Linearni sistemi diferencialnih enaˇ cb

(A−𝜆I)u_𝑘,1 = u_𝑘,2, (A−𝜆I)u_𝑘,0 = u_𝑘,1,

4.1 Linearni sistemi diferencialnih enaˇ cb

1. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑦,

˙

𝑦 = 𝑥+ 2 sh𝑡.

Reˇsitev

Sistem najhitreje reˇsimo z izloˇcitvijo funkcije𝑦. Iz prve enaˇcbe je𝑦 = ˙𝑥, kar vstavimo v drugo enaˇcbo in dobimo nehomogeno enaˇcbo drugega reda:

¨

𝑥−𝑥= 2 sh𝑡.

Tako ali drugaˇce dobimo reˇsitev sistema;

𝑥= (𝑐₁+𝑡) ch𝑡+𝑐₂sh𝑡, 𝑦= (𝑐₁+𝑡) sh𝑡+ (𝑐₂+ 1) ch𝑡.

2. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 4𝑥+𝑦,

˙

𝑦 = 𝑦−2𝑥.

Reˇsitev

Do reˇsitve lahko pridemo z izloˇcitvijo ene od funkcije ali pa z uporabo metod linearne algebre. Odloˇcimo se za slednje. Vpeljemo vektorsko funkcijo x = [𝑥, 𝑦]^𝑇, sistem prepiˇsemo v obliko ˙x = Ax, kjer je pri-padajoˇca matrika sistema

A=

⎡

⎣

4 1

−2 1

⎤

⎦.

Reˇsitev poiˇsˇcemo kotx=v𝑒^𝜆𝑡. ˇStevilo𝜆je lastna vrednost matrikeA, v= [𝛼, 𝛽]^𝑇 pa ustrezni lastni vektor. Karakteristiˇcni polinom matrike A je

4−𝜆 1

−2 1−𝜆

= (4−𝜆)(1−𝜆) + 2 =𝜆²−5𝜆+ 6 = (𝜆−2)(𝜆−3).

Lastni vrednosti 𝜆₁ = 2 ustreza lastni vektor v₁ = [1,−2]^𝑇, lastni vrednosti𝜆₁ = 3 pa lastni vektorv₂ = [1,−1]^𝑇. Sploˇsna reˇsitev je torej

x= [𝑥, 𝑦]^𝑇 =𝑐1v1𝑒^𝜆1𝑡+𝑐2v2𝑒^𝜆2𝑡 =𝑐1[1,−2]^𝑇𝑒^2𝑡+𝑐2[1,−1]^𝑇𝑒^3𝑡, od koder preberemo: 𝑥=𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₂𝑒^3𝑡,𝑦 =−2𝑐₁𝑒^2𝑡−𝑐₂𝑒^3𝑡.

3. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 4𝑥+𝑦−𝑒^2𝑡,

˙

𝑦 = 𝑦−2𝑥.

(R: 𝑥= (𝑐₁+𝑡+ 1)𝑒^2𝑡+𝑐₂𝑒^3𝑡, 𝑦=−2(𝑐₁+𝑡)𝑒^2𝑡−𝑐₂𝑒^3𝑡.)

4. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥+ 2𝑦,

˙

𝑦 = 𝑥−5 sin𝑡.

(R:𝑥=𝑐₁𝑒^−𝑡+ 2𝑐₂𝑒^2𝑡−cos𝑡+ 3 sin𝑡,𝑦=−𝑐₁𝑒^−𝑡+𝑐₂𝑒^2𝑡+ 2 cos𝑡−sin𝑡.) 5. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = −7𝑥+𝑦,

˙

𝑦 = −2𝑥−5𝑦.

(R:𝑥=𝑒^−6𝑡(𝑐₁cos𝑡+𝑐₂sin𝑡),𝑦=𝑒^−6𝑡((𝑐₁+𝑐₂) cos𝑡+ (𝑐₂−𝑐₁) sin𝑡).) 6. Reˇsite zaˇcetni problem:

˙

𝑥 = 3𝑥−𝑦,

˙

𝑦 = −𝑥+ 3𝑦, 𝑥(0) = 3, 𝑦(0) = 5.

(R: 𝑥= 4𝑒^2𝑡−𝑒^4𝑡,𝑦 = 4𝑒^2𝑡+𝑒^4𝑡.) 7. Reˇsite zaˇcetni problem:

˙

𝑥 = 3𝑥−2𝑦,

˙

𝑦 = 2𝑥−2𝑦,

𝑥(0) = 3, 𝑦(0) = 1/2.

(R: 𝑥= 11𝑒^2𝑡/3−2𝑒^−𝑡/3, 𝑦= 11𝑒^2𝑡/6−4𝑒^−𝑡/3.) 8. Reˇsite zaˇcetni problem:

˙

𝑥 = 3𝑦−𝑥,

˙

𝑦 = 4𝑦−2𝑥, 𝑥(0) = 2, 𝑦(0) = 1.

(R: 𝑥= 3𝑒^𝑡−𝑒^2𝑡, 𝑦= 2𝑒^𝑡−𝑒^2𝑡.) 9. Reˇsite zaˇcetni problem:

˙

𝑥 = −7𝑥+ 9𝑦,

˙

𝑦 = −6𝑥+ 8𝑦, 𝑥(0) = 2, 𝑦(0) = 1.

(R: 𝑥= 3𝑒^−𝑡−𝑒^2𝑡, 𝑦= 2𝑒^−𝑡−𝑒^2𝑡.) 10. Reˇsite zaˇcetni problem:

˙

𝑥 = −3𝑥−𝑦,

˙

𝑦 = 𝑥−𝑦, 𝑥(0) = 1, 𝑦(0) = 1.

(R: 𝑥= (1−2𝑡)𝑒^−2𝑡, 𝑦= (1 + 2𝑡)𝑒^−2𝑡.)

11. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥+𝑦+𝑒^𝑡,

˙

𝑦 = −2𝑥+ 2𝑡.

(R: 𝑥 = 𝑐₁𝑒^𝑡cos𝑡+𝑐₂𝑒^𝑡sin𝑡+𝑡+ 1 +𝑒^𝑡, 𝑦 = (𝑐₂ −𝑐₁)𝑒^𝑡cos𝑡−(𝑐₁+ 𝑐₂)𝑒^𝑡sin𝑡−2𝑡−1−2𝑒^𝑡.)

12. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥−𝑦+ 2 sin𝑡,

˙

𝑦 = 2𝑥−𝑦.

(R: 𝑥 = 𝑐₁cos𝑡+𝑐₂sin𝑡−𝑡cos𝑡+𝑡sin𝑡, 𝑦 = (𝑐₁ −𝑐₂) cos𝑡+ (𝑐₁ + 𝑐₂) sin𝑡−2𝑡cos𝑡+ sin𝑡+ cos𝑡.)

13. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−𝑦+𝑒^𝑡,

˙

𝑦 = 3𝑥−2𝑦+𝑡.

(R:𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+ 3𝑡𝑒^𝑡/2 +𝑡,𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡+ 3𝑐₂𝑒^−𝑡+ (3𝑡−1)𝑒^𝑡/2 + 2𝑡−1.) 14. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−5𝑦−cos𝑡,

˙

𝑦 = 𝑥−2𝑦+ sin𝑡.

(R:𝑥= 5𝑐₁cos𝑡+ 5𝑐₂sin𝑡+ 2𝑡cos𝑡−𝑡sin𝑡,𝑦= (2𝑐₁−𝑐₂) cos𝑡+ (𝑐₁+ 2𝑐2) sin𝑡+𝑡cos𝑡−3 cos𝑡/5 + sin𝑡/5.)

15. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥+𝑦+𝑒^−2𝑡,

˙

𝑦 = 4𝑥−2𝑦−2𝑒^𝑡.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^−3𝑡+𝑐₂𝑒^2𝑡+𝑒^𝑡/2,𝑦=−4𝑐₁𝑒^−3𝑡+𝑐₂𝑒^2𝑡−𝑒^−2𝑡.) 16. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 4𝑥−2𝑦+𝑡⁻³,

˙

𝑦 = 8𝑥−4𝑦−𝑡⁻².

(R:𝑥=𝑐₁+ 2𝑐₂𝑡−𝑡⁻²/2 + 2𝑡⁻¹−2 ln∣𝑡∣,𝑦 = (2𝑐₁−𝑐₂) + 2𝑐₂𝑡+ 5𝑡⁻¹− 4 ln∣𝑡∣.)

17. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥+𝑦+ 2𝑒^𝑡,

˙

𝑦 = 4𝑥+𝑦−𝑒^𝑡.

(R: 𝑥=𝑐1𝑒^3𝑡+𝑐2𝑒^−𝑡+𝑒^𝑡/4, 𝑦= 2𝑐1𝑒^3𝑡−2𝑐2𝑒^−𝑡−2𝑒^𝑡.) 18. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑦−𝑥,

˙

𝑦 = 4𝑦−3𝑥+ 𝑒^3𝑡 𝑒^2𝑡+ 1.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+ 2𝑐₂𝑒^2𝑡+ 2𝑒^2𝑡arc tg𝑒^𝑡−𝑒^𝑡ln(𝑒^2𝑡+ 1), 𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡+ 3𝑐₂𝑒^2𝑡+ 3𝑒^2𝑡arc tg𝑒^𝑡−𝑒^𝑡ln(𝑒^2𝑡+ 1).)

19. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = −4𝑥−2𝑦+ 2 𝑒^𝑡−1,

˙

𝑦 = 6𝑥+ 3𝑦− 3 𝑒^𝑡−1.

(R:𝑥=𝑐₁+ 2𝑐₂𝑒^−𝑡+ 2𝑒^−𝑡ln∣𝑒^𝑡−1∣,𝑦=−2𝑐₁−3𝑐₂𝑒^−𝑡−3𝑒^−𝑡ln∣𝑒^𝑡−1∣.) 20. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥−𝑦+ 1 cos𝑡,

˙

𝑦 = 2𝑥−𝑦.

(R: 𝑥=𝑐₁cos𝑡+𝑐₂sin𝑡+𝑡(cos𝑡+ sin𝑡) + (cos𝑡−sin𝑡) ln∣cos𝑡∣, 𝑦= (𝑐₁−𝑐₂) cos𝑡+ (𝑐₁+𝑐₂) sin𝑡+ 2 cos𝑡ln∣cos𝑡∣+ 2𝑡sin𝑡.)

21. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 3𝑥−2𝑦,

˙

𝑦 = 2𝑥−𝑦+ 15𝑒^𝑡√ 𝑡.

(R: 𝑥 = 𝑐₁𝑒^𝑡+ 2𝑐₂𝑡𝑒^𝑡−8𝑡²√

𝑡𝑒^𝑡, 𝑦 = 𝑐₁𝑒^𝑡−𝑐₂𝑒^𝑡+ 2𝑐₂𝑡𝑒^𝑡+ 10𝑡√ 𝑡𝑒^𝑡− 8𝑡²√

𝑡𝑒^𝑡.)

22. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥+𝑦+ 2𝑒^𝑡,

˙

𝑦 = 𝑥+ 2𝑦−3𝑒^4𝑡.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^3𝑡+𝑡𝑒^𝑡−𝑒^4𝑡,𝑦 =−𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^3𝑡−𝑡𝑒^𝑡−2𝑒^4𝑡−𝑒^𝑡.) 23. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥−𝑦+ 8𝑡,

˙

𝑦 = 5𝑥−𝑦.

(R: 𝑥 =𝑐₁cos(2𝑡) +𝑐₂sin(2𝑡) + 2𝑡+ 2, 𝑦 = (𝑐₁−2𝑐₂) cos(2𝑡) + (2𝑐₁+ 𝑐₂) sin(2𝑡) + 10𝑡.)

24. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−𝑦,

˙

𝑦 = 2𝑦−𝑥−5𝑡sin𝑡.

(R: 𝑥 =𝑐1𝑒^𝑡+ 2𝑐2𝑒^3𝑡+ (𝑡+ 11/20) cos𝑡+ (𝑡/2−1/5) sin𝑡, 𝑦 = 𝑐1𝑒^𝑡− 𝑐₂𝑒^3𝑡+ (3𝑡/2 + 7/5) cos𝑡+ (2𝑡+ 1/5) sin𝑡.)

25. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−𝑦,

˙

𝑦 = 2𝑦−𝑥−5𝑒^𝑡sin𝑡.

(R:𝑥=𝑐1𝑒^𝑡+2𝑐2𝑒^3𝑡+𝑒^𝑡(2 cos𝑡−sin𝑡),𝑦 =𝑐1𝑒^𝑡−𝑐2𝑒^3𝑡+𝑒^𝑡(3 cos𝑡+sin𝑡).) 26. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−𝑦,

˙

𝑦 = 𝑥+ 2𝑒^𝑡.

(R: 𝑥= (𝑐₁+𝑐₂−𝑡²)𝑒^𝑡,𝑦 = (𝑐₁−𝑐₂+𝑐₂𝑡+ 2𝑡−𝑡²)𝑒^𝑡.) 27. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 4𝑥−3𝑦+ sin𝑡,

˙

𝑦 = 2𝑥−𝑦−2 cos𝑡.

(R:𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+ 3𝑐₂𝑒^2𝑡+ cos𝑡−2 sin𝑡,𝑦 =𝑐₁𝑒^𝑡+ 2𝑐₂𝑒^2𝑡+ 2 cos𝑡−2 sin𝑡.) 28. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑦+ tg²𝑡−1,

˙

𝑦 = −𝑥+ tg𝑡.

(R: 𝑥=𝑐₁cos𝑡+𝑐₂sin𝑡+ tg𝑡,𝑦 =𝑐₂cos𝑡−𝑐₁sin𝑡+ 2.)

29. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑦−3𝑥,

˙

𝑦 = 𝑦−2𝑥.

(R: 𝑥= (𝑐₁+ 2𝑐₂𝑡)𝑒^−𝑡, 𝑦= (𝑐₁+𝑐₂+ 2𝑐₂𝑡)𝑒^−𝑡.) 30. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 5𝑥+ 3𝑦,

˙

𝑦 = −3𝑥−𝑦.

(R: 𝑥= (𝑐₁+ 3𝑐₂𝑡)𝑒^2𝑡, 𝑦= (𝑐₂−𝑐₁−3𝑐₂𝑡)𝑒^2𝑡.) 31. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑦+ 2𝑒^𝑡,

˙

𝑦 = 𝑥+𝑡².

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+𝑡𝑒^𝑡−𝑡²−2,𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡−𝑐₂𝑒^−𝑡−𝑒^𝑡+𝑡𝑒^𝑡−2𝑡.) 32. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑦−5 cos𝑡,

˙

𝑦 = 2𝑥+𝑦.

(R:𝑥=𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡−cos𝑡−2 sin𝑡,𝑦= 2𝑐₁𝑒^2𝑡−𝑐₂𝑒^−𝑡+ 3 cos𝑡+ sin𝑡.)

33. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 3𝑥+ 2𝑦+ 4𝑒^5𝑡,

˙

𝑦 = 𝑥+ 2𝑦.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^4𝑡+ 3𝑒^5𝑡,𝑦 =−𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^4𝑡+𝑒^5𝑡.) 34. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−4𝑦+ 4𝑒^−2𝑡,

˙

𝑦 = 2𝑥−2𝑦.

(R:𝑥= (𝑐₁+𝑐₂) cos(2𝑡) + (𝑐₂−𝑐₁) sin(2𝑡), 𝑦=𝑐₁cos(2𝑡) +𝑐₂sin(2𝑡) + 𝑒^−2𝑡.)

35. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 4𝑥+𝑦−𝑒^2𝑡,

˙

𝑦 = 𝑦−2𝑥.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₂𝑒^3𝑡+𝑡𝑒^2𝑡,𝑦 =−2𝑐₁𝑒^2𝑡−𝑐₂𝑒^3𝑡+ 2𝑒^2𝑡−2𝑡𝑒^2𝑡.) 36. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 3𝑥−4𝑦+𝑒^−2𝑡,

˙

𝑦 = 𝑥−2𝑦−3𝑒^−2𝑡.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+ 3𝑒^−2𝑡, 𝑦= 4𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+ 3𝑒^−2𝑡.)

37. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑦−𝑥+ 1,

˙

𝑦 = 3𝑦−2𝑥.

(R: 𝑥= (𝑐₁+ 2𝑐₂𝑡)𝑒^𝑡−3, 𝑦= (𝑐₁+𝑐₂+ 2𝑐₂)𝑒^𝑡−2.) 38. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 5𝑥−3𝑦+ 2𝑒^3𝑡,

˙

𝑦 = 𝑥+𝑦+ 5𝑒^−𝑡.

(R: 𝑥=𝑐1𝑒^2𝑡+ 3𝑐2𝑒^4𝑡−4𝑒^3𝑡−𝑒^−𝑡, 𝑦=𝑐1𝑒^2𝑡+𝑐2𝑒^4𝑡−2𝑒^3𝑡−2𝑒^−𝑡.) 39. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥+𝑦+ 1 +𝑒^𝑡,

˙

𝑦 = 3𝑥−𝑦.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₂𝑒^−2𝑡−1/4−2𝑒^𝑡/3,𝑦 =𝑐₁𝑒^2𝑡−3𝑐₂𝑒^−2𝑡−3/4−𝑒^𝑡.) 40. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−4𝑦,

˙

𝑦 = 𝑥−3𝑦+ 3𝑒^𝑡.

(R: 𝑥= 4𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−2𝑡−4𝑡𝑒^𝑡,𝑦 =𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−2𝑡+𝑒^𝑡−𝑡𝑒^𝑡.)

41. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−𝑦,

˙

𝑦 = 𝑦−2𝑥+ 18𝑡.

(R: 𝑥=𝑐₁+𝑐₂𝑒^3𝑡+ 3𝑡²+ 2𝑡,𝑦 = 2𝑐₁−𝑐₂𝑒^3𝑡+ 6𝑡²−2𝑡−2.) 42. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥+ 2𝑦+ 16𝑡𝑒^𝑡,

˙

𝑦 = 2𝑥−2𝑦.

(R:𝑥= 2𝑐1𝑒^2𝑡+𝑐2𝑒^−3𝑡−(12𝑡+ 13)𝑒^𝑡,𝑦=𝑐1𝑒^2𝑡−2𝑐2𝑒^−3𝑡−(8𝑡+ 6)𝑒^𝑡.) 43. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 3𝑥+ 2𝑦+ 4𝑒^5𝑡,

˙

𝑦 = 𝑥+ 2𝑦.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^4𝑡+ 3𝑒^5𝑡,𝑦 =−𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^4𝑡+𝑒^5𝑡.) 44. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥+ 4𝑦−8,

˙

𝑦 = 3𝑥+ 6𝑦.

(R: 𝑥= 2𝑐₁𝑒^8𝑡−2𝑐₂+ 1−6𝑡, 𝑦= 3𝑐₁𝑒^8𝑡+𝑐₂+ 3𝑡.)

45. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−3𝑦,

˙

𝑦 = 𝑥−2𝑦+ 2 sin𝑡.

(R: 𝑥= 3𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+ 3 sin𝑡, 𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+ sin𝑡−cos𝑡.) 46. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥+ 3𝑦+ 5𝑡,

˙

𝑦 = 3𝑥+ 2𝑦+ 8𝑒^𝑡.

(R:𝑥=𝑐1𝑒^5𝑡+𝑐2𝑒^−𝑡−3𝑒^𝑡+ 2𝑡−13/5,𝑦=𝑐1𝑒^5𝑡−𝑐2𝑒^−𝑡+𝑒^𝑡−3𝑡+ 12/5.) 47. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥+𝑦,

˙

𝑦 = 3𝑥+ 4𝑦.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^5𝑡, 𝑦=−𝑐₁𝑒^𝑡+ 3𝑐₂𝑒^5𝑡.) 48. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥−𝑦,

˙

𝑦 = 𝑦−4𝑥.

(R: 𝑥= 2𝑐₁𝑒^3𝑡−4𝑐₂𝑒^−3𝑡,𝑦=𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₂𝑒^−3𝑡.)

49. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥+𝑦,

˙

𝑦 = 3𝑦−2𝑥.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^2𝑡cos𝑡+𝑐₂𝑒^2𝑡sin𝑡, 𝑦= (𝑐₁+𝑐₂)𝑒^2𝑡cos𝑡+ (𝑐₂−𝑐₁)𝑒^2𝑡sin𝑡.) 50. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥−3𝑦,

˙

𝑦 = 3𝑥+𝑦.

(R:𝑥= (2𝑐2−𝑐1) cos(2𝑡)−(2𝑐1+𝑐2) sin(2𝑡),𝑦=𝑐1cos(2𝑡) +𝑐2sin(2𝑡).) 51. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥+𝑦,

˙

𝑦 = 4𝑦−𝑥.

(R: 𝑥= (𝑐₁+𝑐₂𝑡)𝑒^3𝑡, 𝑦= (𝑐₁+𝑐₂+𝑐₂𝑡)𝑒^3𝑡.) 52. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 3𝑥−𝑦,

˙

𝑦 = 4𝑥−𝑦.

(R: 𝑥= (𝑐₁+𝑐₂𝑡)𝑒^𝑡,𝑦 = (2𝑐₁−𝑐₂+ 2𝑐₂𝑡)𝑒^𝑡.)

53. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥−𝑦+ 3 2𝑡²,

˙

𝑦 = −4𝑥−2𝑦+ 1 + 4𝑡.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₂𝑒^−3𝑡−𝑡²/2,𝑦 =−𝑐₁𝑒^2𝑡+ 4𝑐₂𝑒^−3𝑡+𝑡+𝑡².)

˙

𝑥 = −𝑦−sin𝑡cos𝑡,

˙

𝑦 = 𝑥−sin²𝑡.

(R: 𝑥=𝑐₁cos𝑡+𝑐₂sin𝑡+ cos²𝑡, 𝑦=𝑐₁sin𝑡−𝑐₂cos𝑡+ sin𝑡cos𝑡.) 54. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = −𝑦,

˙

𝑥−𝑦˙ = 3𝑥+𝑦.

Reˇsitev

Izrazimo 𝑦 iz prve enaˇcbe in vstavimo v drugo:

𝑦 =−𝑥,˙ 𝑥˙ + ¨𝑥= 3𝑥−𝑥.˙

Po preureditvi dobimo linearno homogeno diferencialno enaˇcbo s kon-stantnimi koeficienti in njeno karakteristiˇcno enaˇcbo:

¨

𝑥+ 2 ˙𝑥−3𝑥= 0, 𝜆²+ 2𝜆−3 = (𝜆−1)(𝜆+ 3) = 0.

Sedaj brez teˇzav zapiˇsemo reˇsitev:

𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−3𝑡, 𝑦 =−𝑐₁𝑒^𝑡+ 3𝑐₂𝑒^−3𝑡.

55. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = −𝑥+𝑦+𝑒^𝑡,

˙

𝑦 = 𝑥−𝑦+𝑒^𝑡. (R: 𝑥=𝑐₁+𝑐₂𝑒^−2𝑡+𝑒^𝑡, 𝑦=𝑐₁−𝑐₂𝑒^−2𝑡+𝑒^𝑡.) 56. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

2 ˙𝑥−5 ˙𝑦 = 4𝑦−𝑥, 3 ˙𝑥−4 ˙𝑦 = 2𝑥−𝑦.

Reˇsitev

Iz obeh enaˇcb izloˇcimo ˙𝑥in dobimo ˙𝑦=𝑥−2𝑦. ˇCe izrazimo𝑥= ˙𝑦+ 2𝑦 in vstavimo v drugo enaˇcbo, dobimo preprosto enaˇcbo ¨𝑦−𝑦= 0, ki ima reˇsitev 𝑦 =𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡. Potem brez teˇzav najdemo reˇsitev sistema:

𝑥= 3𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡, 𝑦 =𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡. 57. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

5 ˙𝑥−2 ˙𝑦+ 4𝑥−𝑦 = 𝑒^−𝑡,

˙

𝑥+ 8𝑥−3𝑦 = 5𝑒^−𝑡.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−2𝑡+ 2𝑒^−𝑡, 𝑦= 3𝑐₁𝑒^𝑡+ 2𝑐₂𝑒^−2𝑡+ 3𝑒^−𝑡.)

58. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥−2 ˙𝑦+ 2𝑥 = 0, 3 ˙𝑥+ ¨𝑦−8𝑦 = 0.

Reˇsitev

Prvo enaˇcbo odvajamo po 𝑡 in dobimo:

2 ˙𝑥−2¨𝑦+...

𝑥 = 0.

Nato iz druge in dobljene enaˇcbe izloˇcimo ˙𝑥. Dobimo:

16𝑦−8¨𝑦+ 3...

𝑥 = 0.

Iz enaˇcbe 3...

𝑥 = (8𝑦−𝑦)¨ in iz pravkar dobljene enaˇ¨ cbe izloˇcimo ...

𝑥: 16𝑦−8¨𝑦+ (8𝑦−𝑦)¨= 0.¨

Uredimo in dobimo linearno homogeno enaˇcbo s konstantnima koefi-cientoma in pripadajoˇco karakteristiˇcno enaˇcbo:

....𝑦 −16𝑦= 0, 𝜆⁴−16 = (𝜆−2)(𝜆+ 2)(𝜆²+ 4) = 0.

Sploˇsno reˇsitev zapiˇsemo v obliki:

𝑦= 3𝑐₁𝑒^2𝑡+ 3𝑐₂𝑒^−2𝑡+𝑐₃sin(2𝑡) +𝑐₄cos(2𝑡).

Ce odvajamo poˇ 𝑡 drugo dano enaˇcbo, prvo pa pomnoˇzimo s 3 in izloˇcimo ¨𝑥, dobimo

𝑥= 1 6(...

𝑦 −2 ˙𝑦).

Iz tega izraza dobimo nazadnje reˇsitev:

𝑥= 2𝑐₁𝑒^2𝑡−2𝑐₂𝑒^−2𝑡−2𝑐₃cos(2𝑡) + 2𝑐₄sin(2𝑡), 𝑦= 3𝑐1𝑒^2𝑡+ 3𝑐2𝑒^−2𝑡+𝑐3sin(2𝑡) +𝑐4cos(2𝑡).

59. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥+ 3¨𝑦−𝑥 = 0,

˙

𝑥+ 3 ˙𝑦−2𝑦 = 0.

Reˇsitev

Drugo enaˇcbo odvajamo po 𝑡 in dobljeno enaˇcbo odˇstejemo od prve.

Dobimo 𝑥 = 2 ˙𝑦, kar vstavimo v drugo enaˇcbo. Dobimo linearno ho-mogeno diferencialno enaˇcbo s pripadajoˇco karakteristiˇcno enaˇcbo:

2¨𝑦+ 3 ˙𝑦−2𝑦= 0, 2𝜆²+ 3𝜆−2 = (𝜆+ 2)(2𝜆−1) = 0.

Njena sploˇsna reˇsitev je 𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡/2+𝑐₂𝑒^−2𝑡. Reˇsitev sistema je torej

𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡/2−4𝑐₂𝑒^−2𝑡, 𝑦 =𝑐₁𝑒^𝑡/2+𝑐₂𝑒^−2𝑡. 60. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥+ ˙𝑥+ ˙𝑦−2𝑦 = 0,

˙

𝑥−𝑦˙+𝑥 = 0.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+ 2𝑐₂𝑒^−2𝑡+𝑐₃𝑒^−𝑡, 𝑦= 2𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−2𝑡.)

61. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥−2¨𝑦+ ˙𝑦+𝑥−3𝑦 = 0, 4¨𝑦−2¨𝑥−𝑥˙ −2𝑥+ 5𝑦 = 0.

(R: 𝑥= 3𝑐𝑒^−𝑡, 𝑦=𝑐𝑒^−𝑡.)

62. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥−𝑥+ 2¨𝑦−2𝑦 = 0,

˙

𝑥−𝑥+ ˙𝑦+𝑦 = 0.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^3𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡, 𝑦=−2𝑐₁𝑒^3𝑡+𝑐₃𝑒^𝑡.) 63. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

2¨𝑥+ 2 ˙𝑥+𝑥+ 3¨𝑦+ ˙𝑦+𝑦 = 0,

¨

𝑥+ 4 ˙𝑥−𝑥+ 3¨𝑦+ 2 ˙𝑦−𝑦 = 0.

(R:𝑥=𝑐₁+𝑐₂𝑒^𝑡+ 5𝑐₃cos𝑡+ 5𝑐₄sin𝑡,𝑦 =−𝑐₁−𝑐₂𝑒^𝑡−(4𝑐₃−3𝑐₄) cos𝑡− (3𝑐₃+ 4𝑐₄) sin𝑡.)

64. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥+ 5 ˙𝑥+ 2 ˙𝑦+𝑦 = 0, 3¨𝑥+ 5𝑥+ ˙𝑦+ 3𝑦 = 0.

(R: 𝑥= (𝑐₁+𝑐₂𝑡)𝑒^𝑡+𝑐₃𝑒^−𝑡, 𝑦= (−2𝑐₁−𝑐₂−2𝑐₂𝑡)𝑒^𝑡−4𝑐₃𝑒^−𝑡.)

65. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥+ 4 ˙𝑥−2𝑥−2 ˙𝑦−𝑦 = 0,

¨

𝑥−4 ˙𝑥−𝑦¨+ 2 ˙𝑦+ 2𝑦 = 0.

(R:𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+𝑐₃𝑒^2𝑡+𝑐₄𝑒^−2𝑡,𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡+ 5𝑐₂𝑒^−𝑡+ 2𝑐₃𝑒^2𝑡+ 2𝑐₄𝑒^−2𝑡.) 66. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥−4 ˙𝑥+ 4𝑥−𝑦 = 0,

¨

𝑦+ 4 ˙𝑦+ 4𝑦−25𝑥 = 16𝑒^𝑡.

(R: 𝑥 = 𝑐₁𝑒^3𝑡+𝑐₂𝑒^−3𝑡 +𝑐₃cos𝑡+𝑐₄sin𝑡−𝑒^𝑡, 𝑦 = 𝑐₁𝑒^3𝑡+ 25𝑐₂𝑒^−3𝑡+ (3𝑐3−4𝑐4) cos𝑡+ (4𝑐3+ 3𝑐4) sin𝑡−𝑒^−𝑡.)

67. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥+ ˙𝑦+ 2𝑥 = 0,

¨

𝑦−𝑥˙ + 2𝑦 = 0.

(R:𝑥=𝑐₁sin𝑡−𝑐₂cos𝑡−𝑐₃sin(2𝑡) +𝑐₄cos(2𝑡),𝑦=𝑐₁cos𝑡+𝑐₂sin𝑡+ 𝑐₃cos(2𝑡) +𝑐₄sin(2𝑡).)

68. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥 = 2𝑥−3𝑦,

¨

𝑦 = 𝑥−2𝑦.

(R: 𝑥 = 3𝑐₁𝑒^𝑡+ 3𝑐₂𝑒^−𝑡+𝑐₃cos𝑡+𝑐₄sin𝑡, 𝑦 =𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+𝑐₃cos𝑡+ 𝑐4sin𝑡.)

69. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥 = 3𝑥+ 4𝑦,

¨

𝑦 = −𝑥−𝑦.

(R: 𝑥 = (2𝑐₁+ 2𝑐₂𝑡)𝑒^𝑡+ (2𝑐₃ + 2𝑐₄𝑡)𝑒^−𝑡, 𝑦 = (𝑐₂−𝑐₁ −𝑐₂𝑡)𝑒^𝑡−(𝑐₃+ 𝑐₄+𝑐₄𝑡)𝑒^−𝑡.)

70. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥 = −𝑥−𝑦−5,

¨

𝑦 = 4𝑥+ 3𝑦−3.

(R: 𝑥 = (𝑐₁+𝑐₂𝑡)𝑒^𝑡+ (𝑐₃+𝑐₄𝑡)𝑒^−𝑡+ 18, 𝑦 = −(2𝑐₁+ 2𝑐₂+ 2𝑐₂𝑡)𝑒^𝑡− (2𝑐₃−2𝑐₄+ 2𝑐₄𝑡)𝑒^−𝑡−23.)

71. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥 = 2𝑦,

¨

𝑦 = −2𝑥.

(R: 𝑥 = (𝑐1cos𝑡 +𝑐2sin𝑡)𝑒^𝑡 + (𝑐3cos𝑡+𝑐4sin𝑡)𝑒^−𝑡, 𝑦 = (𝑐2cos𝑡 − 𝑐₁sin𝑡)𝑒^𝑡−(𝑐₄cos𝑡−𝑐₃sin𝑡)𝑒^−𝑡.)

72. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥 = −𝑎²𝑦,

¨

𝑦 = 𝑎²𝑥, 𝑎∕= 0.

(R: 𝑥= (𝑐₁cos(𝑘𝑡) +𝑐₂sin(𝑘𝑡))𝑒^𝑘𝑡+ (𝑐₃cos(𝑘𝑡) +𝑐₄sin(𝑘𝑡))𝑒^−𝑘𝑡, 𝑦=−(𝑐₂cos(𝑘𝑡)−𝑐₁sin(𝑘𝑡))𝑒^𝑘𝑡+ (𝑐₄cos(𝑘𝑡)−𝑐₃sin(𝑘𝑡))𝑒^−𝑘𝑡, 𝑘 =𝑎√

2/2.)

73. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥+𝑦 = 𝑡³,

¨

𝑦+𝑥 = 0.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+𝑐₃cos𝑡+𝑐₄sin𝑡−6𝑡, 𝑦=−𝑐₁𝑒^𝑡−𝑐₂𝑒^−𝑡+𝑐₃cos𝑡+𝑐₄sin𝑡+𝑡³.)

74. Poiˇsˇcite tisto reˇsitev sistema diferencialnih enaˇcb 𝑡²𝑥¨+𝑡𝑥˙ +𝑦 = 2𝑡,

˙

𝑥−𝑦˙ = ln𝑡, (𝑡 >0) za katero je lim𝑡→0+𝑥(𝑡) = 1 in lim𝑡→0+𝑦(𝑡) = 0.

(R: 𝑥= 1 +𝑡ln𝑡/2,𝑦=𝑡−𝑡ln𝑡/2.)

75. Poiˇsˇcite tisto reˇsitev sistema diferencialnih enaˇcb

¨

𝑥−2𝑥+ 2𝑦 = 0,

¨

𝑦+𝑥−3𝑦 = 0,

za katero je lim𝑡→∞𝑥(𝑡) = 0, lim𝑡→∞𝑦(𝑡) = 0,𝑥(0) = 1 in 𝑦(𝑡) = 0.

(R: 𝑥= (2𝑒^−𝑡+𝑒^−2𝑡)/3, 𝑦= (𝑒^−𝑡−𝑒^−2𝑡)/3.) 76. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥−𝑦+𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+𝑦−𝑧,

˙

𝑧 = 2𝑥−𝑦.

Reˇsitev

Do reˇsitve pridemo najbolj pregledno z uporabo metod linearne algebre.

Vpeljemo vektorsko funkcijo x = [𝑥, 𝑦, 𝑧]^𝑇, sistem prepiˇsemo v obliko

˙

x=Ax, kjer je pripadajoˇca matrika sistema

A=

⎡

⎢

⎢

⎣

1 −1 1

1 1 −1

2 −1 0

⎤

⎥

⎥

⎦ .

Reˇsitev poiˇsˇcemo kot x = v𝑒^𝜆𝑡. ˇStevilo 𝜆 je lastna vrednost matrike A, v = [𝛼, 𝛽, 𝛾]^𝑇 pa ustrezni lastni vektor. Karakteristiˇcni polinom matrike A je

1−𝜆 −1 1

1 1−𝜆 −1

2 −1 −𝜆

=−𝜆³+ 2𝜆²+𝜆−2 =−(𝜆−1)(𝜆−2)(𝜆+ 1).

Lastni vrednosti 𝜆₁ = 1 ustreza lastni vektor v₁ = [1,1,1]^𝑇, lastni vrednosti𝜆2 = 2 lastni vektorv2 = [1,0,1]^𝑇 in lastni vrednosti𝜆2 =−1 lastni vektor v₃ = [1,−3,−5]^𝑇 Sploˇsna reˇsitev je torej

x= [𝑥, 𝑦, 𝑧]^𝑇 =𝑐₁v₁𝑒^𝜆1𝑡+𝑐₂v₂𝑒^𝜆2𝑡+𝑐₃v₃𝑒^𝜆3𝑡=

=𝑐₁[1,1,1]^𝑇𝑒^𝑡+𝑐₂[1,0,1]^𝑇𝑒^2𝑡+𝑐₃[1,−3,−5]^𝑇𝑒^−𝑡,

od koder preberemo reˇsitev: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^2𝑡+𝑐₃𝑒^−𝑡,𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡−3𝑐₃𝑒^−𝑡, 𝑧 =𝑐1𝑒^𝑡+𝑐2𝑒^2𝑡−5𝑐3𝑒^−𝑡.

77. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥+𝑦−𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+ 2𝑦−𝑧,

˙

𝑧 = 3𝑥−3𝑦−𝑧.

(R:𝑥= 5𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+𝑐₃𝑒^3𝑡,𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+𝑐₃𝑒^3𝑡,𝑧 = 6𝑐₁𝑒^𝑡+ 4𝑐₂𝑒^−𝑡.) 78. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 4𝑥+𝑦+ 16𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+ 6𝑦+ 38𝑧,

˙

𝑧 = 2𝑥−𝑦.

(R: 𝑥 = 3𝑐₁𝑒^𝑡 + 6𝑐₂𝑒^4𝑡+ 11𝑐₃𝑒^5𝑡, 𝑦 = 7𝑐₁𝑒^𝑡 + 16𝑐₂𝑒^4𝑡+ 27𝑐₃𝑒^5𝑡, 𝑧 =

−𝑐₁𝑒^𝑡−𝑐₂𝑒^4𝑡−𝑐₃𝑒^5𝑡.)

79. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 3𝑥−𝑦−6𝑧,

˙

𝑦 = 3𝑥−2𝑦−3𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥−𝑦.

(R: 𝑥 = 𝑐₁𝑒^15𝑡 + 2𝑐₂𝑒^−5𝑡 + 4𝑐₃𝑒^5𝑡, 𝑦 = 𝑐₁𝑒^15𝑡−3𝑐₂𝑒^−5𝑡+−𝑐₃𝑒^5𝑡, 𝑧 = 5𝑐2𝑒^−5𝑡−5𝑐3𝑒^5𝑡.)

80. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥+𝑦−3𝑧,

˙

𝑦 = −𝑥+𝑦−𝑧,

˙

𝑧 = −𝑧.

(R: 𝑥 = 𝑐1𝑒^−𝑡+ (𝑐2cos𝑡+𝑐3sin𝑡)𝑒^𝑡, 𝑦 = 𝑐1𝑒^−𝑡+ (𝑐3cos𝑡−𝑐2sin𝑡)𝑒^𝑡, 𝑧 =𝑐₁𝑒^−𝑡.)

81. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥+𝑦−𝑧,

˙

𝑦 = −𝑥+𝑦+𝑧,

˙

𝑧 = 𝑧.

(R:𝑥= (𝑐₁+𝑐₂cos𝑡+𝑐₃sin𝑡)𝑒^𝑡,𝑦 = (𝑐₁+𝑐₃cos𝑡−𝑐₂sin𝑡)𝑒^𝑡,𝑧 =𝑐₁𝑒^𝑡.) 82. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥−2𝑦−𝑧,

˙

𝑦 = −𝑥+𝑦+𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥−𝑧.

(R: 𝑥=𝑐₁+ 3𝑐₂𝑒^2𝑡, 𝑦=−2𝑐₂𝑒^2𝑡+𝑐₃𝑒^−𝑡, 𝑧 =𝑐₁+𝑐₂𝑒^2𝑡−2𝑐₃𝑒^−𝑡.)

83. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−𝑦+𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+ 2𝑦−𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥−𝑦+ 2𝑧.

(R: 𝑥=𝑐₂𝑒^2𝑡+𝑐₃𝑒^3𝑡, 𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^2𝑡,𝑧 =𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^2𝑡+𝑐₃𝑒^3𝑡.) 84. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 3𝑥−𝑦+𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+𝑦+𝑧,

˙

𝑧 = 4𝑥−𝑦+ 4𝑧.

(R:𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^2𝑡+𝑐₃𝑒^5𝑡,𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡−𝑐₂𝑒^2𝑡+𝑐₃𝑒^5𝑡,𝑧 =−𝑐₁𝑒^𝑡−3𝑐₂𝑒^2𝑡+ 3𝑐₃𝑒^5𝑡.)

85. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = −3𝑥+ 4𝑦−2𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+𝑧,

˙

𝑧 = 6𝑥−6𝑦+ 5𝑧.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₃𝑒^−𝑡, 𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^2𝑡, 𝑧= 2𝑐₂𝑒^2𝑡−𝑐₃𝑒^−𝑡.) 86. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥+𝑦,

˙

𝑦 = 𝑥+ 3𝑦−𝑧,

˙

𝑧 = −𝑥+ 2𝑦+ 3𝑧.

Reˇsitev

Do reˇsitve poskusimo priti z uporabo metod linearne algebre. Vpeljemo vektorsko funkcijo x = [𝑥, 𝑦, 𝑧]^𝑇, sistem prepiˇsemo v obliko ˙x = Ax, kjer je pripadajoˇca matrika sistema

A=

⎡

⎢

⎢

⎣

2 1 0

1 3 −1

−1 2 3

⎤

⎥

⎥

⎦ .

Reˇsitev poiˇsˇcemo kot x = v𝑒^𝜆𝑡. ˇStevilo 𝜆 je lastna vrednost matrike A, v = [𝛼, 𝛽, 𝛾]^𝑇 pa ustrezni lastni vektor. Karakteristiˇcni polinom matrike A je

2−𝜆 1 0

1 3−𝜆 −1

−1 2 3−𝜆

=−𝜆³+8𝜆²−22𝜆+20 = −(𝜆−2)(𝜆²−6𝜆+10).

Lastni vrednosti 𝜆₁ = 2 ustreza lastni vektor v₁ = [1,0,1]^𝑇, druga lastna vrednost 𝜆2 = 3 +𝑖 pa je konjugirana tretji𝜆3 = 3−𝑖. Za drugi lastni vektor vzemimo v₂ = [1,1 +𝑖,2−𝑖]^𝑇.

x= [𝑥, 𝑦, 𝑧]^𝑇 =𝑐₁v₁𝑒^𝜆1𝑡+𝑐₂Re(v₂𝑒^𝜆2𝑡) +𝑐₃Im(v₂𝑒^𝜆3𝑡) =

=𝑐₁[1,1,1]^𝑇𝑒^2𝑡+𝑐₂[cos𝑡,cos𝑡−sin𝑡,2 cos𝑡+ sin𝑡]^𝑇𝑒^3𝑡+

+𝑐₃[sin𝑡,cos𝑡+ sin𝑡,2 sin𝑡−cos𝑡]^𝑇𝑒^3𝑡, Reˇsitev lahko zapiˇsemo v obliki:

𝑥=𝑐1𝑒^2𝑡+𝑒^3𝑡(𝑐2cos𝑡+𝑐3sin𝑡), 𝑦=𝑒^3𝑡((𝑐₂+𝑐₃) cos𝑡+ (𝑐₃−𝑐₂) sin𝑡),

𝑧 =𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑒^3𝑡((2𝑐₂−𝑐₃) cos𝑡+ (𝑐₂+ 2𝑐₃) sin𝑡).

87. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−𝑦+ 2𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+ 2𝑧,

˙

𝑧 = −2𝑥+𝑦−𝑧.

(R:𝑥=𝑐₂cos𝑡+ (𝑐₂+ 2𝑐₃) sin𝑡),𝑦= 2𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂cos𝑡+ (𝑐₂+ 2𝑐₃) sin𝑡), 𝑧 =𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₃cos𝑡−(𝑐₂+𝑐₃) sin𝑡).)

88. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = −𝑦,

˙

𝑦 = 𝑥,

˙

𝑧 = −𝑥−𝑦.

(R:𝑥=𝑐₁cos𝑡+𝑐₂sin𝑡,𝑦 =𝑐₁sin𝑡−𝑐₂cos𝑡,𝑧 = (𝑐₁+𝑐₂) cos𝑡+ (𝑐₂− 𝑐₁) sin𝑡+𝑐₃.)

89. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥−𝑦−𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+𝑦,

˙

𝑧 = 3𝑥+𝑧.

(R:𝑥=𝑒^𝑡(−2𝑐₂sin(2𝑡) + 2𝑐₃cos(2𝑡)),𝑦=𝑒^𝑡(𝑐₁+𝑐₂cos(2𝑡) +𝑐₃sin(2𝑡)), 𝑧 =𝑒^𝑡(−𝑐₁+ 3𝑐₂cos(2𝑡) + 3𝑐₃sin(2𝑡)).)

90. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 4𝑥−𝑦−𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+ 2𝑦−𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥−𝑦+ 2𝑧.

(R:𝑥=𝑐₁𝑒^2𝑡+ (𝑐₂+𝑐₃)𝑒^3𝑡,𝑦=𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₃𝑒^3𝑡,𝑧 =𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₂𝑒^3𝑡−𝑐₃𝑒^−𝑡.) 91. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−𝑦−𝑧,

˙

𝑦 = 3𝑥−2𝑦−3𝑧,

˙

𝑧 = −𝑥+𝑦+ 2𝑧.

Reˇsitev

Do reˇsitve poskusimo tudi tokrat priti z uporabo metod linearne al-gebre. Vpeljemo vektorsko funkcijo x= [𝑥, 𝑦, 𝑧]^𝑇, sistem prepiˇsemo v

obliko ˙x=Ax, kjer je pripadajoˇca matrika sistema

A=

⎡

⎢

⎢

⎣

2 −1 −1 3 −2 −3

−1 1 2

⎤

⎥

⎥

⎦ .

Reˇsitev poiˇsˇcemo kot x = v𝑒^𝜆𝑡. ˇStevilo 𝜆 je lastna vrednost matrike A, v = [𝛼, 𝛽, 𝛾]^𝑇 pa ustrezni lastni vektor. Karakteristiˇcni polinom matrike A je

2−𝜆 −1 −1

3 −2−𝜆 −3

−1 1 2−𝜆

=−𝜆³+ 2𝜆²−𝜆 =−𝜆(𝜆−1)².

Lastni vrednosti 𝜆₁ = 2 ustreza lastni vektor v₁ = [1,3,−1]^𝑇, druga lastna vrednost 𝜆₂ = 1 pa je dvakratna. Ustrezni lastni podprostor pa je dvorazseˇzen, napet na vektorja v₂ = [1,1,0]^𝑇,v₃ = [1,0,1]^𝑇.

x= [𝑥, 𝑦, 𝑧]^𝑇 =𝑐₁v₁𝑒^𝜆1𝑡+𝑐₂v₂𝑒^𝜆2𝑡+𝑐₃v₃𝑒^𝜆2𝑡=

=𝑐1[1,3,−1]^𝑇 +𝑐2[1,1,0]^𝑇𝑒^𝑡+𝑐3[1,0,1]^𝑇𝑒^𝑡, Reˇsitev lahko zapiˇsemo v obliki:

𝑥=𝑐₁+ (𝑐₂ +𝑐₃)𝑒^𝑡, 𝑦= 3𝑐₁+𝑐₂𝑒^𝑡, 𝑧 =−𝑐₁+𝑐₃𝑒^𝑡. 92. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = −2𝑥+𝑦−2𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥−2𝑦+ 2𝑧,

˙

𝑧 = 3𝑥−3𝑦+ 5𝑧.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^3𝑡+ (𝑐₂+ 2𝑐₃)𝑒^−𝑡, 𝑦=−𝑐₁𝑒^3𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡, 𝑧 =−3𝑐₁𝑒^3𝑡−𝑐₃𝑒^−𝑡.)

93. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 3𝑥−2𝑦−𝑧,

˙

𝑦 = 3𝑥−4𝑦−3𝑧,

˙

𝑧 = 2𝑥−4𝑦.

(R: 𝑥=𝑐₁𝑒^2𝑡+𝑐₃𝑒^−5𝑡, 𝑦=𝑐₂𝑒^2𝑡+ 3𝑐₃𝑒^−5𝑡,𝑧 = (𝑐₁−2𝑐₂)𝑒^2𝑡+ 2𝑐₃𝑒^−5𝑡.) 94. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑥−𝑦+𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+𝑦−𝑧,

˙

𝑧 = −𝑦+ 2𝑧.

Reˇsitev

Uporabimo spet metode linearne algebre. Vpeljemo vektorsko funkcijo x = [𝑥, 𝑦, 𝑧]^𝑇, sistem prepiˇsemo v obliko ˙x = Ax, kjer je pripadajoˇca matrika sistema

A=

⎡

⎢

⎢

⎣

1 −1 1

1 1 −1

0 −1 2

⎤

⎥

⎥

⎦ .

Reˇsitev poiˇsˇcemo kot x = v𝑒^𝜆𝑡. ˇStevilo 𝜆 je lastna vrednost matrike A, v = [𝛼, 𝛽, 𝛾]^𝑇 pa ustrezni lastni vektor. Karakteristiˇcni polinom matrike A je

1−𝜆 −1 1

1 1−𝜆 −1

0 −1 2−𝜆

=−𝜆³+ 4𝜆²−5𝜆+ 2 =−(𝜆−2)(𝜆−1)².

Lastni vrednosti 𝜆₁ = 2 ustreza lastni vektor v₁ = [1,0,1]^𝑇, druga lastna vrednost 𝜆2 = 1 pa je dvakratna. Ustrezni lastni podprostor je tokrat le enorazseˇzen, napet na vektor v₂ = [1,1,1]^𝑇. Tretjo bazno reˇsitev poiˇsˇcemo v obliki u₃ = (a+b𝑡)𝑒^𝜆2𝑡. Hitro spoznamo, da mora veljati za vsak 𝑡 enakost

b+𝜆₂a+𝑡𝜆₂b=Aa+𝑡Ab.

Veljati morata torej relaciji

Ab=𝜆₂b, (A−𝜆₂I)a=b.

Prva pomeni, da jeb lastni vektor matrikeA pri lastni vrednosti𝜆₂ = 1, kar pomeni, da lahko izberemo b = v2 = [1,1,1]^𝑇. Naj bo iskani a = [𝑢, 𝑣, 𝑤]^𝑇. Zanj najdemo neprotisloven sistem enaˇcb −𝑣 +𝑤 = 1, 𝑢−𝑤 = 1,−𝑣 +𝑤 = 1 z reˇsitvijo a = [2,0,1]. Sploˇsna reˇsitev je potemtakem

x= [𝑥, 𝑦, 𝑧]^𝑇 =𝑐₁v₁𝑒^𝜆1𝑡+𝑐₂v₂𝑒^𝜆2𝑡+𝑐₃u₃𝑒^𝜆2𝑡=

=𝑐₁[1,1,1]^𝑇𝑒^2𝑡+𝑐₂[1,0,1]^𝑇𝑒^𝑡+𝑐₃([2,0,1]^𝑇 +𝑡[1,1,1]^𝑇)𝑒^𝑡, Reˇsitev lahko zapiˇsemo v obliki:

𝑥=𝑐₁𝑒^2𝑡+ (𝑐₂+ 2𝑐₃+𝑐₃𝑡)𝑒^𝑡,𝑦= (𝑐₂+𝑐₃𝑡)𝑒^𝑡,𝑧 =𝑐₁𝑒^2𝑡+ (𝑐₂+𝑐₃+𝑐₃𝑡)𝑒^𝑡. 95. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = −𝑥+𝑦−2𝑧,

˙

𝑦 = 4𝑥+𝑦,

˙

𝑧 = 2𝑥+𝑦−𝑧.

(R: 𝑥 = (𝑐₂ − 𝑐₃ + 𝑐₃𝑡)𝑒^−𝑡, 𝑦 = 2𝑐₁𝑒^𝑡 + (−𝑐₂ + 𝑐₃ − 2𝑐₃𝑡)𝑒^−𝑡, 𝑧 = 𝑐1𝑒^𝑡+ (−𝑐1−𝑐3𝑡)𝑒^−𝑡.)

96. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥+𝑦,

˙

𝑦 = 2𝑦+ 4𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥−𝑧.

(R: 𝑥 = 𝑐1 + (𝑐2𝑡 + 4𝑐3)𝑒^3𝑡, 𝑦 = −2𝑐1 + (𝑐2 − 2𝑐2𝑡 + 4𝑐3)𝑒^3𝑡, 𝑧 = 𝑐₁+ (−𝑐₂+𝑐₂𝑡+𝑐₃)𝑒^3𝑡.)

97. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 3𝑥+ 3𝑦+𝑧,

˙

𝑦 = −𝑥−2𝑦−𝑧,

˙

𝑧 = −6𝑥−3𝑦.

(R:𝑥= 5𝑐₁𝑒^𝑡+ 3𝑐₂+𝑐₃+ 3𝑐₃𝑡,𝑦 = 4𝑐₁𝑒^𝑡+ 3𝑐₂+ 3𝑐₃𝑡,𝑧 =𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂+𝑐₃𝑡.) 98. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 2𝑥−𝑦−𝑧,

˙

𝑦 = 2𝑥−𝑦−2𝑧,

˙

𝑧 = −𝑥+𝑦+𝑧.

(R: 𝑥= (𝑐₁+𝑐₃𝑡)𝑒^𝑡,𝑦 = (𝑐₂+ 2𝑐₃𝑡)𝑒^𝑡, 𝑧 = (𝑐₁−𝑐₂−𝑐₃−𝑐₃𝑡)𝑒^𝑡.)

99. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = −4𝑥−5𝑦−3𝑧,

˙

𝑦 = 14𝑥+ 13𝑦+ 6𝑧,

˙

𝑧 = −7𝑥−5𝑦.

(R:𝑥= (3𝑐₂+𝑐₃𝑡)𝑒^3𝑡,𝑦 = (−𝑐₁−2𝑐₂−2𝑐₃𝑡)𝑒^3𝑡, 𝑧 = (5𝑐₁−7𝑐₂+ 3𝑐₃+ 𝑐3𝑡)𝑒^3𝑡.)

100. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 4𝑥−𝑦,

˙

𝑦 = 3𝑥+𝑦−𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥+𝑧.

Reˇsitev

Uporabimo spet metode linearne algebre. Vpeljemo vektorsko funkcijo x = [𝑥, 𝑦, 𝑧]^𝑇, sistem prepiˇsemo v obliko ˙x = Ax, kjer je pripadajoˇca matrika sistema

A=

⎡

⎢

⎢

⎣

4 −1 0

3 1 −1

1 0 1

⎤

⎥

⎥

⎦ .

Reˇsitev poiˇsˇcemo kot x = v𝑒^𝜆𝑡. ˇStevilo 𝜆 je lastna vrednost matrike A, v = [𝛼, 𝛽, 𝛾]^𝑇 pa ustrezni lastni vektor. Karakteristiˇcni polinom

matrike A je

4−𝜆 −1 0

3 1−𝜆 −1

1 0 1−𝜆

=−𝜆³+ 6𝜆²−12𝜆+ 8 =−(𝜆−2)³.

Lastna vrednost 𝜆1 = 2 je trikratna, ustreza ji lastni vektor v1 = [1,2,1]^𝑇, Ustrezni lastni podprostor pa je le enorazseˇzen, napet na ta vektor.

Drugo bazno reˇsitev poiˇsˇcemo v obliki u₂ = (a+b𝑡)𝑒^𝜆1𝑡. Hitro spoz-namo, da mora veljati za vsak 𝑡 enakost

𝜆₁a+𝑡𝜆₁b+b=Aa+𝑡Ab.

Veljati morata torej relaciji

Ab=𝜆₁b, (A−𝜆₁I)a=b.

Prva pomeni, da jeb lastni vektor matrikeA pri lastni vrednosti𝜆₁ = 2, kar pomeni, da lahko izberemo b = v₁ = [1,2,1]^𝑇. Naj bo iskani a = [𝑢, 𝑣, 𝑤]^𝑇. Zanj najdemo neprotisloven sistem enaˇcb 2𝑢 −𝑣 = 1,3𝑢−𝑣−𝑤= 2, 𝑢−𝑤= 1 z reˇsitvijo a= [0,−1,−1].

Tretjo bazno reˇsitev poiˇsˇcemo v obliki u₃ = (c+d𝑡+e𝑡²/2)𝑒^𝜆1𝑡. Spoz-namo, da moraj veljati za vsak 𝑡 enakost

d+𝑡e+𝜆₁c+𝜆₁𝑡d+𝜆₁(𝑡²/2)e =Ac+𝑡Ad+ (𝑡²/2)Ae.

Veljati morajo torej relacije

Ae=𝜆₁e, (A−𝜆₁I)d=e, (A−𝜆₁I)c=d.

Prva pomeni, da jeelastni vektor matrikeApri lastni vrednosti𝜆1 = 2, kar pomeni, da lahko izberemo e = 2v₁ = [2,4,2]^𝑇. Naj bo iskani

d = [𝑝, 𝑞, 𝑟]^𝑇. Zanj najdemo neprotisloven sistem enaˇcb 2𝑝− 𝑞 = 2,3𝑝−𝑞 −𝑟 = 4, 𝑝−𝑟 = 2 z reˇsitvijo d = [0,−2,−2]. Konˇcno naj bo c = [𝑘, 𝑙, 𝑚]^𝑇. Zanj imamo neprotisloven sistem enaˇcb 2𝑘 − 𝑙 = 0,3𝑘−𝑙−𝑚=−2, 𝑘−𝑚=−2 z reˇsitvijo c= [0,0,2].

Sploˇsna reˇsitev je potemtakem

x= [𝑥, 𝑦, 𝑧]^𝑇 =𝑐₁v₁𝑒^𝜆1𝑡+𝑐₂u₂𝑒^𝜆1𝑡+𝑐₃u₃𝑒^𝜆1𝑡=

=𝑐1[1,2,1]^𝑇𝑒^2𝑡+𝑐2([0,−1,−1]^𝑇 +𝑡[1,2,1]^𝑇)𝑒^2𝑡+ +𝑐3([0,0,2]^𝑇 +𝑡[0,−2,−2]^𝑇 +𝑡²[1,2,1]^𝑇)𝑒^2𝑡, Reˇsitev lahko zapiˇsemo v obliki:

𝑥= (𝑐₁+𝑐₂𝑡+𝑐₃𝑡²)𝑒^2𝑡,

𝑦= (2𝑐₁−𝑐₂+ 2(𝑐₂−𝑐₃)𝑡+ 2𝑐₃𝑡²)𝑒^2𝑡, 𝑧 = (𝑐1−𝑐2+ 2𝑐3+ (𝑐2−2𝑐3)𝑡+𝑐3𝑡²)𝑒^2𝑡. 101. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 5𝑦−39𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥−3𝑦+ 31𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥+𝑦.

(R:𝑥= (11𝑐₁−4𝑐₂+ 11𝑐₂𝑡+ 2𝑐₃−8𝑐₃𝑡+ 11𝑐₃𝑡²)𝑒^−𝑡,𝑦 = (−10𝑐₁+ 3𝑐₂− 10𝑐₂𝑡−2𝑐₃+ 6𝑐₃𝑡−10𝑐₃𝑡²)𝑒^−𝑡, 𝑧 = (−𝑐₁−𝑐₂𝑡−𝑐₃𝑡²)𝑒^−𝑡.)

102. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑥 = 𝑦,

˙

𝑦 = 𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥.

(R: 𝑥=𝑐1𝑒^𝑡+ 2𝑒^−𝑡/2(𝑐2cos(√

3𝑡/2) +𝑐3sin(√

3𝑡/2)), 𝑦=𝑐₁𝑒^𝑡−𝑒^−𝑡/2((𝑐₂−𝑐₃√

3) cos(√

3𝑡/2) + (𝑐₃+𝑐₂√

3) sin(√ 3𝑡/2)), 𝑧 =𝑐₁𝑒^𝑡−𝑒^−𝑡/2((𝑐₂+𝑐₃√

3) cos(√

3𝑡/2) + (𝑐₃−𝑐₂√

3) sin(√

3𝑡/2)).) 103. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

¨

𝑥 = 3𝑥−𝑦−𝑧,

¨

𝑦 = −𝑥+ 3𝑦−𝑧,

¨

𝑧 = −𝑥−𝑦+ 3𝑧.

(R: 𝑥 =𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+𝑐₃𝑒^2𝑡+𝑐₅𝑒^−2𝑡, 𝑦= 𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡+𝑐₄𝑒^2𝑡+𝑐₆𝑒^−2𝑡, 𝑧 =𝑐₁𝑒^𝑡+𝑐₂𝑒^−𝑡−(𝑐₃+𝑐₄)𝑒^2𝑡−(𝑐₅+𝑐₆)𝑒^−2𝑡.)

104. Reˇsite sistem diferencialnih enaˇcb:

˙

𝑦−𝑧˙+𝑥 = 0,

˙

𝑧−𝑥˙ +𝑦 = 0,

˙

𝑥−𝑦˙+𝑧 = 0.

(R: 𝑥= (𝑐₂√

3−𝑐₁) cos(𝑘𝑡)−(𝑐₁√

3 +𝑐₂) sin(𝑘𝑡), 𝑦=−(𝑐₂√

3 +𝑐₁) cos(𝑘𝑡) + (𝑐₁√

3−𝑐₂) sin(𝑘𝑡), 𝑧 = 2𝑐₁cos(𝑘𝑡) + 2𝑐₂sin(𝑘𝑡);𝑘 =√

3/3.)

In document 1 Navadne diferencialne enaˇ cbe prvega reda (Strani 139-177)