V tem poglavju si bomo ogledali nekaj razredov funkcij, pri ˇcemer se bomo naj-bolj posvetili absolutno zveznim funkcijam in njihovi povezavi z integralom. Predsta-vljene pa bodo tudi zvezne, enakomerno zvezne in Lipschitzove funkcije ter funkcije z omejeno variacijo. Za laˇzjo predstavo o povezavi med prej naˇstetimi razredi funkcij si oglejmo naslednje vsebovanosti (definicijsko obmoˇcje je pri tem kompaktno):
zvezno odvedljive funkcije⊂ Lipschitzove⊂ absolutno zvezne ⊂funkcije z omejeno variacijo ⊂ skoraj povsod odvedljive funkcije ⊂ zvezne funkcije
Poleg same obravnave funkcij bo pokazano tudi, da vsebovanosti, kot so navedene zgoraj, res drˇzijo. Glavna vira poglavja sta [1] in [7].
4.1. Zvezne in Lipschitzove funkcije
Definicija 4.1. Funkcija f : D→R je zvezna v toˇcki a ∈D, ˇce za vsak > 0 obstajaδ >0, tako je da je|f(x)−f(a)|< , ˇce je le|x−a|< δ. Funkcijaf :D→R je zvezna na mnoˇzici D, ˇce je zvezna v vsaki toˇcki mnoˇzice D.
Za funkcije, ki so zvezne na svojem definicijskem intervalu, reˇcemo le, da so zvezne, same mnoˇzice Dpa pri tem ne omenjamo. V nadaljevanju se bo torej pojem zvezna funkcija nanaˇsal na funkcijo, zvezno na njenem definicijskem intervalu.
Definicija 4.2. Funkcija f : D → R je enakomerno zvezna na D, ˇce za vsak > 0 obstaja δ > 0, tako je da je |f(x)−f(y)| < za vsaka x, y ∈ D, za katera velja|x−y|< δ.
Kakˇsna je razlika med zvezno in enakomerno zvezno funkcijo? Iz definicije 4.1 vidimo, da je δ odvisen od . Za enakomerno zvezno funkcijo pa velja, da obstaja δ, ki je dober za vsak x. Vsaka funkcija, ki je enakomerno zvezna na D, je seveda tudi zvezna naD, medtem ko obratno velja le v primeru, ko je definicijsko obmoˇcje kompaktno.
Izrek 4.3. Naj bo f : K → R zvezna, kjer je K kompaktna. Potem je f tudi enakomerno zvezna.
Primer4.4. Funkcijaf :R→R, f(x) =x2 je zvezna, ni pa enakomerno zvezna.
Za enakomerno zveznost ˇzelimo, da obstajaδ, ki ustreza vsakemux. Izberimo= 1,
δpa naj bo poljubno pozitivno ˇstevilo. Za poljubenxnaj velja ˇse y=x+δ2, torej je
|x−y|= δ2 < δ. Da je funkcija enakomerno zvezna, mora veljati ˇse|f(x)−f(y)|< .
|f(x)−f(y)|=x2−(x+ δ
2)2 =δx+δ2 4 > δx.
Ce jeˇ x > 1δ, velja
|f(x)−f(y)|> = 1.
Nobenδ torej ni primeren za in funkcija f(x) = x2 ni enakomerno zvezna.
Se en od razredov funkcij, ki jih obravnavamo tekom ˇstudija, so Lipschitzoveˇ funkcije. Funkcija f : D → R je Lipschitzova na D, ˇce obstaja taka konstanta C >0, da velja
|f(x)−f(y)| ≤C|x−y|
za vsaka x, y ∈D.
Izrek 4.5. Ce je funkcija Lipschitzova naˇ D, je na D tudi enakomerno zvezna.
Obratno ne velja, saj lahko najdemo primer funkcije, ki je enakomerno zvezna, ni pa Lipschitzova.
Primer 4.6. Primer take funkije je korenska funkcija, torej f(x) = √
x, kjer je f : [0,1] → R. Ta funkcija je enakomerno zvezna, saj je zvezna in definirana na kompaktnem intervalu. Hitro lahko pokaˇzemo, da korenska funkcija res ni Lipschi-tzova. Da je funkcija Lipschitzova, mora veljati|f(x)−f(y)| ≤C|x−y|. Vzemimo kary= 0 in dobimo
|f(x)| ≤C|x|
za vsakx in zato bi moralo veljati tudi
√1 x ≤C
za vsakx. Konstanta C, za katero bi neenakost veljala, ne obstaja in funkcija zato ni Lipschitzova.
Izrek 4.7. Naj bo f zvezna funkcija na [a, b] in obstaja njen odvod f0, omejen na (a, b). Potem je f Lipschitzova.
Dokaz. Naj bo |f0(x)|< M za vsak x ∈(a, b) in > 0. Naj bo Pn
i=1|f(di)− f(ci)|, pri ˇcemer je [ci, di] za 1≤i≤n konˇcen nabor disjunktnih intervalov na [a, b]
in velja Pn
i=1|di−ci|< M . Potem velja:
n
X
i=1
|f(di)−f(ci)|=
n
X
i=1
|f(di)−f(ci)|
|di−ci| |di−ci|.
Po izreku o povpreˇcni vrednosti1 vemo, da obstajaxi ∈[ci, di] za vsaki, tako da je
|f(di)−f(ci)|
|di−ci| =f0(x)< M.
Zapiˇsemo lahko torej
n
X
i=1
|f(di)−f(ci)|
|di−ci| |di−ci| <
n
X
i=1
M|di−ci|
=M
n
X
i=1
|di−ci|
< M M
=.
Funkcija f je torej Lipschitzova na [a, b].
Primer4.8. Odvod korenske funkcije na intervalu [0,1] ni omejen, saj jef0(x) =
1 2√
x. Na ta naˇcin smo ˇse enkrat pokazali, da korenska funkcija ni Lipschitzova.
4.2. Funkcije z omejeno variacijo
Poleg glavnih virov poglavja je pomemben vir tega razdelka ˇse [8].
Naj bofrealna funkcija, definirana na zaprtem intervalu [a, b] inP ={x0, x1, . . . , xk} particija intervala [a, b]. Definirajmo variacijo funkcije f glede na razdelitev P kot
V(f, P) =
k
X
i=1
|f(xi)−f(xi−1)|
ter popolno variacijo funkcije f na [a, b] kot
T V(f) = sup{V(f, P)|P particija intervala [a, b]}.
Definicija 4.9. Naj bof realna funkcija na zaprtem, omejenem intervalu [a, b].
Funkcija f je funkcija z omejeno variacijo na [a, b], ˇce velja T V(f)<∞.
Lahko bi rekli, da so funkcije z omejeno variacijo funkcije, ki na doloˇcenem intervalu ne oscilirajo zelo na gosto.
Primer 4.10. Poglejmo primer funkcije, ki ima neomejeno variacijo. Defini-rajmo funkcijof na intervalu [0,1].
1Izrek o povpreˇcni vrednosti pravi, da v danem odseku gladke krivulje obstaja toˇcka, v kateri je odvod krivulje enak povpreˇcnemu odvodu intervala.
f(x) =
( xcos(π/2x) za 0< x≤1,
0 za x= 0.
Ze iz grafa lahko vidimo, da funkcija hitro naraˇsˇˇ ca in pada, predvsem ko se pribliˇzuje niˇcli.
Slika 1. Funkcija f(x).
Funkcijafje na intervalu [a, b] zvezna, a na tem intervalu nima omejene variacije.
Da se v to prepriˇcamo, si oglejmo particijoPn={0,1/2n,1/(2n−1), . . . ,1/3,1/2,1}, kjer je n naravno ˇstevilo. Potem je
V(f, Pn) = 1 + 1/2 +. . .+ 1/n.
Ker harmoniˇcna vrsta divergira, funkcija f ni funkcija z omejeno variacijo.
Primer 4.11. Ce ima funkcijaˇ f : [a, b]→R omejeno variacijo na vsakem zapr-tem podintervalu intervala (a, b), ˇse ni nujno, da ima omejeno variacijo na celotnem intervalu [a, b].
Poglejmo na primer funkcijo
f(x) = ( 1
1−x zax6= 1, 0 zax= 1.
Funkcija ima na intervalu (0,1) in prav tako na vsakem podintervalu tega intervala omejeno variacijo, saj je na tem intervalu naraˇsˇcajoˇca. Vendar ima funkcija f pri x= 1 navpiˇcno asimptoto, kar pomeni da je vsota Pk
i=1|f(xi)−f(xi−1)| lahko tudi zelo velika. Zato je T V(f) =∞ in f ni funkcija z omejeno variacijo.
Poglejmo si sedaj ˇse nekaj primerov funkcij z omejeno variacijo na celotnem zaprtem intervalu.
Primer 4.12. Naj bo f naraˇsˇcajoˇca funkcija na intervalu [a, b]. Potem je f funkcija z omejeno variacijo in velja
T V(f) = f(b)−f(a).
Da so naraˇsˇcajoˇce funkcije res funkcije z omejeno variacijo, je oˇcitno.
Primer 4.13. Naj bo f Lipshitzova funkcija na [a, b]. Potem je f funkcija z omejeno variacijo na [a, b] in velja
T V(f)< C ·(b−a),
VrednostC·(b−a) je zgornja meja mnoˇzice vseh variacij funkcijef glede na particije intervala [a, b] in zato velja V T(f)≤C·(b−a).
Da so Lipschitzove funkcije funkcije z omejeno variacijo, lahko sklepamo ˇze in-tuitivno – ˇze sama lastnost|f(x)−f(y)| ≤ C|x−y| nam pove, da je spreminjanje naklona funkcije omejeno z neko konstanto.
Izrek 4.14 (Jordanov izrek). Funkcija f je funkcija z omejeno variacijo na zaprtem in omejenem intervalu [a, b], ˇce in samo ˇce je f razlika dveh naraˇsˇcajoˇcih funkcij na[a, b].
Mnoˇzica variacij funkcije f glede na particijo intervala [a, b] je navzgor omejena z [g(b)−g(a)] + [h(b)−h(a)], torej je funkcijaf funkcija z omejeno variacijo na [a, b].
Se obratno. Naj bo funkcijaˇ f funkcija z omejeno variacijo na [a, b]. Potem lahko za vsakx∈[a, b] zapiˇsemo
f(x) = (f(x) +T V(f[a,x]))−T V(f[a,x]).
Tako funkcijax7→T V(f[a,x]) kot tudix7→f(x) +T V(f[a,x]) sta naraˇsˇcajoˇci funkciji.
S tem je izrek dokazan.
Izrek 4.15 (Lebesgueov izrek). Ce je funkcijaˇ f monotona na odprtem intervalu (a, b), je na intervalu (a, b) skoraj povsod odvedljiva.
Ce imamo torej monotono funkcijo na intervalu (a, b), potem ta funkcija mogoˇˇ ce ne bo odvedljiva le na podmnoˇzici z mero niˇc. Lebesgueov izrek, objavljen leta 1904, je eden od pomembnejˇsih izrekov v teoriji funkcij realnih spremenljivk. Dokaz lahko najdemo v [1]. Ideja dokaza je sicer, da naredimo unijo mnoˇzic
Eα,β ={x∈(a, b)|Df(x)> α > β > df(x)},
pri ˇcemer je Df(x) zgornji,df(x) spodnji odvod, α inβ pa racionalni ˇstevili. Doka-zati je potrebno, da je mera te mnoˇzice enaka 0 za vse α inβ.
Posledica 4.16. Naj bof funkcija z omejeno variacijo na zaprtem in omejenem intervalu [a, b], potem je f odvedljiva skoraj povsod na (a, b).
Dokaz. Po izreku 4.14 so funkcije z omejeno variacijo na [a, b] le funkcije, ki so razlika dveh naraˇsˇcajoˇcih funkcij. Po Lebesguovem izreku sta ti dve naraˇsˇcajoˇci funkciji odvedljivi skoraj povsod na (a, b), zato je tudi funkcija f odvedljiva skoraj
povsod na (a, b).
4.3. Absolutno zvezne funkcije
Zveznost je pojem matematiˇcne analize, s katerim ˇzelimo formalizirati princip, kadar majhne spremembe vhodnih podatkov pri funkciji povzroˇcijo le majhne spre-membe v rezultatu. Absolutno zveznost lahko razumemo kot poostritev pojma zveznosti ter enakomerne zveznosti, prav tako pa so absolutno zvezne funkcije tudi funkcije z omejeno variacijo in zato skoraj povsod odvedljive. Poleg virov, omenjenih na zaˇcetku poglavja, je pomemben vir tega razdelka [9].
Definicija 4.17. Funkcija f : D → R je absolutno zvezna, ˇce za vsak > 0 obstajaδ >0, da za poljubno konˇcno druˇzino paroma disjunktnih odprtih intervalov (ak, bk), k = 1,2, ..., r v [a, b] iz Pr
k=1bk−ak < δ sledi Pr
k=1|f(ak)−f(bk)|< .
Slika 2. Funkcija f(x) = √ x.
Primer 4.18. Funkcija f(x) =√
x je absolutno zvezna na [0,1].
Izrek 4.19. Naj bo f absolutno zvezna funkcija na [a, b]. Potem je f funkcija z omejeno variacijo na[a, b]. Poslediˇcno je f na [a, b] skoraj povsod odvedljiva.
Dokaz. Naj bo f asbolutno zvezna in naj bo P particija intervala [a, b] na N zaprtih intervalov [ck, dk]Nk=1, z dolˇzino krajˇso od δ. Po definiciji δ v absolutni zveznosti funkcijef, je oˇcitno, da je
T V(f[ck,dk])≤1 za 1≤k≤n. Potem je
T V(f) =
N
X
k=1
T V(f[ck,dk])≤N.
Funkcija f je torej funkcija z omejeno variacijo.
Da je f skoraj povsod odvedljiva, nam pove posledica 4.16.
Izrek 4.20. Ce je funkcijaˇ f absolutno zvezna, je f tudi enakomerno zvezna.
Dokaz. Dokaz sledi direktno iz definicije absolutno zveznih funkcij. Za k = 1
nam opredeli ravno enakomerno zvezne funkcije.
Da obratno ne velja, torej da vsaka enakomerno zvezna funkcija ni tudi absolutno zvezna, lahko pokaˇzemo z naslednjima primeroma.
Primer 4.21 (Cantorjeva funkcija). Cantorjeva funkcija je klasiˇcen primer funk-cije, ki je enakomerno zvezna in ima omejeno variacijo, ni pa absolutno zvezna, prav tako pa se ne sklada z intuitivnim razumevanjem mere, zveznosti in tudi monoto-nosti. Cantorjeva funkcija je namreˇc zvezna in je njen odvod skoraj povsod enak 0.
Funkcija zavzame vse vrednosti med 0 in 1, kox naraˇsˇca od 0 do 1.
Konstrukcijo funkcije si lahko intuitivno predstavljamo podobno kot konstruk-cijo Cantorjeve mnoˇzice. Najprej imamo funkicijo f(x) = x na intervalu [0,1]. Ta
Slika 3. Skica Cantorjeve funkcije. Graf vˇcasih imenujejo tudi De-vil’s staircase. Vir: [9].
interval razdelimo na tri dele, naslednja funkcija pa je na srednjem intervalu kon-stantna, na prvem in tretjem intervalu pa toliko bolj strma, da je funkcija ˇse vedno zvezna. V naslednjem koraku zoper razdelimo vsak strmi interval na tri podintervale in nadaljujemo. Poglejmo, kako lahko to konstrukcijo konkretno zapiˇsemo.
Definirajmo zaporedje funkcij{fn}. Definirajmo ˇclen f0 kot f0(x) = x.
Za vsakn≥0 je funkcija fn+1 definirana z naslednjo zvezo:
fn+1(x) =
0.5fn(3x) zax∈[0,1/3),
0.5 zax∈(1/3,2/3),
0.5 + 0.5fn(3x−2) za x∈(2/3,1].
Cantorjevo funkcijo f sedaj definiramo kot f = lim
n→∞fn.
Ker je vsaka fn zvezna in gre za enakomerno konvergenco, je tudi f zvezna in enakomerno zvezna, saj je definirana na kompaktnem intervalu. Da Cantorjeva funkcija res ni absolutno zvezna, bo enostavno pokazano v naslednjem razdelku, s pomoˇcjo Osnovnega izreka integralskega raˇcuna za Lebesgueov integral.
Primer 4.22. Spomnimo se na funkcijo iz primera 4.10. Po izreku 4.19 vemo, da f ni absolutno zvezna na [0,1]. Ker je vsaka zvezna funkcija na kompaktnem intervalu enakomerno zvezna, je tudi f enakomerno zvezna na [0,1]. Funkcija f je torej ˇse en primer funkcije, ki je enakomerno zvezna, ni pa absolutno zvezna na zaprtem, omejenem intervalu.
Pokaˇzemo lahko, da je eden od razredov funkcij, za katere lahko trdimo da so absolutno zvezne, razred Lipschitzovih funkcij.
Izrek 4.23. Ce jeˇ f Lipschitzova na zaprtem, omejenem intervalu [a, b], je na [a, b] tudi absolutno zvezna.
Dokaz. Naj bo > 0 in δ = C. Naj bo (ak, bk), k = 1,2, ..., r konˇcna mnoˇzica disjunktnih intervalov, tako da je Pr
k=1bk−ak< δ. Z uporabo neenakosti, ki velja
Funkcija f je torej asolutno zvezna.
Vsaka absolutno zvezna funkcija pa ni Lipschitzova. Tak primer je ˇze prej ome-njena korenska funkcija. Na intervalu [0,1] je namreˇc, ko se x probliˇzuje izhodiˇsˇcu, vedno bolj strma.
Izrek 4.24. Ce je realna funkcijaˇ f absolutno zvezna, je absolutno zvezna tudi
|f|. Ker jef abolutno zvezna, je lahko vsotaP∞
i=1|f(di)−f(ci)|poljubno majhna. Torej je taka tudiP∞
i=1||f(di)| − |f(ci)||in je tudi |f| absolutno zvezna.
Pri Lipschitzovih funkcijah smo povedali, da je funkcija Lipschitzova, ˇce je na [a, b] zvezna in je njen odvod omejen na (a, b). ˇCe je odvod funkcije omejen, lahko trdimo tudi, da je funkcija absolutno zvezna.
Naj bo f absolutno zvezna na [c, d] ing absolutno zvezna na [a, b], tako da velja g([a, b])⊆[c, d]. Za funkcijif in g velja, da sta zvezna tudi njuna vsota in produkt, za njun kompozitum f ◦g pa ne moremo trditi, da je zagotovo absolutno zvezen, kar lahko pokaˇzemo z naslednjim primerom.
Primer 4.25. Oglejmo si dve absolutno zvezni funkciji f(x) = √
x in g(x) = ta funkcija pa ni absolutno zvezna.
Vseeno pa lahko s pomoˇcjo raziskovanja kompozituma dveh absolutno zveznih funkcij pridemo do naslednjih rezultatov.
Izrek 4.26. Naj bo f Lipschitzova na [c, d] in g absolutno zvezna na [a, b], tako da velja g([a, b])⊆[c, d]. Potem je f◦g absolutno zvezna. ˇSe veˇc, velja tudi, da je
(f◦g)0(t) =f0(g(t))g0(t) za skoraj vsak t∈[a, b].
Izrek 4.27. Naj bo g absolutno zvezna funkcija na [c, d] in h absolutno zvezna funkcija na [a, b], tako da velja h([a, b])⊆ [c, d]. Potem je (g◦h)h0 integrabilna na [a, b] in za vsak α, β ∈[a, b] velja
Z h(β) h(α)
g(x)dx= Z β
α
g(h(t))h0(t)dt.
Dokaza zgornjih izrekov lahko najdemo v [10]. Drugi izrek sicer sledi iz osnov-nega izreka integralskega raˇcuna, ki bo predstavljen v naslednjem razdelku, govori namreˇc prav o zamenjavi spremenljivk pri raˇcunanju Lebesgueovega integrala.
4.4. Osnovni izrek integralskega raˇcuna za Lebesgueov integral Poglejmo si sedaj absolutno zvezne funkcije ˇse v povezavi s pojmom integracije.
Povezavo med absolutno zveznostjo in Lebesgueovim integralom nam opiˇse Osnovni izrek integralskega raˇcuna za Lebesgueov integral. Izkaˇze se, da so ravno absolutno zvezne funkcije tiste, za katere velja osnovni izrek integralskega raˇcuna. Glavna vira razdelka sta [5] in [11]. Preden se posvetimo Osnovnemu izreku integralskega raˇcuna, si oglejmo ˇse dva izreka o konvergenci, ki ju bomo potrebovali v naslednjih razdelkih, to sta izreka o monotoni in dominantni konvergenci.
Izrek 4.28 (Izrek o monotoni konvergenci). Naj bo {fn} zaporedje merljivih funkcij na D, za katere velja f1 ≤ f2 ≤ . . . ≤ fn. Potem za merljivo funkcijo f =limn→∞fn velja
Z
f dx= lim
n→∞
Z
fndx.
Izrek 4.29 (Izrek o dominantni konvergenci). Naj bo {fn} zaporedje merljivih funkcij na D, ki po toˇckah konvergira proti merljivi funkciji f. ˇCe obstaja integra-bilna funkcijag, da je |fn| ≤g za vse n ∈N, potem je f integrabilna in velja
n→∞lim Z
|fn−f|dx= 0 in
n→∞lim Z
fndx = Z
f dx.
Izrek 4.30 (Osnovni izrek integralskega raˇcuna za Lebesgueov integral).
V nadaljevanju bo predstavljena le ideja dokaza zgornjega izreka, ki temelji na konstrukciji zaporedja stopniˇcastih funkcij, ki konvergirajo k f0.
Za vsak n ∈ N si ogledamo particijo intervala I = [a, b], ki razdeli interval v 2n podintervalov dolˇzine (b−a)2−n. Dobimo particijo
P ={xn,0, xn,0, xn,0, . . . , xn,2n}, pri ˇcemer je xn,k=a+k(b−a)2−n zak = 0,1, . . . ,2n.
Sledi konstrukcija stopniˇcaste funkcije gn : [a, b)→R, pri ˇcemer naj bo x∈[a, b) in k∈ {0,1,2, . . . ,2n−1}, da velja
x∈[xn,k, xn,k+1).
Funkcijo gn definiramo kot
gn(x) = f(xn,k+1)−f(xn,k)
xn,k+1−xn,k = 2n
b−a[f(xn,k+1)−f(xn,k)].
Ob sami konstrukciji zaporedja funkcij gn opazimo, da je
n→∞lim gn(x) =f0(x),∀x∈[a, b]\N,
pri ˇcemer je N ⊂ I mnoˇzica z mero niˇc, tako da odvod f0(x) obstaja za vsak x∈I \N.
Za vsakn∈N lahko skonstruiramo Z b
V nadaljevanju moramo pokazati ˇse, da velja
n→∞lim
pri ˇcemer si lahko pomagamo z izrekom o dominantni konvergenci ter dodatno lemo o pribliˇzku integrala, ko je |gn| majhen. Celoten dokaz je podan v [11].
Poglejmo sedaj ˇse, kaj velja za funkcije z omejeno variacijo. Ker so absolutno zvezne funkcije razred funkcij z omejeno variacijo, je priˇcakovati manj strogo obliko Osnovnega izreka integralskega raˇcuna.
Izrek 4.31. Naj bof zvezna funkcija z omejeno variacijo na [a, b]. Potem velja Z b
a
f0(x)dx≤f(b)−f(a), ˇce je f na [a, b] naraˇsˇcajoˇca.
Da enaˇcaj v zgornji neenakosti nasploh res ne velja, lahko pokaˇzemo s pomoˇcjo Cantorjeve funkcije. Ker je odvod Cantorjeve funkcije povsod enak 0, je c0(x) = 0 na [0,1] in zato je
Z 1 0
c0(x)dx= 0<1 = c(1)−c(0).
POGLAVJE 5
Prostori L
p5.1. Definicija Lp prostora
Lp prostore vˇcasih zasledimo tudi pod imenom Lebesgueovi prostori, poimeno-vani po ˇze nekajkrat omenjenemu Henriju Lebesgueju, ˇceprav je o njih prvi pisal Riesz. V nadaljevanju si bomo ogledali definicijo teh prostorov ter dokazali nekaj lastnosti, ki veljajo zanje. Glavna vira tega poglavja sta [1] in [5].
Naj bo F nabor vseh merljivih realnih funkcij na E. Za dve funkciji iz F reˇcemo, da sta ekvivalentni, ko velja f(x) = g(x) za skoraj vsak x ∈ E, kar oznaˇcimo z f ∼= g. Ta ekvivalenˇcna relacija je refleksivna, simetriˇcna in tranzitivna in nam F razdeli na disjunktni nabor ekvivalenˇcnih razredov – oznaˇcimo z F∼=. Za funkciji f in g in njuna ekvivalenˇcna razreda [f] in [g] ter realni ˇstevili α in β definiramo linearno kombinacijoα·[f] +β·[g] kot ekvivaleˇcni razred funkcij v F, ki zavzamejo vrednostiαf +βg v toˇckah x∈E, v katerih je vrednost funkcij f ing konˇcna. Te linearne kombinacije so neodvisne od izbire predstavnika ekvivalenˇcnega razreda.
Niˇcelni element tega prostora je ekvivalenˇcni razred niˇcelne funkcije.
Definicija 5.1. Naj bo E ⊂ R in 1 ≤ p < ∞. Lp(E) definiramo kot nabor ekvivalenˇcnih razredov funkcij f, za katere je|f|p integrabilna naE.
Podmnoˇzici vektorskega prostora pravimo podprostor, ˇce je zaprt za operacijo seˇstevanja in mnoˇzenje s skalarjem, torej za linearne kombinacije. Druˇzina {Lp(E) za 1≤p <∞} je primer podprostorov prostoraF∼=.
Za 1≤p <∞ definiramo Lp(E) kot nabor ekvivalenˇcnih razredov [f], za katere je Z
E
|f|p <∞.
Ce jeˇ f ∼=g, je tudi
Z
E
|f|p = Z
E
|g|p, zato je definicija dobra.
Ker za ˇstevilia inb velja
|a+b| ≤ |a|+|b| ≤2 max{|a|,|b|}, velja tudi
|a+b|p ≤2p{|2a|,|2b|} ≤2p{|a|p +|b|p}.
Iz te neenakosti ter z upoˇstevanjem linearnosti in monotonosti integracije lahko trdimo, da ˇce sta [f] in [g] elementa prostora Lp(E) je element tega prostora tudi α·[f] +β·[g]. Lp(E) je torej linearni prostor.
Integrabilne funkcije sestavljajo podprostorL1(E), saj je L1(E) = {f :f :E →R,merljiva,
Z
E
|f|<∞},
L∞ pa definiramo kot nabor ekvivalentnih razredov [f], za katere je f v bistvu omejena. Bolj natanˇcno, [f] ∈ L∞, ˇce obstaja tak predstavnik f ∈ [f], da je f omejen.
Vpeljimo sedaj normo. Poglejmo si sploˇsno definicijo norme, potem pa ˇse, kako definiramop-normo.
Definicija 5.2. Naj bo X vektorski prostor. Preslikavo k k na X imenujemo norma, ˇce za vsaki f, g∈X in vsako realno ˇstevilo α velja:
(i) trikotniˇska neenakost: kf +gk ≤ kfk+kgk (ii) pozitivna homogenost: kαfk=|α|kfk
(iii) nenegativnost: kfk>0 in kfk= 0, ˇce in samo ˇce jef niˇcelna funkcija.
Par (X,k k) imenujemo normiran prostor.
Naj bo p ∈ [1,∞]. Lp normo ali p-to normo merljive funkcije f definiramo s predpisom:
kfkp = Z
|f|pdµ 1/p.
Poglejmo si najprej lastnost nenegativnosti za p-normo. Recimo, da imamo funkcijo, ki je na celotnem intervalu enaka niˇc, razen v eni toˇcki, kjer zavzema neko vrednost. ˇCeprav je funkcija oˇcitno neniˇcelna, bo p-norma enaka niˇc. ˇZe prej smo zapisali, da sta funkciji ekvivalentni, kadar sta enaki skoraj povsod ali z drugimi besedami, ko se razlikujeta na mnoˇzici z mero niˇc. Funkcija, ki je torej neniˇcelna le na taki mnoˇzici, je za nas pravzaprav kar niˇcelna. V nadaljevanju bomo enaˇcili pojem funkcije z ekvivaleˇcnim razredom te funkcije v F∼=.
Izrek 5.3. Naj bo p ∈ [1,∞]. Potem je Lp vektorski prostor funkcij in za f, g∈Lp in za vsako ˇstevilo α veljata relaciji:
kf+gkp ≤ kfkp +kgkp
in
kαfkp =|α|kfkp.
Prvi relaciji pravimo tudi neenakost Minkowskega. Leta 1926 jo je v svoji knjigi predstavil nemˇski matematik H. Minkowski.
Dokaz. Da je Lp vektorski prostor, smo ˇze spoznali.
Zap <∞ lahko trikotniˇsko neenakost izpeljemo na naslednji naˇcin:
kf+gkp =
Neenakost velja, ker je |x|p konveksna zap≥1.
Prav tako zap < ∞tudi enakost kαfkp =|α|kfkp velja, saj je
Enakost kαfk∞ = |α|kfk∞ zagotovo velja, kadar je α = 0, zato obravnavajmo ˇse primere, ko α 6= 0. Ker je |f(x)| ≤ kfk∞ za skoraj vsak x ∈ X, je tudi |αf(x)| ≤
|α|kfk∞ za skoraj vsakx∈X in je zato za vsakx∈X tudi kαfk∞ ≤ |α|kfk∞. Naj bo E merljiva mnoˇzica s konˇcno mero in naj bo 1≤p < q ≤ ∞. Potem je
Lq(E)⊆Lp(E).
V sploˇsnem na mnoˇziciE s konˇcno mero in 1≤p < q ≤ ∞velja, da je Lq(E) pravi podprostor prostora Lp(E). Ta ugotovitev je sicer posledica H¨olderjeve neenakosti (vir: [1]).
Primer 5.4. V sploˇsnem, ko imamo E z neskonˇcno mero, med prostori Lp ne veljajo zgornje vsebovanosti. V primeru, ko je E = (1,∞) in funkcijof definirano kot
f(x) = x−12 1 + lnx
zax >1, je funkcijaf vsebovana v prostoruL2, ne pa v L1.
5.2. Polnost Lp prostorov
Poln metriˇcni prostor je prostor, v katerem je vsako Cauchyjevo zaporedje kon-vergentno. Spomnimo se, da je Cauchyjevo zaporedje v metriˇcnem prostoru M z metrikod zaporedje elementov iz M, ki ustreza Cauchyjevemu pogoju, kar pomeni, da sta si dovolj pozna ˇclena poljubno blizu. Medtem ko je vsako konvergentno za-poredje zagotovo Cauchyjevo, pa dejstvo, da je zaza-poredje Cauchyjevo, ˇse ne pomeni nujno, da je tudi konvergentno. ˇCe je normiran prostor poln, ga imenujemo tudi Banachov prostor.
Izrek 5.5. Za vsak p∈[1,∞] je LP poln prostor.
Preden dokaˇzemo zgornji izrek, si poglejmo ˇse Fatoujevo lemo, ki jo bomo upo-rabili pri dokazu.
Lema 5.6 (Fatoujeva lema). Naj bo f merljiva na E in nenegativna. Potem velja
Dokaz leme. Naj bo gk = infn≥kfn za vsako naravno ˇstevino k. Funkcije g tvorijo naraˇsˇcajoˇce zaporedje merljivih funkcij, ki po toˇckah konvergira kf. Za vsak k≤n imamogk≤fn in zaradi monotonosti integracije je
Z
Z uporabo Izreka o monotoni konvergenci, ki smo ga omenili v prejˇsnjem poglavju, in z uporabo zadnje neenakosti lahko zapiˇsemo:
Z
Direkten dokaz leme lahko bralec najde v [1], vendar je tam prikazan naˇcin
bistveno daljˇsi.
Dokaz izreka. Obravnavajmo primer za p <∞. Naj bo {fn}n∈N Cauchyjevo zaporedje v Lp. Za vsak > 0 obstaja torej tak n0, da za vse n, m ≥ n0 velja
za vse j ∈N.
absolutno konvergira za skoraj vsak x iz X. Vsoto te vrste oznaˇcimo z f(x) in s tem imamo doloˇceno funkcijo, definirano skoraj povsod na X, ki je tudi kandidat za limito Cauchyjevega zaporedja, ker je f(x) = limk→∞fnk(x) za skoraj vsakx iz X.
Prepriˇcati se moramo ˇse, da je f res iz Lp in da zapredje {fn}n∈N konvergira proti
Iz zgornje neenakosti sledi tudi, da je
kf−fnkp ≤
za vsen ≥n0, kar pomeni, da zaporedje{fn}n∈Nkonvergira protif pop-normi.
V nadaljevanju bomo pokazali, da je razred enostavnih funkcij gost v Lp. Za nabor funkcij F v Lp(E) reˇcemo, da je gost, ˇce za vsak > 0 in vsako funkcijo
po Lebesguovem izreku o dominirani konvergenci velja
n→∞lim kf −snkpp = lim
n→∞
Z
|f −sn|pdµ= 0.
Da pokaˇzemo da so enostavne funkcije goste tudi v primeru za p = ∞, naj bo f omejena funkcija, njeno zalogo vrednosti pa razdelimo na delˇcke dolˇzine . Potem bo funkcijag z vrednostjokkjer veljak≤f(x)≤(k+ 1), k∈Z,enostavna in od funkcijef oddaljena kveˇcjemu za . Poljubno blizu funkcije f torej lahko najdemo
Da pokaˇzemo da so enostavne funkcije goste tudi v primeru za p = ∞, naj bo f omejena funkcija, njeno zalogo vrednosti pa razdelimo na delˇcke dolˇzine . Potem bo funkcijag z vrednostjokkjer veljak≤f(x)≤(k+ 1), k∈Z,enostavna in od funkcijef oddaljena kveˇcjemu za . Poljubno blizu funkcije f torej lahko najdemo