14 MERE VARIABILNOSTI, ASIMETRIJE IN SPLOŠČENOSTI
14.4 GAUSSOVA NORMALNA PORAZDELITEV
Za konec poglavja omenimo še znamenito normalno ali Gaussovo porazdelitev. Ime je dobila po nemškem matematiku, astronomu in fiziku C. F. Gaussu (1777–1855). Gre za teoretično porazdelitev, ki pa se zelo dobro prilega številnim stvarnim porazdelitvam. Prikazuje jo krivulja, imenovana Gaussova krivulja ali tudi – zaradi svoje značilne oblike – zvonasta krivulja.
Slika 15: Gaussova normalna porazdelitev
Aritmetična sredina M, mediana Me in modus Mo te porazdelitve sovpadajo
, Mo Me
M = =
porazdelitev je simetrična. Zato sta koeficienta asimetrije glede na modus in glede na mediano enaka 0:
.
=0
= Me
Mo KA
KA
Porazdelitev ni niti koničasta niti sploščena, njen koeficient sploščenosti je
.
=1 KS
Interval (M −σ,M +σ) vsebuje 68,3 % vseh vrednosti spremenljivke, kar pomeni, da se 68,3
% vseh vrednosti razlikuje od aritmetične sredine za manj kot en standardni odklon. Interval
) 2 , 2
(M − σ M + σ vsebuje že 95,4 % vseh vrednosti, interval (M −3σ,M +3σ) pa kar 99,7
% vseh vrednosti. Le 0,3 % vseh vrednosti se torej od aritmetične sredine odkloni za več kot
σ
3 (glej spodnje slike).
117 Slika 16: Gaussova normalna porazdelitev, delež tistih vrednosti statistične spremenljivke, ki
se od aritmetične sredine M odklonijo za manj kot σ
Slika 17: Gaussova normalna porazdelitev, delež tistih vrednosti statistične spremenljivke, ki se od aritmetične sredine M odklonijo za manj kot 2σ
Slika 18: Gaussova normalna porazdelitev, delež tistih vrednosti statistične spremenljivke, ki se od aritmetične sredine M odklonijo za manj kot 3σ
Primer
Spodnja tabela prikazuje frekvenčno porazdelitev 50 trgovin po površini prodajnega prostora (prirejeni podatki). Raziščimo to porazdelitev in poskušajmo ugotoviti, v kolikšni meri se približa normalni porazdelitvi. Dodajmo tabeli še stolpce, ki jih potrebujemo za nadaljnje izračune.
118
Tabela 59: Frekvenčna porazdelitev trgovin po površini prodajnega prostora Površina prodajnega
Izračunajmo aritmetično sredino porazdelitve.
2
Izračunajmo standardni odklon. Upoštevajmo Sheppardov popravek.
56 in zgornjo mejo intervala, ustrezna ranga in pripadajoča kvantilna ranga.
166
Spodnja meja sodi v 2. razred porazdelitve, zato sta pripadajoči rang in kvantilni rang 0500
Zgornja meja sodi v 4. razred, zato je
6151
119
%.
13 , 61 6113 , 0 191 , 0 8023 ,
0 0
1−P = − = =
P
Pri Gaussovi normalni porazdelitvi se 68,3 % vseh vrednosti spremenljivke razlikuje od aritmetične sredine za manj kot en standardni odklon, pri dani porazdelitvi pa je takih vrednosti le 61,13 %. Sklepamo, da se porazdelitev 50 trgovin glede na površino prodajnega prostora bistveno razlikuje od normalne porazdelitve.
Dana porazdelitev in normalna porazdelitev se razlikujeta še v enem elementu. Že bežen pogled na stolpec absolutnih frekvenc nam razkrije poudarjeno asimetrijo porazdelitve trgovin. Število trgovin z majhno površino prodajnega prostora (1. in 2. razred) je bistveno večje od števila trgovin z večjo površino prodajnega prostora (4. in 5. razred). Normalna
porazdelitev pa je, kot vemo, simetrična.
Če bi, nasprotno, v zgornjem primeru ugotovili ujemanje dane in normalne porazdelitve, bi morali raziskovanje seveda nadaljevati. Izračunali bi, kolikšen delež populacije vsebujeta intervala (M −2σ,M +2σ) in (M −3σ,M +3σ), kolikšna je stopnja asimetrije in stopnja sploščenosti dane porazdelitve ter rezultate primerjali z ustreznimi lastnostmi normalne porazdelitve.
Sklep
Z merami variabilnosti smo ovrednotili stopnjo razpršenosti statistične spremenljivke okrog njenih srednjih vrednosti. Ovrednotili smo stopnjo njene asimetrije in sploščenosti in v sklepnem delu obravnavali znamenito Gaussovo normalno porazdelitev.
***
NALOGE
14.1. Tabela prikazuje ocene 180 študentov pri pisnem izpitu (prirejeni podatki).
Tabela 60: Dosežene ocene študentov pri pisnem izpitu Ocena
yj
Št. študentov fj
5 2
6 24
7 60
8 64
9 24
10 6
Skupaj 180
a) Izračunajte oceno za aritmetično sredino (glej nalogo 13.2.).
b) Izračunajte standardni odklon in koeficient variabilnosti.
120
14.2. Tabela prikazuje grupirane podatke o neto mesečnih plačah zaposlenih v podjetju U4U (prirejeni podatki).
Tabela 61: Neto mesečne plače zaposlenih v podjetju U4U Neto plača
v EUR
yj fj
nad 400 do 600 45 nad 600 do 800 355 nad 800 do 1.000 290 nad 1.000 do 1.200 90 nad 1.200 do 1.400 12 nad 1.400 do 1.600 4 nad 1.600 do 1.800 3 nad 1.800 do 2.000 1
Skupaj 800
a) Izračunajte oceno za aritmetično sredino (glej nalogo 13.3.).
b) Izračunajte standardni odklon in koeficient variabilnosti.
14.3. Pri statistični raziskavi so proučevali število otrok v družini. Ugotovili so, da je med 200 družinami 10 družin brez otrok, v 90 družinah imajo po enega otroka, v 74 družinah po dva, v 20 družinah po tri, v 4 družinah po štiri, 2 družini pa imata kar po 5 otrok.
a) Izračunajte kumulativo absolutnih frekvenc.
b) Izračunajte oceno za aritmetično sredino in standardni odklon.
c) Izračunajte oceni za mediano in za modus.
121
15 ANALIZA ČASOVNIH VRST
V naravoslovnih in družboslovnih znanostih opazujemo številne pojave in sledimo njihovemu časovnemu razvoju v daljšem obdobju. Z zbiranjem takih podatkov dobimo časovne vrste, ki prikazujejo dinamiko opazovanega pojava, z raziskovanjem te dinamike pa skušamo ugotoviti zakonitosti, ki usmerjajo razvoj pojava in, kar je najpomembnejše, skušamo napovedati razvoj pojava v prihodnosti. Kako izpeljati analizo take časovne vrste? Kako napovedati njen bodoči razvoj? Na ta vprašanja odgovorimo v tem poglavju.
Za enostavno analizo časovnih vrst smo v predhodnih poglavjih že zbrali nekaj orodij:
koeficienti rasti, indeksi s stalno osnovo, verižni indeksi, stopnje rasti, povprečni koeficienti rasti, povprečne stopnje rasti idr. Bolj poglobljena analiza nas pripelje do trenda, ki kaže na osnovno smer razvoja pojava. Ugotovimo ga z opazovanjem časovne v vrste v daljšem časovnem obdobju.
Naj bodo Y1,Y2,KYN vrednosti v časovni vrsti, zbrane v časovnih trenutkih (ali obdobjih)
N ,K 2 ,
1 . Trend je tako izbrana matematična funkcija časa t (funkcija, odvisna od spremenljivke t), da se njene vrednosti T1,T2,KTN v časovnih trenutkih t =1,2,KN po določenem izbranem kriteriju kar najtesneje prilegajo vrednostim časovne vrste Y1,Y2,KYN. Pri iskanju trenda je pomemben že prvi korak: izbor tipa funkcije oziroma družine funkcij, med katerimi bomo iskali tisto, ki se najtesneje prilega podatkom. Kriterij prileganja časovni vrsti, ki ga najpogosteje srečamo v praksi, je metoda najmanjših kvadratov. Iskana funkcija trenda je tista funkcija izbrane družine, pri kateri je vsota kvadratov odklonov vrednosti trenda od vrednosti časovne vrste najmanjša.
)
( 2
1
=
∑
−=
t N
t
t T
Y minimalna
15.1 LINEARNI TREND
Funkcijo trenda iščemo med linearnimi funkcijami bt a Tt = + ,
pri čemer sta a in b konstanti. Konstanti b pravimo smerni koeficient. Graf linearne funkcije je premica. Iščemo torej premico, ki se na grafu časovne vrste po metodi najmanjših kvadratov najtesneje prilega točkam, ki predstavljajo vrednosti časovne vrste.