TIRNICE ASTEROIDOV Z NATAN Č NIMI MERITVAMI SATELITA GAIA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

LUKA KUKOVICA

TIRNICE ASTEROIDOV Z NATAN Č NIMI MERITVAMI SATELITA GAIA

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2018

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI UČITELJ MATEMATIKA – FIZIKA

LUKA KUKOVICA

Mentor: prof. dr. TOMAŽ ZWITTER

TIRNICE ASTEROIDOV Z NATAN Č NIMI MERITVAMI SATELITA GAIA

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2018

ZAHVALA

Rad bi se iskreno zahvalil svojemu mentorju prof. dr. Tomažu Zwitterju za strokovno pomoč pri pisanju diplomskega dela.

Zahvala gre tudi staršema in bratu za vso moralno in ekonomsko podporo v času študija.

Na koncu bi se rad zahvalil še sošolki Ani, ki mi je bila pripravljena pomagati kadarkoli sem to potreboval v času pisanja diplome in Urški ter Izi prav tako za moralno podporo.

I

POVZETEK

V diplomskem delu želim predstaviti misijo Gaia, ki je v Osončje poslala ESA.

Istoimenski satelit (Gaia) opazuje zvezde in telesa v našem Osončju. V tej nalogi me zanima beleženje podatkov o asteroidih. Vsi uporabljeni Gajini podatki so javno dostopni na internetni strani ESA, Gajin katalog, druga izdaja. Poleg misije same je moj namen predstaviti tudi malo bolj tehnični vidik, kako je sestavljen sam satelit in na kakšen način meri podatke, kako natančni so izmerjeni podatki. Predstavljam tudi, kaj sploh so asteroidi, kje se nahajajo in kako jih razvrščamo. Temu sledi še krajši opis asteroidnega pasu in Kuiperjevega pasu. Kot primer izračunam gibanje asteroida 8 Flora. Seveda brez opisa tirnic in kaj potrebujemo za izračun le teh ne gre, zato bom bralcu predstavil tudi 6 Keplerjevih elementov tira. Tirnica asteroida je izračunana tako, da lahko bralec preveri gibanje asteroida iz Zemlje (ekvatorialna ravnina) in ne potrebuje dodatnih izračunov o orbiti glede na ekliptiko. Vse uporabljene enačbe so poenostavljene in razložene tako, da bralec ne potrebuje veliko predznanja, da bi razumel potek izračunov. Ob koncu sledi še primerjava s programom Stellarium, ki nam te izračune poda sam, vendar s podatki merjenj pred misijo Gaia.

KLJUČNE BESEDE: Gaia, asteroid, tirnica, ekliptika, Keplerjevi elementi tira

II

ABSTRACT

In this thesis I will present Gaia, an ESA mission which is observing stars and Solar System objects. In this work I am mostly concerned with asteroid observations. All of Gaia data is available online publicly on the ESA website, Gaia catalogue, data release 2. I would also like to present a slightly more technical view of the satellite itself beside the presentation of the mission alone. I am also presenting what asteroids are, where they can be found and how we classify them. In addition, I shortly review the Asteroid and the Kuiper belts. I have also made calculations of a specific orbit and motion of the asteroid 8 Flora. Since we can't talk about this without knowing what orbits are and how we represent them, will I present the reader with the Kepler's 6 orbital elements.

Specific calculation of the orbit is presented in a way to let the reader understand how it would look like from Earth (equatorial plane), so there is no need for extra transformations between the ecliptic and equatorial planes. All of the equations used are simplified and explained in a manner so that the reader does not need advanced knowledge to understand them. At the end there is also a comparison of Gaia results with a planetary program called Stellarium, which calculates data upon finding the correct object but with measurements prior to the Gaia mission.

KEY WORDS: Gaia, asteroid, orbit, ecliptic plane, Kepler's orbital elements

III

KAZALO

1 UVOD ... 1

1.1 OPREDELITEV PODROČJA IN OPIS PROBLEMA ... 1

1.2 NAMEN, CILJI IN HIPOTEZE NALOGE ... 2

1.3 METODOLOGIJA DELA ... 2

1.4 PREGLED VSEBIN OSTALIH POGLAVIJ ... 3

2 GAIA ... 4

2.1 NATANČNOST MERITEV ... 5

2.2 SESTAVA SATELITA GAIA ... 6

3 ASTEROIDI ... 10

4 GIBANJE NEBESNIH TELES ... 14

4.1 VELIKA POLOS ... 14

4.2 EKSCENTRIČNOST ... 14

4.3 NAKLON TIRA ... 16

4.4 ARGUMENT PERIHELIJA ... 16

4.5 DOLŽINA DVIŽNEGA VOZLA ... 17

4.6 SREDNJA ANOMALIJA ... 18

4.7 ELEMENTI TIRA V CELOTI ... 20

5 TIRNICA IZBRANEGA ASTEROIDA ... 21

6 TRANSFORMACIJA IZ EKLIPTIKE V EKVATORIALNO RAVNINO ... 25

7 PRIMERJAVA S PROGRAMOM STELLARIUM ... 31

8 DISKUSIJA ... 34

9 ZAKLJUČEK ... 36

10 VIRI IN LITERATURA ... 37

IV

KAZALO SLIK

Slika 2.2.1: Sestava satelita Gaia ... 7

Slika 2.2.2: Zgradba astrometričnega inštrumenta ... 8

Slika 2.2.3: Pogled v fotometrični inštrument ... 8

Slika 2.2.4: Spektrometer radialne hitrosti ... 9

Slika 3.1: Velikost Asteroidnega pasa ... 11

Slika 3.2: Oddaljenost in velikost Kuiperjevega pasa ... 13

Slika 4.2.1: Primeri ekscentričnosti ... 15

Slika 4.4.1: Rotacija okoli osi, ki predstavlja argument perihelija ... 17

Slika 4.5.1: Predstavitev dvižnega vozla (angleško ascending node) in smer gibanja objekta ... 18

Slika 4.6.1: Matematični prikaz ekscentrične anomalije ... 19

Slika 4.6.2: Razlika med pravo in srednjo anomalijo, pri čemer vsak odsek predstavlja dvanajstino obhoda ... 20

Slika 4.7.1: Vsi elementi tira ... 20

Slika 5.1: Oblika orbite asteroida 8 Flora ... 22

Slika 5.2: Inklinacija orbite asteroida 8 Flora ... 23

Slika 5.3: Rotacija okoli Sonca po z koordinati - 8 Flora ... 23

Slika 5.4: Dvižna vozla in oddaljenost od planetov ... 24

Slika 7.1: Podatki programa Stellarium za asteroid 8 Flora (6.4. ob 0:00 na Greenwichu) ... 32

V

NOMENKLATURA

e ekscentričnost oziroma sploščenost tira da razdalja afelija

dp razdalja perihelija a velika polos elipse

i naklon tira

ω argument periapside oziroma perihelija Ω dolžina dvižnega vozla

M srednja anomalija

v prava anomalija

E ekscentrična anomalija

n kotna hitrost

τ čas, ko je objekt v periheliju

t poljuben čas, za katerega računamo položaj objekta

P orbitalna perioda

α rektascenzija

δ deklinacija

η napaka

AKRONIMI IN OKRAJŠAVE

ESA Evropska vesoljska agencija DR2 druga izdaja podatkov satelita Gaia

1

1 UVOD

Kakšne sploh so tirnice asteroidov? O njih namreč v šolah nič ne povedo. Vemo le, da so to nekakšni objekti, ki krožijo okoli Sonca. V diplomskem delu bi se rad dotaknil tega področja astronomije. S pomočjo misije Gaia bom poskušal ugotoviti, kakšne lastnosti imajo tirnice asteroidov. Eno izmed njih bom tudi predstavil. Glede na izračune in konstrukcijo same tirnice bom nato rezultate primerjal še s programom Stellarium, ki lahko sam izračuna, kje se ob poljubni uri nahaja nebesni objekt, vendar kot vhodne parametre vzame parametre tira, kot so bili poznani pred objavo rezultatov misije Gaia.

1.1 OPREDELITEV PODRO Č JA IN OPIS PROBLEMA

Astronomija je zelo obširno področje, v katerem je še ogromno neraziskanega:

galaksije, črne luknje, zvezde, planeti, pa tudi manjši objekti kot so asteroidi in prašni delci velikosti v milimetrih. V tej naloge natančneje zanima naše Osončje. Tu imamo osem planetov, ki krožijo okoli naše zvezde – Sonca. Seveda planeti niso sami, družbo jim delajo manjši objekti kot so planetoidi, asteroidi, kometi in ostali, za katere pa ni nujno, da krožijo okoli Sonca. Kot primer so tu lune, ki krožijo okoli planetov, asteroidi pa krožijo okoli Sonca.

Ker se v osnovni in srednji šoli pove zelo malo o astronomiji, še veliko manj pa o asteroidih, so področje mojega raziskovanja asteroidi in njihove tirnice. Konkretneje bom predstavil enega izmed asteroidov in poskušal na najbolj enostaven način prikazati obliko tirnice, predstaviti njene podatke in to primerjati s programom, ki je sprogramiran, da to lahko naredi sam. Bralcu bi namreč rad predstavil, kako astronomi izračunajo lastnosti premikajočih se nebesnih teles oziroma, kako so to računali včasih, saj se danes vse zgoraj našteto seveda izračuna s pomočjo računalnikov.

Problem, ki ga bom poskušal rešiti je, kako narisati tirnico objekta okoli Sonca, če poznamo nekaj izmed podatkov. Upoštevati je potrebno nekaj malo bolj

2

zakompliciranih enačb, ki so razložene v knjigi Spherical Astronomy (1949). Dokazov enačb v nalogi ne bom navajal in si jih lahko bralec v omenjeni knjigi poišče sam, predvsem v petem poglavju Planetary Motions.

1.2 NAMEN, CILJI IN HIPOTEZE NALOGE

Osrednji namen moje diplomske naloge je predstaviti misijo Gaia in tirnice asteroidov.

Da bi to lažje izpolnil sem si zadal nekaj ciljev (C1-C6):

C1: Predstaviti ESA misijo Gaia.

C2: Predstaviti asteroide in njihove lastnosti.

C3: Predstaviti tirnice in elemente tira.

C4: Izračunati in narisati eno izmed tirnic asteroidov.

C5: Svoje izračune primerjati z izračuni programa Stellarium.

C6: Komentirati primerjavo iz cilja C5.

Za izpolnjevanje ciljev pa bom preveril nekaj hipotez (H1-H2):

H1: Izbran asteroid leži v asteroidnem pasu.

H2: Moji izračuni se ujemajo z izračuni Stellariuma z absolutno napako 0,5°.

1.3 METODOLOGIJA DELA

Metode, ki jih bom v diplomskem delu uporabil:

• Zbiranje podatkov in literature

• Opisna metoda

• Uporaba enačb in izračuni podatkov

3

• Primerjava izračunanih podatkov s podatki programa

• Evalvacija primerjave

Diplomsko delo je komparativna raziskava podatkov satelita Gaia z izračuni, ki nam jih poda program Stellarium.

1.4 PREGLED VSEBIN OSTALIH POGLAVIJ

V naslednjem poglavju predstavimo misijo Gaia kot celoto. S tem je mišljena predstavitev same misije, predstavitev satelita in kako satelit svoje podatke meri. Gaia ima namreč podatkovno bazo rezultatov, ki sem jih v svojem diplomskem delu uporabil in to poglavje navaja, kako so bili ti podatki pridobljeni.

Tretje poglavje na splošno predstavlja, kaj so asteroidi, kako jih delimo in kje jih najdemo. Ima tudi krajše opise Asteroidnega pasu in Kuiperjevega pasu.

Četrto poglavje nam predstavlja elemente tira. Bolj kot ne so to matematične reprezentacije lastnosti tirnic in podatkov potrebnih za izračun gibanja kateregakoli nebesnega objekta, ki se giblje po eliptični tirnici okoli Sonca.

Peto poglavje govori o izbranih podatkih misije Gaia, uporabljenih v diplomski nalogi, ter izračun in predstavitev oblike samega tira izbranega asteroida.

Naslednje, šesto poglavje predstavlja, kako si lahko izračunano tirnico iz petega poglavja ogledamo iz Zemlje glede na ekvatorialno ravnino.

Sedmo poglavje vsebuje primerjavo izračunov šestega poglavja s programom Stellarium.

Zadnje poglavje predstavlja zaključek in ugotovitve.

4

2 GAIA

Gaia je misija Evropske vesoljske agencije (ESA), ki je leta 2013 poslala v svojo orbito istoimenski satelit. Ta deluje na področju astrometrije, kar pomeni, da zelo natančno meri lege, razdalje, gibanja ipd. za zelo veliko število nebesnih teles. Pri tem se večina rezultatov nanaša na zvezde, ki so lažje opazne, ker oddajajo svojo svetlobo, obenem pa je merjenje gibanj in položajev zvezd glavni namen satelita. Satelit opazovanih objektov ne izbere vnaprej, ampak zabeleži svetlobo vsakega objekta, ki preči njegovo vidno polje. Med njimi so seveda tudi objekti v našem Osončju, ki me v tej nalogi posebej zanimajo. Ker so meritve položaja objektov na nebu s tem satelitom izjemno točne, lahko pričakujemo, da bo Gaia tudi bistveno prispevala k točnosti tirnic asteroidov in s tem k možnosti natančnih napovedi njihovega gibanja v bodoče. Podatke satelita so doslej javno objavili v dveh izdajah: prvič septembra 2016 in drugič aprila 2018.

Pomemben rezultat te misije je, da so že po štirih in pol letih, kolikor satelit kroži v orbiti, z drugo izdajo podatkov (DR2) sestavili največji in najnatančnejši tridimenzionalni katalog naše Galaksije – Rimske ceste do sedaj. V svoji zbirki vključuje preko 1,6 milijarde zvezd, kar pa predstavlja le okoli 1% »populacije«

galaksije. Njegova Lissajousova orbita poteka v neposredni okolici Lagrangejeve točke¹. Podatki so namenjeni bolj natančnemu razumevanju nastanka samih zvezd in naše Galaksije. Misija ima načrtovan zaključek v letu 2019, če pa se satelit ne bo okvaril, lahko misijo podaljšajo na 9 let delovanja (Summary, 2017).

1 Lagrangejeva točka je 1,5 milijona kilometrov oddaljena točka v nasprotni smeri od Sonca, kjer kroži satelit Gaia. En obrat po tirnici okoli točke traja 180 dni, samo območje okoli te točke, v katerem se zadržuje satelit, pa je veliko 263.000 ∙ 707.000 ∙ 370.000 (Gaia enters its operational orbit, 2014).

Prve tri Lagrangeve točke so točke na premici, ki povezuje dve masivni telesi, kjer majhno telos lahko nepremično lebdi glede na ti masivni telesi. V drugi Lagrangevi točki tako skupen privlak Sonca in Zemlje povzroči, da je satelit stalno 1,5 milijona kilometrov »za« Zemljo, torej lahko brez moteče svetlobe odbite z Zemlje ali Lune nemoteno opazuje vesolje (Lagrange Points: Parking Places in Space, 2017).

5

Poleg samih meritev zvezd so v drugi izdaji podatkov tudi natančne meritve tirnici več kot 14.000 asteroidov v našem Osončju, katerih podatke bom v razdelkih 5 in 6 tudi uporabil.

2.1 NATAN Č NOST MERITEV

Med svojim potovanjem je satelit pomeril vsak objekt okoli 70 krat in tako povečal število podatkov, ki nam daje natančnejši vpogled v gibanje teh objektov, oddaljenih od našega Osončja do središča Rimske ceste, približno 8,5 kpc od Sonca, in še dlje. Vse izmerjene zvezde imajo magnitudo svetlejšo od 20,7, kar pomeni, da satelit Gaia lahko opazuje tudi zelo temne objekte. Med ostalimi izmerjenimi podatki so tudi ostale fizikalne lastnosti zvezd, kot so izsev, efektivna temperatura, gravitacijski pospešek na površju in kemična sestava. Ob meritvah in podatkih za zvezde vsebuje DR2 še podatke o legi pol milijona oddaljenih kvazarjev² (ti nam dajejo referenčni okvir za koordinate vseh objektov v katalogu, kjer so prvič poravnali opazovanja v vidni in radijski svetlobi), eksoplanetih, supernovah, rjavih pritlikavkah, hladnih objektih itd. (Summary, 2017).

Glede planetov naj bi satelit zabeležil vse planete velikosti Jupitra, ki so od Sonca oddaljeni do 150 svetlobnih let in imajo orbitalno periodo med 1,5 in 9 leti. To lahko preveri s pomočjo majhnih nihanj položaja zvezd, saj imajo tudi planeti dovolj veliko maso, da gravitacijsko vplivajo na zvezde, okoli katerih krožijo. Za manjše objekte kot so asteroidi, jih je Gaia večino prepoznala v Asteroidnem pasu med Marsom in Jupitrom, kjer jih že mnogo poznamo. Boljšemu vpogledu v vesolje pa so pripomogla nova odkritja asteroidov iz Kuiperjevega pasu (Objectives, 2017).

Način, kako Gaia prepozna različne objekte, je dokaj preprost. Če sveti in je po več slikah videti kot da miruje, je to verjetno zvezda ali kaj podobnega npr. supernova.

Drugače pa je, ko se na več slikah istega dela vesolja nek objekt pojavi, drugič pa ne.

Tako satelit odkriva temnejše objekte, kot so kometi in asteroidi. V večini primerov gre

2Svetle galaksije z izredno močnim aktivnim galaktičnim jedrom oz. super masivnimi črnimi luknjami v središču.

6

za slednje. Beleženje objektov, kot so asteroidi, je sicer težje, saj je zaradi bližine videti, da se veliko hitreje premikajo. Posnetki morajo biti tedaj dovolj pogosti, sicer bi bilo težko identificirati, da gre na različnih posnetkih za isti objekt. Zaradi teh težav Gaji pomagajo observatoriji na Zemlji (Challenges Closer to Home: Gaia's asteroids, 2017).

2.2 SESTAVA SATELITA GAIA

Sam satelit ima maso 2030 kg in je sestavljen iz treh delov:

a) Meritvenega modula (Payload module), ki vsebuje vse optične inštrumente in elektroniko, potrebno za samo izvajanje merjenja in procesiranja podatkov. Ta del vsebuje video procesno enoto, enoto za časovno porazdelitev (povezano z Zemljo) in podatkovno bazo, ki shranjuje podatke.

b) Modula za mehansko vzdrževanje. Ta služi kot konstrukcija, ki podpira ostala dva modula. Poleg tega so tu še raztegljivi sončni ščit (Deployable sunshield), ogrodje za temperaturno izolacijo meritvenega modula (Payload thermal tent) in Sončni kolektorji (Solar arrays and Harness).

c) Modula za elektronsko podporo, v katerem je centrala za usmerjenost satelita, električno napajanje, centrala za vodenje podatkov in center za radio komunikacijsko zvezo z Zemljo.

Za predstavljivost in prikaz je v pomoč slika 2.2.1.

7

Slika 2.2.1: Sestava satelita Gaia (https://www.researchgate.net/figure/Diagram-of-the-Gaia-spacecraft- The-service-module-comprises-the-spacecraft-structure_fig2_257561746)

Natančneje je prvi modul sestavljen še iz dveh identičnih teleskopov, usmerjenih v dve različni smeri, med katerima je kot 106,5° in za katerega poskrbijo, da s časom karseda malo spreminja. Svetloba iz obeh teleskopov se nato zbere v skupni goriščni ravnini (exit pupil). Naslednji trije inštrumenti detektirajo svetlobo, ki jo zbirata ta dva teleskopa:

a) Astrometrični inštrument (slika 2.2.2) je namenjen merjenju leg zvezd. S povezavo vseh podatkov iz tega inštrumenta lahko za vsako zvezdo ugotovimo njeno paralakso in tako dobimo razdaljo do te zvezde, prav tako njeno hitrost v ravnini neba. Pri tem jih zanima zlasti meritev kota med dvema objektoma, ki sta bila opazovana vsak s svojih teleskopom. Tako kot z velikim šestilom izjemno natančno pomerijo kote med zvezdami, ki so približno 106 stopinj narazen. Ti koti se s časom spreminjajo, tako zaradi gibanja zvezd, kot zato, ker satelit skupaj z Zemljo kroži okoli Sonca in se zato premika opazovališče.

Slednje nam omogoča meriti razdaljo do objekta. Z astrometričnim inštrumentom lahko merimo dele neba, kjer gostota zvezd ne presega 3 milijonov zvezd na posamezno kvadratno stopinjo nebesne sfere.

8

Slika 2.2.2: Zgradba astrometričnega inštrumenta (https://www.cosmos.esa.int/web/gaia/astrometric- instrument)

b) Fotometrični inštrument (slika 2.2.3) nam da barvo nebesnih objektov z generiranjem dveh nizko ločljivih spektrov: enega v rdečem in enega v modrem območju spektra (med 330 nm in 1050 nm). Podatki s tega inštrumenta so temperatura, ocena mase in starosti in za svetle objekte ocena kemijske sestave objekta.

Slika 2.2.3: Pogled v fotometrični inštrument (https://www.cosmos.esa.int/web/gaia/photometric- instrument)

9

c) Spektrometer radialne hitrosti (slika 2.2.4) nam omogoča izmeriti hitrost oddaljevanja oziroma približevanja zvezde, pri tem pa izkorišča Dopplerjev pojav, ki (malenkostno) vpliva na položaj absorpcijskih črt v visoko resolucijskem spektru, ki pokriva ozek pas valovnih dolžin (845 nm - 872 nm) (Spacecraft & Instruments, b.d.).

Slika 2.2.4: Spektrometer radialne hitrosti (https://www.cosmos.esa.int/web/gaia/Radial-Velocity- Spectrometer)

10

3 ASTEROIDI

Kaj sploh so asteroidi? To so veliki kamniti (ali redkeje kovinski) objekti, ki večinoma krožijo v asteroidnem pasu med Marsom in Jupitrom. Lahko krožijo tudi v poljubnih drugačnih eliptičnih tirnicah okoli Sonca. Kljub različnim velikostim (nekateri imajo premer le nekaj metrov, drugi so lahko premera nekaj sto kilometrov) so premajhni, da bi jim lahko rekli, da so planeti. Prav tako ne morejo biti naravni sateliti oz. lune, saj krožijo okoli Sonca in ne okoli drugih planetov. Poznanih jih je več kot 700.000.

Da bi lažje razlikovali in razumeli imena »vesoljskih kamnov«, sem pripravil kratke obrazložitve, kaj katero ime pomeni. Meteoridi so skale, ki se odlomijo ob trku dveh asteroidov in sicer od poljubnega izmed obeh. Če ta meteorid prileti zelo blizu Zemlji in preide v atmosfero, začne izhlapevati in tako dobimo meteor. Na nebu je opazen kot nekakšen utrinek. Ti objekti večinoma popolnoma izhlapijo v atmosferi, nekaj pa jih uspe priti do Zemljinega površja. Takrat jih imenujemo meteoriti. Velja tudi omeniti razliki med asteroidi in kometi. Slednji so namreč nebesni objekti, ki so sestavljeni predvsem iz ledu in prahu. Na nebu jih lahko vidimo z dolgimi repi, ki so sledi sublimacije ledu zaradi Sončevega obsevanja. Seveda so kometi tudi nekaj drugega od meteorjev. Komete vidimo, ko se pomikajo po vesolju, meteorje pa šele, ko preidejo v našo atmosfero (Asteroid or Meteor: What's the difference?, 2017).

Pa se vrnimo k asteroidom. Nastanek asteroidov je povezan s samo formacijo našega Osončja okoli 4,6 milijarde let nazaj. Jupiter ob nastanku zaradi svoje velikosti in mase ni pustil, da bi se okoliški kamni združili v planet, zato je v območju med Jupitrom in Marsom nastal pas, kjer so se kamni med seboj zaletavali in dobili smo asteroidni pas kot ga poznamo danes.

Nekateri asteroidi so dobro znani že kar nekaj časa. To je mišljeno predvsem za Ceres in Vesto, ki sta bila odkrita leta 1801 in 1807, takrat mišljena kot nova planeta. Sicer so asteroidi zelo nenavadnih oblik, a je Ceres zelo sferične oblike, zaradi česar so verjetno takrat menili, da gre za majhen planet. Nekateri asteroidi so tako veliki, da imajo svoje lune, poznamo pa tudi dvojne in trojne asteroide, ki imajo skupno težišče okoli katerega se vrtijo, seveda poleg potovanja okoli Sonca. Obstajajo pa tudi asteroidi, ki so jih planeti potegnili v svojo gravitacijsko polje in so postali lune. Tako naj bi Mars dobil

11

luni Fobos in Deimos, prav tako pa ostali zunanji planeti v Osončju. Asteroidi v asteroidnem pasu (območje asteroidnega pasu na sliki 3.1) imajo zaradi precejšnje oddaljenosti od Sonca tipično površinsko temperaturo okoli -73° C. Ker so večinoma nespremenjeni že milijarde let, lahko znanstveniki s pomočjo asteroidov izvedo veliko novega o nastanku Osončja.

Slika 3.1: Velikost Asteroidnega pasa (https://space-facts.com/asteroid-belt/)

Asteroide klasificiramo na tri tipe:

a) C-tip ali karbonatni asteroidi – večina (75 %) znanih asteroidov je sivkaste barve, sestavljenih predvsem iz silikatnih kamnin in gline. Taki asteroidi se nahajajo predvsem v zunanjih delih asteroidnega pasu.

b) S-tip ali silikatni asteroidi – (17 %) so zelenkasto rdeči asteroidi, nahajajo pa se predvsem v notranjih predelih asteroidnega pasu. So iz silikatnih materialov, niklja in železa.

c) M-tip ali kovinski asteroidi – so rdečkaste barve in se prav tako nahajajo na osrednjem delu asteroidnega pasu. Sestavljeni so iz niklja in železa (Asteroids:

Fun Facts and Information About Asteroids, 2017).

12

Poleg tega, da se asteroidi nahajajo v asteroidnem pasu, jih najdemo še kot Trojanske asteroide blizu Zemlje (NEA)³ in Jupitra in v Kuiperjevem pasu.

Še nekaj malega o Kuiperjevem pasu. Nahaja se na koncu našega Osončja, še dlje od Neptuna, kjer kroži planetoid Pluton, ki so ga do leta 2006 obravnavali kot deveti planet našega Osončja. Zaradi velike oddaljenosti od Zemlje se o Kuiperjevem pasu ve bolj malo, je pa ocenjeno, da naj bi bil širok okoli 20 astronomskih enot (a.e.)⁴, kar je veliko več od širine asteroidnega pasu. Tam se največkrat nahajajo manjši objekti, ki so večinoma iz ledu, asteroidi, nekateri planetoidi ipd. Iz tega pasu naj bi izhajalo tudi nekaj kometov s krajšimi periodami, ki krožijo okoli Sonca in jih lahko današnji merilniki zaznavajo (Kuiper Belt Facts, b.d.).

Težava pri odkrivanju Kupierjevega pasu je v tem, da je zelo daleč (glej oddaljenost od Zemlje na sliki 3.2). Zaradi te oddaljenosti so objekti videti veliko temnejši. Primer: Če je razdalja 10 - krat večja, bo objekt videti 100 krat man osvetljen, saj se gostota svetlobnega toka zmanjšuje s kvadratom oddaljenosti. Ker pa opazujemo z njega odbito svetlobo na Zemlji, ki je na podobni oddaljenosti od asteroida kot Sonce, se zgodba s 100-kratnim razredčenjem gostote svetlobe ponovi, in bo za Zemljane (in za Gajo) satelit videti 10000-krat temnejši. Glede na to, da je asteroidni pas od Sonca oddaljen približno 2,2 a.e., Kuiperjev pas pa okoli 30 a.e., je to ravno tisti razlog, da je opazovanje opisanega pasu oteženo.

3 NEA iz angleščine Near-Earth Asteroids so asteroidi v bližnji okolici Zemlje. Njihove tirnice pripeljejo asteroid zelo blizu Zemljini tirnici, nekateri jo celo sekajo. Med 10.003 poznanimi NEA-ji jih je 1.409 potencialno nevarnih Zemlji, torej bi kdaj v bodočnosti lahko trčili, vendar ne poznamo nobenega telesa, kjer bi se to lahko zgodilo v tem stoletju.

3 Trojanski asteroidi so tisti, ki krožijo po isti tirnici kot nek večji planet v njegovi L4 in L5 Lagrangevi točki s Soncem. Četrta in peta Lagrangeova točka ležita v isti orbitalni ravnini kot planet in to v ogljišču enakostraničnega trikotnika, ki ima v ostaliih dve ogljiščih planet in Sonce. Najbolj znani trojanski asteroidi so Jupitrovi (Asteroids in depth, 2017).

4 Je razdalja med Zemljo in Soncem, ki meri približno 150 milijonov kilometrov.

13

Slika 3.2: Oddaljenost in velikost Kuiperjevega pasa (https://space-facts.com/kuiper-belt/)

14

4 GIBANJE NEBESNIH TELES

V tem poglavju je opisanih 6 Keplerjevih elementov tira oziroma parametrov, s katerimi lahko določimo tirnico ali gibanje nekega poljubnega nebesnega telesa, ki se giblje okoli mnogo masivnejšega telesa, v našem primer Sonca. Poimenovani so po Johannesu Keplerju. Med elementi so ekscentričnost oziroma sploščenost, velika polos relativnega tira, naklon tira, argument periapside oziroma perihelija, dolžina dvižnega vozla in srednja anomalija ob nekem izbranem trenutku. Ker asteroidi potujejo po periodičnih (ponavljajočih se), to je eliptičnih tirnicah, bom enačbe za primer paraboličnih ali hiperboličnih tirnic izpustil. Vseskozi tudi predpostavimo, da je masa Sonca izjemno velika v primerjavi z maso telesa, ki se giblje okoli njega. Torej Sonce za nas miruje in se giblje le to drugo telo.

4.1 VELIKA POLOS

Gre za razdaljo, ki meri od središča elipse do bolj oddaljenega temena. Označimo jo z malo črko . Velika polos je lahko izračunana tudi kot polovica vsot obeh apsid t.j.

periapside in apoapside, oziroma razdalje perihelija in afelija:

= . (4.2.1)

Pri povezavi z ekscentričnostjo dobimo dve enačbi in sicer:

= (1 − ),

= (1 + ).

(4.2.2) (4.2.3)

4.2 EKSCENTRI Č NOST

Ekscentričnost nam pove za kolikšno mero je v matematiki krivulja drugega reda, v našem primeru pa tirnica, sploščena. Označimo jo z malo črko , njena vrednost pa ima štiri zanimive vrednosti.

a) Če je ekscentrič pomeni, da ekscentri

tirnica vedno vsaj malo odstopa od kroga b) Če je vrednost ekscentri

je ob večji vrednosti elipsa približno 0,0167

ekstremne vrednosti pa je tirnic kar pomeni, da je zelo sploš c) Če je ekscentričnost to

objekt nikoli ne vrne in gre le enkrat mimo težjega objekta. Takšno ekscentričnost imajo objekti, ki imajo minimalno hitrost,

orbite.

d) Če pa je ekscentrič

objekti z veliko hitrostjo, kateri

smer, ne more pa manjši objekt povle uporablja pri pojavu gr

Primeri različnih vrednosti ekscentri

Slika 4.2.1: Primeri ekscentri

Ekscentričnost lahko izrač

15

e je ekscentričnost enaka 0 ( = 0), dobimo krog. Z drugimi besedami to pomeni, da ekscentričnosti ni. Takšne orbite so v vesolju zelo redke

tirnica vedno vsaj malo odstopa od kroga.

e je vrednost ekscentričnosti med 0 in 1 0 1 , dobimo elipso, pri čji vrednosti elipsa čedalje bolj sploščena. Zemlja ima ekscentri približno 0,0167, zato je skoraj popolnoma skladna krožnici.

ekstremne vrednosti pa je tirnica Halleyevega kometa, ki ima vrednost 0,967, kar pomeni, da je zelo sploščena.

e je ekscentričnost točno 1 1 , je krivulja parabola, kar

objekt nikoli ne vrne in gre le enkrat mimo težjega objekta. Takšno čnost imajo objekti, ki imajo minimalno hitrost, ki

e pa je ekscentričnost večja od 1 1 , gre za hiperbolič

objekti z veliko hitrostjo, katerim lahko gravitacija težjega objekta le spremeni smer, ne more pa manjši objekt povleči v svojo orbito. Takšno gibanje se uporablja pri pojavu gravitacijske frače.

nih vrednosti ekscentričnosti so prikazani na sliki 4.2.1.

Primeri ekscentričnosti (http://creationwiki.org/Orbital_eccentricity)

nost lahko izračunamo z naslednjo enačbo:

.

), dobimo krog. Z drugimi besedami to Takšne orbite so v vesolju zelo redke, saj v resnici

, dobimo elipso, pri čemer ena. Zemlja ima ekscentričnost skladna krožnici. Kot primer a Halleyevega kometa, ki ima vrednost 0,967,

, kar pomeni, da se objekt nikoli ne vrne in gre le enkrat mimo težjega objekta. Takšno ki ustreza pobegu iz

, gre za hiperbolične tirnice. To so lahko gravitacija težjega objekta le spremeni i v svojo orbito. Takšno gibanje se

.1.

nosti (http://creationwiki.org/Orbital_eccentricity)

(4.1.1)

16

Parametra in sta razdalji periapside in apoapside, ki sta, z drugimi besedami, najbližja in najbolj oddaljena točka objektu okoli katerega manjši objekt kroži.

Za vse objekte zadnjih dveh ekscentričnosti velja, da pridejo iz neskončnosti in se tja tudi vračajo. V nadaljevanju se bomo bolj ukvarjali z elipsami, saj se asteroidi gibljejo po eliptičnih tirnicah.

Zgoraj omenjena parametra, ki sta podrobneje opisana v podpoglavjih 4.1 in 4.2, nam dajeta samo obliko naše elipse. Ostali parametri pa, kot bomo videli, podajajo podatke o usmerjenosti.

4.3 NAKLON TIRA

Naklon tira podamo kot kot med ravnino gibanja met neko referenčno ravnino, ki gre skozi težji objekt (v našem primeru ravnina Zemljinega tira oz. ekliptika – v nadaljevanju bom ves čas uporabljal Sonce kot težje telo in ekliptiko kot referenčno ravnino). Kot med tema dvema ravninama se imenuje naklon tira ali inklinacija in ga označimo s črko . Naklon tira lahko meri med 0°in 180°. Pri naklonu 0° sta obe ravnini skladni, pri 90° se telo giblje okoli Sonca pravokotno na ekliptiko, pri 180° pa se giblje enako kot pri 0°, le v nasprotni smeri.

4.4 ARGUMENT PERIHELIJA

V ravnini tira je elipsa lahko še poljubno zaskuana. Ta zasuk opišemo z argumentom perihelija, to je kot med presečiščem ravnin in perihelijem, merjeno v smeri gibanja objekta (Helios je grško za Sonce, zato se ime spremeni iz periapside, ki je le skupno ime najbližjih točk, v perihelij). Za presečišče izberemo dvižni vozel, to je smer, kjer – gledano s Sonca – iz polkrogle južno od ekliptike preide na severno hemisfero.

Argument perihelija označimo z grško črko !, meri pa lahko med 0° in 360°. Kot je razvidno na sliki 4.4.1, smo zasukali tirnico okoli " osi (kjer se nahaja Sonce) za nek poljuben kot. Zgornja slika prikazuje pogled iz vrha, spodnja pa s strani (Smart, 1949).

17

Slika 4.4.1: Rotacija okoli osi, ki predstavlja argument perihelija (http://astronomy.swin.edu.au/cosmos/A/Argument+Of+Perihelion)

4.5 DOLŽINA DVIŽNEGA VOZLA

Kjer tirnica objekta seka ekliptiko dobimo dve točki na nebesni sferi, imenovani vozla.

Prva točka, ki je na delu tirnice, ko ta preide na severno stran ekliptike, se imenuje dvižni vozel, na drugi strani pa je spustni vozel. Za pomoč pri razumevanju je slika 4.5.1. Na sliki sta že upoštevana naklon tira in argument perihelija, da se lažje opazi dvižni vozel. Zgornja slika je gledana iz tlorisa, spodnja v smeri y osi. Sedaj, ko poznamo dvižni vozel, lahko povemo še kaj je dolžina dvižnega vozla. To je kot med pomladiščem⁵ in smerjo proti dvižnemu vozlu, merjeno v istem smislu, kot se Zemlja giblje okoli Sonca. Dolžino dvižnega vozla označimo s črko #, merimo med 0° in 360°

(Smart, 1949).

5 Je navidezna točka na nebesni krogli, kjer se sekata ekliptika in Zemljin nebesni ekvator. Sonce je v pomladišču ob pomladnem enakonočju.

18

Slika 4.5.1: Predstavitev dvižnega vozla (angleško ascending node) in smer gibanja objekta (http://astronomy.swin.edu.au/cosmos/A/Ascending+Node)

Parametri med 4.3 in 4.5 poglavji nam dajejo podatke o usmerjenosti tirnice.

4.6 SREDNJA ANOMALIJA

Podatek srednje anomalije nam v obliki kota pove, kolikšen del orbitalne periode je minil od zadnjega prehoda objekta skozi perihelij. Označimo jo s črko $ in se meri v kotih med 0° in 360°. Da bomo bolje razumeli, kaj dejansko je srednja anomalija, bi na tem mestu želel predstaviti še pravo in ekscentrično anomalijo.

Prava anomalija je dejanski kot med perihelijem in objektom, z vrhom pri Soncu.

Označimo jo s črko % (na sliki 4.6.1 sicer s &).

Če elipsi, ki predstavlja tirnico očrtamo krožnico in z nosilke velike polosi narišemo pravokotnico skozi točko, kjer leži objekt (prikazan z vektorjem '(), dobimo na krožnici novo točko (presečišče pravokotnice in krožnice). Kot med perihelijem in našo novo dobljeno točko, z vrhom v središču očrtane krožnice se imenuje ekscentrična anomalija.

Označimo jo s črko ) (glej sliko 4.6.1.). Ta pomožni kot nam bo služil kot vmesna

19

stopnja med srednjo anomalijo, ki jo izračunamo s časa opazovanja, in pravo anomalijo, ki predstavlja kot od perihelija, ki ga je telo do tedaj naredilo.

Slika 4.6.1: Matematični prikaz ekscentrične anomalije (https://www.researchgate.net/figure/The- geometric-relationship-between-the-eccentric-anomaly-E-and-the-true-anomaly-th_fig1_271214938)

Če si predstavljamo kroženje po eliptičnemu tiru, vemo, da hitrost ni konstantna, saj se po 2. Keplerjevem zakonu ohranja ploščinska hitrost objekta. Torej se prava anomalija blizu perihelija veliko hitreje spreminja kot v afeliju (najbolj oddaljena točka od Sonca).

Srednja anomalija pa nam predstavlja to gibanje kot gibanje s konstantno hitrostjo.

Drugače rečeno, kot da bi se objekt gibal po krožnici. Srednja in prava anomalija opravita en obhod orbite ob istem času. Srednjo anomalijo lahko izračunamo z enačbo:

$ * ∙ + − , 360°

- ∙ (+ − ,),

(4.6.1) pri čemer je * srednja kotna hitrost (opazujemo na krožnici), - orbitalna perioda, + poljuben čas, za katerega nas zanima položaj objekta in , čas, ko je objekt v periheliju (Smart, 1949).

Za lažje razumevanje si poglejmo sliko 4.6.2, kjer sivo-beli deli elipse predstavljajo kote prave anomalije, rdeče-beli pa srednje anomalije v istem časovnem obdobju.

Slika 4.6.2: Razlika med pravo in srednjo anomalijo, pri

obhoda (https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_anomaly)

Razmerja med anomalijami rač

$ cos

4.7 ELEMENTI TIRA V CELOTI

Vseh šest elementov tira združimo v celoto in dobimo sliko 4.7.1. Na sliki je ozna še dolžina dvižnega vozla in referen

Slika 4.7.1: Vsi elementi tira (https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_of_the_ascending_node)

20

Razlika med pravo in srednjo anomalijo, pri čemer vsak odsek predstavlja dvanajstino obhoda (https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_anomaly)

omalijami računamo z naslednjima enačbama:

$ ) − ∙ sin ), cos % _{9–8∙456 7}^{456 7 8}.

ELEMENTI TIRA V CELOTI

Vseh šest elementov tira združimo v celoto in dobimo sliko 4.7.1. Na sliki je ozna še dolžina dvižnega vozla in referenčna smer ϓ (smer proti pomladišču).

Vsi elementi tira (https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_of_the_ascending_node) emer vsak odsek predstavlja dvanajstino

(4.6.2) (4.6.3)

Vseh šest elementov tira združimo v celoto in dobimo sliko 4.7.1. Na sliki je označena

Vsi elementi tira (https://en.wikipedia.org/wiki/Longitude_of_the_ascending_node)

21

5 TIRNICA IZBRANEGA ASTEROIDA

Meritve so javno dostopne na internetni strani ESA Gaia DR2 (http://cdn.gea.esac.esa.int/Gaia/gdr2/aux_sso_orbits/csv/).

Tabela 5.1: Meritve asteroida 8 Flora (http://cdn.gea.esac.esa.int/Gaia/gdr2/aux_sso_orbits/csv/)

SOLUTION_ID 4427920383700574337

NUMBER_MP 8

DESIGNATION Flora

MAG_H 6,49

SLOPE_G 0,28

CODE 0

OBS_ARC 62156

OBS_NUM 2349

OBS_EPOCH 20180323

ORB_M 74,153606

OMEGA 285,27634

NODE_OMEGA 110,900075

INCLINATION 5,886804

ECCENTRICITY 0,15695018

A 2,20110545

ORB_DATE 20180203

CEU 0,026

CEU_RATE −2,3 ^;

CEU_EPOCH 20180228

V tabeli 5.1 so razvidni podatki, ki jih je Gaia zabeležila o asteroidih. Če želi bralec izvedeti kaj pomenijo posamezni podatki, lahko to preveri na internetni strani ESA v

Gajini dokumentaciji

(https://gea.esac.esa.int/archive/documentation/GDR2/Gaia_archive/chap_

datamodel/sec_dm_auxiliary_tables/ssec_dm_aux_sso_orbits.html).

Meritve, ki jih bom v svojih izra

predstavljajo Keplerjevih 6 elementov tira po vrsti takole: srednja anoma 23.3.2018 ob 0:00 po času na Greenwichu

naklon tira, ekscentričnost in velika polos. Podatki so podani v kotnih stopinjah, razen ekscentričnosti, ki nima enote in velike polosi, ki je podana v astro

Postopek izračuna je namenjen

meritve, ki so bile po korakih predstavlje za tirnico asteroida 8 Flora.

Iz enačbe (4.2.2) dobimo razdaljo do 1 − 2,20110545

kar predstavlja gorišče orbite, kjer se nahaja Sonce. Elipsa orbite pa je dolga

S tema dvema podatkoma narišemo obliko naše prikazana oblika tira asteroida 8 Flora, pri

predstavlja Sonce.

Slika

22

Meritve, ki jih bom v svojih izračunih uporabil, so označene z zeleno barvo in predstavljajo Keplerjevih 6 elementov tira po vrsti takole: srednja anoma

času na Greenwichu, argument perihelija, dolžina dvižnega vozla, čnost in velika polos. Podatki so podani v kotnih stopinjah, razen nosti, ki nima enote in velike polosi, ki je podana v astronomskih enotah.

je namenjen ponovitvi, s pomočjo katere si bralec lahko predstavlja korakih predstavljene v poglavju 4. Izračunan primer je prikazan

) dobimo razdaljo do perihelija:

20110545 . .∙ 1 0,15695018 1,85564155

če orbite, kjer se nahaja Sonce. Elipsa orbite pa je dolga

2 4,40221090 . ..

S tema dvema podatkoma narišemo obliko naše tirnice. Na sliki 5.1

asteroida 8 Flora, pri čemer sta P in A, perihelij in afelij, S pa

Slika 5.1: Oblika orbite asteroida 8 Flora

ene z zeleno barvo in predstavljajo Keplerjevih 6 elementov tira po vrsti takole: srednja anomalija na dan , argument perihelija, dolžina dvižnega vozla, nost in velika polos. Podatki so podani v kotnih stopinjah, razen

nomskih enotah.

jo katere si bralec lahko predstavlja unan primer je prikazan

85564155 . ., e orbite, kjer se nahaja Sonce. Elipsa orbite pa je dolga

5.1 je s tlorisa emer sta P in A, perihelij in afelij, S pa

Ko tirnico izbranega asteroida pogledamo iz strani (vzporedno ekliptiki) vidimo, da ima majhen naklon tira (glej tabelo 5.1)

perihelija Zemlje in asteroida, to predstavlja Sonce.

Argument perihelija tirnic

slike 5.2 ohranjene, podan pa je še kot

Slika

23

o izbranega asteroida pogledamo iz strani (vzporedno ekliptiki) vidimo, da ima (glej tabelo 5.1) predstavljen na sliki 5.2, kjer toč

perihelija Zemlje in asteroida, točki A, afelija Zemlje in asteroida, toč

Slika 5.2: Inklinacija orbite asteroida 8 Flora

tirnice asteroida 8 Flora je prikazan na sliki 5.3, kjer s , podan pa je še kot !.

Slika 5.3: Rotacija okoli Sonca po z koordinati - 8 Flora

o izbranega asteroida pogledamo iz strani (vzporedno ekliptiki) vidimo, da ima predstavljen na sliki 5.2, kjer točki P predstavljata , točka S pa ponovno

e asteroida 8 Flora je prikazan na sliki 5.3, kjer so oznake s

24

Na sliki 5.4 sta prikazana tako dvižni kot spustni vozel. Za primerjavo je prikazana še oddaljenost od vseh štirih notranjih planetov našega Osončja.

Slika 5.4: Dvižna vozla in oddaljenost od planetov

25

6 TRANSFORMACIJA IZ EKLIPTIKE V EKVATORIALNO RAVNINO

Za začetek si izberimo datum, za katerega nas zanima, kje se je nahajal asteroid 8 Flora.

Moja izbira datuma je 6.4.2018. Da lahko izračunamo $⁶ iz enačbe 4.6.1 potrebujemo orbitalno periodo - in datum, ko se je asteroid nahajal v epohi. Slednjega razberemo iz tabele in sicer je to 23.3.2018 (OBS_EPOCH). Pazimo na to, da je prva štiri števila zapisa predstavljajo leto, naslednji dve mesec in zadnji dve dan.

Opomnik, da bom za moje meritve uporabljal natančnost na 6 decimalk za podatke iz tabele, ker so takšni tudi podatki v tabeli (mišljeno za kote), sicer bodo števila natančna na 8 decimalk. Prav tako v nadaljevanju ne bo izpeljav enačb. Te lahko najdemo v knjigi in poglavju omenjenem v razdelku 1.1.

Kot že rečeno pa potrebujemo še -, katerega dobimo iz 3. Keplerjevega zakona, ki pravi, da je v našem Osončju razmerje @^A

B konstantno.

Ker je razmerje konstantno, to velja tudi za Zemljo in lahko izračunamo orbitalno periodo za naš asteroid:

@_C^A

CB

@_D^A

DB

.

Za Zemljo imamo podatka _E 1 . . in -_E = 1 F +G. Saj je tako definirana astronomska enota in vemo, da je leto definirano kot čas v katerem Zemlja prepotuje en obhod po svoji tirnici. Podatke vstavimo v enačbo in izpostavimo -_H:

-_H = I-_E ∙ _H^J

EJ = I1 F +G ∙ (2,20110545 . . )^J

1 . .^J = K2,20110545^J F + =

= 3,26558711 F +

6 Za podatek $ iz tabele dobimo podatek o času, ki je splošno dogovorjen za merjenje nebesnih objektov in je enoten za vse vesoljske meritve.

26

Z novim podatkom lahko izračunamo želeni $, pri čemer je že izračunana razlika v dneh med poljubnim datumom in epoho:

$^′ 360°

- ∙ (+ − ,) = 360°

3,26558711 F + ∙ 14 * = 360°∙ 14 *

3,26558711 ∙ 365,2422 * =

= 4,225599° = 0,07375062 [' ]

$ = $^′+ $_{N O8P} = 4,225599°+ 74,153606° = 78,379205° = 1,36797519 [' ] Prvi izračun nam pove samo za koliko se je $ spremenil od položaja kjer je bil asteroid 23.3.2018 do izbranega datuma. Da smo dobili $ od takrat, ko je bil asteroid v

periheliju, do izbranega datuma, smo morali prišteti še $ iz tabele.

Naslednji korak je izračun ekscentrične anomalije ) s pomočjo enačbe 4.6.2. Ker se na desni strani ) pojavi dvakrat, ga moramo aproksimirati. Tu si lahko pomagamo s tabeliranjem približkov in za ) vzamemo najbolj primeren približek izračunanemu $. Pazljivi moramo biti na to, da je enačba 4.6.2 rešljiva le, če uporabimo radiane in ne kotnih stopinj.

Tabela 6.1 je aproksimacijska tabela za ), kjer je z zeleno obarvan podatek tisti, ki ga bom v nadaljevanju uporabil kot središčno anomalijo.

Tabela 6.1: Aproksimacija središčne anomalije

E M

1 0,86793022

2 1,85728479

1,5 1,34344208

1,6 1,44311584

1,52 1,36325136

1,53 1,37317951

1,525 1,36821348

1,524 1,36722074

1,5245 1,36771709

1,5247 1,36791564

1,52475 1,36796528

1,52476 1,36797521

1,524759 1,36797421

1,5247599 1,36797511

1,52475999 1,36797520

1,52475998 1,36797519

27

S podatkom ) lahko dobimo podatek o položaju asteroida glede na Sonce podanim z vektorjem '(. Za ta izračun uporabimo enačbo 6.2:

' 1 − ∙ QGR)). (6.2)

' = 2,20110545 . .∙ (1 − 0,15695108 ∙ QGR1,52475998) = 2,18520708 . . Če želimo preveriti rezultat, obstaja še druga pot do '. Za to pot moramo izračunati najprej pravo anomalijo % preko enačbe 6.3:

tan%

2 = U1 + 1 − V

9

∙ tan) 2.

(6.3)

% = 2 arctan XU1 + 1 − V

9

∙ tan) 2Y

= 2 arctan XU1 + 0,15695108 1 − 0,15695108V

9

∙ tan1,52475998

2 Y == 1,68276822

Ta podatek lahko vstavimo v enačbo 6.4 in izračunamo ' še na drug način:

' =

.

' = 2,20110545 . .∙ (1 − 0,15695108 )

1 + 0,15695108 ∙ QGR1,68276822 = 2,18520708 . .

Vidimo, da se podatki ujemajo, torej bo rezultat pravilen.

Da iz vektorja '( dobimo tridimenzionalne ekliptične koordinate s središčem v Soncu moramo uporabiti naslednje tri enačbe:

[ = ' ∙ [cos # ∙ cos(! + %) − sin # ∙ sin(! + %) ∙ cos ],

(6.5)

\ = ' ∙ [sin # ∙ cos(! + %) + cos # ∙ sin(! + %) ∙ cos ],

(6.6)

" = ' ∙ sin(! + %) ∙ sin . (6.7) Enačbe predstavljajo tri zaporedne rotacije koordinatnega sistema, da lahko projektiramo tirnico asteroida na ekliptiko. Ko v enačbe vstavimo podatke dobimo naslednje rezultate (paziti je potrebno, da pravo anomalijo % spremenimo v stopinje oz.

ostale podatke v radiane):

28

[_H −1,47490855 . .,

\_H = 1,61025230 . .,

"_H = 0,08283892 . ..

Enak postopek naredimo še za Zemljo. Merili bomo rezultate s središča Zemlje, saj je lažje izračunljivo in je v primerjavi z razdaljami v vesolju, polmer Zemlje lahko kar

zanemarljiv. V pomoč so na internetni strani

https://ssd.jpl.nasa.gov/txt/aprx_pos_planets.pdf podatki o elementih tira planetov na datum 1.1.2000 (za Zemljo gledamo vrstico EM Bary v prvi tabeli).

Sedaj za Zemljo izračunajmo podatke, ki jih bomo uporabili za izračun koordinat.

= 1,00000261 . . +0,00000562 . .∙ 6670 *

36524,22 * = 1,00000364 . .

Drugi del izračuna predstavlja popravek na stoletje, dni razlike med 1.1.2000 in 6.4.2018 in stoletje predstavljeno z dnevi.

= 0,01671123 −0,00004392 ∙ 6670 *

36525 * = 0,01670321 = −0,00001531°−0,01294668°∙ 6670 *

36525 * = −0,00237956°

! = 102,93768193°+0,32327364°∙ 6670 *

36525 * = 102,99671643°

= 100,46457166°+35999,37244981°∙ 6670 *

36525 * = 6674,477282°

= 194,466282°

predstavlja pravo dolžino planeta, ki jo enostavno izračunamo iz enačbe:

= $ + !, (6.8)

ki na vsakih 365.25 dni naraste za 359,99372°. Podatek nam pove kolikšen je iskani $.

$ = − ! = 194,466282°− 102,99671643° = 91,46956557°= 1,59644508 Iz popravljenih podatkov lahko izračunamo koordinate za Zemljo po istem postopku kot za asteroid in dobimo:

29

[_E −0,96010070 . .,

\_E= −0,28218535 . .,

"_E = 0,00001172 . ..

Sedaj lahko vektorja med seboj odštejemo in dobimo direkten vektor iz Zemlje do asteroida 8 Flora:

'(_{E H}= '(_H− '(_E =

= (−1,47490855 . . , 1,61025230 . . , 0,08283892 . . )

− (−0,96010070 . . , −0,28218535 . . , 0,00001172 . . ) =

= (−0,51480785 . . , 1,89243765 . . , 0,08282720 . . )

V želenem koordinatnem sistemu (Heliocentričnem ekvatorialnem) naj [ predstavlja smer proti pomladišču, \ smer v ravnini ekvatorja, pravokotno na [, " pa smer proti severnemu nebesnemu polu. Enako kot zgoraj smo samo zasukali koordinatni sistem in dobili naslednje tri enačbe. Upoštevati je potrebno še, da je Zemlja nagnjena za ] = 23,5°:

[ = [^′, (6.9)

\ = \^′∙ cos ] − "^′∙ sin ], (6.10)

" = \^′∙ sin ] + "^′∙ cos ]. (6.11) Ko vstavimo podatke in izračunamo dobimo naslednje rezultate:

[ = −0,51480785 . .,

\ = 1,70245174 . .,

" = 0,83056527 . ..

V našem koordinatnem sistemu nas sedaj zanimata rektascenzija (^) in deklinacija (_). Ta dva podatka izračunamo kar direktno iz kotnih funkcij našega koordinatnega sistema:

tan ^ =

,

sin _ =

.

30

Ponovno, kot že v prejšnjih korakih, v enačbi vstavimo podatke in ju izračunamo:

^ −73,17510141°= −4 ℎ 52 * 42,02 R = 7 ℎ 7 * 17,98 R, _ = 25° 1^′ 53,98^′′.

Ker sta obe rešitvi tangensne zveze 6.12, 180° narazen, je bolj primerna rešitev (glej koordinate) 7 ℎ 7 * 17,98 R, kot pa 19 ℎ 7 * 17,98 R.

31

7 PRIMERJAVA S PROGRAMOM STELLARIUM

Stellarium je program, s katerim lahko gledamo nebesne objekte preko računalnika ali pametnega telefona, kakor bi jih gledali na prostem s prostim očesom, z daljnogledom ali teleskopom. Program je brezplačen na računalniku, a je plačljiv za uporabo na telefonu.

Za pravilno uporabo moramo na programu najprej nastaviti, kje se na Zemlji nahajamo oziroma naše zemeljske koordinate in nadmorsko višino. Ko to nastavimo, lahko v spodnjem levem kotu izbiramo poljubne funkcije, ki nam jih program omogoča. Kot primer so to imena ozvezdij, črte ozvezdij, azimutna in ekvatorialna mreža itd.

Prednosti programa so, da lahko tudi podnevi vidimo zvezde in nas nebo in tla pod nami ne ovirajo. Tu le pritisnemo funkcijo in lahko vidimo preko ovir.

Če želimo izvedeti kaj o nebesnih objektih, kliknemo na poljuben objekt in na levi zgornji strani dobimo kar veliko podatkov o tem objektu. V kolikor želenega objekta ne najdemo imamo levo spodaj okno za iskanje.

Kljub temu nekaterih objektov ni v programu (tu se predvsem osredotočam na asteroide in komete) zato jih lahko dodamo sami tako, da:

• Kliknemo okno za nastavitve in izberemo zavihek vtičniki

• Na desni strani najdemo ukaz Solar System Editor in kliknemo nastavi

• V novo odprtem okencu v drugem zavihku izberemo Import orbital elements in MPC format…

• Izberemo kaj iščemo in kliknemo na Select bookmark…, ki nam odpre sezname objektov

• Izberemo lahko katerikoli seznam, kjer poiščemo objekt, ki nas zanima, ga obkljukamo in dodamo v program

Ko objekt najdemo, lahko na zgornji desni strani pogledamo vrednost rektascenzije in deklinacije. Na sliki 7.1 sta podatka v vrstici RA/DEC (J2000.0).

Slika 7.1: Podatki programa Stellarium

Relativna napak izračunov glede na podatke iz Stellariuma je:

d_e |^ − ^_g| 7 c 8 *

d_h |_ __g|

Razlika v položaju je torej

|i ' i '_g| K

Komentar:

Kot vidimo rezultati zelo malo odstopajo od podatkov s Stellariuma.

odstopanja 0,5°, je končno odstopanje presenetljivo manjše iz so Gajini podatki zelo natanč

časovnega kota v kotne sekunde, kjer je 15 razmerje med urami in stopinjami, pa stisnjenost ^ koordinat, ko se premaknemo pro

Zanima nas še kdo je naredil ve

svojih. Tu si še enkrat pomagamo 32

: Podatki programa Stellarium za asteroid 8 Flora (6.4. ob 0:00 na Greenwichu)

čunov glede na podatke iz Stellariuma je:

* 36.95 R 7 c 7 * 17,98 R 78,97 R 78 cos 25° 1073,57^kk,

25° 1^′ 53,98^′′ 24° 57^′ 48,9^′′ 245,08^′′.

K1073,57^kk 245,08^kk 1101,19^kk 18,

vidimo rezultati zelo malo odstopajo od podatkov s Stellariuma. Od prič

čno odstopanje presenetljivo manjše iz česar lahko sklepamo, da natančni. Končen popravek za ^ predstavlja le pretvorbo iz asovnega kota v kotne sekunde, kjer je 15 razmerje med urami in stopinjami,

koordinat, ko se premaknemo proč od ekvatorja.

Zanima nas še kdo je naredil večji »kiks«. Jaz v zgornjih izračunih ali Stellarium v Tu si še enkrat pomagamo s spletno stranjo

na Greenwichu)

78,97 ∙ 15 ∙

,35^k.

Od pričakovanega esar lahko sklepamo, da predstavlja le pretvorbo iz asovnega kota v kotne sekunde, kjer je 15 razmerje med urami in stopinjami, cos 25°

čunih ali Stellarium v spletno stranjo Nase:

33

https://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi, kjer v okence napišemo ime iskanega asteroida (8 Flora), kliknemo na gumb Ephemeris in nastavimo geocentrično lokacijo ter čas, ki nas zanima.

Podatka, ki ju dobim za asteroid 8 Flora na dan 6.4.2018 ob 0:00 uri sta sledeča:

^ 7 ℎ 7 *15,46 R in _ = 24° 59^k1,9′′.

S tema podatkoma lahko na enak način kot zgoraj izračunam napako za moje podatke in dobim rezultate:

m^ − ^_n@om = 2,52 R = 34,3′′, m_ − __n@om = 172,8′′, mi ' − i '_n@om = 176,2^kk.

Očitno so moji izračuni natančnejši od Stellariuma, saj je napaka z bolj zanesljivemim virom (Nasa) manjša od napake s Stellariuma. Gajini podatki so s tem sklepom izjemno bolj natančni od Stellariumovih podatkov.

34

8 DISKUSIJA

Tu predstavljam zastavljene cilje in hipoteze:

C1: Predstavim ESA misijo Gaia.

V poglavju 2 sem predstavil misijo Gaia z začetka kot osnovne razloge zakaj so jo izvajali in kaj smo z njo pridobili. Nato so še malo bolj tehnično specifične lastnosti samega satelita Gaia in pa potrebno je bilo omeniti natančnost meritev saj tu pride v poštev uspeh same misije. Bralec je torej lahko na kratko spoznal lastnosti misije in razume kako so pri ESA prišli do želenih podatkov.

C2: Predstavim asteroide in njihove lastnosti.

V tretjem poglavju sem navajal kaj so asteroidi in kako jih ločimo od ostalih kamnitih delcev v vesolju, bolj natančneje v našem Osončju. Bralcu sem predstavil kako jih med seboj ločimo in kje jih najdemo. Na kratko sta opisana tudi asteroidni pas in Kuiperjev pas ter nekaj malega o nastanku in zgodovini odkrivanj.

C3: Predstavim orbite in elemente tira.

Sami elementi tira so bolj matematične lastnosti tirnic vesoljskih objektov. Gre za

reprezentacijo oblik in usmerjenosti tirnic, ki jih pojasnimo s šestimi podatki. Za lažjo predstavo je večina elementov predstavljena tudi s slikami. Cilj 3 je bil prikazan v poglavju 4.

C4: Izračunam in narišem eno izmed orbit asteroidov.

Ta cilj se navezuje na prejšnjega, saj smo uporabili enačbe in postopke razložene v četrtem poglavju v praktičnem smislu, s poljubnim asteroidom izbranim iz podatkovne baze misije Gaia. Predstavljena je prava oblika asteroida 8 Flora, ki sem ga narisal s programom GeoGebra.

V poglavju 5 sicer ni uporabe podatka za čas t.j. podatka za katerokoli izmed treh predstavljenih anomalij, saj za samo obliko tirnice podatek o legi asteroida ni pomemben.

C5: Svoje izračune primerjam z izračuni programa Stellarium.

Po kar dolgi poti preko številnih enačb sem izračunal deklinacijo in rektascenzijo izbranega asteroida. Ta dva podatka sta namreč tista, ki nas zanimata, da vemo kam pogledati v nebo, da bi lahko objekt opazili. Prav tako sta to dva podatka, ki nam jih da sam program. Podatka sem med seboj primerjal in izračunal napako v odstotkih.

C6: Komentiram primerjavo iz cilja C5.

35

Komentar primerjave se nahaja v poglavju 7, kateremu je dodan še izračun napak za vsakega izmed podatkov. Natančnost pridobljenih podatkov je zelo visoka, zato je tudi odstopanje majhno.

V celoti so bili zastavljeni cilji uspešno opravljeni.

H1: Izbran asteroid leži v asteroidnem pasu.

Kot je razvidno iz slike 5.4 se asteroid 8 Flora nahaja na zunanji strani Marsa in ni tako daleč kot Jupiter (ga ne vidimo na sliki), zato lahko s pomočjo slike 3.1 rečemo, da se res nahaja v asteroidnem pasu. Temu pripomore tudi razdalja velike polosi, ki je skladna z razdaljami do obeh robov asteroidnega pasu gledano s Sonca. Za izbran asteroid lahko tako trdimo, da ni en izmed Trojanskih asteroidov ali NEA-jev.

H2: Moji izračuni se ujemajo z izračuni Stellariuma z absolutno napako 0,5°.

Tudi to hipotezo lahko potrdim, saj je odstopanje kar precej manjše, kot sem na začetku pričakoval.

36

9 ZAKLJU Č EK

V nalogi je bilo predstavljeno samo merjenje podatkov in nekaj kratkega o samih objektih, ki sem jih za diplomo izbral. Namen je uspel, saj lahko bralec poljubno spremeni objekt, za katerega ga zanimajo podatki in po istem postopku izračuna želene podatke.

Opomnil bi še na to, da naj bralec pazi kdaj se v izračunih uporabljajo radiani in kdaj kotne stopinje. Na primer enačba 4.6.2 je nerešljiva s kotnimi stopinjami.

Prav tako sem uspel opraviti vse cilje in potrditi obe hipotezi, ki sem si jih pri nalogi zastavil.

S samo diplomsko nalogo sem spoznal zanimivo ozadje računov, ki jih programi, kot je Stellarium, uporabljajo za izračun smeri nebesnih objektov, ki jih lahko ponoči zlahka opazujemo.

37

10 VIRI IN LITERATURA

Asteroid or Meteor: What's the difference?. (April 2017). Pridobljeno s https://spaceplace.nasa.gov/asteroid-or-meteor/en/

Asteroids in depth. (December 2017). Pridobljeno s https://solarsystem.nasa.gov/small- bodies/asteroids/in-depth/

Asteroids: Fun Facts and Information About Asteroids. (September 2017). Pridobljeno s https://www.space.com/51-asteroids-formation-discovery-and-exploration.html Challenges Closer to Home: Gaia's asteroids. (Februar 2017). Pridobljeno s

http://sci.esa.int/gaia/58562-challenges-closer-to-home-gaia-s-asteroids/

Gaia enters its operational orbit. (Januar 2014). Pridobljeno s

http://www.esa.int/Our_Activities/Space_Science/Gaia/Gaia_enters_its_operational_orb it

Kuiper Belt Facts. (b.d.). Pridobljeno s https://space-facts.com/kuiper-belt/

Lagrange Points: Parking Places in Space. (Avgust 2017). Pridobljeno s https://www.space.com/30302-lagrange-points.html

Objectives. (April 2017). Pridobljeno s http://sci.esa.int/gaia/28890-objectives/

Smart, W. M. (1949). Text-Book on Spherical Astronomy. Cambridge. Pridobljeno s https://ia800602.us.archive.org/13/items/SphericalAstronomy/Smart-

SphericalAstronomy.pdf.

Spacecraft & Instruments. (b.d.). Pridobljeno s

https://www.cosmos.esa.int/web/gaia/spacecraft-instruments

Summary. (April 2017). Pridobljeno s http://sci.esa.int/gaia/28820-summary/