82. Izračunajte varianco in standardni odklon naslednjih podatkov: 1, 2, 2, 1, 0, 3, 2, 2, 1, 2.
Rešitev: 0,64; 0,8
83. V nekem podjetju s šestimi zaposlenimi so v prejšnjem mesecu izplačali naslednje plače: 1200 €, 1400 €, 1500 €, 1700 €, 1900 € in 2900 €. Izračunajte variacijski razmik, aritmetično sredino in standardni odklon.
Rešitev: 1.700 €, 1.766,67 €, 552,77 €.
84. Izračunajte kvartilni in decilni razmik za podatke v tabeli (Slika 74).
85. Z izračunom dokaţite, da so kvartili in decili na sliki (Slika 84) izračunani pravilno.
86. Kaj je značilno za normalno porazdelitev podatkov?
87. Naštejte primere iz vsakdanjega ţivljenja, kjer menite, da so vrednosti normalno porazdeljene.
88. Ali frekvenčna porazdelitev podatkov v tabeli (Slika 58) kaţe na normalno porazdelitev podatkov?
11 ANALIZA ČASOVNIH VRST
Časovne vrste dobimo, če nek pojav opazujemo v enakomernih časovnih presledkih. Ti časovni presledki so glede na pomembnost lahko ure, dnevi, tedni, meseci, četrtletja, leta ali celo desetletja in več.
Če ţelimo proučevati porabo vode v nekem predelu mesta v okviru enega dne, bomo izbrali kratek interval, morda 15 minut. Pri merjenju prodaje izdelka bo dovolj dan ali teden, pri opazovanju uspešnosti podjetja pa četrtletje.
Z analizo časovnih vrst odkrivamo lastnosti spreminjanja pojavov v preteklosti in na podlagi odkritih lastnosti ali vzorcev napovedujemo, kaj bi se utegnilo zgoditi v prihodnosti. Napovedovanje prihodnosti je sicer zelo negotovo, s pravimi statističnimi metodami pa se vseeno lahko pribliţamo sprejemljivim ocenam. Kratkoročne napovedi so seveda natančnejše kot dolgoročnejše, prav tako pa so natančnejše napovedi tistih pojavov, ki imajo manjša nihanja. Vremenoslovci recimo veliko laţje napovedujejo, kaj se bo v prihodnih desetletjih dogajalo s povprečno letno temperaturo v nekem kraju (ker se z leti ne spreminja veliko), medtem ko borzniki zelo teţko napovedujejo ceno neke delnice za mesec naprej, saj se le-ta praviloma zelo hitro spreminja.
Statistične metode za proučevanje časovnih vrst so zelo različne. Spoznali bomo nekatere preprostejše.
11.1 GLAJENJE
Glajenje podatkov je tehnika, ki jo uporabljamo za »odstranjevanje« slučajnih nihanj časovne vrste. Tako dobimo bolj jasen pogled na obnašanje pojava. V nekaterih časovnih vrstah so sezonski vplivi tako močni, da je brez glajenja teţko razumeti opazovani pojav.
Vrednost neke delnice se na borzi neprestano spreminja. Če narišemo graf delnice za daljše časovno obdobje, opazimo nihanja in globalne trende, kaj se je z delnico dogajalo. Ta nihanja ţelimo zgladiti, da bi bil trend bolj jasen in graf preglednejši.
Najbolj pogost in enostaven način glajenja je navadno pomično (ali drseče) povprečje. Za pri čemer n izberemo sami, glede na opazovani pojav.
Pomen in postopek izračuna pomičnega povprečja si oglejmo na primeru enotnega tečaja delnic podjetja Krka d.d. Najprej si oglejmo tečaje od 3.1.2007 do 18. 9.2008. Za n izberimo 20.
pomičnega povprečja, spremeni tudi smer gibanja tečajev. Na tak način lahko predvidimo, kaj se bo dogajalo s tečajem v naslednjih tednih ali mesecih. Tako bi lahko sklepali, da bodo tečaji še nekaj časa padali.
Za dolgoročnejše napovedi izberemo za n večjo vrednost. Borzni analitiki tako na primer uporabljajo 200 dnevno pomično povprečje za napovedovanje globalnih sprememb smeri tečajev vrednostnih papirjev ali indeksov.
Slika 85: Tečaj delnice Krka (www.ljse.si, 16. 3.2008) 11.2 TREND
Trend je smer razvoja nekega pojava. Je posledica učinkovanja dejavnikov, ki delujejo na dolgi rok in povzročajo tendence padanja ali naraščanja. Predstavimo ga z neko funkcijo (npr.
linearno, kvadratno, eksponentno).
Več kot imamo podatkov v časovni vrsti, bolj zanesljiva je napoved prihodnosti s pomočjo trenda.
11.2.1 Linearni trend
Najpogosteje trend obravnavamo kot linearno funkcijo časa, ki se najbolj 'prilega' dejanskim vrednostim spremenljivk.
y = α + β x Enakovreden zapis je
T(x) = α + β x Izračun po metodi najmanjših kvadratov
Izračun linearnega trenda naredimo po metodi najmanjših kvadratov. Podatki x predstavljajo čas. Namesto dejanskih vrednosti, ki so lahko npr. zaporedna leta, uporabimo spremenljivko
T(t) = α + β t Konstanti α in β izračunamo iz sistema linearnih enačb:
Za zaporedna leta imamo naslednje podatke o številu zaposlenih v nekem podjetju: 3, 5, 7, 9 in 11. Izračunajmo linearni trend števila zaposlenih po metodi najmanjših kvadratov in s tem predvidimo število zaposlenih v naslednjem letu.
Za čas (xt) vzamemo vrednosti 1, 2 … 5. N = 5.
Vrednosti Y predstavljajo število zaposlenih v obravnavanem časovnem obdobju.
Imamo sistem dveh linearnih enačb, iz katerih z znanjem srednješolske matematike izračunamo vrednosti za α in β.
Dobimo: α = 1 in β = 2.
S pomočjo izračuna koeficientov po metodi linearnih kvadratov smo prišli do linearne funkcije
T(x) = 1 + 2x
Za izračun linearnega trenda vstavimo vrednosti v to funkcijo T(6) = 1 + 2 × 6
T(6) = 13
V šestem letu bo imelo podjetje predvidoma 13 zaposlenih.
Računanje linearnega trenda s funkcijo TREND
Teţko razumljivo računanje bo za nas opravil Excel. Uporabo Excela še zlasti upravičuje dejstvo, da imamo v realnih primerih zelo veliko število podatkov, na podlagi katerih skušamo predvideti vrednost spremenljivke v prihodnosti.
S pomočjo funkcije TREND izračunamo linearni trend za naslednje obdobje, če poznamo podatke iz preteklih obdobij.
TREND(known_y's; known_x's; new_x's; const) known_y's znani podatki
known_x's znano časovno obdobje
new_x's časovno obdobje za katero ţelimo izračunati predvideno vrednost
const logična vrednost, ki navaja, ali naj bo konstanta α enaka 0. Če je argument const enak TRUE, ali če ga izpustimo, funkcija izračuna α na normalen način.
Če je argument const enak FALSE, nastavi funkcija α = 0 in prilagodi vrednosti tako, da velja T(x) = β x.
Poznamo podatke o številu udeleţencev na računalniških tečajih v nekem podjetju v obdobju od leta 2001 do 2010. Koliko tečajnikov se bo tečajev udeleţilo v letu 2011?
Napoved za leto 2011 naredimo s pomočjo funkcije TREND. Postopek reševanja je viden na sliki (Slika 86).
Slika 86: Linearni trend Grafični prikaz trendne črte
S trendno črto prikaţimo linearni trend števila tečajnikov. Podatki z grafičnim prikazom so v območju A1:B11 tabele (Slika 86).
Uporabimo grafični prikaz trendne črte na grafu.
Za tip grafa izberemo RAZTRESENI graf (v angleščini SCATTER). Med ponujenimi
Slika 87: Oblike raztresenih grafov
Kliknemo na graf, da bo označen kot na sliki (Slika 88).