Besslove funkcije so poimenovane po nemˇskem astronomu in matematiku Frie-drichu W. Besslu, ˇceprav je bil Daniel Bernoulli tisti, ki je prvi vpeljal koncept Besslovih funkcij leta 1732. Besslove funkcije celoˇstevilskega reda je kasneje pri svojem delu uporabil tudi Euler, in sicer pri analizi vibracij elastiˇcne membrane.
Bessel pa teh funkcij ni vkljuˇceval v svoja dela do leta 1817.
Besslove funkcije so rezultat Besslove ˇstudije problema o Keplerjevem doloˇcanju gibanja treh teles, ki se gibajo pod vplivom gravitacije. Kasneje je Besslove funkcije vkljuˇcil v ˇstudijo o planetarnih motnjah, kjer so se Besslove funkcije pokazale kot koeficienti v vrsti ˇsirjenja posrednje motnje planeta.
Teorijo Besslovih funkcij se pogosto uporablja pri reˇsevanju problemov pri hid-rodinamiki, akustiki, radijski in nuklearni fiziki ter tudi pri valovni mehaniki in elastiˇcni teoriji. [7]
Kot smo ˇze enkrat zapisali, so Besslove enaˇcbe oblike
x2y00+xy0+ (x2−ν2)y = 0, (36) kjer je ν konstanta. Toˇcka x = 0 je regularna singularna toˇcka, x = ∞ pa je neregularna singularna toˇcka, kar lahko brez teˇzav preverimo.
Reˇsitve Besslove enaˇcbe so cilindrske funkcije, ki so poleg spremenljivkexodvisne tudi od indeksa ν. Kot v prejˇsnjem poglavju bomo reˇsitev Besslove enaˇcbe iskali s pomoˇcjo nastavka
Dani nastavek odvajamo in vstavimo v nekoliko preoblikovano enaˇcbo (36). Do-bimo
Reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda s potenˇcnimi vrstami
Zapis ˇse nekoliko preoblikujemo in dobimo
∞ Iz enaˇcbe (37) lahko izraˇcunamo koeficiente za razliˇcne nin tudi zapiˇsemo sploˇsno formulo za an. Zapiˇsimo prva dva koeficienta in sploˇsno zvezo
[r2−ν2]a0 = 0 [(r+ 1)2−ν2]a1 = 0 ... [(r+n)2 −ν2]an+an−2 = 0.
Iz prve enaˇcbe sledi r =±ν. Izberemo si r=ν in drugi dve zvezi lahko zapiˇsemo kot
(2ν+ 1)a1 = 0, (38)
n(2ν+n)an+an−2 = 0, n = 2,3... (39) Iz enaˇcbe (38) sledi, da je a1 = 0, in poslediˇcno so tudi vsi ostali lihi koeficienti enaki 0, torej velja a2n+1 = 0, kjer je n = 0,1,2... Iz enaˇcbe (39) pa lahko za sode koeficiente, kjer je n= 2m, zapiˇsemo
a2m =− a2m−2
4m(ν+m), n= 1,2...
Zvezo za sploˇsni ˇclen a2m lahko izrazimo s ˇclenom a0 in dobimo a2m = (−1)ma0 Konˇcno reˇsitev lahko zapiˇsemo v obliki vrste, ki jo imenujemoBesslova funkcija prve vrste in jo oznaˇcimo zJν(x):
Reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda s potenˇcnimi vrstami
Zapisali smo reˇsitev zar=ν. S to funkcijo jeJν dobro definiran, ˇceν 6=−1,−2, ...
Ceˇ ν 6= 0,−1,−2..., je tudi reˇsitev za J−ν enake oblike, saj je Besslova enaˇcba neobˇcutljiva za transformacijo ν → −ν. Tako lahko zapiˇsemo ˇse drugo moˇzno reˇsitev:
J−ν(x) =
∞
X
m=0
(−1)m m!(−ν+m)!
x 2
−ν+2m
. (42)
Z izraˇcunom determinante Wronskega lahko preverimo, da sta ti dve reˇsitvi li-nearno neodvisni. ˇCe pa je ν = 0,1,2..., pa moramo drugo reˇsitev poiskati na drugaˇcen naˇcin.
Na sliki 5 je prikazan potek prvih ˇsestih Besslovih funkcij prve vrste za razliˇcne vrednosti k.
Slika 5: Potek prvih ˇsestih Besslovih funkcij; vir [9]
Za primer ν = 0 si bomo podrobneje pogledali reˇsitev Besslove enaˇcbe.
Primer 8. Besslove funkcije reda niˇc
Pri Besslovih funkcijah reda niˇc velja, da jeν = 0. Sploˇsna reˇsitev Besslove enaˇcbe reda niˇc za x > 0, je sestavljena iz dveh funkcij, y =c1J0(x) +c2Y0(x). Funkcija J0 je funkcija prve vrste reda niˇc, funkcija Y0 pa je funkcija druge vrste reda niˇc.
25
Reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda s potenˇcnimi vrstami
Funkcijo prve vrste lahko zapiˇsemo s pomoˇcjo prej izpeljane reˇsitve, tako da upoˇstevamo, da je ν = 0. Dobimo
J0(x) =
Pri iskanju drugega dela reˇsitve si bomo pomagali s sploˇsnim ˇclenom an. Druga reˇsitev bo imela takˇsno obliko, kot jo ima enaˇcba (34) v izreku 6. Doloˇciti moramo torej a0n(0). ˇCe si razpiˇsemo posamezne ˇclene in zdruˇzimo koeficiente pred xr+1, vidimo, da mora veljati (r+ 1)2a1(r) = 0. Iz tega sledi, da je a1(0) = 0 in tudi a01(0) = 0. Poslediˇcno pa iz enaˇcbe (39) sledi, da jea03(0) =a05(0) =...=a02n+1 = 0.
Torej moramo za iskanje reˇsitve izraˇcunati samo a02m, kjer je m = 1,2,3... Zvezo zaa2m(r) lahko zapiˇsemo v naslednji obliki:
a2m(r) =− a2m−2(r)
(r+ 2m)2, m = 1,2,3...
Ce pa to izrazimo zˇ a0, dobimo
a2m(r) = (−1)ma0
(r+ 2)2· · ·(r+ 2m)2, m≥3.
Pri raˇcunanju odvoda se bomo posluˇzili naslednjega pravila: ˇce funkcijo f(x) zapiˇsemo kot f(x) = (x−α1)β1(x−α2)β2· · ·(x−αn)βn in ˇce x 6= α1, α2, ..., αn,
Sedaj pa to pravilo uporabimo v naˇsem primeru za izraˇcun a02m. V sploˇsnem dobimo
ce upoˇstevamo r = 0, potem je a02m(0) =−2
Reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda s potenˇcnimi vrstami
Pri iskanju druge reˇsitve Besslove enaˇcbe reda niˇc upoˇstevamo a0 = 1 in dobimo y2(x) = J0(x) lnx+
∞
X
m=1
(−1)m+1Hm
22m(m!)2 x2m, x >0. (44) Obiˇcajo pa Besslove funkcije druge vrste reda niˇc,Y0, zapiˇsemo v drugaˇcni obliki tako, da je funkcija Y0 linearna kombinacija funkcijJ0 iny2. Tako dobimo:
Y0(x) = 2
π(y2(x) + (γ−ln 2)J0(x)), (45) kjer je γ konstanta, poznana kot Euler-Mascheronijeva konstanta. V enaˇcbo (45) lahko vstavimo prej izraˇcunano vrednost y2 in dobimo
Y0(x) = 2 π
"
γ+ lnx 2
J0(x) +
∞
X
m=1
(−1)m+1Hm 22m(m!)2 x2m
#
, x >0.
Osnovna vira poglavja sta [4] in [8].
27
Reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda s potenˇcnimi vrstami
Literatura
[1] Differential equation, spletno mesto Wikipedia. Pridobljeno s ht-tps://en.wikipedia.org/wiki/Differential/equation (10. 8. 2016)
[2] Cencelj, M. (2003). Linearne diferencialne enaˇcbe. Ljubljana: Pedagoˇska fa-kulteta. Pridobljeno s http://www.pef.uni-lj.si/ matijac/vse1.pdf
[3] Convergent series, spletno mesto Wolfram MathWord. Pridobljeno s http://mathword.wolfram.com/ConvergentSeries.html (3. 7. 2016)
[4] Boyce, W. E. in DiPrima, R. C. (2005).Elementary diferential equations and boundary value problems. Hoboken: John Wiley and Sons.
[5] Euler equations, spletno mesto Paul’s Online Math Notes. Pridobljeno s http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/EulerEquations.aspx (14. 7.
2016)
[6] Series solution of linear differential equations (II). Pridobljeno s http://www.math.mcgill.ca/jakobson/courses/ma261/lecture17.pdf (26. 7.
2016)
[7] Barciz, A. (2010).Generalized Bessel functions of the first kind. Berlin: Sprin-ger.
[8] Zakrajˇsek, E. (1998). Analiza III. Ljubljana: Druˇstvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.
[9] The Differential Equations of Friedrich Wilhelm Bes-sel, spletno mesto National Curve Bank. Pridobjeno s http://curvebank.calstatela.edu/bessel/bessel.htm (25. 8. 2016)
28