Glavni del sestavljajo geometrijski izrazi, ki izhajajo iz klasične grščine. Zaradi lažje-ga razumevanja nadaljnjelažje-ga dela bom podala primer, ki pokaže način razlage besed.
• Primer: Trapez: gr. tr´apeza, – miza, oltar
Najprej je s krepkim tiskom napisan geometrijski matematični izraz v slovenščini, nato je izraz zapisan v grščini. Grška beseda ima na koncu zapisan člen , kar pomeni, da je samostalnik ženskega spola. Če je beseda srednjega spola, ima člentä.
Če ima beseda člen å, potem je samostalnik moškega spola. V nekaterih primerih je pri grški besedi zapisano še atoc, tä, kot pri primeru aksiom: x´ıwma, atoc, tä.
Druga beseda pomeni drugo obliko sklona, rodilnik, tretja beseda pa, kot že rečeno, določa spol. Pri nekaterih izrazih (pridevnikih) je poleg besede navedeno število 2 ali 3, kot v primeru stereometrije: stere´oc 3, kar pomeni, da ima beseda v vseh treh oz. dveh spolih pravilno obliko sklanjatve. Vsem tem sledi razlaga grške besede, ki je v primeru besede trapez miza, oltar.
V nadaljevanju je razložen matematični pojem, poleg tega so zapisane tudi enačbe, ki jih potrebujemo pri izračunu ploščine, obsega, površine, prostornine itd.
Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Na spodnji sliki straniciAB in CD predstavljata osnovnici,AD in BC pa kraka trapeza. Trapez ima dve diago-nali, ki ju označimo zein f, kjer prva povezuje ogliščiAC, druga paBD. V trapezu je značilna srednjica, ki povezuje razpolovišči krakov in je vzporedna osnovnicama.
Dolžina srednjice je aritmetična sredina obeh osnovnic:
s= a+c
2 . (1)
Če ima trapez enako dolga kraka in enako dolgi diagonali, potem je trapez enakokrak.
Ploščina trapeza se izračuna po enačbi:
S = (a+c)v
2 , (2)
kjer staa in c osnovnici trapeza,v pa njegova višina. Obseg trapeza je enak:
o=a+b+c+d, (3)
kjer soa, b, c, d stranice trapeza. [1], [2], [6]
Zaradi pestrosti diplomskega dela je ponekod podana slika matematičnega izraza ali zanimivost.
Slika 1: Trapez.
OPOMBA: V diplomskem delu je poleg geometrijskih izrazov navedenih tudi nekaj imen starih grških geometrov in nekaj splošnih matematičnih izrazov.
OPOMBA: Pri končnicieid cni napisanega znaka za pridih na dvoglasnikuei, ker ne gre za samostojno besedo, ampak za končnico pri sestavljanju z drugimi besedami.
Podobno tudi pri končniciatoc za rodilnik ne pišemo znaka za pridih.
A
Aksiom: gr. xÐwma, atoc, tä – čast, ugled, zahteva
Aksiom je očitna temeljna resnica ali trditev, ki jo sprejmemo brez dokazov in jo privzamemo kot veljavno. Drugi izraz oziroma bolj ali manj sinonim za aksiom je postulat; beseda izhaja iz latinske besede postulatum, kar pomeni zahteva. Očitna dejstva se od postulatov razlikujejo v tem, da se ne nanašajo samo na geometrijo, temveč na celotno matematiko. [1], [2], [3], [6], [10]
• Primer – Evklidov aksiom o vzporednici: Za poljubno premico l in poljubno točko P, ki ne leži nal, obstaja natanko ena taka premica m, da točka P leži na m in jem vzporedna l. [10]
Antipodni točki: gr. ntÐ – nasproti + gr. poÔc, podìc, å – noga
Naj boγ =K(S, r) krožnica,A inB pa točki na njej. Točki A in B na krožniciγ sta antipodni, če veljaA∗S∗B. Za antipodni točki AinB tudi daljiciAB rečemo diameter ali premer kroga. [2], [10]
Slika 2: Antipodni točki.
OPOMBA: Znak∗pomeni ležati med; to se pravi, da v primeruA∗S∗B, točkaS leži med točkamaA inB.
Apolonij: gr. >Apoll¸nioc
Apolonij je bil starogrški matematik, geometer in astronom, živel je v času med letoma 260 in 190 pr. n. št. Študiral je v Aleksandriji pri Evklidovih učencih. Nase je opozoril z osmimi knjigamiO stoˇznicah, od katerih se je ohranilo sedem knjig. V njih je razpravljal o paraboli, hiperboli in elipsi ter proučeval pomembne značilnosti teh krivulj. Apolonij se je pri svojih delih naslonil na predhodnike: Evklida, Nikote-lesa in Konona. Določil je imena stožnic, ki jih prej Evklid še ni uporabljal. [2], [3], [33]
Slika 3: Apolonij. [33]
Arhit: gr. >Arq´utac
Arhit je bil starogrški matematik, filozof, astronom, državnik, strateg in vojskovodja, živel je med letoma 428 in 365 pr. Kr. Bil je učitelj v Atenah, znan je tudi po tem, da je Platona učil geometrijo in ga vpeljal v pitagorejstvo. Arhit velja za utemeljitelja mehanike. Bil je prvi, ki je rešil problem podvojitve kocke s pomočjo krivulje, in
sicer Arhitove krivulje, kakor jo imenujemo, poleg tega je dokazal, da zmnožek dveh zaporednih števil nikoli ni kvadratno število. [2], [3], [34]
Slika 4: Arhit. [34]
Arhimed: gr. >Arqim dhc
Za enega največjih starogrških matematikov velja Arhimed (287–212 pr. n. št.), živel je v Sirakuzah. Bil je tudi fizik, izumitelj, inženir, astronom in svetovalec kralja Hierona. Arhimed se je ukvarjal z integralnim računom in tudi s približkom za obseg kroga z včrtanimi in očrtanimi pravilnimi večkotniki, kar je predstavil v svojem delu M erjenje kroga. Napisal je še vrsto knjig in razprav, in sicer knji-go O krogli in valju, v kateri je izraz za površino in prostornino krogle, knjigo O spiralah, v kateri se lahko najde „Arhimedovo spiralo“, knjigoO konoidih in sf ero-idih, v kateri so podane prostornine nekaterih rotacijskih teles druge stopnje, razpravo O plavajoˇcih telesih itd. Arhimed je bil računsko zelo spreten, po tem se je raz-likoval od drugih matematikov tedanjega časa. Pomembno je tudi njegovo delo P roblem o govedu, ki govori o problemu iz diofantske analize. Arhimed je bil ubit, ko so Rimljani zavzeli Sirakuze. [2], [3], [9], [35]
Slika 5: Arhimed. [35]
Asimptota: gr. sumpt´ota – ki se ne sklada,
iz gr. – ne + sump´ıptw – ujemam se, trčim skupaj
Asimptota je premica, ki se ji približuje druga krivulja. Ko se krivulja od koordi-natnega izhodišča oddaljuje, se asimptoti poljubno približa in jo seka neskončnokrat ali pa nikoli. Zgled za krivulje, ki imajo asimptote, so grafi racionalnih funkcij.
Slika 6: Približevanje vodoravni asimptoti.
V polih racionalna funkcija ni definirana, njen graf ima tam navpično asimptoto. Ko se približujemo polu, vrednosti racionalne funkcije rastejo ali padajo v pozitivno ali negativno neskončnost. Torej, graf funkcijef ima v točkia∈Rnavpično asimptoto z enačbox=a, ko je vsaj ena od limit
n→−alim f(x) ali lim
n→+af(x) neskončna.
Slika 7: Približevanje navpični asimptoti.
Kadar je stopnja polinoma v števcu za 1 višja od stopnje polinoma v imenovalcu, ima graf racionalne funkcije poševno asimptotoy=kx+n.
Slika 8: Približevanje poševni asimptoti.
Poleg grafov racionalnih funkcij imajo asimptote še hiperbole, cisoide, strofoide in druge krivulje. [1], [2], [3], [7], [8]
Slika 9: Asimptota pri hiperboli.
C
Cikloida: gr. kukloeid c – okrogel,
iz gr. kÔkloc, å – krog + gr. eid c – v obliki, iz gr. eÚdoc, ouc, tä – oblika Cikloida je krivulja v ravnini, nastane s kotaljenjem krožnice po vodoravni premici, na njej si izberemo neko točko, npr. točkoP in ji sledimo. Krožnica se kotali brez drsenja. V parametrični obliki jo zapišemo kot
x=a(t−sint) in y=a(1−cost),
kjer jeapolmer krožnice, tpa kot, ki ga pri vrtenju naredi točka P. Ko kot naredi poln obrat po premici, se ponovi začetna situacija. Cikloida je tako sestavljena iz med seboj skladnih lokov. En lok nastane, če se torej parameter t spremeni za 2p.
Grškim geometrom cikloida ni bila poznana, a so se matematiki predvsem v 17. st.
veliko ukvarjali z njo. Cikloido je prvi raziskal Kuzanski, leta 1599 jo je poimenoval Galilei. Roberval je leta 1634 pokazal, da je površina pod cikloido enaka trikratni površini krožnice. Ploščina pod enim lokom cikloide je
P = 3πr2. (4)
Slika 10: Cikloida. [36]
Trohoida: gr. troqoeid c – okrogel, kolesu podoben,
iz gr. troqìc, å – kolo + gr. eid c – v obliki, iz gr. eÚdoc, ouc, tä – oblika
Trohoida nastane podobno kot cikloida, le da se krožnica brez drsenja kotali po premici, opazujemo pa točkoP, ki je togo povezana s kotalečo se krožnico in je lahko znotraj ali zunaj nje.
Sorodne krivulje so npr.:
• Epicikloida: gr. ep´ı – pri, na, poleg, nad + gr. kukloeid c – okrogel Epicikloida nastane, ko se prva krožnica brez drsenja kotali po zunanjosti druge krožnice, pri tem pa spremljamo izbrano točkoP na prvi krožnici.
Slika 11: Epicikloida. [39]
• Hipocikloida: gr. Ípì – pod + gr. kukloeid c – okrogel
Hipocikloida nastane, ko se prva krožnica brez drsenja kotali po notranjosti druge krožnice, pri tem spremljamo izbrano točkoP na prvi krožnici.
Slika 12: Hipocikloida. [39]
• Hipotrohoida: gr. Ípì – pod + gr. troqoeid c 2 – okrogel, kolesu podoben Hipotrohoida nastane podobno kot hipocikloida, le da je izbrana točka P togo povezana s kotalečo se krožnico, lahko pa je znotraj ali zunaj nje. [2], [3], [11], [36]
Slika 13: Hipotrohoida. [36]
• Epitrohoida: gr. ep´ı – pri, na, poleg, nad + gr. troqoeid c 2 – okrogel, kolesu podoben
Epitrohoida nastane podobno kot epicikloida, le da je izbrana točkaP togo povezana s kotalečo se krožnico, lahko pa je znotraj ali zunaj nje. [2], [3], [11], [36]
Slika 14: Epitrohoida. [36]
Cilinder: gr. qulind´ew – valjam
Cilinder ali valj je rotacijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnika okoli ene od stranic za360◦ ali okoli ene od obeh simetrijskih osi za180◦. Valj sestavljata dve os-novni ploskvi in plašč. Osos-novni ploskvi valja sta kroga, plašč pa pravokotnik. Mrežo valja torej sestavljata dva skladna kroga s polmeromr, ki imata ploščino enakopr2, in pravokotnik, ki ima osnovnico enako obsegu osnovne ploskve2pr in višino, ki je enaka višini valjav. Če je stranica valja enaka višini, je valj pokončen, v nasprotnem primeru je valj poševen. Valj je enakostraničen, če je stranica enaka premeru osnovne ploskve. Pri valju je značilen osni presek, ki je pri pokončnem valju pravokotnik, pri poševnem pa paralelogram. Površina pokončnega krožnega valja se izračuna po prvi oziroma po drugi formuli:
P = 2·O+pl (5)
P = 2πr(r+v). (6)
Prostornino krožnega valja izračunamo po formuli: [2], [3], [7]
V =O·v. (7)
D
Deltoid: gr. deltoeid c – v obliki delte,
iz gr. d´elta – četrta črka grške abecede + gr. eid c – v obliki
Deltoid je štirikotnik, ki ga uvrščamo med trapezoide. Za trapezoide je značilno, da nimajo nobenega para vzporednih stranic. Deltoid ima dva para sosednjih enako dolgih oziroma skladnih stranic in eno simetrijsko os. Diagonalaf je simetrala lika, ki razpolavlja diagonalo e, le-ti pa sta si med seboj pravokotni. Kota pri oglišču A in ogliščuC sta skladna.
Slika 15: Deltoid.
Deltoid je lahko konveksna in tudi konkavna množica točk. Konveksnemu deltoidu lahko včrtamo krog, in sicer tako, da na primer narišemo diagonalo BD, nato pa simetralo kota v ogliščuC. S tem dobimo presečiščeSv diagonale in simetrale kota.
Narišemo še pravokotnico na katerokoli stranico do presečišča Sv. Dobimo polmer rv včrtanega kroga, nato pa še včrtani krog.
Slika 16: Deltoidu včrtana krožnica.
Zanimivosti:
Beseda deltoid oziroma musculus deltoideus se uporablja tudi v medicini, pri anatomiji človeka. Musculus deltoideus je ramenska mišica, kar je prikazano na sliki št. 17.
Slika 17: Mišica deltoid. [17]
Pri pouku tehnike in tehnologije ali v domači družbi lahko naredimo klasične zmaje v obliki deltoida. Zmaji so prijetna igrača, ob katerih se otroci lahko naučijo ustreznih ročnih spretnosti, pridobijo tehnična znanja, spoznajo naravne pojave, pri tem pa lahko opazijo osnovne matematične značilnosti deltoida. [1], [2], [3], [6], [18]
Slika 18: Otroški zmaj v obliki deltoida. [19]
Diagonala: gr. di´a – narazen, na dvoje, vsaksebi + gr. gwn´ıa, ac, – kot, ogel Diagonala je daljica, ki povezuje dve nesosednji oglišči večkotnika ali poliedra. Poljuben n-kotnik ima n·(n−3)2 diagonal, saj iman-kotniknoglišč in iz vsakega od tehnoglišč gren−3 diagonal, vsaka pa je šteta dvakrat. [1], [2], [3], [6]
• Primer: 7-kotnik ima tako 7·(7−3)2 = 14diagonal.
Slika 19: Diagonale v sedemkotniku.
Diameter: gr. d´ıa – s, z, po, skozi + gr. m´etron, tä – mera, merilo
Diameter ali premer je daljica, ki gre skozi središče kroga ali sfere, na krožnici povezuje dve nasprotni točki. Premer kroga je tudi najdaljša tetiva, običajno ga označimo s črko d. Diameter kroga je dvakrat večji od polmera kroga d = 2r. V metričnem prostoru (M, d) lahko vpeljemo diameter poljubne neprazne množice A (A⊆M)[1], [2], [3], [6]:
diam(A) = sup{d(x, y) :x, y∈A}. (8)
Slika 20: Premer ali diameter.
Diokles: gr. Diokl c
Diokles je bil grški matematik in geometer, živel je okoli leta 200 pr. n. št. Znan je po delu o stožnicah, poleg tega se je ukvarjal tudi s podvajanjem kocke, kar je rešil z geometrijsko krivuljo, imenovano cisoida (gr. kissìc– bršljan). Z uporabo stožnic je želel rešiti problem delitve krogle z ravnino. [2], [3], [37]
Slika 21: Diokles. [37]
Disk: gr. d´ıskoc, å – disk, okrogla plošča
Disk je okroglo ploščato telo. Množica vseh točk, ki ležijo na krogu ali v njem, je disk ali zaprt disk. Množica vseh točk, ki ležijo znotraj kroga, je odprt disk. [2], [3]
E
Elipsa: gr. êlleiyic, ewc, – pomanjkanje, nedostatek, napaka, krivda
Elipso štejemo med krivulje 2. reda, in sicer med stožnice. Krivuljo dobimo, če presekamo stožec z ravnino pod kotom, ki je manjši od naklonskega kota stranice stožca.
Slika 22: Presekani stožec, kjer dobimo elipso. [7]
Elipsa je množica točk v ravnini, katerih vsota razdalj od izbranih točk F1 in F2 (gorišč) je konstantna:
r1+r2 = 2a. (9)
Pri temr1 predstavlja razdaljo točke na elipsi od prvega,r2 pa razdaljo od drugega gorišča,apa veliko polos elipse.
Slika 23: Elipsa.
Razdalja od točkeA do točke C se imenuje velika os elipse, razdalji od B pa do D pa mala os elipse. Točka 0 predstavlja središče oziroma center elipse. Razdalji od izhodišča do točkeAin od izhodišča do točkeC, ki ju označimo za, imenujemo veliki polosi elipse. Razdalji od izhodišča do točke B in od izhodišča do točke D, ki ju označimo zb, imenujemo mali polosi elipse. Točke A, B, C, D predstavljajo temena elipse.
Elipsa ima dve gorišči na abscisni osiF1(−e,0)inF2(e,0), kjereimenujemo linearna ekscentričnost. S tem predpostavimo, da sta gorišči zaeoddaljeni od izhodišča. Li-nearno ekscentričnost izračunamo z izrazom
e2 =a2−b2. (10)
Včasih se zgodi, da ima elipsa gorišči na ordinatni osi. Takrat je b > ain linearna ekscentričnost je dana s formulo
e2 =b2−a2. (11)
Gorišči imata koordinati F1(0,−e) in F2(0, e). Elipsa je simetrična krivulja (ima dve simetrijski osi), za katero velja, da je vedno bolj sploščena, čim večja je njena linearna ekscentričnost. Elipsa je vedno bolj podobna krožnici, kadar se linearna eks-centričnost približuje nič. Razmerjeemed linearno ekscentričnostjo in veliko polosjo se imenuje numerična ekscentričnost elipse, ki je vedno na intervalu (0,1). Numerična ekscentričnost se izračuna po naslednji formuli:
ε= e a =
r 1− b2
a2. (12)
Enačba elipse s središčem v izhodišču se glasi x2
a2 +y2
b2 = 1, (13)
če pa jo premaknemo za vektor~v= (p, q), dobimo enačbo premaknjene elipse (x−p)2
a2 +(y−q)2
b2 = 1. (14)
Parametrična oblika enačbe elipse je x=acost,y =bsint,0≤t < 2p. Formulo za ploščino elipse je objavil Galilejev učenec Bonaventura Cavalieri. Glasi se
S(E) =πab. (15)
To lahko izračunamo s pomočjo integrala:
x2
S(E1) predstavlja četrtino elipse, ki je omejena z zgornjimi mejami.
Če doma želimo narediti npr. vrt v obliki elipse, si lahko pomagamo tako, da vza-memo dva količka in ju na določeni razdalji zapičimo v tla. Ta dva količka predsta-vljata gorišči elipse(F1 inF2), okoli njiju navežemo vrvico. Vzamemo tretji količek, okoli tega navežemo vrvico, ki povezuje prva dva količka. S tretjim količkom se nato gibamo v smeri urinega kazalca ali v nasprotni smeri, pri tem pa moramo paziti, da je vrvica ves čas napeta. [1], [2], [3], [7], [11], [20], [21], [22]
Slika 24: Izdelava vrta v obliki elipse.
V literarni teoriji elipsa pomeni izpust oziroma izpuščanje kakega stavčnega člena, ki ga lahko sami dopolnimo. Največkrat najdemo izpust ali elipso v pregovorih zaradi jedrnatega sloga.
• Primer: Ti očeta do praga, sin tebe čez prag. [15], [56]
Elipsoid: gr. êlleiyic, ewc, – pomanjkanje, nedostatek, napaka, krivda + gr.
eid c – v obliki
Vrtenje elipse okrog ene osi v trirazsežnem prostoru povzroči nastanek nove ploskve drugega reda, ki ji pravimo elipsoid. V kartezičnem koordinatnem sistemu ima elip-soid naslednjo enačbo:
x2 a2 + y2
b2 +z2
c2 = 1. (16)
Središče elipsoida predstavlja hkrati središče simetrije. Konstantea,b in c so pozi-tivna števila, ki določajo obliko elipsoida.
Slika 25: Elipsoid. [3]
Med elipsoide se štejejo tudi posebni primeri. Kadar je a=b=c, dobimo sfero ali oblo. Kadar sta dve osi enaki, se nastala ploskev imenuje sferoid. Med sferoide šte-jemo sploščeni (a=b > c) in podolgovati sferoid (a=b < c). Prvi ima obliko diska, drugi pa žoge za ragbi. Kadar ima elipsoid tri različne polosi, navadno vzamemo a > b > c, imenuje se triosni elipsoid. [1], [2], [3], [11], [12]
Prostornina elipsoida je
V = 4
3πabc. (17)
Slika 26: Sfera ali obla. [23]
Slika 27: Sploščeni sferoid. [24]
Slika 28: Podolgovati sferoid. [24]
Epicikloida: gr. ep´ı – pri, na, poleg, nad + gr. kukloeid c – okrogel
Epicikloida je ravninska krivulja, nastane pri spremljanju izbrane točke na prvi krožnici, ki se brez drsenja vrti po zunanjosti druge fiksne krožnice. Krivulja, ki nastane, je poseben primer rulete. Parametrična enačba epicikloide je
x(θ) = (R+r) cosθ−rcosR+r r θ
, (18)
y(θ) = (R+r) sinθ−rsin
R+r r θ
, (19)
kjer je r polmer manjše krožnice, R = kr (polmer večje krožnice), θ je kot med x osjo in premico skozi center prve krožnice. Parametrično obliko lahko tako zapišemo tudi drugače:
x(θ) =r(k+ 1) cosθ−rcos((k+ 1)θ), (20) y(θ) =r(k+ 1) sinθ−rsin((k+ 1)θ), (21)
Epicikloido je grški matematik Apolonij iz Perga uporabil za predstavitev gibanja planetov.
Kadar jekcelo število, potem je krivulja zaprta in ima natančno k ostrih kotov.
Slika 29: Epicikloida, kjer je k= 2. [39]
Slika 30: Epicikloida, kjer je k= 4. [39]
Če jekracionalno število (k= ab), potem ima krivulja alokov.
Slika 31: Epicikloida, kjer je k= 2,1. [39]
Epicikloida z enim lokom se imenuje kardioida (R=r). [2], [3], [39]
Slika 32: Epicikloida, kjer je k= 1. [39]
Evklid: gr. EÎkleØdhc
Evklid (živel je med letoma 365 in 300 pr. Kr.) je bil eden največjih grških ma-tematikov. Bil je Platonov učenec, ki je deloval v Aleksandriji. O njegovem življenju je zanesljivo to, da je učil na slavni aleksandrijski univerzi Museum. Še danes pa je znan njegov rek: „V matematiko ne vodijo kraljevske poti.“
Evklid je najtesneje povezan z geometrijo, vsa njegova dela so izšla v 13 knjigah z naslovom StoiqeØa, kar se prevaja z Elementi. Elementi so poleg Biblije knji-ge, ki so jih v zgodovini zahodnega sveta največkrat proučevali in tiskali. Evklidovi Elementi imajo strogo logično zgradbo, in sicer se vsaka knjiga začne s spiskom definicij izrazov, ki se potem uporabljajo v tej knjigi. Prve štiri knjige obravnavajo planimetrijo, torej proučujejo lastnosti likov v ravnini. Govorijo o osnovnih lastno-stih premic, kotov, skladnosti trikotnikov, enakosti ploščin, Pitagorovem izreku itd.
Za najtežjo Evklidovo knjigo velja deseta knjiga, ki govori o geometrijski razvrstitvi kvadratičnih iracional in njihovih korenov. To so števila v oblikip
a+√
b. O stere-ometriji govorijo zadnje tri knjige. Evklid se je ukvarjal tudi z deljivostjo celih števil, seštevanjem geometrijskih vrst in s praštevili. Pomemben je tako imenovani Evkli-dov algoritem, s katerim poiščemo največji skupni delitelj danih celih števil, poleg
tega mu pripada tudi izrek o neskončno mnogo praštevil. Po njem se imenuje Ev-klidov izrek, ki pravi, da je kvadrat katete v pravokotnem trikotniku enak produktu hipotenuze in pravokotne projekcije te katete na hipotenuzo: [1], [2], [6], [9], [10]
a2 =a1·c, (22)
b2 =b1·c. (23)
Slika 33: Evklidov izrek.
Slika 34: Evklid. [25]
Slika 35: Ohranjeni fragment Evklidovih Elementov. [25]
Slika 36: Elementi. [26]
G
Geometrija: gr. gewmetr´ıa, ac, – zemljemerstvo, geometrija, iz gr. g¨, g¨c, – zemlja + gr. metr´ıa, ac, – merjenje
Geometrija je veja matematike, ki se ukvarja s proučevanjem prostora in z oblikami ter velikostmi različnih likov in teles v prostoru. Predstavlja eno izmed najstarejših vej, ki se je pred več tisočletji pojavila v Egiptu, Mezopotamiji, Indiji in na Kitaj-skem. V teh krajih so reke večkrat poplavile, s tem pa so se zbrisale meje posameznih obdelovalnih območij. Tako so morali tamkajšnji prebivalci ponovno postaviti meje, kar je povzročilo ponovno merjenje, zarisovanje in računanje.
Geometrija se je v stari Grčiji začela močno razvijati po 7. st. pr. Kr. V te kraje so jo iz Egipta prinesli trgovci. Od 5. st. pr. Kr. se je v geometriji poja-vila sprememba, saj so grški matematiki uvedli abstrakcijo. Pomembna postaneta dva pojma, in sicer pojem trditve in njenega strogega dokaza. Tako so postali ge-ometrijski rezultati natančni in verjetni. Geometrija je postala veda o abstraktnih
Geometrija se je v stari Grčiji začela močno razvijati po 7. st. pr. Kr. V te kraje so jo iz Egipta prinesli trgovci. Od 5. st. pr. Kr. se je v geometriji poja-vila sprememba, saj so grški matematiki uvedli abstrakcijo. Pomembna postaneta dva pojma, in sicer pojem trditve in njenega strogega dokaza. Tako so postali ge-ometrijski rezultati natančni in verjetni. Geometrija je postala veda o abstraktnih