V nadaljevanju bomo iskali podobnosti in razlike med realno in p-adiˇcno analizo.
Zaˇceli bomo z aritmetiˇcnimi operacijami, posvetili pa se bomo ˇse vrstam, zaporedjem in odvodom.
5.1. Aritmetiˇcne operacije
p-adiˇcna razˇsiritev nam omogoˇca podobno predstavitev aritmetiˇcnih operacij v p-adiˇcnih ˇstevilih Qp (zapisanih v bazi p) kot v realnih ˇstevilih R. Algoritmi za seˇstevanje, odˇstevanje, mnoˇzenje in deljenje v p-adiˇcnih ˇstevilih naˇceloma potekajo z leve proti desni. Tu mislimo predvsem na to, da ˇce operiramo s ˇstevili, ki so zapisana v obliki vsote, operacije potekajo kot omenjeno, ˇce pa so ˇstevila zapisana v
decimalniobliki, lahko operacije potekajo tudi z desne proti levi, kot smo vajeni iz realnih ˇstevil. To se zgodi v primeru, ko je desno od decimalne vejice konˇcno mnogo ˇstevk, levo od decimalne vejice pa neskonˇcno.
Naj bosta
a =
∞
X
n=−m
anpn in b=
∞
X
n=−m
bnpn,
kjer so an inbn p-adiˇcne decimalke in velja a−m 6= 0, ena ali veˇc zaˇcetnih decimalk b−m, b−m+1, . . . pa je lahko enakih 0. Potem je vsaka vrsta oblike
a+b=
∞
X
n=−m
(an+bn)pn oz. a−b=
∞
X
n=−m
(an−bn)pn
konvergentna vrsta. V sploˇsnem pa ne bo v kanoniˇcni obliki (3). Preoblikovanje v kanoniˇcno obliko iz izreka 3.6 ustreza standardnemu seˇstevanju (in odˇstevanju) iz desne proti levi.
5.1.1. Seˇstevanje. Poiˇsˇcimo kanoniˇcno p-adiˇcno razˇsiritev ˇstevila −1. ˇStevilo
−1 bomo dobili tako, da bomo poiskali ˇsteviloa, da bo veljalo 1 +a= 0. Takrat bo a=−1. Najprej moramo ˇstevilo 1 zapisati v p-adiˇcni razˇsiritvi, torej 1 = . . .0001.
Poiˇsˇcimo sedaj decimalke zaa=. . . a3a2a1a0. Zaˇcnemo na desni, dobiti pa moramo 1+a0 = 0. a0je iz mnoˇzice{0,1,2, . . . , p−1}, zato je edina moˇznost, da je 1+a0 =p in prenesemo 1 na levo. Toreja0 =p−1. ˇCe bi nadaljevali, bi ugotovili, da so vse ˇstevke an enake p−1, torej je
−1 = . . .(p−1)(p−1)(p−1).
Poglejmo si sedaj na primeru postopek seˇstevanja dveh p-adiˇcnih ˇstevil, ki sta zapisani v obliki vsote. Naj bo p= 7 in
x= 5p−1+ 0p0+ 4p1+· · · ter
y= 4p−1+ 6p0+ 5p1+· · ·
Med seboj seˇstevamo istoleˇzne koeficiente ˇstevilx iny. Pri tem pazimo na prenose.
Zaˇcnemo na levi strani, torej pri p−1 oz. v tem primeru 7−1. Ker je 5 + 4 = 9 = 71+ 2≡2 (mod 7), je rezultat prip−1 enak 2, 71 pa prenesemo k naslednji potenci.
Torej
5·7−1+ 0·70+ 4·71+· · · + 4·7−1+ 6·70+ 5·71+· · ·
2·7−1
Pri naslednjem koraku, pri p0 oz. 70, imamo tako 0 + 6 + 1 = 71 ≡ 0 (mod 7).
Rezultat pri tej potenci je 0, spet pa naredimo prenos 71 k naslednji potenci. Torej 5·7−1+ 0·70+ 4·71+· · ·
+ 4·7−1+ 6·70+ 5·71+· · · 2·7−1+ 0·70
Pri p1 oz. 71 imamo torej 4 + 5 + 1 = 10 = 71+ 3 ≡ 3 (mod 7). Koeficient, ki ga dobimo pri tej potenci, je tako enak 3, 71 pa prenesemo k naslednji potenci. Dobimo vsoto, ki ji bomo v nadaljevanju zaradi laˇzjega dela rekli z.
5·7−1+ 0·70+ 4·71+...
+ 4·7−1+ 6·70+ 5·71+...
2·7−1+ 0·70+ 3·72+...
Tako nadaljujemo [16].
Pri seˇstevanju p-adiˇcnih ˇstevil, ki so zapisana v decimalniobliki, je postopek podoben, le da zaˇcnemo na desni strani. Tega smo vajeni ˇze iz seˇstevanja realnih ˇstevil. Poglejmo si primer z istima p-adiˇcnima ˇsteviloma kot zgoraj. Naj bo torej p= 7 in
x=. . .40,5 ter
y=. . .56,4.
Pri seˇstevanju zopet pazimo na prenose. Tako kot prej imamo 5 + 4 = 9 = 71+ 2≡ 2 (mod 7), torej je rezultat seˇstevanja na tem koraku enak 2, 71 pa prenesemo za eno mesto v levo k naslednji potenci (to je 70). Tako nadaljujemo in dobimo rezultat.
. . .40,5 . . .56,4 . . .30,2
5.1.2. Odˇstevanje. Odˇstevanje p-adiˇcnih ˇstevil je podobno seˇstevanju. Ceˇ imamo p-adiˇcna ˇstevila zapisana v obliki vsote, raˇcunamo od leve proti desni. Pri tem moramo biti pozorni predvsem v primerih, ko moramo odˇsteti veˇcjo ˇstevko od manjˇse. Takrat pride dosposojanja, podobno kot pri odˇstevanju, ki smo ga vajeni iz realnih ˇstevil. Postopek bomo razloˇzili na primeru.
Vzemimo spet p = 7 in p-adiˇcna ˇstevila, ki so nastopala ˇze v primeru pri seˇstevanju. Odˇsteli bomoz−y, torej
2·7−1+ 0·70+ 3·71 +· · ·
− 4·7−1+ 6·70+ 5·71 +· · ·
36
Ker na mestu pri 7−1 ne moremo odˇsteti 4 od 2, si poskuˇsamo sposoditi od mesta z viˇsjo potenco, to je 70. Ker pa je koeficient pri 70 enak 0, poskuˇsamo pri naslednji viˇsji potenci, to je 71. Tako dobimo nekoliko preoblikovan raˇcun in lahko izvedemo dva koraka odˇstevanja (na mestih pri 7−1 in 70).
9·7−1+ 6·70+ 2·71 +· · ·
− 4·7−1+ 6·70+ 5·71 +· · · 5·7−1+ 0·70
Pri tretjem koraku, na mestu pri 71, ne moremo odˇsteti 5 od 2, zato si sposo-dimopri potenci 72. Tako nadaljujemo [16]. Dobimo konˇcni rezultat, ki je ˇstevilo x:
2·7−1+ 0·70+ 3·71 +· · ·
− 4·7−1+ 6·70+ 5·71 +· · · 5·7−1+ 0·70+ 4·71 +· · ·
Odˇstevanje lahko izvedemo tudi v obliki seˇstevanja, in sicer tako, da izraˇcunamo vsotoz+ (−y). Tako najprej poiˇsˇcemo ˇstevilo −y in ga priˇstejemo k ˇstevilu z.
−y= 3·7−1 + 0·70+ 1·71+· · · Sedaj lahko izraˇcunamo vsoto z+ (−y), torej
2·7−1+ 0·70+ 3·72+· · · + 3·7−1+ 0·70+ 1·71+· · · 5·7−1+ 0·70+ 4·71+· · ·
Poglejmo si sedaj ˇse odˇstevanjep-adiˇcnih ˇstevil, ki so zapisana vdecimalniobliki.
Zopet bomo izraˇcunali vsoto z −y. V tem primeru raˇcunamo z desne proti levi.
Ker ne moremo od 2 odˇsteti 4, si sposodimo od mest na levi strani, tako kot smo vajeni pri odˇstevanju realnih ˇstevil. Tako dobimo preoblikovan zmanjˇsevanec, ki nam omogoˇci, da izvedemo dva koraka:
. . .26,9
− . . .56,4 . . . 0,5
V naslednjem koraku potrebujemo spet posojilo, saj ne moremo od 2 odˇsteti 5.
Tako nadaljujemo. Konˇcni rezultat odˇstevanja je torej . . .30,2
− . . .56,4 . . .40,5
5.1.3. Mnoˇzenje. Pri mnoˇzenju uporabimo podobno metodo kot pri seˇstevanju in odˇstevanju. Naj bosta a inb dana v kanoniˇcni obliki:
a=
∞
X
n=−m
anpn, b=
∞
X
n=−k
bnpn.
Pomnoˇzimo vrsti tako, da mnoˇzimo ˇclen s ˇclenom in preuredimo. Potem dobimo ab=
∞
X
n=−m−k
unpn, kjer je
u−m−k=a−mb−k,
u−m−k+1=a−m+1b−k+a−mb−k+1, ...
V sploˇsnem ta vrsta ni v kanoniˇcni obliki, jo pa lahko v tako obliko preoblikujemo.
Tak naˇcin ustreza mnoˇzenju p-adiˇcnih ˇstevil, ki so v kanoniˇcni obliki (4) [10].
Tudi postopek mnoˇzenja dvehp-adiˇcnih ˇstevil si bomo pogledali na primeru [16].
Zaˇcnimo z mnoˇzenjem dveh p-adiˇcnih ˇstevil, ki sta zapisani v obliki vsote. Naj bo tudi tokrat p= 7, zmnoˇzimo pa ˇstevili
3·70+ 6·71+ 2·72+· · ·
× 4·70+ 5·71+ 1·72+· · ·
Kot pri realnih ˇstevilih tudi tu mnoˇzimo vsako ˇstevko drugega ˇstevila z vsako ˇstevko prvega ˇstevila in na koncu vmesne rezultate, kot pri mnoˇzenju v realnih ˇstevilih, seˇstejemo. Za razliko od realnih ˇstevil pa mnoˇzimo z leve proti desni. Pri raˇcunanju moramo upoˇstevati vrednost praˇstevilap, kar pomeni, da moramo delati po modulu p. Tako pri mnoˇzenju kot tudi na koncu pri seˇstevanju pa moramo upoˇstevati prenose.
Zaˇcnemo torej na levi strani. 4·3 = 12 = 1·71 + 5 ≡ 5 (mod 7). Pod ˇcrto zapiˇsemo 5, 1·71 pa prenesemo naprej. Pri 71 imamo (4·6) + 1 = 25 = 3·71+ 4≡ 4 (mod 7). Rezultat pri 71 je 4, naprej pa prenesemo 3·71. Pri 72 tako dobimo (4·2) + 3 = 11 = 71+ 4≡4 (mod 7). Rezultat pri 72 je enak 4, kar zapiˇsemo pod ˇcrto, naprej pa prenesemo 1·71 itd.
3·70+ 6·71+ 2·72+· · ·
× 4·70+ 5·71+ 1·72+· · · 5·70+ 4·71+ 4·72+· · ·
V drugem koraku nadaljujemo z mnoˇzenjem koeficienta pred 71 v drugem ˇstevilu, v tem primeru je to 5. Mnoˇzimo ga z vsemi koeficienti v prvem ˇstevilu.
3·70+ 6·71+ 2·72+· · ·
× 4·70+ 5·71+ 1·72+· · · 5·70+ 4·71+ 4·72+· · · 1·71+ 4·72+· · ·
38
Postopek nadaljujemo in na koncu rezultate mnoˇzenja seˇstejemo. Dobimo torej 3·70+ 6·71+ 2·72+· · ·
× 4·70+ 5·71+ 1·72+· · · 5·70+ 4·71+ 4·72+· · · 1·71+ 4·72+· · · 3·72+· · · 5·70+ 5·71+ 4·72+· · ·
Poglejmo si ˇse primer mnoˇzenjap-adiˇcnih ˇstevil, ki so zapisana vdecimalniobliki.
V tem primeru raˇcunamo od desne proti levi, mnoˇziti pa zaˇcnemo z najbolj de-sno ˇstevko drugega ˇstevila. Tudi pri takem zapisu ne smemo pozabiti na vrednost praˇstevila p in na prenose. Paziti pa moramo tudi na pravilno podpisovanje, tako kot pri realnih ˇstevilih. Prip= 7 bomo zmnoˇzili isti dve ˇstevili kot zgoraj:
. . .263·. . .154
Najprej bomo torej pomnoˇzili vse ˇstevke prvega ˇstevila s 4. Dobimo 4·3 = 12 = 1·71+ 5 ≡5 (mod 7). Tako kot zgoraj pod ˇcrto zapiˇsemo ostanek pri deljenju s 7, naprej pa prenesemo 1·71. Podpisujemo tako kot pri mnoˇzenju v realnih ˇstevilih.
Nato izraˇcunamo (4·6) + 1 = 25 = 3 ·71 + 4 ≡ 4 (mod 7). Pod ˇcrto zapiˇsemo ostanek in k naslednji potenci praˇstevila prenesemo 3·71. Tako nadaljujemo in po konˇcanem mnoˇzenju s 4 dobimo
. . .263·. . .154 . . .445.
Nato nadaljujemo z mnoˇzenjem s ˇstevko 5 itd. Na koncu vmesne zmnoˇzke seˇstejemo in dobimo konˇcni rezultat:
. . .263·. . .154 . . .445 . . .41 . . .3 . . .455.
5.1.4. Deljenje. Predpostavimo, da sta a, b ∈ Qp in b 6= 0. Brez ˇskode za sploˇsnost lahko reˇcemo, da jeb ∈Zp, velja pa naj, da jeb=. . . b2b1b0, kjer je b0 6= 0.
a =. . . a2a1a0.a−1a−2. . . a−k
naj bo poljubno p-adiˇcno ˇstevilo. Ker je b0 6= 0, lahko vedno poiˇsˇcemo tak c−k ∈ {0,1, . . . , p−1}, da jec−kb0 ≡a−k(mod p). Z deljenjem in prenosom na levo, ˇce je treba, dobimo kvocient ab v kanoniˇcni obliki.
V naslednji trditvi bomo videli, kako je z inverzi pri p-adiˇcnih ˇstevilih.
Trditev 5.1. p-adiˇcno celo ˇstevilo
a=. . . a2a1a0 ∈Zp
ima inverz za mnoˇzenje v Zp natanko tedaj, ko velja, da je a0 6= 0.
Torej, ˇce je a = . . . a2a1a0 p-adiˇcno celo ˇstevilo in velja, da je a0 6= 0, potem je tudi inverz a−1 p-adiˇcno celo ˇstevilo. ˇStevilo
p·
∞
X
i=0
aipi =aop+a1p2+· · · 6= 1 + 0p+ 0p2 +· · ·
pa ima inverz vQp.
Mnoˇzico obrnljivih elementov v Zp oznaˇcimo z Z×p in jo imenujemo p-adiˇcne enote [10]:
Z×p = ( ∞
X
i=1
aipi; a0 6= 0 )
oz.
Z×p ={x∈Zp; |x|p = 1}.
Poglejmo si sedaj ˇse postopek deljenja na primeru iz vira [16]. Zaˇcnimo z de-ljenjem dvehp-adiˇcnih ˇstevil, ki sta zapisani v obliki vsote. Naj bo p= 7, deljenec (1 + 2·7 + 4·72+· · ·), delitelj pa (3 + 5·7 + 1·72+· · ·). Deljenjep-adiˇcnih ˇstevil poteka na podoben naˇcin kot deljenje realnih ˇstevil. Vedno delimo prvo ˇstevko de-ljenca s prvo ˇstevko delitelja. ˇCe se deljenje ne izide lepo, k prvi ˇstevki deljenca priˇstejemo najmanjˇsi veˇckratnik praˇstevilap, da se bo deljenje preprosto izˇslo. Nato delitelj pomnoˇzimo s koliˇcnikom iz prvega koraka deljenja in rezultat odˇstejemo od deljenca. Tako dobimonov deljenec, s katerim operiramo naprej.
Vrnimo se sedaj k primeru.
(1 + 2·7 + 4·72+· · ·) : (3 + 5·7 + 1·72 +· · ·) =
V tem primeru najprej delimo 1 : 3. Ker pa se to deljenje ne izide lepo, k ˇstevki 1 priˇstejemo najmanjˇsi veˇckratnik praˇstevila 7, da se bo deljenje izˇslo, torej 2·7. Dobimo 1 + 2·7 = 15 = 5·3. Koliˇcnik prvega dela deljenja je torej enak 5. S 5 pomnoˇzimo (3 + 5·7 + 1·72+· · ·) in pazimo na pravilno podpisovanje, da bomo potem laˇzje odˇsteli. Prilagodimo mnoˇzenje, saj smo v mnoˇzici 7-adiˇcnih ˇstevil in upoˇstevamo morebitne prenose. Pozorni smo na to, da odˇstevamo dve 7-adiˇcni ˇstevili. Pri odˇstevanju 2−6 dobimo −4. V takih primerih rezultatu priˇstejemo praˇstevilo p, da dobimo pozitivno vrednost. V naˇsem primeru priˇstejemo 7 in do-bimo 3. Pozorni moramo biti, da pri naslednjem koraku odˇstevanja ne pozado-bimo upoˇstevati tega prenosa. Odˇstejemo namreˇc 4−1, zaradi prenosa pa odˇstejemo ˇse 1. Rezultat tega odˇstevanja je tako 4−1−1 = 2.
(1 + 2·7 + 4·72+· · ·) : (3 + 5·7 + 1·72 +· · ·) = 5
− (1 + 6·7 + 1·72+· · ·) 3·7 + 2·72+· · ·
Sedaj delimo prvo ˇstevko novega deljenca s prvo ˇstevko delitelja, torej 3 : 3, in dobimo rezultat 1. Z 1 tako kot prej pomnoˇzimo delitelj, odˇstejemo in nadaljujemo.
40
Konˇcni rezultat deljenja je enak
(1 + 2·7 + 4·72+· · ·) : (3 + 5·7 + 1·72+· · ·) = 5 + 1·7 + 6·72+· · ·
− (1 + 6·7 + 1·72+· · ·) 3·7 + 2·72+· · ·
− 3·7 + 5·72+· · · 4·72+· · · 4·72+· · ·
Poglemo ˇse, kako delimo p-adiˇcna ˇstevila, ki so zapisana v decimalni obliki.
Vzemimo kar enak primer kot zgoraj (p=7).
(. . .421) : (. . .153) =
Ce soˇ p-adiˇcna ˇstevila zapisana vdecimalni obliki, raˇcunamo od desne proti levi.
Pazimo na pravilno podpisovanje in na morebitne prenose. Najprej delimo 1 : 3 in tako kot prej priˇstejemo dvakratnik praˇstevila 7, da se bo deljenje lepo izˇslo. Dobimo koliˇcnik 5, s katerim pomnoˇzimo delitelj. Pazimo na pravilno podpisovanje. Nato ta zmnoˇzek odˇstejemo od deljenca in tako dobimonov deljenec. Tako nadaljujemo in dobimo rezultat.
(. . .421) : (. . .153) =. . .516 . . .161
. . .23 . . .53 . . .4 . . .4.
5.2. Zaporedja in vrste
V tem razdelku si bomo pogledali nekaj lastnosti zaporedij in vrst v realnih ˇstevilih R inp-adiˇcnih ˇstevilih Qp. Pomembno dejstvo, ki ga ˇze poznamo, je, da so p-adiˇcna ˇstevila Qp poln metriˇcni prostor, zato je vsako Cauchyjevo zaporedje v Qp konvergentno. Vemo tudi, da je zaporedje (an) v Qp Cauchyjevo natanko tedaj, ko velja, da je limn→∞|an+1−an|p = 0 (lema 3.2). Ker aksiomi, ki veljajo za absolutno vrednost vR, drˇzijo tudi vQp, veˇcina izrekov, ki veljajo v realnih ˇstevilih, velja tudi v p-adiˇcnem kontekstu. Ponovimo najprej nekaj sploˇsne teorije o realnih vrstah.
Bralec lahko opazi, da je zapisano povsem smiselno tudi za p-adiˇcne vrste.
Stevilske vrste ponavadi oznaˇˇ cimo z
∞
X
n=1
an=a1+a2+a3+· · ·
Zaporedje s1 = a1, s2 = a1 +a2, . . . , sn = a1 +a2 +· · ·+ an, . . . pa imenujemo zaporedje delnih (parcialnih) vsotvrste.
Definicija 5.2. Ce zaporedje delnih vsot vrsteˇ {sn}∞n=1 konvergira (k limitis),
Ce vrsta ne konvergira, reˇˇ cemo, da divergira oz. da je divergentna.
Iz te definicije sledi, da ˇce vrsta a1+a2 +· · · konvergira, za vsak m konvergira tudi vrsta am +am+1+· · · Ce za nekˇ m konvergira vrsta am +am+1 +· · ·, tedaj konvergira tudi vrstaa1+a2+· · · [8].
Spomnimo se, da zaporedje{sn}∞n=1 konvergira natanko tedaj, ko izpolnjuje Cau-chyjev pogoj. Iz tega sledi naslednja posledica, ki ji pravimo tudi CauCau-chyjev kriterij [8].
Posledica 5.3. Vrsta P∞
n=1an konvergira natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstaja n0 ∈N, da je
|an+1+· · ·+an+p|< ε za vse n≥n0 in vse p≥1. ˇCe vrsta P∞
n=1an konvergira, je limn→∞an = 0.
Izrek 5.4. Ce vrstaˇ P∞
n=1an konvergira, takrat za vsak c konvergira tudi vrsta P∞ Ce konvergira tudi vrstaˇ P∞
n=1bn, konvergirata tudi vrstiP∞ Dokaz. Dokaˇzimo izrek le za vsoto. Naj vrstiP∞
n=1aninP∞
Omenimo sedaj vrste z nenegativnimi ˇcleni. Ta del nima prave analogije v p-adiˇcnem svetu, ker Qp ni urejeno polje. Naj bo vrsta P∞
n=1an, kjer je aj ≥ 0 za vsakj, vrsta z nenegativnimi ˇcleni. Zaporedje njenih delnih vsot je naraˇsˇcajoˇce, t.j.
za vsakn je sn+1 ≥sn. Za tako zaporedje vemo, da konvergira natanko tedaj, ko je navzgor omejeno. To pove tudi naslednja trditev.
Trditev 5.5. Vrsta P∞
n=1an z nenegativnimi ˇcleni konvergira, ˇce in samo ˇce je zaporedje njenih delnih vsot (navzgor) omejeno.
42
Za vrste z nenegativnimi ˇcleni velja naslednji izrek.
Izrek 5.6. Naj bosta P∞
n=1an in P∞
n=1bn vrsti z nenegativnimi ˇcleni. Naj za vsak n (od nekega naprej) velja an ≤ bn. ˇCe konvergira vrsta P∞
n=1bn konvergentna, t.j. naj bo njeno zaporedje delnih vsot {tn}∞n=1 navzgor omejeno. Tedaj obstaja tak M, da je tn≤M za vsakn. Iz tega sledi, da jesn ≤tn≤M za vsakn. To pa pomeni, da je tudi {sn}∞n=1 navzgor omejeno, t.j. vrsta P∞
n=1an konvergira [8].
Poglejmo si ˇse definicijo absolutne konvergence vrst in njeno povezavo s konver-genco.
Definicija 5.7. VrstaP∞
n=1anje absolutno konvergentna, ˇce je vrstaP∞ n=1|an| konvergentna.
Omenimo naj, da v realni analizi obstajajo tudi vrste, ki so konvergentne, niso pa absolutno konvergentne. Imenujemo jihpogojno konvergentne vrste. Taka vrsta je npr.
n=1an absolutno konvergentna, je tudi konvergentna.
Dokaz. Pokazati moramo, da za vrsto P
an velja Cauchyjev pogoj. Naj bo vrstaP∞
an izpolnjen Cauchyjev pogoj in res konvergira
[8].
n=1an absolutno konvergira. ˇCe pa za vsak n od nekega naprej velja
Dokaz. Prvi del izreka je posledica kvocientnega kriterija za P
|an|, ki si ga lahko bralec pogleda na primer v [8]. Poglejmo si dokaz drugega dela izreka. ˇCe je
|an+1|/|an| ≥1, je |an+1| ≥ |an| od nekega n naprej. Torej an ne gre proti 0 in zato
vrsta divergira [8].
Preuˇcimo sedaj vrsteP∞
i=1ai v Qp. Vrste konvergirajo, ˇce zaporedje njenih del-nih vsot Sn=Pn
i=1ai konvergira v Qp. Vrste konvergirajo absolutno, ˇce P∞ i=1|ai|p
konvergirajo (vR).
Poglejmo si sedaj trditev, ki pove, da iz absolutne konvergence vrst v R sledi konvergentnost vrst vQp.
Trditev 5.10. Ce vrstaˇ P
|ai|p konvergira v R, potem P
ai konvergira v Qp. Dokaz. Ker vrsta P
|ai|p konvergira, je zaporedje njenih delnih vsot Cauchy-jevo, to je, za vsakε > 0 obstaja tako celo ˇstevilo N, da za vse n, m, ki zadoˇsˇcajo kar pomeni, da je zaporedje (Sn) Cauchyjevo in zato vrsta P
ai konvergira v Qp
[10].
V p-adiˇcnih ˇstevilih pa velja ˇse nekaj veˇc. Naslednja trditev je posledica leme 3.2.
Dokaz. Vrsta konvergira natanko tedaj, ko zaporedje delnih vsot Sn=Pn i=1ai konvergira. Velja pa an = Sn+1−Sn. Iz leme 3.2 sledi, da vrsta konvergira, ˇce in samo ˇce se an pribliˇzuje 0.
Predpostavimo, da P∞
n=1ankonvergira. V primeru, ko je vrsta enaka 0, nimamo ˇcesa dokazovati. V nasprotnem primeru za vsako delno vsoto po ultrametriˇcni la-stnosti (1) velja za dovolj velikN pa velja
1≤n≤Nmax |an|p = max
Zahtevana neenakost sledi in s tem je dokaz konˇcan [10].
Opomba 5.12. Seveda ta trditev v realnih ˇstevilih R ne velja. Primer vrste v R, ki ni konvergentna, a sploˇsni ˇclen konvergira k 0, je harmoniˇcna vrstaP
1/n.
Poglejmo si ˇse brezpogojno konvergenco vrst in povezavo brezpogojne konver-gence in konverkonver-gence vQp.
Definicija 5.13. VrstaP∞
n=0ankonvergira brezpogojno, ˇce za vsako preureditev ˇclenovan →a0n vrsta P∞
n=0a0n konvergira.
V sploˇsnem brezpogojna konvergenca seveda implicira obiˇcajno konvergenco. V realnem je brezpogojna konvergenca isto kot absolutna konvergenca. V p-adiˇcnih ˇstevilih pa imamo ˇse lepˇsi rezultat.
Izrek 5.14. Ce vrstaˇ P∞
n=0an konvergira, konvergira brezpogojno, njena vsota pa ni odvisna od preureditve ˇclenov.
Dokaz. Vzemimo poljubno realno ˇstevilo ε in naj bo N > n tako celo ˇstevilo, da velja|an|p < ε in|a0n|p < ε, poleg tega naj velja ˇse
n=1a0n konvergira in velja
∞
Kot smo ˇze omenili, v sploˇsnem to ne drˇzi. V realni analizi bi ta izrek veljal le v primeru, ko vrsta konvergira absolutno. V nasprotnem primeru lahko preureditev spremeni njeno vsoto ali pa vrsta postane celo divergentna. ([10])
Namenimo ˇse nekaj besed dvakratnim vrstam. To so formalne vsote oblike P∞
j=1aij formalna vsota ele-mentovi-te vrstice oz. za vsak j P∞
i=1aij formalna vsota elementov j-tega stolpca.
Izrek 5.15. Naj bobij ∈Qp, kjer je i, j = 1,2, . . . tako da za vsak ε >0 obstaja celo ˇstevilo N =N(ε), da je
max(i, j)≥N ⇒ |bij|< ε.
Potem sta obe vrsti
konvergentni, njuna vsota pa je enaka.
Dokaz. Po trditvi 5.11 notranji vrsti konvergirata. Poleg tega za vse i ≥ N velja
Torej obe dvakratni vrsti konvergirata. Dokazati moramo ˇse, da sta vsoti obeh dvakratnih vrst enaki. Zapiˇsimo
Potenˇcne vrste so vrste iz potenc in so oblike
a0+a1(x−x0) +a2(x−x0)2+a3(x−x0)3+· · ·= konvergenco posebnega primera potenˇcne vrste, to je
a0+a1x+a2x2+a3x3+· · ·=
∞
X
j=0
ajxj.
Do te vrste pridemo, kox−x0 nadomestimo z x. Vsaka potenˇcna vrsta take oblike konvergira prix= 0, lahko se zgodi, da samo pri x= 0 [8].
Formalne potenˇcne vrste bomo torej obravnavali kot polinome z neskonˇcno sto-pnjo, saj so oblike
Mnoˇzico vseh potenˇcnih vrst v X s koeficienti v kolobarju R oznaˇcimo z R[[X]], mnoˇzico vseh polinomov pa zR[X], kjer jeR kolobar, nad katerim jih obravnavamo [10].
Poglejmo, kako je s potenˇcnimi vrstami v p-adiˇcnem kontekstu. Za nek dan x∈Qpˇzelimo preuˇcitif(x). Vemo ˇze, da bi vrstaP∞
n=0anxnkonvergirala v primeru,
46
ko velja |anxn|p → 0. Mnoˇzici vseh takih x pravimo, tako kot v realnem, obmoˇcje konvergence, polmeru tega obmoˇcja pa konvergenˇcni polmerin ga oznaˇcimo z ρ.
Izrek 5.16. Naj bo f(X) =P∞
n=0anXn. Definirajmo
ρ= 1
lim suppn
|an|,
kjer upoˇstevamo, da je lim sup lahko tudi 0 ali ∞, torej je 0≤ρ≤ ∞. Tedaj velja:
(1) ˇCe je ρ= 0, potem f(x) konvergira samo v primeru, ko je x= 0.
(2) ˇCe je ρ=∞, potem f(x) konvergira za vsak x∈Qp.
(3) ˇCe je 0 < ρ < ∞ in limn→∞|an|ρn = 0, potem f(x) konvergira natanko tedaj, ko je |x| ≤ρ.
(4) ˇCe je 0< ρ <∞ in |an|ρn ne konvergira k 0, ko gre n proti ∞, potemf(x) konvergira natanko tedaj, ko je |x|< ρ.
Dokaz. Obmoˇcje konvergence je definirano kot {x∈Qp : limn→∞|anxn|= 0}.
Ce jeˇ |x| < ρ, potem (potenˇcna vrsta v R) P|an||x|n konvergira, poslediˇcno pa konvergira tudi p-adiˇcna vrsta. ˇCe je |x|> ρ, se |an||x|n ne more pribliˇzevati 0, ko gre n proti ∞. Iz definicije ρ-ja namreˇc sledi, da je za neskonˇcno mnogo n-jev |an| blizu 1/ρn, in ker je |x|> ρ, postane (|x|/ρ)n, ko se n veˇca, poljubno velik. Trditve, kaj se zgodi, ko je|x|=ρ, sledijo direktno iz trditve 5.11 [9].
Vp-adiˇcnih ˇstevilih je vrsta v mejnih toˇckah obmoˇcja konvergence (to je|x|=ρ) bodisi konvergentna v vseh toˇckah bodisi v nobeni. V sploˇsnem primeru (to je v R ali C) pa je situacija bolj zapletena. Na primer, konvergenˇcni polmer potenˇcne vrste log(1 +x) = P∞
n=1(−1)n+1xn/n je enak 1. ˇCe je |x| = 1, vrsta konvergira za x= 1 in divergira za x=−1.
Trditev 5.17. Obmoˇcje konvergencep-adiˇcne potenˇcne vrstef(X)∈Qp[[X]]je krogla D={|x|p ≤R} za nek R∈ {pk, k∈Z} ∪ {0} ∪ ∞. Vrsta naD enakomerno konvergira.
Dokaz. Naj bo ρ konvergenˇcni polmer za f(X). Vemo, da vrste konvergirajo v odprtih kroglah {|x|p < ρ}. Pri mejnih toˇckah |x|p = ρ je potreben in zadosten pogoj za konvergenco|anxn|p →0, ki je odvisen le od norme|x|p in ne od vrednosti x. Torej, vrsta za vse toˇcke, za katere velja |x|p = ρ, bodisi konvergira, v tem primeru je R=ρ, bodisi divergira, v tem primeru je R =p−1ρ. Za |x|p ≤R velja
|anxn|p ≤ |anRn|p →0
in enakomerna konvergenca naD sledi [10].
Trditev 5.18. Vsaka vrsta f(X)∈Zp[[X]] konvergira v {x∈Qp;|x|p <1}.
Dokaz. Naj bo |x|p <1 inf(x) =P∞
n=0anxn. Za vsak n≥0 je|an|p ≤1, zato je |anxn|p ≤ |x|np →0, ko gre n → ∞. Torej vrsta res konvergira [10].
Na tem mestu omenimo ˇse binomske potenˇcne vrste. Naj bo a ∈ Zp doloˇcen.
Potem je
(1 +X)a =fa(X) =
∞
X
n=0
a n
Xn∈Zp[[X]],
kjer je
Z drugimi besedami, zvezna funkcija Pn(X) preslika Z v Z (in zaprtje Z v zaprtje Z). Mnoˇzica Z je gosta v Zp, to pa pomeni, da Pn preslika Zp v Zp, kar smo ˇzeleli
dokazati [9].
Tako torej za vsak a ∈ Zp velja fa(X) ∈ Zp[[X]], torej vrsta konvergira za
|x|p <1.
Kot smo ˇze omenili, lahko potenˇcno vrsto preoblikujemo tako, da (x−x0), za vsak x0 iz konvergenˇcnega obmoˇcja, nadomestimo z x. V realnem imata lahko preoblikovana in prvotna vrsta razliˇcni obmoˇcji konvergence, vp-adiˇcnem kontekstu pa se to ne more zgoditi. Naslednja trditev nam pove, da klasiˇcna metoda za pridobitev analitiˇcnega nadaljevanja (t.j. dejstvo, da imata prvotna in preoblikovana vrsta razliˇcni obmoˇcji konvergence) v p-adiˇcnem kontekstu ne deluje.
Trditev 5.20. Naj bo f(X) =P
(1) Vrsta, ki definira bm, konvergira za vsak m, torej je definicija za bm dobra.
(2) Potenˇcni vrsti f(X) in g(X) imata enako obmoˇcje konvergence oz. f(λ) konvergira natanko tedaj, ko konvergira g(λ).
(3) Za vsak λ iz obmoˇcja konvergence velja g(λ) =f(λ).
Dokaz. Pokaˇzimo najprej toˇcko (1). Ker je α v konvergenˇcnem obmoˇcju za f(X), za fiksenm velja
kar da ˇzeleno konvergenco po trditvi 5.11.
48
Da dokaˇzemo toˇcki (2) in (3), vzamemo vsako λ iz konvergenˇcnega obmoˇcja za
Zadnja vsota je podobna delni vsoti zag(λ), le da jo je treba preurediti. Uporabimo izrek 5.15. Doloˇcimo
Preveriti moramo, da seβnm v ninmenakomerno pribliˇzuje 0. Upoˇstevati moramo izraz
saj je problem z njim omejen. Ker staλinαv obmoˇcju konvergence, obstaja polmer ρ1 (ρ je polmer obmoˇcja konvergence), tako da
• je zaprti krog s polmerom ρ1 vsebovan v obmoˇcju konvergence,
• velja |λ| ≤ρ1 in|α| ≤ρ1. Potem velja
• |α|m ≤ρm1 (po konstrukciji),
• |λ−α|n−m ≤max{|λ|,|α|}n−m ≤ρn−m1 (po nearhimedski lastnosti).
Ce se vrnemo nazaj k pogojem, dobimoˇ
|βnm| ≤ |anαn−m(λ−α)m| ≤ |an|ρn1,
kar je neodvisno od m in se pribliˇzuje 0, ko gre n → ∞. To pomeni, da za vsak
kar je neodvisno od m in se pribliˇzuje 0, ko gre n → ∞. To pomeni, da za vsak