Če opazujemo višino plač v podjetjih, nam podatek o povprečni plači ne pove dovolj.
Potrebujemo še druge količine, kot so na primer najmanjša in največja plača oz. razlika med največjo in najmanjšo plačo, razpršenost plač okrog povprečne plače in morda še kaj. Pri kakovosti proizvodov je podatek o povprečni ţivljenjski dobi proizvoda zanimiv, a bolj kot povprečje je koristen in pomemben podatek, ki pove, koliko se proizvodi razlikujejo med seboj po ţivljenjski dobi. Takšen podatek pa iz srednjih vrednosti ni razviden.
Zaradi vzrokov, ki smo jih našteli, analize dopolnimo z merami variabilnosti. Mere variabilnosti so parametri, s katerimi analiziramo spremenljivost pri številskih spremenljivkah. Razdelili jih bomo na razmike in odklone.
Najpomembnejši meri variabilnosti sta varianca in standardni odklon.
10.1.1 Razmiki Variacijski razmik
Variacijski razmik (VR) je najenostavnejša mera variabilnosti. Izračunamo ga kot razliko med največjo in najmanjšo vrednostjo.
VR = ymax – ymin
V nekem podjetju je najniţja plača 700 €, najvišja pa 3.700 €. Variacijski razmik je njuna razlika, se pravi 3.000 €.
Vendar pa variacijski razmik prav nič ne pove o variiranju podatkov.
Kvantilni razmiki
To so razmiki med zgornjim in spodnjim kvantilom.
Kvartilni razmik izračunamo po formuli Q3 – Q1. Decilni razmik izračunamo po formuli D9 – D1.
Računanje kvantilnih razmikov je smiselno samo pri sorazmerno velikem številu podatkov.
10.1.2 Varianca
Varianca je poleg aritmetične sredine eden temeljnih parametrov v statistični analizi. Pri njenem izračunu upoštevamo vse opazovane vrednosti proučevane številske spremenljivke.
Vrednost spremenljivke y variira od enote do enote, zato lahko različnost med enotami merimo z razlikami med vrednostjo enote yj in kako srednjo vrednostjo.
Varianco ugotavljamo tako, da računamo kvadrate razlik od srednje vrednosti (yj – M)2, jih seštejemo ter delimo s številom opazovanih enot. Varianco označimo kot sigma na kvadrat in izračunamo po obrazcu:
Varianca (populacije) je povprečje kvadratov odklonov vrednosti številske spremenljivke od aritmetične sredine.
V vzorcu je 5 delavcev. Njihova oddaljenost od delovnega mesta je v km: 1; 2; 2,5; 3 in 3,2. Izračunajmo varianco.
Najprej izračunamo aritmetično sredino M. To je 2,34.
Tabela 10: Izračun absolutnih odklonov in njihovih kvadratov
ODKLONI KVADRATI ODKLONOV Vse vrednosti smo izračunali na dve decimalni mesti natančno.
Vrednosti vstavimo v obrazec za varianco. To pomeni, da seštejemo kvadrate odklonov in jih delimo s 5. Dobimo rezultat 0,63.
Računanje variance s funkcijo VARP
Varianco populacije najhitreje izračunamo s pomočjo Excelove funkcije VARP, ki ima vgrajeno prej zapisano formulo za varianco.
VARP(Argument1;Argument2;...)
Argument1 ... argument je lahko število, naslov celice ali območje celic. Število argumentov se lahko giblje od 1 do 30.
Podobno kot AVERAGE, tudi funkcija VARP9 praznih celic ne upošteva kot podatek, upošteva pa celice z vrednostjo 0.
V vzorcu je 5 delavcev. Njihova oddaljenost od delovnega mesta je v km: 1; 2; 2,5; 3 in 3,2. Izračunajmo varianco še s funkcijo VARP.
Če na istih podatkih uporabimo funkcijo VARP, dobimo nekoliko bolj natančen rezultat.
Delni rezultati iz tabele (Tabela 10) so namreč zaokroţeni na dve decimalni mesti, kar povzroči zaokroţitveno napako pri izračunu variance.
Rešitev je na sliki (Slika 79).
Slika 79: Izračun variance s funkcijo VARP
Excelova funkcija VAR izračuna varianco vzorca in ima vgrajeno drugačno formulo, funkcija VARP pa izračuna varianco populacije.
10.1.3 Standardni odklon
Varianco je teţko razloţiti z vidika opazovanega pojava. Zato raje izračunamo kvadratni koren variance:
2
Parameter imenujemo standardni odklon. Izraţen je v istih merskih enotah kot proučevana spremenljivka, predstavlja pa mero razpršenosti spremenljivk okoli aritmetične sredine.
Večji kot je standardni odklon, bolj so podatki razpršeni, manjši kot je standardni odklon, bolj so podatki zgoščeni okrog aritmetične sredine.
V vzorcu je 5 delavcev. Njihova oddaljenost od delovnega mesta je v km: 1; 2; 2,5; 3 in 3,2. Varianco poznamo in vemo, da je 0,62. Izračunajmo standardni odklon.
Standardni odklon je kvadratni koren variance. Po korenjenju dobimo naslednji rezultat:
0,79.
Računanje standardnega odklona s funkcijo STDEVP
Najenostavneje standardni odklon izračunamo s pomočjo Excelove funkcije STDEVP.
STDEVP(Argument1;Argument2;...)
Argument1 ... argument je lahko število, naslov celice ali območje celic. Število argumentov se lahko giblje od 1 do 30.
Podobno kot AVERAGE, tudi funkcija STDEVP10 praznih celic ne upošteva kot podatek, upošteva pa celice z vrednostjo 0.
Izračunajmo aritmetično sredino in standardni odklon za podatke iz druge vrstice tabele, ki je na sliki (Slika 80).
Rešitev in postopek imamo na sliki (Slika 80).
Slika 80: Primer izračuna aritmetične sredine in standardnega odklona Excelova funkcija STDEV izračuna standardni odklon vzorca (in ima vgrajeno drugačno formulo), funkcija STDEVP pa standardni odklon populacije.
10.1.4 Koeficient variabilnosti
Absolutne mere variabilnosti (razmiki, odkloni) lahko primerjamo med seboj le za istovrstne podatke.
Če bi npr. ugotovili, da je bil v nekem časovnem trenutku standardni odklon pri cenah pomaranč v Sloveniji 1 €, pri cenah neke znamke avtomobila pa tudi 1 €, nam primerjava teh dveh podatkov ne pove veliko. Pomaranče so, v primerjavi z avtomobili, izjemno poceni, zato je izračunani standardni odklon 1 € najbrţ velik, pri avtomobilih pa zanemarljivo majhen.
Zaradi takšnih razlogov potrebujemo še relativne mere variabilnosti.
Koeficient variabilnosti (KV) je najpogosteje uporabljena relativna mera variabilnosti.
Odraţa razmerje med izračunanim standardnim odklonom in aritmetično sredino. Izračunamo ga takole:
KV M
Koeficient variabilnosti torej pove, kolikšen del aritmetične sredine predstavlja standardni odklon. Pogosto ga izrazimo v % zapisu.
Če je KV večji kot 0,2 oz. večji kot 20 %, govorimo o velikih razlikah med enotami.
Sto študentov je pisalo izpit ter doseglo naslednje rezultate (Slika 81).
Slika 81: Rezultati izpita
Koeficient variabilnosti izračunamo tako, da standardni odklon delimo z aritmetično sredino M in dobimo 0,45. Če ga izrazimo v %, dobimo 45 %. Rezultat kaţe, da so razlike med enotami velike.