UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA Pouˇ cevanje, predmetno pouˇ cevanje
GLORIA VIDMAR
FUNKCIJSKI PROSTORI, ODVOD IN INTEGRAL
MAGISTRSKO DELO
Ljubljana, 2017
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA Pouˇ cevanje, predmetno pouˇ cevanje
GLORIA VIDMAR
FUNKCIJSKI PROSTORI, ODVOD IN INTEGRAL
MAGISTRSKO DELO
Mentor: izr. prof. dr. Marko Slapar
Ljubljana, 2017
Zahvala
Hvala mentorju, izr. prof. dr. Marku Slaparju, za strokovno vodenje in nasvete ter za vloˇzen trud in ˇcas v moje magistrsko delo.
Hvala druˇzini, najprej zato, ker so mi omogoˇcili priti do tega pomembnega trenutka, potem pa za vso skrb in moralno podporo v vseh letih izobraˇzevanja.
Hvala prijateljem, ker so naredili ˇstudij zabavnejˇsi.
Hvala Juretu, ker je bil in ostaja moja najboljˇsa druˇzba na tej poti.
Povzetek
V magistrskem delu bo najprej predstavljena Lebesgueova mera. Vpeljali jo bomo preko zunanje mere z zahtevanjem pogoja ˇstevne aditivnosti. Predstavljene bodo tudi lastnosti merljivih mnoˇzic in funkcij, pri katerih bo poudarek na stopniˇcastih in enostavnih funkcijah, s katerimi lahko definiramo Riemannov in Lebesgueov integral.
Sledilo bo nekaj lastnosti Riemannovega integrala in vpeljava Lebesgueovega inte- grala, pri ˇcemer se bomo sklicevali na prej obravnavano mero in merljive funkcije.
V glavnem delu se bomo posvetili nekaterim razredom zveznih funkcij, predvsem skoraj povsod odvedljivim funkcijam, funkcijam z omejeno variacijo in absolutno zveznim funkcijam. Omenjene bodo tudi nikjer odvedljive, monotone in Lipschit- zove funkcije. Predstavila bom, kaj lahko trdimo za posamezen razred, tudi kar se tiˇce Riemannove in Lebesgueove integrabilnosti. Zadnji del bo namenjen obravnavi Lp prostorov, kjer bomo pokazali, da so ti prostori normirani, polni, in da je razred enostavnih funkcij gost podprostor prostoraLp.
Kljuˇcne besede: Lebesgueova mera, Lebesgueov integral, funkcije z omejeno va- riacijo, absolutno zvezne funkcije, Osnovni izrek integralskega raˇcuna, Lp prostori
Abstract
In this master’s thesis we first presents the Lebesgue measure, which is introduced through an outer measure satisfying the condition of countable additivity. We also discuss the properties of Lebesgue measurable sets, focusing on step functions and simple functions that can be used to define the Riemann and Lebesgue integrals.
Next we discuss the properties of the Riemann integral and introduce the Lebesgue integral, while referring to the properties of the measure and measurable functions.
The main part of the master’s thesis revolves around some classes of continuous func- tions, especially almost everywhere differentiable functions, functions with bounded variation and absolutely continuous functions. It also presents nowhere differenti- able functions, monotonic functions and the Lipschitz functions. Furthermore, we discuss the properties of these individual classes of functions, including their Ri- emann and Lebesgue integrability. The final part focuses on Lp spaces where we show that they are normed and complete vector spaces and that the class of simple functions is, in fact, a dense subspace of anLp space.
Keywords: Lebesgue measure, Lebesgue integral, functions with bounded varia- tion, absolutely continuous functions, Fundamental theorem of calculus,Lp spaces
Kazalo
Slike
Poglavje 1. Uvod 1
Poglavje 2. Mera 3
2.1. Lebesgueova mera 3
2.2. Lebesgueovo merljive mnoˇzice 5
2.3. Lebesgueovo merljive funkcije 12
Poglavje 3. Integral 17
3.1. Riemannov integral 18
3.2. Lebesgueov integral 22
Poglavje 4. Razredi funkcij 28
4.1. Zvezne in Lipschitzove funkcije 28
4.2. Funkcije z omejeno variacijo 30
4.3. Absolutno zvezne funkcije 33
4.4. Osnovni izrek integralskega raˇcuna za Lebesgueov integral 37
Poglavje 5. Prostori Lp 40
5.1. Definicija Lp prostora 40
5.2. Polnost Lp prostorov 43
Literatura 46
Slike
1 Razlika med idejo Riemannovega in Lebesgueovega integrala. 22
2 Graf funkcije f(x) = sin(x)x . 27
1 Funkcija f(x). 31
2 Funkcija f(x) =√
x. 34
3 Skica Cantorjeve funkcije. Graf vˇcasih imenujejo tudi Devil’s staircase. Vir:
[9]. 35
1 Graf funkcije f(x). 45
POGLAVJE 1
Uvod
Mera na mnoˇzici je v matematiˇcni analizi naˇcin prireditve ˇstevila vsaki ustrezni podmnoˇzici mnoˇzice, ki ga lahko intuitivno razumemo kot njeno velikost. V tem smislu je mera posploˇsitev koncepta dolˇzine, ploˇsˇcine in prostornine. Na Lebesgue- ovi meri temelji Lebesgueov integral, ki ga v ˇcasu ˇstudija ne sreˇcamo tako pogosto kot Riemannov integral. Da je funkcija f Riemannovo integrabilna, mora veljati, da je f omejena in ima mnoˇzica toˇck nezveznosti funkcije f Lebesgueovo mero 0.
Funkcija je torej Riemannovo integrabilna natanko takrat, ko je omejena in zve- zna skoraj povsod. Oˇcitno je, da niso vse funkcije Riemannovo integrabilne, taka je naprimer Dirchletova funkcija. Z Lebesgueovim integralom pa lahko izraˇcunamo integral funkcije in dobimo vrednost, ki smo jo priˇcakovali. Za razliko od Rieman- novega integrala, ki ga definiramo s pomoˇcjo stopniˇcastih funkcij, lahko Lebesgueov integral definiramo za vse enostavne funkcijef, definirane na mnoˇzici s konˇcno mero E.
V nadaljevanju se bomo posvetili razredom zveznih funkcij. Zveznost je eden od osnovnih pojmov matematiˇcne analize, s katerim ˇzelimo formalizirati princip, kadar majhne spremembe vhodnih podatkov pri funkciji povzroˇcijo le majhne spremembe v rezultatu. Eden od razredov zveznih funkcij so funkcije z omejeno variacijo. Pri raziskovanju le-teh lahko dokaˇzemo veliko lastnosti. Pokaˇzemo lahko, da so funk- cije z omejeno variacijo vedno razlika dveh naraˇsˇcajoˇcih funkcij (Jordanov izrek), Lebesgueov izrek pa nam pove, da je monotona funkcija f, definirana na odprtem intervalu (a, b), na tem intervalu skoraj povsod odvedljiva. ˇCe torej velja, da so monotone funkcije skoraj povsod odvedljive, velja, da so skoraj povsod odvedljive tudi funkcije, ki so razlika dveh naraˇsˇcajoˇcih funkcij, torej so funkcije z omejeno variacijo na zaprtem in omejenem intervalu [a, b] odvedljive skoraj povsod na (a, b).
Razred funkcij z omejeno variacijo je torej zelo velik, vendar ni teˇzko najti primer funkcije z neomejeno variacijo, pravzaprav jih lahko najdemo cel razred, vzamemo namreˇc zvezne funkcije, ki niso nikjer odvedljive [1].
Poleg funkcij z omejeno variacijo lahko mnogo zanimivih rezultatov pokaˇzemo za absolutno zvezne funkcije. Absolutna zveznost je poostritev pojma zveznosti ter enakomerne zveznosti, pokaˇzemo namreˇc lahko, da je vsaka absolutno zvezna funkcija tudi enakomerno zvezna, medtem ko obratno ne velja. Prav tako pa so
absolutno zvezne funkcije tudi funkcije z omejeno variacijo in zato skoraj povsod odvedljive. Pomemben izrek, povezan z absolutno zveznimi funkcijami, je Osnovni izrek integralskega raˇcuna za Lebesgueov integral.
V zadnjem delu se ukvarjamo s prostoriLp, opredelimo nekaj lastnosti prostora, med drugim to tudi, da gre za normiran prostor.
POGLAVJE 2
Mera
2.1. Lebesgueova mera
Mera na mnoˇzici je v matematiˇcni analizi naˇcin prireditve ˇstevila vsaki ustrezni podmnoˇzici mnoˇzice, ki ga lahko intuitivno razumemo kot njeno velikost. S tem razumevanjem je mera posploˇsitev koncepta dolˇzine, ploˇsˇcine in prostornine. Glavna vira poglavja sta [1] in [2].
Pred definicijo mere bomo definirali pojem algebre terσ-algebre za laˇzje razumevanje tako definicije mere kot njenih posameznih lastnosti.
Definicija 2.1. Druˇzino M podmnoˇzic neke mnoˇzice X imenujemo algebra, ˇce velja:
(i) A∪B je element M, ko sta njena elementa tudi A inB.
(ii) A∩B je element M, ko sta njena elementa tudi A inB.
(iii) AC je element M, ko je njen element tudiA.
Definicija2.2.AlgebroM podmnoˇzic neke mnoˇziceXimenujemoσ-algebra, ˇce je zaprta ˇstevne unije, kar pomeni: ˇce jeA1, A2. . .∈M, potem je tudi∪∞i=1Ai ∈M.
Ker je σ-algebra tudi algebra, veljajo zanjo vse lastnosti algebre, torej tudi za- prtost za presek.
Poglejmo si sedaj definicijo mere in njeni dve lastnosti, ki ju bomo veˇckrat sreˇcali tudi v nadaljevanju poglavja, in sicer ˇstevna aditivnosti in ˇstevna subaditivnost.
Definicija 2.3. Naj bo X mnoˇzica in P
σ-algebra nad mnoˇzico X. Funkcija m izP
na razˇsirjeno os realnih ˇstevil je mera, ˇce ima naslednje lastnosti:
(i) Za vsak E izP
je m(E)≥0.
(ii) Mera prazne mnoˇzice je enaka 0.
(iii) Za vsako ˇstevni nabor {Ei}∞i=1 paroma disjunktnih mnoˇzic vP velja m
∞
[
i=1
Ei
!
=
∞
X
i=1
m(Ei) Par (X,P
) imenujemo merljiv prostor, elemente iz P
pa merljive mnoˇzice.
Definicija 2.4. Ce za vsako zaporedje paroma disjunktnih merljivih mnoˇˇ zic velja
m
∞
[
i=1
Ei
!
=
∞
X
i=1
m(Ei), je meram ˇstevno aditivna.
Ce za vsako zaporedje merljivih mnoˇˇ zic velja m
∞
[
i=1
Ei
!
≤
∞
X
i=1
m(Ei), je meram ˇstevno subaditivna.
V nadaljevanju se bomo posvetili predvsem Lebesgueovo merljivim mnoˇzicam, zato si poglejmo Lebesgueovo mero in njene lasnosti. Lebesgueova mera, poimeno- vana po francoskem matematiku Henriju Lebesgueju, je naˇcin doloˇcanja mere pod- mnoˇzicam n-dimenzionalnega Euklidskega prostora. Za n = 1,2 in 3 se za dovolj lepe mnoˇzice ujema s standarnimi merami dolˇzine, povrˇsine in volumna. V realni analizi je uporabljena tudi za definicijo Lebesgueovega integrala oziroma je na pod- lagi Lebesguovega integrala definirana, kar bomo razloˇzili v naslednjih poglavjih. Mi si bomo Lebesgueovo mero ogledali le za n= 1.
Zelimo, da ima Lebesgueova meraˇ m naslednje lastnosti:
(1) Mera intervala je njegova dolˇzina. Vsak neprazen interval je Lebesgu- eovo merljiv in velja m(I) = l(I).
(2) Mera je invariantna za translacijo. Ce jeˇ E Lebesguovo merljiva,x pa je poljubno ˇstevilo, potem je translacijaE zx, to jeE+x={e+x|e∈E}
prav tako Lebesgueovo merljiva, in velja m(E+x) =m(E).
(3) Mera je ˇstevno aditivna na ˇstevni disjunktni uniji mnoˇzic. Ceˇ sta torej mnoˇzici A in B disjunktni Lebesgueovo merljivi podmnoˇzici v R, ˇ
zelimo da velja m(A∪B) = m(A) +m(B).
Poskuˇsajmo skonstruirati funkcijo, ki bo ustrezla vsem lastnostim in bo defini- rana za vsako podmnoˇzico v R, kar pomeni, da bi bile Lebesgueovo merljive vse podmnoˇzice R. Najprej skonstruiramo zunanjo mero m∗. Intuitivno si jo lahko predstavljamo kot pokritje mnoˇzice z intervali, tako da je celotna mnoˇzica vsebo- vana v njihovi uniji. Tako merljiva je torej vsaka mnoˇzica, saj vsaki mnoˇzici pri- redimo ˇstevilo med 0 in ∞. Vendar ta zunanja mera ˇse ne ustreza vsem pogojem za Lebesgueovo mero, saj ne zadoˇsˇca ˇstevni aditivnosti. Izkaˇze se, da ne moremo skonstruirati funkcije oziroma mere, ki ustreza vsem zgornjim pogojem in je defini- rana za vse mnoˇzice realnih ˇstevil. Lahko pa skonstruiramo mero na zelo bogatem razredu mnoˇzic, ki bo ustrezala zgornjim pogojem.
Kljub temu da zunanja Lebesgueova mera ne ustreza vsem ˇzelenim lastnostim, jo natanˇcneje definirajmo in si oglejmo nekatere lasnosti.
Definicija 2.5. Za vsako podmnoˇzico E iz R definiramo zunanjo Lebesgueovo merom∗E kot
m∗E = inf
E⊂S In
Xl(In),
pri ˇcemer smo vzeli infimum po vseh pokritjih mnoˇzice E s ˇstevno mnogo intervali.
Za vsako mnoˇzico realnih ˇstevil E si torej predstavljajmo ˇstevno mnogo odprtih intervalov I, ki pokrijejo mnoˇzico. Lebesgueova zunanja mera je definirana kot infimum vsote dolˇzin teh ˇstevno mnogo intervalov.
Pokaˇzimo, da je m∗ ˇstevno subaditivna. Spomnimo se, da je mnoˇzica E ˇstevna, ˇce je njena kardinalnost enaka kardinalnosti mnoˇzice naravnih ˇstevil.
Trditev 2.6. Naj bo En ˇsteven nabor mnoˇzic na R. Potem velja m∗([
En)≤X
m∗En.
Dokaz. Ce je meraˇ m∗En konˇcna za vsakn, za dani >0 ˇsteven nabor{In,i}i odprtih intervalov, za katere velja, da je En ⊂ ∪iIn,i in P
il(In,i) < m∗E + 2−n. Nabor intervalov{In,i}i je ˇsteven in pokriva ∪En. Velja naslednja neenakost:
m∗([
En)≤X
n,i
l(In,i) =X
n
X
i
l(In,i)<X
n
(m∗En+ 2−n) = X
m∗En+ Ker je >0 in poljuben, velja
m∗([
En)≤X
m∗En.
V primeru, da ima ena od mnoˇzic m∗En neskonˇcno zunanjo mero, je neenakost
oˇcitna.
2.2. Lebesgueovo merljive mnoˇzice
Ze prej smo omenili, kaj so merljive mnoˇˇ zice. V nadaljevanju se bomo posvetili Lebesgueovo merljivim mnoˇzicam, kar pomeni, da na njih lahko definiramo Lebe- sgueovo mero. Upoˇstevati moramo ˇstevno aditivnost mere, kar nam skrˇci druˇzino mnoˇzic, na katerih lahko to mero definiramo v primerjavi z zunanjo Lebesgueovo mero, ki jo lahko definiramo na vsaki mnoˇzici.
Definicija 2.7. Za mnoˇzico E ⊂ R reˇcemo, da je Lebesgueovo merljiva, ˇce za vsako mnoˇzico A velja
m∗(A) =m∗(A∩E) +m∗(A∩EC).
Trditev 2.8. Komplement mnoˇzice je merljiv natanko tedaj, ko je merljiva tudi mnoˇzica.
Dokaz. Uporabimo definicijo 2.7 za mnoˇzico EC in dobimo m∗(A) =m∗(A∩EC) +m∗(A∩(EC)C)
=m∗(A∩EC) +m∗(A∩E)
=m∗(A∩E) +m∗(A∩EC)
To velja za vsako mnoˇzico A.
Trditev 2.9. Ce za mnoˇˇ zico E velja, da je njena zunanja mera 0, je mnoˇzica E Lebesgueovo merljiva.
Dokaz. Naj bo mnoˇzica A poljubna. Velja, da je (A∩E)⊂E in zatom∗(A∩ E)≤m∗E, kar je enako 0. Velja tudi, da je (A∩EC)⊂A, in lahko zapiˇsemo:
m∗A≥m∗(A∩E) = m∗(A∩E) +m∗(A∩EC).
Ker velja enakost iz definicije 2.7, je E Lebesgueovo merljiva.
Definicija 2.10. Mnoˇzica E ima Lebesgueovo mero niˇc, ˇce je m∗A= 0.
Trditev 2.11. Ce sta Lebesgueovo merljivi mnoˇˇ zici E1 in E2, sta Lebesgueovo merljivi tudi njuna unija in njun presek.
Dokaz. Imejmo poljubno mnoˇzico A ter mnoˇzici E1 inE2, ki sta Lebesgueovo merljivi. Ker jeE2 merljiva, velja
m∗(A∩E1C) = m∗(A∩E1C ∩E2) +m∗(A∩E1C∩E2C).
Zaradi enakosti A∩(E1 ∪E2) = [A∩E1]∪[A∩E2∩E1C] velja tudi m∗(A∩(E1∪E2))≤m∗(A∩E1) +m∗(A∩E2∩E1C).
Zato je
m∗(A∩(E1∪E2))+m∗(A∩E1C∩E2C)≤m∗(A∩E1)+m∗(A∩E2∩E1C)+m∗(A∩E1C∩E2C)
=m∗(A∩E1) +m∗(A∩E1C).
Ker jeE1 tudi Lebesgueovo merljiva, je to ravno enakom∗A. Ker velja (E1∪E2)C = E1C∩E2C, smo pokazali, da je unija dveh Lebesgueovo merljivih mnoˇzic Lebesgueovo merljiva, saj velja
m∗(A∩E1) +m∗(A∩E2∩E1C) +m∗(A∩E1C ∩E2C).
Da je presek merljivih mnoˇzic merljiv, smo pravzaprav ˇze pokazali, saj velja E1∩E2 = (E1C ∪E2C)C,
komplement mnoˇzice pa je merljiv takrat, ko je merljiva tudi mnoˇzica.
Definicija 2.12. Ce je mnoˇˇ zica E Lebesgueovo merljiva mnoˇzica, potem je njena Lebesgueova meram(E) definirana kot zunanja Lebesgueova mera m∗E.
Poglejmo si ˇse nekaj lastnosti Lebesgueovo merljivih mnoˇzic oziroma druˇzin le- teh.
Izrek 2.13. Druˇzina Lebesgueovo merljivih mnoˇzic ima naslednje lastnosti:
(i) Prazna mnoˇzica in mnoˇzica realnih ˇstevil sta merljivi in velja m(∅) = 0 in m(R) = ∞.
(ii) ˇCe je E Lebesguevo merljiva, je Lebesgueovo merljiva tudi E+x0 ter velja m(E+x0) = m(E).
(iii) Vsak interval je Lebesgueovo merljiv. Mera je enaka njegovi dolˇzini.
(iv) ˇCe je Ei ˇstevna druˇzina Lebesgueovo merljivih mnoˇzic, sta tudi
∞
[
i=1
Ei in
∞
\
i=1
Ei Lebesgueovo merljivi mnoˇzici.
(v) Za ˇstevno druˇzino disjunktnih Lebesgueovo merljivih mnoˇzic {Ei : 1 ≤ i≤ n} velja
m
∞
[
i=1
Ei
!
=
∞
X
i=1
m(Ei).
(vi) Vsaka zaprta in vsaka odprta mnoˇzica je Lebesgueovo merljiva.
Dokaz. Dokazi za prve tri lastnosti so trivialni.
(iv) E je unija ˇstevne druˇzine En paroma disjunktnih mnoˇzic, ki so Lebesgueovo merljive. Naj bo A poljubna mnoˇzica in Fn = ∪ni=1Ei. Fn je Lebesgueovo merljiva in velja FnC ⊃EC, kar lahko zapiˇsemo
m∗A =m∗(A∩Fn) +m∗(A∩FnC)≥m∗(A∩Fn) +m∗(A∩EC).
Velja
m∗(A∩Fn) =
n
X
i=1
m∗(A∩Ei), in zato
m∗A≥
n
X
i=1
m∗(A∩Ei) +m∗(A∩EC).
Vidimo, da je leva stran zgornje neenakosti neodvisna odn in tako dobimo m∗A≥
∞
X
i=1
m∗(A∩Ei) +m∗(A∩EC)≥m∗(A∩EC) +m∗(A∩E).
Ker vedno velja tudi neenakostm∗A≤m∗(A∩EC) +m∗(A∩E), je dokaz konˇcan.
(v) Naj bodoEn konˇcne dusjunktne druˇzine Lebesgueovo merljivih mnoˇzic. Potem velja naslednje:
m(E1∪E2∪. . .∪En) =m(E1) +m(E2) +. . .+m(En).
Ce jeˇ {Ej}ˇsteven niz, potem velja
n
[
j=1
Ej ⊂
∞
[
j=1
Ej in
m
n
[
j=1
Ej
!
≤m
∞
[
j=1
Ej
! . Za vsak konˇcen niz mnoˇzic velja naslednja neenakost
m
n
[
j=1
Ej
!
=
n
X
j=1
m(Ej) in zato velja tudi neenakost
n
X
j=1
m(Ej)≤m
∞
[
j=1
Ej
! . Ker zgornja neenakost velja za vsak n, velja
∞
X
j=1
m(Ej)≤m
∞
[
j=1
Ej
! .
Nasprotna neenakost sledi iz ˇstevne subaditivnosti. Ker veljajo neenakosti v obe smeri, dobimo ˇzeleno enakost.
(vi) Intervali so Lebesgueovo merljivi in ˇstevne unije Lebesgueovo merljivih mnoˇzic so prav tako Lebesgueovo merljive. Odprte mnoˇzice so merljive, saj je vsaka odprta mnoˇzica unija ˇstevno mnogo odprtih intervalov. Zaprte mnoˇzice so merljive,
saj so komplementi odprtih mnoˇzic.
Trditev 2.14. Druˇzina Lebesgueovo merljivih mnoˇzic v R je σ-algebra.
Dokaz. Da je druˇzina Lebesgueovo merljivih funkcij algebra mnoˇzic, smo ˇze pokazali – dokazali smo, da je v primeru, ko sta ˇstevna A in B, ˇstevna tudi njuna unija, presek in komplement (izreka 2.8 in 2.11).
V izreku 2.13 smo pokazali, da so Lebesgueovo merljive mnoˇzice zaprte za ˇstevne unije in preseke, zato je druˇzina Lebesgueovo merljivih mnoˇzic tudi σ-algebra.
V nadaljevanju bomo dokazali dve posledici in s tem doloˇcili Lebesgueovo mero za ˇstevne mnoˇzice ter pokazali, da interval [0,1] ni ˇstevna mnoˇzica.
Posledica 2.15. Ce je mnoˇˇ zica Aˇstevna, je Lebesgueova mera m∗ enaka niˇc.
Dokaz. Lebesgueova zunanja mera toˇcke je enaka 0. Ob upoˇstevanju tega dej-
stva dokaz sledi direktno iz trditve 2.6.
Posledica 2.16. Mnoˇzica [0,1] ni ˇstevna mnoˇzica.
Dokaz. Lebesgueova mera intervala je enaka njegovi dolˇzini, torej je mera inter- vala [0,1] enaka 1. Iz prejˇsnje posledice torej sledi, da mnoˇzica [0,1] ni ˇstevna.
Stevne mnoˇˇ zice imajo torej mero niˇc. Zanima nas, ali velja tudi obratno, in sicer ali je mnoˇzica, ki ima mero niˇc, zagotovo tudi ˇstevna. Na to vpraˇsanje bomo odgovorili s konstrukcijo Cantorjeve mnoˇzice.
Konstrukcijo Cantorjeve mnoˇzice zaˇcnemo z zaprtim, omejenim intervalomI = [0,1]. Ta interval razdelimo na tri intervale enake dolˇzine, torej 1/3. Iz intervala I odstranimo notranjost srednjega intervala, to je odprti interval (1/3,2/3). Tako dobimo zaprto mnoˇzico A1, ki je unija dveh disjunktnih intervalov.
A1 = [0,1/3]∪[2/3,1].
Naslednji koraki konstrukcije so zelo podobni. Iz vsakega intervala vA1 odstranimo notranjost sredinskega intervala. Mnoˇzica A2 je tako zaprta mnoˇzica, ki vsebuje ˇstiri intervale (22), vsak je dolg 1/32. Mnoˇzica A3 je ravno tako zaprta unija osmih zaprtih intervalov (23) dolˇzin 1/33. Odstranjevanje odprtih intervalov ponovimo ˇstevno mnogokrat.
Cantorjevo mnoˇzico definiramo kot C =
∞
\
k=1
Ck. {Ck}∞k=1 ima naslednji dve lastnosti:
(1) {Ck}∞k=1 je padajoˇce zaporedje zaprtih mnoˇzic,
(2) za vsak k jeCk disjunktna unija 2k zaprtih intervalov, pri ˇcemer je dolˇzina posameznega intervala 31k.
Izrek 2.17. Cantorjeva mnoˇzica C je zaprta in neˇstevna mnoˇzica z mero niˇc.
Dokaz. Vsaka Ck je disjunktna unija 2k intervalov dolˇzine 31k. Zaradi konˇcne aditivnosti Lebesguove mere je
m(Ck) = 2
3 k
.
Ker jem(C)≤m(Ck) = (23)k, jem(C) = 0. Cantorjeva mnoˇzica je torej res mnoˇzica z mero niˇc. Ker je presek zaprtih mnoˇzic zaprta mnoˇzica in vemo, da je {Ck}∞k=1 zaporedje zaprtih mnoˇzic, je tudi Czaprta. Dokaˇzimo ˇse, da je Cantorjeva mnoˇzica tudi neˇstevna, kar bomo pokazali s protislovjem.
Recimo torej, da je Cˇstevna in naj bo {Ck}∞k=1 ˇstetje mnoˇzice C. Z F1 oznaˇcimo enega izmed disjunktnih intervalov, katerih unija jeC1, ki ne vsebuje toˇcke c1, z F2 pa oznaˇcimo enega od intervalov vC2, katerih unija je F1 in ne vsebuje toˇcke c2. Z nadaljevanjem tega postopka pridemo do ˇstevnega nabora mnoˇzic {Fk}∞k=1, ki ima za vsakk naslednje lastnosti:
(i) Fk je zaprta in velja Fk+1 ⊆Fk, (ii) Fk⊆Ck,
(iii) toˇckack ni element intervalaFk.
Ob upoˇstevanju, da presek padajoˇcega ˇstevnega nabora nepraznih zaprtih mnoˇzic ni prazen in (i), lahko trdimo, da tudi presek∩∞k=1Fk ni prazen. Naj bo x element tega preseka.
Po (ii) velja:
∞
\
k=1
Fk⊆
∞
\
k=1
Ck =C,
torej je x element tudi mnoˇzice C. Ker je {Ck}∞k=1 ˇstetje mnoˇzice C, je x = cn za nekn. Torej je
cn =x∈
∞
\
k=1
Fk⊆Fn.
Vendar pa nobena toˇckacn ni element intervlaFn, kar nam pove (iii). Priˇsli smo do
protislovja. Mnoˇzica Ctorej mora biti neˇstevna.
Ena od druˇzin mnoˇzic, ki so Lebesgueovo merljive, so Borelove mnoˇzice. Poe- nostavljeno so to mnoˇzice, ki jih skonstruiramo s pomoˇcjo ˇstevnih presekov in unij na odprtih ali zaprtih mnoˇzicah. Pokazali bomo, da je vsaka Borelova mnoˇzica Lebesgueovo merljiva.
Definicija 2.18. Druˇzina Borelovih mnoˇzic vR je najmanjˇsaσ-algebra v R, ki vsebuje vse odprte mnoˇzice v R.
Vsaka odprta mnoˇzica je Borelova in ker je σ-algebra zaprta za komplement, je tudi vsaka zaprta mnoˇzica Borelova. Ker so singletoni zaprti, je vsaka ˇstevna
mnoˇzica Borelova. Ker je σ-algebra zaprta za ˇstevno unijo in presek, so Borelove mnoˇzice vsi ˇstevni preseki in unije zaprtih in odprtih mnoˇzic.
Izrek 2.19. Vsaka Borelova mnoˇzica je Lebesgueovo merljiva.
Dokaz. Dokazali smo ˇze, da so vse odprte in zaprte mnoˇzice merljive, merljivi pa so tudi preseki in unije teh mnoˇzic. Druˇzina Lebesgueovo merljivih funkcij je σ-algebra, Borelova mnoˇzica pa je najmanjˇsa σ-algebra, ki vsebuje odprte mnoˇzice.
Borelove mnoˇzice so torej podmnoˇzice vseh merljivih mnoˇzic in so zato tudi vse
merljive.
Obratno pa ne velja, saj za vsako Lebesgueovo merljivo mnoˇzic ne moremo trditi, da je Borelova, ˇcetudi se nam morda zdi, da Borelove mnoˇzice zajemajo vse mnoˇzice.
Borelovih mnoˇzic je namreˇc toliko, kot je realnih ˇstevil, saj je odprtih mnoˇzic le toliko, kolikor je realnih ˇstevil. Podmnoˇzic Cantorjeve mnoˇzice C pa je 2R, saj je moˇc te mnoˇzice enakaR, in vse so merljive, saj gre za podmnoˇzice merljive mnoˇzice.
Torej zagotovo obstajajo mnoˇzice, ki so merljive, niso pa Borelove.
2.2.1. Nemerljive mnoˇzice. Ce ima mnoˇˇ zica Azunanjo mero niˇc, je merljiva in ker ima tudi vsaka podmnoˇzica mnoˇzice A mero niˇc, je tudi vsaka podmnoˇzica merljiva. Prav tako iz izreka 2.13 vidimo, da so merljive tudi vse zaprte in odprte mnoˇzice. Druˇzina Lebesgueovo merljivih mnoˇzic je zaprta za presek in unijo. Iz- gleda, da je teˇzko najti mnoˇzico, ki ne bi bila Lebesgueovo merljiva. V tem razdelku bo pokazano, da take mnoˇzice vendarle obstajajo. Preden pa dokaˇzemo obstoj ne- merljivih mnoˇzic, si oglejmo konstrukcijo mnoˇzice CE, s katero si bomo pomagali pri dokazu Vitalijevega izreka.
V vsaki neprazni mnoˇzici realnih ˇstevilE za dve toˇcki reˇcemo, da sta racionalno ekvivalentni, ˇce je njuna razlika vsebovana vQ. Ta relacija je reflektivna, simetriˇcna in tranzitivna. Mnoˇzico E razdelimo na ekvivalenˇcne razrede. Aksiom izbire nam pove, da obstaja mnoˇzica C, ki vsebuje ravno en element vsakega ekvivalenˇcnega razreda. To mnoˇzico opiˇsemo z naslednjima dvema lastnostma: razlika med toˇckami v C ni racionalna in za vsako toˇcko x v E obstaja toˇcka c v C, za katero velja x=c+q, pri ˇcemer je q∈R. Lahko zapiˇsemo tudi, da je za vsako mnoˇzico A⊂Q {e+C}e∈E disjunktna.
Definirajmo ˇse vsoto po modulu 1 za realni ˇstevilix in y na intervalu [0,1) kot xuy=
( x+y zax+y <1, x+y−1 za x+y≥1.
Lebesgueova mera je za premik po modulu 1 invariantna. Sedaj lahko pokaˇzemo obstoj Lebesgueovo nemerljivih mnoˇzic.
Izrek 2.20 (Vitali). Vsaka mnoˇzica E realnih ˇstevil s pozitivno zunanjo mero vsebuje podmnoˇzico, ki ni merljiva.
Dokaz. Naj bo mnoˇzica C poljubna mnoˇzica racionalne ekvivalence na E. S protislovjem bomo pokazali, daC ni merljiva.
Naj bo {ri : i = 0,1,2, . . .} zaporedje racionalnih ˇstevil na [0,1), pri ˇcemer je r0 = 0 in naj velja Ci = C u ri. Potem je C0 = C. Naj bo x ∈ Ci ∩Cj, kar pomeni da velja x = ci uri = cj u rj, pri ˇcemer sta ci, cj ∈ C. Ker je razlika ci −cj = rj −ri racionalno ˇstevilo, velja ci ∼ cj. Ker pa ima C samo en element iz vsakega ekvivalenˇcnega razreda, mora veljati i = j. Namreˇc, ˇce i 6= j, potem je Ci∩Cj =∅, kar pomeni, da je {Ci} disjunktna druˇzina mnoˇzic.
Vsako ˇsteviloxintervala [0,1] je v nekem ekvivalenˇcnem razredu in zato ekvivalentno enemu od elementov v C. ˇCe sex razlikuje od nekega elementa v C za racionalno ˇstevilori, potem jexelement mnoˇzice Ci in velja∪Ci = [0,1). ˇCe jeCLebesgueovo merljiv, je merljiv tudiCi, saj je Lebesgueova mera invariantna za operacijouin je meraCi enaka meri C. Potem bi moralo veljati
m([0,1)) =
∞
X
i=1
mCi =
∞
X
i=1
mC.
Desna stran enakosti je enaka bodisi 0 bodisi∞, odvisno od tega, ali jemC pozitiven ali 0. To pa je nemogoˇce, saj je leva stran enakosti m([0,1)) = 1. Priˇsli smo do
protislovja. Mnoˇzica C ni Lebesgueovo merljiva.
2.3. Lebesgueovo merljive funkcije
V tem poglavju si bomo ogledali nekatere lasnosti Lebesgueovo merljivih funkcij ter nekaj razredov funkcij, za katere lahko trdimo, da so merljive.
Trditev 2.21. Naj bof funkcija, definirana na merljivem definicijskem obmoˇcju E. Potem so naslednje izjave ekvivalentne:
Za vsako realno ˇstevilo cvelja:
(i) mnoˇzica {x∈E|f(x)> c} je merljiva.
(ii) mnoˇzica {x∈E|f(x)≥c} je merljiva.
(iii) mnoˇzica {x∈E|f(x)< c} je merljiva.
(iv) mnoˇzica {x∈E|f(x)≤c} je merljiva.
Na podlagi teh izjav je oˇcitno, da je merljiva tudi mnoˇzica {x ∈ E|f(x) = c} za vsako realno ˇstevilo c.
Definicija 2.22. Naj bo f : D → R realna funkcija. ˇCe je mnoˇzica D ⊂ R Lebesgueovo merljiva in je mnoˇzica {f(x)≤a} merljiva za vsak a ∈R, potem je f Lebesgueovo merljiva.
Trditev 2.23. Naj bo funkcija f definirana na merljivi mnoˇzici D. Potem je f merljiva, ˇce in samo ˇce je za vsako odprto mnoˇzico E merljiv tudi f−1(E).
Dokaz. Predpostavimo, da je f merljiva in naj bo E odprta mnoˇzica. Potem lahko E izrazimo kot ˇstevno unijo odprtih, omejenih intervalov {Ik}∞k=1 1. Pri tem lahko vsakIk zapiˇsemo kot Ak∩Bk, pri ˇcemer je Ak = (ak,∞) in Bk = (−∞, bk).
Ker je f merljiva, sta mnoˇzici f−1(Ak) in f−1(Bk) zagotovo tudi merljivi. Po 2.14 vemo, da je druˇzina merljivih mnoˇzic σ-algebra in ker je
f−1(E) =f−1
"∞ [
k=1
Bk∩Ak
#
=
∞
[
k=1
f−1(Bk)∩f−1(Ak) je f−1(E) merljiva.
ˇSe obratno. ˇCe je inverz vsake odprte mnoˇzice merljiv in je vsak interval (c,∞)
odprt, potem je funkcijaf merljiva.
Naslednja trditev nam pove, da so zvezne funkcije, s katerimi se v okviru realne analize najveˇc ukvarjamo, merljive.
Trditev 2.24. Realna zvezna funkcija na merljivem definicijskem obmoˇcju je merljiva.
Dokaz. Naj bo f zvezna funkcija, definirana na merljivem definicijskem inter- valu. Zaradi zveznosti je praslika vsake odprte mnoˇzice prav tako odprta. Za vsak a je zato mnoˇzica {x : f(x) < a} odprta, vsaka odprta mnoˇzica pa je Lebesgue- ovo merljiva (izrek 2.13). Da je f merljiva izhaja direktno iz definicije merljivih
funkcij.
Izrek 2.25. Naj bosta f in g merljivi funkciji na mnoˇzici E. Za vsaka α in β velja, da so na E merljive tudi:
αf +βg in f g.
Dokaz. Naj bosta f in g merljivi funkciji na E. ˇCe je α = 0, je merljiva tudi αf. ˇCe α 6= 0, si poglejmo naslednje mnoˇzice za poljubno ˇstevilo c
{x∈E|αf(x)> c}=n
x∈E|f(x)> c α
o
, α >0 in
{x∈E|αf(x)< c}=n
x∈E|f(x)< c α
o
, α <0.
Merljivostαf nam zagotavlja merljivostf. Za zagotovitev linearnosti je torej dovolj, da pogledamo primer, ko jeα=β = 1.
1Vsaka neprazna odprta mnoˇzica je disjunktna ˇstevna unija odprtih intervalov.
Zax ∈E velja, da ˇce je f(x) +g(x)< c, potem je f(x) < c−g(x) in zato (zaradi gostote racionalnih ˇstevil vR) obstaja racionalno ˇstevilo q, da je
f(x)< q < c−g(x).
Zato velja
{x∈E|f(x) +g(x)< c}= [
q∈Q
{x∈E|g(x)< c−q} ∩ {x∈E|f(x)< q}. Racionalna ˇstevila so ˇstevna, in ker je {x∈E|f(x) +g(x)< c} unija ˇstevnega na- bora merljivih mnoˇzic, je merljiva. Torej je f+g merljiva.
Pokaˇzimo ˇse, da je merljiv produkt dveh merljivih funkcij. Zapiˇsimo f g kot f g= 1
2[(f+g)2−f2 −g2].
Ker smo ˇze pokazali, da je linearna kombinacija merljivih funkcij merljiva, je za dokaz merljivosti produkta dovolj, da pokaˇzemo, da je merljiv kvadrat merljive funkcije.
Zac >0 velja
x∈E|f2(x)> c =
x∈E|f(x)>√ c ∪
x∈E|f(x)<−√ c , zac <0 pa
x∈E|f2(x)> c =E.
Funkcija f2 je torej merljiva.
Veliko lastnosti funkcij, kot sta na primer zveznost in odvedljivost, se ohranja tudi pri operaciji kompozituma. Pri merljivih funkcijah pa ni nujno, da je kompozi- tum merljivih funkcij tudi merljiva funkcija, kar nam pokaˇze tudi naslednji primer.
Primer 2.26. Naj bo f strogo naraˇsˇcajoˇca funkcija f = x+g, pri ˇcemer je g Cantorjeva funkcija2. Velja f : [0,1]→[0,2]. Naj bo h=f−1.
Naj bo C Cantorjeva mnoˇzica. Mera m(f(C)) = 1, saj je to mera komplementa Cantorjeve mnoˇzice. Torej obstaja neka mnoˇzica A⊂f(C), ki ni merljiva.
Naj bo mnoˇzicaB enakaB =h(A) = f−1(A)⊂C. B je merljiva, saj je podmnoˇzica Cantorjeve,m(B) = 0 in merljiva je tudi IB.
IB◦h ni merljiva, saj je
(IB◦h)−1(1) =A, za katero vemo, da ni merljiva.
2Cantorjeva funkcija je enakomerno zvezna funkcija, definirana na [0,1], katere odvod je na celotnem intervalu enak 0, funkcija pa naraˇsˇca od 0 do 1. Veˇc o tej funkciji v poglavju o absolutni zveznosti.
Naslednja trditev nam pove, kdaj lahko trdimo, da je kompozitum dveh funkcij merljiv.
Trditev 2.27. Naj bo f merljiva, realna funkcija definirana na E in g zvezna, realna funkcija definirana naR. Potem je g◦f merljiva funkcija na E.
Dokaz. Funkcija je merljiva, ˇce in samo ˇce je merljiv inverz vsake odprte mnoˇzice.
Naj bo A odprta mnoˇzica. Potem velja
(g◦f)−1 =f−1(g−1(A)).
Ker je g zvezna funkcija in definirana na odrti mnoˇzici, je B = g−1 odprta. Iz merljivosti funkcije f lahko trdimo, da je f−1(B) merljiva. Torej je inverzna slika (g◦f)−1(A) merjiva in zato je torej merljiva tudig◦f. Trditev 2.28. Za konˇcno druˇzino merljivih funkcij {fk}nk=1 na skupnem mer- ljivem definicijskem obmoˇcju E velja, da sta merljivi tudi funkciji max{f1. . . fn} in min{f1. . . fn}.
Dokaz. Mnoˇzica
{x∈E|max{f1. . . fn}(x)> c}=
n
[
k=1
{x∈E|fk(x)> c}
je za vsak cmerljiva, saj je konˇcna unija merljivih mnoˇzic. Funkcija max{f1. . . fn} je torej merljiva. Podobno pokaˇzemo, da je merljiva tudi min{f1. . . fn}.
Definicija 2.29. Naj bo E ⊂ R. Funkcijo χE : R → R imenujemo karakteri- stiˇcna funkija in jo definiramo kot:
χE(x) =
( 1 za x∈E, 0 za x /∈E.
Karakteristiˇcna funkcija je merljiva, ˇce in samo ˇce je merljiva tudi mnoˇzica E.
Linearne kombinacije karakteristiˇcnih funkcij na merljivih mnoˇzicah so pomemben ˇclen pri definiciji tako Lebesgueovega integrala, kjer se sreˇcamo z enostavnimi funk- cijmi, kot Riemannovega integrala, kjer igrajo pomembno vlogo stopniˇcaste funkcije.
Z njihovo vlogo pri integriranju se bomo ukvarjali v naslednjem poglavju. V tem poglavju bomo opredelili le definicije in nekaj lastnosti teh funkcij.
Definicija 2.30. Funkcija f : D → R je enostavna, ˇce je merljiva in je njena zaloga vrednosti konˇcna mnoˇzica.
Linearna kombinacija in produkt enostavnih funkcij sta prav tako enostavna, zato je druˇzina vseh enostavnih funkcij algebra. ˇCe je f enostavna na definicijskem obmoˇcju E in zavzema razliˇcne vrednosti c1,· · · , cn, potem lahko f zapiˇsemo kot
f(x) =
n
X
k=1
ckχEk na E, pri ˇcemer je Ek={x∈E|f(x) = ck}.
Takemu zapisu funkcije f kot linearni kombinaciji karakteristiˇcne funkcije reˇcemo tudi kanoniˇcna reprezentacija enostavne funkcije f.
Naslednji izrek nam poveˇze zaporedje enostavnih funkcij z vsako merljivo funkcijo.
Izrek 2.31. Naj bo E merljiva. Potem velja:
(i) ˇCe je f :E →[0,∞) merljiva funkcija, potem obstaja zaporedje enostavnih funkcij{sn}, ki po toˇckah konvergira protif, in velja0≤s1 ≤s2 ≤. . .≤f. (ii) ˇCe je f : E → R merljiva funkcija, potem obstaja zaporedje enostavnih funkcij {sn}, ki po toˇckah konvergira proti f, in velja 0 ≤ |s1| ≤ |s2| ≤ . . .≤ |f|.
Dokaz zgornjega izreka najdemo v [1]. Poglejmo si sedaj ˇse definicijo stopniˇcastih funkcij.
Definicija 2.32. Funkcija f :R→R je stopniˇcasta, ˇce jo lahko zapiˇsemo kot f(x) =
n
X
i=0
αiχAi(x), pri ˇcemer so αi realna ˇstevila in Ai intervali.
Oˇcitno je, da je vsaka stopniˇcasta funkcija tudi enostavna, medtem ko obratno ne velja.
POGLAVJE 3
Integral
V tem razdelku se bomo posvetili osnovnemu izreku integralskega raˇcuna, Ri- emannovemu integralu in nekoliko podrobneje Lebesgueovemu integralu, ki temelji na prej obdelani Lebesgueovi meri. Poglavje temelji na virih [1], [4] in [5].
Temelje integralskega raˇcuna sta postavila Isaac Newton in Gottfried Wilhelm Leibniz. Integral funkcije je prek Osnovnega izreka integralskega raˇcuna povezan z odvodom te funkcije. Ko poznamo nedoloˇcen integral funkcije na nekem intervalu, je doloˇcen integral zelo enostavno izraˇcunati.
Izrek 3.1 (Osnovni izrek integralskega raˇcuna). Naj bo funkcija f : [a, b] →R zvezna funkcija. Definiramo:
F(x) = Z x
a
f(t)dt.
Potem je funkcija F : [a, b]→R odvedljiva in velja F0(x) =f(x).
Osnovni izrek integralskega raˇcuna velja tudi v stroˇzji obliki. Naj bo f integra- bilna na [a, b] in zvezna v toˇcki x0. Potem je
F(x) = Z x
a
f(t)dt
zvezna na [a, b], v toˇcki x0 pa odvedljiva. Velja F0(x0) =f(x0).
Posledica 3.2. Naj bo funkcija f : [a, b]→R zvezna. Funkcija F(x) =
Z x a
f(t)dt
je nedoloˇceni integral funkcije f. Vsaka zvezna funkcija ima torej nedoloˇceni inte- gral.
Posledica 3.3. Naj bo funkcija f : [a, b] → R zvezna in F : [a, b] → R njen nedoloˇcen integral. Potem velja:
Z b a
f(x)dx=F(b)−F(a).
3.1. Riemannov integral
Riemannov integral omejene funkcije na zaprtem, omejenem interalu je definiran s pomoˇcjo aproksimacij funkcije, ki so povezane s particijami domene na konˇcno unijo podintervalov. Naj bo torej f realna, omejna funkcija, definirana na zaprtem in omejenem intervalu [a, b], in naj bo P ={x0, x1, . . . , xn} particija intervala [a, b], tako da je
a=x0 < x1 < . . . < xn =b.
Oznaˇcimo
mk = inf{f(x), x ∈ [xk−1, xk]} in Mk = sup{f(x), x ∈ [xk−1, xk]} ter definiramo zgornjo in spodnjo Darbouxovo vsoto kot
s(P) =
n
X
k=1
mk(xk−xk−1)
S(P) =
n
X
k=1
Mk(xk−xk−1),
pri ˇcemer sta vsoti prirejeni delitvi intervala P. S pomoˇcjo vsot definiramo zgornji in spodnji Riemannov integral kot:
Z b a
f(x)dx = infS(P) Z b
a
f(x)dx= sups(P)
Ker je f omejena in ima interval [a, b] konˇcno dolˇzino, sta tudi vrednosti spo- dnjega in zgornjega Riemannovega integrala konˇcni, pri ˇcemer je vrednost zgornjega vedno veˇcja ali enaka vrednosti spodnjega integrala.
Definicija 3.4. Funkcija f je Riemannovo integrabilna na intervalu [a, b] na- tanko takrat, ko velja
Z b a
f(x)dx= Z b
a
f(x)dx.
Spomnimo se na stopniˇcaste funkcije iz prejˇsnjega poglavja. Za particijo P = {x0, x1, . . . xn}intervala [a, b] in ˇstevilacq, . . . , cn definiramo stopniˇcasto funkcijo kot ϕ(x) = ci za xi−1 < x < xi. Oˇcitno je, da so stopniˇcaste funkcije Riemannovo integrabilne, in sicer je Riemannov integral enak
Z b a
ϕdx=
n
X
i=1
ci(xi−xi−1).
Definicijo spodnjega in zgornjega integrala lahko definiramo kar s pomoˇcjo sto- pniˇcastih funkcij, saj pri particiji intervala in raˇcunanju Darbouxovih vsot prav- zaprav operiramo s temi funkcijami – funkcijof bomo od spodaj in od zgoraj apro- ksimirali s stopniˇcasto funkcijo. Pri spodnji aproksimaciji bomo vzeli supremum mnoˇzice stopniˇcastih funkcij, pri zgornji pa infimum. Zgornji in spodnji Riemannov integral torej lahko zapiˇsemo kot:
Z b a
f = sup Z b
a
ϕdx
ϕ stopniˇcasta in ϕ≤f na [a, b]
Z b a
f = inf Z b
a
ψdx
ψ stopniˇcasta in ψ ≥f na [a, b]
.
Vse stopniˇcaste funkicije so torej Riemannovo integrabilne, vendar vemo, da je razred Riemannovo integrabilnih funkcij veˇcji. Naslednji izrek nam natanˇcno opredeli mnoˇzico funkcij, za katere lahko trdimo, da so Riemannovo integrabilne.
Izrek 3.5 (Lebesgueov kriterij za Riemannov integral). Naj bo f : [a, b] → R. Funkcijaf je Riemannovo integrabilna, ˇce in samo ˇce je f omejena in ima mnoˇzica toˇck nezveznosti funkcije f Lebesgueovo mero 0.
Najprej si oglejmo definicijo oscilacije funkcije, ki jo bomo potrebovali v dokazu zgornjega izreka.
Definicija 3.6. Za realno funkcijo f, definirano na X ⊂ R, in I ⊂ X naj bo oscilacija funkcije f naI
ωf(I) = sup
s,t∈I
|f(s)−f(t)|.
Oscilacija funkcije f v toˇckix je definirana kot
ωf(x) = inf{ωf((x−δ, x+δ)∩X) :δ >0}.
Dokaz. Predpostavimo, da je funkcija f Riemannovo integrabilna na [a, b]. f je torej zagotovo omejena. Oznaˇcimo z D mnoˇzico toˇck nezveznosti funkcije f, z uporabo pojma oscilacije lahko to zapiˇsemo kot D = {x;ωf(x) > 0}. Pokazati moramo, da imaD mero 0.
Naj bo mnoˇzica N(α) mnoˇzica toˇck na omejenem intervalu, katerih oscilacija v tej toˇcki je veˇcja ali enakaα, za α >0. Potem lahko mnoˇzico D zapiˇsemo kot
D=
∞
[
k=1
N 1
k
.
Da dokaˇzemo, da ima D mero 0, moramo pokazati, da ima vsaka N(α) mero 0.
Izberimo si delitevP intervala [a, b], tako da velja
∞
X
i=1
ωf([xi−1, xi])(xi−xi−1)< α
2 , >0.
Naj bo A mnoˇzica i-jev, pri katerih velja, da se (xi−1, xi) sekajo z mnoˇzico N(α).
Za vsaki izA velja, da je ωf([xi−1, xi])≥α in zato αX
i∈A
∆xi ≤X
i∈A
ωf([xi−1, xi])∆xi < α 2 .
Iz zgornje neenakosti sledi, da je vsota dolˇzine vseh intervalov (xi−1, xi) manj kot
2. To nam pokrije mnoˇzico N(α), razen elementov {x0, x−1, . . . , xn}. To mnoˇzico pa lahko pokrijemo z intervali, katerih dolˇzina je prav tako skupno manjˇsa od 2. Celotno mnoˇzico N(α) lahko pokrijemo z intervali s skupno dolˇzino manj od . S tem smo pokazali, da ima vsaka mnoˇzica N res mero 0.
Dokaˇzimo izrek ˇse v drugo smer, prepostavimo, da je funkcija f omejena in da ima mnoˇzica toˇck nezveznosti te funkcije mero 0.
Naj bo >0 in imejmo mnoˇzico E = {x : ωf(x)≥ }. Ker je oˇcitno E ⊂ D, ima E mero 0, zato je lahko pokrita s ˇstevnimi druˇzinami odprtih intervalov, katerih skupna dolˇzina je manjˇsa od . Ker je E zaprta in omejena, je tudi kompaktna in zato bo konˇcna unija takih intervalov ˇze pokrila E, E ⊂S∞
i=1Ui. Naj bo Ii zaprtje odUi za vsak i. Naj boD ={I1, I2, . . . , Im}.
Mnoˇzica K = [a, b]\ ∪∞i=1Ui je unija konˇcnega ˇstevila disjunktnih zaprtih intervalov in vsebuje toˇcke, za katere velja ωf(x) < . Za vsak x ∈ K obstaja zaprt interval J, za katerega velja x∈ J in ωf([J]) < . Mnoˇzico K pokrije konˇcno ˇstevilo takih intervalov. Ker so vse podmnoˇzice K, naj boL={J1, J2, . . . , JK}mnoˇzica zaprtih intervalov, katerih unija je ravno K in da velja ωf([Jj])< za vse j. Intervali Jk se ne prekrivajo.
Velja
n
X
i=1
ωf([xi−1, xi])(xi−xi−1) =
m
X
i=1
ωf(Ii)l(Ii) +
k
X
i=1
ωf(Jj)l(Jj)
≤X
i
2kfkl(Ii) +
k
X
j=1
l(Jj)
= 2kfkX
i
l(Ii) +(b−a)
≤2kfk+(b−a)
poljubno majhna. Tako je izpolnjen kriterij za Riemannovo integrabilnost in je
f integrabilna.
Poglejmo si primer funkcije, ki ni Riemannovo integrabilna.
Primer 3.7 (Dirichlet). Naj bo f funkcija, definirana na intervalu [0,1] s pred- pisom
f(x) =
( 1 za x∈Q, 0 za x /∈Q.
Mnoˇzica toˇck nezveznosti funkcije f je ves interval [0,1]. Ker Lebesgueova mera tega intervala ni enaka 0, funkcija f po Lebesgueovem kriteriju za Riemannovo integrabilnost ni Riemannovo integrabilna.
Vrednost funkcije je skoraj povsod enaka 0, neniˇcelna je namreˇc le na ˇstevni mnoˇzici.
Smiselno bi bilo, da bi bila tudi vrednost integrala enaka 0. Ta problem bomo reˇsili v naslednjem poglavju.
Funkcija je torej Riemannovo integrabilna natanko takrat, ko je omejena in zve- zna skoraj povsod.1 Predstavili bomo ˇse razˇsiritev definicije Riemannovega integrala tudi za primere neskonˇcnih ali pol neskonˇcnih intervalov ter neomejenih funkcij.
Definicija 3.8. Naj bo f : (a, b]→R zvezna, neomejena funkcija. ˇCe limita
→0+lim Z b
a+
f(x)dx
obstaja, jo imenujemo izlimitirani integral funkcijefna intervalu (a, b] in jo oznaˇcimo z
Z b a
f(x)dx.
Reˇcemo, da integral konvergira. ˇCe limita ne obstaja, reˇcemo da integral divergira.
Definicija 3.9. Naj bo f : [a,∞)→R zvezna funkcija. ˇCe limita
b→∞lim Z b
a
f(x)dx
obstaja, jo imenujemo izlimitirani integral funkcijefna intervalu [a,∞) in jo oznaˇcimo z
Z ∞ a
f(x)dx.
Reˇcemo, da integral konvergira. ˇCe limita ne obstaja, reˇcemo da integral divergira.
1Za neko lastnost reˇcemo, da velja skoraj povsod, ˇce mogoˇce ne velja zgolj na mnoˇzici z mero 0.
3.2. Lebesgueov integral
Dirchletova funkcija nam nazorno prikaˇze eno od pomanjkljivosti Riemannovega integrala. Videli bomo, da pri Lebesgueovem integralu nimamo teˇzav s takimi funk- cijami in lahko doloˇcimo vrednost integrala funkcije. Razlika med integraloma, ki si jo lahko grafiˇcno predstavljamo, je ta, da pri Riemannovem integralu razdelimo interval, na katerem je definirana funkcija, na podintervale, pri Lebesgueovem inte- gralu pa gre za particijo zaloge vrednosti funkcije.
Slika 1. Razlika med idejo Riemannovega in Lebesgueovega integrala.
Lebesgue je idejo o svojem integralu opisal v pismu kolegu, in sicer je razliko med Lebesgueovim in Riemannovim integralom predstavil takole: ”Plaˇcati moram doloˇceno vsoto denarja, denar imam v ˇzepu. Vzamem denar iz ˇzepa in prodajalcu plaˇcujem v takˇsnem vrstnem redu, kot sem denar vzel iz ˇzepa, dokler ne pridem do ˇzelene vsote. To je Riemannov integral. Lahko pa postopam drugaˇce. Lahko vzamem iz ˇzepa ves denar in ga razporedim glede na vrednost. Prodajalcu plaˇcam v veˇc kupih kovancev iste vrednosti, dokler ne pridem do ˇzelenega zneska. To je moj integral.”
Vrnimo se na primer iz prejˇsnjega razdelka. Da bomo pri integralu funkcije iz primera 3.7 dobili smiselno vrednost integrala, definiramo Lebesgueov integral funk- cije f kot vsoto produktov vrednosti mere doloˇcene mnoˇzice z vrednostjo funkcije pri elementih te mnoˇzice:
Z
f = 1m(Q∩[0,1]) + 0m([0,1]\Q) = 0.
Definirajmo sedaj Lebesgueov integral za vse enostavne funkcije.
Definicija 3.10. Za enostavno funkcijof, definirano na mnoˇzici s konˇcno mero E, definiramo integral funkcijef naE kot
Z
E
f =
n
X
i=1
ai ·m(Ei), pri ˇcemer smo f zapisali s kanoniˇcno reprezentacijo.
Po analogiji z Riemannovim integralom in stopniˇcastimi funkcijami tudi za Le- besgueov integral definiramo zgornji in spodnji integral za funkcijof nad E kot
Z b a
f = sup Z
E
ϕ | ϕ enostavna, ϕ≤f na E
Z b a
f = inf Z
E
ψ | ψ enostavna, f ≤ψ na E
.
Ker je f omejena, lahko zaradi monotnosti integrala za enostavne funkcije tr- dimo, da sta spodnji in zgornji integral konˇcna in da je zgornji integral po velikosti vedno veˇcji ali enak spodnjemu.
Spet lahko potegnemo nekaj vzporednic z Riemannovim integralom, saj tudi Lebesgueovo integrabilne funkcije definiramo kot tiste, pri katerih je vrednost spo- dnjega in zgornjega integrala enaka.
Definicija 3.11. Omejena funkcija f z definicijskim obmoˇcjem s konˇcno mero E je Lebesgueovo integrabilna na E, ˇce sta zgornji in spodnji Lebesgueov integral enaka. Vrednost zgornjega in spodnjega integrala imenujemo Lebesgueov integral.
Vse enostavne funkcije (in njihove linearne kombinacije) so torej integrabilne.
V nadaljevanju si bomo ogledali nekatere znaˇcilnosti Lebesgueovega integrala ter pogledali, katere funkcije so Lebesgueovo integrabilne.
Nasledni izrek je zelo pomemben za razumevanje pomembnosti Lebesgueovega integrala. Zavedati se namreˇc moramo, da z Lebesgueovim integralom razˇsirimo mnoˇzico funkcij, ki so integrabile. Zato je vsaka Riemannovo integrabilna funkcija tudi Lebesgueovo integrabilna.
Izrek 3.12. Naj bo f omejena funkcija, definirana na zaprtem, omejenem in- tervalu [a, b]. ˇCe je f Riemannovo integrabilna na [a, b], potem je tudi Lebesgueovo integrabilna na[a, b] in oba integrala sta enaka.
Dokaz. Predpostavimo, da je f Riemannovo integrabilna in definirajmo l∗(f) = inf
s≥f{ Z
s}
in
l∗(f) = sup
s≤f
{ Z
s}.
Pri tem je s enostavna funkcija. Zapisali smo pravzaprav zgornji in spodnji Le- besgueov integral. Ker je vsaka stopniˇcasta funkcija, s pomoˇcjo katere definiramo spodnji in zgornji Riemannov integral, velja:
s(D)≤l∗(f)≤l∗(f)≤S(D).
Ker je f Riemannovo integrabilna, je razlika spodnje in zgornje vsote S(D)−s(D) za neko delitev intervalaD poljubno majhna. Zato mora veljati, da je f tudi Lebe- sgueovo integrabilna, zgornja in spodnja vsota za Lebesgueov integral sta enaki in tudi vrednost integrala je enaka. Da obratno ne velja, torej da ni vsaka Lebesgueovo integrabilna funkcija tudi Riemannovo integrabilna, nam pokaˇze primer 3.7.
Izrek 3.13. Naj bo f omejena merljiva funkcija na mnoˇzici s konˇcno mero.
Potem je f integrabilna nad to mnoˇzico.
Dokaz. Naj bo n naravno ˇstevilo in = n1. Potem obstajata dve enostavni funkcijiϕn inψn naE, za kateri velja
ϕn≤f ≤ψn in 0≤ψn−ϕn ≤, naE, kar nam pove izrek 2.31.
Zaradi linearnosti in monotonosti integracije velja 0≤
Z
E
ψn− Z
E
ϕn= Z
E
[ψn−ϕn]≤·m(E).
Integrale enostavnih funkcij lahko primerjamo z infimumom in supremumom nabora enostavnih funkcij, ki so veˇcje ali manjˇse od f, oziroma s spodnjim in zgornjim Lebesgueovim integralom funkijef:
0≤inf Z
E
ψ | ψ enostavna, f ≤ψ na E
−
−sup Z
E
ϕ | ϕ enostavna, ϕ ≤f na E
≤ Z
E
ψn− Z
E
ϕn≤·m(E)
Ta neenakost velja za vsako ˇstevilo n, mera m(E) pa je konˇcna. Zgornji in spodnji integral sta torej enaka, saj je njuna razlika poljubno majhna in funkcija f
je integrabilna nad E.
Preden se posvetimo sploˇsnemu Lebesgueovemu integralu, si oglejmo definicijo tega integrala za merljive nenegativne funkcije.
Definicija 3.14. Za nenegativno merljivo funkcijo f na E definiramo integral nad E kot
Z
E
f = sup Z
E
h | 0≤h≤f na E
,
pri ˇcemer je h omejena, merljiva in neniˇcelna zgolj na mnoˇzici s konˇcno mero. ˇCe je R
Ef <∞ reˇcemo, da je f integrabilna.
Do sedaj smo ob definiciji integrabilnosti predpostavili omejenost funkcije in konˇcno mero oziroma nenegativne funkcije, v nadaljevanju pa bomo definirali sploˇsni Lebesgueov integral, torej brez predpostavljanja teh dveh lastnosti. Za realno funk- cijof naE definirajmo pozitivni del f+ in negativni del f− kot
f+(x) = max{f(x),0} in f−(x) = max{−f(x),0}
Funkciji f+ inf− sta nenegativni funkciji na E. Velja, da je f =f+−f−
in
|f|=f++f−.
Funkcija f je merljiva, ˇce in samo ˇce sta merljivi tudi f+ in f−.
Definicija 3.15. Naj bo f merljiva v E. ˇCe sta f+ inf− integrabilni, reˇcemo, da jef integrabilna in definiramo
Z
E
f = Z
E
f+− Z
E
f−.
Trditev 3.16. Naj bof merljiva funkcija naE. Potem staf+inf−integrabilni na E, ˇce in samo ˇce je na E integrabilna|f|.
Dokaz. Naj bostaf+ inf− integrabilni, nenegativni funkciji. Zaradi linearnoti integracije je integrabilna tudi |f|, saj smo jo definirali kot |f|=f++f−.
ˇSe obratno, naj bo |f| integrabilna. Ker je 0 ≤ f+ ≤ |f| in 0 ≤ f− ≤ |f| , lahko zaradi monotonosti integracije trdimo, da sta integrabilni tudif+ inf−. Linearnosti in monotonost integracije bosta sicer definirani v nadaljevanju.
Trditev 3.17. Merljiva funkcijaf naE je integrabilna nadE, ˇce je integrabilna tudi|f|.
Opredelimo nekaj trditev in posledic, ki so podane brez dokazov, saj so le-ti precej enostavni. Dokazi so podani v [1].
Trditev 3.18. Naj bo f integrabilna nad E. Potem je f konˇcna na E in velja Z
E
f = Z
E\E0
f, ˇce je E0 ⊆E in m(E0) = 0.
Trditev 3.19 (Linearnost in monotonost integracije). Naj bosta f in g integra- bilni funkciji, definirani na mnoˇzici E. Potem za vsak α in β velja
Z
E
(αf +βg) =α Z
E
f +β Z
E
g.
Ce naˇ E velja, da ja f ≤g, je tudi Z
E
f ≤ Z
E
g.
Posledica 3.20. Naj bo f integrabilna nad E, mnoˇzici A in B pa naj bosta disjunktni merljivi podmnoˇzici mnoˇzice E. Potem velja:
Z
A∪B
f = Z
A
f+ Z
B
f.
Linearnost in monotonost sta lastnosti, ki veljata tudi za Rimeannov integral.
Naslednji dve lastnosti, ˇstevna aditivnost in zveznost, pa veljata le za Lebesgueov integral. ˇStevno aditivnost za Lebesgueov integral pa lahko poveˇzemo z ˇze znanim pojmom, in sicer s ˇstevno aditivnostjo pri Lebesgueovi meri.
Izrek 3.21 (ˇStevna aditivnost integracije). Naj bo funkcija f integrabilna na E in {En}∞n=1 disjunkten nabor merljivih podmnoˇzic mnoˇzice E, katerih unija je E.
Potem velja
Z
E
f =
∞
X
n=1
Z
En
f.
Izrek 3.22 (Zveznost integracije). Naj bo f integrabilna na E. Potem velja:
(i) ˇce je {En}∞n=1 naraˇsˇcajoˇc ˇstevni nabor merljivih podmnoˇzic mnoˇziceE, po- tem je
Z
∪∞n=1En
f = lim
n→∞
Z
En
f,
(ii) ˇce je {En}∞n=1 padajoˇc ˇstevni nabor merljivih podmnoˇzic mnoˇzice E, potem je
Z
∩∞n=1En
f = lim
n→∞
Z
En
f.
Glavni namen Lebesgueovega intervala je posploˇsitev in razˇsiritev druˇzine funk- cij, ki so integrabilne. To seveda ˇse ni zagotovilo, da so vse funkcije Lebesgueovo integrabilne. Poglejmo si primer take funkcije.
Primer 3.23.
f(x) = sin(x) x Oglejmo si ˇse graf te funkcije za x≥0.
Slika 2. Graf funkcije f(x) = sin(x)x .
Vrednost integrala te funkcije sicer lahko izraˇcunamo z razliˇcnimi metodami.
Lahko se posluˇzimo raˇcunanja v kompleksnem ali pa uporabimo Laplacejevo trans- formacijo. Dobimo
Z ∞ 0
sin(x)
x dx= π 2.
Namreˇc ko raˇcunamo integral te funkcije, doloˇcimo vrednost (oziroma ploˇsˇcino) prvega pozitivnega dela in odˇstejemo vrednost negativnega dela, potem spet priˇstejemo vrednosti naslednjega pozitivnega dela in tako delje. Vrednosti se po seˇstevanju in odˇstevanju pribliˇzujejo π2.
Ko hoˇcemo izraˇcunati Lebesgueov integral, pa seˇstejemo vrednosti integrala za pozi- tivne dele funkcije in odˇstejemo vrednosti za negativne dele. Ker sta obe vrednosti enaki ∞, funkcija ni integrabilna. Da bi lahko izraˇcunali Lebesgueov integral, bi morala biti integrabilna tudi funkcija |sin(x)x |.
POGLAVJE 4
Razredi funkcij
V tem poglavju si bomo ogledali nekaj razredov funkcij, pri ˇcemer se bomo naj- bolj posvetili absolutno zveznim funkcijam in njihovi povezavi z integralom. Predsta- vljene pa bodo tudi zvezne, enakomerno zvezne in Lipschitzove funkcije ter funkcije z omejeno variacijo. Za laˇzjo predstavo o povezavi med prej naˇstetimi razredi funkcij si oglejmo naslednje vsebovanosti (definicijsko obmoˇcje je pri tem kompaktno):
zvezno odvedljive funkcije⊂ Lipschitzove⊂ absolutno zvezne ⊂funkcije z omejeno variacijo ⊂ skoraj povsod odvedljive funkcije ⊂ zvezne funkcije
Poleg same obravnave funkcij bo pokazano tudi, da vsebovanosti, kot so navedene zgoraj, res drˇzijo. Glavna vira poglavja sta [1] in [7].
4.1. Zvezne in Lipschitzove funkcije
Definicija 4.1. Funkcija f : D→R je zvezna v toˇcki a ∈D, ˇce za vsak > 0 obstajaδ >0, tako je da je|f(x)−f(a)|< , ˇce je le|x−a|< δ. Funkcijaf :D→R je zvezna na mnoˇzici D, ˇce je zvezna v vsaki toˇcki mnoˇzice D.
Za funkcije, ki so zvezne na svojem definicijskem intervalu, reˇcemo le, da so zvezne, same mnoˇzice Dpa pri tem ne omenjamo. V nadaljevanju se bo torej pojem zvezna funkcija nanaˇsal na funkcijo, zvezno na njenem definicijskem intervalu.
Definicija 4.2. Funkcija f : D → R je enakomerno zvezna na D, ˇce za vsak > 0 obstaja δ > 0, tako je da je |f(x)−f(y)| < za vsaka x, y ∈ D, za katera velja|x−y|< δ.
Kakˇsna je razlika med zvezno in enakomerno zvezno funkcijo? Iz definicije 4.1 vidimo, da je δ odvisen od . Za enakomerno zvezno funkcijo pa velja, da obstaja δ, ki je dober za vsak x. Vsaka funkcija, ki je enakomerno zvezna na D, je seveda tudi zvezna naD, medtem ko obratno velja le v primeru, ko je definicijsko obmoˇcje kompaktno.
Izrek 4.3. Naj bo f : K → R zvezna, kjer je K kompaktna. Potem je f tudi enakomerno zvezna.
Primer4.4. Funkcijaf :R→R, f(x) =x2 je zvezna, ni pa enakomerno zvezna.
Za enakomerno zveznost ˇzelimo, da obstajaδ, ki ustreza vsakemux. Izberimo= 1,
