DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

TINA BOHINC

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

Študijski program: Matematika in tehnika

Geometrijski izrazi grškega izvora

DIPLOMSKO DELO

Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Tina Bohinc

Ljubljana, december, 2011

Program dela

V diplomskem delu podajte kratek pregled zgodovine matematike, pri čemer dajte glavni poudarek starogrški matematiki. Predložite zgled za slovar, ki bo razložil geometrijske izraze, ki imajo izvor v klasični grščini.

Ljubljana, december, 2011 Mentor: dr. Marko Razpet

Zahvala

V diplomskem delu se najlepše zahvaljujem mentorju in odličnemu profesorju dr.

Marku Razpetu, ki mi je s strokovno pomočjo pomagal pri izvedbi diplomske naloge in bil vedno pripravljen podati kakšno zanimivo informacijo o Grkih in njihovi zgodovini. Profesor mi je bil in je še vedno zgled; s svojo preprostostjo in dostopno- stjo je veliko pripomogel k sodelovanju med samim pisanjem diplomskega dela in mi s tem, kot mladi učiteljici, dal poduk, kakšno mora biti sodelovanje med učiteljem in učencem. Hvala Vam za vse.

Zahvaljujem se moji družini, in sicer mami in očetu, ker sta me vsa leta študija spodbujala in mi stala ob strani, kadar mi ni šlo vse po načrtih. Hvaležna sem jima tudi za to, ker sta mi finančno omogočila željeni študij matematike in tehnike. Hvala tudi moji sestri Manci, ki me je prav tako v času študija spodbujala in me naučila, da padec na izpitu ni tako grozna stvar in se jo da popraviti. Hvala vam.

Zahvaljujem se tudi Marku, ker me je poslušal in se zanimal o vsem, kar je za- pisanega v diplomskem delu. Zahvala gre tudi Davidu, ker mi je s svojim znanjem grščine lahko priskočil na pomoč. Hvala vama.

Zahvala tudi vsem ostalim mojim prijateljem, ki jih pisno nisem omenila, a jih imam v mislih.

Za konec navajam še kratko misel:

„Gospod!

V Tvoje naročje izročam otroke, h katerim sem poslana.

Vem, da če bom jaz sedela, bodo oni legli, če bom jaz kritizirala, bodo oni rušili, če bom jaz v dvomih, bodo oni obupali, če bom jaz vodila, me bodo oni prehiteli,

ampak če bom jaz nasmejana, bodo oni sonce!

Podari mi potrpežljivost in moč,

da bodo otroci v mojih dejanjih in besedah videli Tebe.“

(Oratorij, 2007)

Povzetek

Diplomsko delo govori o zgodovini matematike, nato pa predvsem o grški matematiki;

o grških črkah, akcentih, diftongih, številih itd. Jedro diplomskega dela je namenjeno razlagi geometrijskih izrazov, ki izvirajo iz klasične grščine. Zato je narejen slovar, kjer je zbranih nekaj besed, ki pridejo prav predvsem v srednji šoli.

Ključne besede

Aksiom, antipodni točki, Apolonij, Arhit, Arhimed, asimptota, cikloida, cilinder, deltoid, diagonala, diameter, Diokles, disk, elipsa, elipsoid, epicikloida, Evklid, ge- ometrija, heptagon, Heron, hiperbola, hiperboloid, hipotenuza, Hiparh, izrek, izo- metrija, kardioida, kateta, lema, lemniskata, matematika, Menelaj, meter, metrika, Papos, parabola, paraboloid, paralelnost, paralelepiped, paralelogram, piramida, Pitagora, polieder, prizma, prizmatoid, Proklus, romb, romboid, sfera, simetrija, središčni razteg ali homotetija, stereometrija, stožec ali konus, Tales, trapez, trape- zoid, trigonometrija, višinska točka ali ortocenter.

Geometry terms of Greek origin Summary

This thesis presents the history of mathematics and focuses on Greek mathematics;

it talks about Greek letters, accents, diphthongs, numbers etc. The core of this work is intended for interpretation of geometric terms – originating from classical Greek.

Because of that I added a dictionary of most often used words in secondary school.

Key words

Axiom, antipodal points, Apollonius, Archytas, Archimedes, asymptote, cycloid, cylinder, kite, diagonal, diameter, Diocles, disc, ellipse, ellipsoid, epicycloid, Euclid, geometry, heptagon, Hero, hyperbola, hyperboloid, hypotenuse, Hipparchus, theo- rem, isometry, cardioid, cathetus, lemma, lemniscate, mathematics, Menelaus, metre, metric, Pappus, parabola, paraboloid, parallel, parallelepiped, parallelogram, pyra- mid, Pythagoras, polyhedron, prism, prismatoid, Proclus, rhomb, rhomboid, sphere, symmetry, homothety, stereometry, cone, Thales, trapezium, trapezoid, trigonome- try, orthocentre.

MSC (2010): 01A99, 01A20, 00A20.

Kazalo

1 UVOD 12

1.1 Kratek pregled zgodovine matematike . . . 13 1.2 Grška matematika . . . 20

2 RAZLAGA BESED 26

3 ZAKLJUČEK 97

Slike

1 Trapez. . . 27

2 Antipodni točki. . . 28

3 Apolonij. [33] . . . 29

4 Arhit. [34] . . . 30

5 Arhimed. [35] . . . 31

6 Približevanje vodoravni asimptoti. . . 31

7 Približevanje navpični asimptoti. . . 32

8 Približevanje poševni asimptoti. . . 33

9 Asimptota pri hiperboli. . . 33

10 Cikloida. [36] . . . 34

11 Epicikloida. [39] . . . 35

12 Hipocikloida. [39] . . . 36

13 Hipotrohoida. [36] . . . 36

14 Epitrohoida. [36] . . . 37

15 Deltoid. . . 38

16 Deltoidu včrtana krožnica. . . 39

17 Mišica deltoid. [17] . . . 39

18 Otroški zmaj v obliki deltoida. [19] . . . 40

19 Diagonale v sedemkotniku. . . 40

20 Premer ali diameter. . . 41

21 Diokles. [37] . . . 42

22 Presekani stožec, kjer dobimo elipso. [7] . . . 43

23 Elipsa. . . 43

24 Izdelava vrta v obliki elipse. . . 47

25 Elipsoid. [3] . . . 48

26 Sfera ali obla. [23] . . . 48

27 Sploščeni sferoid. [24] . . . 49

28 Podolgovati sferoid. [24] . . . 49

29 Epicikloida, kjer je k= 2. [39] . . . 50

30 Epicikloida, kjer je k= 4. [39] . . . 51

31 Epicikloida, kjer je k= 2,1. [39] . . . 51

32 Epicikloida, kjer je k= 1. [39] . . . 52

33 Evklidov izrek. . . 53

34 Evklid. [25] . . . 53

35 Ohranjeni fragment Evklidovih Elementov. [25] . . . 54

36 Elementi. [26] . . . 54

37 Nikolaj Ivanovič Lobačevski. [27] . . . 55

38 János Bolyai. [28] . . . 56

39 Bernhard Riemann. [29] . . . 56

40 Heptagon. . . 58

41 Heron. [41] . . . 59

42 Presekana stožca, kjer dobimo hiperbolo. [7] . . . 59

43 Hiperbola. . . 60

44 Enodelni hiperboloid. [42] . . . 62

45 Dvodelni hiperboloid. [42] . . . 62

46 Vodni stolp – prva hiperboloidna struktura (Rusija 1896). [42] . . . . 63

47 Hipotenuza. . . 64

48 Hiparh. [43] . . . 64

49 Dioklesova cisoida. [44] . . . 67

50 Kateti. . . 68

51 Naslovnica Paposovega dela z naslovom Zbirka. [47] . . . 72

52 Presekan stožec, kjer dobimo parabolo. [7] . . . 73

53 Parabola. . . 73

54 Eliptični paraboloid. [3] . . . 75

55 Hiperbolični paraboloid. [3] . . . 76

56 Paralelogram. . . 78

57 Piramide pri Gizeh. [48] . . . 80

58 Pitagora. [49] . . . 81

59 Tetraeder. . . 82

60 Heksaeder ali kocka. . . 83

61 Oktaeder. . . 83

62 Dodekaeder. [50] . . . 84

63 Ikozaeder. [51] . . . 84

64 Romb. . . 87

65 Blejski otok in njegova zrcalna slika. [55] . . . 89

66 Središčni razteg ali homotetija. . . 90

67 Središčni razteg pri pajkovi mreži. [58] . . . 90

68 Tales. [57] . . . 92

69 Obodni koti nad istim lokom. . . 92

70 Talesov izrek. . . 93

71 Trapez. . . 94

72 Satje. [54] . . . 95

73 Višinska točka ali ortocenter. . . 96

1 UVOD

Matematika se je skozi stoletja spreminjala in dopolnjevala. Učenjaki so na različnih koncih sveta odkrivali pestrost in lepoto matematične vede, med delom pa večkrat naleteli na zanke in težave, ki jih pri raziskovanju ni bilo malo. Zvrstilo se je mnogo znanih matematikov, ki so bili pri odkrivanju te vede uspešni in so se tako zapisali v njeno zgodovino. Celotno diplomsko delo je bolj usmerjeno k grški matematiki, a je kljub temu na začetku zapisan kratek pregled skozi zgodovino matematike, saj le tako lahko spoznamo, da je bila tudi grška matematika temelj za njen nadaljnji razvoj. Pregled zgodovinskega razvoja nam osveži spomin, da se poleg obdobja grških matematikov spomnimo tudi ostalih obdobij in se seznanimo z dejstvi iz egipčanske, mezopotamske, kitajske, indijske matematike itd. Nadaljevanje je na- menjeno grški matematiki, zato je napisano nekaj ključnih podatkov o njej in o matematikih tega obdobja. Sledi opis razvoja grških črk in številk ter kratka razlaga o številup. Glavni del diplomske naloge pa predstavljajo geometrijski izrazi, ki izha- jajo iz klasične grščine, le-ti so razvrščeni po abecednem vrstnem redu. Najprej je izraz zapisan v slovenščini, nato v grščini, kjer je podana tudi razlaga grške besede, sledi opis matematičnega pojma, ponekod pa je zaradi boljše predstave dodana še slika ali zanimivost.

1.1 Kratek pregled zgodovine matematike

Matematika se je začela razvijati že pred več tisočletji, z novimi poglavji se dopolnjuje še danes. Velik del matematike, ki se je učimo v šoli, je zelo star; razvijala se je na Bližnjem vzhodu, v stari Grčiji, Indiji in srednjeveškem islamskem imperiju.

Skozi čas se je spreminjala, postala je taka, kot jo razumemo danes. O zgodovini matematike pričajo pisni viri in mnoge arheološke najdbe. Včasih naletimo tudi na to, da si zgodovinarji v marsičem niso enotni. Kdaj točno in kako se je matematika začela, ne ve nihče. Ve se le to, da je bila prisotna tam, kjer se je razvila pisava.

Najstarejše predmete, ki jih lahko pojasnimo kot matematične, so pred 37000 leti odkrili v Afriki. Matematika se je kot samostojna dejavnost razvila na starem Bliž- njem vzhodu okoli 5000 let pr. Kr. Ljudje so se začeli ukvarjati s tem, kako velika imajo polja, kolikšna je prostornina njihovih košar, koliko delavcev potrebujejo za posamezno delo. Uvedli so merske enote in se naučili pretvarjanja. Naleteli so tudi na težke aritmetične operacije, s čimer so se ukvarjali pisarji (profesionalni javni uradniki, ki so znali pisati in reševati preproste matematične naloge). [4]

Egipčanska matematika

Egipčanska matematika se od mezopotamske najprej loči po tem, da so stari Egipčani pisali s črnilom na papirus, Mezopotamci pa z lesenimi pisali na glinene tablice.

Pri Egipčanih se je zato ohranilo razmeroma malo dokumentov, medtem ko se je pri drugih ohranilo mnogo tablic. Za egipčansko matematiko je zelo pomembno delo Rhindov papirus, ki je iz obdobja okoli leta 1650 pr. Kr. Vsebuje obsežne preglednice, ki so pomagale pri izračunih, in zbirko problemov, ki so jih uporabljali za poučevanje pisarjev. Poleg že navedenih značilnosti o egipčanski matematiki je pomembno tudi to, da so uporabljali dva številska sistema, in sicer prvega za pisanje na kamen, drugega pa za pisanje na papir. Metoda zapisa števil je bila podobna kot pri rimskih številkah. Razlika je v tem, da so uporabljali mnogokratnike števila deset. Primer, simbol | pomeni ena, simbol T

pomeni deset. Torej so število 57 zapisali kot T T T T T|||||||. Seštevanje in podvajanje sta bili osnovni aritmetični operaciji, znali so reševati preproste linearne enačbe, izračunati ali določiti približek

površine in prostornine več geometrijskih likov in teles itd. [4]

Mezopotamska oziroma babilonska matematika

Večina tablic, značilnih za mezopotamsko matematiko, izhaja iz obdobja med 1900 in 1600 pr. Kr. Babilonski pisarji so tablice uporabljali kot pripomočke za računanje ali pa kot zbirke problemov za poučevanje mladih pisarjev. Vedno bolj so stremeli k zahtevnim problemom. Števila so pogosto označevali s pomočjo šestdesetiškega številskega sistema, znali so reševati linearne enačbe, pri geometriji so se ukvarjali z merjenjem, uporabljali so tablice množenja, obratnih vrednosti, koeficientov za pretvarjanje itd. Poznali so formule za ploščino trikotnika, pravokotnika, trapeza in prostornino valja, kocke in piramide. Značilnost mezopotamske matematike je tudi ta, da so se ukvarjali s problemi, ki so skušali bralca predvsem razvedriti. [4], [6]

Kitajska matematika

Tudi kitajski rokopisi so bili zelo neobstojni, saj so pisali na lubje ali bambus. Pa- pirnate knjige so redko prehajale iz roda v rod, zato so jih prepisovali in večkrat kaj dodali. Značilno delo za kitajsko matematiko je matematično besedilo z naslovom Devet poglavij matematiˇcne umetnosti, ki vsebuje probleme in rešitve. V tem obdobju so imela zelo pomembno vlogo sorazmerja, geometrijske probleme pa so reševali z metodo „izreži in prilepi“. Pri linearnih enačbah so si prav tako pomagali s sorazmerji. [4]

Indijska matematika

O indijski matematiki se ne ve ravno veliko. Nekaj matematike so potrebovali pri graditvi oltarjev, kjer so uporabljali Pitagorov izrek, približen izračun diagonale kvadrata, obravnave površin in prostornin teles. Indijska matematika je vplivala na zahodno matematiko. Ukvarjali so se predvsem z uporabno matematiko, ki pa ni bila pretirano znanstvena. Indijska matematika se je začela razvijati že pred grško matematiko, njen razvoj pa je zacvetel zaradi astronomije. Najpomembnejša iznajd- ba indijskih matematikov je bila desetiški številski sestav. V tem času je bilo nekaj

znanih matematikov, med njimi indijski matematik Arjabhata (okoli 6. st. pr. Kr.), poleg njega pa še Brahmagupta in Bhaskara. Indijska matematika je prispevala k trigonometriji, poleg tega so se zanimali še za algebro in kombinatoriko. Reševali so kvadratne enačbe, poznali so metode za računanje kvadratnih in kubičnih korenov ter preučevali enačbe z eno in več neznankami. [4]

Arabska matematika

Glavno središče arabske matematike je bilo na ozemlju današnje države Irak, v katero so ljudje iz Indije prinesli prve znanstvene knjige o astronomiji. V 9. st. so ustanovili Hiˇso modrosti – akademijo znanosti, ki je povzročila razvoj znanosti in matema- tike. Med prvimi grškimi deli, ki so jih prevedli, so bili Evklidovi Elementi. Zelo pomemben arabski matematik je bil Muhamad Ibn Musa Al Hvarizmi iz območja današnjega Uzbekistana. Razložil je desetiški sestav za pisanje števil in računanje, poleg tega je napisal knjigo, ki obravnava linearno in kvadratno enačbo ter uporabno geometrijo. Arabski matematiki so se ukvarjali s polinomi in algebrskimi enačbami.

Zanje so bila pomembna le pozitivna števila, odkrivali so tudi na področju geometrije, trigonometrije in kombinatorike. Za arabsko matematiko je značilno tudi to, da je vsa arabska algebra potekala z besedami. Npr. enačbo3x² = 4x+2so povedali tako:

„Tri lastnosti so enake štirim stvarem plus dvema dirhemoma.“ Najslavnejši arabski matematik je bil Umar Al Hajam (živel je med letoma 1048 in 1131). Ukvarjal se je z iskanjem postopka za reševanje enačb 3. stopnje. Arabski matematiki so napredovali tudi v uporabni matematiki, saj so okraševali stavbe s ponavljanjem preprostih likov.

[4]

Matematika v Zahodni Evropi

Okoli 10. st. so se učenci v Zahodni Evropi učili v tako imenovanih katedralskih šolah, kjer so se izobraževali bodoči duhovniki in cerkveni uslužbenci. V teh šolah so tako tudi spodbujali zanimanje za matematiko. Hodili so v Španijo, kjer je bilo moč najti le najstarejša in najlažja matematična besedila. Katedralske šole so nato pripeljale do ustanovitve univerz na Oxfordu, v Parizu, Bologni, kjer jih matematika

ni toliko zanimala. Nicole Oresme (1320–1382) se je ukvarjal s kinematiko in z metodo ponazarjanj spreminjanja količin. Leonardo iz Pise, znan tudi pod imenom Fibonacci (živel je med letoma 1170 in 1240), je napisal knjigoLiber abbaci– Knjiga o računanju, v njej je govoril o pretvarjanju valut, izračunavanju dobičkov, kvadratni enačbi itd. Napisal je tudi knjigo P ractica geometriae, to je priročnik „uporabne geometrije“ in knjigoLiber quadratorum – Knjiga kvadratov. [4]

Matematika v 15. in 16. stoletju

V 15. st. se je v Evropi razvilo znanje o plovbi in potovanjih, pri čemer je prišlo do prenašanja kultur. V 16. st. so v krajih od Južne Amerike pa do Kitajske ustanovili jezuitske šole, kjer so spoznavali matematiko. Pri plovbi je bilo potrebno znanje astronomije in razumevanje sferne geometrije. Zato je bila v 15. in 16. st. najbolj pomembna trigonometrija. Kasneje je naraščalo tudi zanimanje za aritmetiko in algebro. V tem času je bil pomemben matematik Johannes Müller s svojim delom De triangulis omnimodis, ki je bilo posvečeno trigonometriji. [4]

Razvoj algebre

V 16. st. so učenjaki začeli uporabljati okrajšave za besede, npr. p za plus. Še vedno pa ni bilo splošnih oznak. Italijanski matematiki so za neznano količino začeli uporabljati izraz „cosa“, kar pomeni stvar. Ko pa so se jim pridružili drugi matema- tiki, so začeli uporabljati „coss“. Znan je angleški matematik Robert Recorde (1510–

1558) s svojim delomT he Grounde of Artes, v katerem je razložil osnove aritmetike.

Z metodo za rešitev kubične enačbe sta s ukvarjala Scipione da Ferro (1465–1526) in Niccolò Fontana Tartaglia (1500–1557). Znana sta bila še Girolamo Cardano (1501–1576) in njegov učenec Lodovico Ferrari (1522–1565), le-ta pa je našel rešitev splošne enačbe četrte stopnje. Pomemben postane tudi matematik Rafael Bombelli (1526–1527), ki je v svojem delu Algebra razširil Cardanove ideje, nato je povezal algebro in geometrijo. Algebra je dobila današnji videz ob koncu 16. st., ko se je z njo začel ukvarjati François Viète (1540–1603). Viète je bil strokovnjak za šifriranje in dešifriranje tajnih sporočil; bil je v službi dveh francoskih kraljev (Henrika III. in

Henrika IV.). Znan je tudi matematik René Descartes (1596–1650), ki se je ukvarjal z algebro. V knjigiLa G´eom´etrieje predlagal oznake, ki jih uporabljamo še danes.

Za označevanje neznank je predlagal male črke (x, y, z . . . ), za znane količine pa (a, b, c . . . ). V tem obdobju se je razvila teorija polinomov in njihovih korenov.

Descartes in Pierre de Femat (1601–1665) sta iznašla „koordinatno geometrijo“, ki je povezala algebro in geometrijo. Fermat je bil po poklicu pravnik in ne profesionalni matematik, zato svojih rezultatov ni nikoli objavil. [4], [6]

Uporabna matematika

Na koncu 16. st. in začetku 17. st. se je matematika začela uporabljati za razlaganje vesolja. Galileo Galilei (1564–1642) se je ukvarjal z astronomijo in fiziko gibanja teles. Johannes Kepler (1571–1630) je uporabljal staro grško znanje o stožnicah za opis sončnega sistema. Mnogo učenjakov se je ukvarjalo z določanjem tangent na krivulje in like, med njimi tudi Bonaventura Cavalieri (1598–1647). Njemu je uspelo izračunati ploščino in prostornino številnih likov in teles. Isaac Newton (1642–1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) sta odkrila infinitezimalni račun, to se pravi diferencialni in integralni račun, ki sta bila osrednji matematični področji 18.

st., s katerima se je ukvarjalo veliko matematikov, med njimi tudi Jakob Bernoulli in njegov brat Johann, in matematičarki, kot sta na primer Gaetana Agnesi (1718–1799) in Emilie de Châtelet (1706–1749). V tem času je bil največji matematik Leonhard Euler (1707–1783), rodil se je v Baslu v Švici, večino časa svojega življenja pa preživel v Rusiji in Berlinu. Ukvarjal se je z matematiko, fiziko, astronomijo, inženirstvom in filozofijo. Uredil je Fermatovo teorijo števil, raziskal je algebro in polinome, preučeval je geometrijo trikotnika, odkril osnovni izrek o poliedrih in raziskoval geometrijo krivulj in ploskev. Ukvarjal se je tudi z loterijo in ugankami in bil prvi, ki je povedal, da je najbolje sinus in kosinus obravnavati kot funkciji kota. Spodbujal je oznakip (za krožno konstanto) in e (za osnovo naravnih logaritmov). Matematika je v tem stoletju dosegla vrh z delom Pierra Simona Laplacea (1749–1827), ki je napisal knjigi o nebesni mehaniki in verjetnosti, in Joseph-Louisa Langrangea (1736–1813), ki je pisal o mehaniki. [4]

Matematika 19. stoletja

V 19. st. sta bili pomembni strogost in profesionalnost. Znan je bil matematik Carl Friedrich Gauss (1777–1855), njegovo prvo delo je biloDisquisitiones Arithmeticae – Aritmetične raziskave, ki je pokrivalo čisto in uporabno matematiko. Poleg njega je pomemben Augustin Louis Cauchy (1789–1857), ukvarjal se je s proučevanjem integralnega in diferencialnega računa. Njegova dela so nadaljevali in popravljali drugi matematiki, med njimi Karl Weierstrass (1815–1897), ki je veljal za strogega in natančnega. V tem času je delovalo kar nekaj pomembnih matematikov, na primer Richard Dedenkind (1831–1916), Giuseppe Peano (1858–1932), oba sta raziskovala osnove aritmetike, Georg Cantor (1845–1918), ki je iznašel pojem množice, Niels Henrik Abel (1802–1829), ki je dokazal, da formula za rešitev splošne enačbe pete stopnje ne obstaja, in Évariste Galois (1811–1832). Do sprememb je prišlo tudi v ge- ometriji, in sicer so se Gauss, Nikolaj Ivanovič Lobačevski (1793–1856), János Bolyai (1802–1860) in Bernhard Riemann (1826–1866) ukvarjali s petim Evklidovim postu- latom, to je z znamenitim aksiomom o vzporednici, kar je pripeljalo do neevklidskih geometrij. Poleg matematike so učenjaki proučevali tudi druga področja, kot so fizika, elektrika, magnetizem itd. Felix Klein (1849–1925) je pokazal, da je neevklid- ska geometrija povezana z novimi algebrskimi teorijami, za poenotenje matematike pa se je zavzemal Henri Poincaré (1854–1912). [4]

Matematika 20. stoletja in današnja matematika

Razvoj matematike je bil v 20. st. hiter, saj se je znanje vsakih dvajset let podvojilo.

V tem času je imel pomembno vlogo David Hilbert (1862–1943), ki se je ukvarjal s triindvajsetimi nerešenimi matematičnimi vprašanji iz preteklosti. Do napredka ni prišlo samo v matematiki, ampak tudi v astronomiji. Začele so izhajati revije z najnovejšimi matematičnimi članki. Doba 20. st. se zato imenuje „zlata doba matematike“, saj je obseg matematike začel naraščati, s tem pa tudi nivo abstrakt- nosti. S temelji matematike so se ukvarjali v prvih desetletjih 20. st. Kurt Gödel (1906–1978) je pokazal, da nekaterih stvari ni moč dokazati. V matematiki so za- čele prevladovati abstraktna analiza, topologija, teorija množic itd. Ob koncu 20.

st. se je močno razvila uporaba računalnika. V njegov razvoj so bili vpleteni tudi matematiki. Računalniki na matematiko vplivajo kot uporabno orodje, orodje za simulacijo in vizualizacijo, omogočajo reševanje enačb itd. Matematične ideje so za- čeli uporabljati v fiziki, kemiji, biologiji, medicini in na mnogih drugih področjih.

[4]

1.2 Grška matematika

Kdaj točno so Grki začeli razmišljati o matematiki, se ne ve. Prvi matematični dokazi izvirajo okoli leta 600 pr. Kr., razvijali so se še do okoli leta 400 po Kr. Za grško matematiko je značilno, da je bila edina, ki je v središče postavila logično sklepanje in dokaz. Pomemben del grške matematike so Evklidovi Elementi (STOIQEIA), nastali so okoli leta 300 pr. Kr. Grščina je bila jezik izobraženih ljudi, značilen za Sredozemlje, jezik trgovine in kulture. Bila je skupen jezik mnogim matematikom, čeprav le-ti niso bili rojeni v Grčiji. Grški matematiki so služili denar najprej kot astrologi, nekaj jih je podpirala država, nekateri so tudi poučevali. Načeloma so se z matematiko ukvarjali ljudje, ki so imeli dovolj imetja, časa in matematičnega daru.

Le-teh pa ni bilo veliko. Matematiki so med seboj sodelovali prek pisem, največ pa so delali sami. V grški matematiki je večinoma prevladovala geometrija, ukvarjali so se tudi z lastnostmi celih števil, s teorijo razmerij, z astronomijo in mehaniko. Prva grška matematika sta bila Tales, živel je okoli leta 600 pr. Kr., in Pitagora, živel je okoli leta 500 pr. Kr. Tales naj bi poskušal dokazati nekaj geometrijskih izrekov in trditve, med njimi tudi te, da je vsota kotov v vsakem trikotniku enaka vsoti dveh pravih kotov, da vsak premer razdeli krog na dve polovici in da je razmerje med enakoležnimi stranicami podobnih trikotnikov enako za vse stranice. O Pitagori so poznane številne zgodbe. Govori se o pitagorejski bratovščini, to je združenju ljudi, ki so se posvečali predvsem verskim, filozofskim vprašanjem, razglabljanju in študiju matematike. Zanje je značilno tudi to, da nikoli niso jedli mesa, fižola, lovili rib in uporabljali volne. Verjeli so v reinkarnacijo in razvili številski misticizem. Menili so, da so števila tajno načelo resničnosti. Večina idej in dosežkov so pripisovali Pitagori, ki v resnici sploh ni bil dejaven matematik, a se je zanimal za številski misticizem.

Njihovo pomembno odkritje je Pitagorov izrek in odkritje razmerij brez skupne mere.

Tako za Pitagora kot za Talesa je značilno, da sta se matematike naučila v Egiptu in Babilonu. Pomembno vlogo tega obdobja so imela razmerja. Daljice so bile zanje del premic, nikoli niso govorili o dolžini premice. Podobno so tudi ploščine, prostornine in kote obravnavali kot drugačne vrste količin, ki niso bile nujno povezane s števili.

Grški matematiki so dokazali, da razmerje med stranico in diagonalo kvadrata ne

more biti razmerje nobene dvojice celih števil. Do matematike sta bila filozofa Pla- ton in Aristotel zelo spoštljiva, zato sta jo večkrat omenila v svojih delih. V času Aristotela, to je med letoma 384 in 322 pr. Kr., so že spoznali, da moramo za dokaze izrekov najprej začeti s predpostavkami in jih sprejeti za resnične, zato jih ne dokazu- jemo. Kot že rečeno so najstarejše grško matematično delo EvklidoviElementi, ki so zgrajeni sistematično. Več o samem Evklidu in njegovih delih je bolj natančno opisano v poglavju Vsebine. Grška geometrija se z Elementi ne konča, vendar so dela Arhimeda (okoli leta 250 pr. Kr.) in Apolonija (okoli leta 200 pr. Kr.) pomembna.

Torej najpomembnejši del grške matematike je sistematično in dobro urejeno poda- janje matematičnih rezultatov. Merjenja ploščine so se lotili tako, da ji niso prirejali števila, ampak so konstruirali pravokotnik ali kvadrat z enako ploščino kot opazovani lik, pri kvadraturi kroga so si pomagali s kako posebno krivuljo. Problem sta jim povzročali tudi konstrukcija tretjine kota in podvojitev kocke. Kasneje so dokazali, da nista rešljivi z ravnilom in šestilom. Poleg geometrije so se ukvarjali tudi z as- tronomijo. Razvili so sferno geometrijo, s katero so napovedali gibanje zvezd in planetov. Pomemben grški matematik je tudi Papos (sredi 4. st. po Kr.), ki je pisal opombe k starejšim delom in povzetke drugih matematikov. Zadnji grški pisec je bil Prókles (okoli leta 450 po Kr.), ki je napisal opombe k delu EvklidoviElementi. [4]

O zgodovini grške pisave

Med najstarejše pisave štejemo slikovno pisavo, pri kateri en slikovni znak označuje določeno besedo. Pri tej pisavi lahko najdemo veliko pomanjkljivosti, saj so se je morali posamezniki zelo dolgo učiti, poleg tega pa niso našli dovolj med seboj razli- čnih slik. Kasneje so isti slikovni znak uporabljali za pomensko različno besedo, če se je glasila enako. Čez čas se je razvila zlogovna pisava, kjer uporabljena znamenja ne predstavljajo več cele besede, ampak samo posamezni zlog. Tako se je 2000 znakov stare slikovne pisave skrčilo na 500 znamenj. Po zlogovni pisavi se je razvila črkovna pisava, iznašli so jo Semiti. Zelo pomemben korak so pri razvoju pisave naredili Grki. Okoli leta 900 pr. Kr. so se seznanili s feničansko pisavo in jo prilagodili.

Tako je nastal „alfabet“. Grki so na začetku uporabljali tako imenovano linearno

A pisavo, ki so jo prevzeli od Minojcev na Kreti, kasneje pa so feničanske znake za glasove spremenili v znake za samoglasnike in razvili linearno B pisavo (linearna A pisava je danes še vedno nerazvozlana). Feničanski he je postal znak za kratki široki e, het pa znak za dolgi široki e. Drugače je bilo v osrednji Grčiji, kjer so uporabljali znak het za glas h, dolgi in kratki epa so označevali z e; kasneje se je kot prva polovica znakahealihetv koine grščini (splošno razširjen grški jezik) začel uporabljati pridih, in sicer šibki (spiritus lenis) za prvega ali ostri (spiritus asper) za drugega. Ta znak, ki se nam zdi odvečen, je očitno služil za označevanje rahlega tleska, ki je slišen pri izgovorjavi besede, začete s samoglasnikom. V Grčiji so dolgo časa obstajali različni alfabeti, med katerimi sta najpomembnejša zahodnogrški in vzhodnogrški. Grki so leta 403 pr. Kr. v Atenah uradno uveljavili vzhodnogrški alfabet, iz katerega izhajata latinica in cirilica. Grška pisava je imela najprej velike črke, male črke so se uveljavile šele v 9. st. [5]

Naglasi oziroma akcenti

Da bi pokazali, na katerem zlogu je kaka beseda naglašena, so Grki od 3. st. pr. Kr.

uporabljali tri različne muzikalne naglase, kar pomeni, da so naglašali s spremenljivo višino glasu (poudarjeni zlog so izgovarjali približno za kvinto višje od ostalih). Za visoki ton so uporabiliakut(´a), za nizki ton pagravis(ä). Ker so dolgi zlogi lahko združevali oba naglasa, se je iz tega razvilcirkumf leks(¨), ki ustreza dvigu in spustu glasu z „zavijajočim tonom“. Od 4. st. po Kr. je v navadi, da gravis nadomešča akutna zadnjem zlogu besede, če tej sledi še ena beseda. [5]

Dvoglasniki oziroma diftongi

Grščina tvori dvoglasnike iz kombinacija, e, h, o, wna prvem (vodilni vokali) ini, una drugem mestu. Po večini je dvoglasnike zajela „monoftongizacija“, kar pomeni, da so jih brali kot dolge vodilne vokale. Kot poseben primer se uporabljaiv zvezi z dolgimi samoglasniki, ki so jo deloma podpisovali (iota subscriptum), deloma pripisovali (iota adscriptum, pri velikih črkah). [5]

Grški alfabet [5], [16]

Klasični alfabet Glasovna vrednost Grško ime

A, a a alfa

B, b b beta

G, g g gama

D, d d delta

E, e e epsilon

Z, z dz, z zeta

H, h ¯e eta

J, j th theta

I, i i, j jota

K, k k kapa

L, l l lambda

M, m m mi

N, n n ni

X, x x ksi

O, o o omikron

P, p p pi

R, r r ro

S, σ,c s sigma

T, t t tav

U, u y ipsilon

F, f ph fi

Q, q ch hi

Y, y ps psi

W, w ¯o omega

Grške številke

V nadaljevanju so zapisana števila, kakor so jih pisali Grki. [14]

1 aþ 11 iaþ 21 kaþ 40 mþ 500 fþ 6000 ÿ 2 bþ 12 ibþ 22 kbþ 50 nþ 600 qþ 7000 ÿz 3 gþ 13 igþ 23 kgþ 60 xþ 700 yþ 8000 ÿh 4 dþ 14 idþ 24 kdþ 70 oþ 800 wþ 9000 ÿj 5 eþ 15 ieþ 25 keþ 80 pþ 900 þ 10000 ÿi 6 þ 16 iþ 26 kþ 90 þ 1000 ÿa 11000 ÿiÿa 7 zþ 17 izþ 27 kzþ 100 rþ 2000 ÿb 20000 ÿk 8 hþ 18 ihþ 28 khþ 200 svþ 3000 ÿg

9 jþ 19 ijþ 29 kjþ 300 tþ 4000 ÿd 10 iþ 20 kþ 30 lþ 400 uþ 5000 ÿe

Zgodba o številu p

Število p ima dolgo zgodovino. Na začetku je bil p le grška črka – v latinici us- treza črki p, ki ni označevala števila. Grki in učenjaki pred njimi so ugotovili, da je razmerje med obsegom in premerom kroga vedno enako. To razmerje obravnavamo kot konstanto, imenujemo ga številop. Matematiki so spoznali, da se to konstantno razmerje pojavlja tudi pri ploščini kroga. Točna določitev številapje bila privlačna in problematična. Bila je skrivnost, ki so jo raziskovali številni matematiki. Nemškemu matematiku Johannu Lambertu je okoli leta 1765 uspelo dokazati, da jepiracionalno število. Decimalni zapis ni nikoli natančno enak vrednosti številap,ampak se lahko tej vrednosti le poljubno približamo. [4]

p = 3,14159265358979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679...

Prvih sto decimalk števila p. [4]

Kar nekaj matematikom se je uspelo dovolj dobro približati vrednosti števila p. Z raziskovanjem tega števila so se ukvarjali v različnih obdobjih, kar je zapisano v spodnji preglednici.

Narodnost Ime Vrednost približka

Starogrška Arhimed (287–212 pr. Kr.) 3¹⁰₇₁ <p <3¹₇

matematika Ptolemaj (85–165) ³⁷⁷₁₂₀ = 3,1416...

Kitajska Liu Hiu (263) 3,141024... <p < 3,141764...

matematika Ču v Cung Čih (1270–1330) ³⁵⁵₁₃₃ = 3,1415929...

Indijska Ariabhata (476–550) 3,1416...

matematika Bhaskara (1114–1185) 3,14156...

Arabska matematika Al Kashi (1424) 16 pravilnih decimalk Srednjeveška Fibonacci (1170–1230) ⁸⁶⁴₂₇₅ = 3,141818...

matematika François Viète (1540–1603) 9 pravilnih decimalk Ludolf van Ceulen (1540–1610) 32 pravilnih decimalk Slovenska matematika Jurij Vega (1754–1802) 136 pravilnih decimalk

Preglednica: Najbolj znani približki številap. [6]

2 RAZLAGA BESED

Glavni del sestavljajo geometrijski izrazi, ki izhajajo iz klasične grščine. Zaradi lažje- ga razumevanja nadaljnjega dela bom podala primer, ki pokaže način razlage besed.

• Primer: Trapez: gr. tr´apeza, ™ – miza, oltar

Najprej je s krepkim tiskom napisan geometrijski matematični izraz v slovenščini, nato je izraz zapisan v grščini. Grška beseda ima na koncu zapisan člen ™, kar pomeni, da je samostalnik ženskega spola. Če je beseda srednjega spola, ima člentä.

Če ima beseda člen å, potem je samostalnik moškega spola. V nekaterih primerih je pri grški besedi zapisano še atoc, tä, kot pri primeru aksiom: ‚x´ıwma, atoc, tä.

Druga beseda pomeni drugo obliko sklona, rodilnik, tretja beseda pa, kot že rečeno, določa spol. Pri nekaterih izrazih (pridevnikih) je poleg besede navedeno število 2 ali 3, kot v primeru stereometrije: stere´oc 3, kar pomeni, da ima beseda v vseh treh oz. dveh spolih pravilno obliko sklanjatve. Vsem tem sledi razlaga grške besede, ki je v primeru besede trapez miza, oltar.

V nadaljevanju je razložen matematični pojem, poleg tega so zapisane tudi enačbe, ki jih potrebujemo pri izračunu ploščine, obsega, površine, prostornine itd.

Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Na spodnji sliki straniciAB in CD predstavljata osnovnici,AD in BC pa kraka trapeza. Trapez ima dve diago- nali, ki ju označimo zein f, kjer prva povezuje ogliščiAC, druga paBD. V trapezu je značilna srednjica, ki povezuje razpolovišči krakov in je vzporedna osnovnicama.

Dolžina srednjice je aritmetična sredina obeh osnovnic:

s= a+c

2 . (1)

Če ima trapez enako dolga kraka in enako dolgi diagonali, potem je trapez enakokrak.

Ploščina trapeza se izračuna po enačbi:

S = (a+c)v

2 , (2)

kjer staa in c osnovnici trapeza,v pa njegova višina. Obseg trapeza je enak:

o=a+b+c+d, (3)

kjer soa, b, c, d stranice trapeza. [1], [2], [6]

Zaradi pestrosti diplomskega dela je ponekod podana slika matematičnega izraza ali zanimivost.

Slika 1: Trapez.

OPOMBA: V diplomskem delu je poleg geometrijskih izrazov navedenih tudi nekaj imen starih grških geometrov in nekaj splošnih matematičnih izrazov.

OPOMBA: Pri končnicieid cni napisanega znaka za pridih na dvoglasnikuei, ker ne gre za samostojno besedo, ampak za končnico pri sestavljanju z drugimi besedami.

Podobno tudi pri končniciatoc za rodilnik ne pišemo znaka za pridih.

A

Aksiom: gr. ‚xÐwma, atoc, tä – čast, ugled, zahteva

Aksiom je očitna temeljna resnica ali trditev, ki jo sprejmemo brez dokazov in jo privzamemo kot veljavno. Drugi izraz oziroma bolj ali manj sinonim za aksiom je postulat; beseda izhaja iz latinske besede postulatum, kar pomeni zahteva. Očitna dejstva se od postulatov razlikujejo v tem, da se ne nanašajo samo na geometrijo, temveč na celotno matematiko. [1], [2], [3], [6], [10]

• Primer – Evklidov aksiom o vzporednici: Za poljubno premico l in poljubno točko P, ki ne leži nal, obstaja natanko ena taka premica m, da točka P leži na m in jem vzporedna l. [10]

Antipodni točki: gr. ‚ntÐ – nasproti + gr. poÔc, podìc, å – noga

Naj boγ =K(S, r) krožnica,A inB pa točki na njej. Točki A in B na krožniciγ sta antipodni, če veljaA∗S∗B. Za antipodni točki AinB tudi daljiciAB rečemo diameter ali premer kroga. [2], [10]

Slika 2: Antipodni točki.

OPOMBA: Znak∗pomeni ležati med; to se pravi, da v primeruA∗S∗B, točkaS leži med točkamaA inB.

Apolonij: gr. >Apoll¸nioc

Apolonij je bil starogrški matematik, geometer in astronom, živel je v času med letoma 260 in 190 pr. n. št. Študiral je v Aleksandriji pri Evklidovih učencih. Nase je opozoril z osmimi knjigamiO stoˇznicah, od katerih se je ohranilo sedem knjig. V njih je razpravljal o paraboli, hiperboli in elipsi ter proučeval pomembne značilnosti teh krivulj. Apolonij se je pri svojih delih naslonil na predhodnike: Evklida, Nikote- lesa in Konona. Določil je imena stožnic, ki jih prej Evklid še ni uporabljal. [2], [3], [33]

Slika 3: Apolonij. [33]

Arhit: gr. >Arq´utac

Arhit je bil starogrški matematik, filozof, astronom, državnik, strateg in vojskovodja, živel je med letoma 428 in 365 pr. Kr. Bil je učitelj v Atenah, znan je tudi po tem, da je Platona učil geometrijo in ga vpeljal v pitagorejstvo. Arhit velja za utemeljitelja mehanike. Bil je prvi, ki je rešil problem podvojitve kocke s pomočjo krivulje, in

sicer Arhitove krivulje, kakor jo imenujemo, poleg tega je dokazal, da zmnožek dveh zaporednih števil nikoli ni kvadratno število. [2], [3], [34]

Slika 4: Arhit. [34]

Arhimed: gr. >Arqim dhc

Za enega največjih starogrških matematikov velja Arhimed (287–212 pr. n. št.), živel je v Sirakuzah. Bil je tudi fizik, izumitelj, inženir, astronom in svetovalec kralja Hierona. Arhimed se je ukvarjal z integralnim računom in tudi s približkom za obseg kroga z včrtanimi in očrtanimi pravilnimi večkotniki, kar je predstavil v svojem delu M erjenje kroga. Napisal je še vrsto knjig in razprav, in sicer knji- go O krogli in valju, v kateri je izraz za površino in prostornino krogle, knjigo O spiralah, v kateri se lahko najde „Arhimedovo spiralo“, knjigoO konoidih in sf ero- idih, v kateri so podane prostornine nekaterih rotacijskih teles druge stopnje, razpravo O plavajoˇcih telesih itd. Arhimed je bil računsko zelo spreten, po tem se je raz- likoval od drugih matematikov tedanjega časa. Pomembno je tudi njegovo delo P roblem o govedu, ki govori o problemu iz diofantske analize. Arhimed je bil ubit, ko so Rimljani zavzeli Sirakuze. [2], [3], [9], [35]

Slika 5: Arhimed. [35]

Asimptota: gr. ‚sumpt´ota – ki se ne sklada,

iz gr. ‚ – ne + sump´ıptw – ujemam se, trčim skupaj

Asimptota je premica, ki se ji približuje druga krivulja. Ko se krivulja od koordi- natnega izhodišča oddaljuje, se asimptoti poljubno približa in jo seka neskončnokrat ali pa nikoli. Zgled za krivulje, ki imajo asimptote, so grafi racionalnih funkcij.

Slika 6: Približevanje vodoravni asimptoti.

V polih racionalna funkcija ni definirana, njen graf ima tam navpično asimptoto. Ko se približujemo polu, vrednosti racionalne funkcije rastejo ali padajo v pozitivno ali negativno neskončnost. Torej, graf funkcijef ima v točkia∈Rnavpično asimptoto z enačbox=a, ko je vsaj ena od limit

n→−alim f(x) ali lim

n→+af(x) neskončna.

Slika 7: Približevanje navpični asimptoti.

Kadar je stopnja polinoma v števcu za 1 višja od stopnje polinoma v imenovalcu, ima graf racionalne funkcije poševno asimptotoy=kx+n.

Slika 8: Približevanje poševni asimptoti.

Poleg grafov racionalnih funkcij imajo asimptote še hiperbole, cisoide, strofoide in druge krivulje. [1], [2], [3], [7], [8]

Slika 9: Asimptota pri hiperboli.

C

Cikloida: gr. kukloeid c – okrogel,

iz gr. kÔkloc, å – krog + gr. eid c – v obliki, iz gr. eÚdoc, ouc, tä – oblika Cikloida je krivulja v ravnini, nastane s kotaljenjem krožnice po vodoravni premici, na njej si izberemo neko točko, npr. točkoP in ji sledimo. Krožnica se kotali brez drsenja. V parametrični obliki jo zapišemo kot

x=a(t−sint) in y=a(1−cost),

kjer jeapolmer krožnice, tpa kot, ki ga pri vrtenju naredi točka P. Ko kot naredi poln obrat po premici, se ponovi začetna situacija. Cikloida je tako sestavljena iz med seboj skladnih lokov. En lok nastane, če se torej parameter t spremeni za 2p.

Grškim geometrom cikloida ni bila poznana, a so se matematiki predvsem v 17. st.

veliko ukvarjali z njo. Cikloido je prvi raziskal Kuzanski, leta 1599 jo je poimenoval Galilei. Roberval je leta 1634 pokazal, da je površina pod cikloido enaka trikratni površini krožnice. Ploščina pod enim lokom cikloide je

P = 3πr². (4)

Slika 10: Cikloida. [36]

Trohoida: gr. troqoeid c – okrogel, kolesu podoben,

iz gr. troqìc, å – kolo + gr. eid c – v obliki, iz gr. eÚdoc, ouc, tä – oblika

Trohoida nastane podobno kot cikloida, le da se krožnica brez drsenja kotali po premici, opazujemo pa točkoP, ki je togo povezana s kotalečo se krožnico in je lahko znotraj ali zunaj nje.

Sorodne krivulje so npr.:

• Epicikloida: gr. ep´ı – pri, na, poleg, nad + gr. kukloeid c – okrogel Epicikloida nastane, ko se prva krožnica brez drsenja kotali po zunanjosti druge krožnice, pri tem pa spremljamo izbrano točkoP na prvi krožnici.

Slika 11: Epicikloida. [39]

• Hipocikloida: gr. Ípì – pod + gr. kukloeid c – okrogel

Hipocikloida nastane, ko se prva krožnica brez drsenja kotali po notranjosti druge krožnice, pri tem spremljamo izbrano točkoP na prvi krožnici.

Slika 12: Hipocikloida. [39]

• Hipotrohoida: gr. Ípì – pod + gr. troqoeid c 2 – okrogel, kolesu podoben Hipotrohoida nastane podobno kot hipocikloida, le da je izbrana točka P togo povezana s kotalečo se krožnico, lahko pa je znotraj ali zunaj nje. [2], [3], [11], [36]

Slika 13: Hipotrohoida. [36]

• Epitrohoida: gr. ep´ı – pri, na, poleg, nad + gr. troqoeid c 2 – okrogel, kolesu podoben

Epitrohoida nastane podobno kot epicikloida, le da je izbrana točkaP togo povezana s kotalečo se krožnico, lahko pa je znotraj ali zunaj nje. [2], [3], [11], [36]

Slika 14: Epitrohoida. [36]

Cilinder: gr. qulind´ew – valjam

Cilinder ali valj je rotacijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnika okoli ene od stranic za360^◦ ali okoli ene od obeh simetrijskih osi za180^◦. Valj sestavljata dve os- novni ploskvi in plašč. Osnovni ploskvi valja sta kroga, plašč pa pravokotnik. Mrežo valja torej sestavljata dva skladna kroga s polmeromr, ki imata ploščino enakopr², in pravokotnik, ki ima osnovnico enako obsegu osnovne ploskve2pr in višino, ki je enaka višini valjav. Če je stranica valja enaka višini, je valj pokončen, v nasprotnem primeru je valj poševen. Valj je enakostraničen, če je stranica enaka premeru osnovne ploskve. Pri valju je značilen osni presek, ki je pri pokončnem valju pravokotnik, pri poševnem pa paralelogram. Površina pokončnega krožnega valja se izračuna po prvi oziroma po drugi formuli:

P = 2·O+pl (5)

P = 2πr(r+v). (6)

Prostornino krožnega valja izračunamo po formuli: [2], [3], [7]

V =O·v. (7)

D

Deltoid: gr. deltoeid c – v obliki delte,

iz gr. d´elta – četrta črka grške abecede + gr. eid c – v obliki

Deltoid je štirikotnik, ki ga uvrščamo med trapezoide. Za trapezoide je značilno, da nimajo nobenega para vzporednih stranic. Deltoid ima dva para sosednjih enako dolgih oziroma skladnih stranic in eno simetrijsko os. Diagonalaf je simetrala lika, ki razpolavlja diagonalo e, le-ti pa sta si med seboj pravokotni. Kota pri oglišču A in ogliščuC sta skladna.

Slika 15: Deltoid.

Deltoid je lahko konveksna in tudi konkavna množica točk. Konveksnemu deltoidu lahko včrtamo krog, in sicer tako, da na primer narišemo diagonalo BD, nato pa simetralo kota v ogliščuC. S tem dobimo presečiščeS_v diagonale in simetrale kota.

Narišemo še pravokotnico na katerokoli stranico do presečišča Sv. Dobimo polmer r_v včrtanega kroga, nato pa še včrtani krog.

Slika 16: Deltoidu včrtana krožnica.

Zanimivosti:

Beseda deltoid oziroma musculus deltoideus se uporablja tudi v medicini, pri anatomiji človeka. Musculus deltoideus je ramenska mišica, kar je prikazano na sliki št. 17.

Slika 17: Mišica deltoid. [17]

Pri pouku tehnike in tehnologije ali v domači družbi lahko naredimo klasične zmaje v obliki deltoida. Zmaji so prijetna igrača, ob katerih se otroci lahko naučijo ustreznih ročnih spretnosti, pridobijo tehnična znanja, spoznajo naravne pojave, pri tem pa lahko opazijo osnovne matematične značilnosti deltoida. [1], [2], [3], [6], [18]

Slika 18: Otroški zmaj v obliki deltoida. [19]

Diagonala: gr. di´a – narazen, na dvoje, vsaksebi + gr. gwn´ıa, ac, ™ – kot, ogel Diagonala je daljica, ki povezuje dve nesosednji oglišči večkotnika ali poliedra. Poljuben n-kotnik ima ^n·(n−3)₂ diagonal, saj iman-kotniknoglišč in iz vsakega od tehnoglišč gren−3 diagonal, vsaka pa je šteta dvakrat. [1], [2], [3], [6]

• Primer: 7-kotnik ima tako ^7·(7−3)₂ = 14diagonal.

Slika 19: Diagonale v sedemkotniku.

Diameter: gr. d´ıa – s, z, po, skozi + gr. m´etron, tä – mera, merilo

Diameter ali premer je daljica, ki gre skozi središče kroga ali sfere, na krožnici povezuje dve nasprotni točki. Premer kroga je tudi najdaljša tetiva, običajno ga označimo s črko d. Diameter kroga je dvakrat večji od polmera kroga d = 2r. V metričnem prostoru (M, d) lahko vpeljemo diameter poljubne neprazne množice A (A⊆M)[1], [2], [3], [6]:

diam(A) = sup{d(x, y) :x, y∈A}. (8)

Slika 20: Premer ali diameter.

Diokles: gr. Diokl c

Diokles je bil grški matematik in geometer, živel je okoli leta 200 pr. n. št. Znan je po delu o stožnicah, poleg tega se je ukvarjal tudi s podvajanjem kocke, kar je rešil z geometrijsko krivuljo, imenovano cisoida (gr. kissìc– bršljan). Z uporabo stožnic je želel rešiti problem delitve krogle z ravnino. [2], [3], [37]

Slika 21: Diokles. [37]

Disk: gr. d´ıskoc, å – disk, okrogla plošča

Disk je okroglo ploščato telo. Množica vseh točk, ki ležijo na krogu ali v njem, je disk ali zaprt disk. Množica vseh točk, ki ležijo znotraj kroga, je odprt disk. [2], [3]

E

Elipsa: gr. êlleiyic, ewc, ™ – pomanjkanje, nedostatek, napaka, krivda

Elipso štejemo med krivulje 2. reda, in sicer med stožnice. Krivuljo dobimo, če presekamo stožec z ravnino pod kotom, ki je manjši od naklonskega kota stranice stožca.

Slika 22: Presekani stožec, kjer dobimo elipso. [7]

Elipsa je množica točk v ravnini, katerih vsota razdalj od izbranih točk F₁ in F₂ (gorišč) je konstantna:

r₁+r₂ = 2a. (9)

Pri temr1 predstavlja razdaljo točke na elipsi od prvega,r2 pa razdaljo od drugega gorišča,apa veliko polos elipse.

Slika 23: Elipsa.

Razdalja od točkeA do točke C se imenuje velika os elipse, razdalji od B pa do D pa mala os elipse. Točka 0 predstavlja središče oziroma center elipse. Razdalji od izhodišča do točkeAin od izhodišča do točkeC, ki ju označimo za, imenujemo veliki polosi elipse. Razdalji od izhodišča do točke B in od izhodišča do točke D, ki ju označimo zb, imenujemo mali polosi elipse. Točke A, B, C, D predstavljajo temena elipse.

Elipsa ima dve gorišči na abscisni osiF1(−e,0)inF2(e,0), kjereimenujemo linearna ekscentričnost. S tem predpostavimo, da sta gorišči zaeoddaljeni od izhodišča. Li- nearno ekscentričnost izračunamo z izrazom

e² =a²−b². (10)

Včasih se zgodi, da ima elipsa gorišči na ordinatni osi. Takrat je b > ain linearna ekscentričnost je dana s formulo

e² =b²−a². (11)

Gorišči imata koordinati F1(0,−e) in F2(0, e). Elipsa je simetrična krivulja (ima dve simetrijski osi), za katero velja, da je vedno bolj sploščena, čim večja je njena linearna ekscentričnost. Elipsa je vedno bolj podobna krožnici, kadar se linearna eks- centričnost približuje nič. Razmerjeemed linearno ekscentričnostjo in veliko polosjo se imenuje numerična ekscentričnost elipse, ki je vedno na intervalu (0,1). Numerična ekscentričnost se izračuna po naslednji formuli:

ε= e a =

r 1− b²

a². (12)

Enačba elipse s središčem v izhodišču se glasi x²

a² +y²

b² = 1, (13)

če pa jo premaknemo za vektor~v= (p, q), dobimo enačbo premaknjene elipse (x−p)²

a² +(y−q)²

b² = 1. (14)

Parametrična oblika enačbe elipse je x=acost,y =bsint,0≤t < 2p. Formulo za ploščino elipse je objavil Galilejev učenec Bonaventura Cavalieri. Glasi se

S(E) =πab. (15)

To lahko izračunamo s pomočjo integrala:

x² a² +y²

b² = 1, y=b·

r 1− x²

a².

Pri izračunu potrebujemo še substitucijo:

x

a = cost x = a·cost dx = −a·sint dt 1−x²

a² = 1−cos²t= sin²t.

Spremenimo meji pri integralu:

x= 0, t= π 2, x=a, t= 0.

S(E1) predstavlja četrtino elipse, ki je omejena z zgornjimi mejami.

S(E) = 4S(E1) =

= 4 Z a

0

b r

1−x² a²dx

= 4b Z a

0

r 1−x²

a² dx=

= −4ba Z 0

π 2

p

sin²t·sint dt=

= 4ab Z ^π

2

0

sin²t dt=

= 4ab Z ^π

2

0

1

2·(1−cos 2t)dt=

= 2ab·π 2 =

= πab.

Zanimivosti:

Če doma želimo narediti npr. vrt v obliki elipse, si lahko pomagamo tako, da vza- memo dva količka in ju na določeni razdalji zapičimo v tla. Ta dva količka predsta- vljata gorišči elipse(F1 inF2), okoli njiju navežemo vrvico. Vzamemo tretji količek, okoli tega navežemo vrvico, ki povezuje prva dva količka. S tretjim količkom se nato gibamo v smeri urinega kazalca ali v nasprotni smeri, pri tem pa moramo paziti, da je vrvica ves čas napeta. [1], [2], [3], [7], [11], [20], [21], [22]

Slika 24: Izdelava vrta v obliki elipse.

V literarni teoriji elipsa pomeni izpust oziroma izpuščanje kakega stavčnega člena, ki ga lahko sami dopolnimo. Največkrat najdemo izpust ali elipso v pregovorih zaradi jedrnatega sloga.

• Primer: Ti očeta do praga, sin tebe čez prag. [15], [56]

Elipsoid: gr. êlleiyic, ewc, ™ – pomanjkanje, nedostatek, napaka, krivda + gr.

eid c – v obliki

Vrtenje elipse okrog ene osi v trirazsežnem prostoru povzroči nastanek nove ploskve drugega reda, ki ji pravimo elipsoid. V kartezičnem koordinatnem sistemu ima elip- soid naslednjo enačbo:

x² a² + y²

b² +z²

c² = 1. (16)

Središče elipsoida predstavlja hkrati središče simetrije. Konstantea,b in c so pozi- tivna števila, ki določajo obliko elipsoida.

Slika 25: Elipsoid. [3]

Med elipsoide se štejejo tudi posebni primeri. Kadar je a=b=c, dobimo sfero ali oblo. Kadar sta dve osi enaki, se nastala ploskev imenuje sferoid. Med sferoide šte- jemo sploščeni (a=b > c) in podolgovati sferoid (a=b < c). Prvi ima obliko diska, drugi pa žoge za ragbi. Kadar ima elipsoid tri različne polosi, navadno vzamemo a > b > c, imenuje se triosni elipsoid. [1], [2], [3], [11], [12]

Prostornina elipsoida je

V = 4

3πabc. (17)

Slika 26: Sfera ali obla. [23]

Slika 27: Sploščeni sferoid. [24]

Slika 28: Podolgovati sferoid. [24]

Epicikloida: gr. ep´ı – pri, na, poleg, nad + gr. kukloeid c – okrogel

Epicikloida je ravninska krivulja, nastane pri spremljanju izbrane točke na prvi krožnici, ki se brez drsenja vrti po zunanjosti druge fiksne krožnice. Krivulja, ki nastane, je poseben primer rulete. Parametrična enačba epicikloide je

x(θ) = (R+r) cosθ−rcosR+r r θ

, (18)

y(θ) = (R+r) sinθ−rsin

R+r r θ

, (19)

kjer je r polmer manjše krožnice, R = kr (polmer večje krožnice), θ je kot med x osjo in premico skozi center prve krožnice. Parametrično obliko lahko tako zapišemo tudi drugače:

x(θ) =r(k+ 1) cosθ−rcos((k+ 1)θ), (20) y(θ) =r(k+ 1) sinθ−rsin((k+ 1)θ), (21)

Epicikloido je grški matematik Apolonij iz Perga uporabil za predstavitev gibanja planetov.

Kadar jekcelo število, potem je krivulja zaprta in ima natančno k ostrih kotov.

Slika 29: Epicikloida, kjer je k= 2. [39]

Slika 30: Epicikloida, kjer je k= 4. [39]

Če jekracionalno število (k= ^a_b), potem ima krivulja alokov.

Slika 31: Epicikloida, kjer je k= 2,1. [39]

Epicikloida z enim lokom se imenuje kardioida (R=r). [2], [3], [39]

Slika 32: Epicikloida, kjer je k= 1. [39]

Evklid: gr. EÎkleØdhc

Evklid (živel je med letoma 365 in 300 pr. Kr.) je bil eden največjih grških ma- tematikov. Bil je Platonov učenec, ki je deloval v Aleksandriji. O njegovem življenju je zanesljivo to, da je učil na slavni aleksandrijski univerzi Museum. Še danes pa je znan njegov rek: „V matematiko ne vodijo kraljevske poti.“

Evklid je najtesneje povezan z geometrijo, vsa njegova dela so izšla v 13 knjigah z naslovom StoiqeØa, kar se prevaja z Elementi. Elementi so poleg Biblije knji- ge, ki so jih v zgodovini zahodnega sveta največkrat proučevali in tiskali. Evklidovi Elementi imajo strogo logično zgradbo, in sicer se vsaka knjiga začne s spiskom definicij izrazov, ki se potem uporabljajo v tej knjigi. Prve štiri knjige obravnavajo planimetrijo, torej proučujejo lastnosti likov v ravnini. Govorijo o osnovnih lastno- stih premic, kotov, skladnosti trikotnikov, enakosti ploščin, Pitagorovem izreku itd.

Za najtežjo Evklidovo knjigo velja deseta knjiga, ki govori o geometrijski razvrstitvi kvadratičnih iracional in njihovih korenov. To so števila v oblikip

a+√

b. O stere- ometriji govorijo zadnje tri knjige. Evklid se je ukvarjal tudi z deljivostjo celih števil, seštevanjem geometrijskih vrst in s praštevili. Pomemben je tako imenovani Evkli- dov algoritem, s katerim poiščemo največji skupni delitelj danih celih števil, poleg

tega mu pripada tudi izrek o neskončno mnogo praštevil. Po njem se imenuje Ev- klidov izrek, ki pravi, da je kvadrat katete v pravokotnem trikotniku enak produktu hipotenuze in pravokotne projekcije te katete na hipotenuzo: [1], [2], [6], [9], [10]

a² =a₁·c, (22)

b² =b1·c. (23)

Slika 33: Evklidov izrek.

Slika 34: Evklid. [25]

Slika 35: Ohranjeni fragment Evklidovih Elementov. [25]

Slika 36: Elementi. [26]

G

Geometrija: gr. gewmetr´ıa, ac, ™ – zemljemerstvo, geometrija, iz gr. g¨, g¨c, ™ – zemlja + gr. metr´ıa, ac, ™ – merjenje

Geometrija je veja matematike, ki se ukvarja s proučevanjem prostora in z oblikami ter velikostmi različnih likov in teles v prostoru. Predstavlja eno izmed najstarejših vej, ki se je pred več tisočletji pojavila v Egiptu, Mezopotamiji, Indiji in na Kitaj- skem. V teh krajih so reke večkrat poplavile, s tem pa so se zbrisale meje posameznih obdelovalnih območij. Tako so morali tamkajšnji prebivalci ponovno postaviti meje, kar je povzročilo ponovno merjenje, zarisovanje in računanje.

Geometrija se je v stari Grčiji začela močno razvijati po 7. st. pr. Kr. V te kraje so jo iz Egipta prinesli trgovci. Od 5. st. pr. Kr. se je v geometriji poja- vila sprememba, saj so grški matematiki uvedli abstrakcijo. Pomembna postaneta dva pojma, in sicer pojem trditve in njenega strogega dokaza. Tako so postali ge- ometrijski rezultati natančni in verjetni. Geometrija je postala veda o abstraktnih strukturah.

Okoli 300 let pr. Kr. je v Aleksandriji ustvarjal matematik Evklid. Evklid je zbral dotedanje znanje geometrije in ga logično usklajeno predstavil ter objavil v 13 knjigah z naslovomElementi. V šolah se učimo geometrijo, ki je zelo podobna Evklidovemu pristopu. Evklidska geometrija vključuje pojme, kot so točka, premi- ca, krožnica, večkotniki, stožnice itd. Zajema poglavja planimetrije, stereometrije in trigonometrije.

V 19. st. se je pojavila tako imenovana neevklidska geometrija, ki je temeljila na drugačnih osnovah kot evklidska geometrija. Nikolaj Ivanovič Lobačevski in János Bolyai sta odkrila hiperbolično geometrijo, Bernhard Riemann pa eliptično geometrijo. Hiperbolična geometrija temelji na tem, da skozi dano točko T, ki ne leži na premicip, poteka neskončno mnogo vzporednic k premicip, medtem ko elip- tična geometrija pravi, da vzporednice ne obstajajo.

Slika 37: Nikolaj Ivanovič Lobačevski. [27]

Slika 38: János Bolyai. [28]

Slika 39: Bernhard Riemann. [29]

Z analitično geometrijo se je ukvarjal René Descartes. Zelo dolgo časa je bila ge- ometrija ločena od aritmetike, leta 1637 pa je Descartes odkril povezavo med njima in vpeljal kartezični koordinatni sistem. Beseda kartezični izhaja od latinizirane oblike priimka Descartes: Cartesius. Koordinatni sistem omogoča, da so točke pred- stavljene s števili, premice in krivulje pa z enačbami. Leonhard Euler je v 18. st.

premišljeval o posplošitvi evklidske geometrije. Preučeval je afino geometrijo, ki se ukvarja predvsem s problemom kolinearnosti in ne z merjenjem dolžin in kotov.

Iz afine geometrije izhaja projektivna geometrija, temelje ji je postavil Gérard De- sargues. Projektivna geometrija zajema evklidsko in neevklidsko geometrijo.

Zanimivosti:

Nikolaj Ivanovič Lobačevski je bil ruski matematik. Že kot osemnajstletni je magi- striral iz matematike in fizike, nato pa je začel predavati na kazanski univerzi. Bil je rektor univerze, kasneje so ga odstavili s položaja in mu prepovedali možnost pre- davati. To ga je tako prizadelo, da se mu je zdravstveno stanje poslabšalo, tako da je umrl popolnoma slep. Kazanska univerza od leta 1897 podeljuje medaljo Lobačevskega za delo na področju geometrije. Po njem se imenuje tudi krater na Luni.

János Bolyai je bil madžarski matematik. Njegov oče Farkas je bil prav tako mate- matik, ki se je ukvarjal z dokazovanjem Evklidovega petega postulata. János je znal devet tujih jezikov, med njimi tudi kitajščino in tibetanščino. Po njem se imenuje univerza v mestu Cluj v današnji Romuniji in asteroid 1441 ter krater na Luni. Iz njegovega življenja se ni ohranil noben njegov portret, objavljena je le slika s poštne znamke, ki jo je izdala madžarska pošta. [1], [2], [3], [9], [10], [30], [31]

H

Heptagon: gr. ápt´a – sedem + gr. gwn´ıa, ™ – kot, ogel

Heptagon štejemo med večkotnike, ki ima sedem stranic in sedem kotov. Vse strani- ce in vsi koti so si med seboj skladni. Koti v heptagonu merijo ^5π₇ radianov, kar je 128,5714286 stopinj. [1], [3], [40]

Slika 40: Heptagon.

Heron: gr. VHrwn

Heron je bil starogrški matematik, geometer, fizik in inženir, živel je v času okrog leta 62 n. št. Bil je eden zadnjih učenjakov v Aleksandriji, napisal je več del, med njimi je znanoM etrica. V delu govori, kako izmeriti obseg stožca, prizme, piramide, v geometriji je znan po enačbi za izračun ploščine trikotnika z njegovimi stranicami.

Enačba se glasi:

S=p

s(s−a)(s−b)(s−c), (24)

kjer jes

s= a+b+c

2 . (25)

Ukvarjal se je tudi z optiko. Njegovo najbolj znano delo je P neumatica, v kateri

opisuje okrog sto mehanskih naprav. [1], [3], [41]

Slika 41: Heron. [41]

Hiperbola: gr. Íperbol , ™ – prehod, prelaz, vrhunec, iz gr. Íper – nad, čez, onkraj + gr. ballw´ – mečem

Hiperbolo štejemo med krivulje 2. reda, prav tako kot elipso med stožnice. Krivuljo dobimo, če presekamo dvojni stožec s skupnim vrhom z ravnino pod pravim kotom glede na osnovno ploskev.

Slika 42: Presekana stožca, kjer dobimo hiperbolo. [7]

Hiperbola je množica točk v ravnini, katerih absolutna vrednost razlike razdalj od izbranih točkF₁ in F₂ (gorišč) je konstantna:

|r₁−r₂|= 2a, (26)

kjerr₁ predstavlja polmer prve krožnice,r₂ polmer druge krožnice,apa polos hiper- bole.

Slika 43: Hiperbola.

TočkiAdo točkeB označujeta temeni hiperbole. Razdalja od izhodišča in do točke B oz. do točke A je glavna ali realna polos, ki jo označimo z a. Drugi dve polosi imenujemo imaginarni polosi, ki ju označimo zb.

Hiperbola ima na abscisni osi dve goriščiF₁(−e,0)inF₂(e,0), kjereimenujemo line- arna ekscentričnost. S tem predpostavimo, da sta gorišči zaeoddaljeni od izhodišča.

Linearno ekscentričnost izračunamo z izrazom

e² =a²+b². (27)

Enačba hiperbole v središčni legi se glasi

x² a² −y²

b² = 1, (28)

če pa jo premaknemo za vektor~v= (p, q), dobimo enačbo premaknjene hiperbole (x−p)²

a² −(y−q)²

b² = 1. (29)

Včasih se zgodi, da ima hiperbola gorišči na ordinatni osi. To se zgodi, kadar ima hiperbola naslednjo enačbo:

x² a² −y²

b² =−1. (30)

Kadar ima hiperbola enaki polosia=b, pravimo, da je hiperbola enakoosa. [1], [2], [3], [7], [20]

Zanimivost:

V literarni teoriji hiperbola pomeni pretiravanje, pretirano trditev ali primero.

• Primer: Postal je tak fant, da bi gore premikal. [7], [15]

Hiperboloid: gr. Íperbol , ™ – prehod, prelaz, vrhunec,

iz gr. Íper – nad, čez, onkraj + gr. ballw´ – mečem + gr. eid c – v obliki Hiperboloid je v trirazsežnem geometrijskem prostoru telo, ki nastane z vrtenjem hiperbole okoli glavne ali stranske osi. Tako dobimo dva različna primera hiper- boloida, to sta enodelni in dvodelni hiperboloid. Enodelni hiperboloid ima naslednjo enačbo:

x² a² + y²

b² −z²

c² = 1. (31)

Slika 44: Enodelni hiperboloid. [42]

Dvodelni hiperboloid ima enačbo:

x² a² +y²

b² −z²

c² =−1. (32)

Slika 45: Dvodelni hiperboloid. [42]

Zanimivost:

Enodelni hiperboloid se večkrat uporablja tudi v gradbeništvu za konstrukcije zgradb, ki jih imenujemo hiperboloidne strukture. Primer takih zgradb so na primer hladilni in vodni stolpi. Zgrajeni so v obliki hiperboloida, saj je njegova površina manjša in se tako s tem porabijo manjše količine gradbenega materiala.[1], [2], [3], [42]

Slika 46: Vodni stolp – prva hiperboloidna struktura (Rusija 1896). [42]

Hipotenuza: gr. Ípote´ınw – razpenjam, molim nasproti

Hipotenuza je najdaljša stranica v pravokotnem trikotniku. Leži nasproti pravemu kotu, po navadi jo označimo sc. Stranici poleg hipotenuze imenujemo kateti. Dolžino hipotenuze lahko izračunamo iz znanih katet ain b s pomočjo Pitagorovega izreka.

[1], [2], [3]

Slika 47: Hipotenuza.

Hiparh: gr. VIpparqoc

Hiparh je starogrški matematik, astronom in geograf, živel je med letoma 190 in 120 pr. Kr. Znan je po tem, da je odkril modele za gibanje Sonca in Lune, bil je prvi, ki je razvil trigonometrične tabele. To znanje mu je prišlo prav pri napove- dovanju Sončevih mrkov. Njegovi pisni viri so večinoma izgubljeni, ohranjeno je le eno njegovo delo z naslovomRazlaga o Aratovih in Evdoksovih pojavih. [1], [2], [3], [43]

Slika 48: Hiparh. [43]

I

Izrek ali teorem: gr. je¸rhma, atoc, tì – izrek, teorem, resnica,

gr. j´eo iz gr. t´ıjhmi – postavim, določim, smatram + gr. û¨ma, atoc, tä – izraz, izrek, zakon

Podoben pomen, kot ga ima aksiom, imajo tudi izrazi izrek, lema in trditev. Vsi izreki so dokazani, logično sledijo iz aksiomov, definicij in že dokazanih izrekov oziroma trditev, izjave so pravilne. Neka trditev je neodvisna od aksiomov, če ni mogoče iz aksiomov dokazati niti pravilnosti niti nepravilnosti te trditve. [1], [2], [3], [10]

Izometrija: gr. Òsoc – enak, sličen, podoben, isti + gr. metr´ıa, ™ – merjenje Transformacija (ravnineR) je bijektivna funkcijaT:R →R. Transformaciji rečemo izometrija, če ohranja razdalje, in sicer za poljubni točkiA,B ∈ Rravnine R, velja T(A)T(B) =AB. Naj bo T izometrija ravnineR. Tedaj velja:

• T ohranja kolinearnost,

• T ohranja relacijo∗– če za kolinearne točkeP,QinR veljaP ∗ Q∗R, velja tudi T(P) ∗T(Q) ∗ T(R),

• T ohranja daljice,

• T ohranja premice,

• T ohranja vmesnost poltrakov,

• T ohranja velikost kotov,

• T ohranja trikotnike,

• T ohranja krožnice,

• T ohranja ploščine. [1], [2], [10]

OPOMBA: Znak∗ pomeni ležati med; to se pravi, da v primeruP∗Q∗R, točka Q leži med točkamaP inR.

K

Kardioida: gr. kard´ıa, ™ – srce + gr. eid c – v obliki

Kardioida ali srčnica je krivulja, ki nastane pri kotaljenju prve krožnice brez drsenja (na kateri spremljamo fiksno točko) okoli druge fiksne krožnice z enakim polmerom.

Kardioida je poseben primer epicikloide (k = 1). Enačba kardioide se v polarnih koordinatah glasi:

r=a(1 + cosϕ), (33)

kjer jeapolmer prve krožnice, ki kroži okoli druge fiksne krožnice z enakim polmerom.

Ploščino kardioide izračunamo po naslednjem postopku, kjerK1 predstavlja del kar- dioide, omejene med0 inp.

S(K) = 2S(K₁) =

= 2·1 2

Z π

0

[f(ϕ)]²dϕ=

= a² Z π

0

(1 + cosϕ)²dϕ=

= a² Z π

0

(1 + 2 cosϕ+ cos²ϕ)dϕ=

= a² Z π

0

(1 + 2 cosϕ+1

2(1 + cos 2ϕ))dϕ=

= a² Z _π

0

(3

2 + 2 cosϕ+1

2cos 2ϕ))dϕ=

= a²3 2π

=

= 3πa² 2 .

Kardioida je inverzna krivulja parabole, če je središče inverzije njeno gorišče. Če pa izberemo za središče inverzije teme parabole, dobimo Dioklesovo cisoido, ki je prikazana na sliki 49. [1], [2], [3], [11], [44]

Slika 49: Dioklesova cisoida. [44]

Kateta: gr. kaj´ıhmi – spuščam dol

Kateti sta stranici v pravokotnem trikotniku, ki oklepata pravi kot. To sta kraj- ši stranici v pravokotnem trikotniku, po navadi ju označimo z ain b. Kateti ležita

nasproti obeh manjših ostrih kotov. [1], [2], [6], [32]

Slika 50: Kateti.

L

Lema: gr. l mma, atoc, tä – dohodek, dobiček, korist

Lema ima podoben pomen, kot ga ima izrek in trditev. Več je napisano pod pojmom Izrek. [1], [2], [10]

• Primer: Če veljaC∗A∗B in jeDv notranjosti kota∠BAE, jeEv notranjosti kota ∠DAC. [10]

OPOMBA: Znak∗ pomeni ležati med; to se pravi, da v primeru C∗A∗B, točka A leži med točkamaC inB.

Lemniskata: gr. lemn´ıskoc, å – trak na kroni zmagovalcev

Lemniskata je krivulja, ki ima v kartezičnih koordinatah naslednjo obliko: