V tem poglavju je opisanih 6 Keplerjevih elementov tira oziroma parametrov, s katerimi lahko določimo tirnico ali gibanje nekega poljubnega nebesnega telesa, ki se giblje okoli mnogo masivnejšega telesa, v našem primer Sonca. Poimenovani so po Johannesu Keplerju. Med elementi so ekscentričnost oziroma sploščenost, velika polos relativnega tira, naklon tira, argument periapside oziroma perihelija, dolžina dvižnega vozla in srednja anomalija ob nekem izbranem trenutku. Ker asteroidi potujejo po periodičnih (ponavljajočih se), to je eliptičnih tirnicah, bom enačbe za primer paraboličnih ali hiperboličnih tirnic izpustil. Vseskozi tudi predpostavimo, da je masa Sonca izjemno velika v primerjavi z maso telesa, ki se giblje okoli njega. Torej Sonce za nas miruje in se giblje le to drugo telo.
4.1 VELIKA POLOS
Gre za razdaljo, ki meri od središča elipse do bolj oddaljenega temena. Označimo jo z malo črko . Velika polos je lahko izračunana tudi kot polovica vsot obeh apsid t.j.
periapside in apoapside, oziroma razdalje perihelija in afelija:
= . (4.2.1)
Pri povezavi z ekscentričnostjo dobimo dve enačbi in sicer:
= (1 − ), našem primeru pa tirnica, sploščena. Označimo jo z malo črko , njena vrednost pa ima štiri zanimive vrednosti.
a) Če je ekscentrič pomeni, da ekscentri
tirnica vedno vsaj malo odstopa od kroga b) Če je vrednost ekscentri
je ob večji vrednosti elipsa približno 0,0167
ekstremne vrednosti pa je tirnic kar pomeni, da je zelo sploš c) Če je ekscentričnost to
objekt nikoli ne vrne in gre le enkrat mimo težjega objekta. Takšno ekscentričnost imajo objekti, ki imajo minimalno hitrost,
orbite.
d) Če pa je ekscentrič
objekti z veliko hitrostjo, kateri
smer, ne more pa manjši objekt povle pomeni, da ekscentričnosti ni. Takšne orbite so v vesolju zelo redke
tirnica vedno vsaj malo odstopa od kroga.
e je vrednost ekscentričnosti med 0 in 1 0 1 , dobimo elipso, pri čji vrednosti elipsa čedalje bolj sploščena. Zemlja ima ekscentri približno 0,0167, zato je skoraj popolnoma skladna krožnici.
ekstremne vrednosti pa je tirnica Halleyevega kometa, ki ima vrednost 0,967, kar pomeni, da je zelo sploščena.
e je ekscentričnost točno 1 1 , je krivulja parabola, kar
objekt nikoli ne vrne in gre le enkrat mimo težjega objekta. Takšno čnost imajo objekti, ki imajo minimalno hitrost, ki
e pa je ekscentričnost večja od 1 1 , gre za hiperbolič
objekti z veliko hitrostjo, katerim lahko gravitacija težjega objekta le spremeni smer, ne more pa manjši objekt povleči v svojo orbito. Takšno gibanje se uporablja pri pojavu gravitacijske frače.
nih vrednosti ekscentričnosti so prikazani na sliki 4.2.1.
Primeri ekscentričnosti (http://creationwiki.org/Orbital_eccentricity)
nost lahko izračunamo z naslednjo enačbo:
.
), dobimo krog. Z drugimi besedami to Takšne orbite so v vesolju zelo redke, saj v resnici
, dobimo elipso, pri čemer ena. Zemlja ima ekscentričnost skladna krožnici. Kot primer lahko gravitacija težjega objekta le spremeni i v svojo orbito. Takšno gibanje se
.1.
nosti (http://creationwiki.org/Orbital_eccentricity)
(4.1.1)
16
Parametra in sta razdalji periapside in apoapside, ki sta, z drugimi besedami, najbližja in najbolj oddaljena točka objektu okoli katerega manjši objekt kroži.
Za vse objekte zadnjih dveh ekscentričnosti velja, da pridejo iz neskončnosti in se tja tudi vračajo. V nadaljevanju se bomo bolj ukvarjali z elipsami, saj se asteroidi gibljejo po eliptičnih tirnicah.
Zgoraj omenjena parametra, ki sta podrobneje opisana v podpoglavjih 4.1 in 4.2, nam dajeta samo obliko naše elipse. Ostali parametri pa, kot bomo videli, podajajo podatke o usmerjenosti. označimo s črko . Naklon tira lahko meri med 0°in 180°. Pri naklonu 0° sta obe ravnini skladni, pri 90° se telo giblje okoli Sonca pravokotno na ekliptiko, pri 180° pa se giblje enako kot pri 0°, le v nasprotni smeri.
4.4 ARGUMENT PERIHELIJA
V ravnini tira je elipsa lahko še poljubno zaskuana. Ta zasuk opišemo z argumentom perihelija, to je kot med presečiščem ravnin in perihelijem, merjeno v smeri gibanja objekta (Helios je grško za Sonce, zato se ime spremeni iz periapside, ki je le skupno ime najbližjih točk, v perihelij). Za presečišče izberemo dvižni vozel, to je smer, kjer – gledano s Sonca – iz polkrogle južno od ekliptike preide na severno hemisfero.
Argument perihelija označimo z grško črko !, meri pa lahko med 0° in 360°. Kot je razvidno na sliki 4.4.1, smo zasukali tirnico okoli " osi (kjer se nahaja Sonce) za nek poljuben kot. Zgornja slika prikazuje pogled iz vrha, spodnja pa s strani (Smart, 1949).
17
Slika 4.4.1: Rotacija okoli osi, ki predstavlja argument perihelija (http://astronomy.swin.edu.au/cosmos/A/Argument+Of+Perihelion)
4.5 DOLŽINA DVIŽNEGA VOZLA
Kjer tirnica objekta seka ekliptiko dobimo dve točki na nebesni sferi, imenovani vozla.
Prva točka, ki je na delu tirnice, ko ta preide na severno stran ekliptike, se imenuje dvižni vozel, na drugi strani pa je spustni vozel. Za pomoč pri razumevanju je slika 4.5.1. Na sliki sta že upoštevana naklon tira in argument perihelija, da se lažje opazi dvižni vozel. Zgornja slika je gledana iz tlorisa, spodnja v smeri y osi. Sedaj, ko poznamo dvižni vozel, lahko povemo še kaj je dolžina dvižnega vozla. To je kot med pomladiščem5 in smerjo proti dvižnemu vozlu, merjeno v istem smislu, kot se Zemlja giblje okoli Sonca. Dolžino dvižnega vozla označimo s črko #, merimo med 0° in 360°
(Smart, 1949).
5 Je navidezna točka na nebesni krogli, kjer se sekata ekliptika in Zemljin nebesni ekvator. Sonce je v pomladišču ob pomladnem enakonočju.
18
Slika 4.5.1: Predstavitev dvižnega vozla (angleško ascending node) in smer gibanja objekta (http://astronomy.swin.edu.au/cosmos/A/Ascending+Node)
Parametri med 4.3 in 4.5 poglavji nam dajejo podatke o usmerjenosti tirnice.
4.6 SREDNJA ANOMALIJA
Podatek srednje anomalije nam v obliki kota pove, kolikšen del orbitalne periode je minil od zadnjega prehoda objekta skozi perihelij. Označimo jo s črko $ in se meri v kotih med 0° in 360°. Da bomo bolje razumeli, kaj dejansko je srednja anomalija, bi na tem mestu želel predstaviti še pravo in ekscentrično anomalijo.
Prava anomalija je dejanski kot med perihelijem in objektom, z vrhom pri Soncu.
Označimo jo s črko % (na sliki 4.6.1 sicer s &).
Če elipsi, ki predstavlja tirnico očrtamo krožnico in z nosilke velike polosi narišemo pravokotnico skozi točko, kjer leži objekt (prikazan z vektorjem '(), dobimo na krožnici novo točko (presečišče pravokotnice in krožnice). Kot med perihelijem in našo novo dobljeno točko, z vrhom v središču očrtane krožnice se imenuje ekscentrična anomalija.
Označimo jo s črko ) (glej sliko 4.6.1.). Ta pomožni kot nam bo služil kot vmesna
19
stopnja med srednjo anomalijo, ki jo izračunamo s časa opazovanja, in pravo anomalijo, ki predstavlja kot od perihelija, ki ga je telo do tedaj naredilo.
Slika 4.6.1: Matematični prikaz ekscentrične anomalije (https://www.researchgate.net/figure/The-geometric-relationship-between-the-eccentric-anomaly-E-and-the-true-anomaly-th_fig1_271214938)
Če si predstavljamo kroženje po eliptičnemu tiru, vemo, da hitrost ni konstantna, saj se po 2. Keplerjevem zakonu ohranja ploščinska hitrost objekta. Torej se prava anomalija blizu perihelija veliko hitreje spreminja kot v afeliju (najbolj oddaljena točka od Sonca).
Srednja anomalija pa nam predstavlja to gibanje kot gibanje s konstantno hitrostjo.
Drugače rečeno, kot da bi se objekt gibal po krožnici. Srednja in prava anomalija opravita en obhod orbite ob istem času. Srednjo anomalijo lahko izračunamo z enačbo:
$ * ∙ + − , 360°
- ∙ (+ − ,),
(4.6.1) pri čemer je * srednja kotna hitrost (opazujemo na krožnici), - orbitalna perioda, + poljuben čas, za katerega nas zanima položaj objekta in , čas, ko je objekt v periheliju (Smart, 1949).
Za lažje razumevanje si poglejmo sliko 4.6.2, kjer sivo-beli deli elipse predstavljajo kote prave anomalije, rdeče-beli pa srednje anomalije v istem časovnem obdobju.
Slika 4.6.2: Razlika med pravo in srednjo anomalijo, pri
obhoda (https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_anomaly)
Razmerja med anomalijami rač
$ cos
4.7 ELEMENTI TIRA V CELOTI
Vseh šest elementov tira združimo v celoto in dobimo sliko 4.7.1. Na sliki je ozna še dolžina dvižnega vozla in referen
Slika 4.7.1: Vsi elementi tira (https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_of_the_ascending_node)
20
Razlika med pravo in srednjo anomalijo, pri čemer vsak odsek predstavlja dvanajstino obhoda (https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_anomaly)
omalijami računamo z naslednjima enačbama:
$ ) − ∙ sin ), cos % 9–8∙456 7456 7 8.
ELEMENTI TIRA V CELOTI
Vseh šest elementov tira združimo v celoto in dobimo sliko 4.7.1. Na sliki je ozna še dolžina dvižnega vozla in referenčna smer ϓ (smer proti pomladišču).
Vsi elementi tira (https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_of_the_ascending_node) emer vsak odsek predstavlja dvanajstino
(4.6.2) (4.6.3)
Vseh šest elementov tira združimo v celoto in dobimo sliko 4.7.1. Na sliki je označena
Vsi elementi tira (https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_of_the_ascending_node)
21