UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
DIPLOMSKO DELO
PETRA GULJA
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
ˇ Studijski program: Matematika in tehnika
EVDOKSOVA HIPOPEDA
DIPLOMSKO DELO
Mentor:
dr. Marko Razpet, izr. prof.
Kandidatka:
Petra Gulja
Ljubljana, februar, 2014
Program dela
V diplomskem delu obravnavajte Evdoksovo hipopedo v pravokotnem kar- teziˇcnem koordinatnem sistemu.
Ljubljana, 3. september 2013 Mentor: dr. Marko Razpet
III
Zahvala
Najprej bi se rada zahvalila svojim starˇsem in bratu za vse spodbude, ki so mi jih dajali skozi celoten ˇstudij in verjeli vame tudi takrat, ko mi ni ˇslo.
Posebna zahvala gre mojemu Saˇsu za vso pomoˇc, vzpodbude in pozi- tivne misli.
Iskreno se zahvaljujem tudi svojemu mentorju dr. Marku Razpetu za vso strokovno pomoˇc ter neizmerno dostopnost v ˇcasu nastajanja diplomskega dela. Potrpeˇzljivo odgovarjanje na vsa moja vpraˇsanja in nudenje nasvetov.
Zahvalila bi se tudi vsem ostalim sorodnikom, prijateljem, soˇsolcem, ki so kakorkoli pripomogli, da mi je uspelo.
V
Povzetek
V diplomskem delu je predstavljena prostorska krivulja, imenovana Evdo- ksova hipopeda, ki ima obliko osmice, ukrivljene v prostoru in nastane pri preseku sfere in valja. Valj se sfere dotika na notranji strani in tako os valja sfero dvakrat prebode.
Cilj diplomskega dela je ˇcim bolj podrobna obravnava krivulje, zato so v nadaljevanju obravnavane njene lastnosti. Podrobno bomo opisali projek- cije Evdoksove hipopede na koordinatne ravnine. Predstavljena pa je tudi moˇzna obravnava krivulje v osnovni ˇsoli.
Kljuˇcne besede: krivulja, Evdoksova hipopeda, sfera.
VII
Abstract - Hippopede of Eudoxus
The thesis presents a spatial curve, called Hippopede of Eudoxus, which has the shape of a figure eight curved in space and occurs at the intersection of a sphere and a cylinder. A cylinder touches a sphere on the inner side and the axis of the cylinder pierces the sphere twice.
The aim of the thesis is to examine the hippopede and its properties.
We will describe in detail the projections of hippopede of Eudoxus on the co-ordinate planes. The conclusion offers possibilities of using the curve in primary school.
Key words: curve, hippopede of Eudoxus, sphere.
MSC(2010): 01A20, 26A06, 26B15, 53A04, 53A05.
IX
Kazalo
Program dela . . . III Zahvala . . . V Povzetek . . . VII Abstract . . . IX
1 UVOD 1
2 Evdoks iz Knida 3
3 Evdoksova hipopeda 9
3.1 Parametrizacija . . . 10
4 Projekcija na koordinatne ravnine 13 4.1 Projekcija na ravnino xy . . . 13
4.1.1 Ukrivljenost kroˇznice . . . 14
4.2 Projekcija na ravnino xz . . . 15
4.2.1 Preseˇciˇsˇce parabole in kroˇznice . . . 18
4.2.2 Dolˇzina parabole . . . 19
4.2.3 Ploˇsˇcina med parabolo in kroˇznico . . . 21
4.2.4 Ukrivljenost parabole . . . 22
4.3 Projekcija na ravnino yz . . . 24
4.3.1 Bitangentnost . . . 25
4.3.2 Samopreseˇciˇsˇce . . . 27
4.3.3 Kot v samopreseˇciˇsˇcu . . . 29 XI
4.3.5 Ukrivljenost osmice . . . 33
5 Lastnosti Evdoksove hipopede 35 5.1 Dolˇzina . . . 35
5.2 Kot v samopreseˇciˇsˇcu . . . 38
5.3 Povrˇsina ploskve . . . 39
5.4 Prostornina telesa . . . 42
5.5 Ukrivljenost . . . 43
5.5.1 Fleksijska ukrivljenost . . . 44
5.5.2 Torzijska ukrivljenost . . . 46
6 Uporaba v ˇsoli 49 6.1 Evdoksove hipopede v GeoGebri . . . 50
6.2 Primer naloge za OˇS . . . 52
7 Zakljuˇcek 55 Literatura . . . 57
Slike
2.1 Evdoks iz Knida [16]. . . 4
2.2 Platonova Akademija [17]. . . 6
2.3 Gibanje planetov [19]. . . 7
3.1 Presek sfere in valja [20]. . . 9
4.1 Pravokotna projekcija Evdoksove hipopede na ravnino xy. . 14
4.2 Pravokotne projekcije Evdoksove hipopede na ravnino xy: a= 0,15 (zelena),a= 0,5 (rdeˇca), a= 0,8 (modra). . . 15
4.3 Projekcija Evoksove hipopede na ravnino xz. . . 16
4.4 Projekcija Evdoksove hipopede na ravninoxz: a= 0,5 (rdeˇca), a= 0,1 (zelena),a = 0,7 (modra). . . 17
4.5 Dolˇzina parabole v odvisnosti od parametra a(Wolfram Ma- thematica). . . 20
4.6 Ploˇsˇcina lika omejenega s parabolo in delom kroˇznice. . . 22
4.7 Spreminjanje ploˇsˇcine lika v odvisnosti od a. . . 23
4.8 Ukrivljenost krivulje, v odvisnosti od z in a. . . 23
4.9 Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino yz. . . 25
4.10 Projekcija Evdoksove hipopede na ravninoyz: a= 0,5 (rdeˇca), a= 0,2 (zelena),a = 0,9 (modra). . . 26
4.11 Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino yz: bitangentost krivulje ter preseˇciˇsˇce krivulje same s seboj. . . 28
XIII
krivulje. . . 30
4.13 Ploˇsˇcina lika S v odvisnosti od parametra a. . . 32
5.1 Spreminjanje dolˇzine krivulje v odvisnosti od a. . . 37
5.2 Integracijsko obmoˇcje D. . . 41
5.3 Ukrivljenost Evdoksove hipopede. . . 46
6.1 Konstrukcija Evdoksove hipopede - sfera. . . 50
6.2 Konstrukcija Evdoksove hipopede - valj. . . 51
6.3 Konstrukcija Evdoksove hipopede - valj - sprememba defini- ranosti toˇckA in B. . . 51
6.4 Konstrukcija Evdoksove hipopede - konˇcna. . . 52
Poglavje 1 UVOD
S pogledom v noˇcno nebo opazimo, da se ves ˇcas nekaj dogaja, premika, opazimo, da vˇcasih poteka gibanje planetov v nekakˇsnih zankah. Planeti se gibljejo od vzhoda proti zahodu, vsake toliko ˇcasa pa naredijo zanko in nadaljujejo svojo pot v prvotni smeri. To gibanje planetov so raziskovali ˇ
ze na Platonovi akademiji v Atenah, v 4. stoletju pred naˇsim ˇstetjem. To nenavadno gibanje so skuˇsali pojasniti s krivuljo, ki je kasneje dobila ime Evdoksova hipopeda.
Osnovni namen diplomskega dela je podrobna obravnava krivulje, ime- novane Evdoksova hipopeda, kot so na primer njene projekcije na koordi- natne ravnine ter druge lastnosti te znamenite prostorske krivulje.
Evdoksova hipopeda ima obliko osmice, ukrivljene v prostoru in nastane pri preseku sfere in valja, ko se valj sfere dotika na notranji strani.
Krivulja je dobila ime po grˇskem matematiku Evdoksu, zato o njem tudi govori prvo poglavje diplomskega dela. Predstavljeno je njegovo zgo- dnje ˇzivljenje in ˇstudijska pot ter njegova znanstvena dela, ki so temelj za kasnejˇse Evklidove trditve, zapisane v slavni knjigi Elementi.
1
V drugem poglavju se seznanimo s pojmom parametrizacije Evdoksove hipopede, ki je temelj za nadaljno analizo krivulje. Predstavljen je tudi naj- lepˇsi primer Evdoksove hipopede, in sicer Vivianijeva krivulja, ki nastane tedaj ko je premer osnovne ploskve valja enak polmeru sfere.
V tretjem poglavju so predstavljene vse projekcije Evdoksove hipopede na koordinatne ravnine in pri tem je podanih kar se da veliko izraˇcunov.
Ker pa je Evdoksova hipopeda prostorska krivulja, se v ˇcetrtem poglavju osredotoˇcimo na raˇcunanje njene dolˇzine, velikost kota v samopreseˇciˇsˇcu, povrˇsino tistega dela sfere, ki je omejen s to krivuljo, prostornino telesa pod omenjeno ploskvijo ter njeno ukrivljenost.
Zadnje poglavje je namenjeno obravnavi Evdoksove hipopede v osnovni ˇsoli. Prikazana je konstrukcija Evdoksove hipopede s pomoˇcjo programa za dinamiˇcno geometrijo, in sicer GeoGebro, ter primer obravnave krivulje na uˇcencem razumljiv naˇcin.
Poglavje 2
Evdoks iz Knida
Evdoks je bil starogrˇski astronom, matematik, filozof in zdravnik, nekateri zapisi pa trdijo tudi, da je bil geograf in fizik ter praktiˇcni politik (slika??).
Rodil se je okrog leta 408 pr. n. ˇst. v Knidu, sedaj v Turˇciji na polotoku Dat¸ca, oˇcetu Ahinesu [1].
Ceprav je Evdoks eden izmed pomembnejˇsih znanstvenikov, je o njem leˇ malo biografskih podatkov. Vemo, da je zaˇcel svoj ˇstudij v Tarentu, kjer je skupaj z Arhitasom ˇstudiral matematiko. Nato je odpotoval na Sicilijo, kjer je pod mentorstvom zdravnika Philistiuma ˇstudiral medicino. Pri tri- indvajsetih letih se je pridruˇzil uˇcenjakom Platonove Akademije v Atenah in tam ˇstudiral filozofijo. Kasneje pa je na podlagi zahteve kralja Sparte odˇsel na diplomatsko pot v Egipt, kjer je v Heliopolisu preˇzivel ˇsestnajst mesecev in ˇstudiral astronomijo [15].
Pozneje je ustanovil svojo ˇsolo v Kiziku (Cyzicus) na severozahodu Male Azije, ob Mramornem morju. Uˇcenci njegove ˇsole so bili geometer Menajh- nmos, ki je bil Platonov privrˇzenec ter odkritelj stoˇznic. Njegov brat Dej- nostrat je bil tudi geometer ter prav tako kot Evdoks Platonov uˇcenec [2].
Bil je predhodnik Evklida in Ptolemaja. Nekaj Evklidovih trditev tudi 3
Slika 2.1: Evdoks iz Knida [16].
temelji na Evdoksovih raziskavah in so zapisane v Evklidovih Elementih.
Gre za kombinacijo in sistematiˇcno predstavitev doseˇzkov razliˇcnih starejˇsih grˇskih matematikov, strnjenih v trinajstih knjigah, ki vsebujejo dokaze in 465 trditev oz. propozicij [3].
Med Evdoksove najbolj odmevne teorije sodi zagotovo teorija sorazmer- nosti in metoda izˇcrpavanja. Prva je omogoˇcila formuliranje nove teorije proporcionalnosti, da bi lahko vse geometrijske koliˇcine (tudi nesoizmer- ljive) obravnavali precizno in enotno (ok. 370 p. n. ˇs.). Vpraˇsanje tistega ˇcasa je bilo, kako lahko primerjamo dve nesorazmerni dolˇzini, kot sta di- agonala kvadrata in stranica kvadrata. Le-ta problem je reˇsil Evdoks, na katerega je imel moˇcan vtis Hipokrat s svojimi odkritji o razmerju obsega in ploˇsˇcine kroga. Njegove reˇsitve pa niso bile nikoli strnjeno zapisane, temveˇc je to storil Evklid, ko jih je zapisal v svoji 5. knjigi zbirke Elementi. Podal je tako imenovan Evklidov stavek, ki je bil kasneje formuliran kot Arhime- dov aksiom: Pravimo, da so koliˇcine v istem razmerju: prva proti drugi in tretja proti ˇcetrti, kadar velja naslednje: ˇce pomnoˇzimo prvo in tretjo koliˇcino s katerimkoli ˇstevilom ter drugo in ˇcetrto s katerimkoli ˇstevilom, potem sta prva produkta hkrati veˇcja, enaka ali manjˇsa od ustreznih drugih
POGLAVJE 2. EVDOKS IZ KNIDA 5
dveh produktov. Na podlagi tega lahko trdimo, da je bila ta teorija eden izmed temeljev za Evklidove Elemente [1, 3, 4].
Slednjo pa dobimo s posploˇsitvijo teorije sorazmernosti. Metoda se glasi Ce od koliˇˇ cine odˇstejemo vsaj pol, od ostanka vsaj pol itd., lahko doseˇzemo, da je po doloˇcenem ˇstevilu korakov ostanek poljubno majhen, torej manjˇsi od vsake vnaprej predpisane koliˇcine. To metodo je Arhimed izpopolnil in uporabljal npr. za raˇcunanje ploˇsˇcine paraboliˇcnega odseka. Za boljˇse razumevanje uporabnosti izreka se spomnimo, da lahko ploˇsˇcino po- ljubnega lika ali prostornino telesa doloˇcimo z aproksimacijami. Na primer ploˇsˇcino kroga lahko pribliˇzno ocenimo s ploˇsˇcinami vˇcrtanih ali oˇcrtanih veˇckotnikov, prostornino piramide s prostornino stopniˇcasto naloˇzenih pri- zem itd. Torej, krogu lahko vˇcrtamo pravilne veˇckotnike z vedno manjˇso stranico (veˇcjim ˇstevilom stranic). Ker se da vsak veˇckotnik kvadrirati, lahko v limiti kvadriramo tudi krog. Ta Evdoksova trditev je enaka 1.
izreku X. knjige Evklidovih Elementov, kar so kasneje tudi uporabili pri iz- peljavi formule za povrˇsine in prostornine teles, omejene s krivimi ploskvami [3, 5].
Oˇcitek na ta predlog je bil le ta, da zaradi neskonˇcne deljivosti koliˇcin ploˇsˇcine kroga nikoli ne zakljuˇcimo v konˇcnem ˇstevilu korakov. To je za dokazovanje trditev problem, a pri tovrstnih izpeljavah lahko zadoˇsˇca tudi le konˇcno mnogo pribliˇzkov. Ta princip lahko poenotimo z Arhimedovo lastnostjo realnih ˇstevil, kjer je dovolj dokaz s protislovjem, reductio ad absurdum, in ni potrebno napraviti neskonˇcno mnogo korakov [3].
Evdoksu pripisujemo tudi najstarejˇsi objavljen dokaz, da je prostornina stoˇzca enaka 1/3 prostornine valja, ˇce imata enako ploˇsˇcino osnovne ploskve in viˇsino. Povzetek dokaza je zapisan v XII. knjigi Evklidovih Elementov [3].
Aratos, po naroˇcilu makedonskega kralja Antigona Gonata prepesnil in v verzih je postalo zelo priljubljeno in vplivno med izobraˇzenci helenistiˇcne dobe [1].
Slika 2.2: Platonova Akademija [17].
V obdobju Evdoksa je imela tudi zelo pomembno vlogo Akademija, ka- tere ustanovitelj je Platon leta 380 pr. n. ˇs. v Atenah. Poleg Evdoksa, sta bila z Akademijo tesno povezana ˇse najmanj dva velika matematika te dobe, in sicer Arhitas in Teajtetos. Akademija je nastala na vadbiˇsˇcu in zaradi tega tudi dobila ime po heroju Akademu. V notranjosti zgradbe je bilo svetiˇsˇce, posveˇceno muzam, ki so bile zaˇsˇcitnice ˇcloveˇskih umetnosti, ter kipi, ˇzrtveniki, posveˇceni Prometeju, Ateni, Herkulu in Hermesu. Platon je prvotno pouˇceval na vadbiˇsˇcu, kasneje pa se je preselil v poslopje in tako tam ˇzivel, kot tudi pouˇceval. Akademija je bila prva filozofska ˇsola, zasnovana kot univerza. Imela je toˇcno doloˇcena pravila obnaˇsanja, zapisan program dela oz. pouˇcevanja, bivalne prostore, saj je bila to univerza, na katero so prihajali ljudje iz oddaljenih krajev (slika 2.2). Pripadniki univerze so bili tako sinovi premoˇznih druˇzin, ki so ˇzeleli pridobiti osnovno izobrazbo, kot pomembni uˇcenjaki, ki so razvijali nove teze. Predmeti, ki so jih pouˇcevali, so bili filozofija, matematika, astronomija, glasba, govorniˇstvo. . . Tako je Evdoks tudi lahko zaˇcel razvijati svoj potencial in lahko trdimo, da je imel
POGLAVJE 2. EVDOKS IZ KNIDA 7
Slika 2.3: Gibanje planetov [19].
moˇcan vtis na Akademijo, kot tudi obratno [18].
Evdoks je v ˇcasu svojega raziskovanja in ˇstudija veˇckrat zapustil Akade- mijo, a se je vedno znova vraˇcal. Kot je bilo prej omenjeno, je tam zaˇcel s ˇstudijem filozofije. Pozneje je preuˇceval astronomijo, in sicer gibanje Sonca, Lune, Merkurja, Venere, Marsa, Jupitra in Saturna, torej sedmih takrat poznanih in nam najbliˇzjih nebesnih teles. Ta pojav je bil tudi predmet ene izmed veˇcjih teorij, s katerimi se je ukvarjala Akademija [1].
Preuˇcevanje gibanja planetov je Akademijo privedlo do ugotovitve, da se planeti gibljejo enakomerno kroˇzno. Takratno staliˇsˇce je bilo postavljeno v geocentriˇcni sistem, kar pomeni, da je Zemlja srediˇsˇce gibanja. Evdoks je predstavil gibanje planetov v obliki krivulje, ki je bila kasneje imenovana Evdoksova hipopeda (slika 2.3).
Njegov pogled je pomagal k razumevanju gibanja planetov [6]. ˇCe opa- zujemo gibanje planetov z Zemlje, opazimo, da se le-ti gibajo od vzhoda
svojo pot v prvotni smeri. Vpeljal je veˇc koncentriˇcnih sfer, ki se vrtijo ena v drugi in tako skuˇsal pojasniti pojav [7].
To razmiˇsljanje je spremenil ˇsele Nikolaj Kopernik, ko je utemeljil he- liocentriˇcni model Osonˇcja, v katerem se planeti gibljejo okrog Sonca, in dokonˇcno razloˇzil, zakaj vidimo planete v retrogradnem gibanju [7].
Na koncu pa lahko uporabimo izraz ko uˇcenec postane uˇcitelj, saj je Evdoks tudi predaval na Akademiji, skupaj s svojim uˇciteljem Platonom.
Poglavje 3
Evdoksova hipopeda
Presek enotske sfere x2 +y2 +z2 = 1 in valja (x−a)2 +y2 = (1−a)2 z radijem 1−a, kjer 0< a <1, je Evdoksova hipopeda (slika 3.1).
Slika 3.1: Presek sfere in valja [20].
Valj se sfere dotika po notranji strani in tako os valja sfero dvakrat pre- bode (na zgornji in spodnji polobli). Os valja poteka vzporedno z osjo z, njegov radij r pa je omejen med ˇsteviloma 0 in 1. Velja, da je a+r = 1.
9
Beseda hipopeda je sestavljena iz dveh delov, prvi del izhaja iz besede hippos oziroma konj, drugi del pa iz pede, kar pomeni veriga, okov, noˇzna veriga. Evdoksova hipopeda je oblike, ki spominja na policijske lisice ali na okove, v katere vklenejo noge najhujˇsim zloˇcincem. V preteklosti so vklenili konje s hipopedo in na ta naˇcin ˇzival ni mogla pobegniti ali biti zlahka ukradena. Hipopeda ima obliko osmice, ampak je na takˇsen naˇcin Grki niso mogli poimenovati, saj ˇse niso poznali arabskega ˇstevila 8 [7].
3.1 Parametrizacija
Z vpeljavo parametratpo zgledu polarnih koordinatx=rcostiny =rsint lahko koordinati x iny izrazimo takole
x−a= (1−a) cost, x=a+ (1−a) cost, x=a+rcost, y= (1−a) sint, y=rsint.
Koordinato z pa izrazimo iz enaˇcbe sfere. Za laˇzje razumevanje najprej preoblikujemo enaˇcbo valja
(x−a)2+y2 = (1−a)2, x2−2xa+a2+y2 =r2,
x2+y2 =−a2+ 2xa+r2,
x2+y2 =−a2+ 2a(a+rcost) +r2, x2+y2 =a2+ 2arcost+r2,
POGLAVJE 3. EVDOKSOVA HIPOPEDA 11
x2 +y2+z2 = 1,
z2 = 1−x2 −y2,
z2 = 1−a2−2arcost−r2.
Upoˇstevamo, da veljata enakosti 1 = cos2 2t + sin2 2t in cost = cos2 2t − sin2 2t in nadaljujemo z izraˇcunom
z2 = 1−a2−2ar(cos2 t
2 −sin2 t 2)−r2
= 1−a2−4ar(1
2−sin2 t 2)−r2
= 1−a2−2ar+ 4arsin2 t 2 −r2
= 1−a2−2a(1−a) + 4arsin2 t 2−r2
=r2+ 4arsin2 t 2−r2
= 4arsin2 t 2.
Zapis Evdoksove hipopede v parametriˇcni obliki je torej
x=a+rcost, y=rsint, z = 2√
arsin t 2,
~r= (a+rcost, rsint, 2√
arsin t 2).
kjer r = 1−a.
Ce vzamemoˇ −2π≤t ≤2π, dobimo ravno celotno Evdoksovo hipopedo.
V primeru, ko je a = 12, torej ko je premer osnovne ploskve valja enak polmeru sfere, dobimo poseben primer za obravnavo. Gre za presek sfere
Vivianijeva krivulja, po italijanskem matematiku Vincenzu Vivianiju [21].
V parametriˇcni obliki je njen zapis
x= cos2 t
2, y = sin t 2cos t
2, z = sin t
2, |t| ≤2π.
Poglavje 4
Projekcija na koordinatne ravnine
Evdoksovo hipopedo si lahko ogledamo v treh razliˇcnih projekcijah, katere bomo v nadaljevanju podrobno obravnavali. Le-te so projekcija na ravnino xy, na ravninoxz, ter na ravnino yz.
4.1 Projekcija na ravnino xy
Prva projekcija je na ravnino xy, katere enaˇcba je
(x−a)2+y2 =r2, (x−a)2+y2 = (1−a)2.
Projekcija, ki nastane je, kroˇznica (slika 4.1), ki ima srediˇsˇce v toˇcki S(a,0), pri ˇcemer je 0< a < 1.
Mejni vrednosti pri projekciji na ravnino xy sta naslednji: najmanjˇsa mejna vrednost je, ko je valj tako majhen, da se preslika v toˇcko A(1,0).
V tem primeru a 7→1 in polmer r 7→0. Najveˇcja mejna vrednost nastopi, ko valj objema celotno sfero, torej enotsko kroˇznico x2 +y2 = 1. V tem
13
Slika 4.1: Pravokotna projekcija Evdoksove hipopede na ravninoxy.
primeru a 7→0 in polmer r osnovne ploske valja strmi proti polmeru sfere, torejr7→1.
Kako se spreminja Evdoksova hipopeda pri projekciji na ravnino xy iz prej omenjene najmanjˇse do najveˇcje mejne vrednosti, je dobro razvidno na sliki 4.2.
4.1.1 Ukrivljenost kroˇ znice
Polmer ukrivljenosti ρ je polmer kroˇznice, ki se najboljˇse prilega krivulji.
Zato je v tem primeru enostavno reˇci, da je polmer, ki se najlepˇse prilega krivulji kar polmer osnovne ploskve valja, torejr= 1−a.
Po [8] velja κ= 1ρ in sledi
κ= 1 1−a.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 15
Slika 4.2: Pravokotne projekcije Evdoksove hipopede na ravnino xy: a = 0,15 (zelena), a= 0,5 (rdeˇca), a= 0,8 (modra).
4.2 Projekcija na ravnino xz
Sledi projekcija na ravnino xz, katero bomo izraˇcunali s pomoˇcjo preobli- kovanja parametriˇcne oblike x in z
x=a+rcost
=a+r(cos2 t
2−sin2 t 2)
=a+r(1−sin2 t
2−sin2 t 2)
=a+r(1−2 sin2 t 2)
=a+r(1−2 z2 4ar)
=a+r− z2 2a
= 1− z2 2a.
Slika 4.3: Projekcija Evoksove hipopede na ravnino xz.
Sledi
z2 = 2a(1−x), 2a−1≤x≤1.
Opazimo, da je projekcija Evdoksove hipopede na ravninoxz parabola, ki je premaknjena v desno in ima vodnico na desni strani (slika 4.3).
Zakaj velja pogoj 2a−1 ≤ x ? Razdalja od srediˇsˇca sfere do srediˇsˇca valja je enakaa in polmer valja r. Ker mi iˇsˇcemo zaˇcetno (najmanjˇso) vre- dnost na osix, sledi, da je to ravno razlika med a inr.
Torej x ≥ a−r = a−1 +a = 2a−1. Iz ˇcesar je razvidno da je zaˇcetni pogojx≥2a−1 ustrezen.
Dobljena parabola ima teme v toˇcki A(1,0). Simetrijska os parabole leˇzi na osi x in zanjo tudi velja, da je z = 0. Po analogije s sploˇsno enaˇcbo parabole z2 = 2px in enaˇcbe naˇse parabole lahko izpiˇsemo razdaljo med
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 17
Slika 4.4: Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino xz: a = 0,5 (rdeˇca), a = 0,1 (zelena), a= 0,7 (modra).
goriˇsˇcem in vodnico. To razdaljo imenujemo parameter p in je po zgoraj omenjeni analogiji enaka vrednosti a. Iz tega tudi sledi, da je goriˇsˇce G parabole pri x= 1−a2, kjer smo upoˇstevali tudi premik v desno nax osi in zato sledi G(1− a2,0).
Prvi mejni primer je, kor 7→0 ina7→1, pri tem je parabola izmaliˇcena v toˇcko A(1,0). V tem primeru imamo najmanjˇso mejno vrednost. Drugi mejni primer je, ko r 7→ 1 in a 7→ 0. Pri tem se parabola preoblikuje v daljico, ki zavzema vrednosti od−1≤x≤1 in z = 0, torej je ravno premer sfere.
Kako se oblika Evdoksove hipopede v projekcijixzspreminja med dvema mejnima primeroma, je dobro razvidno na sliki 4.4.
V nadaljevanju bomo izraˇcunali, kje parabola preseka kroˇznico. To bomo naredili tako, da enaˇcimo z2 iz enaˇcbe kroˇznice in parabole
1−x2 = 2a(1−x), (1−x)(x+ 1−2a) = 0.
Sledi
x1 = 1, x2 = 2a−1.
Dobimo dve vrednosti za x, kjer je x1 vedno 1, x2 pa je odvisna od parametraa.
Potrebujemo ˇse koordinate z, katere dobimo, ˇce vstavimo x1 in x2 v enaˇcbo kroˇznice (isti rezultat dobimo tudi, ˇce vstavimo v enaˇcbo parabole).
Izraˇcun zax1
z21 = 1−x21, z21 = 0, z1 = 0.
Izraˇcun zax2
z22 = 1−x22, z22 = 4(a−a2), z2,3 =±2√
a−a2. Preseˇciˇsˇca so
A(1,0), B(2a−1,2√
a−a2), C(2a−1,−2√
a−a2).
Pria= 0,5, je premer valja ravno polmer sfere. Takrat dobimoA(1,0), B(0,1) in C(0,−1).
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 19
4.2.2 Dolˇ zina parabole
Za izraˇcun dolˇzine krivulje bomo uporabili formulo [8] za izraˇcun dolˇzine loka krivulje y=f(x) med dvema toˇckama
l = Z b
a
p1 + [f0(x)]2dx,
kjer sta a inb abscisi, med katerima raˇcunamo dolˇzino loka.
Previdni moramo biti, saj v naˇsem primeru integriramo po spremenljivki z
l = Z b
a
r
1 + (dx dz)2dz.
Dodatni komentar: V primeru, ˇce bi ˇzeleli integrirati po spremenljivki x, nas to prevedlo do velikih teˇzav pri izraˇcunu integrala.
Nadaljujemo z raˇcunanjem dolˇzine krivulje tako, da iz enaˇcbe parabole izrazimo spremenljivko x, ter izraˇcunamo njen odvod
x= 1− z2 2a, dx
dz =−z a. Zapiˇsemo doloˇceni integral
l = 2 Z 2√
a−a2
0
r 1 + z2
a2 dz
= 2 a
Z 2√ a−a2
0
√a2+z2dz.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a 1
2 3
Slika 4.5: Dolˇzina parabole v odvisnosti od parametra a (Wolfram Mathe- matica).
S pomoˇcjo matematiˇcnega priroˇcnika [10] sledi l = 2
a · 1 2 [z√
a2+z2+a2·ln(z+√
a2+z2)]
2√ a−a2 0
= 1 a(2√
a−a2 q
a2+ (2√
a−a2)2+a2·ln(2√
a−a2+ +
q
a2+ (2√
a−a2)2)−a2lna)
= 1 a(2a(√
3a2−7a+ 4) + ln(2√
a−a2+√
4a−3a2)−a2lna).
Zgoraj dobljeni rezultat je dolˇzina parabole, ki nastane pri projekciji Evdoksove hipopede na ravnino xz, za neki a. Na sliki 4.5 lahko vidimo, kako se dolˇzina parabole spreminja v odvisnosti od parametra a.
Razmislek o smiselnosti rezultata Primer 1:
a→0liml = (2a√
3a2−7a+ 4
a +ln(2√
a−a2+√
4a−3a2)
a − a2lna
a ) = 4.
Primer 1, koa 7→0 ima smisel, saj v tem primeru dolˇzina parabole teˇzi
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 21
proti dvakratnemu premeru sfere oziroma dvakratnemu premeru osnovne ploskve valja.
Primer 2:
lima→1l = 0.
Podobno kot v primeru 1 smo tudi tu izraˇcunali limito in dobili reˇsitev, katera se zdi smiselna, saj ˇce a 7→ 1, potem je krivulja izrojena v toˇcko, torej je res njena dolˇzina 0.
4.2.3 Ploˇ sˇ cina med parabolo in kroˇ znico
Za izraˇcun ploˇsˇcine lika, ki nastane med parabolo in levim delom kroˇznice, smo oblikovali formulo, ki je razdeljena na dva sestavna dela (slika 4.6) in ju lahko zaradi simetriˇcnosti zapiˇsemo tudi tako
S= 2
Z 2a−1
−1
√
1−x2dx+ 2 Z 1
2a−1
(−2ax+ 2a)1/2dx.
S pomoˇcjo matematiˇcnega priroˇcnika [10], dobimo vrednosti zgoraj na- pisanih sumandov
S1 = 2· 1 2[x·√
1−x2+ arcsin(x)]
2a−1
−1
= (2a−1)p
1−(2a−1)2+ arcsin(2a−1)−arcsin(−1)
= 2(2a−1)√
a−a2+ arcsin(2a−1) + π 2, in
S2 = 2· 1
−2a(12 + 1)(−2ax+ 2a)3/2
1
2a−1
= 2·(− 1
3a(−2a+ 2a)3/2+ 1
3a(−2a(2a−1) + 2a)3/2)
= 2· 1 3a
p(4a−4a2)3
= 2·8
3(1−a)√
a−a2.
Slika 4.6: Ploˇsˇcina lika omejenega s parabolo in delom kroˇznice.
Ploˇsˇcina celotnega lika je S =S1+S2
= 2(2a−1)√
a−a2+ arcsin(2a−1) + π
2 + 2· 8
3(1−a)√ a−a2 oziroma v malo lepˇsi obliki
S = π
2 + arcsin(2a−1) + 2
3(5−2a)p
a(1−a).
Spreminjanje ploˇsˇcine S v odvisnosti od parametra a je prikazano na sliki 4.7.
4.2.4 Ukrivljenost parabole
Ukrivljenost ravninske krivulje izraˇcunamo po formuli [8]
κ= |x00(z)|
(1 + [x0(z)]2)3/2, kjer je funkcijax(z) = 1− z2a2.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 23
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 S
Slika 4.7: Spreminjanje ploˇsˇcine lika v odvisnosti od a.
-1.0 -0.5
0.0 0.5
1.0 z
0.0
0.5
1.0
a
0 1
2 3
Slika 4.8: Ukrivljenost krivulje, v odvisnosti od z ina.
Sledi
κ= | −a1| (1 + za22)3/2
κ= a2
(a2+z2)p
a2+z2).
V temenu parabole, torej ko z = 0, dobimo κ = 1a. Kar pomeni, da je polmer ukrivljenosti ρ = a. Pri paraboli je a = p, torej parameter naˇse parabole. Kako se spreminja ukrivljenost v odvisnosti od a in z, pa je razvidno na 3D grafu (slika 4.8 ) narisanem v Wolfram Mathematica.
Parametriˇcno obliko projekcije Evdoksove hipopede na ravnino yz, katero ˇze poznamo, bomo v nadaljevanju preoblikovali v implicitno obliko
y=rsint
= 2rsin t 2cos t
2
= 2r z 2√
arcos t 2
= rz
√arcos t 2,
y2 = r2z2 ar cos2 t
2
= r
az2cos2 t 2
= r
az2(1−sin2 t 2).
S tem ko smo se znebili parametratin preoblikovali zgornjo enaˇcbo, smo dobili
y2 = r
az2(1− z2 4ar).
Izraˇcunana krivulja ima obliko podobno osmici (slika 4.9), katero s pomoˇcjo preoblikovanja spremenimo v implicitno obliko ˇse na naslednji naˇcin
4a2y2 = (4a(1−a)−z2)z2.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 25
Slika 4.9: Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino yz.
Dobljena osmica ima dve simetrali in sicer osy in os z. Prvi mejni pri- mer je ponovno, ko a 7→ 1 in v tem primeru se osmica degenerira v toˇcko S(0,0). V drugem mejnem primeru, ko a7→1, pa v daljico, ki leˇzi na osi y in med toˇckama (−1,0) in (1,0).
Na sliki 4.10 je dobro razvidno, kako se krivulja spreminja, ko potuje med mejnima primeroma.
Ceˇ a = 12, je enaˇcba projekcije na ravnino yz oblike y2 = z2−z4. Do- bljena krivulja ima tudi posebno ime, in sicer ji reˇcemo Geronova lemniskata (rdeˇca krivulja na sliki 4.10), ker jo je prvi temeljito preˇstudiral francoski matematik Camille-Christopher Gerono [22].
4.3.1 Bitangentnost
Pojem bitangentnost uporabimo takrat, ko obstaja tangenta na krivuljo, ki se jo dotika v dveh toˇckah [23].
Slika 4.10: Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino yz: a= 0,5 (rdeˇca), a= 0,2 (zelena), a= 0,9 (modra).
V nadaljevanju bomo izraˇcunali smerni koeficient tangente na dobljeno osmico ter ga enaˇcili z vrednostjo 0. Na ta naˇcin bomo izvedeli, v kateri toˇcki doseˇze krivulja svoj preobrat in poslediˇcno ugotovili, ali velja pogoj bitangentnosti.
Iz enaˇcbe krivulje osmice izrazimo spremenljivko z y2 = [f(z)]2 = (4a(1−a)−z2)z2
4a2 ,
y=f(z) =± 1 2a
p(4a(1−a)−z2)z2.
Odvod f0(z) oziroma smerni koeficient tangente na krivuljo je f0(z) = ± 1
2a · 1
2(4az2−4a2z2 −z4)−12(8az−8a2z−4z3)
=± 8az −8a2z−4z3 4a√
4az2−4a2z2 −z4
=± 2az −2a2z−z3 a√
4az2−4a2z2−z4.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 27
V nadaljevanju izraˇcunamo, kdaj je f0(z) = 0. Pri tem imenovalec odvoda izpustimo, saj le-ta ne sme nikoli zavzeti vrednosti 0.
z(2a−2a2−z2) = 0, z1 =√
2√
a−a2, z2 =−√
2√
a−a2, z3 = 0.
Izraˇcunamo vrednost spremenljivke y y1 =
p(4a(1−a)−z2)z2 2a
= q
((4a−4a2)−(√ 2√
a−a2)2)(√ 2√
a−a2)2 2a
=
p(2a−2a2)2 2a
=±(1−a).
Podobno ˇse za y2 =
q
((4a−4a2)−(−√ 2√
a−a2)2)(−√ 2√
a−a2)2 2a
=±(1−a).
Dobili smo ˇstiri toˇcke (A, B, C, D, slika 4.11), za katere velja, da leˇzijo na krivulji, ter so najbolj oddaljene od osi z. Toˇcki A, C povezuje ista tangenta in toˇcki B, D prav tako. V toˇckah A, C ter B, D ima osmica bitangentnost.
4.3.2 Samopreseˇ ciˇ sˇ ce
Oˇcitno osmica preseka samo sebe v toˇcki S(0,0).
Slika 4.11: Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino yz: bitangentost krivulje ter preseˇciˇsˇce krivulje same s seboj.
Formalno je samopreseˇciˇsˇce izjemnih toˇck krivulje, ko je
F(y, z) = z4−4(a−a2)z2+ 4ay2 = 0.
Iz njene enaˇcbe dobimo izjemne toˇcke, tam, kjer je F(y, z) = 0,
∂F
∂y = 0,
∂F
∂z = 0.
Enaˇcba
∂F
∂y = 8ay= 0, nam da
y = 0.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 29
Enaˇcba
∂F
∂z = 4z3−8(a−a2)z = 0, nam da
z = 0, z =±p
2(a−a2).
V toˇckah (0,±p
2(a−a2)) pa F(0,±p
2(a−a2) =−(a−a2)2 6= 0.
Tako opazimo, da je edina izjemna toˇcka, kjer osmica preseka samo sebe, le S(0,0) in je razvidna na sliki 4.11.
4.3.3 Kot v samopreseˇ ciˇ sˇ cu
Pri izraˇcunu kota v samopreseˇciˇsˇcu v primerjavi s kvadratnima ˇclenoma zanemarimo ˇclenz4 iz enaˇcbe krivulje osmice, saj predpostavljamo, da je ta ˇ
clen blizu samopreseˇciˇsˇca tako majhen, da je za izraˇcun kota nepomemben
−4(a−a2)z2+ 4a2y2 = 0, a2y2−(a−a2)z2 = 0, (ay−√
a−a2z)(ay+√
a−a2z) = 0.
Sledi
z =± a
√a−a2y.
Slika 4.12: Projekcija Evdoksove hipopede na ravnino yz: samopreseˇciˇsˇce krivulje.
Za izraˇcun kota α2, (slika 4.12), uporabimo zvezo tanα= zy. Sledi tanα
2 = a
√a−a2. Zelimo izraˇˇ cunati celotni kotα:
tanα= tan 2α
2 = 2 tanα2 1−tan2 α2 =
√2a a−a2
1− a−aa22
= 2a√ a−a2
a−a2−a2 = 2√ a−a2 1−2a .
Upoˇstevamo, da velja enakost 1 + tan2α= cos12α
1
cos2α = 1 +4(a−a2)
(1−2a)2 = 1−4a+ 4a2+ 4a−4a2
(1−2a)2 = 1
(1−2a)2.
Sledi
cos2α= (1−2a)2, cosα= 1−2a.
V poglavju 5.2 bomo obravnavali kot v samopreseˇciˇsˇcu, opazovano v prostoru in tam opisali doloˇcene izraˇcunane zanimivosti.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 31
4.3.4 Ploˇ sˇ cina lika, ki ga omejuje osmica
Za izraˇcun ploˇsˇcine lika [11], katerega omejuje krivulja, je zaradi simetrije dovolj izraˇcunati le eno ˇcetrtino krivulje. Pri tem moramo biti tudi pozorni kako doloˇcamo meje integriranja glede na spremenljivko z
S1
4 =
Z 2√ a−a2 0
y dz
= Z 2√
a−a2 0
r(a−a2)z2 a2 − z4
4a2 dz
= 1 2a
Z 2√ a−a2 0
p4(a−a2)z2−z2dz
= 1 2a
Z 2√ a−a2 0
√
4a−4a2−z2z dz.
V nadaljevanju uporabimo substitucijo u = z2, du = 2zdz, pri ˇcemer moramo biti pozorni na zamenjavo mej integracijskega intervala
S1
4 = 1
2a
Z 4(a−a2)
0
√
4a−4a2−udu 2
= 1 4a
Z 4(a−a2)
0
√
4a−4a2−u du.
Ponovno uporabimo metodo substitucije, tokratw= 4a−4a2−u,dw=
−du, kjer moramo prav tako biti pozorni, da zamenjamo meje integriranja
S1
4 = 1
4a Z 0
4(a−a2)
√w dw
= − 1 4a
2w3/2 3
0
4(a−a2)
= − 1 6aw3/2
0
4(a−a2)
= 1
6a(4a−4a2)3/2
= 4 3a
p(a−a2)3.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a 0.5
1.0 1.5
Slika 4.13: Ploˇsˇcina lika S v odvisnosti od parametra a.
Ploˇsˇcina celotnega lika, ki ga omejuje osmica je S = 16
3a
p(a−a2)3
= 16
3 (1−a)p
a(1−a).
V nadaljevanju bomo izraˇcunali vrednost najveˇcje ploˇsˇcine [12]
S2 = 256
9a2(a−a2)3
= 256
9a2a3(1−a)3
= 256
9 a(1−a)3.
Sedaj izraˇcunamo ˇse kdaj je odvod funkcije S(a) enak 0 dS2
da = 256
9 [(1−a)3 −3a(1−a)2] = 0, torej,
(1−a)2(1−a−3a) = 0, a1 = 1, a2 = 1
4.
Moˇznost a1 ne pride v poˇstev, saj smo na zaˇcetku diplomskega dela definirali a <1. Koa2 pa
Smax = 16 3 ·3
4 r1
4· 3 4 =√
3.
POGLAVJE 4. PROJEKCIJA NA KOORDINATNE RAVNINE 33
Na sliki 4.13 je razvidna velikost ploˇsˇcine lika v odvisnosti od polmera valja oziroma od parametra a.
Dokaz, da je res naraˇsˇcajoˇca funkcija do svojega maksimuma, pa dobimo iz izraˇcuna
d2S2 da2 (1
4) = 256·3
9 [(1−a2)−(6a(1−a)·3(1−a)2)] =−609 <0.
4.3.5 Ukrivljenost osmice
Iz enaˇcbe osmice izrazimoy y(z) =
r1−a a ·z·
s
1− z2 4a(1−a).
Ponovno uporabimo isto formulo kot pri izraˇcunu ukrivljenosti parabole ter izraˇcunamo ukrivljenost osmice
κ= |y00(z)|
(1 + [y0(z)]2)3/2.
Zaradi teˇzavnih odvodov s pomoˇcjo raˇcunalniˇskega programa Derive do- bimo
κ= a2z|z2+ 6a(a−1)|
(z4+az2(3a−4)−4a2(a−1))3/2.
V primeru, ko jez = 0, je ukrivljenost κ= 0 in je neodvisna oda.
V posebnem primeru, ko je a= 12, sledi κ= z(3−2z2)
(4z4−5z2+ 2)3/2.
Za a7→1 se κ zelo ˇcudno obnaˇsa. Za a7→ 0 pa gre κ7→0. Rezultat je smiseln, saj v slednjem primeru za projekcijo na ravninoyz dobimo daljico (premer sfere), ukrivljenost ravne krivulje pa je vedno 0.
Poglavje 5
Lastnosti Evdoksove hipopede
V tem poglavju bomo raziskali lastnosti Evdoksove hipopede kot krivulje v prostoru. Izraˇcunali bomo dolˇzino krivulje, kot v samopreseˇciˇsˇcu, povrˇsino ploskve, prostornino telesa, ki nastane pri preseku valja in sfere znotraj valja, ter doloˇcili ukrivljenost krivulje.
5.1 Dolˇ zina
Dolˇzino Evdoksove hipopede izraˇcunamo po formuli [8]
l = Z b
a
px˙2 + ˙y2+ ˙z2dt.
Za kasnejˇse laˇzje odvajanje spremenimo parametertz uvedbo nove spre- menljivke τ = 2t. Omejitev|t| ≤2π preide v |τ| ≤π.
Dobimo
x=a+rcos(2τ), y=rsin(2τ), z = 2√
arsinτ,
|τ| ≤π, r= 1−a.
35
˙
x=−2rsin(2τ),
˙
y= 2rcos(2τ),
˙ z = 2√
arcosτ.
Evdoksovi hipopedi ustreza parameter τ med −π inπ, zato je
l= Z π
−π
px˙2+ ˙y2+ ˙z2dτ
= Z π
−π
q
4r2sin2(2τ) + 4r2cos2(2τ) + 4arcos2τ dτ
= Z π
−π
q
4r2(sin2(2τ) + cos2(2τ)) + 4arcos2τ dτ
= Z π
−π
p4r(r+acos2τ)dτ
= Z π
−π
2 q
r(r+a(1−sin2τ)dτ
= Z π
−π
2 q
r(r+a−asin2τ)dτ
= Z π
−π
2 q
r(1−asin2τ)dτ
= 2√ r
Z π
−π
p1−asin2τ dτ.
Evdoksova hipopeda je dvakrat simetriˇcna, zato lahko njeno dolˇzino zapiˇsemo tudi na naslednji naˇcin, pri tem spremenimo tudi meje integri- ranja
l= 4·2√ r
Z π2
0
p1−asin2τ dτ.
Integral zapiˇsemo s pomoˇcjo popolnega eliptiˇcnega integrala E druge vrste [13], ki je definiran na naslednji naˇcin v Legendrovi obliki
E(ε) = Z π2
0
q
1−ε2sin2ψdψ,
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 37
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a
2 4 6 8 10 12 l
Slika 5.1: Spreminjanje dolˇzine krivulje v odvisnosti od a.
kjer 0< ε <1.
Za naˇs izraˇcun je ε=√
a, torej je dolˇzina krivulje v sploˇsnem naslednja l = 8√
1−aE(√ a).
Vrednosti eliptiˇcnega integrala E(ε) dobimo s pomoˇcjo tabel, katere najdemo v matematiˇcnih priroˇcnikih [10] ali jih izraˇcunamo s primernim raˇcunalniˇskim programom.
S pomoˇcjo programa Wolfram Mathematica je na sliki 5.1 razvidno, kako se spreminja dolˇzina krivulje v odvisnosti od a.
Primer: a= 12.
V matematiˇcnem priroˇcniku poiˇsˇcem E( 1
√2) =E(sin 45◦) = 1,3506.
Sledi
l= 8 r1
2E(
r1 2)
= 4√ 2E( 1
√2)
= 7,6401.
lepˇsem primeru, ko je a= 12 (Vivianijeva krivulja).
5.2 Kot v samopreseˇ ciˇ sˇ cu
Evdoksova hipopeda seˇce samo sebe pri τ = 0 in τ =π. Pri τ = 0 dobimo toˇcko A(1,0,0), kjer hipopeda seka samo sebe. Pri τ = π pa dobimo po- novno isto toˇcko A.
Zaˇcnemo z izraˇcunom vrednosti prvega odvoda
~˙
r = (−2rsin(2τ),2rcos(2τ),2√
arcosτ), v naslednjih toˇckah
~r(0) = (0,˙ 2r,2√ ar),
~˙
r(π) = (0,2r,−2√ ar).
Izraˇcunamo ˇse dolˇzino zgornjih vektorjev
|~r(0)|˙ = q
0 + (2r)2+ (2√ ar)2
=√
4r2+ 4ar
=p
4r(r+a)
= 2√ r√
1
= 2√ r ter
|~r(π)|˙ = q
0 + (2r)2−(2√ ar)2
= 2√ r.
Po formuli [9] izraˇcunamo velikost kota med krivuljama~r1(t) in~r2(t) na ploskvi, ki se sekata v neki toˇcki
cosα=
~r˙1~r˙2
|~r˙1||~r˙2|.
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 39
Krivulji se sekata pod pravim kotom natanko tedaj, ko je ˙~r1~r˙2 = 0.
V formulo vstavimo izraˇcunane vrednosti vektorja~r
cosα=
~˙
r(0) ˙~r(π)
|~r(0)||˙ ~r(π)|˙
= (0,2r,2√
ar)(0,2r,−2√ ar) (2√
r)(2√ r)
= 4r2−4ar 4r
=r−a
= 1−2a, za 0 < a <1, ko velja−1<cosα <1.
V najlepˇsem primeru, ko je a= 12, je vrednost kota v samopreseˇciˇsˇcu cosα = 1−2a,
α = 90◦.
Opazimo, da je kot v projekciji na ravnino yz enak kotu v prostoru. To je razumljivo, saj v obeh primerih raˇcunamo kot v samopreseˇciˇsˇcu S(0,0).
Obakrat dobimo enako, saj kot projiciramo na tangentno ravnino sfere v toˇckahS(0,0), ta ravnina pa je vzporedna ravnini yz.
5.3 Povrˇ sina ploskve
Povrˇsino ploskve, ki je dana eksplicitno z enaˇcbo z = z(x, y), izraˇcunamo po formuli [9]
P = Z Z
D
s
1 + (∂z
∂x)2 + (∂z
∂y)2dxdy,
kjer je vsaka toˇcka integracijskega obmoˇcja D, ki je pravokoten projekciji ploskve na ravnino xy enoliˇcno doloˇcena s svojo projekcijo v ravnini xy,
koordinatama.
Iz enaˇcbe sfere x2 +y2+z2 = 1 izrazimo koordinato z in izraˇcunamo particialna odvoda izraza z=p
1−x2−y2
∂z
∂x = 1
2 · 1
(1−x2−y2)1/2 ·(−2x) = −x z,
∂z
∂y = 1
2 · 1
(1−x2−y2)1/2 ·(−2y) =−y z.
Zaradi simetriˇcnosti lahko zapiˇsemo P = 4
Z Z
D
r 1 + x2
z2 + y2 z2 dxdy
= 4 Z Z
D
rz2+x2+y2 z2 dxdy
= 4 Z Z
D
r 1 z2 dxdy
= 4 Z Z
D
1
p1−x2−y2 dxdy.
Izraˇcunali bi radi povrˇsino sfere znotraj valja, pri tem je D = {(x, y) : (x−a)2+y2 ≤(1−a)2, y ≥0}, kjer 0< a <1, slika 5.2.
V nadaljevanju moramo vpeljati polarne koordinate, na podlagi opisa naˇsega integracijskega obmoˇcja D
(x−a)2+y2 = (1−a)2, x2+y2−2ax+a2 = 1−2a+a2,
x2+y2 = 2ax+ (1−2a).
Vemo, da x=rcosϕ iny=rsinϕ, zato sledi r2 = 2arcosϕ+ (1−2a).
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 41
Slika 5.2: Integracijsko obmoˇcje D.
Iz enaˇcbe r2−2arcosϕ−(1−2a) = 0 izrazimo r
r= 2acosϕ±p
4a2cos2ϕ+ 4(1−2a)
2 ,
r=acosϕ±p
a2cos2ϕ+ (1−2a).
Sedaj bi lahko izraˇcunali integral za povrˇsino ploskve, vendar zaradi za- pletenih integralov pridemo v brezpredmetno raˇcunanje povrˇsine naˇse plo- skve.
Raˇcunanje povrˇsine ploskve se poenostavi le v primeru ko je je a = 12, saj v tem primeru brez veˇcjih teˇzav poenostavimo zapis polarne koordinate
r2 = 2arcosϕ+ (1−2a), r= cosϕ,
kjer 0≤ϕ≤ π2.
Z upoˇstevanjem Jacobijeve determinante [24] lahko nadaljujemo z izraˇcunom.
Povrˇsina ploskve je torej
P = 4 Z π2
0
dϕ Z cosϕ
0
√ r
1−r2 dr.
S postopkom substitucije uvedemo novo spremenljivkou= 1−r2, du=
−2rdr
P = 4 Z π2
0
dϕ
Z 1−cos2ϕ
1
(−1 2
√1 u)du
= 4 Z π2
0
dϕ√ u
sin2ϕ
1
= 4 Z π2
0
(−sinϕ+ 1)dϕ
= 4 (cosϕ+ϕ)|
π 2
0
= 4(π 2 −1).
Zgoraj izraˇcunana vrednost predstavlja povrˇsina ploskve, ki jo omejuje Evdoksova hipopeda na enotski sferi, v primeru, ko je a= 12.
5.4 Prostornina telesa
Prostornino telesa, pod ploskvijo, ki je dana eksplicitno z enaˇcboz =f(x, y) in nad ravnino xy, dobimo s pomoˇcjo formule [9]
V = Z Z
D
z dxdy.
Pri tem jeD pravokotna projekcija telesa na ravninoxy, prikazano na sliki 5.2.
Na podlagi zgoraj zapisane formule lahko izraˇcunamo prostornino telesa, ki je znotraj valja (x−a)2+y2 = (1−a)2 in sfere x2+y2+z2 = 1. Zaradi simetriˇcnosti lahko poenostavimo in zapiˇsemo
V = 4 Z Z
D
p1−x2−y2dxdy.
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 43
Potrebujemo polarni zapis za doloˇcitev mej integriranja, ki smo ga izraˇcunali ˇ
ze pri poglavju povrˇsina ploskve, ter spremenimo zapis in uporabimo Jaco- bijevo determinanto
V = 4 Z π2
0
dϕ
Z acosϕ±√
a2cos2ϕ+1−2a 0
√1−r2 ·r dr.
Ponovno zaidemo v teˇzave pri integriranju.
Izraˇcun prostornine bomo nadaljevali za primer, ko je a= 12
V = 4 Z π2
0
dϕ Z cosϕ
0
√1−r2·r dr.
S postopkom substitucije uvedemo novo spremenljivkou= 1−r2, du=
−2rdr
V = 4 Z π2
0
dϕ
Z sin2ϕ
1
√u(−du 2 )
= 4 Z π2
0
dϕ(−u3/2 3 )
sin2ϕ
1
= 4 3
Z π2
0
(1−sin3ϕ)dϕ
= 4
3 (ϕ+sin2ϕcosϕ
3 + 2
3cosϕ)
π 2
0
= 2
9(3π−4).
5.5 Ukrivljenost
V nadaljevanju bomo izraˇcunali fleksijsko in torzijsko ukrivljenost Evdo- ksove hipopede. Naj bo K krivulja z enaˇcbo ˙~r(τ) vsaj trikrat zvezno od- vedljiva funkcija parametra τ. Zato moramo najprej izraˇcunati prve tri
~r(τ˙ ) = (−2rsin(2τ),2rcos(2τ),2√
arcosτ),
~r(τ¨ ) = (4rcos(2τ),−4rsin(2τ),−2√
arsinτ), ...~r(τ) = (8rsin(2τ),−8rcos(2τ),−2√
arcosτ).
5.5.1 Fleksijska ukrivljenost
Fleksijska ukrivljenost nam pove, koliko krivulja~r(τ) odstopa od ravnosti, kot jo poznamo pri premici. Fleksijska ukrivljenost [14] oznaˇcimo κ in pomeni hitrost, s katero se tangenta vrti, ko se dotikaliˇsˇce po K giblje s hitrostjo 1
κ= |~r˙×~r|¨
|~r|˙ 3 .
Najprej moramo izraˇcunati ˙~r×~r¨
~r˙×~r¨=
~i ~j ~k
−2rsin(2τ) 2rcos(2τ) 2√
arcosτ
−4rcos(2τ) −4rsin(2τ) −2√
arsinτ
= (−4r√
arcos(2τ) sinτ+ 8r√
arsin(2τ) cosτ,−8r√
arcos(2τ) cosτ−
+ 4r√
arsin(2τ) sinτ,8r2).
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 45
Dolˇzina zgoraj izraˇcunanega vektorja je
|~r˙×~r|¨ = q
16r2arcos2(2τ) sin2τ −64r2arcos(2τ) sin(2τ) sinτcosτ +64r2arsin2(2τ) cos2τ + 64r2arcos2(2τ) cos2τ
+64r2arcos(2τ) sin(2τ) cosτsinτ + 16r2arsin2(2τ) sin2τ+ 64r4
= 4r q
arcos2(2τ) sin2τ + 4arsin2(2τ) cos2τ +4arcos2(2τ) cos2τ+arsin2(2τ) sin2τ + 4r2
= 4rp
arsin2τ + 4arcos2τ+ 4r2
= 4rp
ar(3 cos2τ + 1) + 4r2
= 4r√ r
q
a(4−3 sin2τ) + 4r.
Izraˇcunamo ˇse |~r|˙
|~r|˙ = 2 q
r2(sin2(2τ) + cos2(2τ)) +arcos2τ
= 2√
r2+arcos2τ
= 2√ rp
1−asin2τ .
Fleksijska ukrivljenost je torej κ= 4r√
rp
a(4−3 sin2τ) + 4r (2√
rp
1−asin2τ)3
=
pa(4−3 sin2τ) + 4r 2(1−asin2τ)p
1−asin2τ .
Z upoˇstevanjem, da jer = 1−a, dobimo κ=
p4−3asin2τ 2(1−asin2τ)p
1−asin2τ .
0.0
0.5
1.0
Τ
0 1 2
1 2
3 4
Slika 5.3: Ukrivljenost Evdoksove hipopede.
V primeru, ko je τ = 0 (gledamo kot v samopreseˇciˇsˇcu), dobimo
κ= 1,
in opazimo, da je ukrivljenost neodvisna od parametra a.
V primeru, ko je τ = π2 (najviˇsje leˇzeˇci toˇcki krivulje), dobimo κ=
√4−3a 2(1−a)3/2,
kjer je ukrivljenost odvisna od parametra a. Torej za a7→1 ukrivljenost κ raste preko vseh meja. Ko a7→0 teˇziκ proti 1 (slika 5.3).
5.5.2 Torzijska ukrivljenost
Torzijsko ukrivljenost imenujemo tudi torzija oziroma zvitost krivulje v neki toˇcki in jo izraˇcunamo po formuli [8]
ω = ( ˙~r,~r,¨ ...
~r)
|~r˙×~r|¨2.
Torzijska ukrivljenost nam pove, kako moˇcno je krivulja zvita oziroma kako ostro v dani toˇcki v prostoru zavije ven iz svoje pritisnjene ravnine.
POGLAVJE 5. LASTNOSTI EVDOKSOVE HIPOPEDE 47
Krivulja je ravninska, ko je njena torzijska ukrivljenost enaka 0, torej ko je ω(τ) = 0 [8].
Za raˇcunanje torzijske ukrivljenosti moramo najprej doloˇciti meˇsani pro- dukt vektorjev ˙~r, ¨~r in...
~ r ( ˙~r,~r,¨ ...
~r) = ( ˙~r×~r)¨ ·...
~ r
=−32r2√
arcos(2τ) sinτsin(2τ) + 64r2√
arsin2(2τ) cosτ+ + 64r2√
arcos2(2τ) cosτ+ 32r2√
arsin(2τ) sinτcos(2τ)+
−16r2√
arcosτ
= 48r2√
arcosτ.
Z upoˇstevanjem, da jer = 1−a dobimo ω= 48(1−a)2p
a(1−a) cosτ
= 48√
a(1−a)5/2cosτ.
Torzijska ukrivljenost je torej
ω = 3√
acosτ
√1−a(4−3asinτ).
V primeru, ko jeτ = 0 sledi ω(0) = 3√
√ a
1−a·4 = 3 4
r a 1−a. V primeru τ = π2 pa
ω(π 2) = 0.
Zaa= 12, torej ko imamo Vivianijevo krivuljo, sta ukrivljenost in torzija naslednji
κ(τ) =
√3 cos2τ+ 5 (cos2τ + 1)3/2,
ω(τ) = 6 cosτ 3 cos2τ + 5.
Poglavje 6
Uporaba v ˇ soli
Evdoksova hipopeda je prostorska krivulja, ki je v osnovni in srednji ˇsoli ne obravnavamo, saj bi bila preteˇzak pojem. Vendar bi jo s pravilnim pristo- pom kljub temu lahko vkljuˇcili v izobraˇzevalni sistem.
V osnovni ˇsoli jo lahko omenimo pri matematiki ali pri matematiˇcnem kroˇzku, ko obravnavamo ravninske krivulje in tako spoznamo obstoj zahtev- nejˇsih ravninskih in prostorskih krivulj. Evdoksovo hipopedo lahko obrav- navamo tudi pri nekaterih izbirnih predmetih, kot je Multimedija in s tem povezano grafiˇcno oblikovanje, risanje, . . .
Raˇcunalniˇskih programov dinamiˇcne geometrije je veliko, a za uporabo v osnovni ˇsoli je najprimernejˇsi GeoGebra, ki omogoˇca enostavne, razumljive ukaze. Tako lahko s pomoˇcjo GeoGebre, verzije 5.0, ki omogoˇca 3D risanje, uˇcencem prikaˇzemo postopek konstrukcije Evdoksove hipopede in nekatere njene lastnosti.
Za uˇcence zanimivo in pouˇcno dejstvo je tudi to, da se ravninska upodo- bitev krivulje imenuje lemniskata. Beseda pomeni volneni trak, s katerim so zmagovalcu v antiˇcnih ˇcasih na doloˇcenih tekmovanjih na glavo privezali
49
kakˇsen znak spoˇstovanja do njega. Latinska beseda (lemniscus) pa je znana v anatomiji. Predstavlja majhen vozel, ki se nahaja v ˇcloveˇski glavi [7].
6.1 Evdoksove hipopede v GeoGebri
- S pomoˇcjo ukaza Sfera s srediˇsˇcem in polmerom izberemo srediˇsˇce sfere in vnesemo polmer. Na takˇsen naˇcin nastane sfero s srediˇsˇcem v toˇcki S= (0,0) in ima polmer r= 1, slika 6.1.
Slika 6.1: Konstrukcija Evdoksove hipopede - sfera.
- V nadaljevanju ˇzelimo konstruirati valj s polmerom, ki je odvisen od parametraa. Zato moramo sedaj ustvariti drsnik, ki bo predstavljal vredno- sti, ki jih lahko zavzame parameter a. S klikom na ukaz Drsnik na risalni povrˇsini doloˇcimo njegovo vrednost, torej 0≤a≤1.
- Sedaj nariˇsemo valj. To naredimo s pomoˇcjo ukazaValj, izberemo dve toˇcki (A, B) in polmer, ki meri 1−a, slika 6.2.
POGLAVJE 6. UPORABA V ˇSOLI 51
Slika 6.2: Konstrukcija Evdoksove hipopede - valj.
- Te dve toˇcki moramo definirati tako, da se bo valj v eni toˇcki dotikal sfere. Torej A(1−a,0,5), B(1−a,0,−5), slika 6.3.
Slika 6.3: Konstrukcija Evdoksove hipopede - valj - sprememba definiranosti toˇck A inB.
- Sedaj pa moramo le ˇse spremeniti definiranost valja, in sicer ga mo- ramo omejiti, da se lahko giblje le od toˇcke A, B po parametru a, slika 6.4.
