V tem in v naslednjih dveh poglavjih bomo poglobljeno analizirali notranjo strukturo opazovane populacije glede na vrednosti izbrane statistične spremenljivke. Katera vrednost spremenljivke razpolovi populacijo, tako da doseže spremenljivka na eni polovici populacije večje vrednosti, na drugi polovici pa manjše ali enake vrednosti? Kakšne vrednosti ima spremenljivka na zgornji desetini populacije ali pa na spodnji desetini? Odgovore na ta in na podobna vprašanja bo bralec našel v tem poglavju.
12.1 KVANTILI IN KVANTILNI RANGI V RANŽIRNI VRSTI
Uvodni primer
Denimo, da raziskujemo turistične prenočitvene kapacitete v neki občini. Ta premore 16 prenočišč. Ko zberemo podatke o številu ležišč, je pred nami neurejena množica podatkov.
Števila ležišč v prenočiščih so npr.:
33, 45, 19, 22, 58, 40, 39, 16, 24, 28, 90, 60, 18, 50, 30, 82.
Zaporedje zbranih podatkov uredimo v t. i. ranžirno vrsto, od najmanjšega podatka do največjega, vsakemu podatku v tej vrsti pa priredimo rang R: najmanjši vrednosti rang R=1, naslednji vrednosti rang R=2 in tako naprej do največje vrednosti, ki ji pripada rang R=16. Ranžirna vrsta za statistično spremenljivko y, ki pomeni število ležišč v danem prenočišču, je torej:
y 16 18 19 22 24 28 30 33 39 40 45 50 58 60 82 90 R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Povejmo splošno: populacija naj šteje N enot, vrednosti statistične spremenljivke Y na teh enotah pa uredimo po velikosti.
yN
y y
y ≤ ≤ ≤L≤
3 2 1
Vsaki vrednosti priredimo rang R, tj. število, ki pove, katero mesto v tako urejenem nizu zaseda ta podatek. Tako dobimo ranžirno vrsto.
y y1 y2 y3 LL yN R 1 2 3 LL N
Tako definiran rang je diskretna spremenljivka, saj so vrednosti, ki jih zavzame, naravna števila med 1 in N.
84
Rang lahko interpretiramo tudi drugače. Danemu rangu R pripada neka vrednost yR statistične spremenljivke Y. Rang R je tedaj enak številu tistih enot populacije, pri katerih je vrednost spremenljivke manjša ali enaka vrednosti yR. V uvodnem primeru npr. pripada rangu R =5 vrednost y5 =24. To pomeni, da je v občini 5 prenočišč, ki premorejo kvečjemu po 24 ležišč.
Rangu R priredimo kvantilni rang P. Definiran je z obrazcem
N P R−0,5
= .
S kvantilnim rangom ocenimo delež tistih enot populacije, pri katerih je vrednost spremenljivke Y manjša ali enaka vrednosti yR (yR je tista vrednost spremenljivke Y, ki pripada rangu R).
Primer
Uporabimo spet uvodni primer – prenočitvene kapacitete: iz ranžirne vrste preberemo, da pripada rangu R =5 vrednost y5 =24. Izračunajmo pripadajoči kvantilni rang:
%.
125 , 28 28125 , 16 0
5 , 0
5− = =
= P
Z njim torej ocenjujemo, da je v opazovani občini 28,125 % prenočišč, ki premorejo kvečjemu po 24 ležišč. Natančnega deleža seveda ni težko izračunati: takih prenočišč je 5, njihov delež prikaže ta izračun.
% 25 , 31 3125 , 16 0
5 = =
Ker je rang R diskretna spremenljivka in ker je kvantilni rang P izpeljan iz ranga R, bi bil tudi kvantilni rang diskretna spremenljivka. Ta okvir pa je za nadaljnjo obravnavo preozek, zato definicijo kvantilnega ranga razširimo: kvantilni rang P je poljubno realno število med 0 in 1, torej: 0≤ P ≤1.
Iz zgornjega obrazca za kvantilni rang lahko izrazimo rang R. Danemu kvantilnemu rangu P torej pripada naslednji rang.
5 , +0
⋅
=P N R
Kvantilnemu rangu P =0 pripada rang R=0,5, kvantilnemu rangu P=1 pa rang 5
, +0
=N
R . Ker je P zvezna spremenljivka z vrednostmi med 0 in 1, postane posredno tudi rang R zvezna spremenljivka, ki lahko zavzame poljubno realno število med 0,5 in N+0,5. Številu 0,5, ki nastopa v zgornjih obrazcih pravimo dodatek za zveznost.
Kvantil je tista vrednost statistične spremenljivke y, ki ustreza kvantilnemu rangu P.
85 Primer
Uporabimo še enkrat uvodni primer in izračunajmo kvantil, ki pripada kvantilnemu rangu 75
,
=0
P . Ustrezni rang R=0,75⋅16+0,5=12,5 leži natanko na sredini med dvanajsto in trinajsto enoto v ranžirni vrsti, zato ocenjujemo, da je iskani kvantil na sredini med ustreznima vrednostma spremenljivke, torej med 50 in 58. Ta kvantil je zato enak yR =54. Interpretirajmo rezultat: ocenjujemo, da je v občini 75 % prenočišč, katerih kapacitete so manjše ali enake 54 ležiščem. Bralec bo zlahka neposredno preveril, da je takih prenočišč 12,
torej natanko 75 %.
Med kvantili so najpogosteje v rabi kvartili, decili in centili.
Kvartili
• Prvi kvartil Q1 pripada kvantilnemu rangu P(Q1)=0,25. Pri 25 % enot populacije je vrednost spremenljivke y manjša ali enaka Q1.
• Drugi kvartil Q2 pripada kvantilnemu rangu P(Q2)=0,50. Pri 50 % enot populacije je vrednost spremenljivke y manjša ali enaka Q2. Temu kvartilu bomo kasneje dali ime mediana.
• Tretji kvartil Q3 pripada kvantilnemu rangu P(Q1)=0,75. Pri 75 % enot populacije je vrednost spremenljivke y manjša ali enaka Q3.
Decili
• Prvi decil D1 pripada kvantilnemu rangu P(D1)=0,10. Pri desetini enot populacije je vrednost spremenljivke y manjša ali enaka D1.
• Drugi decil D2 pripada kvantilnemu rangu P(D2)=0,20.
• …….
• Peti decil D5 pripada kvantilnemu rangu P(D5)=0,50. Velja D5 =Q2.
• …….
• Deveti decil D9 pripada kvantilnemu rangu P(D9)=0,90. Centili
• Prvi centil C01 pripada kvantilnemu rangu P(C01)=0,01. Pri stotini enot populacije je vrednost spremenljivke y manjša ali enaka C01.
• Drugi centil C02 pripada kvantilnemu rangu P(C02)=0,02.
• …….
• Triintrideseti centil C33 pripada kvantilnemu rangu P(C33)=0,33.
• …….
• Petdeseti centil C50 pripada kvantilnemu rangu P(C50)=0,50. Velja C50 =D5 =Q2.
• …….
• Devetindevetdeseti centil C99 pripada kvantilnemu rangu P(C99)=0,99.
86
12.2 RAČUNANJE KVANTILOV IN KVANTILNIH RANGOV IZ RANŽIRNE VRSTE
Pred nami so podatki o opazovani diskretni statistični spremenljivki, urejeni v ranžirno vrsto.
y y1 y2 y3 LL yN R 1 2 3 LL N .
Zastavimo si lahko dve nalogi:
1) danemu kvantilu y poiščemo pripadajoči kvantilni rang P in 2) danemu kvantilnemu rangu P poiščemo pripadajoči kvantil y.
Rešimo prvo nalogo. Dan je kvantil y. Izračunajmo najprej njegov pripadajoči rang R. V ranžirni vrsti poiščemo sosednji vrednosti spremenljivke, med kateri umestimo kvantil y.
Spodnjo vrednost preimenujemo v y0, njen rang v R0, zgornjo vrednost v y1, njen rang pa v R1. Velja torej ocena
1
0 y y
y < ≤ , za iskani rang pa velja
1
0 R R
R < ≤ .
Vrednost R izračunamo tako, da je razmerje med razlikama rangov R−R0 in R1−R0 enako razmerju med razlikama y−y0 in y1−y0 (razlika sosednjih rangov R1 −R0 je seveda enaka 1, ker pa želimo ohraniti simetrijo v spodnjih enačbah, bomo uporabili daljši zapis).
0 1
0 0
1 0
y y
y y R R
R R
−
= −
−
− .
Od tod izpeljemo obrazec za iskani rang.
)
( 1 0
0 1
0
0 R R
y y
y R y
R −
− + −
=
Uporabimo še zvezo med kvantilnim rangom P in rangom R pa dobimo iskani kvantilni rang.
N P R−0,5
= .
Primer
Uporabimo še enkrat uvodni primer: število ležišč v 16 prenočiščih. Ranžirna vrsta je y 16 18 19 22 24 28 30 33 39 40 45 50 58 60 82 90 R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
87
Pripadajoči kvantilni rang P je
%.
Izračunajmo najprej pripadajoči rang.
5
Iz že uporabljene enakosti razmerij
0
izpeljemo tokrat y. Iskani kvantil je
).
Uporabimo spet uvodni primer: število ležišč v 16 prenočiščih. Ranžirna vrsta je y 16 18 19 22 24 28 30 33 39 40 45 50 58 60 82 90 R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Izračunajmo prvi kvartil in tretji decil.
Kvantilni rang prvega kvartila Q1 je P(Q1)=0,25. Pripadajoči rang je
88
Četrtina prenočišč premore kvečjemu po 23 ležišč.
Kvatilni rang tretjega decila D3 je P(D3)=0,30. Zato je
12.3 RAČUNANJE KVANTILOV IN KVANTILNIH RANGOV IZ FREKVENČNE PORAZDELITVE
Pri frekvenčni porazdelitvi so enote populacije zbrane v razrede. Rang posamezne enote nadomestimo s kumulativo razreda, v katerega sodi ta enota.
Rešimo naslednjo nalogo: Danemu kvantilu y izračunajmo pripadajoči kvantilni rang P.
Poiščimo razred, v katerega sodi vrednost y. Naj bo to j-ti razred, imenujemo ga kvantilni razred. Tedaj velja naslednja ocena (denimo, da so razredi definirani tako, da vsebujejo svojo zgornjo mejo) kumulativo razreda pred njim.
j
Iz zgornje enačbe izračunamo rang
j
89 in kvantilni rang
N P R−0,5
= .
Primer
Tabela prikazuje grupirane podatke o neto mesečnih plačah zaposlenih v podjetju M4U (prirejeni podatki).
Tabela 36: Neto mesečne plače zaposlenih v podjetju M4U
Neto plača v EUR fj Fj
Iskani kvantilni rang je
%.
Izračunajmo danemu kvantilnemu rangu pripadajoči rang R:
5
Kvantilni razred je tisti razred, katerega kumulativa prvič preseže ali doseže rang R. Naj bo to j-ti razred. Tedaj velja ocena Fj−1 < R≤ Fj za iskani kvantil pa ocena yj,min < y ≤ yj,max. Iz
90
zdaj izrazimo kvantil y:
1.
Uporabimo že znano frekvenčno porazdelitev zaposlenih v podjetju M4U in izračunajmo tretji kvartil.
Tabela 37: Neto mesečne plače zaposlenih v podjetju M4U
Neto plača v EUR fj Fj
Kumulativa preseže izračunani rang prvič v tretjem razredu, zato je 690
1 = 400 < ≤ =
− j
j R F
F , yj,min =800 < y≤ yj,max =1.000,
frekvenca kvantilnega razreda fj = 290 in njegova širina dj = 200 . Iskani kvartil je torej
48 znamo iz ranžirne vrste pri diskretnih spremenljivkah in iz frekvenčne porazdelitve pri zveznih. Tako oboroženi se lahko lotimo naslednjega poglavja.
***
91 NALOGE
12.1. K pisnemu izpitu je pristopilo 15 študentov. Predavatelj je njihove izdelke ovrednotil s točkami, največji možni dosežek je bil 80 točk. Spodnja tabela prikazuje ranžirno vrsto, v kateri so zbrani podatki o dosežkih študentov (y je število doseženih točk).
y 16 27 35 41 42 45 48 49 54 56 60 66 68 70 76 R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Izračunajte vse tri kvartile, ter prvi in deveti decil. S kvantili ocenite delež tistih študentov, ki so dosegli kvečjemu 40 točk.
12.2. Tabela prikazuje dosežene ocene 180 študentov pri pisnem izpitu (prirejeni podatki).
Razredi so stični: spodnja meja razreda, ki pripada npr. oceni 7, je 6,5, njegova zgornja meja pa je 7,5.
Tabela 38: Dosežene ocene študentov pri pisnem izpitu Ocena
yj
min ,
yj yj,max Št. študentov fj
5 2
6 24
7 60
8 64
9 24
10 6
Σ 180
Izračunajte vse tri kvartile, ter prvi in deveti decil.
12.3. Spodnja tabela prikazuje frekvenčno porazdelitev 50 trgovin po površini prodajnega prostora (prirejeni podatki).
Tabela 39: Frekvenčna porazdelitev trgovin po površini prodajnega prostora Površina prodajnega
prostora v m2
fj
nad 40 do 80 2 nad 80 do 120 8 nad 120 do 160 30 nad 160 do 200 9 nad 200 do 240 1
Σ 50
a) Izračunajte vse tri kvartile, ter prvi in deveti decil.
b) Ocenite površino prodajnega prostora, s katero razpolaga 30 % najmanjših trgovin.
c) Ocenite delež tistih trgovin, ki razpolagajo največ z 150 m2 prodajnega prostora.
92
d) Ocenite delež tistih trgovin, pri katerih se površina prodajnega prostora giblje med 150 m2 in 180 m2.