REˇ SEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENA ˇ CB DRUGEGA REDA S POMO ˇ CJO POTEN ˇ CNIH VRST

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

POLONA ˇ SENKINC

REˇ SEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENA ˇ CB DRUGEGA REDA S POMO ˇ CJO POTEN ˇ CNIH VRST

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

(2)

(3)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI U ˇCITELJ: FIZIKA – MATEMATIKA

POLONA ˇSENKINC

Mentor: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR

REˇ SEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENA ˇ CB DRUGEGA REDA S POMO ˇ CJO POTEN ˇ CNIH VRST

Diplomsko delo

LJUBLJANA, 2016

(4)

(5)

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju, izr. prof. dr. Marku Slaparju, za nasvete in strokovno pomoˇc ter vloˇzen ˇcas, trud in spodbudo pri nastajanju diplomskega dela.

Hvala druˇzini, ki mi je ˇstudij omogoˇcila in me skozi vsa leta podpirala.

Hvala tudi prijateljem in soˇsolcem za podporo, spodbudo in nepozabna ˇstudijska leta.

Hvala!

(6)

(7)

Povzetek

Homogene linearne diferencialne enaˇcbe drugega reda so enaˇcbe oblike P(x)y⁰⁰+ Q(x)y⁰+R(x)y = 0, kjer jexneodvisna spremenljivka. Takih enaˇcb v sploˇsnem ne znamo reˇsevati. Reˇsiti znamo le take s konstantnimi koeficienti. Homogene linearne diferencialne enaˇcbe drugega reda, ki imajo za koeficiente predvsem analitiˇcne funkcije, pa lahko reˇsujemo s pomoˇcjo potenˇcnih vrst.

Na zaˇcetku je tako navedenih nekaj lastnosti potenˇcnih vrst, ki jih uporabimo kasneje pri reˇsevanju. Glede na vrednost funkcije P(x) loˇcimo dve vrsti toˇck, okoli katerih reˇsujemo diferencialne enaˇcbe, navadne in singularne toˇcke. Primer enaˇcbe s singularnimi toˇckami je Eulerjeva enaˇcba x²y⁰⁰ +αxy⁰ +βy = 0, kjer sta α inβ realni konstanti. Na primeru Eulerjeve enaˇcbe vidmo, da lahko reˇsitev zapiˇsemo v doloˇceni obliki, glede na vrednosti niˇcel karakteristiˇcne enaˇcbe F(r) = r(r−1) +αr+β = 0. Tako loˇcimo primere, ko sta niˇcli realni in razliˇcni, realni in enaki ali pa sta konjugiran kompleksni par. Na koncu si ogledamo ˇse Besslovo enaˇcbo x²y⁰⁰+xy⁰+ (x²−ν²)y= 0, kjer je ν konstanta in njene reˇsitve reda niˇc.

Kljuˇcne besede: homogene linearne diferencialne enaˇcbe drugega reda, potenˇcna vrsta, navadna toˇcka, singularna toˇcka, Eulerjeva enaˇcba, Besslova enaˇcba

(8)

(9)

Abstract

Second-order linear homogeneous differential equations are mathematical equations of form P(x)y⁰⁰+Q(x)y⁰ +R(x)y = 0 where x is an independent variable.

In general, we can solve only equations with constant coefficients, and therefore cannot solve the equations in question. On the other hand, second-order linear homogeneous differential equations with coefficients in form of analytic functions can be solved with power series.

In dissertation we discuss power series characteristics that we use for solving the equations in question. We can find a series solutions around two types of points, ordinary and singular points. Euler’s equation x²y⁰⁰+αxy⁰+βy = 0 is one of the examples where the equation has a singular point and α and β as real constants.

When analysing Euler’s equation we find out that the form of the equations solu- tion depends on zero value of characteristic equationF(r) =r(r−1) +αr+β = 0.

There can be different or equal real zeroes or conjugated complex couple of zeroes.

In the end, we analyse Bessel’s equationx²y⁰⁰+xy⁰+ (x²−ν²)y= 0 where ν is a constant with solutions of zero order.

Key Words: second-order linear homogeneous differential equations, power series, ordinary point, singular point, Euler’s equation, Bessel’s equation

(10)

(11)

Kazalo

1 Uvod 1

1.1 Lastnosti potenˇcnih vrst . . . 2 1.2 Homogene linearne diferencialne enaˇcbe . . . 5

2 Reˇsevanje homogenih enaˇcb 7

2.1 Reˇsevanje homogene enaˇcbe v okolici navadne toˇcke . . . 7 2.2 Reˇsevanje homogene enaˇcbe v okolici singularne toˇcke . . . 10 2.2.1 Eulerjeva enaˇcba . . . 12 2.2.2 Reˇsitev sploˇsne enaˇcbe v okolici regularne singularne toˇcke . 19

3 Besslova enaˇcba in funkcije 23

(12)

(13)

Slike

Slika 1: Interval konvergence . . . 3

Slika 2: Funkcija x^r . . . 14

Slika 3: Funkcija x^rlnx . . . 15

Slika 4: Funkcija x^λcos(µlnx) . . . 17

Slika 5: Besslove funkcije . . . 25

(14)

(15)

Reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda s potenˇcnimi vrstami

1 Uvod

Za zaˇcetek defnirajmo, kaj so diferencialne enaˇcbe, katere vrste diferencialnih enaˇcb loˇcimo ter osnovne pojme, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju.

Diferencialna enaˇcba je enaˇcba, ki vsebuje eno ali veˇc spremenljivk in povezuje vrednosti spremenljivke z njenimi odvodi (prvimi ali viˇsjimi). Glede na ˇstevilo spremenljivk v enaˇcbi loˇcimo navadne in parcialne diferencialne enaˇcbe. V navadnih diferencialnih enaˇcbah nastopa le ena spremenljivka in njeni odvodi, pri parcialnih pa nastopa veˇc spremenljivk ter njihovi odvodi. Glede na potenco spremenljivke oziroma potenco njenega odvoda pa loˇcimo linearne in nelinearne diferencialne enaˇcbe. Diferencialne enaˇcbe so linearne, ˇce je najviˇsja potenca spremenljivke ali odvodov enaka 1. Pri nelinearnih enaˇcbah pa je najviˇsja stopnja spremenljivke ali odvodov veˇcja od 1. Diferencialne enaˇcbe lahko loˇcimo tudi na homogeneinnehomogene. Pri homogenih diferencialnih enaˇcbah vsi ˇcleni vsebujejo spremenljivko ali njen odvod, pri nehomogenih pa nastopajo tudi ˇcleni, ki ne vsebujejo spremenljivke ali njenega odvoda. [1]

Red diferencialne enaˇcbe je najviˇsji odvod neznane funkcije, ki nastopa v enaˇcbi.

Primer enaˇcbe drugega reda je enaˇcba y⁰⁰ +y = 0. Najviˇsji potenci odvoda najviˇsjega reda iskane funkcije, pa reˇcemo stopnja direfencialne enaˇcbe. Primer enaˇcbe druge stopnje pa je y⁰² +y = 0. Nalogam, pri katerih so podani zaˇcetni pogoji, za katere moramo poiskati reˇsitev, reˇcemo zaˇcetne naloge. V primeru, ko je enaˇcba zaˇcetne naloge stopnjen, potrebujemo n zaˇcetnih pogojev. [2]

Poglejmo si primer zaˇcetne naloge, povzet po [2]. Podana je enaˇcba y⁰⁰+y= 0 in zaˇcetna pogojay(^π₂) = 1 ter y(π) = 2.

Reˇsitev take enaˇcbe je oblike y = a₁cosx+a₂sinx. Sedaj pa najprej v reˇsitev vstavimo prvi pogoj, torejx= ^π₂ in y= 1. Tako dobimo

1 = a1cos(π

2) +a2sin(π 2).

Ker je cos(^π₂) = 0 in sin(^π₂) = 1, lahko izraˇcunamo prvo neznanko, torej a₂ = 1.

Na enak naˇcin izraˇcunamo tudi drugo neznanko, le da sedaj vstavimo v enaˇcbo reˇsitve drugi pogoj. Dobimo

2 = a₁cos(π) +a₂sin(π) 2 = a₁cos(π) + sin(π),

1

(16)

kjer smo upoˇstevali, da je a₂ = 1. Kot vemo, je cos(π) = −1 in sin(π) = 0, torej izraˇcunamo ˇse drugo neznanko, ki je a₁ =−2.

Konˇcno reˇsitev lahko zapiˇsemo v obliki

y=−2 cosx+ sinx.

V nadaljevanju diplomske naloge se bomo osredotoˇcili na reˇsevanje navadnih homogenih linearnih diferencialnih enaˇcb, zato si poglejmo v kakˇsni obliki jih zapiˇsemo.

Homogene linearne diferencialne enaˇcbe reda n lahko zapiˇsemo v naslednji obliki:

a_n(x)y⁽ⁿ⁾+a_n−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a₁(x)y⁰+a₀(x)y= 0,

kjer so ai(x) znane funkcije, za katere obiˇcajno predpostavimo vsaj zveznost. [2]

Navadno take enaˇcbe delimo na dva dela, na takˇsne, ki imajo konstantne koeficiente in takˇsne z nekonstantnimi koeficienti. Pri reˇsevanju linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda s konstantnimi koeficienti si pomagamo z razliˇcnimi postopki, ki nas naˇceloma vedno pripeljejo do reˇsitve. Pri reˇsevanju enaˇcb z nekonstantnimi koeficienti pa ne poznamo nobenega enostavnega postopka, ki bi nas pri vsakem primeru pripeljal do konˇcne reˇsitve. V diplomski nalogi se bom osredotoˇcila na reˇsevanje homogenih linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda, ki imajo za koeficiente lepe analitiˇcne funkcije. Pri reˇsevanju takih enaˇcb si bom pomagala s potenˇcnimi vrstami, zato si v nadaljevanju oglejmo nekaj lastnosti.

1.1 Lastnosti potenˇ cnih vrst

Potenˇcne vrste so neskonˇcne vrste, ki jih zapiˇsemo v obliki P∞

n=0a_n(x−x₀)ⁿ, kjer je a_n koeficient n-tega ˇclena,x₀ pa toˇcka okoli katere je vrsta centrirana. V veliko primerih lahko kar predpostavimo, da je toˇcka x₀ enaka 0, kar pomeni, da lahko potenˇcno vrsto zapiˇsemo v obliki P∞

n=0a_nxⁿ.

Za zaˇcetek si poglejmo nekaj lastnosti potenˇcnih vrst.

• Potenˇcna vrstaP∞

n=0a_n(x−x₀)ⁿkonvergirav toˇckix, ˇce limm→∞Pm

n=0a_n(x−

x₀)ⁿ obstaja za x. Vrsta zagotovo konvergira v toˇcki x= x₀; lahko pa konvergira tudi za vsak x ali pa le za nekatere vrednosti x, za ostale pa ne.

2

(17)

• Vrsta P∞

n=0a_n(x−x₀)ⁿ konvergira absolutnov toˇcki x, ˇce tudi vrsta

∞

X

n=0

|a_n(x−x₀)ⁿ|=

∞

X

n=0

|a_n||x−x₀|ⁿ

konvergira. Iz pogoja lahko vidimo, da ˇce vrsta konvergira absolutno, potem tudi konvergira, obrat pa ne velja vedno.

• Konvergenˇcni radij je nenegativno ˇsteviloρ, za katerega vrsta P∞

n=0a_n(x− x₀)ⁿ konvergira absolutno za |x−x₀| < ρ in divergira za |x−x₀| > ρ. Za vrste, ki konvergirajo samo v toˇckix₀, je konvergenˇcni radij enak 0; za vrste, ki konvergirajo za vse x, pa je konvergenˇcni radij neskonˇcen. ˇCe je ρ > 0, reˇcemo intervalu |x−x₀|< ρ interval konvergence(Slika 1). Vrsta pa lahko konvergira ali divergira, ˇce je |x−x₀| =ρ. Konvergenˇcni radij je doloˇcen z L= limn→∞

^aⁿ⁺¹_a

n

, in sicer kotρ= _L¹.

Bolj v sploˇsnem, pa lahko konvergenˇcni radij zapiˇsemo tudi kot

ρ= 1

lim sup_n→∞ pⁿ

|an|, kjer lim sup oznaˇcuje limito supremuma.

Na sliki 1 si lahko pogledamo obmoˇcja, kjer vrsta konvergira oziroma divergira.

Slika 1: Interval konvergence

Primer 1. Dana je potenˇcna vrstaP∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹n(x−2)ⁿ. S pomoˇcjo testa razmerja lahko doloˇcimo, za katere vrednosti vrsta konvergira. Dobimo

n→∞lim

(−1)ⁿ⁺²(n+ 1)(x−2)ⁿ⁺¹ (−1)ⁿ⁺¹n(x−2)ⁿ

=|x−2| lim

n→∞

n+ 1

n =|x−2|.

Po prejˇsnji lastnosti vemo, da vrsta konvergira absolutno za |x −2| < 1 oziroma za 1< x < 3 in divergira za|x−2|>1.

3

(18)

Primer 2. Imejmo Taylorjevo vrsto (1 +x²)⁻¹ centrirano okoli toˇcke x= 0.

Vrsto lahko zapiˇsemo tudi v malce drugaˇcni obliki 1

1 +x² = 1−x²+x⁴−x⁶+· · ·+ (−1)ⁿx²ⁿ+· · ·

Konvergenˇcni radij lahko dolˇcimo tako, da doloˇcimo niˇcle 1 + x². Tako dobimox =±i. V kompleksni ravnini je razdalja od 0 do i ali do −i enaka 1. Torej je konvergenˇcni radij za potenˇcno vrsto v okolici x= 0 enak 1.

Poglejmo si ˇse, kako potenˇcne vrste seˇstevamo in odˇstevamo ter mnoˇzimo.

Naj vrsti f(x) = P∞

n=0a_n(x−x₀)ⁿ in g(x) = P∞

n=0b_n(x−x₀)ⁿ konvergirata za

|x−x₀|< ρ, ρ >0.

• Vrste lahko seˇstevamo ali odˇstevamo po ˇclenih. Vsota oziroma razlika funkcij f(x) in g(x) razvitih v potenˇcno vrsto, je enaka

f(x)±g(x) =

∞

X

n=0

(a_n±b_n)(x−x₀)ⁿ; rezultat vrste pa konvergira najmanj za |x−x₀|< ρ.

• Vrste lahko tudi mnoˇzimo, po sledeˇcem naˇcinu:

f(x)g(x) =

∞

X

n=0

a_n(x−x₀)ⁿ

∞

X

n=0

b_n(x−x₀)ⁿ

=

∞

X

n=0

c_n(x−x₀)ⁿ,

kjer je c_n =a₀b_n+a₁bn−1+· · ·+a_nb₀, rezultat vrste pa ravno tako kot pri seˇstevanju ali odˇstevanju konvergira najmanj za |x−x₀|< ρ.

• Naj bo f(x) = P∞

n=0a_n(x−x₀)ⁿ funkcija, ki konvergira za |x−x₀| < ρ.

Potem je f poljubnokrat odvedljiva. Zato lahko izraˇcunamo odvode f⁰ = P∞

n=0na_n(x−x₀)ⁿ⁻¹, f⁰⁰ = P∞

n=0n(n−1)a_n(x−x₀)ⁿ⁻² in tako naprej in vsaka od teh vrst konvergira absolutno za|x−x₀|< ρ.

• Naj bof poljubnokrat odvedljiva vx0 in naj bo vrstaP∞

n=0an(x−x0)ⁿ, kjer jea_n= ^f⁽ⁿ⁾_n!^(x⁰⁾, centrirana okrogx₀. Dani vrstiP∞

n=0

f⁽ⁿ⁾(x0)

n! (x−x₀)ⁿreˇcemo Taylorjeva vrsta f centrirana okorgx₀. ˇCe je f(x) =P∞

n=0

f⁽ⁿ⁾(x0)

n! (x−x₀)ⁿ v neki okolici toˇcke x₀, reˇcemo, da je f analitiˇcna v x₀. ˇCe je f analitiˇcna v neki toˇcki nekega intervala, sledi, da je analitiˇcna na tem intervalu.

Zgoraj opisane lastnosti potenˇcnih funkcij so povzete po [4]

4

(19)

1.2 Homogene linearne diferencialne enaˇ cbe

Linearne diferencialne enaˇcbe drugega reda zapiˇsemo v obliki

y⁰⁰+p(x)y⁰+q(x)y=f(x), (1) kjer so funkcije p(x),q(x) in f(x) v sploˇsnem zvezne funkcije.

Pri reˇsevanju linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda z zaˇcetno nalogo si lahko pomagamo z naslednjim izrekom.

Izrek 1. (Eksistenˇcni izrek) Naj bodo p(x), q(x) in f(x) zvezne funkcije na odprtem intervalu I. Naj bo x₀ poljubna toˇcka iz I in c₀, c₁ poljubni realni ˇstevili.

Potem obstaja natanko ena reˇsitev y : I → R, y ∈ C², ki reˇsi zaˇcetno nalogo y⁰⁰+p(x)y⁰+q(x)y=f(x), y(x0) =c0, y⁰(x0) =c1.

V nadaljevanju si bomo podrobneje pogledali homogene linearne enaˇcbe drugega reda oblike

P(x)y⁰⁰+Q(x)y⁰+R(x)y= 0. (2) V primeru, ko P(x)6= 0, lahko enaˇcbo (2) preoblikujemo v enaˇcbo oblike (1), kjer upoˇstevamo, da je f(x) = 0. Tako dobimo enaˇcbo oblike y⁰⁰+p(x)y⁰ +q(x)y = 0 in si lahko pri obstoju reˇsitve pomagamo z zgornjim izrekom.

Pri matematiˇcni fiziki pri veliko problemih naletimo na enaˇcbe oblike (2), ki imajo za koeficiente polinome. Primera takih enaˇcb sta Besslova enaˇcba oblike x²y⁰⁰+ xy⁰ + (x² −ν²)y = 0, kjer je ν konstanta in pa Legendrova enaˇcba oblike (1− x²)y⁰⁰−2xy⁰+α(α+ 1)y= 0, kjer je α konstanta.

Mi se bomo v nadaljevanju osredotoˇcili predvsem na primere, kjer so funkcijeP, Q inR polinomi ali bolj sploˇsno, analitiˇcne funkcije.

Naj bo x0 toˇcka, za katero velja P(x0) 6= 0. ˇCe so P, Q in R zvezne funkcije, sta tudi p in q zvezna, kjer je p = ^Q(x)_P_(x) in q = ^R(x)_P_(x). ˇCe so P, Q in R polnomi, sta p in q racionalni funkciji. V primeru, ko so P, Q in R analitiˇcne, sta tudi p in q analitiˇcna. ˇCe je funkcija P konstantna, sledi, da na intervalu v okolici x₀ P(x₀) ni nikoli enak niˇc. Na tem intervalu lahko enaˇcbo (2) delimo s P(x) in dobimo

y⁰⁰+p(x)y⁰ +q(x)y = 0, (3)

5

(20)

kjer sta p(x) = ^Q(x)_P_(x) in q(x) = ^R(x)_P_(x).

Ce paˇ P(x₀) = 0, potem bi z deljenjem lahko pridelali singularnost v pin q.

Definicija 1. Ce sta funkcijiˇ p = ^Q_P in q = ^R_P analitiˇcni v x0, potem je toˇcka x0

navadna toˇckadiferencialne enaˇcbe (2); v nasprotnem primeru je tosingularna toˇcka.

Glavi vir tega poglavja je [4].

6

(21)

2 Reˇ sevanje homogenih enaˇ cb

2.1 Reˇ sevanje homogene enaˇ cbe v okolici navadne toˇ cke

Dana je linearna homogena diferencialna enaˇcba P(x)y⁰⁰+Q(x)y⁰+R(x)y= 0. x₀ je navadna toˇcka v primeru, koP(x₀)6= 0, torej lahko enaˇcbo delimo sP(x₀). Tako dobimo enaˇcbo oblike (3). Pri reˇsevanju takˇsne homogene linearne diferencialne enaˇcbe drugega reda, iˇsˇcemo reˇsitev v obliki

y =a₀+a₁(x−x₀) +· · ·+a_n(x−x₀)ⁿ+· · ·=

∞

X

n=0

a_n(x−x₀)ⁿ (4) in predvidevamo, da vrsta konvergira na intervalu |x−x₀|< ρ za nek ρ >0.

Najlaˇzji naˇcin za doloˇcitev koeficienta a_n je ta, da napiˇsemo reˇsitev v obliki vrste (4), izraˇcunamo njene odvode y⁰ in y⁰⁰ ter jih vstavimo v enaˇcbo (2).

Poglejmo si reˇsevanje homogene enaˇcbe v okolici navadne toˇcke na primeru.

Primer 3. Poiˇsˇcimo reˇsitev enaˇcbe

y⁰⁰+y = 0, −∞< x <∞. (5) Iz dane enaˇcbe lahko razberemo P(x) = 1, Q(x) = 0 inR(x) = 1, kar pomeni, da je vsaka toˇcka navadna. Iskali bomo reˇsitev enaˇcbe v obliki vrste v okolici toˇcke x0 = 0,

y=

∞

X

n=0

a_nxⁿ (6)

in predvidevamo, da vrsta konvergira na intervalu |x|< ρ.

Vrsto (6) odvajamo

y⁰ =

∞

X

n=1

na_nxⁿ⁻¹,

y⁰⁰=

∞

X

n=2

n(n−1)a_nxⁿ⁻². (7)

Dobljeni vrsti (6) in (7) vstavimo v enaˇcbo (5) in dobimo

∞

X

n=2

n(n−1)a_nxⁿ⁻²+

∞

X

n=0

a_nxⁿ = 0.

7

(22)

Reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda s potenˇcnimi vrstami Ce ˇˇ zelimo dve vrsti seˇsteti, morata obe zaˇceti z enakim n, zato enaˇcbo nekoliko preuredimo

∞

X

n=0

(n+ 2)(n+ 1)a_n+2xⁿ+

∞

X

n=0

a_nxⁿ =

∞

X

n=0

h

(n+ 2)(n+ 1)a_n+2+a_ni

xⁿ= 0.

Da bo enaˇcba zadoˇsˇcala vsem x, morajo biti koeficienti pred vsakim x enaki niˇc.

To lahko zapiˇsemo kot

(n+ 2)(n+ 1)a_n+2+a_n= 0, n = 0,1,2... (8) Zaporedne koeficiente lahko zapiˇsemo posamezno enega po enega, tako da vstavimo n= 0,1,2...V naˇsem primeru pa lahko loˇcimo sode in lihe koeficiente. V sploˇsnem lahko iz enaˇcbe (8) zapiˇsemo a_n+2 = _(n+2)(n+1)^aⁿ . Za sode koeficiente tako dobimo

a2 =−a₀

2!, a4 =− a₂

(4·3) = a₀ 4!, ...

V sploˇsnem lahko za sode koeficiente zapiˇsemo a_2k = (−1)^k

(2k)!a₀, k= 1,2,3...

Na enak naˇcin lahko zapiˇsemo tudi lihe koeficiente a₃ =− a₁

(2·3) =−a₁

3!, a₅ =− a₃

(5·4) = a₁ 5!, ...

in v sploˇsnem

a_2k+1 = (−1)^k

(2k+ 1)!a₁, k = 1,2,3...

Ce razpiˇsemo ˇˇ clene in jih seˇstejemo v enaˇcbi (6) dobimo y = a₀

1− x²

2! +x⁴

4! +· · ·+(−1)ⁿ

(2n)!x²ⁿ+· · ·

+ + a₁

x− x³

3! +x⁵

5! +· · ·+ (−1)ⁿ

(2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹+· · ·

oziroma

y=a₀

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n)!x²ⁿ+a₁

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹ (9)

Iz reˇsitve (9) lahko opazimo, da prva vrsta ustreza ravno Taylorjevi vrsti za cosx v okolicix= 0, druga vrsta pa Taylorjevi vrsti za sinxv okolicix= 0. Tako lahko sploˇsno reˇsitev zapiˇsemo tudi v obliki y=a₀cosx+a₁sinx.

8

(23)

Zgornji postopek lahko izpeljemo tudi bolj v sploˇsnem. Naj bo P(x)y⁰⁰+Q(x)y⁰+R(x)y= 0

linearna homogena diferencialna enaˇcba, kjer so P, Q in R analitiˇcne funkcije in P(x₀)6= 0.

Predpostavimo, da je reˇsitev enaˇcbe (2) oblike y=φ(x) =

∞

X

n=0

a_n(x−x₀)ⁿ. (10)

Ko enaˇcbo (10)m-krat odvajamo inx enaˇcimo z x₀ dobimoφ^(m)(x₀) = m!a_m. Za izraˇcun ˇclenov a_n v vrsti (10) moramo pokazati, da lahko doloˇcimoφ⁽ⁿ⁾(x₀) za n= 0,1,2... s pomoˇcjo diferencialne enaˇcbe (2).

Predpostavimo, da je y = φ(x) reˇsitev enaˇcbe (2), ki ustreza zaˇcetnim pogojem y(x₀) = y₀ in y⁰(x₀) =y₀⁰, torej je a₀ =y₀ ina₁ =y⁰₀. Tako dobimo

P(x)φ⁰⁰(x) +Q(x)φ⁰(x) +R(x)φ(x) = 0.

Za vsak interval v okolici x₀, kjer P(x)6= 0, lahko enaˇcbo zapiˇsemo v obliki φ⁰⁰(x) =−p(x)φ⁰(x)−q(x)φ(x), (11) kjer je p(x) = ^Q(x)_P_(x) in q(x) = _P^R(x)_(x), ter sta p in q analitiˇcni v x₀. ˇCe enaˇcimo x z x₀, lahko enaˇcbo (11) zapiˇsemo kot

φ⁰⁰(x₀) = −p(x₀)φ⁰(x₀)−q(x₀)φ(x₀).

Clenˇ a₂ je podan z

2!a₂ =φ⁰⁰(x₀) = −p(x₀)φ⁰(x₀)−q(x₀)φ(x₀). (12) Za doloˇcitev ˇclena a₃ moramo odvajati enaˇcbo (11) in x enaˇciti z x₀. Dobimo

3!a₃ =φ⁰⁰⁰(x₀) = −[pφ⁰⁰+ (p⁰+q)φ⁰+q⁰φ]

_x=x

0

=−2!p(x₀)a₂−[p⁰(x₀) +q(x₀)]a₁−q⁰(x₀)a₀.

Ce v ta ˇˇ clen vstavimo a₂ iz enaˇcbe (12), vidimo, da lahko tudi a₃ izrazimo za₀ in a₁.

9

(24)

Ker soP,QinR analitiˇcne inP(x₀)6= 0, stapinqvx₀ neskonˇcnokrat odvedljiva.

Na enak naˇcin lahko izraˇcunamo tudi preostale ˇclene a₄, a₅..., kjer ravno tako enaˇcimo x=x0.

Zelo pomembna lastnost pri doloˇcanju ˇclenov a_n je ta, da lahko izraˇcunamo ne- skonˇcno mnogo odvodov p in q in da sta ti dve funkciji analitiˇcni v toˇcki x₀. To pomeni, da sta funkciji Taylorjevi vrsti, ki konvergirata na intervalu v okolici toˇcke x₀ in ju zapiˇsemo v obliki:

p(x) =p0+p1(x−x0) +· · ·+p0(x−x0)ⁿ+· · ·=

∞

X

n=0

pn(x−x0)ⁿ, q(x) =q₀+q₁(x−x₀) +· · ·+q₀(x−x₀)ⁿ+· · ·=

∞

X

n=0

q_n(x−x₀)ⁿ.

Povzemimo zgoraj napisano v naslednjem izreku.

Izrek 2. Ce jeˇ x₀ navadna toˇcka diferencialne enaˇcbe

P(x)y⁰⁰+Q(x)y⁰+R(x)y= 0,

in sta funkciji p= ^Q_P inq= ^R_P analitiˇcni vx₀, potem je sploˇsna reˇsitev dane enaˇcbe y=

∞

X

n=0

an(x−x0)ⁿ=a0y1(x) +a1y2(x),

kjer sta a0 in a1 doloˇceni tery1 in y2 linearno neodvisni reˇsitvi v obliki vrste, ki sta analitiˇcni v x₀. Konvergenˇcni radij za vsako reˇsitev y₁ in y₂ je najmanj tolikˇsen, kot je minimalni konvergenˇcni radij vrst za p in q.

Osnovni vir poglavja je [4].

2.2 Reˇ sevanje homogene enaˇ cbe v okolici singularne toˇ cke

Dana je enaˇcba P(x)y⁰⁰+Q(x)y⁰ +R(x)y = 0. Singularna toˇcka x₀ dane enaˇcbe je toˇcka, za katero veljaP(x₀) = 0.

Poglejmo si Besslovo enaˇcbo x²y⁰⁰+xy⁰+ (x²−ν²)y= 0. Iz enaˇcbe razberemo, da je P(x) = x². Ker je P(x) = x² = 0, je toˇcka x = 0 singularna toˇcka, vse ostale toˇcke pa so navadne.

10

(25)

Reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb drugega reda s potenˇcnimi vrstami Ce ˇˇ zelimo homogene enaˇcbe v okolici singularne toˇcke reˇsevati na enak naˇcin kot v okolici navadne toˇcke, naletimo na teˇzavo. Teˇzava se pojavi, saj reˇsitev enaˇcbe (2) ni nujno analitiˇcna v okolicix0 in poslediˇcno je ne moremo predstaviti kot Taylor- jevo vrsto. Zato moramo razˇsiriti metodo, ki smo jo uporabili za reˇsevanje enaˇcb v okolici navadne toˇcke, tako da bo delovala tudi pri reˇsevanju enaˇcb v okolici singularne toˇcke. ˇCe ˇzelimo to narediti na enostaven naˇcin, se moramo omejiti na primere, pri katerih singularnost funkcij ^Q_P in ^R_P ni povsem sploˇsna.

Singularna toˇcka x₀ je regularna singularna toˇcka, ˇce sta obe funkciji (x−x0)Q(x)

P(x) in (x−x0)²R(x)

P(x) (13)

analitiˇcni v okolici x₀ (oziroma imata odpravljivo singularnost).

Vsaki singularni toˇcki, ki ni regularna singularna, reˇcemo neregularna singularna toˇcka.

Na primeru si poglejmo, kako doloˇcimo, ali je singularna toˇcka regularna ali neregularna.

Primer 4. Doloˇcimo singularne toˇcke diferencialne enaˇcbe 2x(x−2)²y⁰⁰+ 3xy⁰+ (x−2)y = 0 in za vsako toˇcko doloˇcimo, ali je regularna ali neregularna.

Enaˇcbo najprej delimo z 2x(x−2)², in dobimo y⁰⁰+ 3

2(x−2)²y⁰+ 1

2x(x−2)y = 0,

kjer sta p(x) = _2(x−2)³ 2 in q(x) = _2x(x−2)¹ . Za singularni toˇcki mora veljatiP(x) = 2x(x−2)² = 0, torej sta to toˇcki x= 0 in x= 2.

Poglejmo si najprej toˇcko x= 0. Izraˇcunamo naslednji limiti

x→0limxp(x) = lim

x→0x 3

2(x−2)² = 0

x→0limx²q(x) = x² 1

2x(x−2) = 0.

Ti dve limiti sta konˇcni in toˇckax= 0 je regularna singularna toˇcka. Poglejmo si ˇse toˇcko x= 2. Ker limita

x→2lim(x−2)p(x) = lim

x→2(x−2) 3

2(x−2)² = lim

x→2

3 2(x−2) ne obstaja, je toˇcka x= 2 neregularna singularna toˇcka.

11

(26)

2.2.1 Eulerjeva enaˇcba

Preprosta diferencialna enaˇcba, ki ima regularne singularne toˇcke, je Eulerjeva enaˇcba

L[y] =x²y⁰⁰+αxy⁰+βy = 0, (14) kjer sta α inβ realna koeficienta.

Toˇcka x= 0 je regularna singularna toˇcka, saj je

x→0limxp(x) = lim

x→0xα

x =α, lim

x→0x²q(x) = x² β x² =β, kjer sta p(x) = ^α_x in q(x) = _x^β2.

Reˇsitev Eulerjeve enaˇcbe je tipiˇcna reˇsitev diferencialnih enaˇcb z regularnimi singularnimi toˇckami, zato si jo bomo podrobneje pogledali.

Na vsakem intervalu, ki ne vsebuje izhodiˇsˇca, ima enaˇcba (14) reˇsitev v obliki y = c1y1(x) +c2y2(x), kjer sta y1 in y2 linearno neodvisni funkciji. Zaradi laˇzje izpeljave in raˇcunanja bomo reˇsitve najprej obravnavali na intervalux >0, kasneje pa ga bomo razˇsirili tudi na intervalx <0.

Predvidevamo, da ima enaˇcba (14) reˇsitev v obliki y = x^r, kjer je x^r = e^r^lnx, zato najprej izraˇcunamo ˇse njena odvoda y⁰ = rx^r−1 in y⁰⁰ = r(r−1)x^r−2. Dano funkcijo in njena odvoda vstavimo v prvotno enaˇcbo in dobimo

L[x^r] =x²r(r−1)x^r−2+αxrx^r−1+βx^r

L[x^r] =x^r[r(r−1) +αr+β]. (15) Ceˇ x^r 6= 0, potem mora veljati F(r) = r(r−1) +αr +β = 0. ˇCe je r reˇsitev kvadratne enaˇcbe F(r), potem je L[x^r] enak niˇc in y= x^r je reˇsitev enaˇcbe (14).

Reˇsitvi kvadratne enaˇcbeF(r) sta

r₁, r₂ = −(α−1)± q

(α−1)²−4β 2

in veljaF(r) = (r−r₁)(r−r₂). Pri linearnih enaˇcbah drugega reda s konstantnimi koeficienti moramo loˇceno obravnavati primere, ko so niˇcle realne in razliˇcne, realne in enake ali konjugiran kompleksni par.

12

(27)

• Realne in razliˇcne niˇcle

Ce imaˇ F(r) = 0 dve realni niˇcli r₁ in r₂, ki sta razliˇcni, potem sta reˇsitvi enaˇcbe (14) funkciji y1(x) =x^r¹ iny2(x) =x^r². Da se prepriˇcamo, da sta to res linearno neodvisni reˇsitvi enaˇcbe, izraˇcunamo determinanto Wronskega.

V primeru, da je determinanta Wronskega enaka 0, sta funkciji odvisni, v naprotnem primeru pa neodvisni. Izraˇcunajmo determinanto za naˇs primer, kjer je r₁ 6=r₂ inx >0

W(x^r¹, x^r²) = x^r¹ ·(x^r²)⁰−x^r² ·(x^r¹)⁰ =

= x^r¹r2x^r²⁻¹−x^r²r1x^r¹⁻¹ =

= (r₂−r₁)x^r¹^+r²⁻¹.

Reˇsitvi y₁ iny₂ sta torej res neodvisni in sploˇsna reˇsitev enaˇcbe (14) je y=c1x^r¹ +c2x^r², x >0. (16) V primeru, ko r ni racionalno ˇstevilo, potem jex^r definiran kotx^r =e^r^ln^x. ˇSe na sliki si poglejmo, kako se obnaˇsajo razliˇcne reˇsitve enaˇcbe (14) v okolici singularne toˇcke x = 0. ˇCe je r realno in pozitivno ˇstevilo, potem x^r → 0, ko x →0, kjer je x > 0. ˇCe pa je r realno in negativno ˇstevilo, postane x^r neomejeno, ko x → 0 za x > 0. V primeru, da je r = 0, pa je x^r = 1. Na sliki 2 je prikazanih nekaj moˇznosti za razliˇcne vrednosti r.

Primer 5. Zapiˇsimo sploˇsno reˇsitev enaˇcbe 2x²y⁰⁰+ 3xy⁰−15y= 0, x >0.

Najprej naredimo zamenjavo spremenljivk y = x^r, izraˇcunamo odvode in vstavimo v enaˇcbo. Dobimo

2r(r−1)x^r+ 3rx^r−15x^r = [2r(r−1) + 3r−15]x^r= 0.

Izraˇcunamo ˇse F(r) = 0 ter doloˇcimo niˇclir1 in r2:

F(r) = 2r(r−1) + 3r−15 = (2r−5)(r+ 3) = 0 ⇒ r₁ = 5

2, r₂ =−3.

Sedaj lahko zapiˇsemo ˇse sploˇsno reˇsitev dane enaˇcbe:

y=c₁x⁵² +c₂x⁻³, x >0.

13

(28)

Slika 2: Obnaˇsanje funkcije x^r v okolici x= 0 za razliˇcne vrednosti r.

• Dvojna realna niˇcla

Ce sta niˇˇ clir₁ inr₂ enaki, potem predvidevamo, da dobimo samo eno reˇsitev oblike y₁(x) = x^r¹. Da dobimo ˇse drugo reˇsitev, si pomagamo z zniˇzanjem reda enaˇcbe. Ker velja r1 = r2, sledi, da je F(r1) = 0 ter tudi F⁰(r1) = 0.

Ta pogoj nam sugestira, da enaˇcbo (15) odvajamo po r in nator enaˇcimo z r₁. Z odvajanjem enaˇcbe po r dobimo

∂

∂rL[x^r] = ∂

∂r[x^rF(r)], z upoˇstevanjem _∂r^∂x^r =x^rlnx, dobimo

L[x^rlnx] = (r−r1)²x^rlnx+ 2(r−r1)x^r = (17)

= [(r−r₁)²lnx+ 2(r−r₁)]x^r. (18) Ce veljaˇ r=r₁, je desna stran enaˇcbe (18) enaka 0. To pomeni, da je

y₂(x) =x^r¹lnx, x >0

druga reˇsitev enaˇcbe (14). Neodvisnost reˇsitev lahko ponovno preverimo z determinanto Wronskega, W(x^r¹, x^r¹lnx) = x^2r¹⁻¹. Torej sta reˇsitvi res 14

(29)

neodvisni zax >0 in sploˇsno reˇsitev lahko zapiˇsemo v obliki

y= (c1+c2lnx)x^r¹, x >0. (19) Kako se funkcija x^r obnaˇsa v okolici toˇcke x = 0, smo videli v prejˇsnjem primeru, sedaj pa si na sliki poglejmo ˇse, kako se obnaˇsa funkcija x^rlnx v okolici toˇcke x= 0. V primeru, ko je r pozitivno ˇstevilo, potem x^rlnx→0, ˇcex→0. V primeru, ko pa jer≤0, postane funkcija x^rlnx v okolici x= 0 neomejena. Slika 3 prikazuje dva primera za razliˇcne vrednosti r.

Slika 3: Obnaˇsanje funkcijex^rlnx v okolicix= 0 za razliˇcne vrednosti r.

Primer 6. Zapiˇsimo sploˇsno reˇsitev enaˇcbe x²y⁰⁰−7xy⁰+ 16y= 0, x >0.

Izraˇcunati moramo niˇcle kvadratne funkcije F(r) = 0. Dobimo r(r−1)−7r+ 16 =r²−8r+ 16 = (r−4)² = 0 ⇒ r₁ = 4.

Zapiˇsimo ˇse sploˇsno reˇsitev dane enaˇcbe

y= (c₁+c₂lnx)x⁴, x >0.

15

(30)

• Konjugiran kompleksni par niˇcel

Naj bosta r₁ in r₂ konjugirani kompleksni niˇcli, kjer je r₁ = λ+iµin r₂ = λ −iµ ter µ 6= 0. Za zaˇcetek moramo definirati, kaj pomeni x^r, ˇce je r kompleksna niˇcla. V prejˇsnjih primerih, ko je bil r realno ˇstevilo in x > 0, je veljalo x^r = e^r^ln^x. To bomo uporabili tudi pri definiranju x^r v primeru, ko jer kompleksno ˇstevilo. Tako dobimo

x^λ+iµ =e^{(λ+iµ) lnx} =e^λ^lnxe^iµ^ln^x =x^λe^iµ^ln^x.

Spomnimo se, da velja e^iµ^ln^x = cos(µlnx) +isin(µlnx), kar uporabimo pri definiranju x^λ+iµ. Tako dobimo

x^λ+iµ =x^λ[cos(µlnx) +isin(µlnx)], x >0. (20) S takˇsno definicijo x^r sta y1(x) = x^r¹ in y2(x) = x^r² reˇsitvi enaˇcbe (14).

Sploˇsno reˇsitev pa lahko zapiˇsemo v obliki

y=c₁x^λ+iµ+c₂x^λ−iµ. (21) Slabost sploˇsne reˇsitve (21) je ta, da imata funkcijix^λ+iµinx^λ−iµkompleksno vrednost. Zato raje zapiˇsemo realen in imaginaren del x^λ+iµ kot

x^λcos(µlnx) in x^λsin(µlnx),

ki sta tudi reˇsitvi enaˇcbe (14). Tako kot prej lahko preverimo neodvisnost teh dveh funkcij s pomoˇcjo determinante Wronskega. Dobimo

W(x^λcos(µlnx), x^λsin(µlnx)) =µx^2λ−1,

torej sta funkciji res neodvisni za x > 0 in lahko zapiˇsemo sploˇsno reˇsitev enaˇcbe (14) v obliki

y=c₁x^λcos(µlnx) +c₂x^λsin(µlnx), x >0. (22) Najveˇckrat kot sploˇsno reˇsitev pri kompleksnih niˇclah zapiˇsemo funkcijo x^λcos(µlnx). Poglejmo si, kako se ta funkcija obnaˇsa v okolici toˇcke x= 0.

Ce jeˇ λ pozitivno ˇstevilo, se funkcija pribliˇzuje 0 in vedno bolj oscilira, ko x→0. ˇCe pa je λnegativno ˇstevilo, pa funkcija postaja neomejena v okolici x = 0 in prav tako vedno bolj oscilira. Primer za izbrani ˇstevili λ in µ si poglejmo na spodnjih dveh slikah.

16

(31)

Slika 4: Obnaˇsanje funkcije x^λcos(µlnx) v okolici x= 0 za pozitivno (leva slika) in negativno (desna slika) vrednosti λ.

Primer 7. Zapiˇsimo sploˇsno reˇsitev enaˇcbe x²y⁰⁰+ 3xy⁰+ 5y= 0, x > 0.

Naredimo zamenjavo y=x^r in izraˇcunamo niˇcle funkcijeF(r) = 0. Dobimo r(r−1) + 3r+ 5 =r²+ 2r+ 5 = 0 ⇒ r₁ =−1 + 2i, r₂ =−1−2i.

Sploˇsno reˇsitev dane enaˇcbe zapiˇsemo v obliki

y=c₁x⁻¹cos(2 lnx) +c₂x⁻¹sin(2 lnx), x >0.

Sedaj lahko iskanje reˇsitev enaˇcbe (14) razˇsirimo ˇse na interval x < 0. Teˇzava se pojavi pri razumevanju pomena funkcije x^r, ko je x negativno ˇstevilo in r ni celo ˇstevilo. Reˇsitev bi lahko podali na enak naˇcin kot na intervalu x >0, ampak bi bile v tem primeru vrednosti reˇsitve kompleksne. ˇCe pa ˇzelimo dobiti realne vrednosti reˇsitve Eulerjeve enaˇcbe na intervalu x < 0, moramo spremenljivko x zapisati nekoliko drugaˇce. Naj bo x = −η, kjer je η > 0, in naj bo y = u(η).

Potem imamo dy dx = du

dη dη

dx =−du

dη, d²y dx² = d

dη

−du dη

dη

dx = d²u dη².

Z upoˇstevanjem nove spremenjivke lahko Eulerjevo enaˇcbo za x < 0 zapiˇsemo v 17

(32)

naslednji obliki

η²d²u

dη² +αηdu

dη +βu= 0, η >0.

To pa je ravno enako problemu, ki smo ga reˇsili na intervalux >0. Iz enaˇcb (16), (19) in (22) lahko zapiˇsemo reˇsitev

u(η) =











c₁η^r¹ +c₂η^r² (c1+c2lnη)η^r

c₁η^λcos(µlnη) +c₂η^λsin(µlnη),

(23)

v odvisnosti od niˇcel funkcije F(r) = r(r−1) +αr+β. In kot ˇze vemo, so niˇcle lahko realne in razliˇcne, realne in enake ali konjugiran kompleksni par. Da obstaja u v odvisnosti od x, v zgornjih treh enaˇcbah spremenljivko η zamenjamo z −x.

Reˇsitve iz obeh intervalov pa lahko zapiˇsemo tudi skupaj, tako da uporabimo absolutno vrednost x, saj velja |x| = x za x > 0 in |x| = −x za x < 0. Reˇsitev dobimo tako, da v enaˇcbah (16), (19) in (22) xzamenjamo z |x|.

Zdruˇzene rezultate lahko zapiˇsemo v naslednjem izreku.

Izrek 3. Sploˇsna reˇsitev Eulerjeve enaˇcbe

x²y⁰⁰+αxy⁰ +βy = 0

na vsakem intervalu, ki ne vsebuje izhodiˇsˇca, je doloˇcena z niˇclama r₁ in r₂ kvadratne enaˇcbe F(r) =r(r−1) +αr+β= 0.

Ce sta niˇˇ cli realni in razliˇcni, je reˇsitev

y=c₁|x|^r¹ +c₂|x|^r². Ce sta niˇˇ cli realni in enaki, je reˇsitev

y= (c₁+c₂ln|x|)|x|^r. Ce pa sta niˇˇ cli konjugiran kompleksi par, je reˇsitev

y=|x|^λ[c₁cos(µln|x|) +c₂sin(µln|x|)], kjer sta r₁, r₂ =λ±iµ.

18

(33)

Pri reˇsevanju bolj sploˇsne oblike Eulerjeve enaˇcbe (x−x0)²y⁰⁰+α(x−x0)y⁰+βy = 0

postopamo na enak naˇcin, kot je opisan zgoraj. V tem primeru, ko iˇsˇcemo reˇsitev v oblikiy= (x−x₀)^r, lahko v enaˇcbah iz zgornjega izreka xzamnenjamo zx−x₀. Drugi naˇcin reˇsevanja take enaˇcbe pa je z uvedbo nove spremenljivket =x−x₀. Glavna vira pogavja sta [4] in [5].

2.2.2 Reˇsitev sploˇsne enaˇcbe v okolici regularne singularne toˇcke

Poglejmo si ˇse, kako poiˇsˇcemo reˇsitev enaˇcbe

L[y] =x²y⁰⁰+x[xp(x)]y⁰+ [x²q(x)]y = 0, (24) kjer je

xp(x) =

∞

X

n=0

p_nxⁿ, x²p(x) =

∞

X

n=0

q_nxⁿ,

ter obe vrsti konvergirata na intervalu |x| < ρ za nek ρ > 0. Reˇsitve enaˇcbe (24) zax >0 iˇsˇcemo v obliki

y=φ(r, x) =x^r

∞

X

n=0

a_nxⁿ=

∞

X

n=0

a_nx^r+n, (25)

kjer je a₀ 6= 0 in je y = φ(r, x) odvisen tako od r kot od x. Zapiˇsemo ˇse odvoda y⁰ =P∞

n=0(r+n)anx^r+n−1 iny⁰⁰ =P∞

n=0(r+n)(r+n−1)anx^r+n−2 ter ju vnesemo v enaˇcbo (24). Dobimo

∞

X

n=0

(r+n)(r+n−1)a_nx^r+n +

∞

X

n=0

p_nxⁿ·

∞

X

n=0

(r+n)a_nx^r+n+ +

∞

X

n=0

q_nxⁿ·

∞

X

n=0

a_nx^r+n = 0.

Ce vrste razpiˇsemo in ˇˇ clene uredimo, dobimo a₀F(r)x^r +

a₁F(r+ 1) +a₀(p₁r+q₁)

x^r+1+ + h

a₂F(r+ 2) +a₀(p₂r+q₂) +a₁[p₁(r+ 1) +q₁]i

x^r+2+· · ·+ + h

a_nF(r+n) +a₀(p_nr+q_n) +a₁[pn−1(r+ 1) +qn−1] +· · ·+ + a_n−1[p₁(r+n−1) +q₁]i

x^r+n+· · ·= 0,

19

(34)

kjer je F(r) = r(r−1)p₀r+q₀. Zgornjo enaˇcbo lahko zapiˇsemo tudi v nekoliko kompaktnejˇsi in lepˇsi obliki

L[φ](x, r) =a₀F(r)x^r+

∞

X

n=1

h

F(r+n)a_n+

n−1

X

k=0

a_k[(r+k)pn−k+qn−k]i

x^r+n, (26) kjera₀ 6= 0. Pri iskanju reˇsitve moramo najti niˇcle karakteristiˇcne enaˇcbeF(r) = 0.

Niˇcli enaˇcbe oznaˇcimo zr₁ inr₂, kjer veljar₁ > r₂, ˇce sta realni ˇstevili. Pri iskanju reˇsitve moramo tudi koeficiente pred x^r+n enaˇciti z 0, dobimo

F(r+n)a_n+

n−1

X

k=0

a_k[(r+k)p_n−k+q_n−k] = 0, n≥1. (27) Edini moˇznosti zar, za katere velja F(r) = 0, star =r₁ in r=r₂. ˇCe je r₁ > r₂ sledi, da r₁+n ni enako r₁ ali r₂ za n ≥ 1. Torej velja F(r₁ +n) 6= 0 za n ≥ 1.

Sedaj lahko zapiˇsemo prvo reˇsitev enaˇcbe (24) v obliki y₁(x) = x^r¹

"

1 +

∞

X

n=1

a_n(r₁)xⁿ

#

, x >0, (28)

kjer smo upoˇstevali a₀ = 1.

Pri iskanju druge reˇsitve loˇcimo tri moˇznosti:

• r₂ 6=r₁, r₁−r₂ 6=n

Ker r₁ − r₂ 6= n, sledi, da r₂ +n ni enako r₁ za vsak n ≥ 1, torej velja F(r₂ +n)6= 0. Drugo reˇsitev enaˇcbe (24) lahko zapiˇsemo v obliki

y₂(x) = x^r²

"

1 +

∞

X

n=1

a_n(r₂)xⁿ

#

, x >0. (29)

• r₂ =r₁

V tem primeru iˇsˇcemo reˇsitev na enak naˇcin kot v prejˇsnjem poglavju, ko smo imeli primer dvojne realne niˇcle. Enaˇcbo (26) lahko sedaj zapiˇsemo v obliki

L[φ](r, x) =a₀F(r)x^r=a₀(r−r₁)²x^r,

kjer je r₁ dvojna niˇcla karakteristiˇcne enaˇcbe. Kot ˇze od prej vemo, je tudi v tem primeru

L h∂φ

∂r i

(r1, x) = a0[(r−r1)²x^rlnx+ 2(r−r1)x^r] r=r1

= 0.

20

(35)

Pri iskanju druge reˇsitve torej odvajamo φ(r, x) po r, kjer upoˇstevmo ˇse r=r₁. Dobimo

y₂(x) = ∂

∂rφ(r, x) r=r1

= ∂

∂r

"

x^rh a₀+

∞

X

n=1

a_n(r)xⁿi

# r=r1

= (x^r¹lnx)h a₀+

∞

X

n=1

a_n(r₁)xⁿi +x^r¹

∞

X

n=1

a⁰_n(r₁)xⁿ

= y1(x) lnx+x^r¹

∞

X

n=1

a⁰_n(r1)xⁿ, x >0, kjer je a⁰_n(r₁) = ^da_drⁿ pri r=r₁. Drugo reˇsitev zapiˇsemo v obliki

y2(x) =y1(x) lnx+x^r¹

∞

X

n=1

bn(r1)xⁿ, x >0. (30)

• r₁−r₂ =n

Izpeljava druge reˇsitve v primeru, ko jer₁−r₂ =n, je nekoliko zahtevnejˇsa, zato je ne bomo podali. Zapisali bomo samo konˇcno reˇsitev:

y₂(x) = y₁(x) lnx+x^r²

1 +

∞

X

n=1

c_n(r₂)xⁿ

. (31)

Koeficient c_n v enaˇcbi (31) je definiran kot c_n(r₂) = d

dr[(r−r₂)a_n(r)]

r=r2

, n = 1,2,3..., kjer je a_n(r) doloˇcena iz rekurzivne zveze (27) z a₀ = 1.

Koeficient a pa je doloˇcen z a= lim

r→r₂(r−r₂)a_N(r).

Zgornje ugotovitve lahko zdruˇzimo s spodnjem izreku.

Izrek 4. Obravnavajmo diferencialno enaˇcbo

x²y⁰⁰+x[xp(x)]y⁰ + [x²q(x)]y= 0,

kjer je x= 0 regularna singularna toˇcka. Funkciji xp(x)in x²q(x) sta analitiˇcni v toˇcki x= 0 in ju lahko zapiˇsemo s konvergenˇcno potenˇcno vrsto

xp(x) =

∞

X

n=0

p_nxⁿ, x²q(x) =

∞

X

n=0

q_nxⁿ

21

(36)

za |x|< ρ, kjer je ρ >0 manjˇsi od konvergenˇcnih radijev funkcij xp(x) in x²q(x).

Naj bosta r₁ in r₂ niˇcli karakteristiˇcne enaˇcbe

F(r) = r(r−1) +p₀r+q₀ = 0,

kjer velja r1 ≥ r2, ˇce sta r1 in r2 realni ˇstevili. Potem na vsakem intervalu −ρ <

x <0 ali 0< x < ρ obstaja reˇsitev oblike y₁(x) = |x|^r¹

"

1 +

∞

X

n=1

a_n(r₁)xⁿ

#

, (32)

kjer je a_n podan z rekurzivno formulo (27), kjer je a₀ = 1 in r =r₁.

Ceˇ r1 −r2 ni enako niˇc ali ni pozitivno celo ˇstevilo, potem na vsakem intervalu

−ρ < x <0 ali 0< x < ρ obstaja druga linearno neodvisna reˇsitev oblike y₂(x) = |x|^r²

"

1 +

∞

X

n=1

a_n(r₂)xⁿ

#

. (33)

Ceˇ r1 =r2, potem je druga linearno neodvisna reˇsitev oblike y₂(x) =y₁(x) ln|x|+|x|^r¹

∞

X

n=1

b_nxⁿ. (34)

V primeru, ko pa je r₁ −r₂ pozitivno celo ˇstevilo, je druga linearno neodvisna reˇsitev oblike

y₂(x) = y₁(x) ln|x|+|x|^r²

1 +

∞

X

n=1

c_n(r₂)xⁿ

. (35)

Poglavje je povzeto po virih [4] in [6].

22

(37)

3 Besslova enaˇ cba in funkcije

Besslove funkcije so poimenovane po nemˇskem astronomu in matematiku Frie- drichu W. Besslu, ˇceprav je bil Daniel Bernoulli tisti, ki je prvi vpeljal koncept Besslovih funkcij leta 1732. Besslove funkcije celoˇstevilskega reda je kasneje pri svojem delu uporabil tudi Euler, in sicer pri analizi vibracij elastiˇcne membrane.

Bessel pa teh funkcij ni vkljuˇceval v svoja dela do leta 1817.

Besslove funkcije so rezultat Besslove ˇstudije problema o Keplerjevem doloˇcanju gibanja treh teles, ki se gibajo pod vplivom gravitacije. Kasneje je Besslove funkcije vkljuˇcil v ˇstudijo o planetarnih motnjah, kjer so se Besslove funkcije pokazale kot koeficienti v vrsti ˇsirjenja posrednje motnje planeta.

Teorijo Besslovih funkcij se pogosto uporablja pri reˇsevanju problemov pri hid- rodinamiki, akustiki, radijski in nuklearni fiziki ter tudi pri valovni mehaniki in elastiˇcni teoriji. [7]

Kot smo ˇze enkrat zapisali, so Besslove enaˇcbe oblike

x²y⁰⁰+xy⁰+ (x²−ν²)y = 0, (36) kjer je ν konstanta. Toˇcka x = 0 je regularna singularna toˇcka, x = ∞ pa je neregularna singularna toˇcka, kar lahko brez teˇzav preverimo.

Reˇsitve Besslove enaˇcbe so cilindrske funkcije, ki so poleg spremenljivkexodvisne tudi od indeksa ν. Kot v prejˇsnjem poglavju bomo reˇsitev Besslove enaˇcbe iskali s pomoˇcjo nastavka

y =x^r

∞

X

n=0

anxⁿ.

Dani nastavek odvajamo in vstavimo v nekoliko preoblikovano enaˇcbo (36). Do- bimo

y⁰ =

∞

X

n=0

(r+n)anx^r+n−1, y⁰⁰ =

∞

X

n=0

(r+n)(r+n−1)anx^r+n−2 ter

∞

X

n=0

(r+n)(r+n−1)a_nx^r+n+

∞

X

n=0

(r+n)a_nx^r+n−ν²

∞

X

n=0

a_nx^r+n =−

∞

X

n=0

a_nx^r+n+2.

23

(38)

Zapis ˇse nekoliko preoblikujemo in dobimo

∞

X

n=0

(r+n)²−ν²

a_nx^r+n =−

∞

X

n=2

an−2x^r+n. (37) Iz enaˇcbe (37) lahko izraˇcunamo koeficiente za razliˇcne nin tudi zapiˇsemo sploˇsno formulo za an. Zapiˇsimo prva dva koeficienta in sploˇsno zvezo

[r²−ν²]a₀ = 0 [(r+ 1)²−ν²]a₁ = 0 ... [(r+n)² −ν²]a_n+an−2 = 0.

Iz prve enaˇcbe sledi r =±ν. Izberemo si r=ν in drugi dve zvezi lahko zapiˇsemo kot

(2ν+ 1)a₁ = 0, (38)

n(2ν+n)a_n+an−2 = 0, n = 2,3... (39) Iz enaˇcbe (38) sledi, da je a1 = 0, in poslediˇcno so tudi vsi ostali lihi koeficienti enaki 0, torej velja a_2n+1 = 0, kjer je n = 0,1,2... Iz enaˇcbe (39) pa lahko za sode koeficiente, kjer je n= 2m, zapiˇsemo

a_2m =− a2m−2

4m(ν+m), n= 1,2...

Zvezo za sploˇsni ˇclen a_2m lahko izrazimo s ˇclenom a₀ in dobimo a2m = (−1)^ma₀

2^2mm!(ν+ 1)_m, m= 0,1,2..., ν6=−1,−2...,

kjer je (ν+ 1)_m = (ν+ 1)(ν+ 2)· · ·(ν+m−1). Zaa₀ zaradi zgodovinskih razlogov izberemo a₀ = _Γ(1+ν)²^−ν in dobimo

a_2m = (−1)^m 2^−ν−2m

m!Γ(ν+m+ 1) = (−1)^m 2^−ν−2m

m!(ν+m)!. (40) Konˇcno reˇsitev lahko zapiˇsemo v obliki vrste, ki jo imenujemoBesslova funkcija prve vrste in jo oznaˇcimo zJν(x):

J_ν(x) =

∞

X

m=0

(−1)^m m!(ν+m)!

x 2

ν+2m

. (41)

24