Nelinearni sistemi diferencialnih enaˇ cb

Nelinearni sistem navadnih diferencialnih enaˇcb 𝑦^′ = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑧^′ = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧),

kjer je 𝑥 neodvisna spremenljivka,𝑦(𝑥), 𝑧(𝑥) pa iskani funkciji, se vˇcasih da reˇsiti z izloˇcitvijo ene od teh funkcij, kar nas privede do navadne diferencialne enaˇcbe z eno neznano funkcijo.

Avtonomen sistem veˇc kot dveh enaˇcb navadno piˇsemo v obliki 𝑑𝑥1

𝑓₁(𝑥₁, . . . , 𝑥_𝑛) = 𝑑𝑥2

𝑓₂(𝑥₁, . . . , 𝑥_𝑛) =. . .= 𝑑𝑥𝑛

𝑓_𝑛(𝑥₁, . . . , 𝑥_𝑛) =𝑑𝑡.

V tem primeru je sistem reˇsen, ˇce najdemo 𝑛−1 neodvisnih prvih integralov sistema, to je funkcij

𝜑1, 𝜑2, . . . , 𝜑𝑛−1, za katere je

𝜑1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) =𝑐1, 𝜑2(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) =𝑐2, . . . , 𝜑𝑛−1(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) =𝑐𝑛−1. Prvi integrali so odvisni, ˇce lahko enega od njih funkcijsko izrazimo s preostalimi.

Prvi integrali so odvisni natanko tedaj, ko je rang Jacobijeve matrike

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

∂𝜑1

∂𝑥1 . . . ^∂𝜑_∂𝑥¹ .. 𝑛

. . .. ...

∂𝜑𝑛−1

∂𝑥1 . . . ^∂𝜑_∂𝑥^𝑛−1

𝑛

⎤

⎥

⎥

⎥

⎦

manjˇsi od 𝑛−1.

1. Reˇsite sistem enaˇcb:

𝑦^′ = 𝑥 𝑧, 𝑧^′ = −𝑥

𝑦.

Reˇsitev

Iz obeh enaˇcb dobimo 𝑧𝑦^′ +𝑦𝑧^′ = (𝑦𝑧)^′ = 0, kar pomeni 𝑦𝑧 =𝑐₁/2. Iz prve enaˇcbe nato dobimo enaˇcbo z loˇcljivima spremenljivkama:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 𝑐₁ , 𝑑𝑦

𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑐₁ . Po integraciji in antilogaritmiranju imamo najprej

𝑦=𝑐₂𝑒^𝑥2/𝑐1, nato pa ˇse

𝑧 = 𝑐1

2𝑦 = 𝑐1

2𝑐₂𝑒^{−𝑥2/𝑐1}.

S preimenovanjem konstante 𝑐₁ 7→1/𝑐₁ lahko nekoliko lepˇse zapiˇsemo reˇsitev:

𝑦=𝑐₂𝑒^𝑐1𝑥2, 𝑧 = 1

𝑐₁𝑐₂ 𝑒^𝑐1𝑥2. 2. Reˇsite sistem enaˇcb:

𝑦^′ = 𝑦² 𝑧−𝑥, 𝑧^′ = 𝑦+ 1.

Reˇsitev

Iz druge enaˇcbe izrazimo 𝑦=𝑧^′−1 in vstavimo v prvi enaˇcbo:

𝑦^′ = (𝑧^′−1)^′ = (𝑧^′−1)²

𝑧−𝑥 , 𝑧^′′ = (𝑧^′−1)² 𝑧−𝑥 . Vpeljemo 𝑢=𝑧−𝑥, 𝑢^′ =𝑧^′−1 in dobimo:

𝑢^′′= 𝑢^′2 𝑢 .

Naj bo 𝑢^′ =𝑤=𝑤(𝑢). Potem je𝑢^′′ =𝑤(𝑑𝑤/𝑑𝑢) in enaˇcba preide v 𝑤𝑑𝑤

𝑑𝑢 = 𝑤² 𝑢 .

Ena moˇznost je 𝑤 = 0, druga pa 𝑑𝑤/𝑤 = 𝑑𝑢/𝑢. V prvem primeru je 𝑢^′ = 𝑧^′ −1 = 0 in s tem 𝑧 = 𝑥+𝑐, 𝑦 = 0. V drugem primeru pa najdemo najprej

𝑤=𝑢^′ =𝑐1𝑢, 𝑑𝑢/𝑢=𝑐1𝑑𝑥, 𝑢=𝑐2𝑒^𝑐1𝑥=𝑧−𝑥.

Torej je

𝑧=𝑥+𝑐₂𝑒^𝑐1𝑥, 𝑦=𝑧^′−1 = 𝑐₁𝑐₂𝑒^𝑐1𝑥. Sploˇsna reˇsitev sistema je zato:

𝑦=𝑐₁𝑐₂𝑒^𝑐1𝑥, 𝑧=𝑥+𝑐₂𝑒^𝑐1𝑥.

Za 𝑐₁ = 0 dobimo reˇsitev, ko smo jo posebej obravnavali.

3. Reˇsite sistem enaˇcb:

𝑦^′ = 𝑦²𝑧, 𝑧^′ = 𝑧

𝑥 −𝑦𝑧². Reˇsitev

Ena reˇsitev je oˇcitno reˇsitev sistema 𝑦 = 0, 𝑧^′ = 𝑧/𝑥, kar nam da posebno reˇsitev 𝑦= 0, 𝑧 =𝑐𝑥.

Da bi dobili sploˇsno reˇsitev, izrazimo iz prve enaˇcbe 𝑧 = 𝑦^′/𝑦² in vs-tavimo v drugo enaˇcbo:

𝑧^′ =(𝑧 𝑥

)′

= 𝑦^′′

𝑦² − 2𝑦^′2 𝑦³ = 𝑦^′

𝑥𝑦² − 𝑦^′2 𝑦³.

Po preureditvi imamo 𝑦^′′

𝑦 − 𝑦^′2 𝑦² =

(𝑦^′ 𝑦

)′

= 𝑦^′ 𝑥𝑦.

Z uvedbo nove spremenljivke 𝑢 =𝑦^′/𝑦 dobimo preprosto enaˇcbo 𝑢^′ = 𝑢/𝑥 z reˇsitvijo 𝑢 = 𝑦^′/𝑢 = 2𝑐₁𝑥. Z integracijo in antilogaritmiranjem dobimo

𝑦=𝑐₂𝑒^𝑐1𝑥2, 𝑧 = 𝑦^′

𝑦² = 2𝑐₁𝑥

𝑐₂ 𝑒^{−𝑐1𝑥2}. S tem smo naˇsli sploˇsno in posebno reˇsitev sistema:

𝑦=𝑐₂𝑒^𝑐1𝑥2, 𝑧 = 2𝑐₁𝑥 𝑐2

𝑒^{−𝑐1𝑥2}; 𝑦= 0, 𝑧=𝑐𝑥.

4. Reˇsite sistem enaˇcb:

2𝑧𝑦^′ = 𝑦²−𝑧²+ 1, 𝑧^′ = 𝑧+𝑦.

Reˇsitev

Iz druge enaˇcbe izrazimo najprej 𝑦 = 𝑧^′ −𝑧, iz ˇcesar je 𝑦^′ = 𝑧^′′−𝑧.

Potem, ko ta dva izraza vstavimo v prvo enaˇcbo in jo nato preuredimo, imamo:

2𝑧𝑧^′′ =𝑧^′2+ 1.

Ce uvedemoˇ

𝑢=𝑢(𝑧) =𝑧^′, 𝑧^′′ =𝑢𝑑𝑢 𝑑𝑧, dobimo

2𝑢𝑧𝑑𝑢

𝑑𝑧 =𝑢²+ 1, 2𝑢 𝑑𝑢 𝑢²+ 1 = 𝑑𝑧

𝑧 .

Z integriranjem in antilogaritmiranjem dobimo:

𝑢²+ 1 =𝑐₁𝑧, 𝑑𝑧

𝑑𝑥 =±√

𝑐₁𝑧−1.

Loˇcimo spremenljivki in malo preoblikujemo in integriramo:

± 𝑐₁𝑑𝑧 2√

𝑐₁𝑧−1 = 𝑐₁

2 𝑑𝑥, ±√

𝑐₁𝑧−1 = 𝑐₁𝑥+𝑐₂

2 .

Izrazimo eksplicitno:

𝑧 = 1 𝑐₁ + 1

4𝑐₁(𝑐₁𝑥+𝑐₂)². Za 𝑦=𝑧^′−𝑧 dobimo:

𝑦=−1 𝑐₁ + 1

2(𝑐₁𝑥+𝑐₂)− 1

4𝑐₁(𝑐₁𝑥+𝑐₂)². 5. Reˇsite sistem enaˇcb:

𝑥𝑦^′ = 𝑧,

𝑥(𝑦−1)𝑧^′ = 𝑧(𝑦+ 2𝑧−1).

Reˇsitev

Iz prve enaˇcbe vstavimo𝑧 =𝑥𝑦^′ v drugo:

𝑥(𝑦−1)(𝑥𝑦^′′+𝑦^′) =𝑥𝑦^′(𝑦+ 2𝑥𝑦^′−1).

Po preurejanju dobimo:

𝑦^′′(𝑦−1) = 2𝑦^′2. Uvedemo 𝑢=𝑢(𝑧) = 𝑦^′, 𝑦^′′ =𝑢 𝑑𝑢/𝑑𝑦:

𝑢𝑑𝑢

𝑑𝑦 = 2𝑢² 𝑦−1.

Ena reˇsitev je trivialna: za𝑢=𝑦^′ = 0 dobimo posebno reˇsitev 𝑦=𝑐in 𝑧 = 0. Sploˇsno reˇsitev dobimo iz okrajˇsane enaˇcbe:

𝑑𝑢

𝑑𝑦 = 2𝑢

𝑦−1, 𝑑𝑢

𝑢 = 2𝑑𝑦 𝑦−1. Z integriranjem in antilogaritmiranjem dobimo:

𝑢= 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =𝑐₁(𝑦−1)², 𝑑𝑦

(𝑦−1)² =𝑐₁𝑑𝑥, 1

1−𝑦 =𝑐₁𝑥+𝑐₂. Nazadnje imamo:

𝑦= 𝑐₁𝑥+𝑐₂−1

𝑐₁𝑥+𝑐₂ , 𝑧 = 𝑐₁𝑥 (𝑐₁𝑥+𝑐₂)². Trivialno reˇsitev dobimo za 𝑐₁ = 0.

6. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝛽𝑧−𝛾𝑦 = 𝑑𝑦

𝛾𝑥−𝛼𝑧 = 𝑑𝑧 𝛼𝑦−𝛽𝑥, pri ˇcemer so 𝛼, 𝛽, 𝛾 konstante, ki niso hkrati enake 0.

Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝛽𝑧−𝛾𝑦,

˙

𝑦 = 𝛾𝑥−𝛼𝑧,

˙

𝑧 = 𝛼𝑦−𝛽𝑥.

Najprej je oˇcitno𝛼𝑥˙+𝛽𝑦˙+𝛾𝑧˙ = 0, zato je𝛼𝑥+𝛽𝑦+𝛾𝑧 =𝑐₁. Nadalje je 𝑥𝑥˙ +𝑦𝑦˙+𝑧𝑧˙ = 0 in zato 𝑥²+𝑦² +𝑧² = 𝑐₂. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝛼𝑥+𝛽𝑦+𝛾𝑧, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥²+𝑦²+𝑧².

Jacobijeva matrika

⎡

⎣

∂𝜑

∂𝑥

∂𝜑

∂𝑦

∂𝜑

∂𝑧

∂𝜓

∂𝑥

∂𝜓

∂𝑦

∂𝜓

∂𝑧

⎤

⎦=

⎡

⎣

𝛼 𝛽 𝛾

2𝑥 2𝑦 2𝑧

⎤

⎦

ima rang 2. Njen rang bi bil 1 le v primeru 𝛽𝑧 −𝛾𝑦 = 𝛾𝑥−𝛼𝑧 = 𝛼𝑦−𝛽𝑥= 0, kar pa je oˇcitno moˇzno samo v toˇcki.

7. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑦−𝑥𝑧 = 𝑑𝑦

𝑥+𝑦𝑧 = 𝑑𝑧 𝑥²+𝑦². Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑦−𝑥𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥+𝑦𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥² +𝑦². Ker je

𝑥𝑥˙ −𝑦𝑦˙+𝑧𝑧˙ = 0, imamo 𝑥²−𝑦²+𝑧² =𝑐₁. Prav tako imamo hitro

˙

𝑧−𝑦𝑥˙ −𝑥𝑦˙ = ˙𝑧−(𝑥𝑦)˙ = 0, torej (𝑧−𝑥𝑦)˙ = 0. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥²−𝑦²+𝑧², 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑧−𝑥𝑦.

Da sta neodvisna, pokaˇzemo na obiˇcajni naˇcin.

8. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑥(𝑦−𝑧) = 𝑑𝑦

𝑦(𝑧−𝑥) = 𝑑𝑧 𝑧(𝑥−𝑦). Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑥(𝑦−𝑧),

˙

𝑦 = 𝑦(𝑧−𝑥),

˙

𝑧 = 𝑧(𝑥−𝑦).

Oˇcitno je ˙𝑥+ ˙𝑦+ ˙𝑧 = 0 in zato 𝑥+𝑦+𝑧 = 𝑐₁. Prav tako je 𝑦𝑧𝑥˙ + 𝑥𝑧𝑦˙+𝑥𝑦𝑧˙ = (𝑥𝑦𝑧)˙ = 0 in𝑥𝑦𝑧 =𝑐₂. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥+𝑦+𝑧, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥𝑦𝑧.

9. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑥²−𝑦²−𝑦𝑧 = 𝑑𝑦

𝑥²−𝑦²−𝑥𝑧 = 𝑑𝑧 𝑧(𝑥−𝑦). Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑥²−𝑦²−𝑦𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥²−𝑦²−𝑥𝑧,

˙

𝑧 = 𝑧(𝑥−𝑦).

Ker je ˙𝑥−𝑦˙−𝑧˙ = 0, imamo 𝑥−𝑦−𝑧 =𝑐₁. Nato najdemo 𝑥𝑥˙ −𝑦𝑦˙ =𝑥³+𝑦³−𝑥𝑦²−𝑥²𝑦 = (𝑥²−𝑦²)(𝑥−𝑦)

oziroma

2𝑥𝑥˙ −2𝑦𝑦˙

𝑥²−𝑦² =𝑥−𝑦= 2 ˙𝑧 𝑧 . Z integracijo dobimo

ln∣𝑥²−𝑦²∣ −2 ln∣𝑧∣= ln𝑐₂

in z antilogaritmiranjem nazadnje (𝑥² −𝑦²)/𝑧² = 𝑐2. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥−𝑦−𝑧, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥²−𝑦² 𝑧² . 10. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb

− 𝑑𝑥

1 +𝑥𝑧² = 𝑑𝑦

1 +𝑦𝑧² = 𝑑𝑧 𝑧²(𝑦−𝑥). Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = −1−𝑥𝑧²,

˙

𝑦 = 1 +𝑦𝑧²,

˙

𝑧 = 𝑧²(𝑦−𝑥).

En prvi integral imamo takoj. Ker je ˙𝑥+ ˙𝑦−𝑧˙ = 0, imamo𝑥+𝑦−𝑧 =𝑐1. Potem pa imamo ˇse

𝑦𝑥˙ +𝑥𝑦˙ = (𝑥𝑦)˙ = 𝑥−𝑦 =− 𝑧˙ 𝑧²

in z integracijo 𝑥𝑦−1/𝑧 =𝑐₂. Prva integrala sistema sta 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥+𝑦−𝑧, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦− 1

𝑧.

11. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑦+𝑧 = 𝑑𝑦

𝑧+𝑥 = 𝑑𝑧 𝑥+𝑦. Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑦+𝑧,

˙

𝑦 = 𝑧+𝑥,

˙

𝑧 = 𝑥+𝑦.

Iz prvih dveh enaˇcb imamo: 𝑥˙ − 𝑦˙ = 𝑦 − 𝑥, iz druge in tretje pa

˙

𝑦−𝑧˙ =𝑧−𝑦. To pomeni, da velja:

˙ 𝑥−𝑦˙

𝑥−𝑦 −𝑦˙−𝑧˙ 𝑦−𝑧 = 0.

Z integracijo in antilogaritmiranjem dobimo: (𝑥−𝑦)/(𝑦−𝑧) = 𝑐1. Ker je

˙

𝑥+ ˙𝑦+ ˙𝑧 = 2(𝑥+𝑦+𝑧), imamo tudi

˙

𝑥+ ˙𝑦+ ˙𝑧

𝑥+𝑦+𝑧 + 2𝑥˙ −𝑦˙ 𝑥−𝑦 = 0.

Z integracijo in antilogaritmiranjem dobimo ˇse (𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥−𝑦)² =𝑐₂. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥−𝑦

𝑦−𝑧, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥−𝑦)². 12. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb

𝑑𝑥

2𝑦−𝑧 = 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑧

𝑧 .

Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 2𝑦−𝑧,

˙

𝑦 = 𝑦,

˙

𝑧 = 𝑧.

Zadnji dve enaˇcbi dasta ˙𝑦/𝑦−𝑧/𝑧˙ = 0 in 𝑦/𝑧 = 𝑐₁. Iz vseh treh pa dobimo ˙𝑥−2 ˙𝑦+ ˙𝑧 = 0 in ˇse: 𝑥−2𝑦+𝑧 =𝑐₂. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑦, 𝑧) = 𝑦

𝑧, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥−2𝑦+𝑧.

13. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑑𝑦 𝑥 = 𝑑𝑧

𝑧 . Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑦,

˙

𝑦 = 𝑥,

˙

𝑧 = 𝑧.

Prvi dve enaˇcbi nam dasta 𝑥𝑥˙ −𝑦𝑦˙ = 0 in: 𝑥²−𝑦² =𝑐₁. Iz vseh treh enaˇcb najdemo ˇse

˙ 𝑥+ ˙𝑦 𝑥+𝑦 − 𝑧˙

𝑧 = 0

in integral (𝑥+𝑦)/𝑧 =𝑐₂. Prva integrala sistema sta 𝜑(𝑥, 𝑦) =𝑥²−𝑦², 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥+𝑦

𝑧 .

14. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑦−𝑥 = 𝑑𝑦

𝑥+𝑦+𝑧 = 𝑑𝑧 𝑥−𝑦. Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑦−𝑥,

˙

𝑦 = 𝑥+𝑦+𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥−𝑦.

Ker je ˙𝑥+ ˙𝑧 = 0, je 𝑥+𝑧 =𝑐₁. Potem pa veljata ˇse relaciji

˙

𝑥+ ˙𝑦+ ˙𝑧 =𝑥+𝑦+𝑧, 𝑦˙−3 ˙𝑥−𝑧˙=−(𝑦−3𝑥−𝑧), iz katerih je

˙

𝑥+ ˙𝑦+ ˙𝑧

𝑥+𝑦+𝑧 + 𝑦˙−3 ˙𝑥−𝑧˙ 𝑦−3𝑥−𝑧 = 0.

Po integriranju in antilogaritmiranju dobimo ˇse (𝑥+𝑦+𝑧)(𝑦−3𝑥−𝑧) = 𝑐₂. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑥, 𝑧) = 𝑥+𝑧, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥+𝑦+𝑧)(𝑦−3𝑥−𝑧).

15. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑧 = 𝑑𝑦 𝑥𝑧 = 𝑑𝑧

𝑦 . Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑧,

˙

𝑦 = 𝑥𝑧,

˙

𝑧 = 𝑦.

Iz prvih dveh enaˇcb imamo takoj: 𝑥𝑥˙ − 𝑦˙ = 0 in: 𝑥² −2𝑦 = 𝑐₁. Drugega pa bomo poiskali s pomoˇcjo prvega. Iz tretje enaˇcbe imamo

˙

𝑧 = (𝑥²−𝑐₁)/2. Nato dobimo:

𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑧˙

˙

𝑥 = 𝑥² −𝑐₁

2𝑧 , 2𝑧 𝑑𝑧 = (𝑥²−𝑐₁)𝑑𝑥.

Integracija nam da:

𝑧² = 𝑥³

3 −𝑐1𝑥+ 𝑐2

3 = 𝑥³

3 −(𝑥²−2𝑦)𝑥+𝑐2

3. Po preureditvi imamo nazadnje

3𝑧²+ 2𝑥³−6𝑥𝑦=𝑐₂. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑥, 𝑦) =𝑥²−2𝑦, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑧²+ 2𝑥³−6𝑥𝑦.

16. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑧²−𝑦² = 𝑑𝑦

𝑧 =−𝑑𝑧 𝑦 . Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑧²−𝑦²,

˙

𝑦 = 𝑧,

˙

𝑧 = −𝑦.

Iz zadnjih dveh enaˇcb imamo hitro𝑦𝑦+𝑧˙ 𝑧˙ = 0 in s tem tudi𝑦²+𝑧² =𝑐₁.

Velja pa tudi

𝑧𝑦˙+𝑦𝑥˙ = (𝑦𝑧)˙ =𝑧²−𝑦² = ˙𝑥, kar nam da ˇse 𝑦𝑧−𝑥=𝑐₂. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑦.𝑧) = 𝑦²+𝑧², 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑦𝑧 −𝑥.

17. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑥 = 𝑑𝑦

𝑦 = 𝑑𝑧 𝑥𝑦+𝑧. Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑥,

˙

𝑦 = 𝑦,

˙

𝑧 = 𝑧+𝑥𝑦.

Iz prvih dveh enaˇcb sledi ˙𝑥/𝑥−𝑦/𝑦˙ = 0 in po integraciji ter antiloga-ritmiranju 𝑥/𝑦 =𝑐₁.

Hitro dobimo tudi enaˇcbo

𝑦𝑧˙−𝑧𝑦˙ =𝑦(𝑧+𝑥𝑦)−𝑧𝑦 =𝑥𝑦² =𝑦²𝑥,˙

iz katere sledi (𝑧/𝑦)˙−𝑥˙ = 0 in nato ˇse: 𝑧/𝑦 −𝑥 = 𝑐₂. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑥

𝑦, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 𝑦 −𝑥.

18. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑥𝑧 = 𝑑𝑦

𝑦𝑧 = 𝑑𝑧

𝑥𝑦√

𝑧²+ 1.

Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑥𝑧,

˙

𝑦 = 𝑦𝑧,

˙

𝑧 = 𝑥𝑦√

𝑧²+ 1.

Iz prvih dveh enaˇcb sledi ˙𝑥/𝑥−𝑦/𝑦˙ = 0 in po integraciji ter antiloga-ritmiranju 𝑥/𝑦 =𝑐₁.

Potem pa imamo ˇse

(𝑥𝑦)˙ =𝑦𝑥˙+𝑥𝑦˙ = 2𝑥𝑦𝑧 = 2𝑧 𝑧˙

√𝑧²+ 1 = 2(√

𝑧²+ 1)˙. Z integracijo dobimo 𝑥𝑦−2√

𝑧²+ 1 =𝑐₂. Prva integrala sistema sta 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑥

𝑦, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦−2√

𝑧²+ 1.

19. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑥+𝑦²+𝑧² = 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑧

𝑧 . Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑥+𝑦² +𝑧²,

˙

𝑦 = 𝑦,

˙

𝑧 = 𝑧.

Brez problemov najdemo en prvi integral, ker velja enaˇcba ˙𝑦/𝑦−𝑧/𝑧˙ = 0 in poslediˇcno 𝑦/𝑧 =𝑐₁. ˇCe nam ne uspe najti preostali prvi integral,

si pomagamo z ˇze najdenim. Izrazimo 𝑦 = 𝑐₁𝑧 in dobimo linearno nehomogeno enaˇcbo za spremenljivko𝑥=𝑥(𝑧):

˙ 𝑥

˙ 𝑦 = 𝑑𝑥

𝑑𝑧 = 𝑥+ (𝑐²₁+ 1)𝑧²

𝑧 = 𝑥

𝑧 + (𝑐²₁+ 1)𝑧.

Po ustaljenem postopku najdemo reˇsitev enaˇcbe 𝑑𝑥

𝑑𝑧 = 𝑥

𝑧 + (𝑐²₁ + 1)𝑧,

ki je 𝑥 = 𝑐₂𝑧 + (𝑐²₁ + 1)𝑧². Z izloˇcitvijo konstante 𝑐₁ = 𝑦/𝑧 dobimo nazadnje: (𝑥−𝑦²−𝑧²)/𝑧 =𝑐2. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑦, 𝑧) = 𝑦

𝑧, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥−𝑦²−𝑧²

𝑧 .

20. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑥(𝑦+𝑧) = 𝑑𝑦

𝑧(𝑧−𝑦) = 𝑑𝑧 𝑦(𝑦−𝑧). Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑥(𝑦+𝑧),

˙

𝑦 = 𝑧(𝑧−𝑦),

˙

𝑧 = −𝑦(𝑧−𝑦).

Iz zadnjih dveh enaˇcb imamo mimogrede: 𝑦𝑦˙+𝑧𝑧˙ = 0 in 𝑦²+𝑧² =𝑐1. Za spoznanje drugaˇce pridmo do preostalega:

(𝑥𝑦)˙ = 𝑦𝑥˙ +𝑥𝑦˙ =𝑥(𝑦²+𝑧²), (𝑥𝑧)˙ =𝑧𝑥˙ +𝑥𝑧˙ =𝑥(𝑦²+𝑧²).

Torej velja enaˇcba: (𝑥𝑦)˙−(𝑥𝑧)˙ = 0. Tako smo ga naˇsli: 𝑥(𝑦−𝑧) = 𝑐₂. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑦, 𝑧) =𝑦²+𝑧², 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥(𝑦−𝑧).

21. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb

−𝑑𝑥

𝑥² = 𝑑𝑦

𝑦(𝑦−𝑥) = 𝑑𝑧 𝑦²−𝑥𝑧. Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = −𝑥²,

˙

𝑦 = 𝑦(𝑦−𝑥),

˙

𝑧 = 𝑦²−𝑥𝑧.

Zaˇcetek ni teˇzak: ˙𝑦−𝑧˙ =−𝑥(𝑦−𝑧) in ˙𝑥/𝑥 = −𝑥. S tem smo uspeli najti:

˙ 𝑦−𝑧˙ 𝑦−𝑧 − 𝑥˙

𝑥 = 0.

Z integracijo in antilogaritmiranjem dobimo: (𝑦−𝑧)/𝑥=𝑐₁. Iz prvih dveh enaˇcb hitro odkrijemo:

𝑦𝑥˙ −𝑥𝑦˙ =−𝑥𝑦² =𝑦²𝑥˙ 𝑥. Tako imamo

𝑦𝑥˙ −𝑥𝑦˙ 𝑦² −𝑥˙

𝑥 = 0

in s tem ˇse: 𝑥/𝑦−ln∣𝑥∣=𝑐2. Prva integrala sistema sta 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦−𝑧

𝑥 , 𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑥

𝑦 −ln∣𝑥∣.

22. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb

−𝑑𝑥

𝑥² = 𝑑𝑦

𝑥𝑦−2𝑧² = 𝑑𝑧 𝑥𝑧.

Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = −𝑥²,

˙

𝑦 = 𝑥𝑦−2𝑧²,

˙

𝑧 = 𝑥𝑧.

Iz prve in tretje enaˇcbe imamo pri priˇci: 𝑧𝑥˙ +𝑥𝑧˙ = 0 in 𝑥𝑧 = 𝑐₁. Niˇc teˇze ni najti enaˇcbe𝑦+𝑥𝑦˙ =−2𝑥𝑧² =−2𝑧𝑧, ki nam po integraciji da˙ ˇse 𝑥𝑦+𝑧² =𝑐₂. Prva integrala sistema sta

𝜑(𝑥, 𝑧) =𝑥𝑧, 𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦+𝑧². 23. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb

𝑑𝑥

𝑥(𝑧−𝑦) = 𝑑𝑦

𝑦(𝑦−𝑥) = 𝑑𝑧 𝑦²−𝑥𝑧. Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑥(𝑧−𝑦),

˙

𝑦 = 𝑦(𝑦−𝑥),

˙

𝑧 = 𝑦²−𝑥𝑧.

Opazimo, da velja enaˇcba ˙𝑥−𝑦˙+ ˙𝑧 = 0, iz katere sledi𝑥−𝑦+𝑧 =𝑐₁. Iz vseh treh enaˇcb najdemo najprej

𝑦𝑧˙−𝑧𝑦˙ =𝑦²(𝑦−𝑧) =−𝑦²𝑥˙ 𝑥

in nato

𝑦𝑧˙−𝑧𝑦˙ 𝑦² + 𝑥˙

𝑥 = 0.

Z integracijo imamo ˇse 𝑧/𝑦+ ln∣𝑥∣=𝑐2. Prva integrala sistema sta 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥−𝑦+𝑧, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧

𝑦 + ln∣𝑥∣.

24. Poiˇsˇcite neodvisna prva integrala sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑥(𝑦² −𝑧²) =− 𝑑𝑦

𝑦(𝑥²+𝑧²) = 𝑑𝑧 𝑧(𝑥²+𝑦²). Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑥(𝑦²−𝑧²),

˙

𝑦 = −𝑦(𝑥²+𝑧²),

˙

𝑧 = 𝑧(𝑥² +𝑦²).

Slej ali prej opazimo, da velja enaˇcba

˙ 𝑦 𝑦 +𝑧˙

𝑧 = 𝑥˙ 𝑥,

iz katere po integraciji in antilogaritmiranju sledi: 𝑦𝑧/𝑥=𝑐₁. Hitro pa se tudi izkaˇze, da je

𝑥𝑥˙ +𝑦𝑦˙+𝑧𝑧˙ = 0

in ˇze je pred nami𝑥²+𝑦²+𝑧² =𝑐₂. Prva integrala sistema sta 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧

𝑥 , 𝜓(𝑥, 𝑦) =𝑥²+𝑦²+𝑧².

25. Poiˇsˇcite tri neodvisne prve integrale sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑦−𝑢 = 𝑑𝑦

𝑧−𝑥 = 𝑑𝑧

𝑢−𝑦 = 𝑑𝑢 𝑥−𝑧. Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑦−𝑢,

˙

𝑦 = 𝑧−𝑥,

˙

𝑧 = 𝑢−𝑦,

˙

𝑢 = 𝑥−𝑧.

Oˇcitno je ˙𝑥+ ˙𝑧 = 0 in ˙𝑦+ ˙𝑢 = 0 s tem imamo enaˇcbi 𝑥+𝑧 = 𝑐₁ in 𝑦+𝑢=𝑐₂.

Velja pa tudi

˙

𝑥−𝑧˙ = 2(𝑦−𝑢), 𝑦˙−𝑢˙ = 2(𝑧−𝑥), iz ˇcesar sledi

( ˙𝑥−𝑧)(𝑥˙ −𝑧) + ( ˙𝑦−𝑢)(𝑦˙ −𝑢) = 0, kar da z integracijo ˇse:

(𝑥−𝑧)²+ (𝑦−𝑢)² =𝑐₃. Prvi integrali sistema so

𝜑(𝑥, 𝑧) = 𝑥+𝑧, 𝜒(𝑦, 𝑢) =𝑦+𝑢, 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = (𝑥−𝑧)²+ (𝑦−𝑢)².

26. Poiˇsˇcite tri neodvisne prve integrale sistema enaˇcb 𝑑𝑥

𝑧 = 𝑑𝑦 𝑢 = 𝑑𝑧

𝑥 = 𝑑𝑢 𝑦 . Reˇsitev

Sistem je ekvivalenten sistemu

˙

𝑥 = 𝑧,

˙

𝑦 = 𝑢,

˙

𝑧 = 𝑥,

˙

𝑢 = 𝑦.

Iz prve in tretje ter druge in ˇcetrte enaˇcbe imamo takoj:

𝑥𝑥˙ −𝑧𝑧˙ = 0, 𝑦𝑦˙−𝑢𝑢˙ = 0, kar nam da 𝑥² −𝑧² =𝑐₁ in𝑦²−𝑢² =𝑐₂.

Veljata pa tudi enaˇcbi ˙𝑥+ ˙𝑧 =𝑥+𝑧 in ˙𝑦+ ˙𝑢=𝑦+𝑢, ki nam dasta:

˙ 𝑥+ ˙𝑧

𝑥+𝑧 − 𝑦˙+ ˙𝑢 𝑦+𝑢 = 0.

Z integracijo in antilogaritmiranjem dobimo ˇse: (𝑥+𝑧)/(𝑦+𝑢) = 𝑐₃. Prvi integrali sistema so

𝜑(𝑥, 𝑧) =𝑥² −𝑧², 𝜒(𝑦, 𝑢) =𝑦²−𝑢², 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = (𝑥+𝑧)/(𝑦+𝑢).

In document 1 Navadne diferencialne enaˇ cbe prvega reda (Strani 177-197)