ − 1

c³(1−c)² =− 1

c³(1−c)³ 6= 0.

Dobimo torej:



 x² y²



=−c³(1−c)³





−_(1−c)¹ 3

−_c¹3



,

ali krajˇse



 x² y²



=



 c³ (1−c)³



.

Iz dobljene reˇsitve se znebimo parametra c:

x^2/3+y^2/3 = 1.

Opazimo, da ima ogrinjaˇca druˇzine elips ravno enaˇcbo, ki ustreza astroidi za R = 1.

Podobno dobimo ogrinjaˇco druˇzine elips s sploˇsnejˇso obliko enaˇcbe. ˇCe je vsota a+b=ckonstantna, je enaˇcba druˇzine elips enaka

x²

a² + y²

(c−a)² = 1.

3.3 Astroida in idealno zrcalo

Svetlobni ˇzarki padajo na ravninsko krivuljo, ki jo obravnavamo kot ide- alno zrcalo. Odbiti ˇzarki, podaljˇsani v premice, tvorijo druˇzino premic.

Ogrinjaˇco te druˇzine premic odbitih ˇzarkov imenujemo katakavstika [5].

V diplomskem delu ˇzelimo poiskati katakavstiko ˇze znane ravninske krivulje, ki jo imenujemo Steinerjeva krivulja ali deltoida.

Katakavstike spadajo v druˇzino kavstik, ki jih vidimo zaradi poveˇcane in- tenzivnosti svetlobe. Tipiˇcen primer kavstik je odtis svetlobe na mizi, ki ga pustijo svetlobni ˇzarki na poti skozi kozarec, poln vode. Kavstike lahko opazimo s prostim oˇcesom npr. v skodelici kave ob sonˇcnem jutru ali na morskem dnu (slika 13).

Slika 13: Primera kavstik: diakavstika (levo) in katakavstika (desno) [14].

Preden poiˇsˇcemo katakavstiko astroide, na kratko opiˇsimo ˇse Steinerjevo krivuljo.

Steinerjeva krivulja(tudi deltoida in trikuspoida) je hipocikloida z modu- lom m= 1/3, ki ima tri vrhove. Sestavljajo jo trije enaki loki. Ime spominja na grˇsko ˇcrko delta, ki ji je podobna [20].

Slika 14: Deltoida ali Steinerjeva krivulja [20].

Njeni parametriˇcni enaˇcbi dobimo iz sploˇsne oblike enaˇcb hipocikloide:

x = 2rcos t

3 +rcos2t

3, (17)

y = 2rsin t

3 −rsin2t

3. (18)

kjer je t ∈[0,2π].

Ce iz parametriˇˇ cnih enaˇcb izloˇcimo parameter t, dobimo implicitno obliko enaˇcbe Steinerjeve krivulje:

(x²+y²)² + 8rx(3y²−x²) + 18r²(x²+y²)−27r⁴ = 0. (19)

Iz enaˇcbe (19) lahko sklepamo, da je deltoida algebrska krivulja 4. stopnje.

Njena oblika je prikazana na sliki 14.

Zelimo poiskati katakavstiko, ki nastane pri odboju snopa svetlobnih ˇˇ zarkov od Steinerjeve krivulje, obravnavane kot idealno zrcalo. Na Steinerjevo krivuljo naj ˇzarki padajo vzporedno z ordinatno osjo, kot je prikazano na sliki 15.

Slika 15: Odboj vpadajoˇcega ˇzarka od Steinerjeve krivulje.

Na Steinerjevi krivulji izberemo poljubno toˇcko M(x₀, y₀), v kateri opazu- jemo odbiti ˇzarek. Premica v predstavlja vpadni ˇzarek skozi toˇcko M. Za vpadiˇsˇcnico (vpadno pravokotnico) vedno vzamemo normalo na krivuljo v toˇcki, kamor ˇzarek vpada in se tam odbije.

Normala n je pravokotnica na tangentoτ skozi toˇcko M. Kot med normalo in absciso oznaˇcimo z β, kot med nosilko odbitega ˇzarka o in absciso pa z γ (slika 15).

Ker je po odbojnem zakonu vpadni kot enak odbojnemu, prezrcalimo nosilko vpadnega ˇzarka v ˇcez normalo in dobimo odbiti ˇzarek o.

Da bi izraˇcunali parametriˇcno enaˇcbo katakavstike Steinerjeve krivulje, moramo najprej doloˇciti enaˇcbo premice nosilke odbitega ˇzarka.

Enaˇcbo nosilke odbitega ˇzarka o dobimo iz sploˇsne oblike enaˇcbe premice:

y−y0 =k(x−x0), kjer je k naklon premice v izbrani toˇcki M(x₀, y₀).

Ker toˇcka M leˇzi na Steinerjevi krivulji, poznamo njene koordinate:

M(2rcost

3+rcos2t

3,2rsint

3 −rsin2t 3).

Doloˇcimo ˇse naklon premice o:

k = tanγ.

Iz slike 15 ugotovimo, da velja:

γ =π− π

2 −2α = π 2 −2α.

Opazimo, da je

α = π 2 −β, zato je

γ = 2β− π 2. Torej je:

k = tanγ = tan(2β− π 2).

Izraz preuredimo s pomoˇcjo trigonometrijskih formul in dobimo:

k=−tan(π

2 −2β) =−cot 2β =

=− 1

tan 2β =−1−tan²β

2 tanβ = tan²β−1 2 tanβ .

Kot β je naklon normale n. Naklon normale dobimo iz naklona tangente po formuli:

kn=−1/kt.

Ker je naklon tangente v toˇcki M enak k_t = ˙y/x,˙ naklon normale zapiˇsemo kot:

k_n = tanβ =−x/˙ y.˙ (20)

Naklon premice odbitega ˇzarka je torej:

k = (−x/˙ y)˙ ²−1

2 (−x/˙ y)˙ . (21)

Izraˇcunamo prva odvoda koordinat toˇcke M, ki leˇzi na Steinerjevi krivulji:

˙

x=−2r 3 sin

t 3

− 2r 3 sin

2t 3

,

˙ y= 2r

3 cos t

3

− 2r 3 cos

2t 3

.

Vstavimo ju v izraz (21) in dobimo:

tanβ =−sin₃^t + sin^2t₃ cos₃^t −cos^2t₃ .

Vsoto in razliko kotnih funkcij pretvorimo v produkt in dobimo:

tanβ = 2 sin₂^tcos₆^t

2 sin₂^tsin₆^t = cot t 6.

Rezultat vstavimo v izraz za naklon premice odbitega ˇzarka k = cot² ₆^t −1

2 cot₆^t =

= cos² ₆^t −sin² ₆^t 2 sin₆^tcos₆^t .

Upoˇstevamo ˇse kotne funkcije dvojnih kotov in zapiˇsemo:

k = cos₃^t

sin₃^t = cot t 3.

Dobili smo enaˇcbo premice enega odbitega ˇzarka v toˇcki M: y−2rsint

3 +rsin2t

3 = cot t

3(x−2rcos t

3 −rcos2t 3).

Za laˇzje raˇcunanje uvedemo novo spremenljivko u =t/3. Sedaj enaˇcbo pre- mice odbitega ˇzarka zapiˇsemo v obliki:

y−2rsinu+rsin 2u= cosu

sinu(x−2rcosu−rcos 2u).

Izraz pomnoˇzimo s sinu. Po daljˇsem izraˇcunu, s pomoˇcjo adicijskih izrekov, dobimo enaˇcbo premice druˇzine odbitih ˇzarkov:

xcosu−ysinu=rcosu+ 2rcos 2u.

Ker katakavstiko dobimo kot ogrinjaˇco druˇzine premic, enaˇcbo odvajamo po parametru u:

xsinu+ycosu= 4rsin 2u+rsinu.

Parametriˇcni enaˇcbi ogrinjaˇce iskane katakavstike bomo dobili, ˇce reˇsimo sistem enaˇcb:

F = xcosu−ysinu−rcosu−2rcos 2u= 0, (22)

∂F

∂u = xsinu+ycosu−4rsin 2u−rsinu= 0. (23)

Izraˇcunamo determinanto sistema enaˇcb:

D=

cosu −sinu sinu cosu

= cos²u+ sin²u= 1.

Ker jeD6= 0, lahko uporabimo Cramerjevo pravilo. Izraˇcunamo determinanti:

D_x =

rcosu+ 2rcos 2u −sinu rsinu+ 4rsin 2u cosu

=

= r(cos²u+ sin²u+ 2 cosucos 2u+ 4 sinusin 2u) in

D_y =

cosu rcosu+ 2rcos 2u sinu rsinu+ 4rsin 2u

=

=r(4 sin 2ucosu−2 cos 2usinu).

Dobili smo katakavstiko Steinerjeve krivulje v parametriˇcni obliki:

x = r(1 + 2 cosucos 2u+ 4 sinusin 2u), y = r(4 sin 2ucosu−2 cos 2usinu).

Krivuljo, ki smo jo dobili, zasukamo za π/4.Katakavstiko zapiˇsemo v obliki:

x−r = 2r(cosucos 2u+ 2 sinusin 2u), y = 2r(2 sin 2ucosu−cos 2usinu).

S pomoˇcjo rotacijske matrike za kot π/4 zapiˇsemo nove koordinate:



 ξ η



= 1

√2



 1 −1

1 1







 x−r

y



= 1

√2





x−r−y x−r+y



. Najprej izrazimo:

x−r−y= 2r(cos 2ucosu+ 2 sin 2usinu−2 sin 2ucosu+ cos 2usinu).

Upoˇstevamo adicijske izreke in izraz poenostavimo:

x−r−y=r(−cos 3u−sin 3u+ 3 cosu−3 sinu).

V izraz vstavimo ˇse kotne funkcije trojnih kotov:

x−r−y =r(4(sinu−cosu)(sin²u+ sinucosu+ cos²u)−6(sinu−cosu)) =

= 2r(sinu−cosu)(2 sinucosu−1) =

=−2r(sinu−cosu)³.

=−2r

sinu−sinπ

2 −u3

. Razliko kotnih funkcij pretvorimo v produkt:

x−r−y=−2r 2 cosπ

4sin

−π

4 +u3

=

=−4r√

2 sin³ u− π

4

. (24)

Izrazimo ˇse:

x−r+y = 2r(cos 2ucosu+ 2 sin 2usinu+ 2 sin 2ucosu−cos 2usinu).

Upoˇstevamo adicijske izreke in dobimo:

x−r+y =r(−cos 3u+ sin 3u+ 3 cosu+ 3 sinu).

Izraz poenostavimo in uporabimo formule za kotne funkcije trojnih kotov:

x−r+y = 2r(−2 sin³u−2 cos³u+ 3 sinu+ 3 cosu) =

= 2r(sinu+ cosu)(2 sinucosu+ 1) =

= 2r(sinu+ cosu)³. Ker vemo, da je sin(π/2−α) = cosα, dobimo:

x−r+y= 2r

sinu+ sinπ

2 −u3

. Vsoto kotnih funkcij pretvorimo v produkt:

x−r+y= 2r 2 sinπ

4cos

−π

4 +u3

=

= 4r√

2 cos³ u− π

4

. (25)

Dobljena izraza (24) in (25) vstavimo v matriko, s katero zapiˇsemo novi koordinati katakavstike deltoide:



 ξ η



= 1

√2





−4rsin³ u−^π₄ 4rcos³ u−^π₄

.





Ce upoˇstevamo, da veljaˇ π 2 − π

4 +u= π 4 +u,

dobimo novi koordinati katakavstike, ki je zasukana za kot π/4:

ξ = 4rcos³π 4 +u

, η= 4rsin³π

4 +u .

Katakavstika deltoide, ki smo jo dobili, je ravno astroida, saj je 4r ravno polmer R kroga, kateremu je vˇcrtana astroida.

Reˇsitev preverimo v GeoGebri. Vnesemo parametriˇcni enaˇcbi Steinerjeve krivulje, konstruiramo njeno tangento in normalo, nato vpadni ˇzarek prezr- calimo ˇcez normalo. Vklopimo funkcijo Sled. Izriˇse se ogrinjaˇca druˇzine normal. Katakavstika Steinerjeve krivulje je ravno astroida (slika 16 zgoraj).

Predpostavili smo, da so vpadni ˇzarki med seboj vzporedni in izraˇcunali katakavstiko pri predpostavki, da so vpadni ˇzarki vzporedni z ordinatno osjo.

Pokazati se da, da lahko vzporedni ˇzarki vpadajo na Steinerjevo krivuljo iz katerekoli smeri, pri tem pa je katakavstika Steinerjeve krivulje ˇse vedno as- troida (slika 16 spodaj).

Slika 16: Astroida kot katakavstika Steinerjeve krivulje.

4 Lastnosti astroide

Z znanimi formulami in postopki v tem poglavju izraˇcunamo celotno dolˇzino astroide, ploˇsˇcino lika, ki ga ograjuje, prostornino telesa, ki nastane z rotacijo astroide okoli osi x za polni kot in povrˇsino tega telesa.

4.1 Dolˇ zina krivulje

Dolˇzino astroide, podane z enaˇcbo v parametriˇcni obliki x = R cos³t in y =Rsin³t, izraˇcunamo po formuli:

s= Z b

a

px˙²+ ˙y² dt. (26)

Izraˇcunamo odvoda koordinat:

˙

x=−3R sintcos²t,

˙

y = 3Rsin²t cost.

Astroida ustreza parametru t∈[0,2π], zato lahko enaˇcbo (26) zapiˇsemo kot:

s = Z 2π

0

px˙²+ ˙y²dt.

Ker je astroida simetriˇcna glede na obe koordinatni osi, lahko izraˇcunamo dolˇzino krivulje le v prvem kvadrantu. Tako je parameter t = 0 v toˇcki (R,0) in t =π/2 v toˇcki (0, R). To sta sedaj meji integriranja. Izraˇcunamo dolˇzino krivulje za vse 4 kvadrante:

s = 4 Z ^π₂

0

px˙²+ ˙y²dt=

= 4 Z ^π₂

0

q

(−3R sintcos²t)²+ (3Rsin²t cost)² dt=

= 4 Z ^π₂

p9R² sin²tcos⁴t+ 9R²sin⁴t cos²t dt=

= 4 Z ^π₂

0

q

9R² sin²tcos²t(sin²t+ cos²t)dt.

Upoˇstevamo osnovni obrazec trigonometrije sin²t+ cos²t= 1 in dobimo:

s = 4 Z ^π₂

0

p(3R sint cost)²dt=

= 12R Z ^π₂

0

sint cost dt.

Po integriranju dobimo:

= 12R

sin²t 2

π 2

0

= 12R

sin^{2 π}₂ 2

= 1

2 ·12R = 6R.

Celotna dolˇzina astroide je enaka s= 6R.

4.2 Ploˇ sˇ cina lika

Ploˇsˇcino lika, ki ga omejuje astroida, bi v sploˇsnem lahko izraˇcunali po for- muli:

P = 1 2

Z b a

(xy˙−xy)˙ dt,

ker je astroida podana parametriˇcno z x=Rcos³t, y=Rsin³t, 0 ≤t≤2π.

Ker pa je astroida dvakrat simetriˇcna, raˇcunamo le ploˇsˇcino lika v prvem kvadrantu po osnovni formuli in rezultat pomnoˇzimo s 4:

P = 4 Z a

0

y dx.

Iz zveze x = Rcos³t sklepamo: ko gre x od 0 → R, gre parameter t od π/2→0.

Tako doloˇcimo meje integriranja in dobimo:

P = 4 Z 0

π

(R sin³t)(−3R cos²tsint)dt =

= 12R² Z ^π₂

0

sin⁴tcos²t dt=

= 12R² Z ^π₂

0

sin⁴t dt− Z ^π₂

0

sin⁶t dt

! . Iz Analize II je znano, da velja formula

Z ^π₂

0

sin²ⁿt dt= (2n−1)!!

(2n)!!

π 2 za vsako naravno ˇstevilo n.

Torej je:

P = 12R² 3!!

4!!− 5!!

6!!

π 2 =

= 6πR²· 1

16 = 3πR² 8 .

Ploˇsˇcina lika, ki ga omejuje astroida, je P = 3πR²/8.

4.3 Povrˇ sina telesa

Astroido zavrtimo okrog osi y za kot 2π. Povrˇsino rotacijskega telesa, ki nastane (slika 17), izraˇcunamo po formuli [1]:

P = 2π Z b

a

|x|p

˙

x²+ ˙y²dt, (27) ki je podana s parametriˇcnimi enaˇcbami (5) in (6) astroide.

Slika 17: Rotacijsko telo (GeoGebra).

Iz razdelka 4.1 vemo, da je p

˙

x²+ ˙y² = 3Rsintcost. To vstavimo v enaˇcbo (27) in dobimo:

P = 4π Z ^π₂

(Rcos³t)(3Rsintcost)dt=

= 12πR² Z ^π₂

0

cos⁴tsint dt.

Uporabimo substitucijo u= cost z diferencialomdu=−sint dt:

P = 12πR² Z 1

0

u⁴du=

= 12πR² u⁵ 5

1

0

= 12πR² 5 .

Povrˇsina rotacijskega telesa, ki nastane z vrtenjem astroide okrog osi x, je enaka P = 12πR²/5.

4.4 Prostornina telesa

Prostornino rotacijskega telesa, ki ga dobimo, ˇce astroido zavrtimo okrog osi x, izraˇcunamo po formuli [1]:

V =π Z b

a

y²x dt.˙ (28)

V enaˇcbo (28) vstavimo znane koliˇcine:

V =π Z 0

π

(Rsin³t)²(−3Rsintcos²t)dt=

= 6πR³ Z ^π₂

0

(sin²t)³sintcos²t dt=

= 6πR³ Z ^π₂

0

sin⁷tcos²t dt.

= 6πR³ Z ^π₂

0

sin⁷ dt− Z ^π₂

0

sin⁹ dt

! . Iz Analize II vemo, da za vsako naravno ˇstevilo n velja:

Z ^π₂

0

sin²ⁿ⁻¹t dt= (2n−2)!!

(2n−1)!!.

Dobimo torej:

V = 6πR³ 6!!

7!! − 8!!

9!!

= V = 6πR³2·4·6·9−2·4·6·8

3·5·7·9 = V = 32

105πR³.

Prostornina vrtenine, ki nastane z vrtanjem astroide, je V = 32πR³/105.

4.5 Ukrivljenost krivulje

Kroˇznica je krivulja, ki je povsod enako ukrivljena. Astroida je primer krivulje, ki ni povsod enako ukrivljena. Premica je krivulja, ki sploh ni ukrivljena.

Ukrivljenost|K|krivulje v toˇckiAje limita kvocienta kotadαmed bliˇznjima smerema tangent na krivuljo v toˇckah A in B ter dolˇzine loka AB, ko gred slednji proti 0 [1]:

K = lim

AB→0d

dα ABd.

Slika 18: Ukrivljenost |K| astroide.

Na astroidi izberemo toˇckiAinB. V toˇckah konstruiramo tangenti t_Aint_B, ki z abscisno osjo oklepata kota α in α₁ =α+dα. Kot med tangentama je dα in nam pove, koliko se je tangenta odklonila od svoje prvotne smeri med toˇckama A in B. Lok med toˇckama oznaˇcimo z ds (slika 18).

Ukrivljenost K izraˇcunamo po formuli K = dα

ds, (29)

ki je posledica definicije ukrivljenosti. Krivulja je tem bolj ukrivljena, ˇcim veˇcji je dα v primerjavi z ds.

Krivinski polmer ρ krivulje v toˇcki A je enak absolutni vrednosti obratne vrednosti ukrivljenosti, torej ρ= 1/|K|. Absolutna vrednost ukrivljenostiK v neki toˇckiA je tem veˇcja, ˇcim manjˇsi je krivinski polmer ρ [1].

Izraˇcunamo ga po formuli:

ρ =

ds dα

. (30)

Vemo, da velja:

α = arctany˙

˙

x = arctan 3Rsin²tcost

−3Rcos²tsint =−arctan(tant) = −t.

Reˇsitev vstavimo v (30) in dobimo:

ρ=

ds dα

=

3Rsintcostdt

−dt

=

= 3|Rsintcost|= 3

Rx R

¹₃y R

¹₃

=

= 3|Rxy|¹³ .

Na krivulji, ki je v naˇsem primeru astroida, vzamemo poljubno toˇcko T (slika 19). Ob krivulji nariˇsemo skozi toˇcko T kroˇznico K, ki se med vsemi kroˇznicami krivulji najbolj prilega. To pomeni, da se krivulja in kroˇznica dotikata v dotikaliˇsˇcu T in da imata tam isto tangento t.

Ukrivljenost ali krivina krivulje je v dotikaliˇsˇcu T enaka krivini kroˇznice.

Ta krog imenujemo krivinski krog krivulje v toˇcki T [8]. Njegovo srediˇsˇce imenujemo krivinsko srediˇsˇce.

Slika 19: Krivinski krog [8].

4.6 Evoluta astroide

Evoluta dane krivulja je v [1] definirana kot krivulja, ki je sestavljena iz krivinskih srediˇsˇc dane krivulje. Pojem evolute kot mnoˇzice krivinskih srediˇsˇc krivulje in hkrati evolute kot ogrinjaˇce normal krivulje je leta 1665 uvedel Huygens [6].

Parametriˇcno obliko enaˇcbe evolute astroide dobimo iz enaˇcb [1]:

X(t) =x(t)− y( ˙˙ x²+ ˙y²)

˙

x¨y−x¨y˙ , (31)

Y(t) = y(t) + x( ˙˙ x²+ ˙y²)

˙

xy¨−x¨y˙ . (32)

V enaˇcbi (31) in (32) vstavimo odvode:

˙

x=−3Rcos²tsint,

˙

y = 3Rsin²tcost,

¨

x= 6Rsin²tcost−3Rcos³t,

¨

y= 6Rsintcos²t−3Rsin³t.

Ko ju poenostavimo, dobimo:

X(t) =Rcos³t+27R³sin⁴tcos³t 9R²sin²tcos²t , in

Y(t) =Rsin³t+27R³sin³tcos⁴t 9R²sin²tcos²t .

Parametriˇcni enaˇcbi evolute astroide sta torej:

X(t) = Rcost(1 + 2 sin²t), Y(t) = Rsint(1 + 2 cos²t).

Enaˇcbi vstavimo v program za risanje funkcij GeoGebra. Evoluta astroide je krivulja modre barve na sliki 20.

Slika 20: Evoluta astroide.

Evoluto astroide zasukamo za kotπ/4.Pri tem uporabimo rotacijsko matriko in izrazimo novi koordinati:



 ξ η



= 1

√2



 1 −1

1 1







 X(t) Y(t)



= 1

√2





X(t)−Y(t) X(t) +Y(t)



.

Izraˇcunamo:

X(t) +Y(t) = R(cost+ 2 sin²tcost+ sint+ 2 sintcos²t) =

=R(sint+ cost)(1 + 2 sintcost),

uporabimo formulo za kotne funkcije dvojnih kotov in formule za prehod med kotnimi funkcijami:

X(t) +Y(t) = R(sint+ cost)(1 + sin 2t) =

=R(sint+ sin(π

2 −t))(sinπ

2 + sin 2t) =

= 2Rsinπ 4cos

t− π 4

2 sin

t+ π 4

cos

t− π 4

=

= 2R√

2 cos³ t− π

4

.

Podobno dobimo tudi

X(t)−Y(t) =R(cost+ 2 sin²tcost−sint−2 sintcos²t) =

=R(cost−sint)(1−2 sintcost) =

=−2R√

2 sin³ t− π

4

. Reˇsitvi vstavimo v matriko zasuka:



 ξ η



= 1

√2





−2R√

2 sin³ t− ^π₄ 2R√

2 cos³ t− ^π₄



=

=





2Rsin^{3 π}₄ −t 2Rcos^{3 π}₄ −t



.

Konˇcno dobimo koordinati ξ inη evolute astroide, zasukane za kot π/4:

ξ = 2Rcos³ t+π

4

, η= 2Rsin³

t+π 4

.

Iz izraza je razvidno, da je evoluta astroide ravno astroida, katere osti so zasukane za kot π/4. Dolˇzina evolute astroide je dvakrat veˇcja od dolˇzine astroide.

Evoluto astroide lahko tudi enostavno konstruiramo s pomoˇcjo programa GeoGebra, tako da konstruiramo normalo skozi toˇcko na astroidi in opazu- jemo njeno geometrijsko mesto ali sled (slika 21). Ogrinjaˇca teh normal je astroida.

Slika 21: Evoluta, konstruirana v GeoGebri.

5 Poˇ sevna astroida

Ce nadaljujemo raziskovanje o astroidi, opazimo posebno vrsto astroide, kiˇ ji pravimo poˇsevna astroida.

Poˇsevna astroida na sliki 22 nastane kot ogrinjaˇca druˇzine daljicAB s kon- stantno dolˇzino R. Daljica AB s svojimi ogliˇsˇci drsi po premicah x in y, ki se sekata pod kotom α. Premicix in y obravnavajmo kot osix in y novega, v sploˇsnem poˇsevnokotnega koordinatnega sistema. S t oznaˇcimo kot med daljico AB in absciso.

Slika 22: Poˇsevna astroida.

V trikotniku OAB upoˇstevamo sinusni izrek, iz katerega sledi:

OA

sinγ = OB

sinβ = AB sinα.

Upoˇstevamo, da je dolˇzina AB = R ter trigonometriˇcne enakosti: sinγ = sin(α+β) = sin(π−(t−α)) = sin(t−α) in sinβ = sin (π−t) = sint.

Sedaj lahko zapiˇsemo:

OA

sin (t−α) = OB

sint = R sinα.

Iz tega dobimo dolˇzino odsekov na xin y:

OA=R·sin(t−α) sinα , OB =R· sint

sinα.

Sedaj lahko zapiˇsemo odsekovno obliko enaˇcbe premice, ki je nosilka daljice AB:

xsinα

Rsin(t−α) +ysinα Rsint = 1.

Izraz pomnoˇzimo z R/sinα in dobimo:

x

sin(t−α) + y

sint = R

sinα. (33)

Enaˇcbo odvajamo po parametru t in dobimo:

xcos (t−α)

sin²(t−α) + ycost

sin²t = 0. (34)

Iz (33) in (34) izraˇcunamo determinanto:

D=

1 sin (t−α)

1 sint cos (t−α) sin²(t−α)

cost sin²t

=− sinα

sin²tsin²(t−α).

Ker je D 6= 0, lahko uporabimo Cramerjevo pravilo. Iz X = D_x/D in Y =D_y/D dobimo parametriˇcni enaˇcbi poˇsevne astroide:

X = 1 D

R sinα

1 sint

0 _sin^cos2^tt

=

=−Rsin²(t−α) cost sin²α

in

Y = 1 D

1 sin(t−α)

R sinα cos(t−α) sin²(t−α) 0

=

= Rsin²tcost−α sin²α .

Slika 23: Poˇsevna astroida, konstruirana v GeoGebri.

Za α = π/2 dobimo parametriˇcni enaˇcbi navadne astroide v pravokotnem koordinatnem sistemu.

6 Noˇ ziˇ sˇ cne krivulje astroide

S posebnimi postopki pridobivanja krivulj lahko iz astroide pridobimo nove krivulje. V diferencialni geometriji nekatere krivulje, ki jih s posebnim postop- kom pridobimo iz neke druge krivulje, imenujemo noˇziˇsˇcne krivulje. Pra- vimo jim tudi pedalne krivulje. Noˇziˇsˇcna krivulja je v [6] definirana kot nova krivulja, ki nastane kot geometrijsko mesto noˇziˇsˇc normal (skozi izbrano toˇcko) na tangente dane krivulje.

Do noˇziˇsˇcne krivulje K_n dane ravninske krivulje Kpridemo tako, da najprej v ravnini te krivulje izberemo fiksno toˇcko P, ki ji reˇcemo noˇziˇsˇcna toˇcka ali pol. Toˇcko P nato pravokotno projiciramo na vse tangente krivulje K.

Preseˇciˇsˇce pravokotnice skozi toˇcko P na vse tangente krivulje K je noˇziˇsˇce N pola P na tangenti. Mnoˇzica vseh noˇziˇsˇc N pola P je noˇziˇsˇcna krivulja K_n krivulje K glede na pol P [7].

Slika 24: Nastanek noˇziˇsˇcne krivulje.

Nekatere krivulje, kot so premica in kroˇznica, imajo razmeroma enostavne noˇziˇsˇcne krivulje, nekatere pa bolj zapletene. Poglejmo, kakˇsne noˇziˇsˇcne krivulje ima astroida.

Da lahko izpeljemo noˇziˇsˇcne krivulje astroide, potrebujemo enaˇcbo astroide in pol P(p, q). Mnoˇzica vseh tangent astroide je podana z enaˇcbo:

xsint+ycost=Rsintcost. (35) V sploˇsno obliko enaˇcbe premice vstavimo k_n =−1/k_t = cott in koordinate toˇcke P. Sedaj lahko zapiˇsemo enaˇcbo pravokotnice na tangento skozi toˇcko P(p, q):

(x−p) cost−(y−q) sint = 0. (36)

Enaˇcbi (35) in (36) preuredimo in dobimo sistem enaˇcb:

xcost−ysint=pcost−qsint, xsint+ycost=Rsintcost.

S pomoˇcjo determinant izrazimoxinykoordinati noˇziˇsˇcaN. Najprej izraˇcunamo determinanto sistema:

D=

cost −sint sint cost

= cos²t+ sin²t = 1.

Nato izraˇcunamo D_x =

pcost−qsint −sint Rsintcost cost

= cost(pcost−qsint+Rsin²t)

in podobno Dy =

cost pcost−qsint sint Rsintcost

= sint(−pcost+qsint+Rcos²t).

Zapiˇsemo parametriˇcni enaˇcbi noˇziˇsˇcne krivulje astroide glede na dani pol P(p, q):

x= D_x

D = cost(pcost−qsint+Rsin²t), (37)

y= D_y

D = sint(−pcost+qsint+Rcos²t). (38)

Oblika nove krivulje je odvisna od izbire toˇcke P.

Pol izberemo v toˇcki P(0,0) in ga vstavimo v enaˇcbi (37) in (38), da do- bimo parametriˇcno enaˇcbo noˇziˇsˇcne krivulje astroide glede na njeno srediˇsˇce:

x=Rsin²tcost, y=Rcos²tsint.

Iz parametriˇcnih enaˇcb izloˇcimo parameter t, da dobimo ˇse polarno obliko enaˇcbe. Enaˇcbi kvadriramo in seˇstejemo:

x²+y² =R²sin⁴tcos²t+R²cos⁴tsin²t ali krajˇse

px²+y² =Rsintcost.

px²+y² =R· 1

2 ·2·sintcost

Ker je ρ =p

x²+y², je polarni radij iskane krivulje ρ=

R 2

sin 2t.

Krivuljo, ki nastane imenujemoˇstiriperesna deteljicaalirozeta, lat. quadri- folium. To noˇziˇsˇcno krivuljo astroide lahko konstruiramo s pomoˇcjo programa dinamiˇcne geometrije.

Slika 25: Konstrukcija ˇstiriperesne deteljice.

Opiˇsimo postopek konstrukcije v GeoGebri (slika 25):

1. V vnosno vrstico vnesemo parametriˇcni enaˇcbi krivuljeK, ki je v naˇsem primeru astroida. Vnos: Krivulja[Rcos³t, Rsin³t, t,0,6.28].Konstanto R definiramo z drsnikom.

2. Na krivulji izberemo poljubno toˇcko A, nato z ukazom Tangenta kon- struiramo tangento na astroido.

3. V izhodiˇsˇce koordinatnega sistema postavimo polP(0,0).

4. Z ukazomPravokotnica postavimo normalon na tangentotskozi toˇcko P.

5. Ukaz Preseˇciˇsˇce dveh objektov uporabimo pri konstrukciji preseˇciˇsˇca pravokotnice n na t, ki je noˇziˇsˇce N.

6. S klikom na toˇcko N izberemo funkcijo Vklop sledi.

7. Na toˇckiA izberemo ˇse funkcijo Animiranje.

Izriˇse se ˇstiriperesna deteljica (slika 26).

Slika 26: ˇStiriperesna deteljica.

Poiˇsˇcimo ˇse noˇziˇsˇcno krivuljo astroide, katere polP leˇzi na simetrali astroide.

Naj bo to simetrala y=x (slika 27).

ToˇckaP je za OP oddaljena od izhodiˇsˇca koordinatnega sistema. V poglavju o ogrinjaˇcah smo pokazali, da astroida nastane kot ogrinjaˇca medosnega odseka tangent na astroido. Ta daljica AB drsi med koordinatnima osema in ima dolˇzino R. Noˇziˇsˇcna krivulja je geometrijsko mesto noˇziˇsˇc normal, ki gredo skozi P in pravokotno sekajo daljicoAB (slika 27).

Slika 27: Konstrukcija ˇzuˇzka.

Opazimo, da je OE ⊥ AB. Toˇcka C je razpoloviˇsˇce daljice AB. Simetrala y = x je polarna os, toˇcka P je pol. Polarni kot je kot med simetralo in daljico P M in ga oznaˇcimo s ϕ, radij (vektor −−→

P M) pa z ρ. Tedaj velja COE = 2ϕ. Ker je OC = ¹₂AB= ^R₂ inOE = ^R₂ cos 2ϕ. Hkrati pa velja tudi OE =OB+P M =OP cosϕ+ρ.

Zapiˇsemo lahko polarno enaˇcbo noˇziˇsˇcne krivulje:

ρ= R

2 cos 2ϕ−OPcosϕ.

V pravokotnem koordinatnem sistemu ima ta enaˇcba obliko:

(x²+y²)(x²+y²+cx)² = R²

4 (x²−y²)²,

kar pomeni, da je dobljena krivulja algebrska 6. stopnje. Krivulja spominja na nekakˇsnega ˇzuˇzka. Ker smo izbrali P na eni izmed simetral astroide, gre za simetriˇcnega ˇzuˇzka (slika 28).

Slika 28: Simetriˇcni ˇzuˇzek.

Ce polˇ P izberemo na slepo, vendar ne predaleˇc od astroide, dobimo noˇziˇsˇcno krivuljo, ki jo poimenujemo nesimetriˇcni ˇzuˇzek [4] (slika 29).

Slika 29: Nesimetriˇcni ˇzuˇzek.

7 Uporaba v osnovni ˇ soli

Kljub temu, da je astroida krivulja, ki zahteva veliko veˇc matematiˇcnega znanja, kot ga imajo osnovnoˇsolci, jo lahko vkljuˇcimo v pouk.

Astroido lahko obravnavamo pri pouku matematike. Avtorji uˇcnega naˇcrta poudarjajo, da so vedno pomembnejˇsi razumevanje, medpredmetno povezo- vanje in uporaba matematiˇcnega znanja. V osnovni ˇsoli ima vse veˇcji pomen uporaba informacijsko - komunikacijske tehnologije. Eden izmed programov dinamiˇcne geometrije je GeoGebra. Uˇcenci v 8. in 9. razredu razvijajo strate- gije geometrijskih konstrukcij in opiˇsejo postopek geometrijske konstrukcije [17].

Obravnavo astroide lahko tako umestimo v dodatni pouk, izbirni predmet ali matematiˇcne delavnice v viˇsjih razredih. S pomoˇcjo GeoGebre uˇcencem predstavimo postopek konstrukcije astroide in preuˇcujemo njene lastnosti.

7.1 Konstrukcija astroide v GeoGebri

• S pomoˇcjo ukazaPreseˇciˇsˇce konstruiramo preseˇciˇsˇcexinyosi: A(0,0).

Naˇcrtamo ˇse premici x = 0 in y = 0 (slika 30). Uporabimo lahko ˇze vgrajen koordinatni sistem in mreˇzo.

Slika 30: Preseˇciˇsˇce koordinatnih osi.

• Sedaj izberemo poljubni toˇckiB inC na premicahx= 0 iny= 0 (slika 31).

• Z ukazom Kroˇznica s srediˇsˇcem in toˇcko na njej naˇcrtamo kroˇznico s srediˇsˇcem v A, ki gre skozi C.

Slika 31: Kroˇznica s srediˇsˇcem v A.

• Nato na kroˇznici izberemo poljubno toˇcko M (slika 31).

• Naˇcrtamo pravokotnici na x iny os skozi toˇcko M (slika 32).

Slika 32: Pravokotnici na koordinatni osi skozi M.

• Konstruiramo preseˇciˇsˇciDinE med pravokotnicama in koordinatnima osema (slika 33).

Slika 33: Preseˇciˇsˇci D inE.