4.2 Projekcija na ravnino xz
4.2.4 Ukrivljenost parabole
Ukrivljenost ravninske krivulje izraˇcunamo po formuli [8]
κ= |x00(z)|
(1 + [x0(z)]2)3/2, kjer je funkcijax(z) = 1− z2a2.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 23
Slika 4.7: Spreminjanje ploˇsˇcine lika v odvisnosti od a.
-1.0
Slika 4.8: Ukrivljenost krivulje, v odvisnosti od z ina.
Sledi je polmer ukrivljenosti ρ = a. Pri paraboli je a = p, torej parameter naˇse parabole. Kako se spreminja ukrivljenost v odvisnosti od a in z, pa je razvidno na 3D grafu (slika 4.8 ) narisanem v Wolfram Mathematica.
Parametriˇcno obliko projekcije Evdoksove hipopede na ravnino yz, katero ˇze poznamo, bomo v nadaljevanju preoblikovali v implicitno obliko
y=rsint
S tem ko smo se znebili parametratin preoblikovali zgornjo enaˇcbo, smo dobili
y2 = r
az2(1− z2 4ar).
Izraˇcunana krivulja ima obliko podobno osmici (slika 4.9), katero s pomoˇcjo preoblikovanja spremenimo v implicitno obliko ˇse na naslednji naˇcin
4a2y2 = (4a(1−a)−z2)z2.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 25
Slika 4.9: Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino yz.
Dobljena osmica ima dve simetrali in sicer osy in os z. Prvi mejni pri-mer je ponovno, ko a 7→ 1 in v tem primeru se osmica degenerira v toˇcko S(0,0). V drugem mejnem primeru, ko a7→1, pa v daljico, ki leˇzi na osi y in med toˇckama (−1,0) in (1,0).
Na sliki 4.10 je dobro razvidno, kako se krivulja spreminja, ko potuje med mejnima primeroma.
Ceˇ a = 12, je enaˇcba projekcije na ravnino yz oblike y2 = z2−z4. Do-bljena krivulja ima tudi posebno ime, in sicer ji reˇcemo Geronova lemniskata (rdeˇca krivulja na sliki 4.10), ker jo je prvi temeljito preˇstudiral francoski matematik Camille-Christopher Gerono [22].
4.3.1 Bitangentnost
Pojem bitangentnost uporabimo takrat, ko obstaja tangenta na krivuljo, ki se jo dotika v dveh toˇckah [23].
Slika 4.10: Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino yz: a= 0,5 (rdeˇca), a= 0,2 (zelena), a= 0,9 (modra).
V nadaljevanju bomo izraˇcunali smerni koeficient tangente na dobljeno osmico ter ga enaˇcili z vrednostjo 0. Na ta naˇcin bomo izvedeli, v kateri toˇcki doseˇze krivulja svoj preobrat in poslediˇcno ugotovili, ali velja pogoj bitangentnosti.
Iz enaˇcbe krivulje osmice izrazimo spremenljivko z y2 = [f(z)]2 = (4a(1−a)−z2)z2
4a2 ,
y=f(z) =± 1 2a
p(4a(1−a)−z2)z2.
Odvod f0(z) oziroma smerni koeficient tangente na krivuljo je f0(z) = ± 1
2a · 1
2(4az2−4a2z2 −z4)−12(8az−8a2z−4z3)
=± 8az −8a2z−4z3 4a√
4az2−4a2z2 −z4
=± 2az −2a2z−z3 a√
4az2−4a2z2−z4.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 27
V nadaljevanju izraˇcunamo, kdaj je f0(z) = 0. Pri tem imenovalec odvoda izpustimo, saj le-ta ne sme nikoli zavzeti vrednosti 0.
z(2a−2a2−z2) = 0,
Izraˇcunamo vrednost spremenljivke y y1 =
Dobili smo ˇstiri toˇcke (A, B, C, D, slika 4.11), za katere velja, da leˇzijo na krivulji, ter so najbolj oddaljene od osi z. Toˇcki A, C povezuje ista tangenta in toˇcki B, D prav tako. V toˇckah A, C ter B, D ima osmica bitangentnost.
4.3.2 Samopreseˇ ciˇ sˇ ce
Oˇcitno osmica preseka samo sebe v toˇcki S(0,0).
Slika 4.11: Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino yz: bitangentost krivulje ter preseˇciˇsˇce krivulje same s seboj.
Formalno je samopreseˇciˇsˇce izjemnih toˇck krivulje, ko je
F(y, z) = z4−4(a−a2)z2+ 4ay2 = 0.
Iz njene enaˇcbe dobimo izjemne toˇcke, tam, kjer je F(y, z) = 0,
∂F
∂y = 0,
∂F
∂z = 0.
Enaˇcba
∂F
∂y = 8ay= 0, nam da
y = 0.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 29
Enaˇcba
∂F
∂z = 4z3−8(a−a2)z = 0, nam da
z = 0, z =±p
2(a−a2).
V toˇckah (0,±p
2(a−a2)) pa F(0,±p
2(a−a2) =−(a−a2)2 6= 0.
Tako opazimo, da je edina izjemna toˇcka, kjer osmica preseka samo sebe, le S(0,0) in je razvidna na sliki 4.11.
4.3.3 Kot v samopreseˇ ciˇ sˇ cu
Pri izraˇcunu kota v samopreseˇciˇsˇcu v primerjavi s kvadratnima ˇclenoma zanemarimo ˇclenz4 iz enaˇcbe krivulje osmice, saj predpostavljamo, da je ta ˇ
clen blizu samopreseˇciˇsˇca tako majhen, da je za izraˇcun kota nepomemben
−4(a−a2)z2+ 4a2y2 = 0, a2y2−(a−a2)z2 = 0, (ay−√
a−a2z)(ay+√
a−a2z) = 0.
Sledi
z =± a
√a−a2y.
Slika 4.12: Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino yz: samopreseˇciˇsˇce krivulje.
Za izraˇcun kota α2, (slika 4.12), uporabimo zvezo tanα= zy. Sledi tanα
2 = a
√a−a2. Zelimo izraˇˇ cunati celotni kotα:
tanα= tan 2α
2 = 2 tanα2 1−tan2 α2 =
√2a a−a2
1− a−aa22
= 2a√ a−a2
a−a2−a2 = 2√ a−a2 1−2a .
Upoˇstevamo, da velja enakost 1 + tan2α= cos12α
1
cos2α = 1 +4(a−a2)
(1−2a)2 = 1−4a+ 4a2+ 4a−4a2
(1−2a)2 = 1
(1−2a)2.
Sledi
cos2α= (1−2a)2, cosα= 1−2a.
V poglavju 5.2 bomo obravnavali kot v samopreseˇciˇsˇcu, opazovano v prostoru in tam opisali doloˇcene izraˇcunane zanimivosti.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 31
4.3.4 Ploˇ sˇ cina lika, ki ga omejuje osmica
Za izraˇcun ploˇsˇcine lika [11], katerega omejuje krivulja, je zaradi simetrije dovolj izraˇcunati le eno ˇcetrtino krivulje. Pri tem moramo biti tudi pozorni kako doloˇcamo meje integriranja glede na spremenljivko z
S1
V nadaljevanju uporabimo substitucijo u = z2, du = 2zdz, pri ˇcemer moramo biti pozorni na zamenjavo mej integracijskega intervala
S1
Ponovno uporabimo metodo substitucije, tokratw= 4a−4a2−u,dw=
−du, kjer moramo prav tako biti pozorni, da zamenjamo meje integriranja
S1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a 0.5
1.0 1.5
Slika 4.13: Ploˇsˇcina lika S v odvisnosti od parametra a.
Ploˇsˇcina celotnega lika, ki ga omejuje osmica je S = 16
V nadaljevanju bomo izraˇcunali vrednost najveˇcje ploˇsˇcine [12]
S2 = 256
Sedaj izraˇcunamo ˇse kdaj je odvod funkcije S(a) enak 0 dS2
Moˇznost a1 ne pride v poˇstev, saj smo na zaˇcetku diplomskega dela definirali a <1. Koa2 pa
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 33
Na sliki 4.13 je razvidna velikost ploˇsˇcine lika v odvisnosti od polmera valja oziroma od parametra a.
Dokaz, da je res naraˇsˇcajoˇca funkcija do svojega maksimuma, pa dobimo iz izraˇcuna
d2S2 da2 (1
4) = 256·3
9 [(1−a2)−(6a(1−a)·3(1−a)2)] =−609 <0.
4.3.5 Ukrivljenost osmice
Iz enaˇcbe osmice izrazimoy y(z) =
r1−a a ·z·
s
1− z2 4a(1−a).
Ponovno uporabimo isto formulo kot pri izraˇcunu ukrivljenosti parabole ter izraˇcunamo ukrivljenost osmice
κ= |y00(z)|
(1 + [y0(z)]2)3/2.
Zaradi teˇzavnih odvodov s pomoˇcjo raˇcunalniˇskega programa Derive do-bimo
κ= a2z|z2+ 6a(a−1)|
(z4+az2(3a−4)−4a2(a−1))3/2.
V primeru, ko jez = 0, je ukrivljenost κ= 0 in je neodvisna oda.
V posebnem primeru, ko je a= 12, sledi κ= z(3−2z2)
(4z4−5z2+ 2)3/2.
Za a7→1 se κ zelo ˇcudno obnaˇsa. Za a7→ 0 pa gre κ7→0. Rezultat je smiseln, saj v slednjem primeru za projekcijo na ravninoyz dobimo daljico (premer sfere), ukrivljenost ravne krivulje pa je vedno 0.
Poglavje 5
Lastnosti Evdoksove hipopede
V tem poglavju bomo raziskali lastnosti Evdoksove hipopede kot krivulje v prostoru. Izraˇcunali bomo dolˇzino krivulje, kot v samopreseˇciˇsˇcu, povrˇsino ploskve, prostornino telesa, ki nastane pri preseku valja in sfere znotraj valja, ter doloˇcili ukrivljenost krivulje.
5.1 Dolˇ zina
Dolˇzino Evdoksove hipopede izraˇcunamo po formuli [8]
l = Z b
a
px˙2 + ˙y2+ ˙z2dt.
Za kasnejˇse laˇzje odvajanje spremenimo parametertz uvedbo nove spre-menljivke τ = 2t. Omejitev|t| ≤2π preide v |τ| ≤π.
Dobimo
x=a+rcos(2τ), y=rsin(2τ), z = 2√
arsinτ,
|τ| ≤π, r= 1−a.
35
˙
Evdoksovi hipopedi ustreza parameter τ med −π inπ, zato je
l=
Evdoksova hipopeda je dvakrat simetriˇcna, zato lahko njeno dolˇzino zapiˇsemo tudi na naslednji naˇcin, pri tem spremenimo tudi meje integri-ranja
Integral zapiˇsemo s pomoˇcjo popolnega eliptiˇcnega integrala E druge vrste [13], ki je definiran na naslednji naˇcin v Legendrovi obliki
E(ε) = Z π2
0
q
1−ε2sin2ψdψ,
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 37
Slika 5.1: Spreminjanje dolˇzine krivulje v odvisnosti od a.
kjer 0< ε <1.
Za naˇs izraˇcun je ε=√
a, torej je dolˇzina krivulje v sploˇsnem naslednja l = 8√
1−aE(√ a).
Vrednosti eliptiˇcnega integrala E(ε) dobimo s pomoˇcjo tabel, katere najdemo v matematiˇcnih priroˇcnikih [10] ali jih izraˇcunamo s primernim raˇcunalniˇskim programom.
S pomoˇcjo programa Wolfram Mathematica je na sliki 5.1 razvidno, kako se spreminja dolˇzina krivulje v odvisnosti od a.
Primer: a= 12.
V matematiˇcnem priroˇcniku poiˇsˇcem E( 1
lepˇsem primeru, ko je a= 12 (Vivianijeva krivulja).
5.2 Kot v samopreseˇ ciˇ sˇ cu
Evdoksova hipopeda seˇce samo sebe pri τ = 0 in τ =π. Pri τ = 0 dobimo toˇcko A(1,0,0), kjer hipopeda seka samo sebe. Pri τ = π pa dobimo po-novno isto toˇcko A.
Zaˇcnemo z izraˇcunom vrednosti prvega odvoda
~˙
r = (−2rsin(2τ),2rcos(2τ),2√
arcosτ), v naslednjih toˇckah
~r(0) = (0,˙ 2r,2√ ar),
~˙
r(π) = (0,2r,−2√ ar).
Izraˇcunamo ˇse dolˇzino zgornjih vektorjev
|~r(0)|˙ = ploskvi, ki se sekata v neki toˇcki
cosα=
~r˙1~r˙2
|~r˙1||~r˙2|.
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 39
Krivulji se sekata pod pravim kotom natanko tedaj, ko je ˙~r1~r˙2 = 0.
V formulo vstavimo izraˇcunane vrednosti vektorja~r
cosα=
V najlepˇsem primeru, ko je a= 12, je vrednost kota v samopreseˇciˇsˇcu cosα = 1−2a,
α = 90◦.
Opazimo, da je kot v projekciji na ravnino yz enak kotu v prostoru. To je razumljivo, saj v obeh primerih raˇcunamo kot v samopreseˇciˇsˇcu S(0,0).
Obakrat dobimo enako, saj kot projiciramo na tangentno ravnino sfere v toˇckahS(0,0), ta ravnina pa je vzporedna ravnini yz.
5.3 Povrˇ sina ploskve
Povrˇsino ploskve, ki je dana eksplicitno z enaˇcbo z = z(x, y), izraˇcunamo po formuli [9]
kjer je vsaka toˇcka integracijskega obmoˇcja D, ki je pravokoten projekciji ploskve na ravnino xy enoliˇcno doloˇcena s svojo projekcijo v ravnini xy,
koordinatama.
Iz enaˇcbe sfere x2 +y2+z2 = 1 izrazimo koordinato z in izraˇcunamo particialna odvoda izraza z=p
1−x2−y2
Zaradi simetriˇcnosti lahko zapiˇsemo P = 4
Izraˇcunali bi radi povrˇsino sfere znotraj valja, pri tem je D = {(x, y) : (x−a)2+y2 ≤(1−a)2, y ≥0}, kjer 0< a <1, slika 5.2.
V nadaljevanju moramo vpeljati polarne koordinate, na podlagi opisa naˇsega integracijskega obmoˇcja D
(x−a)2+y2 = (1−a)2, x2+y2−2ax+a2 = 1−2a+a2,
x2+y2 = 2ax+ (1−2a).
Vemo, da x=rcosϕ iny=rsinϕ, zato sledi r2 = 2arcosϕ+ (1−2a).
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 41
Slika 5.2: Integracijsko obmoˇcje D.
Iz enaˇcbe r2−2arcosϕ−(1−2a) = 0 izrazimo r
r= 2acosϕ±p
4a2cos2ϕ+ 4(1−2a)
2 ,
r=acosϕ±p
a2cos2ϕ+ (1−2a).
Sedaj bi lahko izraˇcunali integral za povrˇsino ploskve, vendar zaradi za-pletenih integralov pridemo v brezpredmetno raˇcunanje povrˇsine naˇse plo-skve.
Raˇcunanje povrˇsine ploskve se poenostavi le v primeru ko je je a = 12, saj v tem primeru brez veˇcjih teˇzav poenostavimo zapis polarne koordinate
r2 = 2arcosϕ+ (1−2a), r= cosϕ,
kjer 0≤ϕ≤ π2.
Z upoˇstevanjem Jacobijeve determinante [24] lahko nadaljujemo z izraˇcunom.
Povrˇsina ploskve je torej
P = 4
S postopkom substitucije uvedemo novo spremenljivkou= 1−r2, du=
−2rdr
Zgoraj izraˇcunana vrednost predstavlja povrˇsina ploskve, ki jo omejuje Evdoksova hipopeda na enotski sferi, v primeru, ko je a= 12.
5.4 Prostornina telesa
Prostornino telesa, pod ploskvijo, ki je dana eksplicitno z enaˇcboz =f(x, y) in nad ravnino xy, dobimo s pomoˇcjo formule [9]
V = Z Z
D
z dxdy.
Pri tem jeD pravokotna projekcija telesa na ravninoxy, prikazano na sliki 5.2.
Na podlagi zgoraj zapisane formule lahko izraˇcunamo prostornino telesa, ki je znotraj valja (x−a)2+y2 = (1−a)2 in sfere x2+y2+z2 = 1. Zaradi simetriˇcnosti lahko poenostavimo in zapiˇsemo
V = 4 Z Z
D
p1−x2−y2dxdy.
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 43
Potrebujemo polarni zapis za doloˇcitev mej integriranja, ki smo ga izraˇcunali ˇ
ze pri poglavju povrˇsina ploskve, ter spremenimo zapis in uporabimo Jaco-bijevo determinanto
Ponovno zaidemo v teˇzave pri integriranju.
Izraˇcun prostornine bomo nadaljevali za primer, ko je a= 12
V = 4
S postopkom substitucije uvedemo novo spremenljivkou= 1−r2, du=
−2rdr
V nadaljevanju bomo izraˇcunali fleksijsko in torzijsko ukrivljenost Evdo-ksove hipopede. Naj bo K krivulja z enaˇcbo ˙~r(τ) vsaj trikrat zvezno od-vedljiva funkcija parametra τ. Zato moramo najprej izraˇcunati prve tri
~r(τ˙ ) = (−2rsin(2τ),2rcos(2τ),2√
Fleksijska ukrivljenost nam pove, koliko krivulja~r(τ) odstopa od ravnosti, kot jo poznamo pri premici. Fleksijska ukrivljenost [14] oznaˇcimo κ in pomeni hitrost, s katero se tangenta vrti, ko se dotikaliˇsˇce po K giblje s hitrostjo 1
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 45
Dolˇzina zgoraj izraˇcunanega vektorja je
|~r˙×~r|¨ =
Fleksijska ukrivljenost je torej κ= 4r√
0.0
0.5
1.0
Τ
0 1 2
1 2
3 4
Slika 5.3: Ukrivljenost Evdoksove hipopede.
V primeru, ko je τ = 0 (gledamo kot v samopreseˇciˇsˇcu), dobimo
κ= 1,
in opazimo, da je ukrivljenost neodvisna od parametra a.
V primeru, ko je τ = π2 (najviˇsje leˇzeˇci toˇcki krivulje), dobimo κ=
√4−3a 2(1−a)3/2,
kjer je ukrivljenost odvisna od parametra a. Torej za a7→1 ukrivljenost κ raste preko vseh meja. Ko a7→0 teˇziκ proti 1 (slika 5.3).
5.5.2 Torzijska ukrivljenost
Torzijsko ukrivljenost imenujemo tudi torzija oziroma zvitost krivulje v neki toˇcki in jo izraˇcunamo po formuli [8]
ω = ( ˙~r,~r,¨ ...
~r)
|~r˙×~r|¨2.
Torzijska ukrivljenost nam pove, kako moˇcno je krivulja zvita oziroma kako ostro v dani toˇcki v prostoru zavije ven iz svoje pritisnjene ravnine.
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 47
Krivulja je ravninska, ko je njena torzijska ukrivljenost enaka 0, torej ko je ω(τ) = 0 [8].
Za raˇcunanje torzijske ukrivljenosti moramo najprej doloˇciti meˇsani pro-dukt vektorjev ˙~r, ¨~r in...
Torzijska ukrivljenost je torej
ω = 3√
Zaa= 12, torej ko imamo Vivianijevo krivuljo, sta ukrivljenost in torzija naslednji
κ(τ) =
√3 cos2τ+ 5 (cos2τ + 1)3/2,
ω(τ) = 6 cosτ 3 cos2τ + 5.
Poglavje 6
Uporaba v ˇ soli
Evdoksova hipopeda je prostorska krivulja, ki je v osnovni in srednji ˇsoli ne obravnavamo, saj bi bila preteˇzak pojem. Vendar bi jo s pravilnim pristo-pom kljub temu lahko vkljuˇcili v izobraˇzevalni sistem.
V osnovni ˇsoli jo lahko omenimo pri matematiki ali pri matematiˇcnem kroˇzku, ko obravnavamo ravninske krivulje in tako spoznamo obstoj zahtev-nejˇsih ravninskih in prostorskih krivulj. Evdoksovo hipopedo lahko obrav-navamo tudi pri nekaterih izbirnih predmetih, kot je Multimedija in s tem povezano grafiˇcno oblikovanje, risanje, . . .
Raˇcunalniˇskih programov dinamiˇcne geometrije je veliko, a za uporabo v osnovni ˇsoli je najprimernejˇsi GeoGebra, ki omogoˇca enostavne, razumljive ukaze. Tako lahko s pomoˇcjo GeoGebre, verzije 5.0, ki omogoˇca 3D risanje, uˇcencem prikaˇzemo postopek konstrukcije Evdoksove hipopede in nekatere njene lastnosti.
Za uˇcence zanimivo in pouˇcno dejstvo je tudi to, da se ravninska upodo-bitev krivulje imenuje lemniskata. Beseda pomeni volneni trak, s katerim so zmagovalcu v antiˇcnih ˇcasih na doloˇcenih tekmovanjih na glavo privezali
49
kakˇsen znak spoˇstovanja do njega. Latinska beseda (lemniscus) pa je znana v anatomiji. Predstavlja majhen vozel, ki se nahaja v ˇcloveˇski glavi [7].
6.1 Evdoksove hipopede v GeoGebri
- S pomoˇcjo ukaza Sfera s srediˇsˇcem in polmerom izberemo srediˇsˇce sfere in vnesemo polmer. Na takˇsen naˇcin nastane sfero s srediˇsˇcem v toˇcki S= (0,0) in ima polmer r= 1, slika 6.1.
Slika 6.1: Konstrukcija Evdoksove hipopede - sfera.
- V nadaljevanju ˇzelimo konstruirati valj s polmerom, ki je odvisen od parametraa. Zato moramo sedaj ustvariti drsnik, ki bo predstavljal vredno-sti, ki jih lahko zavzame parameter a. S klikom na ukaz Drsnik na risalni povrˇsini doloˇcimo njegovo vrednost, torej 0≤a≤1.
- Sedaj nariˇsemo valj. To naredimo s pomoˇcjo ukazaValj, izberemo dve toˇcki (A, B) in polmer, ki meri 1−a, slika 6.2.
POGLAVJE 6. UPORABA V ˇSOLI 51
Slika 6.2: Konstrukcija Evdoksove hipopede - valj.
- Te dve toˇcki moramo definirati tako, da se bo valj v eni toˇcki dotikal sfere. Torej A(1−a,0,5), B(1−a,0,−5), slika 6.3.
Slika 6.3: Konstrukcija Evdoksove hipopede - valj - sprememba definiranosti toˇck A inB.
- Sedaj pa moramo le ˇse spremeniti definiranost valja, in sicer ga mo-ramo omejiti, da se lahko giblje le od toˇcke A, B po parametru a, slika 6.4.
Slika 6.4: Konstrukcija Evdoksove hipopede - konˇcna.
6.2 Primer naloge za Oˇ S
Evdoksovo hipopedo bi lahko v osnovni ˇsoli obravnavali pri projektu med-predmetne povezave Matematike ter Tehnike in tehnologije v 8. razredu.
Projekt bi lahko bil, kako narediti, da se bo dimnik v obliki valja ravno prilegal okrogli strehi.
V sklopu Matematike bi uporabljali dinamiˇcno orodje GeoGebro, s kate-rim bi narisali telo in si tako bolje predstavljali. V sklopu predmeta Tehnika in tehnologijja pa praktiˇcno naredili izdelek iz umetnih snovi (na primer:
penastega polistirena). Z uˇcenci bi spoznali krivulje (parabolo) ter kasneje z vnaˇsanjem nekaj toˇck v enaˇcbo parabole le-to narisali na ravnino (npr.
leseno). V nadaljevanju bi v tehniˇcni delavnici izrezali leseno ravnino po narisani paraboli. Nadaljno obdelavo pa usmerili v delo z vroˇco ˇziˇcko in po leseni podlagi izrezali ravno tisti ˇzeljeni del valja, ki se ravno prilega na kroglo. Na ta naˇcin bi lahko dobili okroglo streho, na katero se prilega valjast dimnik.
Naˇsa naloga bi lahko bila tudi narisati na sferi Evdoksovo hipopedo.
POGLAVJE 6. UPORABA V ˇSOLI 53
Obris krivulje na kroglo, bi dobili tako, da fiksiramo valj nad sfero in proji-ciramo toˇcke osnovne ploskve valja na sfero. To lahko naredimo na primer z laserjem ali vrvico z vpetim svinˇcnikom.
Poglavje 7 Zakljuˇ cek
Pri pisanju diplomske naloge smo skuˇsali ˇcim bolj temeljito raziskati Ev-doksovo hipopedo, katere pred zaˇcetkom pisanja diplomskega dela nismo poznali. Spoznali smo, da gre za zanimivo prostorsko krivuljo z mnogimi lepimi lastnosti.
Analiza krivulje se je zaˇcela s preuˇcevanjem njene zgodovine. Pri tem smo ugotovili, da je obravnavana matematiˇcna krivulja tesno povezana z astronomijo, gibanjem planetov in znanstvenikom, ki je zaˇcel s podrobno raziskavo le-teh.
Opredelili smo razliˇcne projekcije prostorske krivulje na koordinatne rav-nine in pri tem spoznali, kako lepe krivulje nastanejo (kroˇznica, parabola, osmica). Pri analizi prostorske krivulje pa smo naleteli na kar nekaj teˇzav z raˇcunanjem povrˇsine lika, ki ga omejuje krivulja na sferi, ter prostornine telesa, ki ga doloˇcata ustrezen valj in sfera.
Spoznali smo, da lahko obravnavano temo vpeljemo tudi v osnovno ˇsolo.
Z doloˇcenimi prilagoditvami lahko uˇcencem predstavimo prostorsko krivuljo na tak naˇcin, da tudi oni sodelujejo pri raziskovanju.
55
Literatura
[1] R. Bratoˇz, Grˇska zgodovina, Zveza zgodovinskih druˇstev, Ljubljana, 1997.
[2] M. Razpet, Studijsko gradivo: Proklova hipopeda, Pedagoˇska fakulteta,ˇ Ljubljana, 2013
[3] M. Hladnik, Studijsko gradivo: Zgodovina matematike 1. del, Fakultetaˇ za matematiko in fiziko, Ljubljana, 2013.
[4] C. M. Linton, From Eudoxus to Einstein, A history of Mathematical Astronomy,Cambridge University, 2004.
[5] W. P. Berlinghoff in drugi, Matematika skozi stoletja, Narodna in uni-verzitetna knjiˇznica, Ljubljana, 2002.
[6] D. Struik, Kratka zgodovina matematike, Druˇstvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije,
[7] M. Razpet, Studijsko gradivo: Evdoksova hipopeda, Pedagoˇska fakul-ˇ teta, Ljubljana, 2013.
[8] I. Vidav, Viˇsja matematika I, DMFA , Ljubljana, 2008.
[9] II. Vidav, Viˇsja matematika II, DZS , Ljubljana, 1979.
[10] I. N. Bronˇstejn in drugi,Matematiˇcni priroˇcnik, Narodna univerzitetna knjiˇznica, Ljubljana, 2009.
57
del, Fakulteta za strojniˇstvo. Ljubljana, 2001.
[12] M. Cencelj, Studijsko gradivo: Analiza I, Pedagoˇska fakulteta, Lju-ˇ bljana, 2007.
[13] M. Razpet,Ravninske krivulje, Druˇstvo matematikov, fizikov in astro-nomov Slovenije, Ljubljana, 1998.
[14] J. Globevnik in drugi,Analiza II, FMF, Ljubljana, 2010.
[15] Evdoks,
http://catalogue.museogalileo.it/biography/EudoxusCnidos.
html
(07.08.2013) [16] Evdoks - slika,
http://www.larousse.fr/encyclopedie/personnage/Eudoxe/
118669l
[17] Platonova Akademija,
http://www.kraljevska-akademija.com/
(16.08.2013)
[18] Platon in Akademija,
http://www.akropola.org/clanki/clanek.aspx?lit=297 (16.08.2013)
[19] Eudoxus homocentric spheres,
http://web.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%
20Mathematics/Eudoxus/Astronomy/EudoxusHomocentricSpheres.
htm
(07.01.2014)
LITERATURA 59
[20] 3D Mathematica,
http://demonstrations.wolfram.com/HippopedeOfEudoxus/
(10.10.2013)
[21] Vivianijeva krivulja,
http://mathworld.wolfram.com/VivianisCurve.html (10.10.2013)
[22] Geronova lemniskata,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Lemniscate+of+Gerono
[23] Bitangentnost,
http://mathworld.wolfram.com/Bitangent.html (07.01.2014)
[24] Jakobijeva determinanta,
http://www.math24.net/change-of-variables-in-double-integrals.
html
(07.01.2014)